pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
|
|
- Jaan Leppik
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid Sissejuhatus Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi koordinaadid olla sirgjoonelised ja/või ortogonaalsed. Lihtsamateks kõverjooneliste koordinaatide näideteks on silindrilised ja sfäärilised koordinaadid. Sellistel juhtudel tulevad sisse ko- ja kontravariantsuse mõisted ning oliliseks muutub see, kas indeksid on kirjutatud alla või üles. Kolmandas peatükis tõime sisse EK ja LK kõverjoonelistena, kuid edaspidi oleme kasutanud vaid DRKe. Käesolevas peatükis esitame eelnevates peatükkides tuletatud põhitulemused kõverjoonelistes koordinaatides ja defineerime juurde mõned uued mõisted. Pikemalt on käesolevas peatükis esitatust võimalik lugeda minu loengukonspektist, mis oli pideva keskkonna mehaanika õpetamisel kasutusel kuni 2008/09 õppeaastani, vt. Märkus: Käesolevas peatükis tähistavad j ja J vastavalt (üldistele) kõverjoonelistele koordinaatidele ja DRKle vastavaid jakobiaane: j = x k X L ja J = z k Z K.
2 6.2. Koordinaadid Koordinaadid Euleri koordinaadid Toome sisse ajas muutumatu kõverjoonelise koordinaatsüsteemi x, mille suhtes vaadeldakse keskkonna materiaalsete punktide liikumist. Sellist koordinaatsüsteemi nimetatakse Euleri koordinaatsüsteemiks ehk ruumiliseks koor- Joonis 6.1: Euleri koordinaadid dinaatsüsteemiks ning vastavaid punkti koordinaate x Euleri koordinaatideks (EK) ehk ruumilisteks koordinaatideks. Ühe punktmassi liikumist Euleri koordinaatsüsteemis kirjeldavad kolm võrrandit x i = f i (t), i = 1, 2, 3. (6.1) 6.2. Koordinaadid Lagrange i koordinaadid Fikseerime ajahetkel t = t 0 keskkonna materiaalsete punktide asendi ja seome nendega kõverjoonelise koordinaatsüsteemi X. Kui nüüd ajahetkel t > t 0 keskkond liigub ja muudab kuju, siis liigub ja muudab kuju ka koordinaatsüsteem X. Sellist koordinaatsüsteemi nimetatakse Lagrange i koordinaatsüsteemiks ehk materiaalseks koordinaatsüsteemiks ning Joonis 6.2: Lagrange i koordinaadid vastavaid punkti koordinaate X Lagrange i koordinaatideks (LK) ehk materiaalseteks koordinaatideks.
3 6.2. Koordinaadid Kõverjooneliste koordinaatide avaldamine Descartes i ristkoordinaatide kaudu Eukleidilises ruumis E 3 saab alati sisse tuua Descartes i ristkoordinaadid (DRK). Toome nüüd Euleri kõverjoonelised koordinaadid sisse läbi Euleri Descartes i ristkoordinaatide (EDRK) z (z 1, z 2, z 3 ). Selleks eeldame, et EDRK z sõltuvad kolmest Eukleidilise ruumi E 3 muutujast x, st., z k = f k (x) = z k (x), k = 1, 2, 3, (6.2) kus funktsioonid f k kuuluvad klassi C r, r 1 (st., nad on pidevad funktsioonid, mis omavad pidevaid osatuletisi kuni järguni r) ja on defineeritud mingis ruumi E 3 piirkonnas. Nüüd tuleb määratleda tingimused, mille puhul õnnestub võrranditest (6.2) avaldada x k = x k (z), k = 1, 2, 3 (6.3) nii, et (6.2) ja (6.3) oleksid teineteise ühesed pöördteisendused Koordinaadid 6-6 Joonis 6.3: Kõverjoonelised koordinaadid ja DRK Matemaatilisest analüüsist tuntud teoreemi (teoreem ilmutamata funktsioonist) 1 põhjal omab teisendus (6.2) punkti p ümbruses δ ühest pöördteisendust (6.3) siis ja ainult siis kui jakobiaan J E = z k x l 0; x k x k 0 < δ. (6.4) 1 Tõestust vaata näiteks M.N.L. Narasimhan i õpikust Principlec of Continuum Mechanics. John Wiley & Sons, Inc., New-York et al., lk
4 6.2. Koordinaadid 6-7 Siin x k 0, k = 1, 2, 3, on ruumipunkti p koordinaadid ja J E = z k x l = z 1 / x 1 z 1 / x 2 z 1 / x 3 z 2 / x 1 z 2 / x 2 z 2 / x 3 z 3 / x 1 z 3 / x 2 z 3 / x 3. (6.5) Kui fikseerime avaldise (6.2) vasakul poolel (z) = (z, 1 z, 2 z ), 3 siis saame kolme lõikuva pinna võrrandid. Teatavasti esitavad kaks lõikuvat pinda kõvera (kõverjoone) ja kolm lõikuvat pinda punkti. Kui (z) = (z, 1 z, 2 z ) 3 on punkti p koordinaadid, siis paarikaupa lõikuvad pinnad esitavad kolm ruumipunkti p läbivat kõverat. Neid ruumipunkti p läbivat kolme pinda nimetatakse koordinaatpindadeks ja kolme kõverat koordinaatkõverateks. Joonis 6.4: Koordinaatkõverad ja koordinaatpinnad 6.2. Koordinaadid 6-8 Ajahetkel t = t 0 toome analoogiliselt sisse Lagrange i kõverjoonelised koordinaadid eeldame, et LDRK Z on avaldatavad LK X kaudu kujul Z K = Z K (X), K = 1, 2, 3. (6.6) Vastav pöördteisendus X K = X K (Z), K = 1, 2, 3 (6.7) eksisteerib ja on ühene materiaalse punkti P ümbruses δ parajasti siis kui jakobiaan J L = Z K X L 0; X K X0 K < δ. (6.8) Avaldisi (6.2), (6.3), (6.6) ja (6.7) nimetatakse koordinaatteisendusteks, kusjuures (6.2) ja (6.3) kehtivad suvalisel ajahetkel, kuid (6.6) ja (6.7) vaid t = t 0 puhul (viimaseid kasutatakse vaid selleks, et LK sisse tuua). Edaspidises eeldame, et kõverjoonelised koordinaatsüsteemid on sisse toodud Descartes i ristkoordinaatide kaudu (EK kujul (6.2) ja LK kujul (6.6)) selliselt, et jakobiaanid
5 6.2. Koordinaadid 6-9 (6.4) ja (6.8) pole samaselt nullid ruumis E 3 või vähemalt mingis meid huvitavas ruumi E 3 piirkonnas (v.a. mõned singulaarsed punktid, jooned või pinnad); üldjuhul on pikkuse mõõtmiseks piki telgi z k ja Z K valitud ühtne mastaap. Märkused: Selliselt sisse toodud kõverjoonelised koordinaadid on üldjuhul lokaalsed ja pole üldjuhul ortogonaalsed. J 0 J > 0 või J < 0 igas ruumipunktis. Näide Euleri koordinaatideks x k on silindrilised koordinaadid. Kas EK on üheselt määratud EDRK kaudu? Millised on koordinaatpinnad ja koordinaatkõverad? Defineerime x k läbi z k : z 1 = x 1 cos x 2 z 2 = x 1 sin x 2 (6.9) z 3 = x Koordinaadid 6-10 Joonis 6.5: Silindrilised koordinaadid Pöördteisendus x 1 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 x 2 = arctan(z 2 /z 1 ) (6.10) x 3 = z 3 Jakobiaan J E = z k x l =... Järelikult, ühene pöördteisendus eksisteerib...
6 6.3. Liikumise kirjeldamine Liikumise kirjeldamine Liikumisseaduseks nimetatakse üheparameetrilist koordinaatide teisendust x k = x k (X, t) (6.11) või X K = X K (x, t), (6.12) mis siirdab materiaalse punkti X ruumipunkti x. Parameetriks on siin aeg t. Alghetkel t = t 0 kujutavad teisendused (6.11) ja (6.12) (parameetrist sõltumatuid) koordinaatteisendusi. Tihti on kasulik kui t = t 0 puhul teljestikud x k ja X K ühtiksid, st., hetkel t = t 0 x k = X K kui k = K. Sel juhul on materiaalse punkti asukoht alghetkel t = t 0 automaatselt teada ning asukoha muutus algasendi suhtes on hetkel t > t 0 lihtsalt leitav. Analoogiliselt eelmise punktiga tekib ka siin küsimus liikumisseaduse ühesusest, st., teisendused (6.11) ja (6.12) peavad olema teineteise ühesed pöördteisendused. Eeldades, et nii funktsioon (6.11) kui (6.12) kuuluvad klassi C r, r 1, on see tingimus täidetud ruumipunkti p ümbruses δ parajasti siis kui jakobiaan j = x k X L 0 x k x k 0 < δ. (6.13) 6.4. Skalaar, vektor ja tensor 6-12 Jakobiaan (6.13) väljendab tegelikult pidevuse aksioomi, mille põhjal positiivne lõplik aine maht ei saa deformeeruda nullmahuks ega lõpmata suureks mahuks 2 ning ükski ainehulk ei tungi teise ainehulga sisse 3 (joon deformeerub jooneks, pind pinnaks ja maht mahuks). 6.4 Skalaar, vektor ja tensor Skalaar Vaatleme koordinaatsüsteeme ζ i ja η i. Funktsiooni ϕ(ζ 1, ζ 2, ζ 3 ) ϕ(ζ) nimetatakse (absoluutseks) skalaariks kui ta ei muuda koordinaatteisendusega ζ k = ζ k (η 1, η 2, η 3 ) ζ k (η), k = 1, 2, 3 oma algväärtust, st., ϕ(ζ 1 (η), ζ 2 (η), ζ 3 (η)) ψ(η) = ϕ(ζ). (6.14) Seega ei sõltu skalaari väärtus antud punktis koordinaatide valikust. Näide Temperatuur on absoluutne skalaar. 2 ik. indestructibility of matter 3 ik. impenetrability of matter
7 6.4. Skalaar, vektor ja tensor Kontravariantne vektor Suurusi ϕ k (ζ) nimetatakse vektori kontravariantseteks komponentideks ehk lihtsalt kontravariantseteks vektoriks kui koordinaatteisenduse ζ = ζ(η) puhul muutub ta vastavalt seadusele ϕ k (ζ(η)) ψ k (η) = ϕ m (ζ) ηk ζm, k = 1, 2, 3. (6.15) Suurusi ψ k (η) tuleb siin mõista kui suuruste ϕ k (ζ) komponente koordinaatsüsteemis η i, i = 1, 2, 3. Samuti on siin kasutatud summeerimiskokkulepet, mida kõverjooneliste koordinaatide korral jääme kasutama kujul 3 i=1 ai b i a i b i, st. üks summeerimisindeksitest peab olema all ja teine üleval. Näide Diferentsiaal on kontravariantne vektor, sest võttes ϕ k = dζ k, saame ψ k = dη k = ηk ϕ m ηk ζ mdζm ζ m Skalaar, vektor ja tensor Kovariantne vektor Suurusi ϕ k (ζ) nimetatakse vektori kovariantseteks komponentideks ehk lühidalt kovariantseks vektoriks kui nad koordinaatide teisenduse ζ = ζ(η) puhul teisenevad vastavlt seadusele ϕ k (ζ(η)) ψ k (η) = ϕ m (ζ) ζm, k = 1, 2, 3. (6.16) ηk Näide Osatuletis absoluutsest skalaarist on kovariantne vektor, sest tähistades ϕ m = Φ ζ m kus Φ on absoluutne skalaar, saame ϕ k (ζ(η)) ψ k (η) Φ η k = Φ ζ m ζ m η = ϕ m(ζ) ζm, k = 1, 2, 3. k ηk
8 6.4. Skalaar, vektor ja tensor Kontravariantne, kovariantne ja segatensor Suurusi Φ kl (ζ), Φ kl (ζ) ja Φ k l(ζ) nimetatakse vastavalt kontravariantseteks-, kovariantseks- ja segatensoriks kui nad koordinaatteisenduse ζ = ζ(η) puhul teisenevad seaduste Φ kl (ζ(η)) Ψ kl (η) = Φ mn (ζ) ηk η l ζ m ζn, k, l = 1, 2, 3, (6.17) Φ kl (ζ(η)) Ψ kl (η) = Φ mn (ζ) ζm ζ n, k, l = 1, 2, 3, (6.18) η k ηl ja Φ k l(ζ(η)) Ψ k l(η) = Φ m n(ζ) ηk ζ n, k, l = 1, 2, 3 (6.19) ζ m ηl järgi Baasivektor, meetriline tensor Baasivektor, meetriline tensor Kovariantsed baasivektorid Vaatleme kahte DRK üks neist on EDRK z k ja teine LDRK Z K. Vastavad ühikbaasid tähistame i k ja I K. Kui eeldame, et pikkuse mastaap piki telgi z k ja Z K on sama, siis omavad vektorid i k ja I K võrdset ühikpikkust. Kõverjoonelised LK tuuakse teatavasti sisse kujul (6.6), st., Z K = Z K (X), K = 1, 2, 3, ja kõverjoonelised EK kujul (6.2), st., z k = z k (x), k = 1, 2, 3. Kohavektorid P ja p avalduvad läbi LDRK ja EDRK kujul P = Z K (X)I K ja p = z k (x)i k. (6.20)
9 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-17 Viimastest leiame kohavektorite P ja p diferentsiaalid dp = P X K dxk = G K dx K ja dp = p = g x kdxk k dx k, (6.21) kus vektoreid G K = P X = ZM K X KI M (6.22) ja g k = p x = zm k x i k m (6.23) nimetatakse vastavalt kõverjooneliste koordinaatide X K ja x k kovariantseteks baasivektoriteks. Nad on suunatud piki koordinaatkõverate puutujaid (vaadelda- vas punktis) ja liikumisel ühest punktist teise muutuvad nad üldjuhul nii suuruselt kui suunalt. Seega moodustavad nad vektorvälja. Loomulikult saab suurusi dp ja dp avaldada DRK kaudu kujul dp = P Z K dzk = I K dz K ja dp = p = i z kdzk k dz k (6.24) ning DRK baasivektoreid I K ja i k omakorda baasivektorite G K ja g k kaudu kujul I K = P Z K = XL Z KG L ja i k = p z k = xl z kg l. (6.25) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-18 Joonis 6.6: Kovariantsed baasivektorid
10 6.5. Baasivektor, meetriline tensor Kovariantne meetriline tensor Elementaarpikkuse ruut ds 2 = dp dp avaldub lähtudes valemitest (6.24) ja(6.21) kujul ds 2 = dp dp = dz K I K dz L I L = dx K G K dx L G L. Järgnevalt defineerime kovariantse meetrilise tensori def (6.22) G KL = G LK = G K G L = ZM X KI M ZN Z M Z N X LI N = δ MN X K XL, (6.26) kus Kroneckeri delta { def 1, K = L, δ KL = I K I L = 0, K L. (6.27) Arvestades viimaseid avaldisi saame elementaarpikkuse ruudu avaldada kujul ds 2 = dp dp = G KL dx K dx L = δ KL dz K dz L. (6.28) Analoogiliselt elementaarpikkuse ruut ds 2 = dp dp = g kl dx k dx l = δ kl dz k dz l, { def 1, k = l δ kl = i k i l = 0, k l (6.29) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-20 ja kovariantne meetriline tensor g kl = g lk def = g k g l (6.23) = zm x k i m zn x l i n = δ mn z m x k z n x l. (6.30) Märkus. Suurused ds 2 ja ds 2 on skalaarid ja nende väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust, st., ds 2 (x) = ds 2 (z) ja ds 2 (X) = ds 2 (Z) Kontravariantsed baasivektorid ja meetrilised tensorid Kovariantsete baaside G K ja g k duaalsed 4 baasid on defineeritud läbi ortonormaalsustingimuse G K G L = δ K L ja g k g l = δ k l (6.31) Vektoreid G K ja g k nimetatakse kontravariantseteks baasivektoriteks ja nad avalduvad võrrandisüsteemide (6.31) lahendina kujul 4 Lad. k. dualis kahene G K = G KL G L ja g k = g kl g l. (6.32)
11 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-21 Viimastes avaldistes esinevad kontravariantsed meetrilised tensorid avalduvad läbi kovariantsete meetriliste tensorite kujul ja kus G KL = cofactor G KL G g kl = cofactor g kl g ( 1)K+L G LK G (6.33) ( 1)k+l g lk, (6.34) g G = G KL ja g = g kl (6.35) on determinandid ning G KL ja g kl on determinantide G KL ja g kl elemendile indeksipaariga KL või kl vastav miinor. Meetrilised tensorid rahuldavad tingimusi G KL G LM = δ K M ja g kl g lm = δ k m. (6.36) Kuna meetrilised tensorid G KL ja G KL on muutujate X I ning meetrilised tensorid g kl ja g kl muutujate x i funktsioonid, siis kujutavad G KL ja G KL endast tensorvälju Lagrange i koordinaatides X I ning g kl ja g kl tensorvälju Euleri koordinaatides x i. Vt. ka faili kojokoord.pdf 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-22 Näide Vektorite avaldamine kovariantsete ja kontravariantsete baasivektorite kaudu. Joonis 6.7:
12 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-23 Näide Vektorite avaldamine kovariantsete ja kontravariantsete baasivektorite kaudu. Joonis 6.8: 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-24 Joonis 6.9: Silindrilised koordinaadid Näide Pöördume tagasi Näite (lk. 9) juurde. Euleri koordinaatideks x k on silindrilised koordinaadid, mis on defineeritud läbi DRK järgmiselt: z 1 = x 1 cos x 2 z 2 = x 1 sin x 2 z 3 = x 3
13 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-25 ja x 1 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 x 2 = arctan z2 z 1 x 3 = z 3 Vaatleme suvalist punkti p koordinaatidega (x) ehk kohavektoriga p. Leida sellele punktile vastavad kovariantsed ja kontravariantsed baasivektorid ning meetrilised tensorid! Suvaline vektor v on avaldatav nii kovariantse kui ka kontravariantse baasi kaudu: v = v k g k = v k g k, (6.37) kus v k ja v k on vastavalt vektori v kovariantsed ja kontravariantsed komponendid, mis ühtivad vaid ortonormeeritud baasi puhul. Korrutame nüüd avaldist (6.37) kontravariantse baasivektoriga g l v k g k g l = v k g k g l. Kuna v k δ k l = v l, siis v k g kl = v l, ehk nimetades indeksid ümber, v k = g kl v l. (6.38) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-26 Kui korrutada aga avaldist (6.37) kovariantse baasivektoriga g l, siis saame analoogiliselt, et v k = g kl v l. (6.39) Sellist protseduuri nimetatakse vektori indeksite tõstmiseks ja langetamiseks. Seega, meetriliste tensorite abil saab indekseid tõsta ja langetada ehk teisisõnu minna kovariantsetelt komponentidelt üle kontravariantsetele ja vastupidi. Lagrange i koordinaatide puhul analoogiliselt V K = G KL V L ja V K = G KL V L (6.40) Märkused: 1. Üldjuhul pole baasivektorid G K, G K, g k ja g k ühikvektorid. Nende pikkused avalduvad läbi meetrilise tensori diagonaali elementide G K = G K K, G K = G K K, K = K g k = g k k, g k = (6.41) g k k, k = k. Allkriips tähendab siin seda, et korduva indeksi järgi ei summeerita. Eelnenud näite puhul g 1 = g 3 = 1 ja g 2 = x 1.
14 6.5. Baasivektor, meetriline tensor Kui kõverjoonelised koordinaadid on ortogonaalsed, siis g kl = g kl = 0 kui k l. Näite puhul see nii oligi. Lisaks olid vektorid g k ja g k kollineaarsed Vahetaja 5 Seni oleme hoidnud EK ja LK lahus, kuid vahel on vaja ühes koordinaatsüsteemis esitatud vektoreid projekteerida teise koordinaatsüsteemi baasivektoritele. Vaatleme joonist 6.6 (lk. 18) Punktide P ja p kohavektorid P = P L G L ja p = p l g l. Korrutame neist esimest kontravariantse baasivektoriga G K Seega, P G K = P L G L G K = P L δ L K = P K. P K = P G K ja p k = p g k. (6.42) Viimased kujutavad endast vektorite P ja p projektsioone vastavalt baasivektorite G K ja g k sihtidele (vt. Näited ja 6.5.2). 5 Varasemas konspektis nihutaja, i.k. shifter Baasivektor, meetriline tensor 6-28 Oletame nüüd, et tahame viia vektori p paralleellükkega punkti P ja projekteerida teljestikku X K, st., baasivektorite G K sihile. Tähistame vastava projektsiooni p K. Nüüd p = p K G K (X) = p k g k (x) (6.43) Korrutame avaldist (6.43) kontravariantse baasivektoriga G L Defineerime nn. vahetaja p K G K G L = p k g k G L. g k K def = g K k Seega, tähistades ümber indeksid L K saame def = g k G K = G K g k. (6.44) p K = g k K p k = g K kp k, (6.45) mis esitabki kohavektori p projektsiooni kovariantse baasivektori G K sihil. Korrutades avaldist (6.43) kontravariantse baasivektoriga g l ja defineerides vahetajad g k K saame vektori p tagasi EK-sse: def k def = g K = g k G K = G K g k, (6.46) p k = g k Kp K = g K k p K. (6.47)
15 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-29 Analoogiliselt eelnevaga saab defineerida vahetajad ja g kk def = g Kk def = g k G K = G K g k (6.48) g kk def = g Kk def = g k G K = G K g k. (6.49) Vahetajad g k K, g K k jne. on nii muutujate X kui ka x funktsioonid, sest baasivektorid G K ja G K sõltuvad Lagrange i koordinaatidest X ning baasivektorid g k ja g k Euleri koordinaatidest x. Enamgi veel, nad osutuvad nn. kahepunktilisteks tensorväljadeks, sest teisenevad kui tensorid mõlemas koordinaatsüsteemis. Järgnevalt näitame, et g K kg l K = δ k l. (6.50) Teatavasti Kuna v k = v K g K k = v l g l Kg K k. v k = v l δ k l, siis peab kehtima võrdus (6.50) ehk vahetajad g K k ja g l K on teineteise pöördtensorid. analoogiliselt g K kg k L = δ K L. (6.51) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-30 Teisendame nüüd vahetajat g kk kus g kk = g k G K (6.23), (6.22) = Suurus δ ll on Kroneckeri delta vaid juhul kui z k Z K. z l x ki l ZL X KI L = δ ll z l x k Z L X K, (6.52) δ ll = δ Ll = i l I L. (6.53) Tensorite indeksite tõstmine ja langetamine Peale vektorite indeksite saab meetriliste tensorite abil tõsta ja langetada ka tensorite indekseid, näiteks C K L = G KM C ML C L K = G KM C LM C K L = G LM C KM C KL = G LM C K M g K k = G KL g kl g L l
16 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-31 g Kk = G KL g kl g Ll g K k = G KL g kl g L l g Kk = G KL g kl g Ll Näide Vaatleme juhtu, kus LK ühtib LDRK ning EK ühtib EDRK, st., (X)=(Z) ja (x)=(z). Baasivektorid punktides P ja p on avaldiste (6.22) ja (6.23) põhjal G K = P X = ZM K X KI M = I K (6.54) analoogiliselt g k = i k (6.55) Antud juhul ühtivad kovariantsed ja kontravariantsed koordinaadid ja baasid, st., millest viimane on Kroneckeri delta kui i k I K. G KL = G KL = δ KL, (6.56) g kl = g kl = δ kl, (6.57) g Kk = g Kk = δ Kk, (6.58) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor Gradient Skalaarse funktsiooni gradient on defineeritud järgmiselt gradt def = T n n, (6.59) kus n on normaalisihiline ühikvektor, mis on suunatud funktsiooni T kasvamise suunas. Teisest küljest gradt def = T = g k T xk, (6.60) kus nabla def = g k x = k gkl g l xk. (6.61) Valemeis (6.60) ja (6.61) peame kasutama kontravariantset baasi, sest osatuletis absoluutsest skalaarist on kovariantne vektor, st., T/ x k = Φ k.
17 6.5. Baasivektor, meetriline tensor Deformatsioonigradient Deformatsioonigradiendid on defineeritud järgmiselt 6 : x k,k = xk (X, t) X K ja X K,k = XK (x, t) x k, (6.62) Vastavalt liikumisseadustele avalduvad koordinaatide diferentsiaalid kujul Deformatsioonigradientide vahelised seosed dx k = x k,kdx K ja dx K = X K,kdx k. (6.63) x k,kx K,l = δ k l ja X K,kx k,l = δ K L (6.64) Valemite (6.21) põhjal avalduvad kohavektorite diferentsiaalid (lõpmata väikesed muudud) läbi baasivektorite G K ja g k. Teisendame neid avaldisi: dp = G K dx K (6.63) = G K X K,kdx k = c k dx k, dp = g k dx k (6.63) = g k x k,kdx K = C K dx K, 6 Indeks peale koma tähistab siin ja edaspidi osatuletist vastava (kontravariantse) koordinaadi järgi. (6.65) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-34 kus suurused c k (x, t) def = P x = P k X K XK,k = G K X K,k ja (6.66) C K (X, t) def = p X = p K x kxk,k = g k x k,k on vaadeldavad kui uued, keskkonna deformeeritud olekule vastavad, baasivektorid. Teisisõnu, keskkonna liikumisel transformeeruvad baasivektorid g k ja G K uuteks baasivektoriteks C K ja c k. Järgnevalt avaldame vana baasi G K uue baasi c k kaudu: (6.66) 1 x k,l G K = c k x k,k. (6.67) (6.66) 2 X K,l g k = C K X K,k. (6.68) Kontravariantsed baasid saadakse ortonormaalsustingimustest kust c k c l = δ k l ja C K C L = δ K L, (6.69) c k (x, t) = G K (X)x k,k ja C K (X, t) = g k (x)x K,k. (6.70)
18 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-35 Meil oli eeldatud, et t = t 0 puhul EK ja LK ühtivad, st., x 1 = X 1,..., x 3 = X 3. Järelikult alghetkel Vaatleme avaldisi (6.65) g k (x) = G K (X) = c k (x, t) = C K (X, t) dp = G K dx K }{{} i i määrab dp kui t = t 0 ii dp muutumise seadus EK-s = c k dx k }{{} ii ja dp = g k dx k }{{} iii = } C K {{ dx K }. (6.71) iv iii määrab dp igal ajahetkel, sest vastavalt definitsioonile (6.21) ja (6.23) ei muutu dp ajas iv määrab muutumatu suuruse dp muutuvates koordinaatides X K suvalisel hetkel t t Deformatsioonitensorid Deformatsioonitensorid Cauchy ja Greeni deformatsioonitensorid def (6.66) c kl = c k c l = G KL X K,kX L,l ja C KL def = C K C L (6.66) = g kl x k,kx l,l. (6.72) Suurust c kl nimetatakse Cauchy deformatsioonitensoriks ja suurust C KL Greeni deformatsioonitensoriks. Nad on sümmeetrilised ja positiivselt määratud. Ten- soreid c kl ja C KL võib interpreteerida ka kui meetrilisi tensoreid, sest meetriline tensor G KL (X) transformeerub läbi keskkonna liikumise tensoriks c kl (x) ja g kl (x) C KL (X). Kovariantsete tensorite c kl ja C KL indekseid saab kontravariantsete meetriliste tensoritega tõsta (c k ja C K omi ei saanud!). Saadud kontravariantsete tensorite maatriksid [c kl ] ja [C KL ] ei osutu aga kovariantsete tensorite maatriksite [c kl ] ja [C KL ] pöördmaatriksiteks (nagu oli g kl ja G KL puhul). Antud juhul tuleb sisse tuua tensorid 1 c kl def = c k c l (6.70) = G KL x k,kx l,l ja 1 C KL def = C K C L (6.70) = g kl X K,kX L,l, (6.73)
19 6.6. Deformatsioonitensorid 6-37 mille puhul c km 1 c ml = δ k l ja C KM 1 C ML = δ K L. Tensorit 1 c kl nimetatakse Fingeri deformatsioonitensoriks ja 1 C KL Piola deformatsioonitensoriks Lagrange i ja Euleri deformatsioonitensorid Pöördume tagasi suuruste dp ja dp juurde { ds 2 = dp dp = G KL dx K dx L = c kl dx k dx l, ds 2 = dp dp = g kl dx k dx l = C KL dx K dx L Viimastest leiame elementaarpikkuse ruudu muudu kus ds 2 ds 2 = 2E KL dx K dx L = 2e kl dx k dx l, (6.74) 2E KL = 2E LK = C KL G KL ja 2e kl = 2e lk = g kl c kl. (6.75) Tensorit E KL = E KL (X, t) nimetatakse Lagrange i deformatsioonitensoriks ja tensorit e kl = e kl (x, t) Euleri deformatsioonitensoriks Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-38 Kehtivad seosed: E KL = e kl x k,kx l,l ja e kl = E KL X K,kX L,l (6.76) Valemi (6.76) 1 kasutamise puhul tuleb avaldada e kl (X, t) ja (6.76) 2 puhul vastupidi E KL (x, t). Meetriliste tensorite abil saame leida vastavaid sega- ja kontravariantseid tensoreid: E K L = G KM E ML, E KL = G KM G LN E MN = G LM E K M, e k l = g km e ml, e kl = g km g ln e mn = g lm e k m. 6.7 Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu Vektori kovariantne osatuletis Kõigepealt püüame siirdevektori u kaudu avaldada vektorid C K ja c k. Kohavektor p = P + u (kui LK ja EK nullpunktid ei ühti siis p = b + P + u). Seega siirdevektor u = p P. (6.77)
20 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-39 Siirdevektori u saab avaldada nii LK kui EK kaudu u = U K G K = U K G K = u k g k = u k g k, (6.78) kus U K (X, t) ja u k (x, t) on vektori u kontravariantsed komponendid ning U K (X, t) ja u k (x, t) kovariantsed komponendid vastavalt LK-s ja EK-s. Ka nende indekseid saab meetriliste tensorite abil tõsta ja langetada U K = G KM U M, U L = G LK U K, u k = g km u m, u l = g lk u k. (6.78) U K G K = u k g k G L = Tähistame indeksid ümber (L K) ja saame Definitsioonide (6.66) põhjal U K = g k Ku k ja u k = g K ku K. (6.79) C K (X, t) = p X K, c k(x, t) = P x k Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-40 Avaldame valemist (6.77) kohavektorid p ja P ning asendame viimastesse avaldistesse. Saame C K = P X K + u X K = G K + u X K, c k = p x k u x k = g k u x k (6.80) Valemite (6.78) põhjal u = U L G L = u l g l ning (6.80) saab kuju C K = G K + X K (UL G L ), c k = g k g x k(ul l ). (6.81) Analoogilised avaldised siirdevektori kovariantsete komponentide jaoks: C K = G K + X (U LG L ), c K k = g k x k(u lg l ). (6.82) Järgnevalt püüame leida avaldistes (6.81) ja (6.82) olevaid osatuletisi X K (UL G L ) = UL X KG L + U L G L X K, g x k(ul l ) = ul x kg l + u l g l xk, (6.83) X (U LG L ) = U L G L + U K X KGL L X, K x k(u lg l ) = u l g l + u x kgl l xk. (6.84) Esimeste liidetavate leidmine pole probleemiks see on lihtne. Teiste liidetavatega on lugu keerukam, sest osatuletisi tuleb leida baasivektoritest G L,...,g l.
21 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-41 Vastavalt definitsioonidele (6.22) ja (6.23) G L = ZN X LI N I N = XL Z G L, N Seega osatuletised võrrandeis (6.83) G L X = 2 Z N K X K X LI N = g l x = 2 z n k x k x li n = 2 z n x m x k x l z g m. n Võtame kasutusele Christoffeli teist liiki sümbolid { } { } M m KL ja kl def = 2 Z N X M X K X L Z N Valemid (6.85) saavad nüüd kuju { } G L M X = K KL analoogiliselt saab näidata, et G L X K = { L KM g l = zn x Li n i n = xl z ng l. 2 Z N X M X K X L Z G M, N G M ja g l x k = (6.85) def = 2 z n x m x k x l z. (6.86) n { } m g kl m. (6.87) { } }G M ja gl l x = g m. (6.88) k km 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-42 Christoffeli esimest liiki sümbolid on defineeritavad kahel moel. i) Läbi Christoffeli teist liiki sümbolite { } { } [KL, M] def N M = G MN, = G MN [KL, N], KL KL { } { } [kl, m] def n m = g mn, = g mn [kl, n]. kl kl (6.89) ii) Arvestades meetriliste tensorite definitsioone (6.26) ja (6.30), saame G KL = G K G L = δ MN Z M X K Z N [KL, M] def = 1 2 [kl, m] def = 1 2 X L, ( GKM ( gkm x l X L g kl = g k g l = δ mn z m x k z n x l, + G LM X G KL K X ) M. + g lm x k g kl x m Väga tihti defineeritaksegi Christoffeli esimest liiki sümbolid kujul (6.90). ), (6.90) Valemeist (6.86) ja (6.90) järeldub, et Christoffeli sümbolid on sümmeetrilised
22 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-43 indeksite K ja L (k ja l) suhtes: { } { } M M =, [KL, M] = [LK, M], KL LK NB! Christoffeli sümbolid pole tensorid! { } m = kl { } m, [kl, m] = [lk, m]. lk (6.91) Tuleme tagasi valemite (6.83) ja (6.84) juurde ning esitame nad kujul Siin X K (UL G L ) = U M ;KG M, X K (U LG L ) = U M;K G M, U M ;K def = UM X + K U M;K def = U M X K { } M U L, u m ;k KL x k(ul g l ) = u m ;kg m, (6.92) x k(u lg l ) = u m;k g m, (6.93) def = um x + k on kontravariantsete vektorite kovariantsed osatuletised ning { } L U MK L, u m;k def = u m x k on kovariantsete vektorite kovariantsed osatuletised. { l mk { } m u l (6.94) kl } u l (6.95) 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-44 Suurused U M ;K ja u m ;k on segatensorid ning U M;K ja u m;k kovariantsed tensorid. Meetriliste tensoritega saab teostada üleminekuid (6.94) (6.95) ja vastupidi: { U L ;K = G LM U M;K U L;K = G LM U M ;K u l ;k = g lm u m;k u l;k = g lm u m ;k Kovariantse osatuletise geomeetriline interpretatsioon. Kovariantse osatuletise avaldised (6.94) ja (6.95) koosnevad kahest osast. Neist esimene iseloomustab vektori u muutumist kui muutub koordinaat X K (või x k ) ning teine u muutumist kui seoses X K (või x k ) muutumisega muutub baas G M (või g m ). Sirgjooneliste koordinaatide puhul on Christoffeli sümbolid samaselt nullid ja seega kovariantne osatuletis on võrdne hariliku osatuletisega. Pöördume nüüd tagasi uute baasivektorite C K ja c k avaldiste (6.81) ja (6.82) juurde. Arvestades avaldisi (6.92) ja (6.93) saame { CK = G K + U M ;KG M, c k = g k u m (6.96) ;kg m, { CK = G K + U M;K G M, c k = g k u m;k g m. (6.97)
23 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-45 Avaldame nüüd Greeni ja Cauchy deformatsioonitensorid läbi siirete võttes arvesse valemeid (6.96) C KL = C K C L (6.96) =... = = Kokku saame { CKL = G KL + U K;L + U L;K + U N;K U N ;L, c kl = g kl u k;l u l;k + u n;k u n ;l. (6.98) Arvestades Lagrange i ja Euleri deformatsioonitensorite definitsioone (6.75) saame omakorda { 2EKL = 2E LK = C KL G KL = U K;L + U L;K + U M;K U M ;L, 2e kl = 2e lk = g kl c kl = u k;l + u l;k u m;k u m (6.99) ;l. Need võrrandid on PKM ühed põhivõrrandid, mis seovad omavahel Lagrange i ja Euleri deformatsioonitensorid ning materiaalsete punktide siirded u Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-46 Sirgjooneliste koordinaatide puhul U M;K U M,K jne. DRK puhul lisaks eelnevale U M,L U M,K jne. ning võrrandid (6.99) saavad kuju { 2EKL = 2E LK = C KL G KL = U L,K + U K,L + U M,K U M,L, (6.100) 2e kl = 2e lk = g kl c kl = u l,k + u k,l u m,k u m,l. Avaldame kohavektorite P ja p lõpmata väikesed muudud dp ja dp läbi siirete. Valemite (6.65) põhjal dp = c k (x, t)dx k ja dp = C K (X, t)dx K. Asendades siia c k ja C K valemeist (6.96) ja (6.97) saame Märkused: dp = (g k u m ;kg m )dx k, dp = (G K + U M ;KG M )dx K, (6.101) dp = (g k u m;k g m )dx k, dp = (G K + U M;K G M )dx K. (6.102) 1. Ortogonaalse kõverjoonelise koordinaatsüsteemi puhul lihtsustuvad mõned avaldised tunduvalt:
24 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-47 meetriline tensor elementaarpikkuse ruut determinant g kl = g k g l g kl = 0 kui k l; (6.103) ds 2 = g kl dx k dx l = g 11 (dx 1 ) 2 + g 22 (dx 2 ) 2 + g 33 (dx 3 ) 2 ; (6.104) g = g 11 g 22 g 33 ; (6.105) kontravariantne meetriline tensor g k k = 1/g k k ; (6.106) kontravariantne baas g k = g k k g k, k = k ; (6.107) Christoffeli teist liiki sümbolid 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-48 { } l = 1 g k k, l k ; (6.108) k k 2g ll x { } l k = k l x ln g l k k, l k ; (6.109) { } k = k k x ln g k k k ; (6.110) { } k = 0, l k m. (6.111) lm 2. Alghetkel t = t 0 toome sisse Lagrange i koordinaadid (mis võivad kuid ei pruugi ühtida Euleri koordinaatidega). Sel hetkel loeme keskkonna deformatsioonid ja siirded nulliks ning ütleme, et keskkond on loomulikus olekus. 3. Siirete ja deformatsioonide määramiseks hetkel t = t 1 on vaja teada liikumisseadust, st., ajast kui parameetrist sõltuvat koordinaatteisendust. Kui meid ei huvita kuidas deformatsioon toimus, siis piisab tegelikult sellest kui me teame liikumisseadust esitavat koordinaatteisendust vaid kahel ajahetkel: t = t 0 ja t = t Suurusi u l;k, u m ;l jne. nimetatakse siirdegradientideks.
25 6.8. Vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid Vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid Vektorite ja tensoritega opereerides ei pöörata tavaliselt tähelepanu dimensioonile erinevad komponendid on sageli erineva dimensiooniga (näiteks silindrilised koordinaadid). Et sellest füüsikaliselt vastuvõtmatust olukorrast puhtalt välja tul- la, tuuakse sisse vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid. Teatavasti pole baasivektorid kõverjoonelise koordinaatsüsteemi puhul üldjuhul ühikvektorid ja valemite (6.41) põhjal on nende pikkused määratud meetrilise tensori diagonaalielementidega g k = g k k ja g k = g k k kui k = k. (6.112) Defineerime ühikvektorid Nüüd e k = g k gk k ja e k = gk g k k, k = k. (6.113) u = u k g k = u (k) e k = u k g k = u (k) e k, (6.114) kus u (k) ja u (k) on vektori u kontra- ja kovariantsed füüsikalised komponendid. Valemite (6.113) ja (6.114) põhjal vektori füüsikalised komponendid u (k) = u k gk k ja u (k) = u k g k k. (6.115) 6.8. Vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid 6-50 Ortogonaalse baasi puhul g k k = 1/g k k, järelikult on kovariantne füüsikaline komponent leitav kovariantse meetrilise tensori abil: u (k) = u k gk k. (6.116) analoogiliselt saab defineerida tensorite füüsikalised komponendid. Näiteks ortogonaalse baasi puhul t (k) (l) = t k gk k l... (6.117) g l l Märkused 1. Tavaliselt lahendatakse ülesanded ko- ja kontravariantsetes tensorites ning lõpus minnakse üle füüsikalistele komponentidele. 2. DRK puhul g k g k e k e k. Näide Leida ühikbaas ja siirdevektori füüsikalised komponendid silindriliste koordinaatide jaoks
26 6.9. Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded Lõpmata väikeste deformatsioonide tensorid Hüljates kõrgemat järku lõpmata väiksed liikmed, saame lõpmata väikeste deformatsioonide tensorid 7 { 2E KL = 2E LK = C KL G KL = U L;K + U K;L, 2 e kl = 2 (6.118) e lk = c kl g kl = u l;k + u k;l. Selliseid deformatsioonitensoreid kasutatakse klassikalises lineaarses teoorias Pöördetensorid ja pöördevektorid R KL = 1 2 (U K;L U L;K ) ja r kl = 1 2 (u k;l u l;k ). (6.119) Viimased on klassikalise lineaarse teooria pöördetensorid. On selge, et tegu on kaldsümmeetriliste tensoritega, st., R KL = R LK ja r kl = r lk. Pöördetensorite indekseid saab meetriliste tensoritega tõsta ja langetada. 7 Neid nimetatakse ka lihtsalt väikeste deformatsioonide tensoriteks unustades sõna lõpmata lisamata Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded 6-52 Järgnevalt toome sisse Lagrange i ja Euleri lineaarsed pöördevektorid R K ja r k : R K = 1 2 ǫklm R ML, ja r k = 1 2 ǫklm r ml, (6.120) kus ǫ KLM ja ǫ klm on permutatsioonisümbolid. Permutatsioonisümbolid 8 ǫ klm = eklm, g ǫ klm = e klm g, g = gkl, (6.121) kus 9 1 kui klm on 123 paaris permutatsioon, e klm, e klm = 1 kui klm on 123 paaritu permutatsioon, 0 muudel juhtudel. (6.122) 8 Tuntud ka kui Levi-Civita tensor või Levi-Civita permutatsioonitensor. I.k. on kasutusel ka nimetused Levi-Civita symbol, permutation symbol, antisymmetric symbol, alternating symbol. Tullio Levi-Civita ( ) oli Itaalia matemaatik. 9 Vt. ka 2. ptk. lk. 13
27 6.9. Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded 6-53 Näide Avaldame pöördevektorid r 1, r 2 ja r 3 siirdegradientide kaudu. Valemite (6.120) ja (6.121) põhjal r k = 1 2 g eklm r ml, Seega r 1 = 1 2 [ ] = g 1 2 g (u 3;2 u 2;3 ) r 2 = 1 2 [ ] = g 1 2 g (u 1;3 u 3;1 ) r 3 = 1 2 [ ] = g 1 2 g (u 2;1 u 1;2 ) (6.123) Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus Pikenemine, pikenemiskoefitsendid ja suhteline pikenemine Pikenemiskoefitsient suunas N: Λ (N) = ds ds ds = 2 ds = CKL dx K dx L = C 2 ds 2 KL N K N L, λ (n) = ds (6.124) ds ds = 2 ds = ds 2 2 c kl dx k dx = 1 l ckl n k n l. Füüsikaliselt on suurused Λ (N) ja λ (n) samad esimene on vaid esitatud LK-s, teine EK-s. Suhteline pikenemine 10 (suunas N) esitatakse kujul 10 I.k. extension E (N) = e (n) = ds ds ds = Λ (N) 1 λ (n) 1. (6.125)
28 6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-55 Lagrange i koordinaadid. Pikenemiskoefitsendid ja suhteline pikenemine koordinaatkõvera X K puutuja sihis (N on koordinaatkõvera X K puutuja sihis): C K K Λ (K) = = 1 + 2E K K, E (K) = 1 + 2E K K 1. (6.126) G K K G K K G K K Et anda füüsikalist tõlgendust deformatsioonitensorite komponentidele, esitatakse viimased valemid sageli kujul C K K G K K = Λ 2 (K), 2E K K G K K = Λ 2 (K) 1 = ( 1 + E (K) ) 2 1. (6.127) Euleri koordinaadid. Lähtudes avaldistest (6.124) 2 saame tuletada analoogilised valemid EK jaoks ( gk k λ (k) = = 1 2e ) 1 ( 2 k k, e(k) = 1 2e ) 1 2 k k 1, c k k g k k g k k c k k g k k = λ 2 (k), 2e k k g k k = 1 λ 2 (k) = 1 ( 1 + e (k). ) 2 (6.128) Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus Nurga muutus ja nihkedeformatsioon Vaatleme kahte lõpmata väikest vektorit dx 1 ja dx 2, mille vaheline nurk on Θ Θ (N1,N 2 ) ja mis deformeeruvad vektoriteks dx 1 ja dx 2, mille vaheline nurk on ϑ ϑ (n1,n 2 ). Nurkade koosinused Joonis 6.10: Nurga muutus ja cos Θ = dx 1 dx 2 dx 1 dx 2 (6.21) = G KLdX K 1 dx L 2 dx 1 dx 2 = G KL N K 1 N L 2 (6.129)
29 6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-57 cos ϑ = dx 1 dx 2 dx 1 dx 2 (6.65) = C KL dx1 K dx2 L CMN dx1 MdXN 1 CRS dx2 RdXS 2... (6.124) = C KLN K 1 N L 2 Λ (N1 )Λ (N2 ) =... tähistame = H. (6.130) Nihe ehk nihkedeformatsioon ehk nihkenurk vektoritega N 1 ja N 2 määratud pinnal on defineeritud kui algse nurga Θ muut Γ (N1,N 2 ) = γ (n1,n 2 ) = Θ (N1,N 2 ) ϑ (n1,n 2 ). (6.131) Võtame viimase avaldise vasakust ja paremast poolest siinuse sin Γ = sin(θ ϑ) = (6.130) = H sin Θ 1 H 2 cos Θ. (6.132) Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-58 Kui N 1 N 2, siis saame viimasest, et sin Γ = H (6.130) = C KLN1 K N2 L. (6.133) Λ (N1 )Λ (N2 ) Seega, kaks algselt ristuvat vektorit jäävad ka peale deformatsiooni risti parajasti siis kui C KL dx1 K dx2 L = 0. (6.134) Kui valida suunad N 1 ja N 2 piki koordinaatkõverate X K puutujaid, siis saab nurgamuutuste hindamiseks kasutada baasivektoreid G K ja C K (kuigi nad pole ühikvektorid) G cos Θ (KL) = KL, GK K G L L (6.135) C KL G cos ϑ (KL) = KL + 2E = KL CK K C L L (GK K + 2E K K ) (G L L + 2E L L ).
30 6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-59 EK-s saavad viimased valemid kuju g kl cos ϑ (kl) =, gk k g l l cos Θ (kl) = c kl ck k c l l = g kl 2e (6.136) kl (gk k 2e k k ) (g l l 2e l l ). Kuna LK ja EK on valitavad sõltumatult, siis üldjuhul ei õnnestu siduda nihkeid Γ (KL) ja γ (kl). Nurkadele Θ (KL) = π/2 ja ϑ (kl) = π/2 vastavad nihked on määratud järgmiselt: 1 C sin Γ (KL) = KL, Λ (K) Λ (L) GK K G L L c (6.137) kl sin γ (kl) = λ (k) λ (l). gk k g l l Kui X K on DRK, siis Deformatsioonitensori invariandid, peaväärtused ja peasuunad Deformatsioonitensori invariandid, peaväärtused ja peasuunad Tuleb lahendada võrrandisüsteem ( ) C K L Cδ K L N L = 0. (6.138) Viimasel eksisteerib mittetriviaalne lahend juhul kui tema karakteristlik determinant on null, st., C K L Cδ K L = 0. (6.139) Selle determinandi arendamise tulemusena saadakse karakteristlik võrrand (mis kujutab endast kuupvõrrandit) C 3 + I C C 2 II C C + III C = 0 (6.140) tundmatu C määramiseks. Kogu protseduur on tegelikult analoogiline DKR korral käsitletule. Invariantide III C ja III c geomeetriline tõlgendus. Maatriksite teooriast on teada, et determinant maatriksite korrutisest on võrdne korrutatavate maatriksite
31 6.11. Deformatsioonitensori invariandid, peaväärtused ja peasuunad 6-61 determinantide korrutisega, st., A B = A B. Meil C K L = G KM C ML (6.72) = G KM g kl x k,mx l,l. (6.141) Invariandi III C definitsiooni põhjal III C = C K L (6.141) = G RS gmn x k,k 2 = g G j2 = J 2, (6.142) kus J on teisenduse z k = z ( k Z K, t ) jakobiaan fikseeritud ajahetkel t ja mis on leitav järgmiselt: J = z k Z K = z k x m X M x m X M Z K = z k x n X M g x m X N Z K = j. (6.143) G Vaatleme peatelgede sihilisi joonelemente ds α ja ds α. Elementaarruumalad dv = ds 1 ds 2 ds 3 ja dυ = ds 1 ds 2 ds 3. Kuna siis ds α ds α = Λ α = λ α, dυ dv = ds 1ds 2 ds 3 ds 1 ds 2 ds 3 = λ 1 λ 2 λ 3 = III C (6.142) = J Pöörde põhiteoreem 6-62 Seega dυ = III C dv ja dv = III c dυ. (6.144) Kokkuvõttes invariandid III C ja III c iseloomustavad ruumala muutust Pöörde põhiteoreem Fikseeritud kiu lokaalse pöörde määramiseks toome sisse pöördetensori. Olgu vektorid N α peatelgede sihilised ortogonaalsed ühikvektorid X-s. Peale deformatsiooni on see kolmik pööratud ortogonaalseks kolmikuks n α koordinaatides x. Kui vahetada (siirata) kolmik N α ruumipunkti p(x) siis saab defineerida ühese ortogonaalse tensori R, mida nimetatakse pöördetensoriks ja mis pöörab vahetatud kolmiku N α kolmikuks n α. n k α = R k mg m KN K α = g k LR L KN K α = R k KN K α N K α = g K 1 mr m kn k α = 1 R K Lg L kn k α = 1 (6.145) R K kn k α
32 6.12. Pöörde põhiteoreem 6-63 Joonis 6.11: Peatelgede siire koos pöördega Siin 1 R on tensori R pöördtensor (duaalne tensor): R pöörab N α n α ja vastupidi 1 R pöörab n α N α tagasi. Tensor esitab siiret X x koos järgneva pöördega. Defineerime nüüd vektorite kolmikud N α ja n α R k K = R k mg m K = R L Kg k L (6.146) N α KN L α def = δ L K, n α kn l α def = δ l k, (6.147) Pöörde põhiteoreem 6-64 st., (vektorite) kolmikud N α ja n α ning N α ja n α teineteise pöördkolmikud 11. Maatrikskirjaviisis tähendaks eelnev seda, et [N α K][N L α] = I, kus I on ühikmaatriks. Korrutame avaldisi (6.145) vastavalt vektoritega N α L ja n α l. Ar- vestades definitsioone (6.147) saame pöördetensorite määramiseks valemid R k K = n k αn α K ja 1 R K k = N K αn α k. (6.148) Pöördeta deformatsiooni (deformatsiooni, kus peateljed ei pöördu) puhul, seega Toupin (1956) tõestas, et R = I ehk R k l = δ k l; R k K = g k K;... (6.149) 1. Greeni ja Cauchy deformatsioonitensorite n-ndad astmed on seotud järgmiselt n C K L = 1 R K n kc k lr l n L, c k l = R k n 1 K R L l (6.150) ning lisaks veel, et n C K L = α C K L (C α ) n N K αn α L. (6.151) 11 I.k. reciprocal triads
33 6.12. Pöörde põhiteoreem Deformatsioonigradiendid avalduvad kujul 1 2 x k,k = R k LC L K = R l K Viimastest omakorda 1 2 c k l, 1 2 X K,k = 1 R K l 1 2 c l k = 1 R L k 1 2 C K L. (6.152) R k K = x k,lc L K ja 1 R K k = X K 1 2,l c l k. (6.153) Saab näidata, et teiselt poolt x k,k = g kl g L l (G KL + U L;K ), kust U L;K = g kl g l Lx k,k G KL. Arvestades nüüd (6.152) 1, saame, et U L;M = R KL C L L M G KM = R K C LM G KM. (6.154) Lisaks eelnenule saab tõestada seosed tensorite E, R ja R vahel R KM = (G KL + E KL + R KL ) 1 2 C L M. (6.155) Väikeste deformatsioonigradientide puhul saame viimasest R KM R KM G KM, (6.156) Pöörde põhiteoreem 6-66 ning arvestades (6.154) analoogi EK jaoks, et R KM g k Kg m M rkm. (6.157) Pöörde põhiteoreem: Iga joonelemendi deformatsiooni mingis punktis võib vaadelda koosnevana kolmest osast 1) paralleellükkest, 2) peatelgede jäigast pöördest ja 3) pikkuse muudust peatelgede sihis. Vaatleme vektorit dx K X-s, mis läheb deformatsiooni käigus vektoriks dx k = x k,kdx K. Kasutades seoseid (6.152) 1 saame 1 2 dx k = g k LR L MC M KdX K = 1 2 c k lr l mg m KdX K. (6.158) Avaldisele (6.158) saab anda järgmise tõlgenduse (joonis 6.12). 1. Vektori dx lüke 12 (koos peatelgedega) vektoriks dx (T). 2. Vektori dx (T) jäik pööre 13 (koos peatelgedega) vektoriks dx (R). 12 I.k. translation 13 I.k. rotation
34 6.12. Pöörde põhiteoreem 6-67 Joonis 6.12: Joonelemendi deformatsiooni dekompositsioon 3. Läbi peatelgede pikkuste muutmise 14 muudetakse vektor dx (R) vektoriks dx (S) = dx. Täiendavat pööret ei toimu siin siis ja ainult siis kui dx on paralleelne ühega tensori C KL peavektoritest. Valemites on eelnev esitatav kujul 14 I.k. stretch dx k (T) = g k KdX K, dx k (R) = R k ldx l (T), dx k = 1 2 c k ldx l (R). (6.159) Pöörde põhiteoreem 6-68 Kui asendame (6.159) 1 (6.159) 2 (6.159) 3, siis saame (6.158), mis tõestabki teoreemi. Joonis 6.13 esitab sama protsessi teises järjekorras: pikenemine, pööre, lüke, st., dx M (S) = 1 2 C M KdX K, dx L (T) = R L MdX M (S), dx k = g k LdX L (R). (6.160) Seega sellise dekompositsiooni puhul pole operatsioonide järjekord tähtis. Joonis 6.13: Joonelemendi deformatsiooni dekompositsioon
35 6.13. Kiirus ja kiirendus Kiirus ja kiirendus Materiaalne tuletis Materiaalne tuletis vektorist. Materiaalseks tuletiseks vektorist (aja järgi) nimetatakse operatsiooni ḟ def = df dt. (6.161) X=const Kui vektorfunktsiooni f argumentideks on LK, siis langevad materiaalne tuletis ja osatuletis aja järgi kokku: ḟ(x, t) Näide: Nii leitakse materiaalset tuletist liikumisseadusest. f(x, t). (6.162) t Kiirus ja kiirendus 6-70 Keerukam on lugu siis, kui f on avaldatud EK-s. Vaatleme vektorfunktsiooni f(x, t) = f k g k = f k g k. Nüüd ḟ(x, t) = ( ) f k g k + g t x l(fk k )ẋ l, ḟ(x, t) = ( fk g k) + (6.163) t x l(f kg k )ẋ l. kuna baasivektorid g k ja g k on ajast sõltumatud, saavad valemid (6.163) kuju ḟ(x, t) = Dfk Dt g k = Df k Dt gk, (6.164) kus suurusi Df k def = fk Dt t + fk ;lẋ l Df k def ja = f k Dt t + f k;lẋ l (6.165) nimetatakse materiaalseks tuletiseks vastavalt vektori kontravariantsest ja kovariantsest komponendist.
36 6.13. Kiirus ja kiirendus 6-71 Tensorite kovariantsed osatuletised. Enne kui saab asuda materiaalsete tuletiste leidmisele tensoritest tuleb sisse tuua tensorite kovariantsed osatuletised. Need on defineeritud analoogiliselt vektorite kovariantsete osatuletistega (vt. lk. 43) { } { } k l f kl ;m = f kl,m + f nl + f kn (6.166) nm nm on kontravariantse tensori kovariantne osatuletis. Analoogiliselt saab defineerida kovariantse osatuletise segatensorist { } { } k n f k l;m = f k l,m + f n l f k n (6.167) mn lm ja kovariantse osatuletise kovariantsest tensorist { } { } n n f kl;m = f kl,m f nl f km kn lm. (6.168) Kiirus ja kiirendus 6-72 Materiaalne tuletis tensoritest. Materiaalne tuletis tensorite kontravariantsetest, kovariantsetest ja segakomponentidest on defineeritud järgmiselt Df kl = fkl + f kl ;mẋ m Dt t Df kl = f kl Dt t + f kl;mẋ m (6.169) Df k l = fk l + f k l;mẋ m Dt t
37 6.13. Kiirus ja kiirendus Materiaalse punkti kiirus ja kiirendus Kiirus v = ṗ = u. (6.170) Lagrange i koordinaadid. Olgu siirdevektor esitatud läbi LK kujul u = U K G K, kus U K = U K (X, t). Nüüd v = u = UK t G K, ehk v = V K G K, kus V K = UK t. (6.171) Viimased avaldised esitavadki kiiruse (kiirusvektori) Lagrange i koordinaatides. Euleri koordinaadid. Kui siirdevektor on esitatud läbi Euleri koordinaatide, siis u = u k g k, kus u k = u k (x, t). Nüüd saame kiiruse avaldised Euleri koordinaatides: [ ] v = u X=const = Duk u k Dt g k t + uk ;lv l g k, ehk (6.172) v = v k g k, kus v k = Duk Dt uk t + uk ;lv l. Seega on kiiruse- ja siirdekomponentide vahelised seosed Euleri koordinaatide puhul ilmutamata kujul Kiirus ja kiirendus 6-74 Kiirendus Materiaalse punkti kiirendus on defineeritud kui tema kiirusvektori esimene tuletis aja järgi a = v. (6.173) Lagrange i koordinaatide puhul a = A K G K, ning Euleri koordinaatide puhul a = a k g k, A K = V K t = 2 U K t 2 (6.174) a k = Dvk Dt = vk t + vk ;l }{{} v l (6.175) ẋ l Seega avalduvad kiirenduse komponendid nii LK-s kui EK-s ilmutatud kujul.
38 6.13. Kiirus ja kiirendus Deformatsioonikiiruse tensor Materiaalne tuletis deformatsioonigradiendist x k,k. D(x k,k) Dt Materiaalne tuletis koordinaadi diferentsiaalist. D(dx k ) Dt Euleri deformatsioonikiiruse tensor. = v k ;lx l,k. (6.176) = v k ;ldx l. (6.177) 2d kl = v k;l + v l;k, (6.178) Materiaalne tuletis joonelemendi ruudust D(ds 2 ) Dt Lagrange i deformatsioonikiiruse tensor. Ė KL = DE KL Dt = 2d kl dx k dx l. (6.179) = d kl x k,kx l,l. (6.180) Kiirus ja kiirendus Elementaarruumala muutumise kiirus Käesolevas alajaotuses leiame materiaalse tuletise EK-s esitatud elementaarrumalast dυ. Alghetkel t 0 on meil tahke keha (ruumipiirkond) B, mida ümbritseb pind A ja mille ruumala on V. Deformatsiooni käigus B b, A a ja V υ. Kasutame tähistusi j = x k X K = x k,k z k, J = Z K = z k,k, g = g kl, G 1 = (6.181) G KL. Pideva liikumise puhul on koordinaatteisendused x = x(x, t) ja X = X(x, t) teineteise ühesed pöördteisendused ja j 0. Kõverjoonelised koordinaadid x ja X olid sissetoodud läbi DRK. Seega ning jakobiaan... z k Z = zk x m X M K x m X M Z K J = z k Z K = z k x m x n X M X N Z K. (6.182)
39 6.13. Kiirus ja kiirendus 6-77 Kokku saame aga avaldise D(dυ) Dt mis väljendabki elementaarruumala muutumise kiirust Elementaarpinna muutumise kiirus DJ Dt = Jvk ;k (6.183) = Jv k ;kdv = v k ;kdυ, (6.184) Materiaalne tuletis deformatsioonigradiendist X K,k: D(X K,k) Dt = X K,lv l ;k (6.185) Pinnaelemendi materiaalne tuletis (muutumise kiirus): D(da k ) Dt = v m ;mda k v m ;kda m. (6.186) Joon-, pind- ja ruumintegraalide kinemaatika Joon-, pind- ja ruumintegraalide kinemaatika Joonintegraal. Olgu φ mingi funktsioon (näit. massi tihedus või kiirus või elektrijuhtivus vms.), mis on defineeritud üle materiaalse joone L. Vastava joonintegraali muutumise kiirus leitakse materiaalse tuletise abil: D Dt L φdx k = L (6.177) = D Dt (φdxk ) = L L [ φdx k + φv k ;ldx l ]. [ Dφ Dt dxk + φ D ] Dt (dxk ) = (6.187) Pindintegraal. Olgu nüüd suvaline funktsioon φ defineeritud üle materiaalse pinna S. Vastava pindintegraali muutumise kiirus [ D D Dφ φda k = Dt S S Dt (φda k) = S Dt da k + φ D ] Dt (da k) = [ φdak + φ ( ) ] (6.188) v l ;lda k v l ;kda l. (6.186) = S
40 6.14. Joon-, pind- ja ruumintegraalide kinemaatika 6-79 Ruumintegraal. Kui nüüd funktsioon φ on defineeritud üle materiaalse mahu V, siis ruumintegraali muutumise kiirus [ D Dφ φdυ = Dt V V Dt dυ + φ D ] Dt (dυ) (6.184) = [( ) ] [ φ φ = t + φ ;kv k dυ + φv k ;k(dυ) = t + ( φv k) ] dυ. ;k V V (6.189) Kui kasutada Greeni-Gaussi teoreemi 15, siis saame viimasest D φ φdυ = Dt t dυ + φv k da k. (6.190) V υ Siin on materiaalne maht V asendatud fikseeritud ruumimahuga υ, mida ümbritseb pind s ja mis hetkeliselt ühtib materiaalse mahuga V. Seega, mingi füüsikalise suuruse φ materiaalses mahus V muutumise kiirus võrdub selle suuruse φ muutumise kiirus ruumilises mahus υ (mis hetkeliselt ühtib materiaalse mahuga V) pluss suuruse φv k voog läbi ruumilist mahtu υ ümbritseva pinna s. 15 V uk ;kdυ = S uk da k, da k = n k da tuntud ka kui Gaussi-Ostrogradski teoreem s Keeriselisus ja deformatsiooni kiirus Keeriselisus ja deformatsiooni kiirus Keeriselisus (Cauchy) keeriselisuse tensor 16 w kl = 1 2 (v k;l v l;k ) v [k;l]. (6.191) Kaldsümmeetrilisest tensorist w kl saab omakorda konstrueerida keerisvektori w k = ǫ klm w ml = ǫ klm v m;l ehk w = curlv, (6.192) kus curlv rotv def = v ja def = g k xk. (6.193) Keerisvektori kovariantsed komponendid w k = g kl w l. (6.194) 16 I.k. vorticity tensor. Kasutatakse ka terminit pöörlemistensor, i.k. vastavalt spin tensor.
41 6.15. Keeriselisus ja deformatsiooni kiirus Deformatsioonitensorite materiaalsed tuletised Lagrange i deformatsioonikiiruse tensor Ė KL = DE KL Dt = d kl x k,kx l,l. Leiame nüüd seose deformatsioonikiiruse tensori d kl ja Euleri deformatsioonitensori materiaalse tuletise ė kl vahel. Selleks leiame jällegi materiaalse tuletise deformatsiooni mõõdust ds 2 ds 2 D Dt (ds2 ) = D Dt (ds2 ds 2 ) (6.74) = 2 D Dt (e kldx k dx l ) (6.177) = 2 (ė kl + e ml v m ;k + e km v m ;l)dx k dx l. (6.195) d kl = ė kl + e ml v m ;k + e km v m ;l. (6.196) Arvestades Euleri ja Lagrange i deformatsioonitensorite definitsioone (2e kl = g kl c kl ja 2E KL = C KL G KL ) saame ċ kl = 2ė kl ja ĊKL = 2ĖKL. (6.197) Mass 82 Deformeeruva keskkonna dünaamika 6.16 Mass Pideva keskkonna mehaanika I põhiaksioom massi jäävuse seadus Globaalne massi jäävuse aksioom. Keskkonna kogumass on liikumisel invariantne ρ dv = ρdυ. (6.198) V Kuna dυ = JdV, siis saab viimase võrduse esitada nii LK-s kui EK-s (ρ ρj)dv = 0 või (ρ ρ J 1 )dυ = 0, (6.199) V υ υ
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Rohkempkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid
1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
Rohkemelastsus_opetus_2017_ptk3
1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkempkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi
Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemBioMech_2011_1.dvi
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Biomehaanika (Sissejuhatavad loengud mehaanika) Tallinn 2011 2 Peatükk 1 Sissejuhatus 1.1 Mis on biomehaanika Biomehaanika
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemAutomaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2
Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus
RohkemMicrosoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc
7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
Rohkemefo09v2pke.dvi
Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
RohkemAndmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud
Andmebaasid, MTAT.03.264 6. loeng Normaalkujud E-R teisendus relatsiooniliseks Anne Villems Meil on: Relatsiooni mõiste Relatsioonalgebra Kus me oleme? Funktsionaalsete sõltuvuse pere F ja tema sulund
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
RohkemOsakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.
Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste
Rohkemelastsus_opetus_2015_ptk5.dvi
Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemloogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd
. Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed
RohkemVKE definitsioon
Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
Rohkemefo03v2kkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemEELNÕU
Keskkonnaministri 4. jaanuari 2007. a määruse nr 2 Vääriselupaiga klassifikaator, valiku juhend, vääriselupaiga kaitseks lepingu sõlmimine ja vääriselupaiga kasutusõiguse arvutamise täpsustatud alused
RohkemMining Meaningful Patterns
Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti
RohkemMittekorrektsed ülesanded 2008
Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
Rohkemmy_lauluema
Lauluema Lehiste toomisel A. Annisti tekst rahvaluule õhjal Ester Mägi (1983) Soran Alt q = 144 Oh se da ke na ke va de ta, ae ga i lust üü ri kes ta! üü ri kes ta! 3 Ju ba on leh tis lei na kas ke, hal
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
Rohkem2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b)
2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. 10. klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) oogivees on kloriidioonide kontsentratsioon 75 mg/dm
RohkemKomisjoni delegeeritud määrus (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti ka
L 256/4 Euroopa Liidu Teataja 22.9.2012 MÄÄRUSED KOMISJONI DELEGEERITUD MÄÄRUS (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti kasutamiseks,
RohkemFailiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu
Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:
RohkemFüüsika
Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse
RohkemMicrosoft Word - 1-1_toojuhend.doc
1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil
RohkemSlide 1
Hiiumaa Mesinike Seltsing Mesilasperede talvitumine, soojusrežiim ja ainevahetus talvel Uku Pihlak Tänast üritust toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames Täna räägime: Natuke füüsikast ja keemiast
RohkemFJT p6hivara 2019
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid
RohkemAili_A-mf-4_adiab.doc
4. ADIABAAILINE ROSESS 4.. emperatuuri adiabaatiline radient ermodünaamilisi protsesse, mis toimuvad soojusvahetuseta ümbritseva esonnaa, nimetatase adiabaatilistes. emperatuuri adiabaatilise radiendi
RohkemKontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa
Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
Rohkem(Tõrked ja töökindlus \(2\))
Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu
Rohkem(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )
1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemSQL
SQL Kuues loeng 3GL inside 4GL Protseduurid Funktsioonid Tavalised Funktsioonid (üks väljund) Ilma väljundita Protseduurid Viitargumentide kasutamise võimalus Tabel-väljundiga Protseduurid Create function
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemMicrosoft Word - VG loodus
Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke
RohkemKeemia koolieksami näidistöö
PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu
Rohkemmaster.dvi
TARTU ÜLIKOOL Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut ELMO TEMPEL GALAKTIKA NGC 4594 HÜDRODÜNAAMILINE MUDEL Astrofüüsika magistritöö Juhendaja: dots. PEETER TENJES Tartu 2005 Sisukord 1
RohkemEuroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu
Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat
RohkemIVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon jaan lk Dok IVXV-SVR-1.4.0
IVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon 1.4.0 18. jaan 2019 11 lk Dok IVXV-SVR-1.4.0 Sisukord Sisukord........................................ 2 1 Võtmerakendus.................................. 3
Rohkem