Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x"

Väljavõte

1 Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi (1) väärtuseks kohal c nimetatakse korpuse K elementi f(c) = a 0 c n + a 1 c n a n 1 c + a n. Näide 1. Polünoomi f = 5x 3 2x Z 7 [x] väärtus kohal 5 Z 7 on f(5) = = = = 18 = 4. Teoreem 1. Kui f, g K[x] ja c K, siis (f + g)(c) = f(c) + g(c), (f g)(c) = f(c) g(c), (fg)(c) = f(c) g(c). Teoreem 1 tuleneb vahetult liitmis- ja korrutamisreeglist ringis K[x] ning definitsioonist 1. Teoreemist 1 järeldub, et iga c K korral on kujutus ϕ : K[x] K, ϕ(f) = f(c), homomorfism polünoomide ringist K[x] korpusesse K. Definitsioon 2. Polünoomi f juureks ehk nullkohaks nimetatakse korpuse K elementi c, mille korral f(c) = 0. Näide 2. Polünoomi f = x 3 + 2x 2 + 3x 1 Z 7 [x] üheks juureks on 5, sest f(5) = = 189 = 7 27 = 0. Teoreem 2. [Bézout 1 teoreem] Korpuse K element c on polünoomi f K[x], f 0, juur parajasti siis, kui f jagub polünoomiga x c ringis K[x]. 1 Étienne Bézout ( ) prantsuse matemaatik.

2 2 Tõestus. Kui f jagub polünoomiga x c, siis f = (x c) g mingi g K[x] korral ja teoreemi 1 põhjal f(c) = (c c) g(c) = 0, st c on polünoomi f juur. Vastupidi, olgu c polünoomi f juur, st f(c) = 0. Rakendades polünoomidele f ja x c jäägiga jagamist, saadakse f = (x c)g + r, deg(r) < deg(x c) = 1. Siit teoreemi 1 kohaselt 0 = f(c) = (c c)g(c) + r(c) = r(c) ehk r(c) = 0. Kuna deg(r) < 1, siis r on konstantne polünoom ja r = r(c) = 0, f = (x c)g ja polünoom f jagub polünoomiga x c. Näide 3. Vaatleme näites 2 antud polünoomi f. Bézout teoreemi põhjal peab f jaguma polünoomiga x 5. Jagades polünoomi f polünoomiga x 5, saadakse Horneri skeem Vaadelgem polünoomi f = (x 5)(x 2 + 3). f = a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n a n 1 x + a n K[x]. Valime skalaari c K. Siis polünoomi f jäägiga jagamisel polünoomiga x c saadakse f = (x c)g + r, kus r = f(c) K ja g = b 0 x n 1 + b 1 x n 2 + b 2 x n b n 2 x + b n 1 K[x]. Järgnevalt tuletame skeemi skalaari f(c) = r ja polünoomi g kordajate leidmiseks. Teostades tehted avaldises (x c)g + r, saadakse (x c)g + r = (x c)(b 0 x n 1 + b 1 x n 2 + b 2 x n b n 2 x + b n 1 ) + r = = b 0 x n + (b 1 cb 0 )x n 1 + (b 2 cb 1 )x n (b n 1 cb n 2 )x + (r cb n 1 ). Kuna saadud polünoom võrdub polünoomiga f, siis nende polünoomide kordajad on vastavalt võrdsed, st a 0 = b 0, a 1 = b 1 cb 0, a 2 = b 2 cb 1,... a n 1 = b n 1 cb n 2, a n = r cb n 1,

3 3 ehk b 0 = a 0, b 1 = a 1 + cb 0, b 2 = a 2 + cb 1,... b n 1 = a n 1 + cb n 2, r = a n + cb n 1. Viimastest võrdustest leitakse üksteise järel skalaarid b 0, b 1,..., b n 1, r. Nende leidmist võib vormistada tabelina a 0 a 1 a 2... a n 1 a n + cb 0 cb 1... cb n 2 cb n 1 c b 0 b 1 b 2... b n 1 r Selles tabelis a 0, a 1,..., a n ja c on algandmed ning ülejäänud skalaarid leitakse järk-järgult arvutades. Polünoomi g ja r = f(c) leidmist kirjeldatud tabeli abil nimetatakse Horneri 2 skeemiks. Horneri skeemi kasutatakse polünoomi f väärtuse f(c) = r arvutamiseks ning kontrollimaks, kas mingi skalaar c on polünoomi f juureks. Näide 4. Leiame näites 2 antud polünoomi f väärtuse kohal 4 Z 7 : Seega f = (x 2 + 6x + 6)(x 4) + 2, f(4) = 2. Näide 5. Kasutades Horneri skeemi, veendume, et arv 2 on polünoomi juur: f = x 5 5x 4 + 7x 3 2x 2 + 4x 8 R[x] Seega f(2) = 0 ja f = (x 2)(x 4 3x 3 + x 2 + 4). 2 William George Horner ( ) inglise matemaatik.

4 Kordsed juured Veendusime, et kui c K on polünoomi f K[x] juur, siis f = (x c)g 1 mingi g 1 K[x] korral. Kui c on ka polünoomi g 1 juur, siis omakorda g 1 = (x c)g 2, g 2 K[x] ja f = (x c) 2 g 2. Analoogiliselt jätkates on f esitatav kujul f = (x c) k g, g K[x], kus g(c) 0 ehk g ei jagu polünoomiga x c. Definitsioon 3. Polünoomi f juurt c nimetatakse tema k-kordseks juureks, kui f jagub polünoomiga (x c) k, kuid ei jagu polünoomiga (x c) k+1. Ühekordset juurt nimetatakse lihtjuureks, kahe- ja enamakordset juurt kordseks juureks. Kui c 1,..., c k on polünoomi f erinevad juured vastavalt kordsustega n 1,..., n k ja polünoomil pole rohkem juuri korpuses K, siis avaldub f kujul f = (x c 1 ) n1... (x c k ) nk g, g K[x], (2) kus g ei oma juuri korpuses K. Kui polünoomi f aste on n, siis võrdusest (2) järeldub, et n = deg(f) = n n k + deg(g) ja polünoom f ei saa omada rohkem kui n erinevat juurt. Polünoomi kordsete juurte uurimisel etendab tähtsat osa polünoomi tuletis. Tuletise defineerimisel ei saa kasutada piirväärtuse mõistet, sest polünoomi kordajad kuuluvad mis tahes korpusesse K. Polünoomi tuletis defineeritakse formaalselt, kuid nii, et juhul K = R jääksid kehtima matemaatilise analüüsi kursusest tuntud reeglid. Definitsioon 4. Polünoomi (1), kus deg(f) = n 1, tuletiseks nimetatakse polünoomi f = na 0 x n 1 + (n 1)a 1 x n a n 2 x + a n 1. Konstantse polünoomi f tuletiseks f nimetatakse nullpolünoomi. Polünoomide liitmise ja korrutamise eeskirjade ning tuletise definitsiooni abil võib hõlpsasti veenduda, et tuletise jaoks kehtivad reeglid (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg. Näide 6. Polünoomi f = x 3 + 2x 2 + 3x 1 Z 7 [x] tuletis on f = 3x 2 + 4x + 3. Teoreem 3. Polünoomi f K[x], f 0, juur c K on lihtjuur parajasti siis, kui f (c) 0.

5 5 Tõestus. Olgu c polünoomi f juur. Bézout teoreemi kohaselt f = (x c)g, g K[x]. Siis f = (x c) g + (x c)g = g + (x c)g, f (c) = g(c). Kui c on lihtjuur, siis g(c) 0 ja seega ka f (c) 0. Vastupidi, kui f (c) 0, siis g(c) 0 ja c on polünoomi f lihtjuur. Näide 7. Näites 2 toodud polünoomi f juur on 5. Kuna f = 3x 2 + 4x + 3 ja f (5) = = 0, siis on 5 kordne juur. Lihtne on veenduda, et f = (x 5) 2 (x + 5), st 5 on polünoomi f kahekordne juur korpuses Z Juurte olemasolu Mitte iga polünoom f K[x] ei oma korpuses K juurt. Nii näiteks polünoomil x R[x] ei ole juurt reaalarvude korpuses. Küll aga leidub korpusel R laiend C (kompleksarvude korpus) nii, et polünoom x R[x] C[x] omab juuri korpuses C (nendeks juurteks on ± i). Huvitav on märkida, et see kehtib iga reaalarvuliste kordajatega mittekonstantse polünoomi jaoks. Nimelt kehtib Teoreem 4. Iga mittekonstantne polünoom f C[x] omab juurt kompleksarvude korpuses C. Teoreemi 4 me ei tõesta, kuid tõestusest huvitatu võib selle leida professor Gunnar Kangro õpikust Kõrgem algebra, lk Tema tähtsuse tõttu nimetatakse seda teoreemi ka kompleksarvude algebra põhiteoreemiks. Selle teoreemi tõestas esmakordselt d Alembert 3. D Alembert i tõestust loetakse puudulikuks, kuna ta kasutas fakte, mille korrektsed tõestused esitati tunduvalt hiljem. Esimese korrektse tõestuse andis Gauss aastal. Hiljem on kompleksarvude algebra põhiteoreemile antud palju erinevaid tõestusi. Gauss ise on andnud neli erinevat tõestust sellele teoreemile. Saab näidata, et kehtib järgmine teoreem. Teoreem 5. [Kroneckeri 5 teoreem] Iga mittekonstantse polünoomi f K[x] korral leidub korpusel K selline laiend L, milles polünoom f omab juurt. 3 Jean Baptiste Le Rond d Alembert ( ) prantsuse matemaatik. 4 Johann Carl Friedrich Gauss ( ) saksa matemaatik. 5 Leopold Kronecker ( ) saksa matemaatik.

6 6 Harjutustund Harjutustunnis lahendatakse ülesanded 5.25, 5.26, 5.35, 5.36 ja 5.31 äsjailmunud õpikust Leida polünoomi x 2 + 3x + 2 Z 6 [x] kõik juured ringis Z 6. Lahendus. Peame leidma sellised elemendid c Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, mille korral f(c) = 0, kus f = x 2 + 3x + 2. Arvutame f(0) = = 2 0, f(1) = = 0, f(2) = = 0, f(3) = = 2 0, f(4) = = 0, f(5) = = 0. Vastus. Juured on 1, 2, 4 ja Mitmekordne juur on 2 polünoomile f = x 5 + 7x x x x + 8 R[x]. Lahendus. Kui 2 on polünoomi f juur, siis polünoom f jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2, st leidub selline polünoom g, et f = (x + 2) g. Polünoomi g kordajad leiame Horneri skeemiga: Seega polünoomi g kordajad on 1, 5, 9, 8, 4 ehk g = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 8x + 4. Kontrollime Horneri skeemiga, kas polünoom g jagub polünoomiga x + 2, st kas 2 on polünoomi g juureks:

7 7 Kuna tabeli viimase rea viimaseks arvuks on polünoomi g väärtus kohal -2, siis g( 2) = 0 ja -2 on polünoomi g juur ning polünoom g jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2, st leidub polünoom h, nii et g = (x + 2) h. Polünoomi h kordajad saame samuti tabeli viimasest reast ja nendeks on 1, 3, 3, 2. Seega h = x 3 + 3x 2 + 3x + 2, g = (x + 2) h, f = (x + 2) g = (x + 2) 2 h. Kontrollime, kas -2 on polünoomi h juur, st kas h jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2. Teeme seda jälle Horneri skeemiga: Kuna tabeli viimase rea viimaseks arvuks on polünoomi h väärtus kohal -2, siis h( 2) = 0 ja -2 on polünoomi h juur ning polünoom h jagub polünoomiga x ( 2) = x+2, st leidub polünoom u, nii et h = (x+2) u. Polünoomi u kordajad saame samuti tabeli viimasest reast ja nendeks on 1, 1, 1. Seega u = x 2 + x + 1, h = (x + 2) u, f = (x + 2) 2 h = (x + 2) 3 u. Kontrollime, kas -2 on polünoomi u juur, st kas u jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2. Teeme seda jälle Horneri skeemiga: Tabeli viimase rea viimane arv on u( 2). Seega u( 2) = 3 ning -2 pole enam polünoomi u juur. Seega polünoom jagub polünoomiga (x + 2) 3, kuid ei jagu polünoomiga (x + 2) 4. Järelikult -2 on polünoomi f 3-kordne juur. Vastus. Arv -2 on polünoomi f kolmekordne juur ja f = (x + 2) 3 (x 2 + x + 1). Järgneva kahe ülesande lahendamiseks on vaja teada järgmist lihtsat omadust: Kui f on teise või kolmanda astme polünoom ringist K[x], siis ta on taandumatu parajasti siis, kui tal pole juuri korpuses K.

8 8 Tõepoolest, kui polünoomil f leiduks juur c K, siis Bézout teoreemi kohaselt leiduks g K[x], nii et f = (x c) g ja seega f oleks taanduv. Vastupidi, kui f oleks taanduv, siis omaks ta juurt korpuses K. Veendume selles. Taanduvuse tõttu avaldub f kujul f = gh, kus g ja h on mittekonstantsed polünoomid. Kuna f on teise või kolmanda astme polünoom, siis üks polünoomidest g ja h peab olema esimese astme polünoom. Olgu selleks g. Siis g = ax + b, a 0; a, b K. Polünoomi g juureks on skalaar b a. Skalaar b a on ka polünoomi f juureks Otsustada, kas polünoom x Z 2 [x] on taanduv ringis Z 2 [x]. Lahendus. Leiame polünoomi f = x väärtused korpuse Z 2 [x] = {0, 1} kõigi elementide korral: f(0) = = 1 0, f(1) = = 0. Kuna 1 on polünoomi f juur, siis ülalsõnastatud omaduse põhjal f pole taandumatu, st ta on taanduv. Bézout teoreemi põhjal jagub f polünoomiga x 1 = x+1. Jagades polünoomi f polünoomiga f, saadakse f = (x + 1)(x 2 + x + 1) Näidata, et polünoom x 3 + x on taandumatu polünoom ringis Z 3 [x]. Lahendus. Leiame polünoomi f = x 3 + x väärtused korpuse Z 3 [x] = {0, 1, 2} kõigi elementide korral: f(0) = = 2 0, f(1) = = 1 0, f(2) = = 2 0. Kuna polünoomil f pole juuri vaadeldavas korpuses, siis on ta taandumatu Leida polünoomi f = x 5 + x 4 + 4x 3 + 2x + 3 Z 7 [x] kõik juured ja nende kordsused ning avaldada see polünoom taandumatute tegurite korrutisena vaadeldavas polünoomide ringis. Lahendus. Leiame, millised korpuse Z 7 [x] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} elementidest on polünoomi f juured. Polünoomi f väärtused kohtadel 0, 1, 2 leiame vahetult, kohtadel 3, 4, 5, 6 aga Horneri skeemi abil: f(0) = = 3, f(1) = = 4, f(2) = = 3,

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine

1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine http://kodu.ut.ee/~kiho/ads/praktikum/ 4. PSK Paisksalvestus. Loendamine Mõisteid Paisktabel (Hashtable, HashMap) Paisktabeli kasutamine loendamisülesannetes Paiskfunktsioon, kollisoonid (põrked) Praktikumitööd

Rohkem

VRG 2, VRG 3

VRG 2, VRG 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Rahvajutud: muistend Vaimse kultuuripärandi tööleht. Kirjandus Ingrid Mikk Jüri Gümnaasium 2014

Rahvajutud: muistend Vaimse kultuuripärandi tööleht. Kirjandus Ingrid Mikk Jüri Gümnaasium 2014 Rahvajutud: muistend Vaimse kultuuripärandi tööleht. Kirjandus Ingrid Mikk Jüri Gümnaasium 2014 Tunneme nimepidi oma allikasilmi ja suuremaid puid, jõekäärusid ja moreeninõlvu, mida nõudlikult mägedeks

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

KOMISJONI MÄÄRUS (EL) 2019/ 316, veebruar 2019, - millega muudetakse määrust (EL) nr 1408/ 2013, milles käsitletakse Euroopa L

KOMISJONI  MÄÄRUS  (EL)  2019/  316, veebruar  2019,  -  millega  muudetakse  määrust  (EL)  nr 1408/  2013,  milles  käsitletakse  Euroopa  L 22.2.2019 L 51 I/1 II (Muud kui seadusandlikud aktid) MÄÄRUSED KOMISJONI MÄÄRUS (EL) 2019/316, 21. veebruar 2019, millega muudetakse määrust (EL) nr 1408/2013, milles käsitletakse Euroopa Liidu toimimise

Rohkem

(Tõrked ja töökindlus \(2\))

(Tõrked ja töökindlus \(2\)) Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu

Rohkem

IVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon jaan lk Dok IVXV-SVR-1.4.0

IVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon jaan lk Dok IVXV-SVR-1.4.0 IVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon 1.4.0 18. jaan 2019 11 lk Dok IVXV-SVR-1.4.0 Sisukord Sisukord........................................ 2 1 Võtmerakendus.................................. 3

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...

Rohkem

Elisa Ring Elisa Ringi mobiilirakendus Versioon

Elisa Ring Elisa Ringi mobiilirakendus Versioon Elisa Ring Elisa Ringi mobiilirakendus Versioon 1.0.85 15.01.2019 1 Elisa Ring... 1 1. Ülevaade... 3 1.1. Kirjeldus... 3 1.2. Tehnilised tingimused... 3 1.3. Kasutuselevõtt ja sisselogimine... 3 2. Rakenduse

Rohkem

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

Present enesejuhtimine

Present enesejuhtimine HHP 0020 SELF-MANAGEMENT 2007, Mare Teichmann, Tallinna Tehnikaülikool EDU = võimed x motivatsioon x võimalus Õppekorraldus 1. TTÜ õppehoonetes orienteerumine 2. AP-de valimise ja deklareerimise süsteem

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc Tartu Ülikool Andmetöötluskeel "Tutorial D" realisatsiooni "Rel" põhjal Referaat aines Tarkvaratehnika Romet Piho Informaatika 2 Juhendaja Indrek Sander Tartu 2005 Sissejuhatus Tänapäeval on niinimetatud

Rohkem

PRESENTATION HEADER IN GREY CAPITALS Subheader in orange Presented by Date Columbus is a part of the registered trademark Columbus IT

PRESENTATION HEADER IN GREY CAPITALS Subheader in orange Presented by Date Columbus is a part of the registered trademark Columbus IT PRESENTATION HEADER IN GREY CAPITALS Subheader in orange Presented by Date Columbus is a part of the registered trademark Columbus IT Täisautomatiseeritud ostujuhtimise lahenduse loomine Selveri näitel

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Mathcad - Operaatorid.xmct

Mathcad - Operaatorid.xmct Marek Kolk, Tartu Ülikool MathCa (lühem versioo) Viimati muuetu :.. Operaatori Aritmeetilise operaatori Nee leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja erali kommeteerimist. Tehete järjekorraks o asteamie,

Rohkem

LISA KINNITATUD õppeprorektori korraldusega nr 134 MUUDETUD õppeprorektori korraldusega nr 76 Võõrkeeleoskuse tõendamise tingimu

LISA KINNITATUD õppeprorektori korraldusega nr 134 MUUDETUD õppeprorektori korraldusega nr 76 Võõrkeeleoskuse tõendamise tingimu LISA KINNITATUD õppeprorektori 22.08.2017 korraldusega nr 134 MUUDETUD õppeprorektori 06.04.2018 korraldusega nr 76 Võõrkeeleoskuse tõendamise tingimused ja kord 1. Võõrkeeleoskuse tõendamine vastuvõtul

Rohkem

KEHTESTATUD õppeprorektori korraldusega nr 190 MUUDETUD õppeprorektori korraldusega nr 158 MUUDETUD õppeprorektori ko

KEHTESTATUD õppeprorektori korraldusega nr 190 MUUDETUD õppeprorektori korraldusega nr 158 MUUDETUD õppeprorektori ko KEHTESTATUD õppeprorektori 29.08.2016 korraldusega nr 190 MUUDETUD õppeprorektori 18.09.2017 korraldusega nr 158 MUUDETUD õppeprorektori 08.03.2018 korraldusega nr 54 Õpetajakoolituse erialastipendiumi

Rohkem

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Kick-off 30.06.2014 Toetuse kasutamise leping Kadri Klaos 30.06.2014 Lepingu struktuur Eritingimused Üldtingimused Lisa I, Projekti sisukirjeldus Lisa II, Projekti eelarve Lisa III, Projekti rahastamis-

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid ) 1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi

Rohkem

Füüsika

Füüsika Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vasta

Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vasta Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vastanutest töötanud 87 tudengit ehk 64%, kellest 79 (91%)

Rohkem

ISS0010_5osa_2018

ISS0010_5osa_2018 Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Tööplaan 9. kl õpik

Tööplaan 9. kl õpik Mõttest tekstini Eesti keele ja tekstiõpetuse õpik 9. klassile Näidistööplaan Aeg Teema Põhimõisted Õppematerjal Tegevused Õppetulemus Hindamine 1. nädal I. Suhtlemine rühmas Ptk 1 Sissejuhatuseks 2. nädal

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

HWU_AccountingAdvanced_October2006_EST

HWU_AccountingAdvanced_October2006_EST 10. Kulude periodiseerimine Simulatsioone (vt pt 5) kasutatakse ka juhul, kui soovitakse mõnd saadud ostuarvet pikemas perioodis kulusse kanda (nt rendiarve terve aasta kohta). Selleks tuleb koostada erinevad

Rohkem

VRB 2, VRB 3

VRB 2, VRB 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga

Rohkem

Sularahateenuse hinnastamise põhimõtted SRK 3 12_

Sularahateenuse hinnastamise põhimõtted SRK 3 12_ Koostas: E. Vinni (sularahateenuste müügijuht) Kinnitas: P. Sarapuu (juhatuse esimees) Vers.: 2 Lk: 1/7 Sularahateenuse hinnastamise põhimõtted Koostas: E. Vinni (sularahateenuste müügijuht) Kinnitas:

Rohkem

Microsoft Word - L_5_2018_docx.docx

Microsoft Word - L_5_2018_docx.docx Maaeluministri 0.0.07 määrus nr 4 Põllumajandusettevõtja tulemuslikkuse parandamise investeeringutoetus Lisa (maaeluministri. novembri 08 määruse nr 6 sõnastuses) Teravilja, õliseemnete ja valgurikaste

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Komisjoni delegeeritud määrus (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti ka

Komisjoni delegeeritud määrus (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti ka L 256/4 Euroopa Liidu Teataja 22.9.2012 MÄÄRUSED KOMISJONI DELEGEERITUD MÄÄRUS (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti kasutamiseks,

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

August Pulsti Õpistu PÄRIMUSMUUSIKA TUTVUSTAMINE LASTEAIAS 5-7a KURSUSETÖÖ ANNIKA LOODUS Lasteaed Mängupesa õpetaja Viljandi 2010 Õpetajate eri: Sisse

August Pulsti Õpistu PÄRIMUSMUUSIKA TUTVUSTAMINE LASTEAIAS 5-7a KURSUSETÖÖ ANNIKA LOODUS Lasteaed Mängupesa õpetaja Viljandi 2010 Õpetajate eri: Sisse August Pulsti Õpistu PÄRIMUSMUUSIKA TUTVUSTAMINE LASTEAIAS 5-7a KURSUSETÖÖ ANNIKA LOODUS Lasteaed Mängupesa õpetaja Viljandi 2010 Õpetajate eri: Sissejuhatus pärimusmuusikasse Sissejuhatus Rahvamängud

Rohkem

Harry Serbias 2014

Harry Serbias 2014 Nutuvõru; naerukurr / kes teise rõõmust rõõmu näeb, kes teise õnnetusest osa saab. Foto 1. Sisenemine!!! Tere! Foto 2. Suurim kordaminek ehk sel aastal oli, et osutusin intervjueeritavaks Serbia televisiooni

Rohkem

Lexus_pricelist_03_2015_EE

Lexus_pricelist_03_2015_EE CT 200h DIN hj 136 CO 2, keskmine (g/km) 82 Kütusekulu, keskmine (l/100 km) 3,6 CT 200h Eco CT 200h Comfort CT 200h Comfort + nahksisu CT 200h Comfort + LED-esituled + nutikas sisenemine + toonklaas CT

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritö

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritö TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritöö finants- ja kindlustusmatemaatika erialal (30 EAP)

Rohkem

Tartu Herbert Masingu Kooli üldtööplaan 2018/2019 õppeaasta September Sündmused Sihtrühm Vastutajad/ meeskond Mihklikuu 2018/2019 kooliaasta 1 alguse

Tartu Herbert Masingu Kooli üldtööplaan 2018/2019 õppeaasta September Sündmused Sihtrühm Vastutajad/ meeskond Mihklikuu 2018/2019 kooliaasta 1 alguse Tartu Herbert Masingu Kooli üldtööplaan 2018/2019 õppeaasta September Sündmused Sihtrühm Vastutajad/ meeskond Mihklikuu 2018/2019 kooliaasta 1 alguse aktus kell 12.00 kooli võimlas 12 Hoolekogu 14 Tervisepäev

Rohkem

Vähi läbilöögivalu Teave tervishoiutöötajale

Vähi läbilöögivalu Teave tervishoiutöötajale Vähi läbilöögivalu Teave tervishoiutöötajale Vähi läbilöögivalu (vllv) on mitmekesine 1 Valu on kõige sagedasem sümptom, mida seostatakse vähkkasvajaga või selle raviga. 2 Enamikul vähipatsientidest esineb

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem