(geomeetria3_0000.eps)

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "(geomeetria3_0000.eps)"

Väljavõte

1 Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980

2 3

3 4

4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks koos Ü. Lumiste ja K. Ariva õpikuga Analüütiline geomeetria, kuid suurt osa sellest saab kasutada ka teistes teaduskondades, kus õpitakse analüütilist geomeetriat iseseisva ainena või kõrgema matemaatika osana. Lihtsamad ülesanded on kasutatavad täiendava materjalina keskkeeli matemaatika tundides, eriti aga matemaatika ringis. Varem ilmunud analüütilise geomeetria praktikumi I osa sisaldab valiku ülesandeid vektoralgebrast, II osa valiku ülesandeid sirgete ja tasandite kohta. Käesolev, III osa sisaldab valiku ülesandeid teist järku kõverate kohta. Ülesannete kogu kasutamist lihtsustavad vajaliku teoreetilise materjali lühiesitused üksikute ainelõikude ees ja ülesannete vastuste juures esitatud näpunäited. 5

5 6

6 Peatükk 8 Ringjoon ja ellips 1. Ringjoon Definitsioon. Ringjooneks nimetatakse selliste punktide hulka tasandil, mis asetsevad võrdsel kaugusel samal tasandil asetsevast kindlast punktist, nn. keskpunktist (tsentrist). Seda võrdset kaugust nimetatakse ringjoone raadiuseks. Olgu ringjoone keskpunkt C(a,b), raadius r ja M(x,y) ringjoone suvaline punkt, siis CM = r, CM 2 = r 2 y M 0 C r ϕ M ehk väljakirjutatuna koordinaatides mingi ristreeperi suhtes, saame ringjoone normaalvõrrandi (x a) 2 +(y b) 2 = r 2. (8.1) Ruutvõrrand kahest muutujast afiinse reeperi suhtes a 11 x 2 +a 22 y 2 +2a 12 xy +2a 13 x+2a 23 y +a 33 = 0 Joonis 8.1 x määrab ringjoone parajasti siis, kui ruutliikmete kordajad on võrdsed (a 11 = a 22 ) ja võrrandist puudub muutujate korrutisega liige (a 12 = 0), s. t. ringjoone üldvõrrand omab kuju Ringjoone (8.1) parameetrilised võrrandid omavad kuju { x = rcosϕ+a, y = rsinϕ+b, a 11 x 2 +a 11 y 2 +a 13 x+a 23 y +a 33 = 0. (8.2) kus ϕ on x-telje ja ringjoone raadiusvektori CM vaheline nurk. Kui ringjoone keskpunkt asetseb ristreeperi alguspunktis, saame võrrandist (8.1) ringjoone kanoonilise võrrandi (8.3) x 2 +y 2 = r 2. (8.4) 7

7 8 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS P 2 Q 2 P 0 P 0 p P 1 P 0 Q 1 p b) a) c) Joonis 8.2 Ringjoone puutuja võrrandi saame kergesti leida nn. pooliti asendusvõttega, s. t. asetame ringjoone võrrandis (8.1) pooled tundmatud puutepunkti M 0 (x 0,y 0 ) koordinaatidega (x a)(x 0 a)+(y b)(y 0 b) = r 2. (8.5) Kui ringjoon on määratud võrrandiga (8.2), siis puutepunkti M 0 läbiva ringjoone puutuja võrrandi võime esitada kujul a 11 x 0 x+a 11 y 0 y +a 13 (x+x 0 )+a 23 (y +y 0 )+a 33 = 0. (8.6) Poolus ja polaar ringjoone suhtes Punkti P 0 polaariks p ringjoone suhtes nimetatakse punktist P 0 ringjoonele tõmmatud puutujate puutepunkte ühendavat sirget p = P 1 P 2 (punkt P 0 asetseb väljaspool ringjoont) (vt. joon. 8.2a)). Kui punkt P 0 asetseb ringjoonel, siis punkti P 0 läbiv ringjoone puutuja (joon. 8.2b)). Kui punkt P 0 asetseb ringjoone sees, siis punkti polaari leidmiseks antud ringjoone suhtes tõmmatakse läbi antud punkti P 0 vabalt kaks ringjoone kõõlu. Kõõlude otspunktidest ringjoonele tõmmatud puutujate lõikepunktid Q 1 ja Q 2 määravad otsitava polaari p = Q 1 Q 2 (joon. 8.2c)). Punkti P 0 nimetatakse sirge p pooluseks antud ringjoone suhtes. Punkti P 0 (x 0,y 0 ) polaar p ringjoone x 2 +y 2 = r 2 suhtes määratakse võrrandiga M 2 M Joonis 8.3 M 1 P 0 x 0 x+y 0 y = r 2. (8.7)

8 8.1. RINGJOON 9 P 0 O 1 O 2 O 1 O 2 a) b) Joonis 8.4 Punkti potents ringjoone suhtes Kui punktist P 0 tõmmatud suvaline sirge lõikab rinjoont punktides M 1 ja M 2 (joon. 8.3), siis punkti P 0 kauguste korrutis punktidest M 1 ja M 2 on konstantne suurus (ei sõltu sirge valikust), mida nimetatakse punkti P 0 potentsiks (ehk astmeks) antud sirgjoone suhtes. Kui ringjoon on määratud võrrandiga (8.1) ja d 1 = P 0 M 1, d 2 = P 0 M 2, siis punkti P 0 (x 0,y 0 ) potents ringjoone (8.1) suhtes määratakse seosega δ = d 1 d 2 = (x 0 a) 2 +(y 0 b) 2 r 2. (8.8) Punkti P 0 potents ringjoone suhtes on positiivne, kui punkt asetseb väljaspool ringjoont;punkti potents on null, kui punkt P 0 on ringjoone punkt, ja punkti potents on negatiivne, kui punkt P 0 on ringjoone sisemine punkt. Kui d 1 = d 2, siis punkti P 0 läbiv sirge on ringjoone puutuja δ = d 2, d = P 0 M, kus M on puutepunkt (joon. 8.3). Seega punkti P 0 potents ringjoone suhtes on võrdne punktist P 0 ringjoonele tõmmatud puutuja kõõlu pukkuse ruuduga punktist P 0 kuni puutepunktini. Radikaalteljeks (ehk potentssirgeks ehk kordaaliks) kahe antud ringjoone suhtes nimetatakse sirget, mille mistahes punkti potentsid mõlema ringjoone suhtes on võrdsed. Ringjoonte radikaaltelg on risti ringjoonte keskpunkte ühendava sirgega (keskjoonega). Kui ringjooned puutuvad, siis on radikaaltelg nende ühiseks puutujaks ringjoonte puutepunktis (joon. 8.4a)). Kui ringjooned lõikuvad, siis radikaaltelg on ringjoonte lõikepunkte ühendavaks sirgeks (joon. 8.4b)). M Radikaaltsenter (ehk potentspunkt). Kolme ringjoone korral tekib kolm radikaaltelge. Nende radikaaltelgede lõikepunkti M nimetatakse antud ringjoonte radikaaltsentriks ehk potentspunktiks (joon. 8.5). Joonis 8.5

9 10 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS Märkus. Tuletame meelde juba ülesannete kogu eelmistes osades tehtud kokkulepet: kui ülesande tingimustes ei ole nimetatud reeperit, siis eeldatakse, et antud reeper on ristreeper Koostada ringjoone võrrand, kui ringjoon läbib reeperi alguspunkti ja ringjoone keskpunkt asetseb punktis K: 1) K(10,4); 2) K( 3,4) Koostada ringjoone võrrand, kui ringjoone keskpunkt asetseb punktis C ja ringjoon läbib punkti Q : 1) C(6, 2), Q(7, 5); 2) C(0, 4), Q(5, 8) Koostada ringjoone võrrand, kui ringjoone ühe diameetri otspunktid on 1) P = ( 3,2) ja Q = (1,4); 2) A = (1,4) ja B = ( 3,2) Leida antud ringjoone keskpunkt ja raadius: 1) x 2 +y 2 8x+6y +21 = 0; 2) x 2 +y 2 4x = 0; 3) x 2 +y 2 +6x 7 = 0; 4) x 2 +y 2 +2x 10y +1 = 0; 5) 3x 2 +3y 2 4x 6y 15 = Milliseks teiseneb ringjoone võrrand x 2 + y 2 + 2x 6y + 1 = 0, kui reeperi alguspunkt kanda punkti 1) A( 1,3), 2) B( 4,3)? Kuidas asetsevad punktid A ja B antud ringjoone suhtes? 8.6. Milliseks teiseneb ringjoone võrrand x 2 + y 2 + 4x 12y 9 = 0, kui reeperi alguspunkt kanda ringjoone keskpunkti? 8.7. Kirjeldada ringjoone eriasendeid reeperi suhtes, kui osa kordajatest ringjoone üldvõrrandis on võrdsed nulliga. A(x 2 +y 2 )+Dx+Ey +F = Leida antud ringjoone lõikepunktid reeperi telgedega. 1) (x 4) 2 +(y +3) 2 = 25; 2) x 2 +y 2 6x 10y +9 = 0; 3) x 2 +y 2 4x+4y +4 = 0; 4) (x 5) 2 +(y 3) 2 = Koostada ringjoone võrrand, kui ringjoon läbib kolme punkti. 1) A(0, 2), B(1, 1), C(2, 2); 2) P(1,2), Q( 5,2), R(4,2) Koostada kolmnurga ümber joonestatud ringjoone võrrand, kui kolmnurga tipud on

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 8.1. RINGJOON 11 diameetriteks ja nad ühtivad ellipsi sümmeetriatelgedega. Kui ellipsi (ε) kõõlu tõus on k, siis tema kaasdiameetri võrrand omab kuju y x x a 2 +k y = 0. (8.17) b2 Kui k 1 ja k 2 on ellipsi kaasdiameetrite tõusud, siis k 1 k 2 = b2 a 2 (8.18) Kui ellipsi keskpunkt asetseb punktis M 0 (x 0,y 0 ) ja ellipsi peateljed on paralleelsed reeperi telgedega, siis ellipsi võrrand omab kuju (x x 0 ) 2 ) a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1. (8.19) Joonis 8.6 Ellipsi polaarvõrrand. Kui polaarteljeks valida ellipsi fokaaltelg suunaga juhtsirgest fookuse poole ja pooluseks ellipsi vasakpoolne fookus, siis ellipsi võrrand polaarreeperi suhtes omab kuju = p 1 ecosρ, (8.20) kus ja ρ on ellipsi punkti polaarkoordinaadid: p ellipsi parameeter, e ekstsentrilisus Leida ellipsi võrrand, kui ta poolteljed on 1) a = 3, b = 2; 2) a = 6, b = 4; 3) a = 2, b = 1,5; 4) a = 3 5, b = 2 9 ; 5) a = 0,5, b = 0,2; 6) a = 5, b = 2; 7) a = 7, b = 7; 8) a = 1, b = 0,1; Leida ellipsi pooltelgede pikkused, fookuste koordinaadid ja ekstsentrilisus, kui ellips on antud võrrandiga a) 16x 2 +25y 2 = 400; b) 9x 2 +y 2 = Koostada ellipsi kanooniline võrrand, kui ellipsi 1) fookuste vaheline kaugus on 8 ja suur telg on 10; 2) fookuste vaheline kaugus on 6 ja väiksem pooltelg on 2; 3) fookuste vaheline kaugus on 8 ja pooltelgede summa on 8;

21 12 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS 4) fookuste vaheline kaugus on 6 ja suurem pooltelg on 5; 5) fookuste vaheline kaugus on 4 5 ja pooltelgede summa on 10; 6) fookuste vaheline kaugus on 10 ja väiksem telg on Koostada ellipsi kanooniline võrrand, kui ellipsi 1) suurem pooltelg on 10 ja ekstsentrilisus on 0,8; 2) suurem telg on 10 ja ekstsentrilisus on 0,6; 2 3) väiksem pooltelg on 3 ja ekstsentrilisus on 2 ; 4) fookuste vaheline kaugus on 8 ja ekstsentrilisus on 0,8; 5) fookuste vaheline kaugus on 6 ja ekstsentrilisus on 3 5 ; 6) väiksem telg on 10 ja ekstsentrilisus on ; On antud ellips x y2 = 1. Koostada antud ellipsi juhtsirgete võrrandid Koostada ellipsi kanooniline võrrand, kui ellipsi 1) juhtsirgete vaheline kaugus on 5 ja fookuste vaheline kaugus on 4; 2) juhtsirgete vaheline kaugus on 16 ja suur telg on 8; 3) juhtsirgete vaheline kaugus on 32 ja ekstsentrilisus e = 1 2 ; 4) juhtsirgete vaheline kaugus on ja ekstsentrilisus on 3 4 ; 5) juhtsirgete vaheline kaugus on ja fookuste vaheline kaugus on Koostada ellipsi võrrand, kui on antud ellipsi väiksem pooltelg ja juhtsirgete võrrandid: 1) b = 4, x = ±8; 2) b = 2 6, x = ± Ellipsi juhtsirgete vaheline kaugus on 36. Leida selle ellipsi võrrand, teades, et tema mingi punkti fokaalraadiused on 9 ja Koostada ellipsi juhtsirgete võrrandid, teades, et juhtsirged on risti fokaalteljega ja lõikavad teda punktides, mis osutuvad fookuste neljandateks harmoonilisteks punktideks tippude suhtes On antud ellipsi ekstsentrilisus e. Leida tema pooltelgede suhe. Kuidas ekstsentrilisus iseloomustab ellipsit? Määrata ellipsi ekstsentrilisus, teades, et a) tema väiksem telg on näha fookusest täisnurga all; b) fookustevaheline kaugus on võrdne erinevate telgede otspunktide vahelise kaugusega; c) juhtsirgetevaheline kaugus on neli korda suurem fookustevahelisest kaugusest.

22 8.1. RINGJOON Määrata ellipsi ekstsentrilisus, kui 1) fookustevaheline lõik on vaadatuna väikese telje tipust nähtav 60 nurga all; 2) kaugus ellipsi erinevatel telgedel asetsevate ellipsi kahe tipu vahel on kaks korda suurem kui fookustevaheline kaugus; 3) fookustevaheline kaugus on telgede pikkuste aritmeetiline keskmine Ellipsi ekstsentrilisus e = 1, tema keskpunkt ühtib reeperi alguspunktiga ja üks juhtsirge 2 on antud võrrandigax = 16. Arvutada ellipsi sellise punktim 1, mille abstsiss on 4, kaugus fookusest, mis on antud juhtsirgega samal pool tsentrit Ellips läbib punkte M( 3, 2) ja N( 2 3,+1). Koostada ellipsi võrrand, võttes tema peatelgedeks reeperi teljed Maa meridiaan on ellipsikujuline. Arvutada tema ekstsentrilisus, kui tema telgede suhe on Maa meridiaan on ellipsikujuline. Arvutada tema ekstsentrilisus, teades, et täpsusega 0,5 km on Maa telje pikkus km ja ekvaatori diameeter km Arvutada Maa meridiaanlõike pindala, võttes Maa telje pikkuseks km ja ekvaatori diameetriks km Maa ja kuu ühine raskuskese (asub 4635 km kaugusel Maa tsentrist) tiirleb ümber Päikese mööda ellipsit, mille pikem pooltelg on ligikaudu 149,6 milj. km. (astronoomiline ühik) ja ekstsentrilisus on 0,0167. Arvutada pöörlemisellipsi fookustevaheline kaugus, lühem pooltelg ja perimeeter (ümbermõõt). Märkus. Ellipsi perimeeter L π[1.5(a+b) ab] ehk L π(a+b) 64 3λ λ2, kus λ = a b a+b Maa tiirleb ümber Päikese ellipsit mööda, mille ühes fookuses asub Päike. Selle ellipsi suur telg on km ja Päikese kaugus ellipsi keskpunktis km. Kui suur on nimetatud ellipsi lühem telg ja parameeter? Tõestada, et iga ellipsi x2 a 2 + y2 b 2 = 1 sees asetseva punkti P(x 1,y 1 ) korral kehtib võrratus x 2 1 a 2 + y2 1 b 2 < 1, aga iga väljaspool oleva punkti Q(x 2,y 2 ) korral kehtib võrratus x2 2 a 2 + y2 2 b 2 > Määrata antud punktidea 1 ( 2,3),A 2 (2, 2),A 3 (2, 4),A 4 ( 1,3),A 5 ( 4, 3),A 6 (3, 1), A 7 (3, 2), A 8 (2,1), A 9 (0,15), A 10 (0, 16) asend ellipsi 8x 2 +5y 2 = 77 suhtes Määrata punktide A(6, 3), B( 2,5), C(3, 6),D( 50,0), E( 4,2 6) ja G(1, 26) asend ellipsi x y2 36 = 1 suhtes Leida ellipsil x y2 = 1 punkt, mis asetseb viie ühiku kaugusel ellipsi lühemast teljest. 24

23 14 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS x Leida ellipsil y2 = 1 punkt, mille kaugus paremast fookusest on neli korda suurem 36 kui tema kaugus vasakust fookusest Ellipsi ekstsentrilisus e = 0.4 ja ellipsi punkti M kaugus juhtsirgest on 20. Leida punkti M kaugus fookusest, mis on selle juhtsirgega samal pool keskpunkti Leida ellipsil x2 a 2 + y2 = 1 punkt, mille fokaalraadiusvektorite skalaarkorrutis on võrdne b2 väiksema pooltelje ruuduga Leida ellipsil x y2 = 1 punkt, mille fokaalraadiusvektorid on risti Ellipsil, mille üks fookus asetseb punktis F(3,0), on võetud punkt M(4;2.4). Leida selle punkti kaugus vastavast juhtsirgest, teades, et ellipsi keskpunkt ühtib reeperi alguspunktiga Leida ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 sellise punkti, mille abtsiss ja ordinaat on võrdsed, kaugus ellipsi b2 tsentrist Leida punktide hulk, millest ellips x2 a 2 + y2 = 1 on näha täisnurga all. b Leida ellipsi x y2 = 1 ja sirge 2x y 9 = 0 lõikepunktid Ringjoone keskpunkt ühtib ellipsi x 2 + y 2 = 4 fokaaltelje kaasteljel asetseva tipuga ja ringjoon läbib antud ellipsi fookusi. Leida antud ellipsi ja ringjoone lõikepunktid Joonestada ellips, lähtudes tema järgnevast definitsioonist. Ellipsi punktideks on ühisele alusele, mille pikkuseks on ellipsi fookuste vaheline kaugus (2c), joonestatud kolmnurkade tipud, kui ülejäänud kahe külje summa on konstant (2a). = 1. Leida graafiliselt ellipsi fookused nende koordinaate arvuta On antud ellips x2 9 + y2 4 mata On antud elliptiline kontuur. Konstrueerida tema keskpunkt ja fookused. Ellipsi puutujad Määrata antud sirge asend antud ellipsi suhtes. 1) 2x y 3 = 0; x y2 9 = 1. 2) 3x+2y 20 = 0; x y2 10 = Leida sirge, mis puutub ellipsit x2 9 + y2 = 1 punktis (2, 3) Mitu ellipsi x2 9 + y2 = 1 puutujat läbib antud punkti: 1) A(1,1); 2) B(3,1); 3) C(0,2)? 4

24 8.1. RINGJOON On teada, et sirge 4x 5y 40 = 0 puutub ellipsit x y2 = 1. Leida puutepunkt Sirge y = 3x 7 puutub ellipsit punktis A(2, 1). Koostada ellipsi võrrand Koostada sellise ellipsi võrrand, mille fookused asetsevad abstsissteljel sümmeeriliselt reeperi alguspunkti suhtes, kui on teada ellipsi puutuja 3x + 10y 25 = 0 ja tema väiksem pooltelg b = Ellips puutub abstsisstelge punktis A(7, 0) ja ordinaattelge punktis B(0, 4). Ellipsi teljed on paralleelsed reeperi telgedega. Koostada ellipsi võrrand Ellips puutub ordinaattelge punktis (0, 5), lõikab abstsisstelge punktides (5, 0) ja (11, 0). Koostada ellipsi võrrand, kui on teada, et tema teljed on paralleelsed reepero telgedega Ellips lõikab x-telge punktides A(3,0) ja B(7,0) ja puutub y-telge punktis C(0,3). Ellipsi teljed on paralleelsed reeperi telgedega. Koostada ellipsi võrrand Ellips läbib punkti P(3, 12 ) ja puutub sirget 4x+5y = 25. Koostada ellipsi võrrand ja leida 5 punkt, milles ta puutub antud sirget. Reeperi teljed ühtivad ellipsi sümmeetriatelgedega Leida ellipsi x y2 = 1 puutujad, mis läbivad punkti A( 6,3) Leida sirge ja ellipsi puutumise tarvilik ja piisav tingimus Leida ellipsi x y2 = 1 puutujad, mis on paralleelsed sirgega 2x y +17 = Leida ellipsi x2 5 + y2 = 1 puutujad, mis on paralleelsed sirgega 6x 2y 5 = Leida antud ellipsi normaal, mis on paralleelne antud sirgega. 1) x y2 x2 = 1, 24x 5y = 0; 2) y2 = 1, 3x y +5 = Leida ellipsi x y2 = 1 sirgega 4x 2y+23 = 0 paralleelsete puutujate vaheline kaugus Leida ellipsi x y2 = 1 puutujad, mis on risti sirgega 13x+12y 115 = Leida ellipsi 3x 2 +8y 2 = 45 puutujad, mille kaugus ellipsi tsentrist on Leida ellipsi x y2 = 1 puutuja, mille kauguste suhe ellipsi fookusteni on Ellips puutub ordinaattelge reeperi alguspunktis ja tema keskpunkt asetseb punktis Q(5, 0). Koostada ellipsi võrrand, teades, et ellipsi ekstsentrilisus on 1) e = 0,8; 2) e = 0, Ellips puutub kahte sirget x + y = 5 ja x 4y = 10. Reeperi telgedeks on valitud ellipsi sümmetriateljed. Koostada ellipsi võrrand.

25 16 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS Leida kahe antud ellipsi ühised puutujad: 1) x2 5 + y2 x2 = 1 ja y2 5 = 1; 2) x2 6 +y2 = 1 ja x2 4 + y2 9 = 1; 3) x y2 x2 = 1 ja y2 18 = Tõestada, et ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 puutuja lõik, mis jääb ellipsi fokaaltelje tippudest tõmmatud puutujate vahele, on nähtav fookustest täisnurga b2 all Tõestada, et ellipsi iga puutuja moodustab võrdsed nurgad puutepunktist tõmmatud fokaalraadiusvektoritega Ellipsi x2 45 +y2 = 1 vasakust fookusest onx-telje suhtes nürinurgaαall suunatud valguskiir. 20 Jõudes ellipsini, kiir peegeldub. Leida sirge, millel asetseb peegeldunud kiir Tõestada, et x2 a 2 + y2 = 1 puutujad lõikavad fokaaltelje otspunktidesse asetatud kahel b2 puutujal ära lõigud, mille korrutis on jääv suurus ning võrdne konstandiga b Tõestada, et puutujad ühe ja sama diameetri otspunktides on omavahel paralleelsed ja vastupidi, kui kaks ellipsi puutujat on paralleelsed, siis puutepunktid asuvad ühel ja samal diameetril Tõestada, et ellipsi suvalise puutuja kauguste korrutis tema fookusteni on jääv suurus, mis on võrdne väiksema pooltelje ruuduga Leida punktidest M 1 (x 1,y 1 ) ja M 2 (x 2,y 2 ) ellipsile x2 a 2 + y2 = 1 tõmmatud puutujate b2 lõikepunktide koordinaadid Tõestada, et võrrandit xcosϕ + ysinϕ = 1 võib mistahes ϕ puhul vaadelda mingi ellipsi a b puutuja võrrandina. Koostada selle ellipsi võrrand On antud ellipsi fookused F 1 (x 1,y 1 ), F 2 (x 2,y 2 ) ja puutuja normaalvõrrandiga xcosϕ + ysinϕ p = 0. Tõestada, et (x 1 cosϕ+y 1 sinϕ p)(x 2 cosϕ+y 2 sinϕ p) > 0. Koostada ellipsi võrrand. Ellipsi kõõlud ja diameetrid Ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 kõõl läbib ellipsi fookust F(c,0) ja on risti ellipsi fokaalteljega. Leida b2 selle kõõlu pikkus (ellipsi fokaallaius) On antud ellips x2 6 + y2 5 kui: = 1. Leida sirge, millel asetsev ellipsi kõõl poolitub punktis A, 1) A(1,1); 2) A(1,2).

26 8.1. RINGJOON On antud ellips x2 9 +y2 = 1. Leida sirge, millel asetsev ellipsi kõõl poolitub punktis E(1,1) Sirge s läbib punkti A(1, 3) ja on ellipsi x y2 = 1 diameetri 2x+5y = 0 kaassihiline. 12 Koostada sirge s võrrand Leida ellipsi x y2 = 1 diameetril asetseva kõõlu pikkus, kui diameetri siht ühtib reeperi 36 telgede poolt moodustatud teise veerandi nurga poolitaja sihiga Leida ellipsi x y2 9 kõõlude pikkused. = 1 sümmeetriatelgede vaheliste nurkade nurgapoolitajate sihiliste Leida ellipsix 2 +2y 2 = 1 diameetril asetseva kõõlu pikkus, kui diameeter on kaasdiameetriks reeperi telgede vahelise nurga poolitajale Leida ellipsi x2 6 + y2 = 1 kaasdiameetrite vaheline nurk, kui üks neist moodustab ellipsi 2 fokaalteljega nurga Leida ellipsi x2 10 +y2 = 1 kaasdiameetritel asetsevate kõõlude pikkused, kui kaasdiameetrite 3 vaheline nurk on π 3. Märkus. Antud ülesande korral on otstarbekas kasutada Apolloniuse teoreemi: a 2 +b 2 = a 2 + b 2 ja ab = a b sinϕ, kus a ja b on ellipsi poolteljed, 2a ja 2b kaasdiameetritel asetsevate kõõlude pikkused ja ϕ kaasdiameetrite vaheline nurk. = 1 selliste diameetrite võrrandid, millal asetsevate kõõlude pik Koostada ellipsi x 2 + y2 9 kuseks on 2 5 cm On antud ellipsi kahel kaasdiameetril asetsevate kõõlude pikkused 2a = 18 ja 2b = 14 ning nendevaheline nurk φ = arcsin 11. Leida ellipsi pooltelgede pikkused Leida ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 kaasdiameetrid, millel asetsevad võrdse pikkusega kõllud. b Ellipsi x2 8 + y2 = 1 diameeter läbib punkti A(4,2). Leida antud diameetri ja tema kaasdiameetri tõusud ja neil asetsevate kõõlude 4 pikkused Leida ellipsi x2 8 +y2 = 1 kahe kaasdiameetri tõusud ja nendel asetsevate kõõlude pikkused, 5 kui üks diameetritest läbib punkti B(2,3) OA ja OB on ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 kaks kaasdiameetritel asetsevat poollõiku, M on kõõlu b2 AB keskpunkt, C on kiire OM lõikepunkt ellipsiga. Määrata suhe OM OC Ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 kaasdiameetritel asetsevate kõõlude otspunktid on ühendatud kõõludega. Koostada vaadeldud kõõlude keskpunktide hulga b2 võrrand.

27 18 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS Veenduda, et kaks ellipsit n 2 x 2 + m 2 y 2 m 2 n 2 = 0, m 2 x 2 + n 2 y 2 m 2 n 2 = 0 (m n) lõikuvad neljas punktis, mis asetsevad ringjoonel, mille keskpunkt on reeperi alguspunktis. Leida selle ringjoone raadius R Koostada ellipsi x2 25 +y2 = 1 vasakut fookust läbivate kõõlude keskpunktide hulga võrrand Koostada ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 fokaalteljel mitteasetsevast tipus lhtuvate kõõlude keskpunktide hulga b2 võrrand Ellipsi kõõlud lõikavad ellipsist välja antud pindalaga segmendid. Koostada selliste kõõlude keskpunktide hulga võrrand Tõestada, et kolmnurga pindala, kui kolmnurga tippudeks on ellipsi tsenter ja kaasdiameetrite lõikepunktid ellipsiga, ei sõltu kaasdiameetrite paari valikust. Ellipsisse ja tema ümber joonestatud kujundid Antud ellipsisse joonestada ruut Arvutada ellipsisse joonestatud ruudu külje pikkus Ümber antud ellipsi joonestada ruut Koostada ellipsi x2 6 + y2 = 1 ümber joonestatud ruudu külgede võrrandid Tõestada, et ellipsi ümber joonestatud rombi tipud on ellipsi sümmeetriatelgedel Ellipsisse x y2 = 1 on joonestatud korrapärane kolmnurk, mille üks tipp ühtib parempoolse fokaaltipuga. Leida kolmnurga kahe ülejäänud tipu 9 koordinaadid Ellipsisse x y2 = 1 on joonestatud ristkülik, mille kaks vastaskülge läbivad fookusi. 24 Arvutada selle ristküliku pindala Rombi külje pikkus on 5 cm ja kõrgus on 4,8 cm. Kahte rombi vastastippu läbib ellips, mille fookused ühtivad rombi kahe ülejäänud tipuga. Koostada ellipsi võrrand, võttes rombi diagonaalid reeperi telgedeks Määrata antud rööpkülikusse joonestatud suurima pindalaga ellips Tõestada, et suvalisest kolmnurgast kolmnurga sisse joonestatud ellipsist ja viimasega sarnasest, sama keskpunktiga lähtekolmnurga ümber joonestatud ellipsist koosneva konfiguratsiooni raskuskese on ellipsite keskpunktis. Reeper on nihutatud Ellipsit pooltelgedega a ja b on nihutatud nii, et tema keskpunkt ühtib punktidega C(X 0,y 0 ), aga teljed on paralleelsed reeperi telgedega. Missugune võrrand määrab ellipsi uues asendis? Kirjeldada võimalikult täpselt antud võrranditega määratud kõveraid, teisendades eelnevalt nende võrrandid lihtsamale kujule:

28 8.1. RINGJOON 19 1) x 2 +y 2 2x+6y 5 = 0; 2) x 2 +4y 2 +4x 16y 8 = 0; 3) x 2 +2y 2 +8x 4 = Ellipsi fokaalteljeks on sirgey+6 = 0 ja ellipsi üheks tipuks punktb 1 (3, 1). Koostada 2 ellipsi võrrand, teades, et tema ekstsentrilisus on e = Leida ellips, mis on sümmeetriline ellipsiga x2 a 2 + y2 b 2 = 1 punkti S 0(x 0,y 0 ) suhtes. Koostada ellipsi telgede võrrand. Liikumised Määrata punkti M trajektoor, kui ta oma liikumisel jääb punktile F( 1, 0) kaks korda lähemale kui sirgele x = Konstantse pikkusega lõik AB libiseb oma otstega mööda täisnurga haarasid. Võtta lõigul suvaline punkt M ja leida punkti M trajektoor lõigu kirjeldatud liikumisel Leida punkti M trajektoor eelmises ülesandes kirjeldatud liikumisel, kui punkt M asetseb lõigu AB pikendusel. A M B Joonisel (8.7) on kujutatud elliptiline sirkel, millel on võimalik kruvide abil muuta joonlaua AB pikkust ja pliiatsi kinnituskohta M. Kuidas seada sirkel, et joonestada ellipsid: 1) x2 9 + y2 4 = 1; 2) x2 16 +y2 ; 3) x 2 +y 2 = 25? Joonis Liikumatu alusega kolmnurga tipp muutub nii, et kolmnurga ümbermõõt säilib. Leida tipu trajektoor tingimusel, et alus on 24 cm ja ümbermõõt 50 cm Liikuv punkt P joonestab ringjoone. Milline on teise liikuva punkti M trajektoor, kui punktide M ja P abstsissid on võrdsed ja ordinaatide suhe λ = const? Ellipsi x2 a 2 + y2 = 1 sisse on joonestatud kolmnurk ABM, mille üks külg AB ühtib b2 ellipsi fokaalkõõluga. Tipp M liigub mööda ellipsit. Leida trajektoor, mille joonestab kolmnurga ABM raskuskese Kolmnurga ABC tipud on A(0,0), B(2,2) ja C( 2,2). Punkt M liigub nii, et punkti M kauguste ruutude summa kolmnurga ABC kolmest küljest jääb konstantseks ja võrdub 16 ühikuga. Leida punkti M trajektoor Koostada punkti A(3,0) läbivate ja ringjoont x 2 + y 2 = 25 puutuvate ringjoonte keskpunktide hulga võrrand. Teha joonis.

29 20 PEATÜKK 8. RINGJOON JA ELLIPS Reeperi alguspunkti ümber pöörleb varras OP = P nurkkiirusega ω, ümber punkti P pöörleb teine varras P Q = q nurkkiirusega ω. Leida punkti Q trajektoor, teades, et algmomendil mõlemad vardad ühtivad x-teljega ja punkt P asub O ja Q vahel. Vaadelda eraldi juhte, kui p > q, p < q ja p = q Ruudu küljed on määratud võrranditega x = ±1, y = ±1. Ruudu tippe läbivatele ellipsitele on tõmmatud puutujad punktist M 0 (x 0,y 0 ). Koostada puutepunktide hulga võrrand Antud ellipsi üks fookus liigub mööda täisnurga üht külge ja ellips puutub selle täisnurga teist külge. Määratakse ellipsi keskpunkti trajektoor Ellips, mille väiksem pooltelg on b, osutub ringjoone (raadiusega R = 12) projektsiooniks. Määrata nurk ϕ, mis on nende tasandite vahel, kus asuvad ellips ja ringjoon Püstpöördsilinder, mille alusel diameeter on 12 cm, on läbi lõigatud tasandiga, mis moodustab nurga 30. Leida lõike-ellipsi teljed ja ekstsentrilisus Näidata, et pöördkoonuse lõige tasandiga, mis ei ole paralleelne alusega, on ellips juhul, kui ta on kinnine joon.

30 Peatükk 9 Hüperbool Definitsioon. Hüperbooliks nimetatakse tasandi kõigi selliste punktide hulka, mille kauguste vahe tasandi mingist kahest fikseeritud punktist F 1 ja F 2 on absoluutväärtuse poolest konstantne nullist erinev suurus, mis on väiksem punktide F 1 ja F 2 vahelisest kaugusest. Punkte F 1 ja F 2 nimetatakse hüperbooli fookusteks. Valime ristreeperi tasandil nii, et x-teljeks on valitud sirge F 1 F 2 ja y-teljeks lõigu F 1 F 2 keskristsirge. Sel korral fookuste koordinaadid on F 1 ( c,0), F 2 (c,0), F 1 F 2 = 2c, c > 0. Tasandi punkt X(x,y) asetseb hüperboolil parajasti siis, kui F 1 X F 2 X = 2a, (9.1) kus 2a on definitsioonis esinev konstant ning on täidetud tingimus Valitud reeperis võrrand (9.1) omab kuju a < c. (9.2) (x c) 2 +y 2 (x+c) 2 +y 2 = ±2a. Viies teise liidetava paremale poole ja võttes ruutu, saame Võttes veel kord ruutu, saame Kuna c > a, siis leidub reaalarv mille asendamisel eelmisesse võrrandisse saame a 2 +cx = ±a/(x+c) 2 +y 2. (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ). b 2 = c 2 a 2, (9.3) x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Võrrandit (H) nimetatakse hüperbooli kanooniliseks võrrandiks, sest võrrandid (H) ja (9.1) on ekvivalentsed, s.t. (H) (9.1). Hüperboolil on kaks sümmeetriatelge, nn. hüperbooli telge, mis 21 (H)

31 22 PEATÜKK 9. HÜPERBOOL y D 1 D 2 M r 1 r 2 A 2 F 1 A 1 F 2 x j 1 j 2 a) valitud reeperi korral on võetud selle telgedeks. Telge, millel asetsevad fookused, nimetatakse fokaalteljeks ehk reaalteljeks. Teise teljega (y-teljega) hüperboolil ei ole reaalseid lõikepunkte ja seda telge nimetatakse imaginaarteljeks. Reaalseid tippe (fokaaltippe) on kaks: A 1 ( a,0) ja A 2 (a,0). Arve a ja b hüperbooli kanoonilises võrrandis (H) nimetatakse vastavalt reaal- (ehk fokaal-) ja imaginaarpooltelgedeks. Sirgeid nimetatakse hüperbooli asümptootideks. Suurust nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Sirgeid y = ± b a x (9.4) e = c a, e > 1 (9.5) x = ± a e (9.6) nimetatakse hüperbooli juhtsirgeteks ehk direktrissideks (vt. joon. 9.1 sirged j 1 ja j 2 ) Kui M on hüperbooli suvaline punkt, siis r 1 d1 = r 2 d 2 = e, (9.7) kus r 1 ja r 2 on punkti M fokaalraadiused, s.t. fokaalraadius vektorite F 1 M ja F 2 M pikkused. r 1 = F 1 M = ex+a,r 2 = F 2 M = ex a (9.8) ja d 1 ja d 2 on punkti M kaugused vastavatest juhtsirgetest j 1 ja j 2 (d 1 = MD 1 ;d 2 = MD 2 ) Hüperbooli parameetriks nimetatakse suurust p = eq = b2 a, (9.9)

32 23 kus q on hüperbooli fookuse kaugus vastavast juhtsirgest q = b2 c. (9.10) Kui hüperbool on määratud kanoonilise võrrandiga (H), siis hüperbooli puutuja võrrandi saame pooliti asendusvõttega x 0 x a 2 y 0y = 1, (9.11) b2 kus M 0 (x 0,y 0 ) on puutepunkt. Hüperbooli punkti M 0 läbivat sirget nimetatakse hüperbooli normaaliks, kui ta on rist punkti M 0 läbiva hüperbooli puutujaga. Hüperbooli (H) normaali võrrand on y 0 x b 2x+ 0 c2 a2y = a 2 b 2x 0y 0. (9.12) Sirge sihti, millel asetsevad hüperbooli paralleelsete kõõlude keskpunktid, nimetatakse kõõlu sihi kaassihiks ehk konjugeeritud sihiks antud hüperbooli suhtes. Ristuvaid kaassihte nimetatakse hüperbooli peasihtideks. Enese kaassihti nimetatakse hüperbooli asümptootiliseks sihiks. Iga hüperbooli korral eksisteerib parajasti üks paar peasihte ja üks paar asümptootilisi sihte. Sirget, millel asetsevad hüperbooli paralleelsete kõõlude keskpunktid, nimetatakse hüperbooli diameetriks, täpsemalt kõõlude sihi kaasdiameetriks ehk kõõlude sihiga konjugeeritud kaasdiameetriks. Kui hüperbooli paralleelsete kõõlude tõus on k, siis kõõlude sihiga konjugeeritud diameetri võrrand omab kuju y = b2 a 2 x. (9.13) k y R M 0 F 1 F 2 S Joonis 9.2 Kaht diameetrit, millest kumbki poolitab teisega paralleelsed kõõlud (vt. joon. 9.13), nimetatakse kaasdiameetriteks ehk konjugeeritud diameetriteks. Kaasdiameetrite tõusud on k 1 ja k 2 on seotud võrdusega k 1 k 2 = b2 a2. (9.14) Peasihilisi diameetreid nimetatakse hüperbooli peadiameetriteks ja nad ühtivad hüperbooli sümmeetriatelgedega (telgedega). Hüperbooli fokaalteljega ühtivat peadiameetrit nimetatakse ka fokaaldiameetriks. Fokaaldiameetril asetsevat hüperbooli kõõlu nimetatakse fokaalkõõluks. Fokaalkõõlu pikkus on 2p. Hüperbooli fokaallaiuseks nimetatakse hüperbooli fookust läbiva ja fokaalteljega ristuva kõõlu pikkust. Võrrandid { x = acht, y = bsht ja { x = a cost, y = btant x (9.15) on ekvivalentsed hüperbooli kanooniliste võrranditega (H) ja neid nimetatakse hüperbooli parameetrilisteks võrranditeks. Parameetrilised võrrandid on ekvivalentsed vastavate vektorvõrranditega x = (acht,bsht) ja ( a ) x = cost,btant, (9.16) kus t on parameeter.

33 24 PEATÜKK 9. HÜPERBOOL y O x Hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 kaashüperbooliks nimetatakse hüperbooli b2 x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Punkti P 0 (x 0,y 0 ) polaariks hüperbooli (H) suhtes nimetatakse punktist P 0 hüperboolile tõmmatud puutujate puutepunkte P 1 ja P 2 ühendavat sirget P 1 P 2 (punkt P 0 asetseb väljaspool hüperbooli). Punkt P 0 on sirge P 1 P 2 poolus antud hüperbooli suhtes. Hüperbooli iga punkti P 0 polaariks on hüperbooli puutuja selles punktis ja hüperbooli iga punkti puutuja pooluseks on puutepunkt. Kui punkt P 0 on hüperbooli sees, siis sellest punktist ei saa tõmmata hüperboolile ühtegi puutujat. Sel korral võrrand x 0 x a 2 y 0y b 2 = 1 (9.17) määrab punkti P 0 polaari, mis asetseb väljaspool hüperbooli. Joonis Leida hüperbooli võrrand, kui ta reaal- ja imaginaarpoolteljed on 1) a = 5, b = 3; 2) a = 4, b = 6; 3) a = 3,2, b = 2,3; 4) a = 2 5, b = 3 5; 5) a = 3, b = 7; 6) a = 1, b = 0, Joonestada hüperbooli x2 49 y2 = 1 fookused ja asümptoodid Leida võrdhaarse hüperbooli teljed, teades, et hüperbool x 2 y 2 = a 2 läbib punkti 1) (10,6); 2) (3,1). 1) A(8, 6), B(6, 3); ( 2) K(6, 1), L 8,2 ) 2 ; ( 3) P( 5,2), Q 2 5, ) Koostada hüperbooli kanooniline võrrand, teades, et ta läbib punkte x Leida hüperbooli 225 y2 = 1 fookuste koordinaadid ja 64 koostada asümptootide võrrandid. x Leida hüperbooli 144 y2 = 1 poolteljed, fookuste koordinaadid, ekstsentrilisus ja asümptootide 25 võrrandid.

34 Koostada hüperbooli kanooniline võrrand, kui hüperbooli fookusteks on( punktid F 1 ( 10,0), F 2 (10,0) ja hüperbool läbib punkti M 12,3 ) Leida antud hüperbooli poolteljed, fookused, ekstsentrilisus ja parameeter: 1) x2 36 y2 16 = 1; 2) 4x 2 9y 2 = 36; 3) 3x 2 y 2 = 12; 4) 3x 2 8y 2 = 6; 5) x y2 25 = 1;

35

36

37

38

39

40

41 26 PEATÜKK 9. HÜPERBOOL Millist tingimust peab rahuldama hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 ekstsentrilisus selleks, et tema paremal harul eksisteeriks punkt, mis asetseb võrdsel kaugusel paremast fookusest ja b2 vasakust juhtsirgest Hüperbooli ekstsentrilisus e = 3, keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, üks juhtsirge 2 on antud võrrandiga x = 8. Arvutada antud juhtsirgele vastava fookuse kaugus punktist M 1, mille abstsiss on Tõestada, et hüperbooli juhtsirge läbib vastavast fookusest asümptoodile tõmmatud ristsirge ja asümptoodi lõikepunkti. Leida fookuse kaugus asümptoodist Leida valem, mis seob kahe kaashüperbooli ekstsentrilisusi. Selle valemi põhjal määrata võrdhaarse hüperbooli ekstsentrilisus Tõestada, et hüperbooli juhtsirgete poolt väljalõigatud asümptootide lõigud on võrdsed hüperbooli fokaaltippude vahelise kaugusega 2a. Kasutades toodud omadust, konstrueerida hüperbooli juhtsirged. Puutujad Koostada hüperbooli M 0 (x 0,y 0 ). x 2 a 2 y2 = 1 puutuja ja normaali võrrandid hüperbooli punktis b Koostada hüperbooli x2 5 y2 = 1 punkti A(5, 4) läbiva puutuja võrrand Leida hüperbooli x2 10 y2 = 1 puutujad tema lõikepunktides sirgega 3x 5y = Millist tingimust peab rahuldama kordaja m, et sirge y = 5 x + m oleks hüperboolile 2 x 2 9 y2 36 = 1 1) lõikajaks; 2) puutuks teda; 3) ei omaks hüperbooliga ühiseid punkte Milliste tingimuste korral on võimalik punktistm 0 (x 0,y 0 ) tõmmata hüperboolile x2 a 2 y2 b 2 = 1 1) kaks puutujat; 2) ainult üks puutuja. Koostada mõlemal juhul puutujate võrrandid Hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 juhtsirgete ja reaaltelje lõikepunktidest on tõmmatud puutujad b2 antud hüperboolile. Koostada puutujate võrrandid ja leida puutepunktid Koostada punkti M (1,4) läbivate hüperbooli x 2 y2 4 = 1 puutujate võrrandid.

42 Leida hüperbooli x2 8 y2 9 3) C(5, 1). = 1 puutujad, mis läbivad antud punkti: 1) A(2,0); 2) B( 4,3); Koostada antud hüperbooli puutuja ja normaali võrrandid, kui puutuja läbib antud punkti P: 1) x 2 2y 2 = 8, P(1,1); 2) 4y 2 x 2 = 20, P( 8, 1) Leida antud sirge poolus antud hüperbooli suhtes: 1) x = 4, x2 8 y2 4 = 1; 2) 2x y 6 = 0, x 2 y 2 = Leida punkti A(2,0) polaar hüperbooli 9x 2 8y 2 = 72 suhtes. Leida antud punkti polaar hüperbooli suhtes: 1) P(2,0), 9x 2 8y 2 = 72; 2) P( 8, 8), 4y 2 x 2 = 20; 3) P(1, 10), x2 8 y2 32 = Tõestada, et iga sirge, mille poolus asetseb hüperbooli asümptoodil, on paralleelne asümptoodiga ja ühtib asümptoodiga, kui asümptoodil asetsev poolus on lõpmata kaugel Tõestada, et hüperbooli punktis X moodustab võrdsed nurgad sirgetega F 1 X ja F 2 X, kus F 1 ja F 2 on hüperbooli fookused Leida punktist (x 0,y 0 ) hüperboolile x2 a 2 y2 = 1 tõmmatud puutujate vaheline nurk. b Tõestada, et kui ellips ja hüperbool on kaasfokaalsed, siis on nad ortogonaalsed. Märkus. Kahte teist järku kõverat nimetatakse kaasfokaalseteks, kui nende fookused ühtivad. Nurgaks kahe kõvera vahel nimetatakse nende kõverate puutujate vahelist nurka nende kõverate lõikepunktis. Kui kahe kõvera vaheline nurk on π, siis kõneldakse, et kõverad on 2 ortogonaalsed Tõestada, et kaks võrdhaarset hüperbooli on ortogonaalsed, kui nende keskpunktid ühtivad ja ühe hüperbooli asümptoodid on teise hüperbooli sümmeetriatelgedeks Leida hüperboolil x2 8 y2 9 π 3. = 1 punkt, mida läbiv puutuja moodustab abstsissteljega nurga Leida tarviklik ja piisav tingimus hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 ja sirge b2 1) Ax+By +C = 0; 2) y = kx+m puutumiseks.

43 28 PEATÜKK 9. HÜPERBOOL Missuguse tarviliku ja piisava tingimuse korral punktist M 0 (x 0,y 0 ) hüperboolile x2 a 2 y2 b 2 = 1 tõmmatud puutujad puutuvad erinevaid hüperbooli harusid? Leida hüperbooli x2 15 y2 = 1 puutujad, mis on 6 1) paralleelsed sirgega x+y 7 = 0; 2) paralleelsed sirgega x 2y = 0; 3) risti sirgega x 2y = Koostada hüperbooli 5x 2 4y 2 = 20 puutuja ja normaali võrrandid, kui puutuja on paralleelne sirgega 3x 2y = Leida hüperbooli x 2 4y 2 = 12 puutuja ja normaali võrrandid, kui puutuja on risti sirgega x+y 1 = Leida sirgega 2x + 4y = 5 paralleelsed hüperbooli puutujatevaheline kaugus d. x 2 16 y2 8 = 1 puutujad ja arvutada Leida normaal hüperboolile 1) x2 81 y2 = 1 paralleelselt sirgega 18x 10y +7 = 0; 9 2) x 2 y 2 = 1 risti sirgega 13x 12y = On antud hüperbooli fookused F 1 (4,2),F 2 ( 1, 10) ja puutuja 3x + 4y 5 = 0. Leida hüperbooli poolteljed Hüperbool puutub sirget s punktis M 0. Koostada hüperbooli võrrand: 1) (s) x y 2 = 0, M 0 (4,2); 2) (s) x y 3 = 0, M 0 (5,2); Koostada hüperbooli võrrand, kui hüperbooli fookused asuvad abstsissteljel sümmeetriliselt reeperi alguspunkti suhtes, sirge 15x+16y 36 = 0 on hüperbooli puutuja ja fokaaltippudevaheline kaugus 2a = Koostada hüperbooli kanooniline võrrand, kui on antud hüperbooli asümptootide võrrandid y = ±0,5x ja hüperbooli ühe puutuja võrrand 5x 6y 8 = Leida hüperbooli x2 9 y2 16 ja paremast fookusest. = 1 selline puutuja, mis asetseb võrdsel kaugusel keskpunktist Tõestada, et hüperbooli suvalise puutuja lõik, mis on piiratud asümptootidega, poolitub puutepunktis Tõestada, et hüperbooli suvalise punkti fokaalraadiuste korrutis on jääv suurus Tõestada, et hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 fookuste kauguste korrutis puutujast on b. b ) Leida hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 fookuste kaugus asümptootidest. b2

44 29 2) Tõestada, et hüperbooli suvalise punkti kauguste korrutis asümptootideni on jääv suurus Koostada täisnurkade tippude hulga võrrand, kui täisnurkade küljed puutuvad antud hüperbooli Leida hüperbooli fookuse projektsioonide hulk hüperbooli puutujatele Kas antud hüperboolil x2 a 2 y2 = 1 eksisteerivad puutujad kõikides sihtides? Eitava vastuse b2 korral leida tingimused, mida peab rahuldama hüperbooli puutuja tõus On antud hüperbool ja puutepunkt: 1) xy = m, M 0 (x 0,y 0 ); 2) xy = 8, M 0 (2,4); 3) xy = 12, M 0 (3,4); Koostada puutuja võrrand. Diameetrid Leida hüperbooli fokaallaius. Märkus. Hüperbooli fokaallaiuseks nimetatakse hüperbooli fookust läbiva ja fokaalteljega ristuva kõõlu pikkust Tõestada, et hüperbooli x2 a 2 y2 paralleelsete kõõlude keskpunktide hulk on sirge. b Hüperbooli x2 4 y2 = 1 kõõl, mis läbib punkti A(3, 1), poolitub selles punktis. Koostada vaadeldavat kõõlu kandva sirge võrrand. = 1 kõõlude sihiga konju Leida sirgega 3x 4y +6 = 0 paralleelsete hüperbooli x2 5 y2 4 geeritud diameetri võrrand Kontrollida, et hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 teljed osutuvad ainsateks diameetriteks, mis on b2 risti nende kõõludega, mida nad poolitavad Näidata, et hüperbooli kõõlu otspunktidest tõmmatud puutujad läbivad ühte ja sama punkti diameetril, mis poolitab kõõlu On antud hüperbooli asümptoodid ja üks tema diameetritest CD. Joonestada selle diameetri kaasdiameeter Leida hüperbooli x2 a 2 y2 = 1 kaks kaasdiameetrit, mis moodustavad omavahel nurga α. b2 x Leida hüperbooli 5 y2 = 1 kaasdiameetrite vaheline nurk, kui on teada, et reaalsel 9 diameetril asestsev kõõl on kaks korda suurem fokaalkõõlu pikkusest (fokaalkõõlu pikkus on 2a) Leida hüperbooli

45 30 PEATÜKK 9. HÜPERBOOL 1) x 2 y 2 = 1 2) x2 5 y2 4 = 1 kaasdiameetrid, millede vaheline nurk on Leida hüperbooli 9x 2 16y 2 = 576 diameeter, millel asetseva kõõlu pikkus on 20 cm Leida hüperbooli x2 15 y2 6 = 1 diameeter, millel asetseva kõõlu pikkus on Tõestada, et hüperbooli puutuja on puutepunkti läbiva diameetri kaassihiline sirge Hüperbooli tasandil on fikseeritud kaks punkti A ja B. Koostada sirgete AM ja BM lõikepunktide M hulga võrrand, kui sirge AM ja BM on hüperbooli kaassihilised Tõestada, et iga kolmnurk, mille tipud asetsevad hüperboolil x2 a 2 y2 = 1, on täisnurkne. b Ruudu tipud asetsevad hüperboolil x2 a 2 y2 = 1. Leida ruudu tipud. Uurida, millistesse b2 hüperboolidesse on võimalik joonestada ruutu.

46 Peatükk 10 Parabool 1. Parabool ( p ) 1. Definitsioon. booli fookuseks punkt F 2,0 ja juhtsirge (e. direktrissi) võrrand omab kuju x = p. Olgu X(x,y) parabooli suvaline punkt, R = XP punkti X kaugus fookusest ja d = XP 2 punkti kaugus juhtsirgest, lähtudes definitsioonist saame siis r = d. (10.1) Kuna r = (x p 2 )2 +y 2, d = x+ p, siis, asendades seosesse (10.1) ja lihtsustades, saadakse 2 parabooli kanooniline võrrand 1 y 2 = 2px. (P) 2. Parabooli kuju uurimine. Parabool on mittetsentraalne kõver (pinnal keskpunkti ei eksisteeri). Paraboolil on ainult üks sümmeetriatelg, mis valitud kanoonilise reeperi korral on võetud x-teljeks. Paraboolil on ainult üks tipp (kõvera lõikepunkt sümmeetriateljega) O(0,0). Poolintervallis 0 x < + on y kasvav funktsioon, kusjuures lim x + y = +. Parabool y 2 = 2pxp > 0 ei oma x-telje negatiivsel osal ühtegi punkti. Parabool (P) on sümmeetriline parabooliga mõlemaid paraboole võib esitada ühtse võrrandiga y 2 = ax, a 0. (10.2) 3. Parabool on kumer kõver, sest ta asetseb tervikuna ühel pool iga oma puutuja suhtes. Parabooli (P) puutuja võrrand parabooli punktis X 0 (x 0,y 0 ) omab kuju y 0 y = p(x+x 0 ). (10.3) 1 Võrrandid (10.1) ja (P) on ekvivalentsed, kuna võrrandist(10.1) järeldub võrrand (P) ja viimasest võrrand (10.1). 31

47 32 PEATÜKK 10. PARABOOL Parabooli puutuja parabooli punktis X 0 moodustab võrdsed nurgad parabooli teljega ja sirgega FX 0, kus F on parabooli fookus. Viimast omadust nimetatakse sageli parabooli optiliseks omaduseks: kui valgusallikas on parabooli fookuses, siis paraboolilt peegeldunud kiired on kõik paralleelsed parabooli teljega. 4. Sirget, millel asetsevad parabooli paralleelsete kõõlude keskpunktid, nimetatakse parabooli diameetriks ehk täpsemalt kõneldes paralleelsete kõõlude sihi kaasdiameetriks. Kõõlu sihti ja kaasdiameetri sihti nimetatakse kaassihtideks ehk konjugeeritud sihtideks antud parabooli suhtes. Parabooli kõik diameetrid moodustavad teljega paralleelsete sirgete ebakimbu. Parabooli diameetri võrrandi võib üldjuhul esitada kujul kus s = (l, m) on paralleelsete kõõlude sihivektor ehk my pl = 0, (10.4) y = p k, (10.5) kus k = m on paralleelsete kõõlude tõus. l Suhet e = r nimetatakse koonuselõike ekstsentrilisuseks, kui r on punkti kaugus fookusest ja d d on punkti kaugus vastavast juhtsirgest. Parabooli kui koonuselõike ekstsentrilisus e = 1. Tasandi punkti M nimetatakse antud parabooli suhtes sisepunktiks, kui punkti M läbiv suvaline sirge, mille suund erineb parabooli y telje sihist, lõikab parabooli kahes erinevas punktis. Kuna punkt P 0 asetseb väljaspool parabooli, siis punkti P 0 polaariks antud parabooli suhtes on antud paraboolile tõmmatud puu- P 1 tujate puutepunkte ühendav sirge P 1 P 2 (vt. joon. 10.1). Punkti P 0 0 P 0 (x 0,y 0 ) polaar määratakse võrrandiga x y 0 y = p(x+x 0 ). (10.6) Sirge P 1 P 2 poolus on punkt P 0. Kui poolus P 0 on paraboolil, siis on polaar parabooli puutuja selles punktis P 0. Kui punkt P 0 on parabooli sees, siis võrrand (10.6) esitab punkti P 0 polaari, mis asetseb väljaspool parabooli. Polaari on lihtne konstrueerida kahe vabalt võetud lõikaja abil (analoogiliselt ringjoone juhuga, vt. joon. 8.2). P 2 Joonis Määrata parabooli x 2 = 4y fookuse koordinaadid Koostada parabooli kanooniline võrrand, kui on antud parabooli parameeter: (a) p = 4; (b) p = 3; (c) p = ; (d) p = 3, Koostada parabooli y 2 = 6x juhtsirge võrrand.

48 10.1. PARABOOL Leida fookuse koordinaadid ja juhtsirge võrrand paraboolidel: (a) y 2 = 5x; (b) y 2 = 2x; (c) y = x 2 ; (d) x 2 = 3y Koostada parabooli võrrand, kui on antud fookuse koordinaadid F(3, 0) ja juhtsirge võrrand x = Koostada parabooli võrrand, kui parabooli tipp asetseb reeperi alguspunktis, parabool on sümmeetriline x-telje suhtes ja (a) läbib punkti A(9,6); (b) läbib punkti B( 1,3); (c) läbib punkti C(2, 4); (d) läbib punkti D( 2,4); (e) fookuse ja tipu vaheline kaugus on 4 pikkusühikut; (f) fookuse ja tipu vaheline kaugus on 3 pikkusühikut; (g) fookus asetseb punktis P(5,0) Koostada parabooli võrrand, kui parabool on sümmeetriline y-telje suhtes, parabooli tipp asetseb reeperi alguspunktis ja parabool y (a) läbib punkti A(1,1); (b) läbib punkti B(4, 8); (c) läbib punkti C(4,2); (d) läbib punkti D( 4, 2); (e) fookus asetseb punkti F(0,3); (f) fookus asetseb punktis F(0,2). b a 0 b x Määrata parabooli y 2 = 2px parameeter, teades, et fookusest kuni punktini, kus x = 3, tõmmatud fokaalraadius on 5. Joonis 10.2 Reeper on nihutatud Koostada parabooli võrrad, kui on antud tema fookus F(4,3) ja juhtsirge y +1 = Koostada parabooli võrrand, kui parabooli juhtsirge on võetud ordinaatteljeks ja fookus asetseb punktis P: (a) F(5,0); (b) F(3,0) Koostada parabooli võrrand, kui parabool juhtsirge on valitud abstsissteljeks ja fookus asetseb punktis F(0,3).

49 34 PEATÜKK 10. PARABOOL Parabool on sümmeetriline x-telje suhtes, lõikab x-teljest välja lõigu a ja y-teljest lõigud b (joon. 10.2). Koostada parabooli võrrand Koostada parabooli võrrand, teades, et tema tipp asetseb punktis A(a, b), parameeter on p, telg on paralleelne x-teljega ja parabool ulatub lõpmatusse (a) x-telje postitiivses suunas; (b) x-telje negatiivses suunas Koostada parabooli võrrand, kui parabooli telg on paraleelne y-teljega, telje suund ühtib y-telje suunaga, tipp asetseb punktis A(a, b) ja parameeter on p. Lahendada ülesanne ka erijuhul, kui A(1, 2) ja p = Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes, lõikab abstsissteljest välja lõigatud ±a ja ordinaatteljest lõigu b. Koostada parabooli võrrand Parabool on sümmeetriline x-telje suhtes, tema tipp asetseb punktis A( 5,0) ja parabool lõikab ordinaatteljest välja kõõlu pikkusega l = 12. Koostada parabooli võrrand Koostada parabooli võrrand, teades, et tema tipp on punktis C( 2, 1), sümmeetriatelje suund ühtiby-telje negatiivse suunaga ning parameeterpon võrdne ellipsi3x 2 +4y 2 48 = 0 juhtsirgete vahelise kaugusega Antud on parabooli tipp A(6, 3) ja juhtsirgete võrrand 3x 5y + 1 = 0. Leida selle parabooli fookus F Veenduda, et igaüks järgnevatest võrranditest määrab parabooli ning leida tema tipu A kordinaadid, parameeter p ja juhtsirge võrrand : 1) y 2 = 4x 8; 2) x 2 = 6y +2; 3) y 2 = 4 6x; 4) x 2 = 2 y Määrata tipp, A, lõikepunktid x-teljega ja haarade suund järgmistel paraboolidel: 1) y = x 2 7x+10; 2) y = 5+4x x 2 ; 3) y = 2x 2 3x 8; 4) y = 3x 2 +5x+4; 5) y = 5x 3 2x 2. Kindlaid tingimusi rahuldavad punktid Paraboolil y 2 = 8x leida punkt, mille fokaalkaugus on Arvutada parabooli y 2 = 20x punkti M fokaalkaugus, kui punkti M abtsiss on Paraboolil y 2 = 4x leida punktid, mille abstsiss ja ordinaat on võrdsed Parabooli y 2 = 4,5x punkti M(x,y) kaugus juhtsirgest on d = 9,125. Arvutada punkti M kaugus parabooli tipust Leida tunnus, mille järgi võib määrata punkti M 0 (x 0,y 0 ) asendi parabooli y 2 = 2px suhtes.

50 10.1. PARABOOL Määrata punktide A(3,1), B(4,2), C(2,2) asend parabooli x 2 = 8y suhtes Missuguse tarviliku ja piisava tingimuse puhul sirge Ax+By +C = 0 1) lõikab parabooli y 2 = 2px? 2) ei lõika parabooli y 2 = 2px? Leida parabooli y 2 = 18x ja antud sirgete lõikepunktid: 1) 6x+y-6=0 ; 2) 9x-2y+2=0 ; 3) 4x-y+5=0 ; 4) y-3= Leida parabooli ja sirge lõikepunktid : 1) y 2 = 9x, y = 2x 2; 2) y 2 = 4x, 12y 16x = 9; 3) y 2 = 6x, y = 3x+0.5; 4) x 2 = 25y, y x+4 = 0; 5) y 2 = 6x, 3x 2y +6 = Määrata hüperbooli x2 20 y2 5 = 1 ja parabooli y2 = 3x lõikepunktid Leida parabooli y 2 = 12x ja ellipsi x2 25 y2 16 = 1 lõikepunktid On antud parabool ja tema teljega ristuv sirge l. Leida parabooli niisugune punkt P, et parabooli suvaline punkti M kauguste ruutude vahe sellest punktist ja sirgest l ei sõltuks punkti M valikust Ringjoone keskpunkt asetseb parabooli y 2 = 4x+2 fookuses ja ringjoon puutub parabooli juhtsirget. Leida ringjoone ja parabooli lõikepunktid. Parabooli joonestamine Joonestada parabool, lähtudes tema definitsioonist On antud täisnurkne kolmnurk ABC kaatetitega a ja b. Mõlemad kaatetid on jagatud n võrdseks osaks. Jaotuspunktid kaatetitel on nummerdatud, kaatetil a alates teravnurgatipust ja kaatetil b alates täisnurga tipust (vt joonis 10.3). Läbi kaateti a jaotuspunktide on tõmmatud kaatetiga b paralleelsed sirged; kaateti b jaotuspunktid on ühendatud tipuga B. Koostada sama numbrit kandvate jaotuspunktidega määratud sirgete lõikepunktide hulga võrrand. C { a B y b { A x Joonis 10.3

51 36 PEATÜKK 10. PARABOOL Millised kolmnurki peaks kasutama, et kooskõlas eelneva ülesandega konstrueerida parabooli y 2 = 5x. Kuidas täiendada konstruktsiooni, et saada punkte väljaspool kolmnurka Joonestada paraboolile y 2 = 2px normaal väljaspool kõverat asuvast punktist M. Parabooli puutuja Leida parabooli y 2 = 10x puutujad, mis läbivad antud parabooli ja sirge 4x y 5 = 0 lõikepunkte Koostada antud punkti M 0 (x 0,y 0 ) läbivate parabooli y 2 = 2px puutujate võrrandid, kui: 1)M 0 on parabooli punkt; 2)M 0 on parabooli suhtes väline punkt Tõestada,et parabooli y 2 = 2px puutuja, mis puutub parabooli ( punktis X 0 (x 0,y 0 ), lõikab abstsisstelge punktis A( x 0,0) ja ordinaattelge punktis B 0, y ) Tõestada, et parabooli x 2 = 2px puutuja parabooli punktis X 0 moodustab võrdsed nurgad parabooli teljega ja sirgega X 0 F, kus F on parabooli fookus Sirge x+3y +9 = 0 on parabooli y 2 = 4x puutuja. Leida puutepunkt Leida parabooli y 2 = 2px parameeter, kui parabool puutub antud sirget 1) x 3y +9 = 0; 2) x 2y +5 = Leida antud parabooli puutujad, mis läbivad antud punkti P: 1) y 2 = 8x, P(5, 7); 2) y 2 = 36x, P(2,9); 3) y 2 = 6x, P(0,3); 4) y 2 = 6x, P(2, 2 3); 5) y 2 = 6x, P(5,5) Punktist P( 3,12) on asetatud paraboolile y 2 = 10x puutujad. Arvutada puutepunkte ühendava kõõlu kaugus punktist P Leida parabooli y 2 = 2px suvalist punkti X 0 (x 0,y 0 läbiva normaali ja parabooli telje lõikepunkt Leida parabooliy 2 = 9x puutuja ja normaali võrrandid, kui puutuja läbib punkti P 0 ( 8,3) Leida parabooli x 2 = 6y puutuja ja normaali võrrandid, kui puutuja läbib punkti P 0 = (5, 4) On antud parabool y 2 = 12x. Leida tema puutujad, mis 1) läbivad punkti, mille abtsiss x = 3 ; 2) on paralleelsed sirgega 3x y +5 = 0 ; 3) on risti sirgega 2x+y 7 = 0 ; 4) moodustavad sirgega 4x 2y +9 = 0 nurga π 4.

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

Variant A

Variant A PARABOOL. PARABOOLI KANOONILINE VÕRRAND Kuids leid joone võrrndit, kui on ted, et selle joone ig punkti kugused sirgest = j punktist F(0; ) on võrdsed? Tähistme joonel olev vlt vlitud punkti P(; ). Selle

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Microsoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc

Microsoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc Mudeliklassi F3A Eesti meistrivõistluste reeglistik (2010) Reeglid põhinevad Rahvusvahelise Lennuspordi Föderatsiooni (FAI) määrustel, kuid on mugandatud arvestades kohalike võistlejate lennuvahendeid

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc 1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei

PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

AINEPROGRAMM Õppeaasta: 2015/16 Semester: I õpp Aine kood: RKE111 (MI, AT, ET, TI, RA, LI erialadele) Aine nimetus: KUJUTAV GEOMEETRIA Õppejõud P. Sok

AINEPROGRAMM Õppeaasta: 2015/16 Semester: I õpp Aine kood: RKE111 (MI, AT, ET, TI, RA, LI erialadele) Aine nimetus: KUJUTAV GEOMEETRIA Õppejõud P. Sok AINEPROGRAMM Õppeaasta: 2015/16 Semester: I õpp Aine kood: RKE111 (MI, AT, ET, TI, RA, LI erialadele) Aine nimetus: KUJUTAV GEOMEETRIA Õppejõud P. Sokolov lektor V. Lillemets lektor O. Ovtšarenko lektor

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei

DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage

Rohkem

Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.

Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja Sõlesepad tantsurühma meestega. Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Lõppvoor 2016

Lõppvoor 2016 Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

EELNÕU

EELNÕU Keskkonnaministri 4. jaanuari 2007. a määruse nr 2 Vääriselupaiga klassifikaator, valiku juhend, vääriselupaiga kaitseks lepingu sõlmimine ja vääriselupaiga kasutusõiguse arvutamise täpsustatud alused

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

Kiekim mees kirjeldus.docx

Kiekim mees kirjeldus.docx KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

master.dvi

master.dvi TARTU ÜLIKOOL Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut ELMO TEMPEL GALAKTIKA NGC 4594 HÜDRODÜNAAMILINE MUDEL Astrofüüsika magistritöö Juhendaja: dots. PEETER TENJES Tartu 2005 Sisukord 1

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers)

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) aknasse ja looge kaks läbipaistvat kihti juurde. Pange

Rohkem

Lisa I_Müra modelleerimine

Lisa I_Müra modelleerimine LISA I MÜRA MODELLEERIMINE Lähteandmed ja metoodika Lähteandmetena kasutatakse AS K-Projekt poolt koostatud võimalikke eskiislahendusi (trassivariandid A ja B) ning liiklusprognoosi aastaks 2025. Kuna

Rohkem

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine

Rohkem

efo52kkl.dvi

efo52kkl.dvi Eesti koolinoorte 52. füüsikaolümpiaad 12. veebruar 2005. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused Eessõna Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik (mõnel juhul

Rohkem

TERASTORUD JA ELLIPSIKUJULISED TERASTORUD HelCor PipeArch

TERASTORUD JA ELLIPSIKUJULISED TERASTORUD HelCor PipeArch TERASTORUD JA ELLIPSIKUJULISED TERASTORUD HelCor PipeArch HelCor TERASTORUD HelCor PA torud on sobilikud kasutamaks kõikide tee klasside ja raudtee (kuni V=200km/h) rajatistena, vastavalt Euroopa standardile

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc) 4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid

Rohkem

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Rohkem

Tuustep

Tuustep TUUSTEPP Eesti tants segarühmale Tantsu on loonud Roland Landing 2011. a. Pärnus, kirjeldanud Erika Põlendik. Rahvalik muusika, esitab Väikeste Lõõtspillide Ühing (CD Kui on kuraasi ). Tantsus on käed

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete

Rohkem