pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi
|
|
- Meelis Valge
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest Mehaanika harud Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete kehade, vedelike ja gaaside liikumist, selle liikumise põhjusi ja tagajärgi. Joonis 1.1: Mehaanika harud
2 1.1. Mehaanika harud Jäiga keha mehaanika Teoreetiline mehaanika ehk jäiga keha mehaanika uurib absoluutselt jäikade kehade liikumist ja paigalseisu neile rakendatud jõudude toimel. Absoluutselt jäiga keha mistahes kahe punkti vaheline kaugus on konstantne. Laias laastus võib teoreetilise mehaanika jagada staatikaks, kinemaatikaks ja dünaamikaks. Staatika uurib: 1. kehade tasakaalu (täpsemalt öeldes kehadele rakendatud jõusüsteemide tasakaalu) ja 2. jõusüsteemide lihtsustamist ehk taandamist. Kinemaatika uurib liikumise geomeetrilisi seaduspärasusi. Klassikaline dünaamika uurib punktmasside ja jäikade kehade liikumist neile mõjuvate jõudude toimel Mehaanika harud 1-4 Liikumisena ehk mehaanikalise liikumisena mõistetakse vaadeldava keha asendi muutust teiste kehade suhtes. Selleks valitakse tavaliselt üks keha, mille suhtes uuritakse liikumist ja seotakse sellega jäigalt koordinaatsüsteem. Tulemust nimetatakse taustsüsteemiks. Punktmassiks nimetatakse materiaalset keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei arvestata. Aeg loetakse universaalseks, st., ühtviisi kulgevaks kõigis taustsüsteemides Pideva keskkonna mehaanika Pideva keskkonna mehaanika (PKM) uurib tahkiste (deformeeruvate tahkete kehade), gaaside ja vedelike liikumist välismõjude toimel. Palju harusid
3 1.1. Mehaanika harud 1-5 tahkise (deformeeruva keha) mehaanika tugevusõpetus elastsusteooria plastsusteooria jne. hüdro- ja aeromehaanika hüdrostaatika hüdrodünaamika jne Staatika Staatika Jäik keha Jõud Kehade vastastikuse mõju mõõt Jõusüsteem koonduv JS, paralleeljõudude süsteem, jne. Jõu moment, jõupaar M O = r F Jõu ja momendi projektsioonid ning komponendid Q = Q x + Q y + Q z = Q x i + Q y j + Q z k
4 1.2. Staatika 1-7 Koordinaadid ja koordinaatteljed Descartes i ristkoordinaadid (DRK) Koordinaatteljed peavad moodustama parema käe kolmiku Ümber telje toimuva pöörde positiivne suund määratakse kruvireegliga 1.2. Staatika 1-8 Vabaks kehaks nimetatakse keha, mille liikumist ei piira mitte ükski tingimus. Vaba keha saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse. Side on keha liikumist kitsendav tingimus. Tavaliselt moodustab sideme mingi teine keha. Sidemereaktsioon ehk reaktsioonjõud on jõud, millega sidet moodustav keha mõjub vaadeldavale kehale. Inseneriülesannete puhul nimetatakse sidemeid tihti ka tugedeks ja vastavaid reaktsioonjõudusid toereaktsioonideks. Sidemetest vabastatavuse printsiip: Iga seotud keha võib vaadelda vaba kehana kui asendada sidemed sidemereaktsioonidega. Sidemete tüübid: sile pind, kare pind, liikumatu liigend(tugi), liikuv liigend(tugi), kerge varras, painduv ühendus jne.
5 1.2. Staatika 1-9 Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse vektorit, mis võrdub jõu rakenduspunkti A kohavektori r ja jõuvektori F vektorkorrutisega. M O = r F, M O M O = Fr sin ϑ = Fd. (1.1) Jõu moment iseloomustab jõu pööravat toimet. Joonis 1.2: Jõu moment punkti suhtes. Momentvektori M O suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkti O valikust kuid ei sõltu punkti A valikust jõu mõjusirgel Staatika 1-10 Momentvektori M O mõjusirge määrab telje, mille ümber jõud F püüab tekitada pöörlemist. Pöörde suund määratakse kruvireegliga kui (parema käe) kruvi teljesihilise liikumise suund ühtib momentvektori suunaga, siis keha pöörlemise suund ühtib kruvi pöörlemise suunaga. Ja vastupidi, kui kruvi pöörata keha pöörlemise suunas, siis tema teljesihilise liikumise suund ühtib momentvektori suunaga. Jõu moment telje suhtes võrdub selle telje mistahes punkti suhtes leitud momentvektori projektsiooniga vaadeldaval teljel. See on üldlevinud määratlus ja selle põhjal on tegu skalaariga. Tegelikult võib ka jõu momenti telje suhtes käsitleda vektorina. Praktikas leitakse moment valemist M = ±Fd, s.t. jõud korda jõu õlg, ning märk määratakse kruvireegliga.
6 1.2. Staatika 1-11 Jõupaari moodustavad kaks võrdvastupidist jõudu F ja F millel on erinev mõjusirge. Jõupaari moment võrdub ühe jõupaari moodustava jõu momendiga teise rakenduspunkti suhtes. Jõupaari moment on vabavektor. Joonis 1.3: Jõupaar ja jõupaari moment 1.2. Staatika 1-12 Lemma jõu paraleellükkest. Jäiga keha mistahes punktis A rakendatud jõu võib paralleelselt tema mõjusirgega üle kanda uude rakenduspunkti B kui lisada punktis A rakendatud jõu moment punkti B suhtes. Staatika põhiteoreem (Poinsot teoreem): Iga jäigale kehale rakendatud jõusüsteemi saab asendada taandamistsentrisse rakendatud jõusüsteemi peavektoriga ja jõusüsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. Joonis 1.4: Jõusüsteemi peavektor ja peamoment.
7 1.2. Staatika 1-13 Jõusüsteemi peavektor: F O = n i=1 F i Jõusüsteemi peamoment: M O = n i=1 M O(F i ), kus punkti O nimetatakse taandamistsentriks. (Joonisel on kahjuks O asemel A.) Jõusüsteem on tasakaalus parajasti siis kui peavektor F O ja mingi punkti O suhtes leitud peamoment M O on võrdsed nulliga: F O = i F i = 0, M O = i M O (F i ) = 0. (1.2) Skalaarsed tasakaalu tingimused: F ix = 0, F iy = 0, F iz = 0, i i i M x (F i ) = 0, M y (F i ) = 0, M z (F i ) = 0. i i i (1.3) 1.3. Kinemaatika Kinemaatika Kinemaatika uurib liikumise geomeetrilisi seaduspärasusi. Liikumisena ehk mehaanikalise liikumisena mõistetakse vaadeldava keha asendi muutust teiste kehade suhtes. Selleks valitakse tavaliselt üks keha, mille suhtes uuritakse liikumist ja seotakse sellega jäigalt koordinaatsüsteem. Tulemust nimetatakse taustsüsteemiks. Punktmassiks nimetatakse materiaalset keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei arvestata. Materiaalne punkt Liikumise kirjeldamiseks peab olema kokkulepe kuidas mõõdetakse aega Aeg loetakse universaalseks, st., ühtviisi kulgevaks kõigis taustsüsteemides
8 1.3. Kinemaatika 1-15 Punkti trajektooriks nimetatakse pidevat joont, mille joonistab liikuv punkt taustsüsteemi suhtes Punkti liikumisseaduseks nimetatakse eeskirja, mis määrab punkti asukoha igal ajahetkel. Vektoriaalne viis. r = r(t) Koordinaatviis. Descartes i ristkoordinaadid (DRK) x = x(t), y = y(t), z = z(t). seos r = xi + yj + zk, r = x 2 + y 2 + z Kinemaatika 1-16 Loomulik viis. Punkti asukoht ruumis määratakse tema loomuliku koordinaadiga s = s(t). seos s = ± t 0 ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt. Punkti kiiruseks nimetatakse tema kohavektori esimest tuletist aja järgi DRK Kiirus on vektor, mis v = ṙ v = ṙ = ẋi + ẏj + żk on suunatud piki trajektoori puutujat liikumise suunas; iseloomustab nii kohavektori pikkuse kui suuna muutumist. Punkti kiirenduseks nimetatakse kiirusvektori esimest tuletist aja järgi ehk tema kohavektori teist tuletist aja järgi. a = v = r
9 1.3. Kinemaatika 1-17 DRK Kiirendus on vektor, mis on suunatud trajektoori sisse (v.a. sirgjooneline liikumine); a = v = r = ẍi + ÿj + zk. iseloomustab kiiruse muutumist (nii kiirusvektori pikkuse kui suuna muutumist) Kinemaatika 1-18 Loomulik teljestik: parema käe teljestik t n b, mis liigub koos vaadeldava punktiga. telg t on puutuja, n peanormaali ja b binormaali sihis Vastavaid ühikvektoreid tähistame τ, ν ja β.
10 1.3. Kinemaatika 1-19 Koordinaattasandid: t n kooldumistasand, t b sirgestumistasand, b n normaaltasand. Kiirus v = ṡτ 1.3. Kinemaatika 1-20 Kiirendus a = sτ + ṡ2 ρ ν = a t + a n a t puutekiirendus ehk tangentsiaalkiirendus a n normaalkiirendus Vastavad projektsioonid a b = 0!!! a t = s = v t ja a n = ṡ2 ρ = v2 ρ Puutekiirendus a t iseloomustab kiirusvektori mooduli muutumist Normaalkiirendus a n iseloomustab kiirusvektori suuna muutumist Kuna kiirenduse projektsioon b-teljel (binormaalil) on null, siis kiirenduse moodul a = a t + a n, a = a 2 t + a 2 n
11 1.3. Kinemaatika 1-21 Jäiga keha liikumise tüübid Rööpliikumiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul iga kehaga muutumatult seotud sirge jääb kogu liikumise kestel oma algsihiga paralleelseks Pöörlemiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul kaks kehaga muutumatult seotud punkti jäävad kogu liikumise kestel paigale Keha pöörlemisseaduseks nimetatakse pöördenurga muutumise eeskirja ϕ = ϕ(t) Kui pöörlemine toimub ümber z telje, siis võib pöörlemisseaduse esitada kujul ϕ = ϕ(t) = ϕ z (t)k Nurkkiiruseks nimetatakse pöördenurga vektori esimest tuletist aja järgi: ω = ϕ Kinemaatika 1-22 Nurkkiirus(vektor) ω määrab pöörlemise suuna (läbi kruvireegli) pöörlemise kiiruse (rad/s ehk 1/s) Nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse vektori esimest tuletist aja järgi ehk pöördenurga vektori teist tuletist aja järgi: Pöörleva keha punkti kiirus α = ω = ϕ. v = ω z hτ = ω r, kiiruse projektsioon loomulikul teljel t v t = ω z h = ϕ z h, kiiruse moodul v = ωh = ω r.
12 1.3. Kinemaatika 1-23 Pöörleva keha punkti kiirendus, puutekiirendus ja normaalkiirendus a = α r + ω v, a t = α r, a n = ω v Vastavad moodulid a = α 2 + ω 4 h, a t = αh, a n = ω 2 h 1.3. Kinemaatika 1-24 Tasapinnaliseks liikumiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul kõik keha punktid liiguvad tasapindades, mis on paralleelsed ühe paigalseisva tasapinnaga. Tasapinnalise liikumise võib lahutada tasapinnaliseks rööpliikumiseks koos vabalt valitud poolusega ja pöörlemiseks ümber selle pooluse (pöörlemiseks ümber seda poolust läbiva ja vaadeldava tasandiga ristuva telje). Rööpliikumine sõltub pooluse valikust, pöörlemine aga mitte v B = v A + v BA, a B = a A + a BA Hetkeline kiiruste tsenter ja hetkeline kiirenduste tsenter
13 1.3. Kinemaatika 1-25 Liitliikumine vaadeldav keha liigub taustsüsteemis, mis omakorda liigub mingi teise (paigalseisva) taustsüsteemi suhtes Absoluutseks liikumiseks nimetatakse punkti (keha) liikumist liikumatu taustsüsteemi suhtes Relatiivseks liikumiseks nimetatakse punkti (keha) liikumist liikuva taustsüsteemi suhtes Kaasaliikumiseks (ülekandeliikumiseks) nimetatakse liikuva taustsüsteemiga muutumatult seotud punktide liikumist liikumatu taustsüsteemi suhtes Absoluutne kiirus võrdub relatiivse kiiruse ja kaasaliikumise kiiruse geomeetrilise summaga v = v r + v e. Absoluutne kiirendus võrdub relatiivse kiirenduse, kaasaliikumise kiirenduse ja Coriolise kiirenduse geomeetrilise summaga a = a r + a e + a C Coriolise kiirendus a C = 2ω e v r 1.3. Kinemaatika 1-26 Sfääriliseks liikumiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul üks kehaga muutumatult seotud punkt jääb liikumatuks. Seda liikumatut punkti nimetatakse kinnispunktiks 1 Lõikuvate telgede ümber toimuvate pöörlemiste liitmine Vaba jäiga keha liikumine Vaba jäiga keha liikumine on lahutatav rööpliikumiseks koos vabalt valitud poolusega ja pöördeks ümber poolust läbiva pöörlemistelje 1 Jäiga keha liikumine kinnispunkti ümber
14 1.4. Dünaamika Dünaamika Dünaamika (klassikalises mõttes) uurib punktmasside ja jäikade kehade liikumist neile mõjuvate jõudude toimel Newtoni seadused I inertsiseadus Inerts 2 on kehade võime püsida paigalseisus või ühtlases ja sirgjoonelises liikumises kuni mingi jõud seda olekut ei muuda. Keha inertsi mõõduks on tema mass II dünaamika põhiseadus: F = ma III mõju ja vastumõju seadus 2 kr. inertia - tegevusetus, loidus 1.4. Dünaamika 1-28 Märkused: Newtoni seadused pole matemaatiliselt tõestatavad vaid nad põhinevad katsetel. See annabki aluse nimetada neid ka aksioomideks. Neile seadustele on ülesehitatud kogu klassikaline mehaanika (vastandina relativistlik mehaanika). Praktikas loetakse paigalseisvaks taustsüsteemiks tavaliselt Maaga seotud taustsüsteemi. Kui sellest ei piisa, seotakse liikumatu taustsüsteem Päikesega. Aeg loetakse universaalseks, st., ühtviisi kulgevaks kõigis taustsüsteemides. Newton: Seadused kehtivad absoluutses ajas, millel pole mitte midagi ühist mitte millegagi väljaspool teda ja mis kulgeb ühtlaselt. Praktikas lähtutakse aja mõõtmisel ikkagi mingist konkreetsest nähtusest (Maa pöörlemine, isotoobi 133 Cs kiirguse periood).
15 1.4. Dünaamika 1-29 Praktikas määratakse keha mass kaalumise teel: m = P g. Newtoni II seadus käsitleb juhtu, kus punktmassile mõjub vaid üks jõud. Jõudude mõju sõltumatuse printsiip: Jõu mõju punktmassi liikumisele ei sõltu sellest, kas punktile on rakendatud peale tema veel teisi jõude või ei ole. Punktmassi dünaamika kaks põhiülesannet Newtoni II seadus + jõudude mõju sõltumatuse printsiip ma = n i=1 1. On antud punktmassi liikumisseadus. Leida millised punktmassile rakendatud jõud põhjustavad sellise liikumise! diferentseerimine F i 1.4. Dünaamika On teada punktmassile mõjuvad jõud. Leida selle punktmassi liikumisseadus! integreerimine Punktmasside mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse sellist üksteist mõjutavate punktmasside kogumit, kus iga punktmassi liikumine sõltub teiste punktmasside liikumisest ja asukohast. päikesesüsteem, vedelikud, gaasid, tahked kehad jne. Lühiduse mõttes jäetakse sõna mehaanikaline tihti ära ja piirdutakse vaid terminiga punktmasside süsteem. Välisjõud on jõud, millega sellesse süsteemi mittekuuluvad kehad mõjutavad vaadeldava süsteemi punkte. Sisejõud on jõud, millega vaadeldavasse süsteemi kuuluvad punktmassid mõjutavad üksteist. Punktmasside süsteemi kõigi sisejõudude summa on null. Punktmasside süsteemi kõigi sisejõudude momentide summa mistahes punkti suhtes on null.
16 1.4. Dünaamika 1-31 Punktmasside süsteemi mass Punktmasside süsteemi masskese x C = r C = m = i i m ix i m, y C = m i i m ir i m, i m iy i m, z C = i m iz i m Dünaamika 1-32 Masskeskme liikumise teoreem Teoreem: Punktmasside süsteemi masskese liigub nagu punktmass, mille mass võrdub süsteemi kogumassiga ja millele on rakendatud kõik sellele süsteemile mõjuvad välisjõud: ma C = i F i DRK mẍ C = i F ix, mÿ C = i F iy, m z C = i F iz i F i = 0 a C = 0, i F ix = 0 ẍ C = 0 jne.
17 1.4. Dünaamika 1-33 Liikumishulk Punktmasside süsteemi liikumishulgaks 3 nimetatakse süsteemi kõigi punktide liikumishulkade geomeetrilist summat K = i m i v i = mv C. m i v i i-nda punktmassi liikumishulk v C masskeskme kiirus Eesti keeles on terminid impulss ja liikumishulk sünonüümid Jõu impulss Jõu F elementaarimpulsiks nimetatakse korrutist F dt, kus dt on elementaarajavahemik. Jõu impulsiks lõplikus ajavahemikus [t 0, t 1 ] nimetatakse integraali J = t1 t 0 Fdt. 3 I.k. (linear) momentum 1.4. Dünaamika 1-34 Liikumishulga teoreemi diferentsiaalkuju Punktmasside süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetrilise summaga K = i F i. DRK K x = i F ix, K y = i F iy, K z = i F iz. Järeldus (liikumishulga jäävuse seadus): Välisjõududest vaba süsteem liigub muutumatu liikumishulgaga.
18 1.4. Dünaamika 1-35 Liikumishulga teoreemi integraalkuju Punktmasside süsteemi liikumishulga muutus teatud ajavahemikus t võrdub samas ajavahemikus süsteemile mõjuvate välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga DRK K 1 K 0 = i K 1x K 0x = i J i, J ix, K 1y K 0y = i J iy, K 1z K 0z = i J iz Dünaamika 1-36 Liikumishulga moment, kineetiline moment 4 Punktmassi liikumishulga momendiks punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutist L O (mv) = r mv, kus r on punktmassi kohavektor ja mv tema liikumishulk. Punktmasside süsteemi kineetiline moment on võrdne süsteemi kõigi punktide liikumishulkade momentide geomeetrilise summaga L O = i L O (m i v i ) = i r i m i v i (Loomulikult peavad kõik momendid olema leitud ühe ja sama punkti O suhtes.) Nii punktmassi liikumishulga momendi kui punktmasside süsteemi kineetilise momendi puhul kasutatakse eestikeelses kirjanduses ka termineid impulsi moment või pöördeimpulss. (I.k. angular momentum, moment of momentum) 4 I.k. angular momentum, moment of momentum
19 1.4. Dünaamika 1-37 Jõu momendi ja liikumishulga momendi definitsioonid on analoogsed ja analoogne on ka kogu teooria, mis meist räägib: komponendid, projektsioonid, peamoment jne Pöörleva keha puhul L z = I z ω z, kus I z = m ρ2 dm = m (x2 + y 2 )dm on keha massiinertsimoment. Kineetilise momendi teoreem: punktmasside süsteemi kineetilise momendi tuletis aja järgi võrdub vaadeldavale süsteemile rakendatud välisjõudude peamomendiga L O = M O (F i ). i Vaadeldav teoreem esitatakse diferentsiaalkujul. Võimalik on esitada teda ka integraalkujul. Järeldus (kineetilise momendi jäävuse seadus): Välisjõududest vaba süsteem liigub muutumatu kineetilise momendiga. Seega, kui L = const. puhul muutub keha inertsimoment, siis peab vastavalt muutuma ka tema nurkkiirus 1.4. Dünaamika 1-38 Jõu elementaartööks nimetatakse jõu ja tema rakenduspunkti elementaarsiirde skalaarkorrutist: dw = F dr. Jõu töö tema rakenduspunkti lõplikul siirdel punktist P 0 punkti P 1 esitatakse joonintegraalina W = P1 P 0 F dr = P1 P 0 (F x dx + F y dy + F z dz). Jõupaari elementaartöö (pöördel ümber z telje) dw = M z dϕ z
20 1.4. Dünaamika 1-39 Jõupaari töö lõplikul pöördel asendist ϕ 0 asendisse ϕ 1 ϕ1 W = M z dϕ z. ϕ 0 Jõu võimsuseks nimetatakse ajaühikus tehtavat tööd, st., töö muutmise kiirust P = dw dt Jõupaari võimsus = F dr dt = F v ehk P = F x v x + F y v y + F z v z. P = M z ω z Dünaamika 1-40 Kineetilise energia teoreem 5 Punktmassi kineetiline energia T = mv2 2 Kineetilise energia teoreemi diferentsiaalkuju punktmassi jaoks: Kineetilise energia tuletis aja järgi võrdub vaadeldavale punktmassile mõjuva jõu võimsusega T = P. Kineetilise energia teoreemi integraalkuju: kineetilise energia muutus punktmassi üleminekul asendist P 0 asendisse P 1 võrdub talle rakendatud jõu poolt tehtava tööga sellel liikumisel. T 1 T 0 = W Seega tööd saadakse selle arvelt, et kineetiline energia muutub, annab osa endast ära. 5 Vaadeldavat teoreemi nimetatakse ka kineetilise energia muutumise teoreemiks või lihtsalt energiateoreemiks.
21 1.4. Dünaamika 1-41 Punktmasside süsteemi kineetiline energia T = n T k = k=1 n k=1 m k v 2 k 2. Kineetilise energia teoreemi diferentsiaalkuju punktmasside süsteemi jaoks: Kineetilise energia tuletis aja järgi võrdub kõigile süsteemi punktidele rakendatud sise- ja välisjõudude võimsuste summaga T = n Pk i + k=1 n Pk. e k= Dünaamika 1-42 Kineetilise energia teoreemi integraalkuju punktmasside süsteemi jaoks: Kineetilise energia muutus punktmasside süsteemi liikumisel ühest asendist teise võrdub süsteemi punktidele rakendatud sise- ja välisjõudude tööde summaga sellel liikumisel T 1 T 0 = n Wk i + k=1 n Wk. e k=1 Nagu näha, tuleb kineetilise energia teoreemi puhul sisejõud arvesse võtta. Süsteemi nimetatakse muutumatuks kui süsteemi liikumisel tema sisejõudude rakenduspunktide vahelised kaugused ei muutu. Muutumatu süsteemi puhul on süsteemi sisejõudude töö null
22 1.4. Dünaamika 1-43 Kineetilise energia leidmine rööpliikumine Pöörlemine ümber z telje Tasapinnaline liikumine T = mv2 C 2 T = I zω 2 z 2 T = mv2 C 2 + I Cω 2 z 2 Viimase avaldise puhul leitakse inertsimoment I C masskeset läbiva ja z teljega paralleelse telje suhtes Dünaamika 1-44 Konservatiivsed jõud Kui jõu töö tema rakenduspunkti liikumisel asendist P 0 asendisse P 1 ei sõltu trajektoori kujust, siis nimetatakse sellist jõudu konservatiivseks jõuks Näiteks gravitatsioonijõud ja elastsusjõud. Kinnise trajektoori puhul on konservatiivse jõu töö null. Mittekonservatiivseid jõude nimetatakse dissipatiivseteks jõududeks Näiteks hõõrdejõud.
23 1.4. Dünaamika 1-45 Konservatiivse jõu F töö tema rakenduspunkti lõplikul siirdel punktist P 0 punkti P 1 P1 P1 W = F dr = (F x dx + F y dy + F z dz) P 0 P 0 on sõltumatu integreerimisteest. Joonintegraal ei sõltu integreerimisteest siis ja ainult siis kui integraalialune avaldis on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal. Seega võime sisse tuua funktsiooni V (x, y, z) kujul dv (x,y,z) = F x dx + F y dy + F z dz. Sellist täitvat funktsiooni V nimetatakse potentsiaalseks energiaks. Miinus märk on siin sisse toodud kokkuleppe tõttu. Potentsiaalse energia definitsiooni dv (x,y,z) = F x dx+f y dy+f z dz põhjal F x = V x, F y = V y, F z = V z Dünaamika 1-46 Konservatiivse jõu töö W = P1 P 0 dv = V P 1 P 0 = V 0 V 1 kus V 0 on süsteemi algasendile ja V 1 süsteemi lõppasendile vastav potentsiaalne energia. Konservatiivse jõu töö W = V 0 V 1 võrdub süsteemi alg- ja lõppasendile vastavate potentsiaalsete energiate (potentsiaalide) vahega. Potentsiaalne energia iseloomustab keha võimet teha tööd ja ta sõltub keha asendist (jõuväljas). Kui keha potentsiaalne energia suureneb, siis W < 0 keha potentsiaalse energia suurendamiseks on vaja teha tööd. Kui keha potentsiaalne energia väheneb, siis W > 0 potentsiaalse energia vähenemise arvelt võib saada tööd. Kui valemis definitsioonis poleks sisse toodud miinus märki, saaks töö avaldis kuju W = V 1 V 0.
24 1.4. Dünaamika 1-47 Olgu kõik muutumatule mehaanikalisele süsteemile mõjuvad jõud konservatiivsed Nende jõudude töö süsteemi liikumisel algasendist lõppasendisse: W = V 0 V 1 Kineetilise energia teoreem: T 1 T 0 = V 0 V 1 Viimasest saame T 0 + V 0 = T 1 + V 1 ehk } T {{ + V } = const. =E Kineetilise ja potentsiaalse energia summat nimetatakse mehaanikaliseks energiaks ja tähistatakse E. Mehaanikalise energia jäävuse seadus Kui punktmasside süsteem liigub konservatiivsete jõudude mõjul siis jääb tema mehaanikaline energia konstantseks: E = T + V = const. Punktmasside süsteeme, kus kehtib mehaanikalise energia jäävuse seadus nimetatakse konservatiivseteks süsteemideks Tugevusõpetus Tugevusõpetus Tugevusõpetus on mehaanika haru, mis uurib konstruktsioonielementide piisava tugevuse, jäikuse ja stabiilsuse saavutamist võimalikult ökonoomsel moel. Tehniline mehaanika = staatika + tugevusõpetus.
25 1.5. Tugevusõpetus 1-49 Pinnamomendid. n + m astme pinnamoment Nullastme pinnamoment pindala: A x m y n da (1.4) Joonis 1.5: Tasapinnalise kujundi pinnamomendid. A = A da. (1.5) Esimese astme pinnamomendid staatilised momendid: S x = yda S y = xda. (1.6) A A 1.5. Tugevusõpetus 1-50 Joonis 1.6: Staatiline moment.
26 1.5. Tugevusõpetus 1-51 Teise astme pinnamomendid inertsimomendid momendid: telginertsimomendid I x = polaarinertsimoment I ρ = tsentrifugaalinertsimoment I xy = A y 2 da, I y = A A A x 2 da; (1.7) ρ 2 da; (1.8) xyda. (1.9) 1.5. Tugevusõpetus 1-52 Ristlõike keskteljed ja peateljed. Peainertsimomendid. Peatasandid. Joonis 1.7: Ristlõige.
27 1.5. Tugevusõpetus 1-53 Sisejõud: pikijõud, väändemoment, põikjõud, paindemoment. Joonis 1.8: Pikijõud 1.5. Tugevusõpetus 1-54 Joonis 1.9: Väändemoment
28 1.5. Tugevusõpetus 1-55 Joonis 1.10: Põikjõud ja paindemoment 1.5. Tugevusõpetus 1-56 Joonis 1.11: Sisejõudude märgireeglid.
29 1.5. Tugevusõpetus 1-57 Diferentsiaal- ja integraalseosed lauskoormuse intensiivsuse ja sisejõudude vahel Joonis 1.12: Diferentsiaal- ja integraalseosed lauskoormuse intensiivsus dn dx = N = p x, dq z dx = Q z = p z, dm y dx = M y = Q z, N(x) = N(a) Q z (x) = Q z (a) M y (x) = M y (a) x a x a x a p x (x)dx, (1.10) p z (x)dx, (1.11) Q z (x)dx. (1.12) 1.5. Tugevusõpetus 1-58 Joonis 1.13: Diferentsiaal- ja integraalseosed sisejõud
30 1.5. Tugevusõpetus 1-59 Lõikemeetod, pinged varda ristlõikes Joonis 1.14: Lõikemeetod ja pinged varda ristlõikes 1.5. Tugevusõpetus 1-60 Pinged varda punktis. Vaatleme varda punkti K, mida läbib pind normaaliga n. Seal mõjub pingevektor p. Viimane omab normalkomponenti σ x ja tangentsiaalkomponente τ xy ja τ xz. σ x normaalpinge märgireegel analoogne pikijõuga τ xy ja τ xz nihkepinge ehk tangentsiaalpinge märgireegel analoogne põikjõuga Joonis 1.15: Pinge varda punktis
31 1.5. Tugevusõpetus 1-61 Joonis 1.16: Normaalpinge 1.5. Tugevusõpetus 1-62 Joonis 1.17: Nihkepinge
32 1.5. Tugevusõpetus 1-63 Normaaldeformatsioon (normaalmoone) Joonis 1.18: Normaaldeformatsioon: σ > Tugevusõpetus 1-64 Joonis 1.19: Normaaldeformatsioon: σ < 0
33 1.5. Tugevusõpetus 1-65 Nihkedeformatsioon ehk nihe ehk nihkemoone Joonis 1.20: Nihkedeformatsioon 1.5. Tugevusõpetus 1-66 Joonis 1.21: Nihkedeformatsioon
34 1.5. Tugevusõpetus 1-67 Elastsuskonstandid: E Youngi moodul ehk (normaal)elastsusmoodul; G nihkeelastsusmoodul; ν Poissoni tegur; G = E 2(1 + ν) Pingete ja deformatsioonide (moonete) vahelised seosed: (1.13) ε x = σ x E, γ xy = τ xy G, γ xz = τ xz G,..., ε y = ε z = νε x (1.14) 1.5. Tugevusõpetus 1-68 Deformatsioonienergia Vaatleme vedru, mille elastsusjõu moodul F = kx. Elastsusjõu elementaartöö dw = F dx = kxdx Elastsusjõu töö lõplikul deformatsioonil ongi võrdne vedru deformatsioonil tekkinud potentsiaalse energiaga U = W = x1 0 dw = x1 0 kxdx = kx (1.15) Analoogiliselt vedruga leitakse elastsel deformatsioonil akumuleeruvat energiat. Viimane esitatakse tavaliselt energia tihedusena. Näiteks u σ = du dv = Eε2 x 2 = ε xσ x 2 = σ2 x 2E, ja summaarne deformatsioonienergia tihedus u τ = du dv = Gγ2 xy 2 = γ xyτ xy 2 = τ2 xy 2G (1.16) u = u σ + u τ. (1.17)
35 1.5. Tugevusõpetus 1-69 Seos pingete ja sisejõudude vahel M y = A Joonis 1.22: Pinged varda ristlõike elementaarpinnal da. N = A σ x da; Q y = zσ x da; M z = A A τ xy da; Q z = yσ x da; T = A A τ xz da; (1.18) (yτ xz zτ xy )da. (1.19) 1.5. Tugevusõpetus 1-70 Pikkepinge σ x = N A (1.20) Joonis 1.23: Pikkepinge
36 1.5. Tugevusõpetus 1-71 Paindepinge σ x = M y I y z (1.21) Joonis 1.24: Paindepinge 1.5. Tugevusõpetus 1-72 Nihkepinge ehk lõikepinge maxτ xz = 3 2 Q z A (1.22) Joonis 1.25: Lõikepinge
37 1.5. Tugevusõpetus 1-73 Pinguste liigid Joonis 1.26: Pinguste liigid 1.5. Tugevusõpetus 1-74 Varda põhideformatsioonid. Erinevad sisejõud põhjustavad vardas erinevaid deformatsioone, siirdeid ja pöördeid. Joonis 1.27: Varda põhideformatsioonid
38 1.6. Klassikalise elastsusteooria põhieeldused ja põhihüpoteesid Klassikalise elastsusteooria põhieeldused ja põhihüpoteesid Klassikalise elastsusteooria = lineaarne elastsusteooria Uurimisobjekt: ideaalselt (täielikult) elastne keha. Ideaalselt elastne keha taastab täielikult oma algse kuju ja mahu pärast välisjõudude mõju kõrvaldamist. Defineeritakse nn. algolek: välisjõudude puudumisel puuduvad kehas pinged ja deformatsioonid. Hüpoteesid ja eeldused Pidevuse hüpotees: eeldame, et uuritavad tahked kehad koosnevad ainest, mis täidab ruumi pidevalt Keha mistahes mahus puuduvad tühimikud või katkevused. Eeldatakse, et ideaalselt elastne keha on homogeenne. Pinge deformatsiooni seosed on kõigis keha punktides samad Klassikalise elastsusteooria põhieeldused ja põhihüpoteesid 1-76 Eeldatakse, et ideaalselt elastne keha on isotroopne. Keha elastsed omadused on samad kõigis suundades. Superpositsiooni printsiip ehk jõudude mõju sõltumatuse printsiip. Lineaarne teooria: lineaarsed seosed ja väikesed deformatsioonid Selle asemel, et uurida jõusüsteemi tervikmõju kehale võib uurida iga üksikjõu mõju eraldi ja tulemused liita. Teisisõnu, lineaarses elastsusteoorias loetakse erinevate lahendite summa alati lahendiks. Saint Venant i printsiip. Kaks sõnastust: 1. Tasakaalus olevate jõudude rakendamine mingil väikesel keha osal kutsub esile vaid lokaalseid pingeid rakenduskoha lähiümbruses (Joon. 1.28). 2. Koormuse rakenduspunktist piisavalt kaugel ei sõltu pinged oluliselt koormuse rakendusviisist, st. jaotusest keha pinnal.
39 1.6. Klassikalise elastsusteooria põhieeldused ja põhihüpoteesid 1-77 a) b) Joonis 1.28: Saint Venant i printsiip: a) kahe taskaalus olava jõu poolt põhjustatud normaalpingete epüür; b) kolm erineval jaotunud koormust, millel on sama peavektor Klassikalise elastsusteooria põhieeldused ja põhihüpoteesid 1-78 Elastsusteooria põhiülesandeks on elastses kehas välismõjude toimel tekkivate pingete ja deformatsioonide määramine. Elastsusteooria meetodid võimaldavad lahendada ülesandeid, mida pole tugevusõpetuse meetoditega võimalik lahendada; võimaldavad hinnata tugevusõpetuses saadud lahendite täpsust. Kui pole tarvis arvestada termilisi efekte, siis vaadeldakse välismõjudena vaid välisjõudusid. Klassikalises elastsusteoorias on pingete ja deformatsioonide vahelised seosed lineaarsed, siirded (ehk paigutised) väikesed võrreldes kehade joonmõõtmetega, suhtelised deformatsioonid (suhtelised pikenemised ja nihkenurgad) väikesed võrreldes ühega.
40 1.6. Klassikalise elastsusteooria põhieeldused ja põhihüpoteesid 1-79 Tugevusõpetus vrs lineaarne elastsusteooria. Kuna tugevusõpetus põhineb lineaarsel elastsusteoorial, siis on neil kahel ainel väga palju ühist materjalid on lineaarselt elastsed, homogeensed, isotroopsed; kehtib Saint Venant i printsiip 6, jne. Teisest küljest on tugevusõpetuse puhul tegu maksimaalselt lihtsustatud teooriaga seega leiavad paljud probleemid lineaarses elastsusteoorias käsitlemist vähem lihtsustatud kujul. Näiteks talade paine. Bernoulli hüpotees ehk ristlõigete tasandilisuse hüpotees 7 ei kehti lineaarses elastsusteoorias alati. Mitmed lineaarse elastsusteooria uuritavad probleemid pole aga üldse tugevusõpetuse uurimisobjektiks, näiteks plaatide paine. 6 Koormuse rakenduskohast piisavalt kaugel ei sõltu pinge koormuse iseloomust (rakendusviisist). 7 Ristlõiked, mis olid enne deformatsiooni tasapinnalised, jäävad ka peale deformatsiooni tasapinnaliseks.
BioMech_2011_1.dvi
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Biomehaanika (Sissejuhatavad loengud mehaanika) Tallinn 2011 2 Peatükk 1 Sissejuhatus 1.1 Mis on biomehaanika Biomehaanika
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Rohkemelastsus_opetus_2017_ptk3
1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
Rohkempkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid
1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus
Rohkemelastsus_opetus_2015_ptk5.dvi
Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
RohkemFJT p6hivara 2019
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemMicrosoft Word - biomehaanikanov docx
Tartu Ülikool Loodus- ja tehnoloogiateaduskond BIOMEHAANIKA ALUSED JA BIOMATERJALID Loengumaterjalid biomeditsiinitehnika ja meditsiinifüüsika magistriõppe üliõpilastele PhD, bioloogiadoktor Arved Vain
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
Rohkem10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018
IX OSA, 10. klass füüsika NEWTONI SEADUSED Kehade vastastikmõju on nähtus, kus ühe keha kiirus muutub mingi teise keha mõju tõttu. Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha ja ühe keha mõjul võib juhtuda
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemAutomaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2
Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus
RohkemMicrosoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc
7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemMETALL
1. Plaadi arvutus 1.1 Koormused plaadile Normkoormused: kasuskoormus: q k =17 kn/m 2 Arvutuskoormused: kasuskoormus: q d =1,5*17=25,5 kn/m 2 1.2 Plaadi arvutrusskeem ja dimensioneermine Abitalade sammuks
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
Rohkemefo03v2kkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
Rohkemefo09v2pke.dvi
Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemTallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava
Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava Õppeaine: Füüsika Eesmärgid: Klass: 8 1) kasutab füüsika mõisteid, füüsikalisi suurusi, seoseid ning rakendusi loodus- ja tehnikanähtuste kirjeldamisel, selgitamisel
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
Rohkem(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc)
Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkem(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )
1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemEESTI STANDARD EVS :2003 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2:
EESTI STANDARD TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2: Tanks EESTI STANDARDIKESKUS AMETLIK VÄLJAANNE EESSÕNA Eesti standard Teraskonstruktsioonid. Vedelikumahutid on välja
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemRemote Desktop Redirected Printer Doc
VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus
RohkemÜlesanded
Virumaa Kollež Reaal ja tenikateauste keskus Gennai rjassov Koutöö 3 õppeaines Eitusmeaanika RR030 Sõrestiku Kotla-Järve 07 KODUTÖÖ 3 Sõrestiku (Фермы). Kontrollia süsteemi staatikaga määratavust ja geomeetrilist
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemStatistiline andmetöötlus
Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:
RohkemPowerPointi esitlus
Konverents Terve iga hinna eest, 07.03.2013 Tervis ja haigus muutuvas maailmas Andres Soosaar Mis on meditsiin? Meditsiin on pikka aega olnud ruum, mille koordinaattelgedeks on tervise-haiguse eristus
RohkemA.Kitzbergi nimeline Gümnaasium Ainevaldkond Loodusained Ainevaldkonna õppeaine füüsika kursused on järgmised: 1) Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumi
Ainevaldkond Loodusained Ainevaldkonna õppeaine füüsika kursused on järgmised: 1) Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika, 2) Mehaanika, 3) Elektromagnetism, 4) Energia, 5) Mikro- ja megamaailma
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
RohkemMicrosoft Word - Järvamaa_KOVid_rahvastiku analüüs.doc
Töömaterjal. Rivo Noorkõiv. Käesolev töö on koostatud Siseministeeriumi poolt osutatava kohalikeomavalitsuste ühinemist toetava konsultatsioonitöö raames. Järvamaa omavalitsuste rahvastiku arengu üldtrendid
RohkemIX klass
Keemia IX klassile Näidistöökava Õpik (Õ): Lembi Tamm, Heiki Timotheus Keemia õpik IX klassile, Avita, 2013 Töövihik (TV): Kontrolltööd (KT): Lembi Tamm, Eevi Viirsalu Keemia töövihik IX klassile I osa,
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
RohkemOÜ PILVERO Pilvero OÜ Nõo valla soojusmajanduse arengukava aastateks täiendus Nõo - Tallinn 2018
OÜ PILVERO Pilvero OÜ Nõo valla soojusmajanduse arengukava aastateks 2016-2026 täiendus Nõo - Tallinn 2018 Sissejuhatus Seoses Nõo alevikus asuvate kaugküttevõrkude arendamistingimuste muutumisega, võrreldes
RohkemTerasest ja liimpuidust kandekarkasside võrdlev arvutus Nõo Konsumi näitel Magistritöö Juhendaja: Ivo Roolaht Üliõpilane Kristin Kartsep EAEI Ül
Terasest ja liimpuidust kandekarkasside võrdlev arvutus Nõo Konsumi näitel Magistritöö Juhendaja: Ivo Roolaht Üliõpilane Kristin Kartsep 0652EAEI Üliõpilase meiliaadress kristin.kartsep@gmail.com Õppekava
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
Rohkem(Tõrked ja töökindlus \(2\))
Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu
RohkemVäljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:
Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemI klassi õlipüüdur kasutusjuhend
I-KLASSI ÕLIPÜÜDURITE PAIGALDUS- JA HOOLDUSJUHEND PÜÜDURI DEFINITSIOON JPR -i õlipüüdurite ülesandeks on sadevee või tööstusliku heitvee puhastamine heljumist ja õlijääkproduktidest. Püüduri ülesehitus
RohkemFüüsika
Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse
RohkemDE_loeng5
Digitaalelektroonika V loeng loogikalülitused KMOP transistoridega meeldetuletus loogikalülitused TTL baasil baaslülitus inverteri tunnusjooned ja hilistumine LS lülitus kolme olekuga TTL ja avatud kollektoriga
Rohkem29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda:
9 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 1. Kasuta ainult korraldajate antud sulepead.. Kasuta
RohkemEESTI STANDARD EVS-EN ISO 3381:2007 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade RAUDTEEALASED RAKENDUSED Akustika Raudteeveeremi sisemüra mõõtmine (IS
EESTI STANDARD RAUDTEEALASED RAKENDUSED Akustika Raudteeveeremi sisemüra mõõtmine Railway applications Acoustics Measurement of noise inside railbound vehicles EESTI STANDARDIKESKUS EESTI STANDARDI EESSÕNA
RohkemTALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL RAE 0270 Masinaehitustehnoloogia projekt ELEKTRIAJAMIGA TRUMMELVINTS ÜLIÕPILANE: KOOD: JUHENDAJA: Kotla-Järve 2018
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL RAE 070 Masinaehitustehnoloogia projekt ELEKTRIAJAMIGA TRUMMELVINTS ÜLIÕPILANE: KOOD: JUHENDAJA: Kotla-Järve 018 Üliõpilane... Üliõpilaskood... RAE 070 - Masinaehitustehnoloogia
RohkemVäljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:
Väljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 05.12.2004 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 29.04.2007 Avaldamismärge: Töökeskkonna füüsikaliste ohutegurite
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemMicrosoft Word - FÜÜSIKA GÜMNAASIUM docx
FÜÜSIKA AINEKAVA GÜMNAASIUMIS Gümnaasiumi füüsikaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1) kirjeldab, seletab ja ennustab loodusnähtusi ning nende tehnilisi rakendusi; 2) väärtustab füüsikateadmisi looduse,
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt
Bioloogia Loodusteaduslik uurimismeetod Tiina Kapten Bioloogia Teadus, mis uurib elu. bios - elu logos - teadmised Algselt võib rääkida kolmest teadusharust: Botaanika Teadus taimedest Zooloogia Teadus
RohkemMicrosoft PowerPoint CLT arvutamine_TTU
RISTKIHTPUIDU PROJEKTEERIMINE SEMINAR: PUIT JA PUIDUPÕHISTE KONSTRUKTSIOONIDE PROJEKTEERIMINE Eero Tuhkanen 18.10.2016 1 TEEMAD RISTKIHTLIIMPUIDU OLEMUS MÄRKUSED TOOTMISE KOHTA RISTKIHTLIIMPUIDU KARAKTERISTKUD
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemPealkiri on selline
Kuidas keerulisemad alluvad muudaksid oma käitumist, kui juht seda soovib? Jaana S. Liigand-Juhkam Millest tuleb juttu? - Kuidas enesekehtestamist suhtlemises kasutada? - Miks kardetakse ennast kehtestada?
RohkemMicrosoft PowerPoint - RRand_MEMS.ppt
MEMS sensorid Rait Rand 1 Sissejuhatus MEMS MEMS : Micro-electromechanical systems 1974.a. rõhusensor masstoodangus 1988.a. mikromehhaanika ühendati elektroonikaga Süsteemina Sensorsüsteemid Aktuaatorsüsteemid
Rohkemmaster.dvi
TARTU ÜLIKOOL Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut ELMO TEMPEL GALAKTIKA NGC 4594 HÜDRODÜNAAMILINE MUDEL Astrofüüsika magistritöö Juhendaja: dots. PEETER TENJES Tartu 2005 Sisukord 1
RohkemSlide 1
Hiiumaa Mesinike Seltsing Mesilasperede talvitumine, soojusrežiim ja ainevahetus talvel Uku Pihlak Tänast üritust toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames Täna räägime: Natuke füüsikast ja keemiast
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemMicrosoft Word - EVS-ISO doc - pdfMachine from Broadgun Software, a great PDF writer utility!
EESTI STANDARD TOORNAFTA JA VEDELAD NAFTATOOTED VERTIKAALSETE SILINDRILISTE MAHUTITE KALIBREERIMINE Osa 1: Mõõdulindimeetod Petroleum and liquid petroleum products Calibration of vertical cylindrical tanks
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
RohkemСтальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нул
Surutud varda abiisus (nõtke) Enamai varda otsad kinnitatakse ühe (Joon.1) näidatud neja viisi. Üejäänud kinnitusviiside puhu on kriitii jõudu võimaik määrata üdiatud Eueri vaemiga kp EImin, (1) kus -
RohkemMicrosoft Word - vundamentide tugevdamine.doc
10 Vundamentide tugevdamine. 1. Vundamentide tugevdamise põhjused 2. Tugevdamisega seotud uuringud 3. Tugevdusmeetodid 3.1 Vundamendi süvendamine 3.2 Talla laiendamine 3.3 Koormuse ülekanne vaiadele 3.4
RohkemVKE definitsioon
Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na
RohkemHalli konstruktiivne skeem
Kert Välman RAUDBETOONKARKASSIGA KAHEKORDSE HOONE JA HALLI KOOSTÖÖ LÕPUTÖÖ Ehitusteaduskond Hoonete ehituse eriala Tallinn 2016 Mina, Kert Välman, tõendan, et lõputöö on minu kirjutatud. Töö koostamisel
RohkemKasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimise
Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimisel on hea teada... 5 Vintsi hooldus... 6 Garantii...
RohkemKeemia koolieksami näidistöö
PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
RohkemMicrosoft Word - 1-1_toojuhend.doc
1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil
RohkemSaksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi
Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat
Rohkem