ma1p1.dvi

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "ma1p1.dvi"

Väljavõte

1 Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised. Hulk (tavalises mõttes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Hulga tähistamiseks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega. Näiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk võib olla antud ka keerulisemal kujul. Näiteks { = 1,,3} on hulk, mille elemendid on arvutatavad valemiga, kusjuures võib omandada väärtusi 1, ja 3. Viimase hulga võib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1,4,9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka järjestatud hulki. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tavalise hulga ja järjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase tähistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel ümarsulgi. Peale selle lubame järjestatud hulga elementidel ka korduda. Näiteks ( 1,1, 1,1,...) on järjestatud hulk, milles 1-le järgneb 1, sellele omakorda 1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0,1,,3,...} ja täisarvude hulk on Z = {...,, 1,0,1,,3,...}. Täisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe täisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on Q. Seega, lühidalt kirjutades Q = { p q p,q Z,q 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Lõpmatuid mitteperioodilisi kümnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga tähis on I. Üks ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarv. Seetõttu ei oma ratsionaalarvude ja irratsio- 1

2 naalaarvude hulgad ühisosa, st Q I =. Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga tähis on R. Seega R = Q I. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Tõepoolest, nullpunktist ühe ühiku võrra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole ühiku võrra negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1/ jne. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu -ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu -ga. Sel juhul on tegemist teljestikuga ja me saame rääkiga tasandil asuva punkti - ja -koordinaatidest. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: a = { a kui a 0 a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Üldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel võrdub arvuga a b. Absoluutväärtuse omadused: 1. a = a. ab = a b 3. a+b a + b 4. a b a b Vahemikud, poollõigud ja lõigud. Defineerime järgmised reaalarvudest koosnevad hulgad: lõplik vahemik (a,b) = { a < < b}, lõplikud poollõigud [a,b) = { a < b}, (a,b] = { a < b}, lõplik lõik [a,b] = { a b}, lõpmatud vahemikud (a, ) = { a < < },

3 (,b) = { < < b}, (, ) = R, lõpmatud poolõigud [a, ) = { a < }, (,b] = { < b}. Vahemikke, poollõike ja lõike nimetame edaspidi ka pidevateks hulkadeks. Punktid neis hulkades paiknevad üksteise kõrval lõpmata tihedalt. Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (c,d) nii, et A (c,d). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a, b), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (,a), (a, ) ja lõpmatud poollõigud (,a], [a, ). 1. Jäävad ja muutuvad suurused. Funktsiooni mõiste ja esitusviisid. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitteühtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega võib konkreetne suurus olla ühes protsessis jääv kuid teises protsessis muutuv. On olemas ka suurusi, mis igas olukorras on jäävad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. J läbimõõdu suhte π, gaasi universaalkonstandi R =.314mool K c = km s jne. Näiteks võib tuua ringjoone ümbermõõdu ja, valguse kiiruse Muutumispiirkonna mõiste. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Näiteks aine temperatuur Celsiuse kraadides võib teoreetiliselt omada kõiki väärtusi, mis on suuremad või võrdsemad kui absoluutne miinimum C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond lõpmatu poollõik [ 73.15; ). Funktsiooni mõiste. Olgu antud muutuvat suurust ja. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse ühe kindla väärtuse. Muutujat nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat sõltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni tähised f,g,u,v,ϕ,ψ jne. Olgu antud funktsioon f, mille argumendiks on ja sõltuvaks muutujaks. Muutuja väärtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi, nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal ja tähistatakse sümboliga f(). Seega võime kirjutada seose = f(), (1.1) 3

4 mis väljendab muutuja seotust argumendiga funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul omab võrrand (1.1) kuju = (). Argumendi muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sümbolit X. Hulka, mis koosneb kõigist väärtustest, mis funktsioon võib omandada, nimetatakse selle funktsiooni väärtuste hulgaks. Tähistame väärtuste hulka sümboliga Y. Seega Y = {f() X}. Mitmene funktsioon. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks väärtus, millele vastab mitu väärtust. Argumendi, sõltuva muutuja, määramispiirkonna ja väärtuste hulga mõisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate mõistetega ühese funktsiooni korral. NB! Käesolevas konspektis tähendab mõiste funktsioon ilma täiendita mitmene alati ühest funktsiooni. Funktsiooni esitusviisid. Graafik. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi.. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis =, [0,1] kirjeldab funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on lõik [0, 1] ja iga korral sellelt lõigult arvutatakse argumendile vastavad funktsiooni väärtused f() vastavalt valemile f() =. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. Näiteks ülaltoodud funktsioon =, [0,1] ei ole antud oma loomulikus määramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik määramispiirkond on X = R. 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on, sõltuv muutuja ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad - ja -teljed. Vaatleme tasandil 4

5 hulka G, mis koosneb punktidest P(, f()), mille esimene koordinaat omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funtsiooni f graafikuks. Tabeli kujul antud funktsiooni määramispiirkond koosneb lõplikust arvust argumendi väärtustest ja tema graafik koosneb lõplikust arvust isoleeritud punktidest. Kui funktsiooni määramispiirkonnaks on pidev hulk (so vahemik, lõik või poollõik), siis on tema graafikuks teatav joon (nagu nt Joonisel 1.1). Funktsiooni graafiku punkti P(, f()) teist koordinaati f() võib tõlgendada punkti P kõrgusena - telje suhtes. Kui f() > 0, siis on graafiku kõrgus positiivne, st graafik paikneb ülalpool -telge. Kui aga f() < 0, siis on kõrgus negatiivne, st graafik jääb -teljest allapoole (vt Joonis 1.1). = f() P 1 f( 1 ) > 0 1 f( ) < 0 P Joonis 1.1 Suvaline -teljega paralleelne sirge saab(ühese!) funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Tõepoolest: kui leiduks -teljega paralleelne sirge, mis lõikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu kõrgust, seega oleks ka funktsioonil ühe argumendi korral mitu väärtust. Ühesel funktsioonil ei saa aga mitut väärtust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks -teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. Näiteid. Praktikas esineb rohkesti füüsikaliste jm suuruste sõltuvust ajast t, nt aine osakese vm läbitud teepikkus S = S(t), kiirus v = v(t). Termodünaamikas jälgitakse rõhu P sõltuvust temperatuurist T, seega on tegemist funktsiooniga P = P(T). Vedeliku voolamisel mitteühtlase läbimõõduga torus on vedeliku kiirus osades punktides suurem kui teistes punktides, seega sõltub kiirus v ruumikoordinaadist, ja meil on tegemist funktsiooniga v = v(). Mitmesed funktsioonid esinevad sageli olukorras, kus protsessi erinevad faasid on toodud samas teljestikus. Näitena olgu toodud Carnot protsess (vt jooniseid aadressil ccle, graafikutel on kaks 5

6 rõhu väärtust etteantud ruumala korral). Näiteid mitmeste funktsioonide kohta tuuakse allpool veel. 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga X korral kehtib võrdus f( ) = f(). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline -telje suhtes. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga X korral kehtib võrdus f( ) = f(). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga X korral kehtib võrdus f(+c) = f(). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Perioodilise funktsiooni graafik kordub perioodi C järel. Näiteks kehtivad võrdused sin( + C) = sin, kusjuures konstant C võib omada väärtusi π, 4π, 6π jne. Väikseim C väärtus on π. Järelikult on funktsioon = sin perioodiline, kusjuures periood on π. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu 1 ja nii, et kehtib võrratus 1 <. Kuifunktsioonif rakendamiselargumentidele 1 ja võrratusemärkeimuutu, st f( 1 ) < f( ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele 1 ja võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f( 1 ) > f( ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. 6

7 Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Käesolevas alamparagrahvis alustame põhiliste elementaarfunktsioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon = C. Ilmselt selle funktsiooni korral Graafik on selline: X = R ja Y = {C}. C Joonis 1.: konstantne funktsioon = C Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul = a, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Näiteks funktsioonid =, =, = 1, = on astmefunktsioonid. Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: = a, kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni = 1 = 1. Eksponentfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk on järgmised: X = R ja Y = (0, ). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt nähtub, on funktsioon = a kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Näiteid eksponentfunktsioonidest: = e, = 10, =, = e (viimane on ekvivalentselt esitatav kujul = ( 1 e ) ). Trigonomeetrilised funktsioonid = sin, = cos, = tan ja = cot 7

8 radiaanides antud argumendiga. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: = sin : X = R, Y = [ 1,1], = cos : X = R, Y = [ 1,1], { } (k +1) = tan : X = R\ π k Z, Y = R, = cot : X = R\{kπ k Z}, Y = R. Graafikud leiab lugeja joonistelt tagapool. Funktsioonid = sin ja = cos on perioodilised perioodiga π ning = tan ja = cot perioodiga π. Funktsioonid = sin, = tan ja = cot on paaritud ning = cos paaris. 1.4 Pöördfunktsiooni mõiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud (ühene) funktsioon = f(). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla väärtuse. Vaatleme nüüd teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument funktsiooni väärtuse f() kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga korral hulgast Y leidub ainult üks nii, et valitud on selle -i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand = f() muutuja suhtes üheselt lahenduv. Näiteks kuupfunktsioon = 3 on üksühene. Iga korral leidub ainult üks nii, et valitud on selle -i kuup. Arv on ainult ühe arvu (so ) kuup, arv 7 on ainult ühe arvu (so 3) kuup jne. Lahendades võrrandi = 3 muutuja suhtes saame argumendi esituse kaudu: = 3. Seevastu ruutfunktsioon = ei ole üksühene. Iga > 0 korral leidub kaks -i nii, et valitud on mõlema -i ruut. Arv 4 nii kui ruut. Võrrandi = lahendamisel saame kaks funktsiooni = ja = ehk ühe kahese funktsiooni = ±. Mitte-üksühese funktsiooni saab muuta üksüheseks määramispiirkonna sobiva kitsendamise teel. Näiteks kui kitsendada funktsiooni = loomulik määramispiirkond X = R poollõiguks [0, ), siis muutub see funktsioon üksüheseks ja avaldub valemiga =. Funktsiooni üksühesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline - teljega paralleelne sirge läbib funktsiooni graafikut maksimaalselt ühes punktis, siis on see funktsioon üksühene. Nii on see näiteks kuupfunktsiooni = 3 graafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni = graafikut (parabooli) läbib -teljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu märkisime, ei ole viimasel juhul tegemist üksühese funktsiooniga. Funktsiooni = määramispiirkonna kitsendamine

9 poollõiguks [0, ) lõikab ära parabooli vasaku haru ja suvaline -teljega paralleelne sirge läbib järelejäänud parempoolset haru maksimaalselt ühes punktis. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni = f() pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f()-le funktsiooni väärtuste hulgast vastavusse -i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi = f() muutuja suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad. See tähendab, et kui funktsiooni f argumendiks on ja sõltuvaks muutujaks, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on ja sõltuvaks muutujaks. Samuti vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Näiteks funktsiooni = 3 pöördfunktsioon on = 3, funktsiooni =, [0, ), pöördfunktsioon on =, funktsiooni = 1 pöördfunktsioon on = 1. Olgu = g() üksühese funktsiooni = f() pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi väärtuse ja arvutame f(). Seejärel arvutame g[f()], st funktsioon g kohal f(). Tulemusena saame esialgse väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud kaudu f[g()] saame väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f()] =, f[g()] =. (1.) Kui g of funktsiooni f pöördfunktsioon, siis f on funktsiooni g pöördfunktsioon. Näiteksrakendadesfunktsioonile = 3 temapöördfunktsioonisaamevõrduse 3 3 = ja rakendades funktsioonile = 3 tema pöördfunktsiooni saame [ 3 ] 3 =. = f() = g() = g() Joonis 1.3 9

10 Funktsiooni = f() ja tema pöördfunktsiooni = g() graafikud kattuvad -teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid = f() ja = g() määravad ühed ja samad arvupaarid (, ), seega ka ühed ja samad tasandi punktid P(, ). Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab -le vastavusse -i, kuid g seab -le vastavusse -i. Kui aga pöördfunktsiooni = g() avaldises muutujate ja kohad vahetada, st esitada ta kujul = g(), siis selle funktsiooni graafik peegeldub üle sirge =. Seega on funktsioonide = f() ja = g() graafikud sümmeetrilised sirge = suhtes (joonis 1.3). Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. Jätkame eelmises paragrahvis alustatud põhiliste elementaarfunktsioonide loetelu mõnede oluliste pöördfunktsioonidega. Logaritmfunktsioon. Eksponentfunktsioon = a on üksühene ning seega on ta pöördfunktsioon ühene. Eksponentfunktsiooni = a pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon = log a, kus a on logaritmi alus. Vastavalt valemitele (1.) kehtivad seosed log a [a ] = ja a log a =. Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad oma kohad, siis lähtudes eksponentfunktsioonist (vt 1.3) näeme, et funktsiooni = log a määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0, ) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev (joonised 1.6 ja 1.7). Võrreldes graafikuid joonistel näeme, et = log a graafik on = a graafiku peegeldus sirge = suhtes. Arkusfunktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Tõepoolest, vaadeldes trigonomeetriliste funktsioonide graafikuid joonistel näeme, et -teljega paralleelsed sirged võivad neid graafikuid lõigata paljudes punktides. Nagu eelnevalt nägime, on mitte-üksühene funktsioon võimalik muuta üksüheseks määramispiirkonna sobiva kitsendamise teel. Vaatleme seda protseduuri iga trigonomeetrilise funktsiooni korral eraldi. Arkussiinus. Funktsioon = sin ei ole üksühene, sest ühele sin väärtusele vastab lõpmata palju väärtusi. Näiteks -telg lõikab siinuse graafikut lõpmata arvus erinevates punktides (vt joonis 1.). Funktsiooni = sin pööramisel kitsendatakse tema määramispiirkondkokkuleppeliselt lõiguks [ π, π ], st jäetakse vaatluse alt välja kogu sin osa, mille korral [ π, π ]. Vaadeldes lõigul 10

11 [ π, π ] paiknevat siinuse graafiku osa näeme, et suvaline -teljega paralleelne sirge lõikab seda maksimaalselt ühes punktis. Seega on funktsioon = sin, [ π, π ] üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse = arcsin. Kehtivad seosed arcsin[sin ] = ja sin[arcsin ] =. (1.3) Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad oma kohad, siis arkussiinuse määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = [ 1,1], Y = [ π, π ]. Graafik on kujutatud Joonisel 1.1. Tegemist on lõigul [ π, π ] paikneva siinuse graafiku lõike peegeldusega üle sirge =. Arkuskosinus. Funktsiooni = cos, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel kitsendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Sellel lõigul on ta üksühene (joonis 1.9). Funktsiooni = cos, [0,π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda tähistatakse = arccos. Kehtivad valemid arccos[cos ] = ja cos[arccos ] =. Arkuskosinuse määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = [ 1,1], Y = [0,π]. Graafik on kujutatud Joonisel Tegemist on lõigul [0, π] paikneva kosinuse graafiku lõike peegeldusega üle sirge =. Arkustangens. Funktsiooni = tan, mis ei ole samuti üksühene, pööramisel võetakse aluseks tema kitsend vahemikku ( π, π ). Antud vahemikus asub tangensi nn põhiharu. Funktsiooni = tan, ( π, π ) pöördfunktsioon kannab nimetust arkustangens ja seda tähistatakse = arctan. Kehtivad valemid arctan[tan ] = ja tan[arctan ] =. Arkustangensi määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = R, Y = ( π, π ). 11

12 Graafik on kujutatud Joonisel Tegemist on tangensi põhiharu peegeldusega üle sirge =. Arkuskotangens. Funktsiooni = cot pööramisel kitsendatakse ta vahemikku (0, π), kus asub tema põhiharu. Funktsiooni = cot, (0,π) pöördfunktsioon on arkuskotangens ja seda tähistatakse = arccot. Kehtivad valemid arccot[cot ] = ja cot[arccot ] =. Arkuskotangensi määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = R, Y = (0,π). Graafik on kujutatud Joonisel Tegemist on kotangensi põhiharu peegeldusega üle sirge =. Pöördfunktsioon funktsioonist, mis ei ole üksühene. Olgu vaadeldav funktsioon = f() oma määramispiirkonnaga X ja väärtuste hulgaga Y küll ühene, kuid mitte üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale Y seab vastavusse kõigi selliste X hulga, mille korral kehtib võrdus f() =. Ühese, kuid mitte üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on mitmene. Selliste funktsioonide näideteks on terves oma määramispiirkonnas antud trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid ehk suure algustähega arkusfunktsioonid. Täpsemalt: terves määramispiirkonnas antud funktsioonide = sin, = cos, = tan ja = cot pöördfunktsioonid on vastavalt = Arcsin, = Arccos, = Arctan ja = Arccot. Arvutame näiteks Arcsin 0. Kuna kõigi selliste hulk, mille korral sin võrdub nulliga, on {kπ k = 0,±1,±,...}, siis saamegi Arcsin0 = {kπ k = 0,±1,±,...}. 1

13 1 Joonis 1.4: = a kui a > 1 1 Joonis 1.5: = a kui 0 < a < 1 13

14 1 Joonis 1.6: = log a kui a > 1 1 Joonis 1.7: = log a kui 0<a<1 14

15 1 Π 3Π Π Π 1 Π Π 3Π Π Joonis 1.: = sin 1 Π 3Π Π Π 1 Π Π 3Π Π Joonis 1.9: = cos 15

16 Π 3Π Π Π Π Π 3Π Π Joonis 1.10: = tan Π 3Π Π Π Π Π 3Π Π Joonis 1.11: = cot 16

17 Π 1 1 Π Joonis 1.1: = arcsin Π Π 1 1 Joonis 1.13: = arccos 17

18 Π Π Joonis 1.14: = arctan Π Π Joonis 1.15: = arccot 1

19 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsiooni mõiste. Mõned olulised elementaarfunktsioonid. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni: = f() ja = g(). Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab muutujale vastavusse muutuja väärtuse valemiga = f()+g(). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos = (f +g)() = f()+g(). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe = (f g)() = f() g(), korrutis = (fg)() = f()g() ja jagatis = ( f f() g )() = g(). Näiteks funktsioonide f() = ja g() = sinkorral(f+g)() = +sin, (f g)() = sin, (fg)() = sin ja ( f g )() = sin, Liitfunktsiooni mõiste. Olgu antud kaks funktsiooni: = f() ja z = g(). Funktsioon f seab muutujale vastavusse muutuja ja funktsioon g seab muutujale vastavusse muutuja z. Asendades suuruse funktsiooni g avaldises f()-ga saame uue funktsiooni, mis seab muutujale vastavusse muutuja z, kusjuures ja z vaheline seos on antud valemiga z = g[f()]. Tegemist on komponentide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega z = (g f)() = g[f()]. Näitekskomponendid = jaz = sin annavadliitfunktsiooniz = sin( ), komponendid = tan ja z = 1 1 annavad liitfunktsiooni z = tan, komponendid = tan, z = 1 ja u = z annavad liitfunktsiooni u = 1 tan. Elementaarfunktsiooni mõiste. Põhiliste elementaarfunktsioonide hulka arvatakse kokkuleppeliselt järgmised funktsioonid: = C, = a, = a, = sin, = cos, = tan, = cot, = log a, = arcsin, = arccos, = arctan ja = arccot. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete(so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid. Elementaarfunktsioon = 5 + 7tan e cos on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest = 5, = 7, = tan, = e ja = cos lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Elementaarfunktsioon = arcsin(3 ) on põhiliste elementaarfunktsioonide = 3 ja = arcsin liitfunktsioon. Elementaarfunktsioon = arccos + 3 tan 4 on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest =, = arccos, = 3, = tan, =, = 4 ja 19

20 = 1/ lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega. Mõned olulised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P() = a 0 +a 1 +a +...+a n 1 n 1 +a n n, kus a 0,a 1,a,...,a n 1,a n on konstandid ja a n 0. Näiteks konstantne funktsioon = C, lineaarne funktsioon = a + b, ruutfunktsioon = a + b + c, kuupfunktsioon = a 3 + b + c + d on polünoomid. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R() = a 0 +a 1 +a +...+a n 1 n 1 +a n n b 0 +b 1 +b +...+b m 1 m 1 +b m m. Märgime, et ratsionaalfunktsiooni lugejas ja nimetajas esinevate polünoomide astmed n ja m võivad olla erinevad. Näiteks = , = 3 5 on ratsionaalfunktsioonid. Polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid leiavad laialdast kasutamist mitmetel teadusaladel ja inseneerias. Paljud füüsikalised jm seaduspärasused on antud kas lineaarsel kujul (1. astme polünoom) või keerukamatel juhtudel teise, kolmanda jne astme polünoomidena. Näiteks Bernoulli võrrand h = P ρg + v g on geodeetilise kõrguse h ruutfunktsioon voolu kiiruse v suhtes, Hooke i seadus σ = Cǫ annab lineaarse seose pinge σ ja deformatsiooni vahel, mittelineaarsetes pinge-deformatsiooni mudelites kasutatakse valdavalt ruutseost σ = C 1 ǫ+c ǫ, van der Waalsi võrrand (vt 1.6) sisaldab kuuppolünoomi muutuja V m suhtes jne. Polünoome ja ratsionaalfunktsioone rakendatakse ka funktsioonide lähendamisel. Näiteks tabeli kujul antud funktsiooni graafik koosneb üksikutest punktidest tasandil. Graafiku jätkamisel pidevaks jooneks kasutatakse polünoome. Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on sh = e e hüperboolne siinus, ch = e +e hüperboolne kosinus, th = sh ch = e e e +e hüperboolne tangens, cth = ch sh = e +e e e hüperboolne kotangens. Tegemist on taas elementaarfunktsioonidega. Märgime, et nende funktsioonide tähistused võivad varieeruda: sh, ch, th ja cth asemel kasutatakse ka tähiseid sinh, cosh, tanh ja coth. Graafikud on toodud joonistel

21 Mõiste hüperboolne trigonomeetriline funktsioon tuleneb nende funktsioonidega seotud geomeetriast. Nimelt kirjeldab tavalise siinuse ja kosinuse kaudu antud süsteem { = acost = bsint, t R ellipsit pootelgedega a ja b (Joonis 1.16), kuid hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu antud süsteemid { = Rcht = Rsht, t R { = Rcht = Rsht, t R hüperbooli paremat ja vasakut haru (Joonis 1.17). Mitteelementaarsetest funktsioonidest. Kõik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Mitteelementaarsete funktsioonide hulka kuuluvad nn kõrgemad transtsendentsed funktsioonid, mis on tuletatavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpmatu arvu tehete abil. Näiteks tõenäosus, et normaaljaotusega N(0, 1 ) juhusliku suuruse väärtus paikneb lõigus [,] avaldub valemiga p([,]) = erf(), kus erf on Gaussi vea funktsioon. Tegemist on kõrgema transtsendentse funktsiooniga. Elementaarsed ei ole ka funktsioonid, mis on erinevatel määramispiirkonna osadel defineeritud erinevate valemitega. Näiteks { +1, kui < 0, f() = 1, kui 0 ei ole elementaarfunktsioon. 1.6 Täiendavat materjali funktsioonide kohta. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni = f() ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat, kuid mitte muutujat. Näiteks =. Funktsiooni = f() ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab ja läbisegi, st võrrand F(,) = 0, (1.4) kus F on mingi ja sisaldav avaldis. Näiteks sin + = 0. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand (1.4) muutuja suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitmese funktsiooni. Näiteid. Vaatleme võrrandit 3 cos 3 = 0. (1.5) Lahendades selle võrrandi muutuja suhtes saame avaldise = 3 3 cos. Viimane ongi võrrandiga (1.5) antud funktsiooni ilmutatud kuju. 1

22 Vaatleme võrrandit + = 1. (1.6) Kui me lahendame selle võrrandi suhtes, saame kaks lahendit: = 1 ja = 1. Seega määrab võrrand (1.6) ilmutamata kujul kahese funktsiooni = ± 1. Van der Waalsi võrrand ( a ) P + (Vm Vm b) = RT (1.7) kirjeldab ideaalse gaasi molaarruumala V m ilmutamata kujul. Avades sulud ja korrutadesv m -ga saame PV 3 m (Pb+RT)V m +av m ab = 0. Seega tuleb funktsiooni ilmutamiseks lahendada kuupvõrrand. Sõltuvalt kordajate väärtusest on võrrandil üks või kolm lahendit. Võrrand määrab ilmutamata kujul kas ühese või kolmese funktsiooni. Vektorid. Mitmemõõtmeline ruum. Mitmemuutuja funktsioon. n reaalarvust koosnevat järjestatud hulka = ( 1,,..., n ) nimetatakse n-mõõtmeliseks vektoriks. Kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulka nimetatakse n-mõõtmeliseks ruumiks ja tähistatakse R n. Kahemõõtmeline vektor = (, ) on interpreeritav kui koordinaatide alguspunktist (0,0) punkti koordinaatidega (, ) suunatud sirglõik. Samasugune geomeetriline tõlgendus on ka kolmemõõtmelisel vektoril = (,, z). Olgu antud n + 1 muutuvat suurust 1,..., n ja u. Kujutist, mis seab vektori = ( 1,..., n ) igale väärtusele teatud hulgast X R n vastavusse muutuja u ühe kindla väärtuse nimetatakse (üheseks) n- muutuja funktsiooniks. Muutujaid 1,... n nimetatakseseejuuresfunktsiooniargumentideks, muutujat u sõltuvaks muutujaks ja hulka X funktsiooni määramispiirkonnaks. Olgu antud n- muutuja funktsioon f, mille argumentideks on 1,..., n ja sõltuvaks muutujaks u. Muutuja u väärtust, milleks funktsioon f kujutab argumentide vektori = ( 1,..., n ), nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal ja tähistatakse sümboliga f( 1,..., n ) või f( ). Seega võime kirjutada seose u = f( 1,... n ) ehk u = f( ). Seda seost nimetatakse funktsiooni f võrrandiks. Näiteks gaasi difusiooni või konvektsiooni korral on gaasi rõhk P erinevates ruumi punktides erinev. Seega sõltub P ruumimuutujatest, ja z ehk on kolmemuutuja funktsioon P = P(,,z).

23 b a a b Joonis 1.16 = = R R Joonis

24 Joonis 1.1: = sh 1 Joonis 1.19: = ch 4

25 1 1 Joonis 1.0: = th 1 1 Joonis 1.1: = cth 5

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend I-KLASSI ÕLIPÜÜDURITE PAIGALDUS- JA HOOLDUSJUHEND PÜÜDURI DEFINITSIOON JPR -i õlipüüdurite ülesandeks on sadevee või tööstusliku heitvee puhastamine heljumist ja õlijääkproduktidest. Püüduri ülesehitus

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Eesti kõrgusmudel

Eesti kõrgusmudel Meie: 04.06.2002 nr 4-3/3740 Küsimustik Eesti maapinna kõrgusmudeli spetsifikatsioonide selgitamiseks Eestis on juba aastaid tõstatatud küsimus täpse maapinna kõrgusmudeli (edaspidi mudel) koostamisest

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-

Rohkem

VRB 2, VRB 3

VRB 2, VRB 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

DVD_8_Klasteranalüüs

DVD_8_Klasteranalüüs Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc Tartu Ülikool Andmetöötluskeel "Tutorial D" realisatsiooni "Rel" põhjal Referaat aines Tarkvaratehnika Romet Piho Informaatika 2 Juhendaja Indrek Sander Tartu 2005 Sissejuhatus Tänapäeval on niinimetatud

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

ArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus

ArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus PILVI TAUER Tallinna Tehnikagümnaasium ArcGIS Online 1.Konto loomine 2.Veebikaardi loomine 3.Rakenduste tegemine - esitlus Avaliku konto loomine Ava ArcGIS Online keskkond http://www.arcgis.com/ ning logi

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

lcs05-l3.dvi

lcs05-l3.dvi LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)

Rohkem

PHP

PHP PHP Autorid: Aleksandr Vaskin Aleksandr Bogdanov Keelest Skriptikeel skript teeb oma tööd pärast seda, kui toimus mingi sündmus* Orienteeritud programmeerija eesmärkide saavutamiseks (mugavus on tähtsam

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

HWU_AccountingAdvanced_October2006_EST

HWU_AccountingAdvanced_October2006_EST 10. Kulude periodiseerimine Simulatsioone (vt pt 5) kasutatakse ka juhul, kui soovitakse mõnd saadud ostuarvet pikemas perioodis kulusse kanda (nt rendiarve terve aasta kohta). Selleks tuleb koostada erinevad

Rohkem