Variant A

Väljavõte

1 PARABOOL. PARABOOLI KANOONILINE VÕRRAND Kuids leid joone võrrndit, kui on ted, et selle joone ig punkti kugused sirgest = j punktist F(0; ) on võrdsed? Tähistme joonel olev vlt vlitud punkti P(; ). Selle punkti kugus punktist F, s.t. lõigu FP pikkus on võrdne selle punkti kuguseg sirgel olevst punktist D, mille koordindid on D(; ). Seeg FP = DP, ( 0) + ( ) = ( ) + ( + ), + ( ) = ( + ), + + = + +, = 8, = 8. = D ( ; ) 3 Sime ühe prooli võrrndi. Selle prooli hripunkt on koordintide lguspunktis, prooli sümmeetriteljeks on -telg j prool vne ülespoole. Prooliks nimettkse sellist punktihulk tsndil, mille ig punkti kugused mingist kindlst punktist j kindlst sirgest on võrdsed. Sed kindlt punkti nimettkse prooli fookuseks, kindlt sirget prooli juhtjooneks. Näites oli fookuseks punkt F(0; ) j juhtjooneks sirge =. Näide. Lei prooli võrrnd, kui on ted, et fookus on punktis F(; 0) j juhtjooneks on -telg (sirge = 0). Tähistme joonel vlt vlitud punkti P(; ). Sellele punktile vst juhtsirgel punkt D(0; ), nii et FP = DP, 3 F (0; ) = 8 P ( ; ) ( ) + ( 0) = ( 0) + ( ), ( ) + =, + + =, + =. Siit või vldd muutuj -i või muutuj -i: = + () = ( ). () Sime mingi joone võrrndi. Keskkoolis õpitud proolig = + + c siin tegu ei ole. Joonestme selle funktsiooni grfiku. Selleks rvutme vlemi () põhjl mõned selle funktsiooni väärtused Ühenddes punktid sujuv jooneg, sme joonisel olev kõver. See kõver on smuti prool, inult selle prooli sümmeetri teljeks on - telg, hripunktiks on (; 0) j prool vne premle. Antud grfik on srnne funktsiooni = + grfikug j on sdv viimsest, kui me sed grfikut pöörme 90 päripäev. Muide, võrrndist = + s võrrndi = +, kui muutujte tähised vhetd Ülltoodud definitsiooni järgi või kirjutd välj k selliste proolide võrrndid, mis vnevd kõigis muudes suunddes = 5

2 Näide. Leime prooli võrrndi, kui on ted, et fookus on punktis F(-; ) j juhtjooneks on sirge 3 --=0. Joonel vlt vlitud punkt olgu P(; ). Tõmme sellest punktist juhtjoonele ristlõigu, nii teki punkt D, kusjuures FP = DP. Punkti P kuguse sirgest 3 -- = 0 s leid nii:, Tõstme mõlemd pooled ruutu j korrutme 5-g, sme Viies kõik liikmed ühele poolele, sme. Seeg On olems g k prooli knooniline võrrnd. See sdkse siis, kui vlitkse fookuse j juhtsirge sukohd nii, et prooli hripunkt oleks koordintide lguspunktis j sümmeetriteljeks oleks -telg. Fookuse j juhtjoone vheline kugus tähisttkse p-g. Kui nii teh, siis on fookus punktis F( p ; 0) j juhtjooneks on sirge = p. Olgu vlt vlitud punkt proolil P(; ). Sed juhtsirgel olevt punkti, mille kugus punktist P on võrdne punktide P j F vhelise kuguseg, tähistme täheg D. Punkti D koordindid on ( p ; ). p DP = FP ( ) p p p p p p p ( 0) p See ongi prooli knooniline võrrnd. Proolil, mille juhtjooneks on = p j D ( p ; ) 0 p = P ( ; ) p F ( ; 0 ) = p fookus punktis ( p ; 0), on võrrndiks = p. Anloogiliselt s näidt, et kui prooli sümmeetriteljeks on -telg, hripunkt on punktis (0; 0) j fookuseks on punkt (0; p ) j juhtjooneks = p, siis on prooli võrrndiks = p. 33. Lei prooli võrrnd j joonist grfik. ) fookus (0; 0); juhtjoon = ) fookus (0; 0); juhtjoon = 3) fookus (; 3); juhtjoon + 3 = 0 ) fookus ( ; 3); juhtjoon = 5) fookus (; 0); hripunkt (; ) 6) hripunkt (3; ); juhtjoon + = 0 7) hripunkt (3; 0); juhtjoon = 8) fookus (6; ); hripunkt (3; )

3 35. Lei prooli fookus j juhtjoon. ) = 3) = 3) = 8 ) + = 0 5) = 6 6) = 0 7) = + 8) = 0,5 36. On ntud punktid A(3; 6), B(0,5; 6 ), C(; 3), D(; 6 ). Millised neist suvd proolil =? 37. Lei prooli võrrnd, kui prooli hripunkt su koordintide lguses j ) sümmeetriteljeks on -telg ning prool läi punkti (; ), ) sümmeetriteljeks on -telg ning prool läi punkti ( ; ). 38. Näit, et kui prooli hripunkt on punktis (h; k) j prooli sümmeetritelg on horisontlne, siis on prooli võrrndil kuju = ( k ) + h, kus on nullist erinev konstnt. Kuhu vne prool, kui > 0; kuhu kui < 0? 39. Sirglõiku, mis läi fookust j on risti prooli sümmeetriteljeg, ning mille otspunktid on prooli hrdel, nimettkse foklliuseks e. prooli v liuseks fookuse kohl. Prooli võrrnd olgu = p. Lei prooli fokllius. 0. Lei m pikkuse sill kre kõrgus, kui krel on prooli kuju, mille võrrnd on = 8.. Prožektori peegli ristlõige on prool. Lei fookuse sukoht, kui peegli dimeeter on 60 cm j sügvus 30 cm.. Heidetud od mndus 80 m kugusele. Lei od trjektoori võrrnd, kui od suurim kõrgus mpinnst oli 5 m. Eeldme, et od liikumine on ligikudselt kirjeldtv prooli võrrndig. 3. Lei ringjoone võrrnd, kui ringjoone keskpunkt on koordintide lguses j ringjoon läi joonte = j = lõikepunkti. 5. Selgit, kuids sõltu prooli = p kuju prmeetrist p. 6. Prooli, mille hripunkt punktis (h; k) j fookus on punktis (h + r; k), juhtjoone võrrndiks on = h r. Näit, et prooli võrrnd on = r ( k) + h. ELLIPS. ELLIPSI KANOONILINE VÕRRAND Aednikul on vj rjd ovlne lillepeenr. Kuids sed teh? Aednik tork m sisse kks pulk j kinnit pulkde külge nööri, mille pikkus on suurem, kui pulkde vheline kugus. Kolmnd pulg il tõm t nööri pingule j liigut sed nii, kuis pingul olev nöör lu. Jälg, mille joonist selle pulg ots, on ovlne. Mtemtikud kutsuvd niiviisi sdud ovlse kujug joont ellipsiks. Kun nööri pikkus ellipsi joonestmisel ei muutu, siis on sellise joone korrl joone suvlise punkti kuguste summ neist khest fikseeritud punktist jääv suurus. F P + F P = const Ellipsiks nimettkse niisugust punktihulk tsndil, kus ig punkti kugused khest kindlst punktist nnvd jääv suuruseg summ. Neid kindlid punkte nimettkse ellipsi fookusteks j neid kugusi ellipsi foklkugusteks. Olgu meil ellipsi fookused punktides F ( ; 0) j F (; 0). Foklkuguste summ (nööri pikkus) olgu 0. Leime selle ellipsi võrrndi. F P + F P = 0 ( + ) + ( 0) + ( ) + ( 0) = 0 ( + ) + = 0 ( ) + Tõstme mõlemd pooled ruutu j lihtsustme: ( + ) + = 00 0 ( ) + + ( ) +

4 0 ( ) + = 00 + ( ) ( + ) 0 ( ) + = ( ) + = 5. Tõstme veel kord ruutu j lihtsustme: 5( ) = = 5 : =. Selleks, et skitseerid selle joone grfikut, ei pe ilmtingimt kinnitm kht nööpnõel joonestusploki lehele 8 cm kugusele teineteisest (fookustevheline kugus!) j ühendm need nõeld 0 cm pikkuse niidig. Ellipsi joonestmiseks on päris plju erinevid võimlusi. Vtme võrrndit 5 + =. () 9 ) Kui mingi punkt (r; s) rhuld võrrndit, siis r 5 + s 9 =. Et r = ( r ) j s = ( s ), siis k punktid ( r; s), (r; s) j ( r; s) rhuldvd sed võrrndit. Seeg, see joon on sümmeetriline nii koordintide lguspunkti kui k -telje j -telje suhtes. ) Asendme nullig, sme 5 = = 5 = 5. Ellips lõik -telge punktides = 5 j = 5. 3) Asendme nullig, sme 9 = ( r ; s) (r ; s) = 9 = 3. Ellips lõik -telge punktides = 3 j = 3. ) Avldme võrrndist j -i: 3 = j = 3 9. ( r ; s) (r ; s) Viimstest võrdustest näeme, et on relrv inult siis, kui 5, j on relrv inult siis, kui 3. Seeg, see ellips pikne ristkülikus, mis on piirtud sirgeteg = 5, = 5, = 3, = 3. Sed informtsiooni rvestdes koostme ellipsi joonestmiseks teli, kusjuures väärtused esitme kümnendiku täpsuseg ,9,7,,8 0 Märkinud need punktid teljestikku j lisnud neile sümmeetrilised punktid ülejäänud veernditest, sme järgmise joonise: = Ellipsi knoonilise võrrndi tuletmiseks vlitkse fookuste sukohd -teljel j nimelt nii, et nd pikneksid sümmeetriliselt -telje suhtes. Fookustevheline kugus olgu c. Seeg on fookuste koordindid F ( c; 0) j F (c; 0). Vlime ellipsil vlt punkti P(; ). Ellipsi definitsiooni põhjl siis F P + F P = const. Võrduse preml poolel olevt konstnti tähistme -g. Seeg F P + F P =. Ksutdes lõigu pikkuse vlemit, sme ( + c) + ( 0) + ( c) + ( 0) = ( + c) + = ( c) + Tõstme mõlemd pooled ruutu j lihtsustme: ( + c) + = ( c) + + ( c) + ( c) + = + ( c) ( + c) ( c) + = c ( c) + = c. Tõstme veel kord ruutu j lihtsustme:

5 [( c) + ] = c + c c + c + = c + c c + = c ( c ) + = ( c ) : ( c ) + c =. Sdud võrrnd ongi ellipsi võrrnd. Uurime nimetjt ( c ). Juhul, kui ellipsi vlt vlitud punkt su -teljel, siis sme täisnurksest kolmnurgst F OP, kus F O = c j F P =, Pthgorse teoreemi põhjl, et F P F O = c. Seeg, vhe c esit ellipsi -telglõigu ruutu. Edspidi tähistme sed vhet -g. Seeg = c j ellipsi võrrnd esitu siis kujul + =. Kui ellipsi fookused on F ( c; 0) j F (c; 0) ning foklkuguste summ on, siis on ellipsi võrrndiks + =, kus = c. Ellipsi fookused võivd muidugi oll k -teljel. Anloogiliselt ülltoodug sdkse siis järgmine tulemus: Kui ellipsi fookused on F (0; c) j F (0; c) ning foklkuguste summ on, siis on ellipsi võrrndiks + =, kus = c. Olgu ellipsi võrrnd + =, s.t. vtleme ellipsit, mille fookused on - teljel. Leime punktid, kus see ellips lõik -telge j -telge. Lõikepunktid - teljeg tekivd siis, kui = 0; siis = = =. Seeg lõikepunktid -teljeg on ( ; 0) j (; 0). P F 0 F A ( ; 0) Lõikepunktid -teljeg tekivd siis, kui = 0, siis = = =. Seeg, lõikepunktid -teljeg on (0; ) j (0; ). 0 B (0; ) B (0; ) A ( ; 0) Punkte, kus see ellips lõik koordinttelgi A ( ; 0), A (; 0), B (0; ) j B (0; ), nimettkse ellipsi hripunktideks. Sirglõike A A = j B B = nimettkse ellipsi telgedeks. Arvud j on ellipsi pooltelgede pikkused. Neist on suurem pooltelje pikkus, g väiksem pooltelje pikkus. Ellipsi suureml teljel piknevd k fookused. Ellipsi fookuste vhekuguse suhet ellipsi suure telje pikkusesse nimettkse ellipsi ekstsentrilisuseks. Ekstsentrilisust tähisttkse täheg e. = c = c. Et ellipsi puhul on lti c <, siis <. Ellipsi ekstsentrilisus on lti väiksem ühest. Kui ekstsentrilisus lähene -le, siis c, seeg = c 0. Seeg, mid suurem on ellipsi ekstsentrilisus, sed lmedm on ellips. Kui g 0, siis c 0 j = c. Kui, siis võrrndist + = sme võrrndi korrutdes -g sme ringjoone + = võrrndi. + =, mid NB! Ellipsi poolteljed defineeritkse nii, et lti on suurem pooltelje tähiseks j väiksem. Põhjuseks on see, et ellipsi võrrndis on mõleml juhtumil (fookused -teljel või -teljel) rv = c. Seepärst on k >.

6 Seeg, ellips ekstsentrilisuseg null on ringjoon. Näide. Joonistme ellipsi + = j leime tem fookused. Knoonilisele kujule viimiseks jgme -g. + =. Näeme, et ) ellips on sümmeetriline mõlem telje j teljestiku lguspunkti suhtes; ) lõikepunktid -teljeg on ( ; 0) j (; 0), -teljeg (0; ) j (0; ); 3) et = j =, siis j. Teeme ellipsi joonestmiseks teli; 0 0,5 0,5 0,75 0,9,9,7,3 0,9 0 ) võrrndi + = joks = j =. Seeg piknevd fookused -teljel. c = j c = = 3 c = 3. Seeg on fookused F (0; 3) j F (0; 3). 8. Lei ellipsi fookused, poolteljed j hripunktid ning joonest ellips. ) 9 + = ) + = 3) = ) = 5) = 6) + 9 = 36 7) + = 6 8) = 36 9) + = 9. Lei ellipsi võrrnd, kui on ntud fookuste sukohd j foklkuguste summ. ) ( 3; 0), (3; 0); 0; ) (0; ), (0; ); ; 3) (0; 5), (0; 5);. 50. Lei ellipsi võrrnd, kui on ntud ) pikem telg 0, fookused (; 0) j ( ; 0); ) pikem telg 8, fookused (; 0) j ( ; 0); 0 + = 3) lühem telg 6, fookused (3; 0) j ( 3; 0); ) lühem telg 8, fookused ( 6; 0) j ( 6; 0); 5) hripunktid (5; 0) j ( 5; 0), lühem pooltelg 3; 6) hripunkt (6; 0), keskpunkt (0; 0) j fookus ( ; 0); 7) ekstsentrilisus, fookustevheline kugus, keskpunkt (0; 0); 8) hripunktid (0; 0) j ( 0; 0), ekstsentrilisus 5 ; 9) hripunktid (; 0) j ( ; 0) j ellips läi punkti ( ; ); 0) hripunktid (0; 3) j (0; 3) j ellips läi punkti ( ; ). 5. Ellipsi keskpunkt on koordintide lguses j fookused on -teljel. ) Lei ellipsi võrrnd, kui suur- j väiketelje vhe on 0 ning nende suhe on. ) Lei ellipsi võrrnd, kui suurtelg on 6 j ekstsentrilisus. 3) Lei ellipsi võrrnd, kui väiketelg on j ekstsentrilisus 3. ) Lei ellipsi võrrnd, kui telgede summ on 6 j fookustevheline kugus Arvut ellipsi = kõõlu pikkus, kui kõõl läi fookuse j on risti ellipsi suurteljeg. 53. Lei ellipsi = 0 ekstsentrilisus. 5. Kui ellipsi keskpunkt ei ole koordintide lguspunktis, vid punktis (h; k), siis ) juhul, kui fookused piknevd sirgel = k, on ellipsi võrrndiks ( h) ( k) + = ; ) juhul, kui fookused piknevd sirgel = h, on ellipsi võrrndiks ( h) ( k) + = ; Joonest järgmised ellipsid: ) ( 5) 5 ( 3) + 9 = ) ( ) + 6 =.

7 55. Ellipsi foklprmeeter defineeritkse järgmiselt: q =. Näit, et ellipsi khekordne prmeeter nn fookust läiv j ellipsi suurteljeg risti olev kõõlu pikkuse. Sed lõiku nimettkse k ellipsi v liuseks fookuse kohl ehk foklliuseks. 56. M tiirle ümer Päikese elliptilisel oriidil, mille ühes fookuses su Päike. M suurim kugus Päikesest (feel) on 5 miljonit km j vähim kugus (periheel) on 7 miljonit km. Arvut M oriidi ekstsentrilisus. 57. Tehiskslne tiirle ümer M elliptilisel oriidil, mille üks fookus su mker keskpunktis. Tehiskslse suurim kugus M pinnst (pogee) on 500 km j vähim kugus (perigee) on 0 km. Arvut tehiskslse oriidi ekstsentrilisus. HÜPERBOOL. HÜPERBOOLI KANOONILINE VÕRRAND Vremõpitust on ted, et pöördvõrdelise seose = grfikuks on hüperool. Siinkohl esitme üldisem käsitluse hüperoolidest. Hüperooliks nimettkse niisugust punktihulk tsndil, kus ig punkti kugused khest kindlst punktist nnvd jääv suuruseg vhe. Neid kindlid punkte nimettkse hüperooli fookusteks j neid kugusi hüperooli foklkugusteks. 0 Olgu hüperooli fookused punktides F ( 5; 0) j F (5; 0) ning foklkuguste vhe 6. Leime selle hüperooli võrrndi j joonestme grfiku. Tähistme hüperoolil olev vlt vlitud punkti P(; ). Kui ig hüperooli punkti korrl on foklkuguste vhe 6, siis kehti üks khest võrdusest: F P F P = 6 või F P F P = 6. Kirjpneku lühendmise huvides vtleme neid võrdusi koos, tehes sed järgmiselt: F P F P = 6. = ( > 0) Ksutme khe punkti vhelise kuguse vlemit: Siit ( + 5) + ( 5) + = 6. ( + 5) + = ( 5) + 6. Tõstme mõlemd pooled ruutu j lihtsustme. ( + 5) + = ( 5) + ( 5) , 0 36 = ( 5) +, ( r ; s) 5 9 = 3 ( 5) +. Tõstme veel kord ruutu j lihtsustme: = 9[( 5) + ]; O 6 9 = : 9-6 =. See ongi otsitv hüperooli võrrnd. ( r ; s) (r ; s) Grfiku joonestmiseks pneme tähele järgmist. ) Kui mingi punkt (r; s) rhuld võrrndit, siis r 9 s 6 =. Et r = ( r) j s = ( s), siis k punktid ( r; s), (r; s) j ( r; s) rhuldvd sed võrrndit. Seeg, see joon on sümmeetriline nii koordintide lguspunkti kui k -telje j -telje suhtes. ) Asendme nullig, sme 9 = = 9 = 3. Hüperool lõik -telge punktides ( 3; 0) j (3; 0). 3) Asendme nullig, sme 6 = = 6. Seeg = 0 korrl -l puuduvd relsed väärtused. Seeg hüperool ei lõiku -teljeg. ) Avldme võrrndist 9 6 = j -i: = 3 9 j = (r ; s) Neist vlemeist näeme, et on relrv inult siis, kui 3. Seeg, hüperooli grfiku ükski punkt ei pikne ris, mis on sirgete = 3 j = 3 vhel. 5) Et = 3 9 j 3, siis määrme kindlks, mis juhtu -g, kui hkk suurenem.

8 Selleks esitme vlemi = 3 9 kujul = 3 9. Kui suurene, siis hkk 9 väärtus järjest vähenem. Siis 9 väärtus lähene -le j väärtus lähene 3 -le. Võrrndid = 3 kujutvd g khe sirge võrrndeid. Seeg, kui lähene lõpmtusele, siis hüperooli ordindi väärtused lähenevd sirgete = 3 - koordindi väärtustele. Jooni = 3 j = 3 nimettkse ntud hüperooli sümptootideks. Asümptoot on sirgjoon, millele ntud joon tõkestmtult lähene. Joonistme hüperooli. Smsse teljestikku hüperoolig 9 6 = on joonesttud ristkülik, mille külgedeks on sirged = 3, = 3, = j =. Selle ristküliku digonlide pikendmisel sme sümptoodid = 3 j = 3. Hüperooli knoonilise võrrndi tuletmiseks vlitkse fookuste sukohd - teljel nii, et nd setseksid sümmeetriliselt -telje suhtes. Fookustevheline kugus olgu c. Seeg on fookuste koordindid F ( c; 0) j F (c; 0). Vlime hüperoolil vlt punkti P(; ). Hüperooli definitsiooni põhjl siis F P F P = const. Võrduse preml poolel olevt konstnti tähistme -g. Seeg F P F P =. Ksutdes lõigu pikkuse vlemit, sme: ( + c) + ( 0) ( c) + ( 0) = ( + c) + = + ( c) +. Tõstme mõlemd pooled ruutu j lihtsustme: ( + c) + = ( c) + + ( c) + ( c) + = + ( c) ( + c) ( c) + = c ( c) + = c Tõstme veel kord ruutu j lihtsustme: [( c) + ] = c + c c + c + = c + c c + = c ( ) (c ) = (c ) : (c ) c = Sdud võrrnd ongi hüperooli võrrnd. Uurime nimetjt (c ). Et kolmnurgs F PF on külg F F suurem kui khe ülejäänud külje vhe, siis F F > F P F P ehk c >. Seeg c > c > j c > 0. Et vhe c on positiivne, siis võime sed tähistd -g. Sme hüperooli võrrndiks =.

9 Kui hüperooli fookused on F ( c; 0) j F (c; 0) ning foklkuguste vhe on, siis on hüperooli võrrndiks =, kus = c. Asümptootide võrrndid on = j =. Hüperooli fookused võivd muidugi oll k -teljel. Anloogiliselt ülltoodug sdkse siis järgmine tulemus: Kui hüperooli fookused on F (0; c) j F (0; c) ning foklkuguste vhe on, siis on hüperooli võrrndiks =, kus = c. Asümptootide võrrndid on = j =. Näide. Joonestme hüperooli = + 6. = 6 : (6) sme 6 = ) Joonis on sümmeetriline mõlem telje suhtes. ) Grfik lõiku -teljeg punktides (0; ) j (0; ). 3) Grfik ei lõiku -teljeg. ) Avldme j, sme: = +, = 6. Siit näeme, et on relrv inult siis, kui. 5) Asümptoodid on = j = = Hüperoolil, mille võrrnd on = ning mille fookused on -teljel, on kks lõikepunkti -teljeg, punktid ( ; 0) j (; 0). Neid punkte nimettkse hüperooli hripunktideks. Hüperoolil, mille võrrnd on =, ning mille fookused on -teljel, on kks lõikepunkti -teljeg, punktid (0; ) j (0; ). Need punktid on selle hüperooli hripunktid. Hüperooli hripunkte ühendvt lõiku, mille pikkus on, nimettkse hüperooli relteljeks. Lõiku, mille pikkus on, nimettkse hüperooli imginrteljeks. Hüperooli hüperooli = imginrtelg ühend punkte (0; ) j (0; ) ning = imginrtelg punkte ( ; 0) j (; 0). Hüperooli fookustevhelise kuguse suhet reltelje pikkusesse nimettkse hüperooli ekstsentrilisuseks. Ekstsentrilisust tähistme täheg: = c = c. Et hüperooli korrl c = +, siis või selle vlemi kirjutd kujul = +. Et hüperooli puhul on lti c >, siis >. Niisiis: hüperooli ekstsentrilisus on lti suurem kui üks

10 59. Lei hüperooli fookused j hripunktid. Kirjut välj sümptootide võrrndid j joonest hüperooli grfik. Lei hüperoolide ekstsentrilisused. ) 6 9 = ) 9 = 3) 6 9 = ) = 5) 9 = 6) = 7) 9 00 = 900 8) 3 = 7 9) = 0) 6 = + 9 ) 0 = ) = Lei hüperooli võrrnd, kui on ntud fookuste sukohd j foklkuguste vhe. ) (0; 5) j (0; 5); = 6 ) ( 3; 0) j (3; 0), = 3) (0; 6) j (0; 6); = ) ( ; 0) j (; 0); = 6 6. Hüperooli keskpunkt on koordintide lguspunktis. Lei hüperooli võrrnd, kui ) fookused on (0; 0) j (0; 0) j hripunktid (0; 8) j (0; 8); ) relpooltelg j imginrpooltelg 5; fookused -teljel; 3) reltelg 8, fookuste vhekugus 0; fookused -teljel; ) relpooltelg j imginrpooltelg 5; fookused -teljel; 5) reltelg 8, fookuste vhekugus 0; fookused -teljel; 6) imginrtelg 8, fookuste vhekugus 30; fookused -teljel; 7) hripunktid (; 0) j (, 0); sümptoodid = j = ; 8) ekstsentrilisus 3 ; fookus ( 6; 0); 9) hripunkt (6; 0); ekstsentrilisus ; 0) imginrse pooltelje otspunkt (0; 3); ekstsentrilisus ; ) fookused (; 0) j ( ; 0); sümptootide tõusud 3 j 3; ) hripunktid (8; 0) j ( 8; 0); sümptootide tõusud 3 j 3 ; 3) läi punkte (7; ) j ( ; ), fookused -teljel; ) läi punkte (7; 0) j ( ; ), fookused -teljel. 6. Näit, et ellipsil = 5 j hüperoolil 3 = on smd fookused. 63. Hüperooli foklprmeeter defineeritkse järgmiselt: q =. Tõest, et hüperooli khekordne foklprmeeter nn fookust läiv j hüperooli relteljeg risti olev kõõlu pikkuse. Sed lõiku nimettkse k hüperooli v liuseks fookuse kohl ehk foklliuseks. 6. Lei hüperooli võrrnd, kui t fokllius on 6, ekstsentrilisus ning keskpunkt on koordintide lguses. Fookused on -teljel. 65. Näit, et hüperoolidel = j = on ühised sümptoodid. Niisugust kht hüperooli nimettkse teineteise kshüperoolideks. 66. Võrdsete telgedeg hüperooli nimettkse risthüperooliks. Vhel ksuttkse k võrdhrse hüperooli mõistet. Näit, et: ) risthüperooli võrrnd esitu kujul = ; ) risthüperooli sümptoodid on teineteiseg risti. 67. Lei risthüperooli võrrnd, kui t fookused on (7; 0) j ( 7; 0). 68. Joonest hüperooli = j pöördvõrdelise seose = grfikud. Mid märkd? 33. ) = ; 3) = ( ) ; 5) = 8 ( ) + ; 7) = 8 ( 3). 35. ) (; 0), = ; 3) (0; ), = ; 5) (0;,5), =, p m.. Kui võtt prooli hripunkt punkti (0; 0), siis = = ) =. 50. ) = ; 3) = ; 5) on: + 0,75 = ; 7) Sel ülesndel on lõpmt plju lhendeid, üheks lhendiks neist = ; 9) 6 + =. 5. ) = ; ) = ; ) = , ) F (5; 0), F ( 5; 0), V (; 0), V ( ; 0), 3 5 =, = ; 3) F (0; 5), F (0; 5), V (0; ), V (0; ), = 3, 5 7 = ; 7) F ( 9; 0), F ( 9; 0), V (0; 0), V ( 0; 0), = 0, = 9 0 ; 9) F (0; 5), F (0; 5), V (0; ), V (0; ), =, = 3) 9) =. 6. ) 6 36 = ; 3) 6 9 = ; 5) 6 9 = ; ) = ; 3) 3 =. 67. = ) 9 6 = ; = ; 7) 6 = ; 9.