Programmi Pattern kasutusjuhend

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Programmi Pattern kasutusjuhend"

Väljavõte

1 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks õhu temperatuur on,5, õpilase mass on 6 kg, pinge vooluvõrgus on 0 V, kaua hind 5.60 kr, vanaisa vanus 7 a. Selliseid suurusi, mida saa esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Leidu ka suurusi, mille iseloomustamiseks ei piisa ühest arvust. Näiteks, purjekaile on vähe kasu ainult tuule kiiruse teadasaamisest (näiteks 5 m/s), vaja on teada ka tuule sihti ja suunda. Näiteks kujul tuul puhu loode-kagu sihis, loodest kagusse.... Ilmastikukaardil kujutatakse neid andmeid nooltega: nool näita missuguses sihis ja suunas tuul puhu, noole pikkus näita tuule tugevust. Selline nool kujuta endast tuule tugevusvektorit. Füüsikas kujutatakse vektoritega paljusid suurusi (näiteks nihe, kiirus, kiirendus, jõud). Vaatleme näiteks kiirust. Lennaku mingi lennuk trassil Tallinn Helsingi. Kaardile või märkida lennutrassi. Lihtsuse mõttes loeme selle ligikaudu sirgeks. Noole suunaga märgime lennuki kursi (näit. Helsingist Tallinna poole). Noole pikkus näita aga seda, kui kiirelt lennuk liigu (näiteks 700 km/h). Trass määra sihi ja kurss määra suuna, milles liikumine toimu. Sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus. Siht näita, kuidas vektor asetse. Suund näita, kummale poole on vektor suunatud. Pikkus näita vektori arvväärtust VEKTORITE TÄHISTMISEST. VEKTORITE VÕRSUS Kui alguspunktiks on ja lõpp-punktiks, siis seda vektorit tähistatakse. r r r r Sageli tähistatakse vektoreid ka väiketähtedega, näiteks a, v, ja. Väikeste tähtede kasutamse korral märgitakse vektoreid ainult ühe tähega. Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed. Samasihilisuse jaoks kasutatakse matemaatikas ka teist sõna kollineaarsus. samasihilisus = kollineaarsus a c Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised. Näiteks, ülaltoodud joonisel on vektorid a r ja r samasuunalised, vektorid a r ja c r aga vastassuunalised. Neid tõsiasju märgitakse lühidalt nii: a r r ja a r c r. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. a c E Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks. k F EF u Lad. k. scalaris astmeline. Lad. k. vector vedav, kandev. = EF u u k

2 6... VEKTORITE LIIGITUS Kas vektor sõltu sellest, millises punktis on ta algus, s.t. kas vektor sõltu oma rakenduspunktist? Vaatame näiteks tuule kiirusvektorit. Kuna tuule kiirus on erinevates punktides erinev, siis ilmastikukaardile märgitavad vektorid on oma sihilt, suunalt ja pikkuselt erinevad. Tuule kiirus on lahutamatult seotud kohaga, mille jaoks tuule siht, suund ja kiirus antakse. Teise näitena vaatleme kummipaela otsas rippuvat koormust. Kas koormuse nihe sõltu sellest, kuhu me kinnitame koormuse? Ilmselt sõltu. Toodud kaks näidet ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirusvektor ja jäigale kehale rakendatud jõuvektor on liiseva vektori näiteks. Vektorit, mille rakenduspunkti või vaalt valida vektori mõjusirgel, nimetatakse liisevaks vektoriks. Vaatleme näiteks ühtlase laiuse ja sügavusega sirges kanalis voolava veega kaasaliikuvat parve. Märgime parvel mingid vaalt valitud punktid P ja Q. jamomendil t on need punktid kalda suhtes punktides P ja Q, ajamomendil t punktides P ja Q. Et vool on ühtlane ja sirgjooneline, siis või öelda, et PP QQ, P P Q Q, ja P P = Q Q. Seega P P = Q Q. Q P P Q t t Mõlemad näited kuuluvad selliste hulka, kus lisaks vektori sihile, suunale ja pikkusele on vaja teada ka rakenduspunkti. Vektorit, mille täielikuks määramiseks on vaja peale sihi, suuna ja pikkuse anda ka rakenduspunkt, nimetatakse seotud vektoriks. Kui mingi keha liigu mööda sirgjoont ühtlaselt, siis on ta kiirusvektor kogu aeg suuruselt, sihilt ja suunalt muutumatu. Siis on ükskõik, millise koha selle keha teel me valime kiirusvektori alguspunktiks. Kui me rakendame mingile jäigale kehale mingit kindlasuunalist jõudu (näiteks lükkame käsitsi sõiduautot), siis või selle jõu rakenduspunkti kanda edasi mööda jõu mõjusirget. Jõu mõju efekt sellest ei sõltu. (Näiteks autot või tagant lükkamise asemel ka järel vedada... ). Võime öelda, et sellise kulgeva liikumise korral on parve kahel vaalt valitud punktil (järelikult ka kõigil ülejäänud punktidel!) ühesugused nihkevektorid. Seega võime märkida nihkevektori lähtuvana selle parve suvalisest punktist. See kulgevalt (translatoorselt) liikuva parve punktide nihkevektor on üheks tüüpiliseks vaavektoriks. Vektorit, mille rakenduspunkti või ruumis vaalt valida, nimetatakse vaavektoriks. Füüsikas lähe vaja neid kõiki vektorite tüüpe, matemaatikas kasutatakse sagedamini vaavektoreid. Järgnevas looume konkreetsetest kaalutlustest, mis tõid meid vektori mõiste juurde, ja vaatleme vektorit tasandil kui geomeetrilist kujundit ja kui arvupaari (ruumivektor oleks arvukolmik).

3 6... VEKTORI KOORINI. VEKTORI PIKKUS Nihet ühikut paremale ja ühikut üles saa esitada vektoriga, nii nagu näha joonisel. Seda nihet saa esitada ka järjestatud arvupaariga (; ). Esimene arv näita nihet -telje suunas, teine -telje suunas. = (; ) Nihe koordinaattasandil punktist (; ) punkti (6; 8) on märgitav vektoriga = (; 5). Vektor (; ) tähendaks koordinaattasandil nihet kahe ühiku võrra paremale ja kolme ühiku võrra alla. Joonisel on tehtud see nihe punktidest O(0; 0), (; ), ( ; ) ja ( ; ). 0 0 (; ) (; ) Vektorit tasandil saa esitada arvupaari ail. Selles arvupaaris olevaid arve nimetatakse vektori koordinaatideks esimesel kohal on esimene koordinaat, teisel kohal teine koordinaat. Leiame üldise valemi vektori koordinaatide jaoks. Selleks võtame teljestikus kaks punkti ( ; ) ja ( ; ). Leiame vektori koordinaadid. Selleks, et saada vektori koordinaate, tule lõpp-punkti koordinaatidest lahutada alguspunkti vastavad koordinaadid. Kui ( ; ) ja ( ; ), siis = ( ; ). Olgu meil mingid kaks võrdset vektorit. On ilmne, et võrdsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, s.t. kui u r = (a; ) ja v r = (c; d), siis u r = v r (a = c = d). Joonisel on vektor (; ). Leiame selle vektori pikkuse. Selleks joonistame välja kolmnurga. Selle kolmnurga hüpotenuusi saame leida Pthagorase teoreemi ail: = + = + =. K 0 L Vektori pikkust tähistatakse, vektori tähis kirjutatakse püstkriipsude vahele. Et vektori pikkus ja sellele vektorile vastava lõigu pikkus on võrdsed (miks?), siis vahel märgitakse vektori pikkust ka lihtsalt nii:. Kui v r = (a; ), siis selle vektori pikkus v r = a + Vektori pikkus võrdu ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Vektorit, mille pikkus on üks, nimetatakse ühikvektoriks VEKTORITE LIITMINE Kui liidame kahte vektorit, siis tulemuseks saame kolmanda vektori. Vektoreid saa liita algeraliselt ja geomeetriliselt. Näidetes kasutame paralleelselt mõlemat viisi. Näide. Lennuk lendas punktist 00 km itta ja jõudis punkti. Sealt lendas lennuk veel 00 km itta ja jõudis punkti. lgeraline lahendus = (00; 0) = (00; 0) + = (00; 0) + (00; 0) = (600; 0) + =. on vektorite ja summavektor. Geomeetriline lahendus

4 Näide. Mees liikus punktist P 00 m lõunasse punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas ja jõudis punkti R. Näide. Keha liikus punktist vektori = (5; ) võrra ja seejärel vektori = (; ) võrra. JÄRELUSE PQ = (0; 00) QR = (0; 500) PQ + QR = (0; 00) + (0; 500) = (0; 00) PQ + QR = PR. PR on vektorite PQ ja QR summavektor. = (5; ) = (; ) + = (5; ) + (; ) = (6,7) + =. on vektorite ja summavektor. Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid. u r = (a; ) v r = (c; d) w r = u r + v r = (a + c; + d) Kolmnurgareegel QR R P Q PQ PR Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühti teise algusega. Summavektor ühenda esimese vektori algust teise lõpuga. Mitteparalleelseid vektoreid saa liita ka nn. rööpkülikureegli ail. Olgu meil kaks vektorit a r ja r, nii et a r r. Liidame need vektorid kolmnurgareegli järgi. Olgu vektor a =, =, siis a + = + =. Kui aga võtta =, a =, siis + a = + =. a a Mõlemal viisil liites saime ühesuguse tulemuse (see on ka loomulik ka vektorite summa ei sõltu liidetavate järjekorrast). Vaatame nüüd rööpkülikut. Selle rööpküliku üks diagonaal ongi otsitav vektor a r r +. Rööpkülikureegel: Paigutame liidetavad vektorid nii, et nende alguspunktid ühtivad. Ehitame rööpküliku, mille külgedeks on need vektorid. Summavektor lähtu liidetavate vektorite ühisest alguspunktist, paikne sellest punktist tõmmatud diagonaalil ja on pikkuselt võrdne selle diagonaaliga. Näide. Kui = (; ), = (; ) ja = ( ; ), siis leiame summavektori + +. lgeraline lahendus + + = (; ) + (; ) + ( ; ) = ( + ; + + ) = (; 8). Summavektor on = (; 8). E F 6 8 G Geomeetriline lahendus Leiame kõigepealt vektorite ja summa kolmnurga reegli järgi, tulemusele liidame vektori sama reegli järgi. Mitme vektori liitmiseks kasutatakse hulknurgareeglit, mis on kolmnurgareegli üldistus. Hulknurgareegel: Selleks, et liita mitu vektorit, asetame nad nii, et esimese lõpp ühti teise algusega, teise lõpp kolmanda algusega jne. Summavektoriks on vektor, mis ühenda esimese vektori algust viimase lõpuga.

5 6..6. NULLVEKTOR. VSTNVEKTOR. VEKTORITE VHE Nullvektori ja antud vektori vastandvektori mõisteni jõudmiseks lahendame kaks lihtsat näiteülesannet. Näide. Olgu meil mingi vektor v = (a; ). Leida vektori z = (; ) koordinaadid, et kehtiks võrdus v + z = v. Liites need vektorid algeraliselt, saame (a + ; + ) = (a; ). Viimane võrdus kehti ainult juhul, kui = 0 ja = 0. Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks. Nullvektori pikkus on võrdne nulliga, tema alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Nullvektori siht ja suund ei ole määratud. Näide. Olgu meil vektor v = (a; ). Leida vektori z = (; ) koordinaadid, et kehtiks võrdus v + z = O r. 9 ( + ) = 9 + ( ) = naloogiliselt toimu vektori lahutamine ja nimelt: Vektori lahutamine tähenda selle vektori vastandvektori liitmist. Kui v = (a; ) ja u = (c, d), siis v u = v + ( u ) = (a; ) + ( c; d) = (a c; d). Vektorite v ja u vahe leidmiseks paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Seejärel või asendada vektori u ta vastandvektoriga u ja liita vektorid v ja u kolmnurga reegli järgi. Selleks, et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtu lahutatava vektori lõpp-punktist ja suundu vähendatava vektori lõpppunkti. Liites vektorid v ja z algeraliselt, saame võrduse (a + ; + ) = (0; 0). Seega a + = 0 ja + = 0 ehk = a ja =. Seega z = ( a; ). v v u 0 a = (; ) a = ( ; ) u Näide. Olgu a = (; ) ja = ( ; 5). Leiame a. lgeraline lahendus: a = (; ) ( ; 5) = (; ) + (; 5) = ( + ; + 5) Vektori v = (a; ) vastandvektoriks nimetatakse vektorit v = ( a; ). = (6; ) Geomeetriline lahendus: v + ( v ) = O. Kui kaks vektorit on teineteise vastandvektorid, siis on nad ühepikkused ja samasihilised, aga vastassuunalised. (Vt. joonist.) ) joonestame vektorid a = (; ) ja = ( ; 5); ) joonestame vektori = ( ; 5); Kui me õppisime tehteid reaalarvudega, siis saime teada, et arvu lahutamine tähendas selle arvu vastandarvu liitmist. Näit. 8 ( ) = 8 + ( + ) = ) konstrueerime vektori a = (6; ). u a a

6 6..7. VEKTORI KORRUTMINE RVUG Olgu kaks vektorit a = (; ) ja = (6; 8). Neil vektoritel on sama siht (nn. vektori tõusud = 8 6 ) ja sama suund, aga nende pikkused on erinevad, nimelt a a = 5 ja = 0. Kui me vektori a koordinaate korrutaksime kahega, saaksime vektori koordinaadid. Seda tõsiasja või märkida nii: = a. a = (; ) = (6; 8) t = ( 6; 9) s = (; ) Olgu meil kaks vektorit s = (; ) ja t = ( 6; 9). Need vektorid on samasihilised, nende suunad on aga vastupidised. Vektorite pikkused on s = ja t = = = 7 = 9 =, seega korda erinevad. Kui me vektori s koordinaate korrutaksime ( )-ga, saaksime vektori t koordinaadid. Kui v = (a; ), siis k v = (ka; k). Vektori korrutamisel arvuga k saame vektori, mis on pikkuselt võrdne arvu k ja vektori v pikkuse korrutisega. Kui k > 0, siis vektor k v on samasuunaline vektoriga v ( k v v ). Kui k < 0, siis vektor k v on vastassuunaline vektoriga v ( k v v ). a,5 a a 0 a Joonisel on mõned vektorid, mis me saame, kui korrutame vektorit a mõnede arvudega. Korrutamisel arvuga saame tulemuseks esialgse vektori vastandvektori, arvuga null aga nullvektori. Seega ( ) a = a ja 0 a = O. Teame, et kahte samasihilist vektorit nimetatakse ka kollineaarseteks vektoriteks. Teiselt poolt, vektorite kollineaarsus defineeritakse vahel järgmiselt: Kaht vektorit u ja v, millede vahel kehti seos u = k v, kus k on konstant, nimetatakse kollineaarseteks. Saa näidata, et kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised. Olgu meil kaks kollineaarset vektorit. a = (a ; a ) ja = ( ; ). Seega leidu niisugune arv k, et kehti võrdus a = k r. Siis kehti võrdus: (a ; a ) = k( ; ). Millest saame: (a ; a ) = (k ; k ). Kui vektorid on võrdsed, siis on võrdsed ka nende vastavad koordinaadid. Seega a = k ja a = k. valdame mõlemast võrdusest k, saame k = a a = a. ja k = a. Seega kehti ka võrdus Kahe kollineaarse vektori a = (a ; a ) ja = ( ; ) vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. a a. Saa näidata ka vastupidist, s.t. et kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis need vektorid on kollineaarsed: a a = a LÕIGU KESKPUNKTI KOORINI Vaatleme lõiku, mille otspunktid on ( ; ) ja ( ; ). Selle lõigu keskpunkt olgu ( c ; c ). valdame lõigu keskpunkti koordinaadid otspunktide koordinaatide kaudu. Et on lõigu keskpunkt, siis =. Seega 0,5 a a,5 a a,5 a a

7 ( c ; c ) = ( c; c). Et võrdsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, siis saame: c = c ja c = c. valdades nendest võrdustest c ja c, saame c = ja c =. (c; c) (; ) (; ) 0 Kui punktid ( ; ) ja ( ; ) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti ( c ; c ) koordinaadid on c = ja c = Seega või öelda, et lõigu keskpunkti koordinaadid on tema otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised. Näide. Leida lõigu KL keskpunkt M, kui K(; ) ja L( ; ). Keskpunkt on L M( + ( ) M ; + K ) = M( ; ) Q(0; ) P(a; ) M(0; N(a; 0) Näide. Näitame, et ristküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Iga ristküliku saa paigutada teljestikku nii, et üks tipp oleks koordinaadistiku alguspunktis ja küljed oleksid paralleelsed telgedega (vt. joonis). Olgu ristküliku küljed a ja. Tippude koordinaadid on siis M(0; 0), N(a; 0), P(a; ) ja Q(0; ). Lõigu MP keskpunkt on siis 0 + a 0 + ; a = ;. a a Lõigu NQ keskpunkt on siis ; = ;. Et diagonaalidel on ühine keskpunkt, siis nad poolitavad teineteist Lõigu jaotamine antud suhtes On antud punktid ( ; ) ja ( ; ). Tule leida nende punktide vahelisel lõigul punkt, mis jaota lõigu suhtes m n = k. Olgu otsitavaks punktiks ( ; c c). Et see punkt jaota lõigu suhtes m n = k, siis pea kehtima võrdus: = m n ehk n = m ehk ( c ; c )n = ( c; c)m. Siit saame [( c )n; ( c )n] = [( c)m; ( c)m], (cn n; cn n) = (m cm; m cm). Kuna vektorid on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed, siis cn n = m cm ja cn n = m cm. valdades nendest võrdustest c ja c, saame m n m n c = ja c =. m n m n Seega on otsitavaks punktiks m n m n ;. m n m n Näide. Leia punkt, mis jaota punktide (; ) ja ( ; ) vahelise lõigu suhtes :. Kasutades leitud valemeid, saame ( ) + c = + = + ja c = + = 8. 8 Seega on otsitavaks punktiks ;. 0

8 6.7. Vektori projektsioonid koordinaattelgedel. Vektori komponendid Võtame tasandil vektori, mille alguspunkt on punktis (a ; a) ja lõpp-punkt on punktis ( ; ). Punktide ja projektsioonid -teljel on ja, projektsioonid - teljel on ja. Vektori projektsioonivektoriks -teljel on vektor ja vektori projektsioonivektoriks -teljel on vektor. Nende projektsioonivektorite koordinaadid on = ( a ; 0) ja = = (0; a ). Leiame vektorite ja summa. Geomeetriliselt liites või panna need vektorid lähtuma ühest punktist punktist, 0 Näide. Latern massiga 0 kg on kinnitatud kronsteini külge. Kronstein koosne risttoest ja kaldtoest. Leiame tugedes tekkivad elastsusjõud, kui risttoe ja kaldtoe vaheline nurk on 60. Lami raskusjõud F r on tasakaalustatud kahe elastsusjõuga F ja. F on elastsusjõud kokkusurutud kaldtoes ja F on elastsusjõud väljavenitatud F rõhttoes. F + F + Fr = O F + F = Fr. Seega F + F = Fr = mg = 98, N 98 N. summavektor on siis. lgeraliselt liites Kolmnurgast saame saaksime + = ( a ; a), mis on sellesama vektori koordinaadid. F r F = = N. sin 60 Kokkuvõtteks: oleme esitanud ühe tasandil vaalt valitud vektori kahe vektori ja F r summana. Need vektorid on vektori -telje F = = 56,5 N 57 N. tan 60 sihiline komponent ( ) ja -telje sihiline komponent ( ). F 0 F Vektori lahutamine erinevate sihtidega komponentideks leia sageli rakendamist. Näide. Paat on kinnitatud köie ail kaldasse löödud vaia külge. Paadile mõju jõevool jõuga F ja puhuv tuul jõuga F, kusjuures tuule suund on risti jõe voolu suunaga. Nurk paadi ja kalda vahel on 0. Paadile mõjuva resultantjõu määramiseks on paadi ja köie vahel dünamomeeter. ünamomeetri näit on 00 N. Leiame jõudude F ja F suurused. Kui paat seisa paigal, siis kõigi paadile mõjuvate jõudude summa on null. F F r 60 Näide. Uurime seda, kuidas on võimalik purjepaadiga liikuda vastu tuult. Olukorra analüüsimisel kasutame kaks korda jõu lahutamist komponentideks. Tuul puhugu suunas M jõu M mõjul. Paadi teljeks olgu, purje teljeks olgu SS. Jõuvektori M või lahutada kaheks komponendiks ja. Neist üks komponent ( ) olgu risti purje pinnaga SS, teine komponent ( ) olgu purje pinnaga paralleelne. Purjele mõju neist ainult jõud. Jõu rakendame punkti M, seal teki vektor M =. Vektori M lahutame kaheks komponendiks, neist üks (ME ) on risti paadi teljega, teine (MF ) on paralleelne paadi teljega. Komponentjõud ME paadi liikumist oluliselt ei mõjuta, kuna paadi piklik kuju ja vee takistus sega. Paati edasi viivaks jõuks jää jõud MF. F F r Jõude F ja F tasakaalusta köie elastsusjõud, mida mõõda dünamomeeter. F + F + Fel = O F + F = Fel Seega F + F = Fel = 00 N. Määrame nüüd jõudude F ja F suurused F = F + F cos 0 = 6, N 50 N. F = F + F sin 0 00 N. S M E S F

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Remote Desktop Redirected Printer Doc

Remote Desktop Redirected Printer Doc VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018

10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018 IX OSA, 10. klass füüsika NEWTONI SEADUSED Kehade vastastikmõju on nähtus, kus ühe keha kiirus muutub mingi teise keha mõju tõttu. Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha ja ühe keha mõjul võib juhtuda

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers)

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) aknasse ja looge kaks läbipaistvat kihti juurde. Pange

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

SEPTIKU JA IMBVÄLAJKU KASUTUS-PAIGALDUS JUHEND 2017

SEPTIKU JA IMBVÄLAJKU KASUTUS-PAIGALDUS JUHEND 2017 SEPTIKU JA IMBVÄLAJKU KASUTUS-PAIGALDUS JUHEND 2017 Septiku ja imbväljaku tööprotsessi kirjeldus Üldine info ja asukoha valik: Septik on polüetüleenist (PE) rotovalu süsteemiga valmistatud mahuti, milles

Rohkem

Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa

Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Minu nimi on... Õpin......

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete

Rohkem

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning seda saab kombineerida teiste Carcassonne laiendustega.

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Tootmine_ja_tootlikkus

Tootmine_ja_tootlikkus TOOTMINE JA TOOTLIKKUS Juhan Lehepuu Leiame vastused küsimustele: Mis on sisemajanduse koguprodukt ja kuidas seda mõõdetakse? Kuidas mõjutavad sisemajanduse koguprodukti muutused elatustaset? Miks sõltub

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat

Rohkem

Füüsika

Füüsika Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse

Rohkem

EELNÕU

EELNÕU Keskkonnaministri 4. jaanuari 2007. a määruse nr 2 Vääriselupaiga klassifikaator, valiku juhend, vääriselupaiga kaitseks lepingu sõlmimine ja vääriselupaiga kasutusõiguse arvutamise täpsustatud alused

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Kiekim mees kirjeldus.docx

Kiekim mees kirjeldus.docx KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad

Rohkem

ins_selftec_est_1104_CC.cdr

ins_selftec_est_1104_CC.cdr E ELEKTRA SelfTec külmumisvastane süsteem ELEKTRA isereguleeruvad küttekaablid: kaablitel on Poola Elektriinseneride Ühingu B-ohutuskategooria märgistus kaablid toodetakse vastavalt ISO 9001 kvaliteedikinnituse

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng6ver2.ppt

Microsoft PowerPoint - Loeng6ver2.ppt Admeaalüüs molekulaarbioloogias LOMR.10.007 6. loeg Regressiooaalüüs. Regressiooseose tugevus (korrelatsiooikordaja, determatsiooikordaja) Märt Möls martm@ut.ee Kas Argetiias elavad õelikud iimesed? eadmestik:

Rohkem

untitled

untitled et Raketise eksperdid. Kaarraketis Framax Xlife Raamraketis Framax Xlife Informatsioon kasutajale Instruktsioon paigaldamiseks ja kasutamiseks 9727-0-01 Sissejuhatus tus Sissejuha- by Doka Industrie GmbH,

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

laoriiulida1.ai

laoriiulida1.ai LAORIIULID LAORIIULID KAUBAALUSTE RIIULID , arhiiviriiulid - Lk.3 Liikuvad arhiiviriiulid - Lk.5 Laiad laoriiulid - Lk.11 Kaubaaluste riiulid - Lk.13 Drive-in riiulid - Lk.14 Konsool- ehk harudega riiulid

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

VRB 2, VRB 3

VRB 2, VRB 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta

Rohkem

(Microsoft Word - M\344ngud)

(Microsoft Word - M\344ngud) Koolitus Aastaring looduses Lääne-Virumaa lasteaia- ja algklassiõpetajatele 25.-26.september 2013 Rakvere MÄNGUD TUNNE PUID See mäng sisaldab nii liikumist kui ka puude tundmist. Mängujuht ütleb ühe pargis

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Difraktsioon

Microsoft PowerPoint - Difraktsioon Laineotika Difraktsioon Füüsika Antsla GümnaasiumG 11 klass Eelmine tund 1) Mille alusel liigitatakse laineid ristilaineteks ja pikilaineteks? 2) Nimeta laineid iseloomustavaid suuruseid. Tunnis: Uurime,

Rohkem

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend I-KLASSI ÕLIPÜÜDURITE PAIGALDUS- JA HOOLDUSJUHEND PÜÜDURI DEFINITSIOON JPR -i õlipüüdurite ülesandeks on sadevee või tööstusliku heitvee puhastamine heljumist ja õlijääkproduktidest. Püüduri ülesehitus

Rohkem

Kom igang med Scratch

Kom igang med Scratch Alustame algusest Getting Started versioon 1.4 SCRATCH on uus programmeerimiskeel, mis lubab sul endal luua interaktiivseid annimatsioone, lugusid, mänge, muusikat, taieseid jm Scratch'i saab kasutada

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

BIOPUHASTI M-BOŠ BOX KASUTUS- JA PAIGALDUSJUHEND 2017

BIOPUHASTI M-BOŠ BOX KASUTUS- JA PAIGALDUSJUHEND 2017 BIOPUHASTI M-BOŠ BOX KASUTUS- JA PAIGALDUSJUHEND 2017 Biopuhasti tööprotsessi kirjeldus M-Bos biopuhastit kasutatakse puhastamaks reovett eramajades, koolides, hotellides ja teistes reovee puhastamist

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

Projekt: Sööbik ja Pisik Tartu Lasteaed Piilupesa Koostajad: Merelle Uusrand ja Ülle Rahv Sihtgrupp: 4 5aastased lapsed Periood: veebruar märts 2017 P

Projekt: Sööbik ja Pisik Tartu Lasteaed Piilupesa Koostajad: Merelle Uusrand ja Ülle Rahv Sihtgrupp: 4 5aastased lapsed Periood: veebruar märts 2017 P Projekt: Sööbik ja Pisik Tartu Lasteaed Piilupesa Koostajad: Merelle Uusrand ja Ülle Rahv Sihtgrupp: 4 5aastased lapsed Periood: veebruar märts 2017 Projekti eesmärk 1. Laps saab teadmisi tervislikest

Rohkem

normaali

normaali AS TEEKARU T-2 Tallinn-Tartu-Võru Luhamaa mnt kiirustabloode mõõtetulemused enne ja pärast märgi aktiveerimist. Vahearuanne Tallinn 2 AS TEEKARU LIIKLUSOSAKOND T-2 Tallinn-Tartu-Võru Luhamaa mnt kiirustabloode

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc) 4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid

Rohkem