prakt8.dvi

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "prakt8.dvi"

Väljavõte

1 Diskreetne matemaatika praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada nii nagu joonisel 1. b) Ei. Graaf sisaldab alamgraafi, mis on homöomorfne graafiga K 3,3 (joonis 2). Joonis 1. Joonis a) Leida kõik naturaalarvud n, mille korral n-mõõtmeline kuup Q n on tasandiline. b) Leida kõik naturaalarvud n, mille korral 2n-tipuline graaf 1

2 ... on tasandiline. c) Leida kõik naturaalarvud n, mille korral tsükli C n täiend C n on tasandiline. Lahendus. a) GraafidQ 1,Q 2,Q 3 on tasandilised. GraafQ 4 ei ole tasandiline, sest ta ei sisalda tsükleid pikkusega 3, aga tema tippude arvn = 16 ja servade arv m = 32 ei rahulda võrratust m 2n 4. Graafid Q n, kus n 5, ei ole tasandilised, sest igaüks neist sisaldab alamgraafina graafi Q 4. Seda, et graaf Q 4 ei ole tasandiline, võib põhjendada ka asjaoluga, et ta sisaldab alamgraafi, mis on homöomorfne graafiga K 3,3. Leiame graafis Q 4 kuuetipulise tsükli ning ühendame selle vastastipud tipukaupa lõikumatute ahelatega: b) Graaf on tasandiline iga n korral. Seda võib tõestada näiteks induktsiooniga n järgi. Kui n = 1, siis väide kehtib. Kui n > 1, siis joonistame graafi osa vasakpoolsest otsast kuni servani uv tasandiliselt, seejärel valime ühe kahest tahust, mida piirab serv uv, ning lisame graafi osa servast uv kuni parempoolse otsani, joonistades selle nii, nagu näidatud paremal: u u v v c) Graafid C 3, C 4, C 5 on tasandilised. Graaf C 6 on tasandiline (joonis 3, punktiiriga on tähistatud tsükkel C 6 ). Graaf C 7 ei ole tasandiline, sest ta sisaldab alamgraafi, mis on homöomorfne graafiga K 3,3 (joonis 4, punktiiriga 2

3 Joonis 3. Joonis 4. on tähistatud tsükkel C 7 ). Graafid C n, kus n 8, ei ole tasandilised, sest igaüks neist sisaldab alamgraafina graafi C 7. Graaf C n sisaldab n tippu ja m = n(n 1)/2 n = n(n 3)/2 serva. Et juhul n 6 sisaldab ta tsükleid pikkusega 3, siis tingimusest m 3n 6 saame n < 8, st graaf pole tasandiline, kui n 8. Juht n = 7 tuleb ikkagi eraldi läbi vaadata. 3. Olgu G mingi 24-tipuline 3-regulaarne tasandiline graaf. Leida graafi G tasandilise esituse tahkude arv. Lahendus. Kasutame Euleri valemit n m+t = 2, kus n on graafi tippude arv, m servade arv ja t tahkude arv. Antud graafi G korral n = 24. Et G tipuastmete summa on 24 3 = 72 ja see võrdub servade arvu kahekordsega, siis m = 72 : 2 = 36. Järelikult t = 2 n+m = Graafi G siseümbermõõduks γ(g) nimetatakse selle graafi kõige lühema tsükli pikkust. Tõestada, et kui G on n tipu ja m servaga sidus tasandiline lihtgraaf, mille korral γ(g) 3, siis m γ(g) γ(g) 2 (n 2). Lahendus. Olgu t graafi G tahkude arv. Loendame hulga X = {(T,e): tahk T sisaldab serva e} elemente kahel viisil. Tahkude kaupa loendades saame X tγ(g), sest igal tahul on vähemalt γ(g) serva (aga võib olla ka rohkem). Servade kaupa loendades saame X = 2m, sest iga serv kuulub kahele tahule. Järelikult 2m tγ(g). Euleri valemist t = 2 n+m. Seega 2m (2 n+m)γ(g), millest m γ(g) γ(g) 2 (n 2). 3

4 5. Tõestada, et a) Peterseni graaf (joonis 5) ei ole tasandiline; b) Peterseni graafist ükskõik millise serva kustutamisel saadud graaf ei ole tasandiline. Lahendus. a) Peterseni graafil on 10 tippu ja 15 serva ning tema siseümbermõõt (lühima tsükli pikkus) on 5. Kui Peterseni graaf oleks tasandiline, siis eelmise ülesande põhjal peaks kehtima võrratus 15 5(10 2) ehk , 3 vastuolu. b) Kui Peterseni graafist serva kustutamisel saadud graaf oleks tasandiline, siis peaks analoogiliselt kehtima võrratus , jällegi vastuolu Tasandilist graafi, mille iga tahk (sh välimine) on kolmnurk, nimetatakse triangulatsiooniks. Tõestada, et iga triangulatsioon G sisaldab kahealuselist alamgraafi, millel on 2E(G)/3 tippu. Lahendus. Vaatleme graafi H, mille tippudeks on graafi G tahud ja kaks tippu on ühendatud servaga parajasti siis, kui vastavatel tahkudel graafis G on ühine serv (seda graafi nimetatakse graafiga G duaalseks graafiks). Et G on triangulatsioon, siis graaf H on regulaarne astmega 3. Graafis H ei leidu ka ühtegi silda, sest iga serv kuulub tsüklisse, mis moodustub graafi G ühise tipuga tahkudest. Loengus on tõestatud Tutte i teoreemi järeldusena, et sildadeta 3-regulaarses graafis leidub täielik kooskõla. Selle kooskõla servadele vastavad graafis G tahkude ühised servad. Need moodustavad graafis G kahealuselise alamgraafi, mis koosneb teatavast hulgast eraldiseisvatest graafidest K 2. Selle alamgraafi tippude arv võrdub graafi G tahkude arvuga t. Et G igal tahul on 3 serva ja iga serv kuulub 2 tahule, siis 3t = 2E(G), millest t = 2E(G)/3. Joonis 5. Peterseni graaf Joonis 6. Grötzschi graaf 4

5 7. Leida χ(g), kui G on a) Peterseni graaf (joonis 5); b) Grötzschi graaf (joonis 6). Lahendus. a) Et Peterseni graaf sisaldab paaritut tsüklit, siis χ(g) 3. Et Peterseni graafi puhul (G) = 3 ja graaf ei sisalda 4-tipulist klikki, siis Brooksi teoreemi kohaselt χ(g) 3. Järelikult χ(g) = 3. Peterseni graafi tippude värvimine 3 värviga on kujutatud joonisel 7. b) Grötzschi graafi tipud saab värvida 4 värviga nagu joonisel 8. Oletame, et leidub tippude värvimine 3 värviga 1, 2 ja 3. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et välimisel tsüklil asuvate tippude värvid on järjekorras 1, 2, 3, 2, 3. Siis aga on sisemises ringis oleva viie tipu värvide hulgas kindlasti esindatud kõik kolm värvi 1, 2 ja 3, seetõttu ei saa ühegagi nendest värvidest värvida keskmist tippu. Kokkuvõttes χ(g) = 4. Grötzschi graaf on vähim kolmnurgavaba graaf, mille kromaatiline arv on Brooksi teoreemi sõnastatakse erinevates allikates tihti erineval kujul. Näiteks: a) kui graafis G on tippude maksimaalne aste ülimalt d, kus d 3, ja G ei sisalda (d+1)-tipulist klikki, siis χ(g) d; b) sidusas graafis G kehtib χ(g) = (G)+1 parajasti siis, kui G on kas paaritu tsükkel või täisgraaf. Tõestada, et need kaks kuju on omavahel samaväärsed. Lahendus. a) b) Eeldame, et sidusas graafis G kehtib χ(g) = (G) + 1. Kui (G) = 1, siis sidususe tõttu G = K 2. Kui (G) = 2, siis samuti Joonis 7. Joonis 8. 5

6 sidususe tõttu on graaf tsükkel, ja nimelt paaritu tsükkel, sest paaristsükli tipud saab värvida (G) värviga. Kui (G) 3, siis graaf G on ( (G)+1)- tipuline täisgraaf, sest vastasel korral oleks tegemist sidusa graafiga, mis ei sisalda ( (G)+1)-tipulist klikki ning punkti a) põhjal oleks χ(g) (G). Vastupidi, kui G on paaritu tsükkel, siis (G) = 2 ja χ(g) = 3; kui aga G on n-tipuline täisgraaf, siis (G) = n 1 ja χ(g) = n. Mõlemal juhul χ(g) = (G)+1. b) a) Eeldame, et (G) d, kus d 3, ning G ei sisalda (d + 1)- tipulist klikki. Vaatleme graafis G suvalist sidusat komponenti K. Vastava teoreemi põhjal χ(k) (K)+1. Kui K on paaritu lihttsükkel, siis χ(k) = 3 d. Kui K on täisgraaf, siis K tippude arv on ülimalt d, sest muidu leiduks graafis(k+1)-tipuline klikk. Nüüd aga (K) d 1. Järelikultχ(K) (K)+1 d. Kui K ei ole paaritu lihttsükkel ega täisgraaf, siis eelduse ja eelnimetatud teoreemi põhjal χ(k) (K) (G) d. Niisiis on graafi G suvalise sidusa komponendi K tipud värvitavad ülimalt d värviga. Järelikult χ(g) d. 9. Tõestada, et kui lihtgraafil G on n tippu ja m serva, siis χ(g) n 2 n 2 2m. Lahendus. Tähistame χ(g) = k. Graafi G tippude värvimine k värviga määrab graafi G tippude hulgal tükelduse, kus ühe tüki moodustavad sama värvi tipud. Olgu n 1, n 2,..., n k tükkide tippude arvud. Ühegi kahe sama värvi tipu vahel servi ei ole, kõik servad on nende tippude vahel, mis kuuluvad erinevatesse tükkidesse. Värvi i ja värvi j tükkide vahel saab olla maksimaalselt n i n j serva (kui iga tipp esimesest tükist on seotud iga tipuga teisest tükist). Järelikult rahuldab graafi servade arv m võrratust m n i n j. Kasutades võrdust 1 i<j k ( k ) 2 k n i = n 2 i i<j k n i n j

7 ning ruutkeskmise ja aritmeetilise keskmise vahelist võrratust saame ( m 1 ( k ) 2 k n i 2 millest saamegi n 2 i ( 1 k ) k 1 2 n 2 i ) 1/2 1 k ( ( k k k n i, ) 2 1 ( k n i k n 2 n 2 2m. n i ) 2 ) = 1 2 (n 2 1 k n2 ), Ülesanne. Selgitada, milliste graafide puhul kehtib ülesande võrratuses võrdus. 10. Olgu G lihtgraaf, G tema täiend ja n kummagi graafi tippude arv. Tõestada, et χ(g)+χ(g) n+1. Lahendus. Tõestame vastuväiteliselt. Olgu G vähim graaf, mille puhul ülesande võrratus ei kehti. Siis χ(g)+χ(g) n+2. Valime graafist G suvalise tipu v ning vaatleme graafi H = G\v. Selles χ(h)+χ(h) (n 1)+1 = n. Paneme tähele, et χ(g) = χ(h)+1. Tõepoolest, χ(g) χ(h)+1, sest ainult tipule v võib olla vaja uut värvi. Samas χ(g) χ(h), sest H on G alamgraaf. Kui oleks χ(g) = χ(h), siis võrratuste χ(g)+χ(g) n+2 ja χ(h) + χ(h) n tõttu oleks χ(g) χ(h) + 2. See on aga võimatu, sest H = G \ v. Järelikult χ(g) = χ(h) + 1. Analoogiliselt χ(g) = χ(h) + 1. Seega ainsa võimalusena χ(g)+χ(g) = n+2 ja χ(h)+χ(h) = n. Nüüd deg G (v) χ(h), sest vastasel korral oleks χ(g) = χ(h). Analoogiliselt deg G (v) χ(h). Seega n 1 = deg G (v)+deg G (v) χ(h)+χ(h) = n, vastuolu. 11. Tõestada, et kui χ(g) = k, siis graafis G leidub vähemalt k tippu astmega vähemalt k 1. Lahendus. Olgu H graafi G (sisalduvuse mõttes) vähim alamgraaf, mille puhul χ(g) = k ning olgu v graafi H vähima astmega tipp. Et H on vähim, siis χ(h \ v) = k 1. Kui tipu v aste graafis H oleks ülimalt k 2, siis jääks pärast graafi H\v värvimist k 1 värviga vähemalt üks neist värvidest vabaks tipu v jaoks ning me saaksime graafi H värvida k 1 värviga, vastuolu. Järelikult on iga tipp graafis H astmega vähemalt k 1. Et χ(h) = k, siis on graafis H vähemalt k tippu. Needsamad tipud on ka graafis G kõik astmega vähemalt k 1. 7

8 12. Graafi G nimetatakse k-kriitiliseks, kui χ(g) = k, aga graafi G iga pärisalamgraafi H korral χ(h) < k. a) Kirjeldada kõik 2-kriitilised graafid. b) Kirjeldada kõik 3-kriitilised graafid. Lahendus. a) Ainuke 2-kriitiline graaf on K 2. Kui graaf sisaldaks veel tippe või servi, siis ta ei oleks 2-kriitiline, sest nende tippude või servade eemaldamisel graafi kromaatiline arv 2 ei vähene. b) Sellised graafid on parajasti paaritu pikkusega tsüklid C 2n+1. Et graafi kromaatiline arv on 3, siis ta ei ole kahealuseline. Järelikult sisaldab graaf paaritut tsüklit. Kui graaf sisaldaks veel tippe või servi, siis nende eemaldamisel graafi kromaatiline arv ei vähene ehk graaf poleks 3-kriitiline. 13. Tõestada, et kui G on k-kriitiline, kus k 2, siis a) G on sidus; b) G iga tipu aste on vähemalt k 1. Lahendus. a) Et χ(g) = k, siis graafis leidub sidus komponent K, mille korral χ(k) = k. Kui graafis leiduks veel mõni sidus komponent, siis selle tippude või servade eemaldamisel graafi kromaatilne arv ei väheneks, st graaf poleks k-kriitiline. b) Oletame, et graafis G leidub tipp v, mille aste on ülimalt k 2. Et G on k-kriitiline, siis χ(g \ v) k 1. Siis aga saame ka tipu v värvida ühega nendest k 1 värvist, sest vähemalt üks neist värvidest puudub tipu v naabrite seas. See tähendab, et χ(g) k 1, vastuolu. 14. Tõestada, et χ(g) 1+max min deg H (v). H G v V (H) Lahendus. Kui χ(g) = 1, siis võrratus kehtib. Eeldame, et χ(g) 2. Olgu H graafi G mingi χ(g)-kriitiline alamgraaf. Eelmise ülesande põhjal siis min v V(H) deg H (v) χ(g) 1. Siit χ(g) 1 + min v V(H) deg H (v) 1+max H G min v V (H) deg H (v). 15. Leida graafi kromaatiline polünoom. Leida, mitmel erineval viisil saab graafi tipud värvida 3 värviga. a) b) 8

9 Lahendus. Kromaatilist polünoomi on võimalik arvutada loengus tõestatud rekurrentse seose abil, kasutades teda kas kujul P G (k) = P G e (k) P G/e (k) ja suunates liikmeid järk-järgult nullgraafi poole, või kujul P G e (k) = P G (k)+ P G/e (k) ja suunates liikmeid täisgraafi poole kuni tekivad graafid, mille kromaatilised polünoomid on lihtsasti leitavad (nullgraaf, täisgraaf, puu vms). a) Kasutades võrdustp G e (k) = P G (k)+p G/e (k), saame (tähistades graafi kromaatilist polünoomi graafi endaga) = + = k(k 1)(k 2)(k 3)+k(k 1)(k 2) = b) Kasutades võrdust P G (k) = P G e (k) P G/e (k), saame = k 4 5k 3 +8k 2 4k. = = k(k 1) 3 k(k 1) 2 = k 4 4k 3 +5k 2 2k. Kolme värviga saab graafi G tipud värvida P G (3) viisil. Juhul a) saame P G (3) = 6, juhul b) aga P G (3) = Tõestada, et kui graafis G leidub sild e, siis P G/e (k) = 1 P k G e(k). Lahendus. Olgu e = xy ning v tipp, mis vastab kokkutõmmatud servale e graafis G/e. Silla e kustutamisel laguneb graaf G kaheks sidusaks komponendiks K 1 ja K 2, mis sisaldavad vastavalt tippe x ja y. Igale graafi G/e värvimisele vastab graafi G e selline värvimine, kus tipud u ja v on sama värvi, ja vastupidi. Olgu tipu v värv näiteks i. Graafi K 1 värvimisi, kus tipp x on värvi i, on 1P k K 1 (k), sest värve on kokku k ja neid võib värvimises vabalt permuteerida. Graafi K 2 värvimisi, kus tipp x on värvi i, on 1 P k K 2 (k). Järelikult graafi G e värvimisi, kus tipud x ja y on värvi i, on 1P k K 1 (k) 1P k K 2 (k)). Sama arutlus kehtib iga värvi i korral. Järelikult P G/e (k) = k( 1 P k K 1 (k) 1 P k K 2 (k)) = 1 P k K 1 (k)p K2 (k) = 1 P k G e(k). 17. a) Tõestada, et kui lihtgraafis G on n tippu ja m serva, siis tema kromaatilise polünoomi liikme k n 1 kordaja on m. b) Järeldada sellest, et ei leidu graafi, mille kromaatiline polünoom on k 4 3k 3 +3k 2. Lahendus. a) Tõestame induktsiooniga graafi G servade arvu m järgi, et P G (k) = k n +mk n , kus punktiir tähistab polünoomi astmega ülimalt n 2. Kui m = 0, siis G = K n ning P G (k) = k n ning väide kehtib. Olgu nüüd m 1. Valime graafist G mingi serva e. Siis P G (k) = P G e (k) P G/e (k). Graafil G e on n tippu ja m 1 serva, graafil G/e aga n 1 tippu ja ülimalt 9

10 m 1 serva. Induktsiooni eelduse põhjal P G e (k) = k n (m 1)k n ning P G/e (k) = k n Järelikult P G (k) = k n mk n , kus punktiir tähistab polünoomi astmega ülimalt n 2. b) Tegemist peaks olema graafiga, millel on 3 serva. Teiselt poolt, kui k = 1, siis polünoomi väärtus on nullist erinev, st see graaf peaks olema värvitav ühe värviga. Niisugune graaf aga ei saa sisaldada ühtegi serva. Koduülesanded Valida järgmistest ülesannetest (vähemalt) kaks ja esitada nende lahendused. 18. Tõestada, et kui G on n-tipuline tsükkel C n, siis P G (k) = (k 1) n + ( 1) n (k 1). Lahendus. Kasutades seost P G (k) = P G e (k) P G/e (k), saame P Cn (k) = P An (k) P Cn 1 (k), kus A n tähistab n-tipulist ahelat. Avaldades selles seoses viimase liikme uuesti sama seose kaudu, saame järk-järgult P Cn (k) = P An (k) P An 1 (k)+p An 2 (k)...+( 1) n 2 P A2 (k). Et A n on puu, siis P Ai (k) = k(k 1) i 1 ning P Cn (k) = k(k 1) n 1 k(k 1) n 2 +k(k 1) n 3...+( 1) n 2 k(k 1). See on geomeetriline jada algliikmega a = ( 1) n 2 k(k 1) ja teguriga r = ( 1)(k 1) = 1 k. Geomeetrilise jada summa valemi põhjal P Cn (k) = ( 1) n 2 k(k 1) 1 ( 1)n 1 (k 1) n 1 = 1 ( 1)(k 1) = ( 1) n 2 (k 1) ( 1) 2n 3 (k 1) n = (k 1) n +( 1) n (k 1). Teine lahendus. Teades P Cn (k) avaldise kuju, võib ülesande väite tõestada ka induktsiooniga. Kui n = 3, siis P C3 (k) = P K3 (k) = k(k 1)(k 2), samas kui avaldis annab(k 1) 3 +( 1) 3 (k 1) = (k 1)((k 1) 2 1) = (k 1)k(k 2). Suurema n korral P Cn (k) = P An (k) P Cn 1 (k) = k(k 1) n 1 ( (k 1) n 1 + ( 1) n 1 (k 1) ) = (k 1) n +( 1) n (k 1). 19. Näitusesaali piirjooneks on n-nurkne hulknurk, mis võib olla mittekumer, aga mille küljed üksteist ei lõika. a) Tõestada, et kui tõmmata hulknurga tippude vahele diagonaalid, mis jaotavad hulknurga sisepiirkonna kolmnurkadeks, siis tekib graaf, mille tipud saab korrektselt värvida 3 värviga. 10

11 b) Tõestada, et näitusesaali nurkadesse saab paigutada ülimalt n 3 valvurit nii, et nende vaateväljad üheskoos katavad kogu näitusesaali. Lahendus. a) Tõestame väite induktsiooniga n järgi. Kui n = 3, siis on tegemist kolmnurgaga, mille tipud saab värvida 3 värviga. Eeldame, et n > 3. Valime mingi diagonaali uv. Jaotame graafi kaheks osaks, millel on ainult diagonaal uv ühine. Induktsiooni eelduse põhjal saab kummagi osa värvida 3 värviga. Vajadusel värve permuteerides saab värvimise koostada nii, et tipud u ja v ühes osas on sama värvi nagu tipud u ja v teises osas. See annab kogu graafi värvimise 3 värviga. b) Jaotame näitusesaali diagonaalide abil kolmnurkadeks. Kolmnurga nurgas istuv valvur näeb kogu kolmnurga sisemust. Punkti a) põhjal saab kõik graafi tipud värvida 3 värviga. Seejuures üks neist värvidest, näiteks värv 1, on selline, mis esineb mitte rohkem kui n tipus. Et iga kolmnurk sisaldab 3 kõiki kolme värvi, siis esineb ka värv 1 igas kolmnurgas. Paigutame valvurid tippudesse, mis on värvitud selle värviga. Siis on nende vaateväljadega kaetud kogu näitusesaal. 20. Moodustame graafist G uue graafi H järgmise konstruktsiooniga. Olgu V(G) = {v 1,v 2,...,v n }. Lisame graafile n+1 uut tippu u ja u 1, u 2,..., u n ning ühendame tipuuiga tipugau i ning iga tipuu i tipu v i kõigi naabritega (i = 1, 2,..., n). Graafi nimetatakse kolmnurgavabaks, kui ta ei sisalda alamgraafi, mis on isomorfne graafiga K 3. OlguGkolmnurgavaba graaf, mille korral χ(g) = k. a) Tõestada, et graaf H on kolmnurgavaba. b) Tõestada, et χ(h) = k +1. Sellest järeldub, et leidub kui tahes suure kromaatilise arvuga kolmnurgavabasid graafe. Lahendus. a) Et tippude u 1,u 2,..., u n vahel servi ei ole, siis võimalik kolmnurk ei saa sisaldada tippu u ega ka mitte rohkem kui ühte tippu tippude u 1, u 2,..., u n hulgast. Et graafis G kolmnurki pole, siis peab võimalik kolmnurk sisaldama täpselt ühte tippu nende tippude hulgast. Ent kui {u a,v b,v c } oleks kolmnurk, siis ka {v a,v b,v c } oleks kolmnurk, sest v b ja v c on ka tipu v a naabrid. Seega leiduks kolmnurk graafis G, mis on võimatu. b) Kõigepealt, χ(h) k+1, sest kui graaf G on värvitud k värviga, siis võime värvida iga u i sama värviga nagu on värvitud v i ning värvida tipu u värviga k + 1. Teiselt poolt, χ(h) > k, sest kui oleks χ(h) = k, siis võime üldisust kitsendamata eeldada, et tipu u värv on k ning tippude u 1, u 2,..., u n värvid k-st erinevad. Et iga tipu v i naabrid on ka tipu u i naabrid, siis 11

12 võime tipud v 1, v 2,..., v n ümber värvida nii, et iga tipp v i on sama värvi nagu tipp u i. See annab meile graafi G tippude värvimise k 1 värviga, vastuolu. 21. Tõestada, et iga kahealuseline tasandiline lihtgraaf, mis on regulaarne astmega 3, sisaldab alamgraafina tsüklit C 4. Lahendus. Et graafi iga tipp on astmega 3, siis graafis leidub tsükkel. Olgu γ graafi lühima tsükli pikkus. Lisaks olgu n graafi tippude arv, m servade arv ja t tahkude arv. Et igal tahul on vähemalt γ serva ja iga serv kuulub kahele tahule, siis 2m γt ehk γ 2m t. Euleri valemi põhjal t = 2 n+m, seega γ 2m 2 n+m. Et graafi iga tipu aste on 3 ja tipuastmete summa on kahekordne servade arv, siis 3n = 2m, millest m = 3n 2. Järelikult γ 3 3n 2 2 n+ 3n 2 = 6n 4+n = n. Et graaf on kahealuseline, siis on kõik tema tsüklid paarisarvulise pikkusega. Viimase võrratuse põhjal on vähima tsükli pikkus väiksem kui 6. Eelnevas saime, et graafis leidub tsükkel, ainukese võimalusena siis on vähima tsükli pikkus 4. See tähendab, et graafis leidub alamgraaf C 4. 12

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers)

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) aknasse ja looge kaks läbipaistvat kihti juurde. Pange

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine ( Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (punktide kogusumma jagatud sooritajate koguarvuga); Mediaan - statistiline keskmine, mis jaotab

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Projekt: Sööbik ja Pisik Tartu Lasteaed Piilupesa Koostajad: Merelle Uusrand ja Ülle Rahv Sihtgrupp: 4 5aastased lapsed Periood: veebruar märts 2017 P

Projekt: Sööbik ja Pisik Tartu Lasteaed Piilupesa Koostajad: Merelle Uusrand ja Ülle Rahv Sihtgrupp: 4 5aastased lapsed Periood: veebruar märts 2017 P Projekt: Sööbik ja Pisik Tartu Lasteaed Piilupesa Koostajad: Merelle Uusrand ja Ülle Rahv Sihtgrupp: 4 5aastased lapsed Periood: veebruar märts 2017 Projekti eesmärk 1. Laps saab teadmisi tervislikest

Rohkem

(Estonian) DM-RBCS Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8

(Estonian) DM-RBCS Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8 (Estonian) DM-RBCS001-02 Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8 SISUKORD OLULINE MÄRKUS... 3 OHUTUSE TAGAMINE... 4

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

IFI6083_Algoritmid_ja_andmestruktuurid_IF_3

IFI6083_Algoritmid_ja_andmestruktuurid_IF_3 Kursuseprogramm IFI6083.DT Algoritmid ja andmestruktuurid Maht 4 EAP Kontakttundide maht: 54 Õppesemester: K Eksam Eesmärk: Aine lühikirjeldus: (sh iseseisva töö sisu kirjeldus vastavuses iseseisva töö

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu Eesti koolioorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. Lahedused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu M tipust A lõigule KL tõmmatud ristlõigu aluspukt (vt.

Rohkem

PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei

PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage

Rohkem

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нул

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нул Surutud varda abiisus (nõtke) Enamai varda otsad kinnitatakse ühe (Joon.1) näidatud neja viisi. Üejäänud kinnitusviiside puhu on kriitii jõudu võimaik määrata üdiatud Eueri vaemiga kp EImin, (1) kus -

Rohkem

prakt9.dvi

prakt9.dvi ikreene maemaaika 2012 9. prakikum Reimo Palm Prakikumiüleanded Järgmii üleandeid aub püüda lahendada kõigepeal ilma näidilahendui vaaamaa. 1. Olgu G idu graaf, mille makimaalne ipuae on 2. Tõeada, e G

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda:

29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 9 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 1. Kasuta ainult korraldajate antud sulepead.. Kasuta

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

EUROOPA KOMISJON Brüssel, XXX [ ](2013) XXX draft KOMISJONI DIREKTIIV / /EL, XXX, millega muudetakse Euroopa Parlamendi ja nõukogu direktiivi 2000/25/

EUROOPA KOMISJON Brüssel, XXX [ ](2013) XXX draft KOMISJONI DIREKTIIV / /EL, XXX, millega muudetakse Euroopa Parlamendi ja nõukogu direktiivi 2000/25/ EUROOPA KOMISJON Brüssel, XXX [ ](2013) XXX draft KOMISJONI DIREKTIIV / /EL, XXX, millega muudetakse Euroopa Parlamendi ja nõukogu direktiivi 2000/25/EÜ (põllumajandus- ja metsatraktorite mootoritest paisatavate

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

Puitpõrandad

Puitpõrandad Vanajamaja koostöös Muinsuskaitseametiga Puitpõrandad Andres Uus ja Jan Varet Mooste 9 mai 2014 Puitpõrandad Talumajade põrandad toetuvad tihti otse kividele, liivale, kruusale. Vahed on täidetud kuiva

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

01_loomade tundmaõppimine

01_loomade tundmaõppimine Tunnikava vorm Õppeaine ja -valdkond: Mina ja keskkond Klass, vanuse- või haridusaste: alusharidus Tunni kestvus: 30+15minutit Tunni teema (sh alateemad): Loomade tundmaõppimine, maal elavad loomad Tase:

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

ArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus

ArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus PILVI TAUER Tallinna Tehnikagümnaasium ArcGIS Online 1.Konto loomine 2.Veebikaardi loomine 3.Rakenduste tegemine - esitlus Avaliku konto loomine Ava ArcGIS Online keskkond http://www.arcgis.com/ ning logi

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

VRB 2, VRB 3

VRB 2, VRB 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013

3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 3D mänguarenduse kursus (MTAT.03.283) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 Teemad Tee leidmine ja navigatsioon Andmete protseduuriline genereerimine Projektijuhtimine Tee leidmine Navigatsiooni võrgustik (navigation

Rohkem

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Meisterdused metsa teemal

Microsoft PowerPoint - Meisterdused metsa teemal 17.Jaanuar 2012.a. Kohtla-Järve Lasteaed Kirju-Mirju Projekti: Keskkonnahariduslikud õppepäevad aktiivõppemeetoditest Kohtla-Järve ja Pärnu lasteaedade õpetajatele avaseminar Vahendid: papptaldrik, niit

Rohkem

VRG 2, VRG 3

VRG 2, VRG 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi

Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi 22.02.2019 Rasmus Kask SA Eesti Vabaõhumuuseum teadur Mis on väärtus? 1) hrl paljude inimeste, eriti asjatundjate (püsiv) hinnang asja, nähtuse või olendi

Rohkem

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc Tallinna Linnavalitsuse sõnumisaatja kasutusjuhend asutuse juhatajale Sisukord 1. Süsteemi sisenemine...2 2. Parooli lisamine ja vahetamine...2 3. Ametnike lisamine ametiasutuse juurde...2 4. Saatjanimede

Rohkem

1

1 1 ENO RAUD PILDID JOONISTANUD EDGAR VALTER 3 Kujundanud Dan Mikkin Illustreerinud Edgar Valter Küljendanud Villu Koskaru Eno Raud Illustratsioonid Edgar Valter Autoriõiguste pärija Külli Leppik Tänapäev,

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc) 4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid

Rohkem

Taskuprinter KASUTUSJUHEND

Taskuprinter KASUTUSJUHEND Taskuprinter KASUTUSJUHEND Täname, et ostsite taskuprinteri Polaroid Mint. Käesoleva kasutusjuhendi eesmärk on anda teile juhiseid toote ohutuks kasutamiseks ja et see ei kujutaks endast kasutajale mingit

Rohkem

loeng2

loeng2 Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE

6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE 6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF 868MHz 3-6 EE 1. KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC

Rohkem

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning seda saab kombineerida teiste Carcassonne laiendustega.

Rohkem

DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei

DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

est_002575_DM-FC indd

est_002575_DM-FC indd (Estonian) DM-FC0001-00 Edasimüüja juhend FC-M820 / FC-M825 SM-BB71 / SM-CR82 OLULINE MÄRKUS See edasimüüja juhend on mõeldud eelkõige professionaalsetele jalgrattamehaanikutele. Kasutajad, kes ei ole

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend I-KLASSI ÕLIPÜÜDURITE PAIGALDUS- JA HOOLDUSJUHEND PÜÜDURI DEFINITSIOON JPR -i õlipüüdurite ülesandeks on sadevee või tööstusliku heitvee puhastamine heljumist ja õlijääkproduktidest. Püüduri ülesehitus

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

SQL

SQL SQL Kuues loeng 3GL inside 4GL Protseduurid Funktsioonid Tavalised Funktsioonid (üks väljund) Ilma väljundita Protseduurid Viitargumentide kasutamise võimalus Tabel-väljundiga Protseduurid Create function

Rohkem