MTMM Kõrgem matemaatika 1

Väljavõte

1 MTMM..34 Kõrgem mtemtik 8 sügis Ülesnnete kogu. os

2 Põhiliste elementrfunktsioonide tuletised (Const) = (sin x) = cos x (rcsin x) = x (x α ) = α x α, α (cos x) = sin x (rccos x) = x (e x ) = e x (tn x) = cos x ( x ) = x ln (cot x) = sin x (rctn x) = + x (rccot x) = + x (ln x ) = x Integreerimise põhivlemid () = C (7) sin x = cos x + C () = x + C (8) cos x = sin x + C (3) x = x+ + C ( /= ) + (9) sin x = cot x + C (4) x = ln x + C () cos x = tn x + C (5) x = x ln + C (6) e x = e x + C () () x = rcsin x + C + x = rctn x + C Trigonomeetrilised seosed sin α = ( cos α) cos α = ( + cos α) ii

3 Sisukord 3 Riemnni integrl j numriline integreerimine Kõvertrpets j selle pindl Määrtud integrl, Newton i-leiniz i vlem Numriline integreerimine * Määrtud integrli rvutmine 6 4. Määrtud integrli omdused, muutujvhetus Määrtud integrli rvutmine Määrtud integrli ositi integreerimine Täiendvid integreerimisvõtteid * Irrtsionlfunktsioonide integreerimine Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Määrtud integrli rkendusi Kõvertrpetsi pindl Kõversektori pindl Joone kre pikkus Keh ruuml ristlõigete kudu Pöördkeh ruuml Määrtud integrli rkendusi füüsiks* Teepikkus Kiirus j kiirendus Töö Mssikese Pärtud integrlid Lõpmtute rjdeg integrlid Pärtud integrlid Integrlid tõkestmt funktsioonist Pärtute integrlide rkendusi Vektorid Vektorite sklrkorrutis Vektorite vheline nurk Vektorite vektorkorrutis Kolme vektori segkorrutis Sirge j tsndi võrrndid 83. Tsndi võrrnd Sirge võrrnd ruumis

4 Sisukord Kontrolltöö nr Kompleksrvu erinevd esitusviisid 87. Kompleksrvu lgerline kuju Tehted kompleksrvudeg Tehted lgerlisel kujul Kompleksrvu trigonomeetriline j eksponentkuju Tehted trigonomeetrilisel j eksponentkujul Rkenduslikud ülesnded Kompleksrvu stendmine j juurimine 9 3. Kompleksrvu stendmine j juurimine Kompleksrv. Algerliste võrrndite lhendmine * 9 4. Kordmine Algerliste võrrndite lhendmine *

5 Prktikum 3 Riemnni integrl j numriline integreerimine Selles prktikumis tuleks võimlikult plju ksutd rvuti i. 3. Kõvertrpets j selle pindl Kõvertrpetsi pindl S = f(x) g(x). (3.) Kui f j g grfikud lõikuvd, siis tule leid lõikepunktid j rvutd kogu pindl osde kup. Ülesnne 3.. Järgnev tel näit mudelrongi kiirust esimese sekundi jooksul. Aeg (sek) Kiirus (cm/sek) Aeg (sek) Kiirus (cm/sek) Leidke rongi poolt läitud teepikkus, moodustdes oslõiku pikkuseg ning summeerides kord vsk-, kord prempoolsete ristkülikute pindld. Ülesnne 3.. Leidke järgmiste joonteg j x-teljeg määrtud kujundite pindld ligikudselt, jgdes toodud oslõigud n võrdseks osks ning summeerides tekkinud ristkülikud. Ristkülikuid s tekitd erinevt moodi. Vlige ise soiv meetod j proovige erinevid võimlusi. () y = 3x, x [, 3], n = 3 j n = (c) y = 4x x, x [, 4], n = 6 j n = () y = x, x [, ], n = 5 j n = (d) y = x, x [, 4], n = 3 j n = Ülesnne 3.3. Koostge järgmiste joonteg piirtud tsndiliste kujundite pindl rvutmiseks õiged integrlid (või nende summd). Integrle ei ole vj välj rvutd, kuid joonise tegemine või oll iks.

6 3.. Määrtud integrl, Newton i-leiniz i vlem () y = x, x + y = (c) y = x, y = x 3 (e) y = 4 x, y = x + () y = 4 x, y = (d) y = x 4, y =, y = x (f) y = x3 3 x, y = x 3 Ülesnne 3.4. Visndge integrlimärgi ll olevst funktsioonist grfik ning rvutge integrli väärtus, ksutdes tuntud geomeetriliste kujundite pindl leidmise vlemeid. 4 () ( x + 3) () 3 9 x (c) ( x ) (d) ( + x ) 3 Ülesnne 3.5. Selgitge pindl mõiste kudu, miks kehti võrdus x 3 = (x ) 3? Ülesnne 3.6. Kirjutge vhe 8 3 f(x) 8 4 f(x) ühe määrtud integrlin. Ülesnne 3.7. Milliste j väärtuste korrl on integrli (x x ) väärtus suurim? 3. Määrtud integrl, Newton i-leiniz i vlem Vlem 3. Newton i-leiniz i vlem f(x) = F (x) x= x= = F () F (). (3.) Ülesnne 3.8. Arvutge integrlid ksutdes Newton i-leiniz i vlemit. () 3 (x + ) (c) x x + (e) π/ π/ sin x () 5 (x + 5) x (d) 3x 4 + 6x + x + (f) π/3 π/3 sin 3 x cos x Numriline integreerimine * Trpetsmeetod. f(x) h (f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n )). 59

7 PEATÜKK 3. RIEMANNI INTEGRAAL JA NUMBRILINE INTEGREERIMINE Simpsoni meetod (liitvlem). Vlemit s ksutd vid prisrvulise n joks. f(x) h 3 (f(x ) + 4 f(x ) + f(x ) + 4 f(x 3 ) + + f(x n ) + 4 f(x n ) + f(x n )). Ülesnne 3.9. Arvutge toodud integrlide ligikudsed väärtused trpetsmeetodig märgitud oslõikude n korrl. () ( x ), n=3 () 4 ( + x), n=6 (c) x, n=5 Ülesnne 3.. Khe ljm vheline vhem on täpselt m. Aljmde ühendmiseks vjminev telefonikli pikkus L (rvestdes lõtku) rvuttkse vlemig L = x +. Ksutdes oslõiku n =, rvutge trpetsmeetodig kli pikkus L. Ülesnne 3.. Arvutge toodud integrlide ligikudsed väärtused Simpsoni meetodig märgitud oslõikude n korrl. () ( + x 3 ), n= () 8 x /3, n=4 (c) Ülesnne 3.. Rudteetunneli ristlõige on kujug, mis teki üllt kreg y = x x, lt x-teljeg j külgedelt sirgeteg x = j x = 4 piirtud lst.kui tunnel on m pikkune j kõik muud ühikud on smuti meetrites, siis kui mitu kuupmeetrit tulvvett on võimlik vjduse korrl tunnelisse lst (eeldme, et tunnelit s mõlemlt poolt sulged)? Arvutge ruuml trpetsmeetodig j Simpsoni meetodig n = 8 joks. Kum tulemus võiks oll täpsem? x x +, n=4 Ülesnne 3.3. Lennuki üks tgumistest tiidest (stilistor) on kujug, mid piir x-telg j funktsiooni y = f(x) grfik, kus f(x) = (3x x 3 ).6. Koostge pindl rvutmiseks integrl. Arvutge lennuki tiiv pindl trpetsmeetodig j Simpson i meetodig n = 6 oslõigu korrl. Ülesnne 3.4. (F) Uue lennuki tootmiseks on igsse lennuki tii vj konstrueerid kütusemhuti (joonisel näidtud ls), millesse mhu 4 N kütust tiheduseg 66 N/m 3. Leidke Simpsoni meetodig, kui sügv pe olem kütusemhuti, kui y =.457, y =.488, y =.549, y 3 =.579, y 4 =.6, y 5 = y 6 =.64. 6

8 3.3. Numriline integreerimine * Ühikud on meetrites j lõigu pikkus on siin.348 m. Ülesnne 3.5. (K) Gsi pisumisel cm 3 -st cm 3 -ni tehtv töö rvuttkse integrlig W = 5 V.4 dv Arvuge töö W Simpsoni meetodig n = 6 oslõigu korrl. Ülesnne 3.6. (IT) Rootkäsi on disinitud liikum trjektooril x(t) = t t.3 t 3. y(t) = t +.9 t.7 t 3 Rootkäe poolt esimese sekundig läitud teepikkus rvuttkse vlemig s = [x (t)] + [y (t)] dt. Arvutge läitud teepikkus s Simpsoni meetodig n = 6 oslõigu korrl. Kirjutge progrmm üldise jvhemiku [t, t ] [, ] joks, ksutdes n oslõiku (n on suvline prisrv). Ülesnne 3.7. (M) Teooris on näidtud, et integrli f(x) rvutmisel Simpsoni meetodig tehkse vig ( )5 M 8 n 4, kus M on f neljnd tuletise soluutväärtuse mksimlne väärtus vhemikus (, ). Hinnke mksimlset vig integrli 3 x joks, kui n = 4. Ülesnne 3.8. (M) Arvestdes eelmises ülesndes toodud Simpsoni vlemi jääkliiget, siis leidke vjlik n väärtus, et rvutd integrlid nii, et vig oleks väiksem kui 4. () (x + ) () Ülesnne 3.9. (M) Ve funktsioon (error function) s ds (c) 3 x + (d) sin(x + ) erf(x) = π x e t dt on väg tähtsl kohl tõenäosusteooris, soojuse levimise j näiteks signli levimise uurimisel. Sed integrli s leid vid numriliste meetoditeg. Ksutdes Simpsoni meetodit n = korrl, rvutge erf(). Lõigus [, ] kehti hinnng d4 dt 4 (e t ). Hinnke om rvutustes tehtud mksimlset vig. 6

9 Prktikum 4 Määrtud integrli rvutmine 4. Määrtud integrli omdused, muutujvhetus Omdus 4. f(x) = f(x). (4.) Omdus 4. Aditiivsus f(x) = c f(x) + c f(x). (4.) Omdus 4.3 Integrl sümmeetrilisel lõigul kui f on pritu, siis kui f on pris, siis f(x) =, (4.3) f(x) = f(x). (4.4) Ülesnne 4.. Integreerige, ksutdes määrtud integrli ditiivsuse omdust. () x (c) 3 x(x ) (e) x (x ) () 4 x (d) π/ π sin t dt (f) 3 5 x + x 3 Ülesnne 4.. Arvutge integrlid muutuj vhetuse või diferentsili märgi ll viimise teel. () (x + ) 5 (d) x 3 (x 4 5) 6 (g) x + x + () (c) 3 3x + 4 x x + (e) (f) e, π π/4 ln 5x x sin x cos x (h) x + x

10 4.. Määrtud integrli omdused, muutujvhetus Ülesnne 4.3. Arvutge integrlid märgitud muutuj vhetuseg. () x (x + ) 4, t = x + (c) x, x = sin t () 5 x + 3x, t = + 3x (d) 6x, t = + x ( + x) Integreerige järgmised funktsioonid, võttes integreerimislõiguks funktsiooni mää- Ülesnne 4.4. rmispiirkonn. () f(x) = {, kui x, () f(x) = { cos x, kui x π 4, x, kui < x sin x, kui π 4 < x π Järgnevd prktilisi ülesndeid on soovitv lhendd lles pele järgmise prktikumi ülesnnete lhendmisi. Ülesnne 4.5. (F) Kui molekulid mssig m j kiiruseg v rõhuvd vstu sein, siis seinle vlduv kogurõhk P leitkse vlemig P = mnv π/ sin(θ) cos (θ) dθ, kus n on molekulide rv ühikruumls j θ on molekulide liikumissuun j sein vheline nurk. Lihtsustge P vldis. Ülesnne 4.6. (F) Termodünmiks mõõdetkse korrpärtust entroopig S. Mid suurem on korrpärtus, sed suurem on k entroopi. Entroopi muutus tempertuurivhemikus T kuni T väljendtv vlemig T m C s dt J S = T K, T kus m on keh mss j C s on keh erisoojus. 5 g 8 C-list vett vltkse jää pele. Vee erisoojus on 49 J/(kg K). Milline on vee jhtumise protsessi entroopi muutus? (NB! Ärge unustge teisendd tempertuurid kelviniteks: T(K)=t ( C)+73,5.) Ülesnne 4.7. (K) Olgu K tsklukonstnt CO j H moodustmiseks konstntsel tempertuuril T inetest CO j H O. Termodünmikst on ted vn t Hoff i võrrnd d H ln K = dt R T. Eelddes, et H (termodünmiline potentsil) on tempertuurist sõltumtu, leidke ln K sõltuvus tempertuurist T (s.t. integreerige võrrnd). Võttes H = 4.3 kj/mol, leidke, kui plju muutu ln K, kui tõst tempertuur 5 K-lt 6 K-ni. Siin R 8.3 J/(K mol) on idelse gsi konstnt. Ülesnne 4.8. < > Leidke f(4), kui x f(t) dt = x cos(πx). 63

11 Prktikum 5 Määrtud integrli rvutmine 5. Määrtud integrli ositi integreerimine Vlem 5. Ositi integreerimise vlem u dv = uv v du. Ülesnne 5.. Arvutge integrlid ositi integreerimise teel. () () π π e x sin x ln x (c) (d) / π x x x 3 cos x (e) (f) π e x sin x x rctn x Ülesnne 5.. Arvutge integrlid () () (c) (d) π π (8x 5 + sin x) (x 4 cos x) 5x (4 + x ) x + x 4 (e) (f) (g) (h) π/ ln 3 ln π π sin x cos x e x e x (x+4) x + 8x + 7 x sin x cos x (i) (j) (k) (l) π π/3 π/ 3 e x cos x cos x cos 3 x x + 3 x + 4 x x ( + ln x) Ülesnne 5.3. Olgu f pidev relrvude hulgs. Millised järgmistest võrdustest on õiged suvliste relrvude j korrl? Põhjendge. () f(x) = f(x 3) (c) 3 3 f(x) = 3 f(3x) () f(x) = 3 f(x) 3 f(x)

12 5.. Täiendvid integreerimisvõtteid * 5. Täiendvid integreerimisvõtteid * 5.. Irrtsionlfunktsioonide integreerimine Kui integrlimärgi ll on vldis x, > x, siis või soid muutuj vhetus x = sin θ või x = cos θ. Kui integrlimärgi ll on vldis + x, siis või soid muutuj vhetus x = tn θ või x = cot θ. Kui integrlimärgi ll on vldis x, x >, siis või soid muutuj vhetus x = cos θ või x = sin θ. Ülesnne 5.4. Leidke järgmised integrlid. () 6 x () x (h) 6 (4 x ) 3/ (m) 6 x + x + (c) x 6 x (d) (e) (f) (g) x 36 x 5 x 3 dz z z x 4 x (i) (j) (k) (l) x3 9 + x x 3 x 9 (t dt + 9) 3/ x 6 x (n) 3.5 (o) (p) (q) e dy y 4y 9 x 4 x x x x x + ln x 65

13 Ülesnne 5.5. Kujund on piirtud joonteg y = kujundi pindl. PEATÜKK 5. MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTAMINE x x, x =, x = 5 j y =. Arvutge Ülesnne 5.6. Mntee ärvoolutoru ristlõige on ellipsi x + 9y = 9 kujuline. Arvutge ristlõike pindl (ühikud on meetrites). Ülesnne 5.7. (F) Rootkäe kks liigest liiguvd edsi-tgsi joonel y = 3 ln x punktist x = cm punkti x = 4 cm. Leidke ühenduse pikkus (s.t. joone kre pikkus). Ülesnne 5.8. (F) Elektrileng Q on jotunud piki klit pikkuseg. Elektriline potentsil punktis P, mis su ühiku kugusel kli keskpunktist, võrdu V = kq + x. Siin k on konstnt j x on kugus piki klit. Leidke integrli väärtus. Ülesnne 5.9. Ksutdes muutuj vhetust kujul u = (x + ) /q, leidke järgmised integrlid. () x 3 8 x () x(x 4) /3 (c) x (4x + ) 5/ Ülesnne 5.. < > Msin detili elektriisoltsiooni rõngs on selline keh, mille moodust joonteg y = x x 4, y = j x =.5 piirtud kujundi pöörlemine ümer y-telje. Arvutge rõng ruuml (cm 3 ). 5.. Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Lihtsml juhul tsu proovid trigonomeetrilisi sendusi sin x = cos x, cos x = + cos x. (5.) Ülesnne 5.. Leidke järgmised integrlid diferentsilimärgi ll viimise võtteg või siis vldise teisendmise il. () cos x () sin 3 x cos x (d) cos 5 x (e) 8 cos 4 πx (g) cos x sin x (h) cos x sin 6 x (c) sin 4 x (f) sin x cos 3 x (i) π/4 tn x cos 4 x Ülesnne 5.. (F) Vlguse intensiivsus vldu integrlin I = A / / cos (π(c x)), kus A,, j c on konstndid. Leidke I väärtus ning lihtsustge vldist nii plju kui võimlik. Ülesnne 5.3. (F) Vedeliku voolmisel ümer silindri vlduv tõstejõud L vldu vlemig L = k π ( sin θ + sin θ sin 3 θ) dθ, 66

14 5.. Täiendvid integreerimisvõtteid * kus k, j on konstndid. Leidke L väärtus. Kui integrlimärgi ll on murd trigonomeetrilistest funktsioonidest, siis tööt tihti universlne muutuj vhetus t = tn x, kui x ( π, π). (5.) Sel juhul j x = rctn t, = dt + t, (5.3) sin x = t t, cos x = + t + t. (5.4) Ülesnne 5.4. Leidke järgmised integrlid. () () (c) sin x + sin x cos x + sin x (d) (e) (f) sin x sin x cos x (g) (h) (i) cos x sin x + cos x + sin x cos x Ülesnne 5.5. Proovides sendusi t = sin x, t = cos x või t = tn x, leidke järgmised integrlid. () () sin 3 x + cos x cos3 x 3 + sin x (c) (d) sin3 x + sin x sin x cos x sin 3 x ( cos x) Ülesnne 5.6. (M) < > Leidke järgmised integrlid. (e) tn 3 x (f) + 9 tn x + tn x () 3 sin x + cos x sin x + 3 cos x () sin x + 3 cos x 3 sin x + cos x Ülesnne 5.7. < > Leidke prooli y = x, x [, ] kre pikkus. Ülesnne 5.8. (IT) < > Root on progrmmeeritud läim spirlset trjektoori x(t) = t cos t, y(t) = t sin t, kus t on eg sekundites. Kui pik teekonn läis root j t = j t = vhel? Milline oli rooti keskmine kiirus? 67

15 Prktikum 6 Määrtud integrli rkendusi 6. Kõvertrpetsi pindl Kõvertrpetsi pindl. Üldjuhul S = S = f(x), kui f(x). f(x) g(x). Ülesnne 6.. Leidke järgmiste joonteg piirtud kujundite pindld. () y = 4x, y =, x = () y = x, y = 3 x, x = (c) y = x +, x =, y = 4 (x > ) (d) y = 8 x, y = (e) y = e x, y =, x =, x = (f) y = x, y = x 3 (g) y = 3, y =, x =, x = 3 x (h) y = x, y = 3 x, y = (i) y = x5, x =, x =, y = (j) y = x, y = x /3, x =, x = (k) y = x 4 ( x 3 ) 6. Kõversektori pindl Kõversektori pindl. Pidev mittenegtiivse funktsiooni r(θ) poolt määrtud kõverssektori pindl vldu kui kus θ on nurk rdinides. S = α β r (θ) dθ, Ülesnne 6.. Leidke joonteg r = sin θ (ringjoon), θ = π 4 j θ = π piirtud kujundi pindl. Ülesnne 6.3. Leidke krdioidi r = ( + cos ϕ), ϕ [, π] pindl.

16 6.3. Joone kre pikkus Ülesnne 6.4. Leidke khe ühikringi r = sin θ j r = cos θ poolt piirtud kujundi pindl S. Ülesnne 6.5. Leidke kolmelehelise roosi r = sin 3ϕ pindl. Nurk ϕ [, π 3 ] joonist välj ühe õie. Ks sm tulemuse sksime, kui võrrndiks oleks r = sin 3ϕ? Ülesnne 6.6. Pindl, mis jää krdioidi r = cos θ + sisse, kuid ringist r = cos θ välj, ei võrdu vldiseg π ((cos θ + ) cos θ) dθ = π. Miks? Põhjendge om vstust. Leidke tegelik pindl. 6.3 Joone kre pikkus Vlem 6. Ilmuttud kujul l = + [f (x)]. Vlem 6. Prmeetrilisel kujul l = α β [x (t)] + [y (t)] dt. Ülesnne 6.7. () y = 3 x 3 +, x [, ] () x = y 3/, y 4 (c) y = x x, x Leidke järgmiste joonte märgitud krte pikkused. (d) x = y3 6 + y, y 3 (e) y = ln(sin(x)), < x π Ülesnne 6.8. Ksutge sirglõigu y = 3 x, x, pikkuse leidmiseks kre pikkuse vlemit. Kontrollige om vstust, leides sirglõigu pikkuse kui täisnurkse kolmnurg hüpotenuusi pikkuse. Ülesnne 6.9. Ülesnne 6.. Leidke ringjoone x = r cos(t), y = r sin(t), t [ 5/4π, 9/4π] kre pikkus. Leidke stroidi x = cos 3 t, y = sin 3 t pikkus. Ülesnne 6.. < > Stdionil on kks jooksurd (märgitud joonteg), mis on plneeritud võrrnditeg f (x) =. x, f (x) = 5. x. Sisemise re strt lg punktist ( 5, ). Millisesse punkti tule strdijoon pigutd välisel rjl, kui finiš su x-teljel, jookstkse kellosuti liikumise suuns j läitud distntsid pevd olem mõleml rjl võrdsed? (Integreerimisel või vj minn rvuti i.) 69

17 PEATÜKK 6. MÄÄRATUD INTEGRAALI RAKENDUSI 6.4 Keh ruuml ristlõigete kudu Ruuml ristlõigete pindlde S(x), S(y), S(z) kudu: x y z V = S(x), V = S(y) dy, V = x y z S(z) dz. Ülesnne 6.. Keh setse x-teljeg ristuvte tsndite x = j x = vhel. Ristlõiked on risti x-teljeg ning moodustvd ringid, mille dimeetrite otspunktid suvd proolidel y = x j y = x. Leidke keh ruuml. Ülesnne 6.3. Leidke ruuml kujundile, millel on kolmnurksed ristlõiked j mille kõrgus jälgi joone y = x kuju. Kolmnurkde lused on pikkuseg 4 j vtleme lõiku x [, ]. Ülesnne 6.4. Joonisel on kujuttud kolmnurksete külgedeg pürmiid, mille kolm külge on omvhel risti ning mille servde pikkused on 3, 4 j 5. Leidke pürmiidi ruuml. Ülesnne 6.5. Kks võrdse rdiuseg silindertoru ristuvd. Leidke silindrite lõikumisel tekkiv kujundi (mõlem silindri ühisos) ruuml. Ülesnne 6.6. (F) Kirjeldge mõnd prktilist viisi, kuids mõõt teie käe ruuml (sõrmedest küünrnukini). 6.5 Pöördkeh ruuml Pöördkeh ruuml vstvlt pöörlemisele ümer x- j ümer y-telje: x y V = π f (x), V = π x y f (y) dy. Ülesnne 6.7. Leidke ruumld, mis tekivd järgmiste joonteg piirtud kujundite pöörlemisel ümer x-telje. () y = x, y =, x = 3 (d) y = x 4, x =, y = () y = x, x =, y = (c) y = x +, y = x + (e) y = cos x, x π, y = (f) xy =, y =, x =, x = 3 Ülesnne 6.8. Leidke pöördkoonuse ruuml. Koonus teki sirge y = x ( > ) pöörlemisel ümer x-telje j on kõrguseg h >. 7

18 6.6. Määrtud integrli rkendusi füüsiks* Ülesnne 6.9. Leidke ruumld, mis tekivd järgmiste joonteg piirtud kujundite pöörlemisel ümer y-telje. () y = x /3, x =, y = () y = x, y =, x = 3 (c) y = 3 x, x =, y = 3 (d) y = x, y = 5, x = (e) y = 4 x, I veernd (f) y = 8 x 3, x =, y = Ülesnne 6.. Kerkujulisest kõrvitsst rdiuseg cm vlmistti kneg num, lõigtes är poole rdiuse kõrgune os ning uuristdes ülejäänu tühjks. Mitu liitrit vedelikku mhu sdud numsse, kui kõrvits koore pksus oli cm? Ülesnne 6.. Portselnist vs tehkse selliselt, et prooli y = x j sirge y = x + vhele jääv pind pöörle ümer x-telje (x > ). Arvutge vjminev portselni kogus. Ülesnne 6.. Poolkerkujuline kuss rdiuseg R täidetkse veeg kõrguseni h. Leidke kusis olev vee ruuml. Ülesnne 6.3. < > Olgu kks ringsilindrit põhjrdiusteg j ( > > ). Lõigku need kks silindrit üksteist täisnurg ll (teljed lõikuvd). Näidke, et siis mõlem silindri ühise os ruuml vldu vlemig V = 8 z z dz. Leidke konkreetne ruuml, kui 4 cm rdiuseg silindrist puuritkse risti välj cm rdiuseg uk (integreerimine ise või vjd rvuti i). 6.6 Määrtud integrli rkendusi füüsiks* 6.6. Teepikkus Vlem 6.3 Olgu s sirgjooneliselt liikuv keh poolt läitud teepikkus j s nihe (kugus lgpunktist). Siis t t s = v(t) dt, s = v(t) dt. (6.) t t Ülesnne 6.4. Lennuk lend tugevnevs vstutuules kiiruseg v = 5( t) km/h. Kui kugele jõu lennuk om lgpunktist khe tunnig? Ülesnne 6.5. Rongi kiirus v (m/s) ltes pidurdmise lgusest on ntud vlemig v(t) = 4 t. Leidke rongi pidurdusteekond (pidurdmise lgusest seiskumiseni). Ülesnne 6.6. Rlliuto kiiruslegend ütle, et kõigepelt tule liikud 6 minutit kiiruseg v(t) = t t km/h, seejärel hoid svuttud kiirust minutit ning siis eglustd kiiruseg 9 9t km/h (siin eg on hktud lugem pidurduse lgusest). Kui kugele on rlliuto esimese 4 minutig jõudnud? Ülesnne 6.7. Eelmisel õhtul jõulupeolt tulnud tudeng näe jõuluvn, kes liigu sirgel rjl kiiruseg v(t) = t 3 6t + 8t m/s 4 meetri kugusel olev postksti poole. Kui pik vhem läi jõuluvn 6 sekundi jooksul? Ks t jõu selle jg postkstini? 7

19 PEATÜKK 6. MÄÄRATUD INTEGRAALI RAKENDUSI Ülesnne 6.8. t jooksm kiiruseg Postiljon seis postksti juures ning märk suurt koer, mille pele hkk v = t + v, t 4, v = const, 4 < t. () () Avldge postiljoni poolt läitud teepikkus s j kiirus v esimese nelj sekundi joks kiirenduse kudu. Leidke kiirendus kui on ted, et sekundi jooksul läis postiljon 56 meetrit. Ülesnne 6.9. Lngevrjurid A j B suvd 95 m kõrgusel lendvs helikopteris. Lngevrjur A hüpp esimesen, vdes lngevrju 4 sekundit pärst hüpet. Seejärel tõuse helikopter 3 m kõrguseni. Lngevrjur B hüpp 45 sekundit A-st hiljem, vdes lngevrju 3 sekundit pärst hüpet. Mõlemd hüppjd lngevd vtud lngevrjudeg ühtlsel kiirusel 5 m/s. Jätme lihtsuse mõttes õhutkistuse rvestmt. () Millisel kõrgusel vne A lngevri? (c) Kum lngevrjur mndu esimesen? () Millisel kõrgusel vne B lngevri? Ülesnne 6.3. Oske lust liikumist punktist s() = 9 j liigu kiiruseg v(t) = t 8 (t + ), t 5. Leidke läitud teepikkus j kui kugele lgpunktist oske liikus Kiirus j kiirendus Ülesnne 6.3. Võõrkeh sttumisel verre luukse konkreetses mudelis orgnismi kitseks ntikehi kiiruseg r(t) = t tuht ntikeh minutis. Leidke ntikehde rv 5 minutit pärst võõrkeh t + sttumist verre, kui lghetkel ntikehi ei ole. Ülesnne 6.3. (F) Õhupll tõuse õhku kiiruseg 4 m/s. Leidke õhupllilt ll vistud liivkoti kiirus.5 sekundi pärst selle lhti lskmist. Ülesnne Suustj - ilmselt mitte meie om - lsku mäest kiirenduseg = 6t (6 +.5t ) m/s. Leidke suustj kiirus v j t funktsioonin, kui v() =. Ülesnne Auto (eglustv) kiirendus vrii korrl on 5 m/s (mksimlne lutud kiirendus, et inimene võiks ellu jääd). Kui uto sõid kiiruseg 96 km/h, siis millise vhem vältel pe vnem õhkpdi, et viimsest midgi k ksu oleks? Ülesnne Mntee ehitmiseks tule plneerid kõrvlteelt peteele sõitmiseks kiirendusrd. Leidke minimlne kiirendusrj pikkus, kui kiirendusrjle sõidetkse kiiruseg 5 km/h j sekundig tule rj lõpus svutd kiirus 95 km/h. 7

20 6.6. Määrtud integrli rkendusi füüsiks* Ülesnne (F) Vooluhelt läi vool tugevuseg i = t t + A. Ahel sisld veel ldimt kondenstorit mhtuvuseg. µf. Kui plju võt eg, et pinge kondenstoris V = C i dt jõuks voldini? Siin C on kondenstori mhtuvus frdites. Ülesnne Lennuki ktpult või lendurile nd khe sekundig kiiruseks 6 km/h. Leidke, mitu g = 9.8 m/s väärtust on sel juhul lenduri keskmine kiirendus. Ülesnne (IT) Arvuti riistvr usldtvuse R (protsentides) muutumise kiirus vldu vlemig dr dt =.5(.5t + ).5, kus t on eg tundides. Leidke R khe ööpäev joks, kui R() =. Ülesnne (Mj) Kui eeldd, et K(t) tähist firm kpitli ning I(t) investeeringute muutumise kiirust, siis kehti vlem K = t t I(t) dt. Leidke firm kpitli muut K jperioodil t 8, tedes et, investeeringute muutumise kiirus llu seduspärsusele I(t) = t. Ülesnne 6.4. Rudteejmst väljuv elektrirong liigu esimese tunni jooksul kiiruseg v(t) = 9t t 3 km/h, kus t on rongi liikumise eg tundides. Arvutge elektrienergi kulu W (kwh) esimese sõidutunni jooksul, kui W (T ) = T ((t) + )v(t) dt Töö Vlem 6.4 Mööd x-telge punktist x = punkti x = liikumissuuns muutuv jõu F (x) poolt tehtv töö vldu vlemig W = F (x). (6.) Hooke i sedus ütle, et vedru normlpikkusest x ühikut välj venittud või kokkusurutud sendis hoidmiseks vjminev jõud on võrdeline pikkuseg x: F = k x. Prmeeter k on vedru krkteristik, mid mõõdetkse jõuühikutes pikkusühiku koht j mid nimettkse k vedrukonstndiks. 73

21 PEATÜKK 6. MÄÄRATUD INTEGRAALI RAKENDUSI Ülesnne 6.4. (F) Kui plju tehkse tööd vedru kokku surumisel.5 m võrr, kui konstnt k = 6 N/m? Ülesnne 6.4. (F) New York City Trnsit Authority metroovguni spirlvedrustuse kokkusurumiseks, normlkõrgusest cm kuni täielikult kokkusurutud kõrguseni cm, on vj jõudu N. () Leidke vedrukonstnt. () Kui plju tööd kulu vedrustuse kokkusurumiseks teise sentimeetrini (siis vedru on 4 cm pikk)? kolmnd sentimeetrini? Ümrdge vstus lähim (N cm)-ni. Ülesnne (F) Elektronil on negtiivne leng.6 9 C. Kui plju tehkse tööd khe elektroni erldmisel meetrilt 4 meetrini? Khe elektroni vhel mõjuv jõud vldu vlemig F (x) = k q q x, kus k = 9 9, q j q on oskeste lengud j x nende vheline kugus. Ülesnne (F) Kui oske mssig m su punktis (x, ), tõmmtkse ted nullpunkti poole jõug, mille moodul on k/x. Kui oske lust sendist x = j tlle ei mõju ükski teine jõud, siis leidke tehtud töö hetkel, mil oske jõu sendisse x =, < <. Ülesnne (F) Mägironij sikut üles 5 m pikkust rippuvt köit. Kui plju tööd selleks kulu, kui köis klu.64 N/m? Ülesnne (F) Lift mssig 68 kg on kinnittud trosside ots, mille mss ühe meetri koht on 8 kg. Leidke, kui plju tehkse tööd, tõstes lifti keldrikorruselt teisele korrusele (kokku 7 m). Ülesnne (F) Liivkotti, mis lgselt klus 64 N, tõsteti üles ühtlsel kiirusel. Tõstmise käigus pudenes liiv kotist välj smuti ühtlsel kiirusel. Hetkel, mil kott tõsteti 5 m kõrgusele, oli kotist kdunud pool liivkogust. Kui plju tööd tehti liivkoti tõstmiseks sellisele kõrgusele? (Jätke rvestmt koti end ning tõstmisvrustuse kl.) Ülesnne (K) integrlig Idelse gsi kokku surumisel või pisumisel tehtv töö rvuttkse W = V V P dv, kus P = n R T on rõhk j V on gsi ruuml. Liikuv kolvig silindri läimõõt on cm j pikkus V 8 cm. Silindris on gs g/cm rõhu ll. Arvutge töö, mis kulu konstntsel tempertuuril T selle gsi kokkusurumiseks kuni ruuml khekordse vähenemiseni. Siin n j R on konstndid Mssikese Olgu R tsndiline kujund, mis jää khe funktsiooni f j g grfiku vhele, kus f(x) g(x) ig x [, ] korrl. Sel juhul homogeense pinn R mssikese su punktis (x, y), kus x = S x (f(x) g(x)), y = S (f (x) g (x)), (6.3) kus S on pinn R pindl S = (f(x) g(x)). Ülesnne Veetmmi värv on võrdhrse trpetsi kujuline, kus pikim lus on m, lühim lus m j kõrgus on 6 m. Leidke värv mssikeskme koordindid. 74

22 6.6. Määrtud integrli rkendusi füüsiks* Ülesnne 6.5. Arvutge järgmiste joonteg piirtud kujundite mssikeskmed. () y = 4 x, x =, y = () y = x 3, x =, y = (c) y = 4x, y = x 3 (d) y = x, y =, x = (e) y = (x + ), y = 3x +, y = 8 (f) y = x /3, x = 8, y = (g) y = 4 x, x =, y = 4 (h) y = x, y =, x = 9 (i) x = 4py, y =, kus p > j > Ülesnne 6.5. (F) Leidke poolker mssikese, kui poolker rdius on R. Arvestdes sed, rvutge M põhjpoolker mssikese, kui R = 637 km. Ülesnne 6.5. (F) Ellipsoidist tehtud lääts on keskelt xy-tsndig läi lõigtud. Leidke läätse mssikeskme koordindid, kui poolellipsoidi lus on ring rdiuseg 5 cm j kõrgus nullpunktis on cm (s.t. ellipsoidi poolteljed on 5, 5 j ). Ülesnne < > Õhukesele metllpldile pindlg S j konstntse tiheduseg ρ vst xy-tsndil piirkond R. Olgu M y pldi moment y-telje suhtes. () () Näidke, et pldi moment sirge x = suhtes on M y ρs, kui plt su sirgest preml. Näidke, et pldi moment sirge x = suhtes on ρs M y, kui plt su sirgest vskul. 75

23 Prktikum 7 Pärtud integrlid 7. Lõpmtute rjdeg integrlid Definitsioon 7. Eksisteerigu M f(x) ig M [, ) korrl. Pärtu integrl piirkonns [, ) defineeritkse seoseg f(x) = lim M M f(x). (7.) Definitsioon 7. Eksisteerigu M f(x), ig M (, ] korrl. Pärtu integrl piirkonns (, ] defineeritkse seoseg f(x) = lim M M f(x). (7.) Definitsioon 7.3 Kui mõlemd rjd on tõkestmt, siis pärtu integrl defineeritkse järgmiselt: f(x) = c f(x) + c f(x), kus c R on vlt vlitv. Ülesnne 7.. () () (c) (d) (e) (f) (x + ) x + x. x α, α R x 3 + x 5 x 3 + x 4 Leidke pärtud integrlid (kui need koonduvd). (g) (h) (i) (j) (k) (l) x (x + 4) 3/ e x/ e x xe x cos x e x cos x (m) (n) (o) (p) (q) (r) x ln n x, n N ln x x x x + x + 4x + 9 ( + x )( + rctn x) x +

24 Prktikum 8 Pärtud integrlid 8. Integrlid tõkestmt funktsioonist Definitsioon 8. Olgu funktsioon f tõkestmt punkti ümruses j eksisteerigu M f(x) ig M [, ) korrl. Pärtu integrl lõigus [, ] defineeritkse seoseg f(x) = lim M M f(x). (8.) Definitsioon 8. Olgu funktsioon f tõkestmt punkti ümruses j eksisteerigu f(x), M ig M (, ] korrl. Pärtu integrl lõigus [, ] defineeritkse seoseg f(x) = lim M + M f(x). (8.) Definitsioon 8.3 Kui funktsioon f on tõkestmt punktis c (, ), kuid pidev piirkonns [, c) (c, ], siis pärtu integrl defineeritkse järgmiselt: f(x) = c f(x) + c f(x). Ülesnne 8.. Leidke pärtud integrlid (kui need koonduvd). () x (f) x (k) x.999 (p) x + x + x () (c) (d) (e) 8 x x 3/ x /3 x (g) (h) (i) (j) 3 4 x + x 3 8 (x ) 4/5 x + 4 x x (l) (m) (n) (o) e ln x x ln n x x, n N x ln n x, n N x (q) (r) (s) (t) π π/ 4x x 4 x x tn x cos x sin x

25 PEATÜKK 8. PÄRATUD INTEGRAALID 8. Pärtute integrlide rkendusi Definitsioon 8.4 Kui x on pidev juhuslik suurus, siis tõenäosus, et x su rvude j vhel, defineeritkse integrlig P ( x ) = p(x), (8.3) kus funktsioon p on pidev juhusliku suuruse x tihedusfunktsioon või k lihtslt tihedus. Definitsioon 8.5 Pidev juhusliku suuruse keskväärtuseks j dispersiooniks nimettkse suurusi j σ(x) = E(x) = x p(x) (8.4) (x E(x)) p(x). (8.5) Signlitöötluses ksuttkse jst sõltuv signli f(t) joks Fourier tei- Ülesnne 8.. (F) sendust F (σ) = f(t) e iπσt dt, kus σ on sgedus hertsides. Niimoodi setkse signlile f vstvusse tem spekter, kus ig sgeduse σ Hz joks vst võnkumise mplituud F (σ) j fs rg(f (σ)). Olgu signliks f(t) = { e t, kui t [, ), kui t (, ). Leidke selle signli Fourier teisendus F (σ) suvlise relrvulise sgeduse σ joks. Ülesnne 8.3. (F) Füüsiks ksuttkse diferentsilvõrrndite lhendmiseks Lplce i teisendust L(x) = f(t) e xt dt. Leidke funktsioonide f(t) = sin t j f(t) = cos t Lplce i teisendused. Ülesnne 8.4. (F) Lmi eluig on eksponentsilse jotuseg, keskmise elueg töötundi: p(t) = e t/, t. Milline on tõenäosus, et lmi eluig on suurem kui töötundi? Ülesnne 8.5. (IT) Juhuslikult lõigust [, ] rvu vlimisele vst ühtlne jotus p(t) = {.5, t [, ],, t [, ]. Leid ühtlse jotuse keskväärtus j tõenäosus, et vlides n {, 5, } juhuslikku rvu lõigust [, ], nende rvude keskväärtus x kuulu lõiku [.5,.5]? Vihje: keskväärtuse tõenäosus jotu normljotuseg, mille keskväärtus on leitud µ ning stndrdhälve on σ = σ/ n: p(x) = σ π e /(x µ) /σ. Ülesnne 8.6. IQ testide tulemused on tvliselt jotunud normljotuseg p(x) = σ (x µ) π e σ, kus keskväärtus µ = j stndrdhälve σ = 5. Leidke (rvuti ig), mitmel protsendil elnikkonnst on mudeli järgi IQ vhemikus 85 kuni 5. Mitmel % elnikkonnst on IQ suurem kui 4? 78

26 Prktikum 9 Vektorid 9. Vektorite sklrkorrutis Definitsioon 9. Olgu x = (x, y, z ), y = (x, y, z ) j ϕ = ( x, y) vektorite x j y vheline nurk. Vektorite x, y E sklrkorrutiseks nimettkse rvu x y = x y cos ϕ = x x + y y + z z. Vektori x pikkus: x = x + y + z. Ülesnne 9.. Arvutge vektorite j sklrkorrutis. () = 8, = 6, ϕ = π/3 (d) =, =, (, ) = 35 () =, = 3, + = 4 (c) = 4, =, = (e) = 3, =, (f) = 3, =, Ülesnne 9.. Arvutge vektorite j sklrkorrutis. () = (; 3), = (4; ) (c) = (7; 4; ), = (3; ; ) () = (; 3; ), = (4; ; 5) (d) = (; ; ), = ( ; 6; ) Ülesnne 9.3. Arvutge sklrkorrutis. () () = (α ; β ; γ ), = (β + ; γ + ; α + ), α, β, γ R = 3 i + j k, = i 4 j 5 k, kus i, j, k on prikup ristuvd ühikvektorid Ülesnne 9.4. Vektorid, j c moodustvd prikup nurgd 6. Leidke vektori p = + + c pikkus, kui = 4, = j c = 6. Ülesnne 9.5. Leidke koordinttelgedel punktid, mis setsevd punktidest A(; ) j B(3; 7) võrdsel kugusel. Ülesnne 9.6. Millist tingimust pevd rhuldm punkti M(x; y) koordindid, et see punkt setseks võrdsetel kugustel punktidest A(7; 3) j B( ; )? Ülesnne 9.7. Näidke, et vektorid = i + j + k j = ( i j k) soivd mingi ruudu külgedeks, kui i, j j k on prikup ristuvd ühikvektorid. Ülesnne 9.8. (F) Jõud P j Q, mis mõjuvd nurg ll, on rkendtud ühte punkti. Leidke resultntjõu R rvväärtus R, kui P = 7 j Q = 4.

27 PEATÜKK 9. VEKTORID 9. Vektorite vheline nurk Vektorite vhelise nurg koosinus vldu sklrkorrutise vlemi kudu: x y cos ϕ = x y = x x + y y + z z x + y + z x + y +. z Vektori projektsioon vektorile on pr =. Ülesnne 9.9. Ksutdes sklrkorrutise vlemit, leidke vektorite CA j CB vheline nurk. () A(5; 3), B(4; 8), C(; 4) (c) A(; ; 4), B(; 6; 8), C(; ; 6) () A( ; 6; 7), B( 4; 5; 5), C( 3; ; ) (d) A(; 4; 3), B(; 5; 3), C(5; ; ) Ülesnne 9.. Ksutdes sklrkorrutise vlemit, leidke, millised khest ntud vektorist on risti, kollinersed, moodustvd tervnurg või nürinurg. () = (; 7); = (5; ) (c) = (; ; 8); = (7; ; ) () = (4; 6; ); = ( 6; 4; 8) (d) = (5; 3; ); = (; 3; 4) Ülesnne 9.. Arvutge vektori projektsioon vektorile. () = (; 5); = (3; 4) () = (4; 5; 7); = ( 3; ; 4) (c) = (; ; 3); = (7; ; 4) (d) = (; 3; ); = (4; 3; ) Ülesnne 9.. = 5 m 4 n on risti? Milline on ühikvektorite m j n vheline nurk, kui vektorid = m + n j Ülesnne 9.3. Kolmnurg ABC tippudeks on A( ; ; 4), B( 4; ; ) j C(3; ; ). Leidke tipu B juures olev sisenurk. Ülesnne 9.4. Leidke kuui digonli j kuui ühe külje digonli vheline nurk. Ülesnne 9.5. < > Tõestge, et suvlise khe vektori x, y E 3 joks kehti smsus ( x + y) ( x + y) + ( x y) ( x y) = ( x + y ). Mis on selle smsuse geomeetriline tähendus? 8

28 9.3. Vektorite vektorkorrutis 9.3 Vektorite vektorkorrutis Definitsioon 9. Vektorite x, y E 3 vektorkorrutiseks nimettkse vektorit x y E 3, mis on määrtud tingimusteg: ) x y = x y sin ( x, y), ) ( x y) x, ( x y) y, 3) kolmik { x, y, x y} on prem käe kolmik. Vektorkorrutise rvutmine koordintkujul x y = y z y z, x z x z, x y x y, kus x = (x ; y ; z ), y = (x ; y ; z ). Vektoritele x j y ehittud rööpküliku pindl on S x, y = x y. Ülesnne 9.6. Arvutge. () = 3, = 4, (, ) = 6 () = 7, = 5, = (c) = 3, = (d) Ülesnne 9.7. Olgu = (; 3; ), = (5; ; ), c = (; ; ). Leidke vektorid, c, (3 ) ( + 5 ). Ülesnne 9.8. Millisel rvu α väärtusel on vektorid p = α + 5 j q = 3 kollinersed, kui j ei ole kollinersed? Kolmnurg ABC pindl on võrdne pooleg küljevektorite vektorkorrutise pikkusest S ABC = AB AC = y y z z + z z x x + x x y y, y 3 y z 3 z z 3 z x 3 x x 3 x y 3 y kus A(x, y, z ), B(x, y, z ), C(x 3, y 3, z 3 ). Ülesnne 9.9. Leidke vektorkorrutise il kolmnurg ABC pindl. () A(4; ; 4), B(6; 3; 7), C(; 3; ) (c) A(; 3; ), B(4; 5; ), C(3; 4; ) () A(; 5; ), B(; ; ), C( 3; 4; 5) (d) A( ; ), B(; ; ), C( 3; ) Ülesnne 9.. Leidke vektoreile = m n j = 3 m + n ehittud kolmnurg pindl, kui m = n = 6 j ( m, n) = 45. Ülesnne 9.. Näidke, et vektorid = i + j j = i j soivd mingi kuui servdeks ning leidke selle kuui kolmndt serv määrv vektor, kui i j j on ristuvd ühikvektorid. Ülesnne 9.. Vektor x on risti vektoriteg = (; 3; ) j = (; ; 3) ning moodust esimese sivektorig i nürinurg. Leidke vektori x koordindid tedes, et x = 38. 8

29 PEATÜKK 9. VEKTORID Ülesnne 9.3. On ntud vektorid = (; ; ) j = (4; ; 3). Leidke ühikvektor c, mis on risti vektoriteg j ning on suuntud nii, et kolmik {,, c} on prem käe kolmik. Ülesnne 9.4. < > Näidt, et et suvlise kolme vektori x, y, z E 3 korrl x ( y z) = ( x y) z ( x z) y. 9.4 Kolme vektori segkorrutis Definitsioon 9.3 Vektorite x, y, z E 3 segkorrutiseks x y z nimettkse rvu x y z = ( x y) z. Vektorite x = (x ; x ; x 3 ), y = (y ; y ; y 3 ), z = (z ; z ; z 3 ) segkorrutise rvutmise vlem x y z = x y z x y z x 3 y 3 z 3 Vektoritele x, y, z ehittud rööpthuk j tetreedri ruumld vlduvd vstvlt vlemiteg V x, y, z = x y z, V tetr( x, y, z) = 6 x y z.. Ülesnne 9.5. Vektorite kolmik {,, c} on vsku käe kolmik. Arvutge c. () = ( 3; 4; 7), = (; ; 5), c = (; 4; 5) () = 4, = 3, c = 5, c, c, (, ) = 5π 6 (c) =, = 4, c = 3 ning vektorid,, c on prikup risti Ülesnne 9.6. Tetreedri tipud on A(; ; ), B(5; 5; 4), C(3; ; ) j D(4; ; 3). Leidke selle tetreedri ruuml j tipust D tõmmtud kõrgus. Ülesnne 9.7. Tetreedri ruuml V = 5 j kolm tippu on A(; ; ), B(3; ; ) j C(; ; 3). Leidke y-teljel suv neljnd tipu D koordindid. Ülesnne 9.8. Tõestge, et punktid A(; ; ), B(; ; 5), C( ; ; ) j D(; ; 3) setsevd sml tsndil. Ülesnne 9.9. < > Tõestge, et suvlise kolme vektori x, y, z E 3 korrl ( x y) z = x ( y z). 8

30 Prktikum Sirge j tsndi võrrndid. Tsndi võrrnd Definitsioon. Tsndi π üldvõrrndiks nimettkse tsndi võrrndit kujul Ax + By + Cz + D = (A, B, C, D R), kui n = (A; B; C) on selle tsndi normlvektor. Tsndite π j π vheline nurk: cos (π, π ) = n n n n, kus n, n on vstvlt tsndite π j π normlvektorid. Tsndi normlvektor n = u v, kui u j v on tsndil suvd mittekollinersed vektorid. Punkti P (p ; p ; p 3 ) kugus tsndist π: d(p, π) = Ap + Bp + Cp 3 + D A + B + C. Ülesnne.. Koostge tsndi π võrrnd. () tsnd π on prlleelne x-teljeg ning läi punkte A(3; ; ) j B(4; 6; ) () tsnd π on prlleelne y-teljeg ning läi punkte C(3; 4; ) j D(7; 5; 3) (c) tsnd π on prlleelne z-teljeg ning läi punkte E( ; ; 3) j F (; 3; 4) Ülesnne.. Koostge punkte A, B, j C läiv tsndi võrrnd. () A(; ; ), B(; 4; ), C(3; ; ) () A( 3; 6; 7), B( ; 7; 6), C( 7; 3; 8) (c) A(3; ; ), B(4; ; ), C(; ; ) Ülesnne.3. Koostge tsndi π võrrnd. () tsnd π on risti vektorig n = (; 3; 5) ning tem pliktlõik on 6 () tsnd π on risti vektorig n = ( ; 4; 7) ning tem ordintlõik on 3 (c) tsnd π on risti vektorig n = (4; ; 3) ning tem stsisslõik on 5 Ülesnne.4. Kontrollige, ks tsnditel 5x z + 3 =, x y 4z + 5 =, 3y + z = j 3x + 4y + 5z 3 = on ühiseid punkte. Ülesnne.5. Leidke tsnd, mis on prlleelne tsndig x y + 3z 7 = ning läi punkti A(; ; ).

31 PEATÜKK. SIRGE JA TASANDI VÕRRANDID Ülesnne.6. Leidke tsndi Ax + By + Cz + D = j koordinttsndite vhelised nurgd. Ülesnne.7. Arvutge järgmiste tsndite vhelised nurgd. () π x + 4y z + 5 = j π 7x + 3y z + = () xz-tsnd j π 3y 3z + 5 = (c) π 6x 3y + z 3 = j π x 5y + z = Ülesnne.8. Leidke tsnd, mis läi tsndite 3x y + z 3 = j x z = lõikesirget ning on risti tsndig x y + z + 5 =. Ülesnne.9. Leidke tsnd, mis läi tsndite x + 5y + z = j x z + 4 = lõikesirget ning moodust tsndig x 4y 8z + = nurg π 4. Ülesnne.. Arvutge punkti P kugus tsndist π. () P (; ; ) j π x + y + z = () P on koordintide lguspunkt j π 5x y + 6z 9 = (c) P (; 8; 5) j π x y z = Ülesnne.. < > Leidke tsnd, mis koosne sellistest punktidest, mis on punktidest A(; ; ) j B(; ; ) ühekugusel. Ülesnne.. < > Kontrollige, ks tsndid z = x + y + j 3x + 6y 3z = 4 on prlleelsed. Leidke nende tsndite vheline kugus.. Sirge võrrnd ruumis Definitsioon. Sirge knoonilisteks võrrnditeks nimettkse sirge s võrrndeid kujul x s = y s = z 3 s 3, kus sirge s läi punkti A(,, 3 ) j sirge sihivektor on s = (s, s, s 3 ). Sirge s j tsndi π vheline nurk: sin (s, π) = s n s n, kus s j n on vstvlt sirge s sihivektor j tsndi π normlvektor. Khe mitteprlleelse tsndi π j π ühisosks on sirge { π A x + B y + C z + D =, π A x + B y + C z + D =. Ülesnne.3. Kolmnurg ABC tippudeks on A(; ; 3), B(; 4; 5), C(; 4; 5). Koostge selle kolmnurg külgede poolt määrtud sirgete võrrndid. Ülesnne.4. Koostge punkti P ( 3; 4; 7) läiv sirge s knoonilised võrrndid. 84

32 .. Sirge võrrnd ruumis () sirge s on prlleelne x-teljeg () sirge s sihivektor on s = (3; ; 4) (c) sirge s on prlleelne z-teljeg (d) sirge s on prlleelne sirgeg t x y = z 8 = Ülesnne.5. Koostge sirge s knoonilised võrrndid, kui sirge s läi punkti P (; 3; 4) j 3x + 7y z + 4 = on prlleelne sirgeg t { x 6y + 7z 3 =. Ülesnne.6. Leidke tsndi x 3y + 4z 5 = j xz-tsndi lõikesirgel kõik need punktid, mis suvd tsndist x + y z + 3 = kugusel 6 ühikut. Ülesnne.7. Leidke sirge j tsndi vheline nurk. Juhul, kui sirge j tsnd lõikuvd, leidke nende lõikepunkt. () x 4 = y 9 3 = z, 3x + 5y z = () x + = y 3 = z, 3x 3y + z 5 = 4 3 Ülesnne.8. < > Koostge sirgeid s x tsndi võrrnd. (c) { 3x + 5y 7z + 6 = x y + z 6 = = y + = z 3 j t Ülesnne.9. < > Leidke punkti P (; ; 3) kugus sirgest s x x = y 4 = y 3 = z 5., 5x z 4 = = z läiv 85

33 Prktikum Kontrolltöö nr. 3. Määrtud integrl. Newton i-leiniz i vlem.. Asoluutväärtust sisldvd vldised. 3. Sümmeetrilised rjd. 4. Ositi integreerimine j muutuj vhetuse võte.. Määrtud integrli rkendused. Tsndilise kujundi pindl leidmine (kõvertrpets, kõversektor).. Joone kre pikkuse rvutmine lihtsml juhul. 3. Keh ruuml leidmine ristlõigete pindlde kudu, pöördkeh ruuml. 4. Läitud teepikkus j nihe (sirgjoonelisel liikumisel). Kõversektor tule koos jooniseg. Töösse ei tule füüsiklisi rkendusi (töö, jõud vedelikes, mssikeskmed), kus integrli peks ise kokku hkkm pnem. 3. Pärtud integrlid. Pärtud integrlid lõpmtute rjde korrl.. Pärtud integrlid lõigus ktkev funktsiooni korrl. 4. Geomeetri. Vekorite sklrkorrutis, nurk khe vektori vhel.. Vektorkorrutis, segkorrutis. 3. Tsndi j sirge võrrndite koostmine ruumis. 4. Tsndite j sirgete vststikused sendid (nurgd nende vhel). Punkti kugus kugus tsndist.

34 Prktikum Kompleksrvu erinevd esitusviisid. Kompleksrvu lgerline kuju Kompleksrvu lgerline kuju: z = + i. Kskompleksrv: z = i. Moodul: z = +. Ülesnne.. () 3 i Kujutge komplekstsndil järgmised kompleksrvud. (c) i (e) 7j, j = (g) i () + i (d) 3 + 4i (f) i (h) i 3 Ülesnne.. Leidke kõikvõimlikud relrvud x j y, mille korrl () ix + 3 = y i () x y + ixy = + ix Ülesnne.3. Leidke kompleksrvu moodul. () 4 (c) i + (e) 4 + 3i (g) 6 3 6i () i + (d) + i 3 (f) i 3 (h) i 3 Ülesnne.4. Kujutge komplekstsndil kõik kompleksrvud, mis rhuldvd ntud tingimusi. () z = 3 () z 3 (c) z = (d) Re (z ) = 4 Ülesnne.5. () z = i Kirjutge lgerlisel kujul z = + i (f) z = ( + i) 8 () z = i 5 + i + (c) z = i + i + i 3 + i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i 8 (d) z = i 43 + ( ) 7 ( i) 77 (e) z = i 7 i (g) z = + i i 3 i + i + 3i (h) z = ( i3 ) 4 (i 8 i 6 ) 3 + i

35 PEATÜKK. KOMPLEKSARVU ERINEVAD ESITUSVIISID. Tehted kompleksrvudeg... Tehted lgerlisel kujul. Liitmine j lhutmine. Olgu z = + i j z = c + di. Siis z + z = ( + c) + ( + d) i; z z = ( c) + ( d) i. Korrutmine. Olgu ntud kompleksrvud z = + i j z = c + di. Siis z z = (c d) + (d + c) i. Jgmine. Olgu ntud kompleksrvud z j z. Siis z z = z z z z = z z z. Ülesnne.6. Leidke rvude z j z summ, vhe, korrutis, jgtis, moodulid j kskompleksid. () z = 3, z = 4 i (e) z = 7 i, z = i () z = i, z = + i (c) z = + i, z = 3 + i (d) z = 5 i, z = 3 + i (f) z = 4 i, z = 7 4 i (g) z = + 3 i, z = +3 i (h) z = +i i, z = i.. Kompleksrvu trigonomeetriline j eksponentkuju Definitsioon. Avldist z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (.) Definitsioon. Olgu z = + i, θ = rctn. Siis kompleksrvu z rgument ϕ leitkse järgmiselt: nimettkse kompleksrvu z trigonomeetriliseks kujuks. Relrv r on kompleksrvu z moodul z. Relrvu ϕ nimettkse k kompleksrvu z rgumendiks j tähisttkse ϕ = rg(z). Vlem. Trigonomeetrilisi funktsioone j eksponentfunktsiooni seo Euler i vlem e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ. (.) Definitsioon.3 Kompleksrvu z eksponentkujuks nimettkse järgmist esitust: z = r e i ϕ, (.3) kus r on kompleksrvu moodul j ϕ on rgument rdinides. Ülesnne.7. Teisendge kompleksrv z lgerlisele kujule z = + i ning eksponentkujule. 88

36 .. Tehted kompleksrvudeg. () z = cos 6π + i sin 6π () z = 4 (cos π 6 + i sin π 6 ) (c) z = 8 (cos + i sin ) (d) z = 3 (cos 5π i sin 5π ) Ülesnne.8. Kirjutge nii trigonomeetrilisel kui k lgerlisel kujul + i. () e i π () 64 e i (c) e i (d) e i π 3 (e) e i π 4 e i π 4 (f) e i π 4 e i 3π 4 (g) e (i+)i (h) ei e i e i +e i Ülesnne.9. Esitge ülesndes.6, )-d) ntud j sdud kompleksrvud nii trigonomeetrilisel kui k eksponentkujul...3 Tehted trigonomeetrilisel j eksponentkujul Omdus. Olgu ntud kks kompleksrvu trigonomeetrilisel kujul ning eksponentkujul z = r (cos ϕ + i sin ϕ ), z = r (cos ϕ + i sin ϕ ); z = r e i ϕ, z = r e i ϕ. Siis korrutmisel moodulid korruttkse j rgumendid liidetkse: z z = r r [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] ; z z = r r e i (ϕ+ϕ), jgmisel moodulid jgtkse j rgumendid lhuttkse: z z = r r [cos(ϕ ϕ ) + i sin(ϕ ϕ )] ; z z = r r e i (ϕ ϕ) ; r. Ülesnne.. Leidke z z j z z z = 4 (cos 5 6 () π + i sin 5 6 π) z = (cos 3 π + i sin 3 π) Ülesnne.. () ( i +i )4 () (5+3 i)(5 3 i) (cos 5π 4 +i sin 5π 4 ) Arvutge järgmised vldised. kõigil kolmel erinevl esitusviisil. () (c) (d) z = cos θ + i sin θ z = 3 (cos θ + i sin θ) (+i) (cos π 3 +i sin π 3 ) cos i sin 69.5 cos( 7.5 )+i sin( 7.5 ) Ülesnne.. Leidke kõikvõimlikud relrvud x j y, mille korrl z = z, z = x + i y. Ülesnne.3. Millise relsete kordjteg ruutvõrrndi lhenditeks on kompleksrvud z = + i j z = i? Ülesnne.4. Näidke, et kompleksrv z = 3 i on ruutvõrrndi x + 4 = x lhend. Ülesnne.5. Tõestge järgmised väited. () Re (z) = z + z () Kui z =, siis z = z j Im (z) = z z i (c) z z = z (d) z + z + z z = ( z + z ) ig z, z C korrl Ülesnne.6. (F) Kks köit hoivd sdms pti nii, et pingejõud on vstvlt 8 + i kg j 5i kg. Arvutge kogupinge. 89

37 PEATÜKK. KOMPLEKSARVU ERINEVAD ESITUSVIISID.3 Rkenduslikud ülesnded Ülesnne.7. (F) Vhelduvvoolu hels leitkse khe prlleelühenduses olev elemendi näivtkistus (vt. lähemlt konspekti liss) vlemig Z = Z Z Z + Z. Arvutge näivtkistus Z, kui Z = 3 + 5i Ω j Z = 5 6i Ω. Ülesnne.8. Ruudu digonl su punktide j + i vhel. Leidke ruudu kks ülejäänud tippu Q j R. NB! Lhenduse s läi vii puhtlt kompleksrve ksutdes j ilm kooli geomeetrit. Ülesnne.9. (F) Khe vedrug vrusttud süsteem vju rskuse mõjul d = 6.3(cos.5 + i sin.5 c irc) + 3.6(cos i sin 76. ) cm. Teostge liitmine ning esitge vstus trigonomeetrilisel kujul. Ülesnne.. (F) Tetud induktsioonipoolis on pinge V = 8.66(cos 9. + i sin 9. ) 5.(cos i sin 35. )/(.(cos 6. + i sin 6. ) volti. Lihtsustge vldis ning leidke pinge moodul. Ülesnne.. (F) Kks klit tõstvd portselni täis ksti. Pingejõude klites s esitd vldisteg i N j + 56 i N. Esitge kogupinge trigonomeetrilisel kujul. Ülesnne.. sin(α ± β) koht. Ksutdes eksponentkuju, tuletge trigonomeetrilised vlemid cos(α ± β) j Ülesnne.3. (F) Rdri mikroline signli intensiivsus on 37(cos 65.3 i sin 65.3 ) V/m. Esitge see eksponentkujul. Ülesnne.4. (F) Linete liitumisel on ksutusel vldis E E (e i(α β) + e i(α β) ). Näidke, et see võrdu lihtsm vldiseg E E cos(α β). 9

38 Prktikum 3 Kompleksrvu stendmine j juurimine 3. Kompleksrvu stendmine j juurimine Vlem 3. Kompleksrvu täisrvulisel stendmisel kehti de Moivre i vlem z k = r k (cos(k ϕ) + i sin(k ϕ)), k Z. (3.) Vlem 3. Igl nullist erinevl kompleksrvul on n erinevt n-stme juurt, mis leitkse vlemig n z = n r (cos ( ϕ + k 36 n k =,,..., n. ) + i sin ( ϕ + k 36 )), n (3.) Märkus. Sümol n r tähist siin kompleksrvu z kõigi n-stme juurte hulk ning sümol n r sellist positiivset relrvu, mille n-s ste on r. Ülesnne 3.. () ( 3 i) () (3 + 3 i) 5 Ksutdes de Moivre i vlemit, stendge kompleksrvud. (g) [.(cos 35 + i sin 35 )] 3 (h) (6e 37π 8 i ) (c) [(cos 9 + i sin 9 )] 5 (d) [ (cos 5 + i sin 5 )] (i) (e 3π 4 i ) 8 (j) (e 7π 9 i ) (e) (cos π + i sin π )36 (f) [3(cos + i sin )] 4 (k) z 73, z = cos π 9 + i sin π 9 (l) z 64, z = e 3iπ 37 Ülesnne 3.. Leidke rvu - seitsmend juure 7 kõik väärtused. Ülesnne 3.3. Leidke rvu ( + i 3) 5 kõik väärtused. Ülesnne 3.4. Ülesnne 3.5. Leidke j kujutge komplekstsndil rvu 4 64 kõik väärtused. Leidke 5 z, kui z = 3 (cos π 3 + i sin π ) 3 j kujutge tulemus komplekstsndil.

39 Prktikum 4 Kompleksrv. Algerliste võrrndite lhendmine * 4. Kordmine Ülesnne 4.. Kirjutge eksponentkujul j lgerlisel kujul. Leidke erinevtel viisidel esittud kompleksrvude z j z 4 korrl nende summ, korrutis j jgtis. () z = 3 (cos π 3 + i sin π 3 ) (c) z 3 = 4 (cos 3π 4 i sin 3π 4 ) () z = 3 (cos π 6 + i sin π 6 ) (d) z 4 = (cos π 3 i sin π 3 ) Ülesnne 4.. Olgu z = 3 i, z = i, w = (cos π 3 + i sin π 3 ) j w = 3 (cos 3π + i sin 3π ). Arvutge järgmised vldised. () z 5 + w8 (d) 3 z + w kõik väärtused (g) w + w () z 6 z (e) z +w w (h) z 3 + z (c) (z w ) 5 (f) 4 w w kõik väärtused (i) w w 4. Algerliste võrrndite lhendmine * Ülesnne 4.3. () z 4 = Lhendge võrrndid. (g) z = (m) x 4 + 6x + 8 = () z i = (c) z i = (d) z i = (e) z + ( + 3i) = (f) z 3 + i = (h) z 4 i = (i) z 4 3 i = (j) z 4 = 4 i (k) x 6x + = (l) x 3 3x + 3x 8 = (n) x 6 x = (o) (x + ) 8 = 56 (x ) 8 (p) x 3 + x + x + 4 = (q) (x 4 + 3x + )(x 4x + 8) = Ülesnne 4.4. Lhendge w suhtes järgmine võrrnd: w i =. Ülesnne 4.5. (IT) Progrmmeerijl tule om progrmmis leid relrvu joks n erinevt n-stme juurt. Progrmmi ühe osn tule välj selgitd, mitu nendest on relrvud j mitu kompleksrvud. Selgitge, kuids sed kindlks teh ilm juuri endid leidmt.

40