Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib üles kvalitatiivselt uusi probleeme, eeskätt just seoses diferentsiaal- ja integraalarvutusega. Täelepanuväärne on, et nende probleemide olemus ei sõltu oluliselt ruumi dimensioonist m, kuigi suurema m puul on probleemid teniliselt keerulisemad. Nendel kaalutlustel piirdume me järgnevas enamasti kae muutuja funktsioonide vaatlemisega. Osatuletised. Olgu A (a, b) kae muutuja funktsiooni w f (x, y) määramispiirkonna D R sisepunkt. Kui fikseerida teine muutuja y b, siis seosega f 1 (x) : f (x, b). on määratud üe muutuja funktsioon f 1 (nn. osafunktsioon) määramispiirkonnaga {x R (x, b) D}. Kuna A on ulga D sisepunkt, siis leidub tal ümbrus U δ (A), mis sisaldub ulgas D. Funktsioon f 1 on seega määratud punkti a R ümbruses (a δ, a δ) (kontrollida!). Kui funktsioonil f 1 on punktis a tuletis f 1 f (a, b) f (a, b) (a), (1) 0 siis seda nimetatakse kae muutuja funktsiooni f osatuletiseks punktis A (a, b) muutuja x järgi ning täistatakse Seega f (a, b) või f (a, b) (samuti ka f x (a, b) või f x (A) ). df (x, b) dx xa f (x, b) xa. Analoogiliselt, kui fikseerida esimese muutuja väärtus x a, saame üe muutuja y osafunktsiooni f (x) : f (a, x), see on määratud punkti b ümbruses (b δ, b δ). Kui eksisteerib tuletis f f (a, b ) f (a, b) (b), () 0 siis seda arvu nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks punktis A muutuja y järgi ning täistatakse f (a, b), (samuti ka f y (a, b) või f y (A) ).
3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Näide 1. Olgu f (x, y) : e xy sin (xy). Siis f on määratud kogu xy-tasandil R ning f (x, y) y (e xy cos (xy)) ja f (x, y) x (e xy cos (xy)). Osatuletiste olemasolu ei garanteeri funktsiooni pidevust. Näiteks seosega { xy, kui (x, y) (0, 0), x w(x, y) : y 0, kui (x, y) (0, 0) määratud funktsioonil w on punktis 0 mõlema muutuja järgi osatuletised (veenduda!), kuid ta ei ole selles punktis pidev. Nimelt, punktide X n : ( 1, 1 n n) korral 1 X n 0 n 1 n 1 0 (n ) n (s.t. jada (X n ) koondub punktiks 0), kuid w (X n ) 1 n n 1 iga n korral, seega w (X n ) 0 w (0). Lause koaselt paragravist ei ole w punktis 0 pidev. Osatuletiste geomeetriline täendus. Olgu D R kae muutuja funktsiooni z f (x, y) määramispiirkond. Punktide ulka {(x, y, f (x, y)) (x, y) D} kolmemõõtmelises ruumis R 3 nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Funktsiooni f graafikut nimetatakse tavaliselt pinnaks, seost z f (x, y) selle pinna võrrandiks. Olgu A (a, b) määramispiirkonna D punkt. Moodustame tasandi x a, see on tasand, mis läeb läbi punkti A ja on paralleelne yz-tasandiga. Ta lõikab pinda z f (x, y), täistame nende lõikejoone sümboliga l 1. Litne on näa, et l 1 on osafunktsiooni f 1 graafik. Kui punktis A eksisteerib osatuletis f(a,b) f 1 (a), siis see on joone l 1 puutuja tõusunurga tangens punktis A (a, b, f (a, b)) (selgitada!). Samamoodi, kui lõigata pinda z f (x, y) tasandiga y b, siis lõikejoon l on muutuja y osafunktsiooni f graafik ning osatuletis f(a,b) on punktis A (a, b, f (a, b)) joonele võetud puutuja tõusunurga tangens.. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus Funktsioonide uurimisel on nii teoreetilisest kui ka praktilisest seisukoast lätudes oluline küsimus, milline on funktsiooni väärtuste muutumise iseloom argumendi vaadeldaval muutumisel. Just selle probleemi käsitlemiseks defineeritakse üe muutuja funktsioonide jaoks pidevus ja diferentseeruvus. Pidevus on üldtopoloogiline mõiste, selle defineerimine on ka mitme muutuja funktsioonide puul litne.
Matemaatiline analüüs IV 3 Diferentseeruvusega on asi keerulisem. Eelmises punktis tõime näite funktsioonist w, millel on ruumis R olemas osatuletised, kuid ta ei ole punktis 0 pidev. Samas teame, et üe muutuja funktsioonide puul on diferentseeruvus oluliselt tugevam tingimus kui pidevus. Niisiis, putformaalselt võttes võime väita, et osatuletiste olemasolu ei ole see omadus, mis vastaks üe muutuja funktsioonide diferentseeruvusele. Sisuliselt asjale läenedes märgime, et osatuletised kirjeldavad funktsiooni käitumist antud punkti ümbruses vaid üe konkreetse argumendi muutumisel. Seejuures ei anna nad mingit informatsiooni funktsiooni väärtuste muutumise kota argumentide samaaegsel muutumisel. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvuse mõiste defineerimisel lätume nn. diferentsiaalarvutuse põilemmast: üe muutuja funktsioon g on punktis a diferentseeruv parajasti siis, kui leidub selline punktis a pidev funktsioon G g, et g (x) g (a) G g (x) (x a), sel juul g (a) G g (a). Olgu f : D R kae muutuja funktsioon ja olgu A (a, b) määramispiirkonna D sisepunkt. Täistame sümboliga f funktsiooni f muudu punktis A, mis vastab argumentide muutudele ja, s.t. f : f (A (, )) f (A) f (a, b ) f (a, b). Definitsioon. Funktsiooni f nimetatakse diferentseeruvaks punktis A (a, b), kui 1) tema muut f avaldub kujul f M N, (3) kus M ja N on arvud, mis ei sõltu argumentide muutudest ja, ning ) (, ) on kõrgemat järku lõpmata väike suurus kui (, ) 1, s.t. (, ) (, ) 0 1 0. (4) Avaldist d A f : M N nimetatakse funktsiooni f täisdiferentsiaaliks punktis A. Definitsiooni tingimusi (3) ja (4) kokku võttes võime öelda, et funktsioon f on punktis A diferentseeruv parajasti siis, kui leiduvad sellised arvud M ja N, et f (X) f (A) M (x a) N (y b) X A X A 0. Lause 1 Punktis A diferentseeruv funktsioon f on selles punktis pidev. Tõestus. Eeldame, et on täidetud tingimused (3) ja (4), ning näitame, et X A f (X) f (A) ek X A (f (X) f (A)) 0. Täistame : x a ja : y b. Kuna X A, siis 0 ja 0. Seose (4) põjal (1, ) 0 0 (põjendada!), mistõttu seosest (3) saame Lause on tõestatud. (f (X) f (A)) X A f 0. (, ) 0
4 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Lause Kui funktsioon f on punktis A diferentseeruv, siis on tal selles punktis osatuletised ning muut f esitub kujul f. (5) Tõestus. Kui võtta seoses (3) : 0 ja 0, siis eksisteerib piirväärtus f (a, a) f (a, b) 1 0 M 0 M. 1 0 1 0 Analoogiliselt veendutakse, et f(a) N. Täisdiferentsiaal. Kui funktsioon f on punktis A diferentseeruv, siis lause koaselt avaldub tema täisdiferentsiaal d A f kujul d A f : dx dy. Seega f d A f. Nagu teame, ei garanteeri osatuletiste f(a) ja f(a) olemasolu üldjuul veel funktsiooni f diferentseeruvust punktis A (selgitada!). Küll aga garanteerib selle, nagu selgub järgmisest lausest, pidevate osatuletiste olemasolu. Lause 3 Kui funktsioonil f on punktis A (a, b) pidevad osatuletised f punktis A diferentseeruv. f ja, siis f on Tõestus. Eeldame, et osatuletised f f ja on punktis A pidevad. Esitame Lagrange i keskväärtusvalemi abil funktsiooni f muudu kujul f f (a, b ) f (a, b) f (a, b ) f (a, b ) f (a, b ) f (a, b) f (a θ 1, b ) kus θ 1, θ (0, 1) (selgitada!). Kui täistada siis saame seose 1 : f (a θ 1, b ) f f (a, b) f (a, b θ ), f (a, b), : f (a, b θ ) f (a, b) 1. See on avaldis (3), väite tõestuseks on vaja veenduda, et (1, ) 0 1 1 f (a, b), 0.
Matemaatiline analüüs IV 5 Paneme täele, et 1 1 1 ning (tänu osatuletiste pidevusele) 1 1 1 f (a θ 1, b ) f (a, b) 1 0, (, ) 0 (, ) 0 f (a, b θ ) f (a, b) 0 (, ) 0 (, ) 0 (põjendada!). Seega 1 0 protsessis (, ) 0. Lause on tõestatud. 1 Lause 3 ütleb, et kui kae muutuja funktsioonil on antud punktis A (a, b) pidevad osatuletised, siis need kirjeldavad funktsiooni käitumist mitte ainult sirgetel x a ja y b, vaid selle punkti teatavas ümbruses. Näide. Osatuletiste pidevus ei ole tarvilik tingimus funktsiooni diferentseeruvuseks. Olgu { (x y) sin 1, kui x y, f (x, y) : x y 0, kui x y. Siis ning f (x, y) f (x, x) millest järeldub, et osatuletis f Analoogiliselt kontrollitakse, et f (x y) sin 0 f (x ) f (x, x) 1 x y cos 1 x y (x y) 0 sin 1 0 0, ei ole pidev punktis 0 (tegelikult kogu sirgel x y). ei ole punktis 0 pidev. Nimelt, f (x, y) (x y) sin 1 x y cos 1 x y (x y) ja f(y,y) 0 (kontrollida!). Näitame, et f on punktis 0 diferentseeruv. Tõepoolest, f (X) f (0) f(0) x f(0) y X { (x y) x sin 1, y x y kui x y, 0, kui x y (kontrollida!), võrratuse (x y) x y sin 1 x y (x y ) x y ( x y x y )
6 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine tõttu saame (veenduda!). X 0 f (X) f (0) f(0) X x f(0) y 0 Graafiku puutujatasand. Eeldame, et funktsioon f on punktis A diferentseeruv. Täistades X (x, y) : (a, b ) (s.t. x : a ja y : b ), c : f (a, b) ja z : f (x, y), saame tingimuse (3) kirjutada kujul kus X A 0. Võrrand (x a) (y b) z c M (x a) N (y b), (6) z c M (x a) N (y b) (7) kirjeldab teatavat tasandit, millel paikneb punkt A : (a, b, c) (kontrollida!). Lause koaselt M f(a,b) ja N f(a,b), seega määrab seos (6) (ek (3)) üeselt tasandi (7). Seda tasandit nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujatasandiks punktis A. Esitame puutujatasandi definitsiooni. Definitsioon. Kae muutuja funktsiooni z f (x, y) graafiku puutujatasandiks punktis A : (a, b, c) nimetatakse sellist tasandit, mille applikaadi (s.o. z-koordinaadi) ja funktsiooni väärtuse vae on protsessis X A, kus X (x, y) ja A (a, b), kõrgemat järku lõpmata väike kui X A (x a) (y b). Puutujatasandi võrrandist (7) saame muuulgas, et d A f f(a) f(a) m z c. Seega kirjeldab funktsiooni f täisdiferentsiaal punktis A (a, b) funktsiooni graafikule punktis A : (a, b, f (a, b)) võetud puutujatasandi applikaadi muutu, mis vastab argumentide muutudele ja. m-muutuja funktsiooni osatuletised ja diferentseeruvus. Analoogiliselt kae muutuja funktsioonidega defineeritakse m muutuja funktsiooni w f (x 1,..., x m ) osatuletised f f 1,..., m. Öeldakse, et f on punktis A (a 1,..., a m ) diferentseeruv, kui ketib võrdus f : f (a 1,..., a m m ) f (a 1,..., a m ) kus (1,..., m) 0 1... 0. Avaldist... m, 1 m d A f :... 1 m : m dx 1... 1 dx m m nimetatakse funktsiooni f täisdiferentsiaaliks punktis A. Definitsioon. Kui funktsioonil f : D R, kus D R m on latine piirkond, on ulgas D pidevad osatuletised f f 1,..., m, siis öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas D pidevalt diferentseeruv.
Matemaatiline analüüs IV 7 3. Liitfunktsiooni diferentseerimine Olgu w f (u, v) kae muutuja funktsioon määramispiirkonnaga Q, kus argumendid u, v on omakorda kae muutuja funktsioonid u ϕ 1 (x, y), v ϕ (x, y). Eeldame, et funktsioonidel ϕ 1 ja ϕ on üine määramispiirkond D ning (ϕ 1 (X), ϕ (X)) Q iga X D korral. Defineerime ulgas D liitfunktsiooni F seosega F (x, y) : f (ϕ 1 (X), ϕ (X)) f (ϕ 1 (x, y), ϕ (x, y)). (8) ja ϕ (A) Lause 4 Kui funktsioonidel ϕ 1 ja ϕ on punktis A (a, b) osatuletised ϕ 1(A) ning funktsioon f on punktis B : (ϕ 1 (A), ϕ (A)) diferentseeruv, siis liitfunktsioonil F on punktis A osatuletis ϕ 1 (A) u ϕ (A). Tõestus. Olgu argumendi x muut punktis A. Täistame u : ϕ 1 (a, b) ϕ 1 (a, b), v : ϕ (a, b) ϕ (a, b) ja F : F (a, b) F (a, b). Seejuures Paneme täele, et F f (ϕ 1 (a, b), ϕ (a, b)) f (ϕ 1 (a, b), ϕ (a, b)) f (b 1 u, b v) f (b 1, b ) f. u v 0 (9) 0 0 (põjendada!). Kuna funktsioon f on punktis B diferentseeruv, siis (vrd. (5)) kus Seega ning kuna eksisteerib 0 u v F f F u v, u 1 u 0. (10) u 1 0 u v u 0 u u ( u ) ( ) v 1 0 v (11) ( 0 ) ( u 0 ) v ( ϕ1 ) ( ) (A) ϕ (A),
8 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine siis (eeldusel, et u v 0) tingimustest (9) ja (10) järeldub u v 0 1 0 u v 1 0 u v u v 0 u 0 u v u v 0 0 v 0 (selgitada!). Võrdusest (11) saame Lause on tõestatud. F 1 0 u ϕ 1 (A) u u 0 u ϕ (A). v 1 0 Analoogiliselt veendutakse, et ketib valem ϕ 1 (A) u ϕ (A), kui on olemas osatuletised ϕ 1(A) ja ϕ (A) ning funktsioon f on punktis B diferentseeruv. Lause 5 Kui funktsioonid ϕ 1 ja ϕ on punktis A diferentseeruvad ning funktsioon f on diferentseeruv punktis B (ϕ 1 (A), ϕ (A)), siis liitfunktsioon F on punktis A diferentseeruv. Tõestus. Olgu ja funktsiooni F argumentide muudud punktis A (a, b). Meie eesmärk on veenduda, et kus (1, ) 0 β 1 F : F 1 (a, b ) F 1 (a, b) β, 0. Täistame (erinevalt eelmise tõestuse täistustest!) u : ϕ 1 (a, b ) ϕ 1 (a, b), v : ϕ (a, b ) ϕ (a, b). Funktsioonide ϕ 1 ja ϕ diferentseeruvusest tulenevad seosed kus u ϕ 1 (A) ϕ 1 (A) (, ) 0 1 1 1, v ϕ (A) 0, (, ) 0 1 ϕ (A), (1) 0. (13) Punktis B võtame funktsiooni f argumentide muutudeks u 1 ja u, tänu eeldusele diferentseeruvusest saame F f u v, (14) u 1 u
Matemaatiline analüüs IV 9 kusjuures ( u, v) 0 0. (15) u v Asendame u ja v seostest (1) valemisse (14): ( ϕ1 (A) F ϕ ) ( 1 (A) ϕ (A) 1 ϕ ) (A) u ( ) ( ) ϕ 1 (A) ϕ (A) ϕ 1 (A) ϕ (A) β u u 1 β, kus β : u 1 Väite tõestuseks on vaja veenduda, et (, ) 0 β 1. 0. Kõigepealt paneme täele, et (vrd. (1)) u 1 ϕ 1 (A) ϕ 1 (A) 1 ϕ 1 (A) ϕ 1 (A) 1, 1 v 1 ϕ (A) ϕ (A), 1 1 1 1 seega on u v 1 u 1 ja v 1 protsessis (, ) 0 tõkestatud suurused. on selles protsessis tõkestatud, järelikult Täendab, ka (, ) 0 1 tingimuse (15) tõttu. Seepärast (vrd. (13)) (, ) 0 u β 1 (, ) 0 Lause on tõestatud. 1 1 u v (, ) 0 u v 1 (, ) 0 1 (, ) 0 0 1 0.
10 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Järeldus 6 Kui üe muutuja funktsioonid u ϕ 1 (x) ja v ϕ (x) on punktis a R diferentseeruvad ning kae muutuja funktsioon w f (u, v) on diferentseeruv punktis B : (ϕ 1 (a), ϕ (a)), siis seosega F (x) : f (ϕ 1 (x), ϕ (x)) määratud üe muutuja funktsioon F on diferentseeruv punktis a. Seejuures F (a) u ϕ 1 (a) ϕ (a). (16) Lause 7 (keskväärtusteoreem). Olgu funktsioon f pidev punktides A (a, b) ja A (a, b ) ning diferentseeruv neid punkte üendaval sirglõigul [A, A ]. Siis leidub selline punkt C (c, d) [A, A ], et f (A ) f (A) f (C) (a a) f (C) (b b) (d C f) (A A). Tõestus. Lõik [A, A ] on esitatav võrrandiga X X (t) ta (1 t) A (0 t 1) (vt. 1). Moodustame üe muutuja liitfunktsiooni F (t) : f (X (t)), see on lõigus [0, 1] pidev ja vaemikus (0, 1) diferentseeruv. Kuna siis valemi (16) koaselt x (t) ta (1 t) a ja y (t) tb (1 t) b, F (t) f (X (t)) (a a) f (X (t)) (b b) (0 < t < 1). Üe muutuja funktsiooni keskväärtusteoreemi põjal leidub t 0 (0, 1) omadusega F (t 0 ) F (1) F (0). Võtame C : X (t 0 ), siis Lause on tõestatud. f (B) f (A) F (1) F (0) F (t 0 ) f (C) (a a) f (C) (b b). Liitfunktsiooni täisdiferentsiaal. Vaatleme (nii nagu käesoleva punkti alguses) seosega (8) määratud kae muutuja liitfunktsiooni F. Eeldame, et funktsioonid ϕ 1 ja ϕ on punktis A D ning funktsioon f punktis B : (ϕ 1 (A), ϕ (A)) diferentseeruvad. Lause 5 koaselt eksisteerib df dx dy ( ϕ 1 (A) ϕ (A) u ( ϕ1 (A) dx ϕ ) 1 (A) dy u u dϕ 1 (A) dϕ (A) ) dx ( ϕ 1 (A) u ( ϕ (A) dx ϕ (A) dy ϕ (A) ) ) dy
Matemaatiline analüüs IV 11 ek lüemalt df f f du dv. (17) u See on sama valem, mille me saaksime funktsiooni f täisdiferentsiaali jaoks juul, kui u ja v oleksid sõltumatud muutujad. Seetõttu öeldakse, et täisdiferentsiaali kuju on invariantne muutuja vaetuse sutes. Näide 3. Kuna f df, kusjuures on protsessis (, ) 0 kõrgemat järku lõpmatu väike suurus kui 1, siis saab täisdiferentsiaali abil arvutada funktsiooni ligikaudseid väärtusi. Olgu vaja arvutada 1, 0 3 1, 97 3. Vaatleme funktsiooni f (x, y) : x 3 y 3, punkt A : (1, ) on tema määramispiirkonna sisepunkt. Olgu : 0, 0, : 0, 03, siis 1, 03 1, 97 3 f (a, b ) f (a, b) f 1 3 3 [ 3 3x x 3 y 0, 0 3y 3 0, 03 x 3 y3 ], 95 x1 y Sõnastame mõned eespool tõestatud väited ka üldisel juul. Olgu w f (u 1,..., u l ) ulgas Q R l määratud l muutuja funktsioon, kusjuures u k ϕ k (x 1,..., x m ) on iga k 1,..., l korral määratud ulgas D R m ja (ϕ 1 (x 1,..., x m ),..., ϕ l (x 1,..., x m )) Q iga (x 1,..., x m ) D korral. 1 0. Kui eksisteerivad osatuletised ϕ k(a) i (k 1,..., l) ja f on punktis B : (ϕ 1 (A),..., ϕ l (A)) diferentseeruv, siis ketib valem i ϕ 1 (A)... u 1 i ϕ l (A). u l i 0. Kui funktsioonid ϕ k on diferentseeruvad punktis A ja funktsioon f on diferentseeruv punktis B, siis funktsioon F on samuti punktis A diferentseeruv. 4. Tuletis antud suunas. Gradient Olgu kolme muutuja funktsioon w f (x, y, z) määratud punkti A (a, b, c) mingis ümbruses { } U δ (A) X (x, y, z) X A (x a) (y b) (z c) < δ ja olgu A 1 mingi fikseeritud punkt selles ümbruses. Tõmbame läbi punktide A ja A 1 sirge, millel loeme positiivse suunaks vektori AA 1 : l suuna. Fikseerime sellel sirgel mingi punkti X, täistame { X A, kui AX suund ütib vektori l suunaga, AX : X A vastupidisel juul.
1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Definitsioon. Kui eksiteerib piirväärtus f (X) f (A) X A AX :, siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks punktis A suunas l. Kui vektori l suund ütib x-telje (y-telje, z-telje) suunaga, siis tuletis selles suunas on osatuletis muutuja x (muutuja y, muutuja z) järgi (põjendada!). Tuletise f(a) arvutamiseks täistame tätedega, β ja γ nurgad, mille vektor l moodustab vastavalt x-, y- ja z-teljega. Täistame veel t : AX. Pidades silmas, et x a, y b ja z c on vektori AX projektsioon vastavalt x-, y- ja z-teljele (kontrollida!), saame võrdused x a t cos, y b t cos β, z c t cos γ. Me saame funktsiooni f esitada üe muutuja funktsioonina seosega F (t) : f (a t cos, b t cos β, c t cos γ), seejuures F (0) t 0 F (t) F (0) t X A f (X) f (A) AX Teisalt on F liitfunktsioon, selle diferentseerimise reeglite koaselt. F (0) x (t) cos cos β y (t) z z (t) (18) z cos γ. Märgime e : (cos, cos β, cos γ), see on vektori l suunaline üikvektor. Definitsioon. Kolme muutuja funktsiooni w f (x, y, z) gradiendiks ) punktis A (a, b, c) nimetatakse kolmemõõtmelist vektorit : grad f (A). ( f(a), f(a), f(a) z Võrdusest (18) saame ( grad f (A), ) e (skalaarkorrutis) grad f (A) e cos ϕ, kus ϕ on nurk vektorite grad f (A) ja e vael. Niisiis, 1) tuletise f(a) väärtus on maksimaalne parajasti siis, kui ϕ 0, s.t. kui vektori l suund ütib gradiendi suunaga, ) juul l grad f (A) ketib võrdus f(a) gradf (A). Teiste sõnadega, grad f (A) määrab suuna, mille sutes punktis A võetud tuletis on maksimaalne, seejuures see maksimaalne väärtus on gradiendi pikkus.