XV kursus

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "XV kursus"

Väljavõte

1 KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga f() leitav.. Funktsiooni muutumispiirkonna (Y) moodustab funktsiooni väärtuste ( f() ) hulk.. Argumendi väärtuseid, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks ja tähistatakse tavaliselt X = {;...; n}. Funktsiooni y = f() nullkohtade leidmiseks tuleb lahendada võrrand f() =.. Argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed (negatiivsed) nimetatakse vastavalt funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (negatiivsuspiirkonnaks) ning tähistatakse X + (X - ). Funktsiooni y = f() positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb lahendada võrratus f() > ning negatiivsuspiirkonna leidmiseks lahendada võrratus f() <. a; b kasvavaks, kui > f( )>f( ) ja 5. Funktsiooni y = f() nimetatakse vahemikus vastavat vahemikku tähistatakse X ning kahanevaks, kui > f()<f() ja tähistatakse sümboliga X. 6. Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima ( vähima) väärtuse, nimetatakse funktsiooni ekstreemumkohtadeks ( maksimum- ja miinimumkohad) ja tähistatakse X e. 7. y = f() on paarisfunktsioon, kui f(-) = f(). Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline y -telje suhtes. y = f() on paaritu funktsioon, kui f(-) = - f(). Paaritu funktsiooni graafik on alati sümmeetriline sirge y = suhtes 8. Funktsioon y = f() on perioodiline funktsioon, kui F( + T ) = f(), kus T on funktsiooni periood ) Võrdeline seos (lineaarfunktsioon, kus vabaliige puudub) avaldub valemina y = a, kus võrdetegur a. Võrdelise seose omadus: üks positiivne suurus sõltub teisest võrdeliselt, kui ühe suuruse kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus kasvab(kahaneb ) sama arv korda. Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti. Kui võrdetegur a, siis graafik läbib koordinaattasandi I ja III veerandit, kui a <, siis paikneb graafik II ja IV veerandis. Näide. y = -, a = - < y =, a = >

2 a ) Pöördvõrdeline seos y, kus a R ja a. Pöördvõrdelise seose omadus: üks positiivne suurus sõltub teisest pöördvõrdeliselt, kui ühe suuruse kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus kahaneb (kasvab) sama arv korda. Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikuks on hüperbool, mille harud asuvad I ja III veerandis, kui a > ning II ja IV veerandis, kui a <. Näide. 5 y, a =5 > y, a = - < y y X R \{} Y R \{} X X ; X X X X X e ; X R \{} Y R \{} X X ; X ; X X X X e ) Lineaarfunktsioon avaldub kujul y = a + b, kus a ja b on mistahes arvud ja a. Kui vabaliige b = siis saame võrdelise seose y = a. Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge. Vabaliige b on sirge algordinaat, st. sirge lõikab y-telge punktis (; b). Lineaarliikme kordaja a on sirge tõus. Kui a >, siis on tegemist tõusva sirgega ja kui a <, siis langeva sirgega. Näide. 6 Funktsioon y,5 y-telg y,5 5 X R Y R -telg y X X ; X ; X R X X e

3 ) Ruutfunktsioon avaldub kujul y = a + b + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja a. Ruutfunktsiooni y = a + b + c graafikuks on parabool. Kui a >, siis parabooli harud avanevad üles, kui a <, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi a + b + c = lahendid) ja haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena valemist b h a ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni avaldisse ac b ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y ). Parabooli haripunkt on ka tema a ekstreemumpunktiks. Parabool läbib y-telge punktis ( ; c). Näide.Skitseerige ruutfunktsiooni y = graafik ning uurige funktsiooni. Graafik avaneb ülespoole, kuna ruutliikme kordaja on positiivne. Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad, st. ruutvõrrandi = lahendid. Viete i teorremi põhjal saame = ja =. Graafiku haripunkti leiame nullkohtade aritmeetilise keskmisena: h, 5 ja y,5 h 5,5 6, 5 ehk H(,5; -,5) Parabool läbib y-telge punktis ( ; 6). Joonestamiseks leiame veel lisapunkte. Näiteks = ( = ). X R Y,5; X {; } X, X ; ;,5 ;,5,5 X ; X P,5; (haripunkt on antud juhul ka miinimumpunktiks) min y = või

4 n 5) Astmefunktsioon avaldub kujul y, n Z, n Näide. n a) y, n N 5 y-telg y X R Y ; X {} X ; X X ; X ; P ; min -telg - -,6 -, -,8 -, - -,6 -,,,6,,8,,6 n b) y, n N y-telg y= - -,7 -, -, -,8 -,5 -, -,9 -,6 -,,,6,9,,5,8,,,7 -telg - - X R Y R X {} X ; X ; X R X Ekstreemumpunktid puuduvad -

5 n c) y, n N 8 6 y X R \ {} Y ; X X ; X X ; X ; Ekstreemumpunktid puuduvad - - (n) d) y, n N 5 y-telg ,6 -, -,8 -, - -,6 -,,,6,,8,,6-5 -telg -5 y X R \ {} Y R \ {} X X ; X ; X X X Ekstreemumpunktid puuduvad

6 6) Juurfunktsioonid Näide. a) y,,5,5,5,5,5-8 8 X ; Y ; X {} X ; ; X X X; X Ekstreemumpuntid puuduvad b) y,5,5 - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -, -, -, -,,,,,,5,6,7,8,9 -,5 - -,5 X R Y R X {} X ; ; X ; X R ; X Ekstreemumpunktid puuduvad 6

7 7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = a, kus a > ja a. 8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = loga, kus a > ja a, >. Näide. a) a > Funktsioon y = a,5,5,5,5 - -,5,5,5,5 b) < a < -,5 y Funktsioonid y = a ja y = loga on teineteise pöördfunktsioonid. Kui y y y y log log X R Y ; f ( ) a, siis f ( ) loga ja kui f ( ) loga, siis f ( ) a Funktsiooni y = f() pöördfunktsiooni leidmiseks vahetame ja y, st = g(y). Saadud tulemusest avaldame y i. Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on antud funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni määramispiirkond. Funktsioonide y = f() ja = g(y) graafikud on sümmeetrilised funktsiooni y = graafiku suhtes. X X R ; X X R ; X Ekstreemumpunktid puuduvad. Funktsioon y = loga. X ; Y R X {} ; X ; X ; X X ; X Ekstreemumpunktid puuduvad. Funktsioon y = a X R Y ; X X R ; X X ; X R Ekstreemumpunktid puuduvad. Funktsioon y = loga. X ; Y R X {} ; X ; X ; X ; X X Ekstreemumpunktid puuduvad. 7

8 Funktsiooni tuletis ja selle rakendused. ) Olulisemate tuletiste tabel c = (a ) = a ln a (e ) = e = (ln ) = (loga ) = ln a (sin ) = cos (cos ) = -sin ( n ) = n n (tan ) = cos (cot ) = sin Liitfunktsiooni tuletis F () = f g () g (), kui F = f(u) ja u = g() Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis a) (u + v) = u + v b) (u - v) = u - v c) (cu) = cu d) (u v) = u v + v u u u v v u e) v v ) Puutuja võrrand y yo = f (o) ( o), kus puutuja tõus k = f () ja puutepunkt on P(; y). ) Normaali võrrand y yo = - ( o), kus puutuja normaali tõus on ja f ( ) f ( ) normaal läbib punkti P(; y). normaal y puutuja y=f() y P α 8

9 ) Diferentseeruva funktsiooni uurimine ) määramispiirkond ( X ) ) muutumispiirkond (Y) f ( ) ) nullkohad ) positiivsuspiirkond f ( ) 5) negatiivsuspiirkond f ( ) 6) kasvamisvahenikud f ( ) 7) kahanemisvahemikud f ( ) 8) funktsiooni ekstreemumumid f ( ma ) a) maksimumkoht ehk f ma < ma ma > ma f () + - b) miinimumkoht f ( f min min ) ehk c) funktsiooni maksimum y f ma ma d) funktsiooni miinimum y f min min < ma ma > ma f () - + 9) funktsiooni perioodilisus f ( T) f ( ), kus T on funktsiooni periood ) paarisfunktsioon ( f f ) või paaritufunktsioon ( f f ) 5) Ekstreemumülesanneteks nimetatakse ülesandeid, mis taanduvad mingi suuruse suurima või vähima väärtuse leidmisele. Tuletame meelde, et funktsiooni suurimat (vähimat) väärtust leidsime funktsiooni tuletise abil. Pea meeles! Leides funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust lõigul tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. NÄITEÜLESANDED ) Jaota arv 8 kaheks arvuks nii, et nende korrutis oleks suurim. Lahendus. f ( ) 8 8 Tähistame arvu 8 osad ja 8. Nende arvude korrutis on Leiame saadud funktsiooni tuletise f ( ) 8 Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame võrrandi 8 = =. Kontrollime, kas on tegemist maksimumiga. Selleks võib kasutada abijoonist või leiame teise tuletise f ( ) (8 ). Seega on arvu 8 osad ja 8 =. Vastus. Arv 8 tuleks jagada võrdseteks osadeks: ja, siis on nende korrutis suurim.. 9

10 ) Jaota arv kaheks arvuks nii, et nende ruutude summa oleks vähim. Lahendus. Tähistame arvu osad ja. Nende ruutude summa on f ( ) Leiame saadud funktsiooni tuletise f ( ) 6. Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame võrrandi - 6= 5 Kontrollime, kas on tegemist miinimumiga. Selleks leiame teise tuletise f ( ) ( 6). Seega tuleks arv jagada võrdseteks osadeks 5 ja 5. Vastus. Arv tuleb jaotada osadeks 5 ja 5, siis on nende ruutude summa vähim. ) Riigieksam 999 (5p.) Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata taraga maksimaalse pindalaga ristkülikukujuline maatükk. Leia maatüki mõõtmed, kui tara pikkus peab olema m. Lahendus. Olgu maatüki kaks külge (m) ja kolmas külg (m) ( nagu joonisel tähistatud). Leiame maatüki pindala S( ) Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise S ( ) y =- ja lahendame võrrandi 5. Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise S ( ) ( ). Leiame nüüd maatüki pikema külje y = 5 = (m). Vastus. Maatüki mõõtmed on 5 m ja m. ) Riigieksam ( p.) On antud funktsioonid f() = -² + b (b > ) ja g() = 8 a)joonestage -teljega ja joonega y = f() piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne kolmnurk, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet -teljel ja selle vastastipp joonel y = f(). Leidke selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala. b)leidke funktsiooni g() nullkohad. c)määrake arv b nii, et funktsiooni f() nullkohad ühtiksid g() nullkohtadega. Arvutage saadud b väärtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala. Lahendus. b a) Funktsiooni f() = -² + b nullkohad on = ja = b ning haripunkti abtsiss = b ja ordinaat y = - b b. Skitseerime graafiku ja kolmnurga.

11 y b b A( ; b b) y f () Avaldame kolmnurga pindala. Tähistame -teljel asuva kaadeti -ga ning siis on teine kaatet -² + b, kuna punkt A asub paraboolil. ( b) b S( ). Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise b S ( ),5 b ja lahendame võrrandi,5 b,5 b ei sobi,5 b b Kontrollime, kas b annab maksimaalse pindala. Leiame teise tuletise b S ( ) b S b b b, st. on maksimumkoht, kuna b >. Leiame teise kaateti b b b. 9 9 Pindala b b b S 9 7 (üh²) b Vastus: Selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala on üh². 7 b) Leiame funktsiooni g ( ) 8 nullkohad Teeme muutuja vahetuse a = a 7 8 a a 8a 7 a Viete i teoreemi põhjal saame lahenditeks

12 a 7 7 a Vastus. Funktsiooni g() nullkohad on ja. c) Funktsioonide nullkohad nullkohad nullkohad f() b g() Järelikult b = ja pindala S b üh² 7 7 5) Leia järgmiste funktsioonide määramispiirkonnad. a) y b) y c) y d) y ln Lahendus. a) Funktsiooni y väärtuse leidmisel peab olema võimalik Leidajagatis. See on võimalik, kui -, kõik ülejäänud reaalarvud kuuluvad määramispiirkonda. ; ; ehk X = R\ {} Vastus: X = b) Funktsiooni y = määramispiirkonna moodustavad argumendi väärtused, mille korral:. Leiame nullkohad: Kanname nullkohad arvteljele. Vastus. X ;... - c) Funktsiooni y = määramispiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse:

13 Nullkohad : - =, =,5; + =, = -. Kanname nullkohad arvteljele. Vastus. X ;,5 ; d) Funktsiooni ln -,5 y määramispiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse, sest logaritmitav peab olema positiivne. Leiame avaldise nullkohad ja kanname need arvteljele. Vastus ; ; X. - 6) On antud funktsioon y = -9. a) Leidke f(-), f(-), f(a), f( + a) f(a). b) Näidake, et f() = -9 on paaritu funktsioon. c) Leidke funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. Lahendus a) Leiame f (-) = (-) -9(-) = = -8. () f(-) = -8 = 8. () f(a) = a -9a. () f( +a) - f(a) = ( +a) -9( +a) (a³ - 9a) = = ³ + ²a + a² + a³ - 9-9a- a³ +9a = ³ + ²a + a² - 9 9a = = ³ + a² + (a² - ) 9a b) f(- ) = (- ) - 9(- ) = = - ( -9) = - f (), st on paaritu funktsioon. c) Funktsiooni f() = -9 nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi -9 = Tegurdame võrrandi vasaku poole (² - 9) =, =, 9 9, =, = -.

14 Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f() = 9 >. Kasutame eelmises punktis leitud nullkohti, millised kanname arvteljele. f()> f()> f()< - f()< Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on ; ;. Negatiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f() = - 9 <. Vastuse loeme samalt jooniselt. Funktsiooni ; ; negatiivsuspiirkond on 7) Riigieksam (5p). Joonisel on funktsiooni y = -² - + graafik. a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = + graafik b) Määrake täiendatud joonise põhjal () kummagi funktsiooni nullkohad; () piirkond, milles ruutfunktsioon kasvab () ruutfunktsiooni suurim väärtus () piirkond, kus mõlemad funktsioonid on positiivsed Lahendus y = + Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks määrame kaks punkti -,5 y Või kasutane tõusu (a = ) ja algordinaati (b =) y = -² Leiame vastused: Funktsiooni y = -² - + nullkohad on {-; } ning funktsiooni y = + nullkoht {-,5}. Ruutfunktsioon kasvab vahemikus ; ning tema suurim väärtus on yma =. Mõlemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas,5;. 8) Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide f() = ja g() = -6 graafikud ning leidke piirkond, kus samaaegselt f() > ja g() <. Lahendus. Absoluutväärtuse definitsioonist saame

15 y f ( ), kui, kui Joonestame sirged kahe punkti abil. Kui f() = - ja, siis Kui f() = - + ja <, siis y f () - Kui g() = 6, siis graafikuks vajalikud punktid saame y g() -6 Joonestame antud funktsioonide graafikud. 5 g () = - 6 f () = Vastus. Jooniselt leiame, et samaaegselt on f() > ja g() <, kui <. 9) Leida joone y = + puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on. Tee joonis. Lahendus. Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid. Teame, et = y = ³ + =. Saime puutepunktiks P(; ). Järgmisena leiame puutujasirge tõusu k. Kuna k f ( ), siis leiame esmalt tuletise y f ( ) ja k f (). Koostame puutuja võrrandi y ( ) y. Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud. 5

16 y = ³ + y = ) Millises punktis on paraboolil y = + -teljega paralleelne puutuja? Lahendus. Selleks, et puutuja oleks paralleelene - teljega peab tema tõus olema o, st. k =. Kuna k = y = +, siis saame võrrandi + = = -. Leiame nüüd puutepunkti ordinaadi y = (-)² + (-) = -. Saime puutepunktiks P(-; -). Vastus. Paraboolil y = + on -teljega paralleelne puutuja punktis P(-; -). ) Riigieksam 997 (p.) Leidke funktsiooni y = - a) maksimum- ja miinimumkohad; b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Lahendus. Leiame funktsiooni tuletise f () = y = - 6. Leiame tuletise nullkohad - 6 = 6 ( ) = 6 = = = =,5 Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse - 6 >. Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse - 6 <. Märgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone. f () f ()> f ()> f ()<,5 Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud X ; ja X,5; ning X ;,5. 6

17 Jooniselt näeme, et kohal = läheb kasvamine üle kahanemiseks, seega on tegemist maksimumkohaga ning kohal =,5 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega, seega on tegemist miinimumkohaga. Vastus. Funktsiooni y = - ekstreemumkohad on ma= ja min=,5. Kasvamis- ja kahanemisvahemikud on vastavalt X ; ja X,5; ning X ;,5. ) Riigieksam (5p.) On antud funktsioon f() = ln ln5. a) Leidke funktsiooni () määramispiirkond () graafiku ja - telje lõikepunkt () miinimumpunkti abtsiss. b) Koostage joone y = f() puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab - telge. Lahendus. Kuna logaritmitav peab olema positiivne, siis saame määramispiirkonnaks X ;. Leiame graafiku ja - telje lõikepunkti, st. punkti, kus y =. Saame võrrandi ln ln5 = ( ln ln5) = = on võõrlahend, kuna ei kuulu määramispiirkonda ja teisest tegurist saame ln = ln5 = 5. Graafiku ja - telje lõikepunktiks on P(5; ). Leiame miinimumpunkti abtsissi. Selleks leiame funktsiooni tuletise f () = (ln ln5) = ln ln 5 Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame võrrandi ln ln 5 5 ln + - ln5 = ln + lne - ln5 = ln = ln5 - lne. e Kontrollime, kas tegemist on miinimumkohaga. Selleks leiame teise tuletise. 5 e f () = f. e 5 5 Saime miinimumpunkti abtsissiks. e Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja tõusu. k = f () = (ln ln5) = ln ln 5 Kuna joon lõikab - telge punktis P(5; ), siis k = f (5) = ln5 ln5. Koostame puutuja võrrandi y ( 5) y 5. Vastus. Määramispiirkonnaks on X ;. Graafiku ja - telje lõikepunktiks on P(5; ). 5 Miinimumpunkti abtsissiks on. Joone puutuja võrrandi on y 5. e ) Riigieksam (5p). Antud on funktsioon y ln. e a) Leidke funktsiooni määramispiirkond b) Lihtsustage funktsiooni avaldist, kasutades logaritmi omadusi c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid. 7

18 Lahendus. a) Funktsiooni määramispiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse. e Kuna e >, siis saame võrratuse lahendiks > X ;. b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust loga c b = log ab - logac, b >, c > ning teades, et ln e = ln ln ln e ln ln e ln. e c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse y = f () >. Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse y = f () <. Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest f () = y =. Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone võrratuste lahendamiseks. = Lahendame murru lugejas oleva võrrandi ² + = D = + 8 = 9,5 on võõrlahend, kuna ei kuulu määramispiirkonda f ()>,5 f ()< f () Arvestades, et funktsiooni määramispiirkond X ; kahanemisvahemikeks vastavalt ;,5 ning X,5 ; X., siis saame kasvamis ja d) Kuna kohal =,5 läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks, siis on see maksimumkohaks ning,5 y f (,5) ln,5 ln,5,5,75 ln,.,5 e Funktsiooni maksimumpunkt on Pma(,5; -ln-,75). ) Riigieksam (5p.) Antud on funktsioon y = ³ -. a) Leidke funktsiooni tuletis. b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja tõus miinimumpunktis. e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis 8

19 Lahendus. Leiame tuletise y. Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada võrratused y ja y. Võrratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad. ja. Märgime punktid -teljele ja skitseerime tuletisjoone. Jooniselt näeme, et funktsiooni kasvamisvahemikud on ja ; X ; X. Funktsioon on kahanev vahemikus ;. Kohal on funktsiooni maksimum, kuna kasvamine asendub kahanemisega ja kohal minimum, kuna kahanemine läheb üle kasvamiseks. Leiame nüüd funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. Kui ma yma 5 P ma ;5 Kui min ymin 5 P min ; 5 Leiame funktsiooni graafiku puutuja tõusu punktis P min ; 5. Puutuja tõus on k y f ja y k f. Seega k =, st. puutuja on paralleelne - teljega ja puutujavõrrandiks on y = 5. Joonestame nüüd funktsiooni y = ³ - graafiku.leiame nullkohad võrrandist ³ - =,5 f ()> - f ()< f ()> f () 9

20 y = ³ - y = 5 Vastus. Funktsiooni tuletiseks on y. Funktsiooni kasvamisvahemikud on ; ;. Maksimum- ja ; ja ning funktsioon on kahanev vahemikus miinimumpunkti koordinaadid on tõus miinimumpunktis on. P ma ;5 ning P min ; 5. Funktsiooni graafiku puutuja ÜLESANDED ) Leidke funktsioonide määramispiirkonnad. a) y 5 b) y = 6 c) y d) y ( )( ) e) f) 6 y log f ( ) log( 9 5) 6 V: ; 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;6 ; ; 7; \ 8;8.

21 ) Sirge y 9on paralleelne funktsiooni y 7 puutujaga. Leia puutepunkti koordinaadid. V: (-,5;-,5). ) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul 6;6. Millises punktis on lõigul ; on funktsioonil vähim väärtus? ) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul ;8 Leia punktide hulk, kus graafiku puutuja on paralleelne sirgega y =?. 5) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul ;. Leia funktsiooni ekstreemumkohad lõigul ;5 ja määra nende liik. 6) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul ;. Leia funktsiooni kahanemisvahemikud antud lõigul. 7) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik ja tema puutuja kohal. Leia funktsiooni tuletise väärtus antud kohal. a) b)

22 8) Riigieksam 997( p.) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f() ja funktsiooni y = e graafikud. Leidke () ruutfunktsiooni y = f() valem () punkti A koordinaadid () ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkt () y = e väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f() absoluutväärtuselt vähimale nullkohale. (5) ühised positiivsuspiirkonnad. V: y = -² + 6 5; A(;); X={; 5}; X ;5 H(;); e; 9) Riigieksam 997. Leia funktsiooni y = + a) määramispiirkond b) ma ja min punktid c) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. V: R X ; ; ; X X {}; Emin(;6), Ema(;-); ; 9) Riigieksam 997.Leia funktsiooni y = - a) ma ja min kohad, b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. V: ma= ; min=,5; X ;, X,5; ; X ;,5. {}. ) Riigieksam 997 Leia funktsiooni y = kasvamis ja kahanemisvahemikud, maksimum ja miinimumkohad. V: X ;, X ;, X ;, ma, min ) Riigieksam 998. On antud funktsioon f() = - ln + a) leia f e b) antud funktsiooni kasvamispiirkond c) antud funktsiooni ekstreemumid d) lahenda võrrand f() = g(), kus g() = + ln V: e + ; X ;; ymin= ; ; e e ) Riigieksam 998. On antud funktsioon f() = sin - cos a) lihtsusta f() f(-) b) lahenda võrrand f() = c) leia f() > lõigus ; d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus ; ja arvuta funktsiooni väärtus sellel kohal. 7 V: cos; n n Z ; ; ; E min ;.

23 ) Millise muutuja väärtuse korral saavutab f() = oma suurima väärtuse lõigul ;? Leida need funktsiooni väärtused. V: f()=. ) Olgu ja vastavalt funktsiooni f() = - 6a + 9a min ja ma kohad. Milliste parameetri a väärtuste korral kehtib võrdus = +? V: ja. 9 5) Leia funktsiooni f() = p q ekstreemumpunktid, kui f(-) = 8 ja f() = -. V: Emin(,5; -,75). 6) Leia funktsiooni f() = + -( + ) minimaalne ja maksimaalne väärtus lõigus ; V: yma= 8; ma= -, ymin= -, min= -. 7) Riigieksam 999.On antud funktsioon y = a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. b) Leia selle funktsiooni suurim väärtus lõigul ;5.. V: X ;, X ; ; X ;, y =. 8) Riigieksam 999.Antud on funktsioonid f() = e ja g() =. a) Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud. b) Leia. millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed?. milliste argumendi väärtuste korral on funktsiooni f() väärtused väiksemad g() väärtustest?. funktsiooni f() väärtus, kui = ln cos 6. V: (ln; ); < ln;. 9) Riigieksam 999.Antud on funktsioonid f() = ln ja g() = -. a) Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud. b) Leia. millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed?. milliste argumendi väärtuste korral on funktsiooni f() väärtused suuremad g() väärtustest? sin. funktsiooni f() väärtus, kui = e. V: (e - ; -); > e - ;. ) Leia funktsiooni f() = log / ( ) määramispiirkond, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. Arvuta f() - f(7). Lahenda võrrand 9 +f() ( ) + 8 f - =. X ; 5; ; X ;,5,5,5,5; ; V: X,5,5; 5;,5,5 ;-; ja 6. sin cos ) Leia vahemikus ; nurgad, mille korral funktsiooni y= tuletis on -. sin V: 5º, 5º. ) Riigieksam. On antud funktsioon f() = ln ln5. a) Leia funktsiooni. määramispiirkond. graafiku ja - telje lõikepunkt. miinimumpunkti abstsiss.

24 b) Koosta joone y = f() puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab - telge. 5 V: X ; ; P(5;); min ; y 5. e ) Riigieksam. Joonisel on funktsiooni y = -² - + graafik. a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = + graafik b) Määra täiendatud joonise põhjal. kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond, milles ruutfunktsioon kasvab. ruutfunktsiooni suurim väärtus. piirkond, kus mõlemad funktsioonid on positiivsed. V:,5;, ; X ; ; y ;,5;. ma ) Riigieksam. Antud on funktsioon y ln. e a) Leia funktsiooni määramispiirkond b) Lihtsusta funktsiooni avaldist, kasutades logaritmi omadusi c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid. V: X ; ;ln ;,5;, X ;,5 ; Pma ; ln. 5) Riigieksam. Antud on funktsioon y =. a) Leia funktsiooni tuletis. b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõus punktis, mille abtsiss on. e) Skitseeri funktsiooni graafik. Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis, mille abstsiss on. V: y = 6, X, X ;, X ;, P (;), P (,, k=9. ; ma min ) 6) Riigieksam. Vaatleme funktsiooni f() = sin lõigul ;. a) Lahenda võrrand f() =. b) Moodusta avaldis f( - ) + f( + ) ja lihtsusta seda. c) joonesta ühes ja samas teljestikus funktsiooni y = f() graafik ja sirge y = -. d) Leia väärtused, mille korral funktsiooni y = f() graafik astseb sirgest y = - allpool. 5 V: ;, -, 7 ; ). Riigieksam (5p.)Antud on funktsioon y a) Leidke funktsiooni nullkohad. b) Leidke funktsiooni tuletis. c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. e) Joonestage funktsiooni y graafik. f) Kirjutage välja antud funktsiooni positiivsuspiirkond. X o ; ; ; y ; X ;, X ;, X ;; V: P ( ;), P (; ); X ; ; ma min. 8) Riigieksam (p.)on antud funktsioonid f ( ) b(b > ) ja g ( ) 8 9.

25 . Joonestage -teljega ja joonega y = f() piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne kolmnurk, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet -teljel ja selle vastastipp joonel y = f().. Leidke selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala.. Leidke funktsiooni g() nullkohad.. Määrake arv b nii, et funktsiooni f() nullkohad ühtiksid g() nullkohtadega. 5. Arvutage saadud b väärtusel punktis ) leitud kolmnurga pindala. V: b S ;, ; ; b üh. 7 9) Riigieksam (5p.)On antud funktsioon y a) Leidke funktsiooni tuletis. b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. d) Joonestage funktsiooni y graafik. e) Koostage võrrand joone y puutujale punktis (; 6). V: y 6 6; X ;, X ;, X ;; Pma (;), Pmin (;); y 8. ) Riigieksam (p.)antud on funktsioonid f () = ln ja g() = ln. a) Lahendage võrrand f () = g(9). b) Leidke puutuja võrrand joonele y = f () punktis, mille -koordinaat on e, ja joonele y = g() punktis, mille -koordinaat on e. c) Tõestage, et leitud puutujad on teineteisega risti. d) Joonestage kolmnurk, mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y =. Arvutage selle kolmnurga pikima külje pikkus ja pindala. V: e e ; y, y e ; külje pikkus ; S e e e e,895 üh ) Riigieksam 5(p.) Antud on funktsioonid y ja y a) Arvutage funktsiooni y nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti koordinaadid. b) Joonestage funktsioonide y ja y graafikud samas teljestikus. c) Kirjutage välja vahemik, kus funktsioonid y ja y kasvavad 6 6 üheaegselt. V: X o ;; ; P ma ;, min ; ; ;. 9 P 9 ) Riigieksam 5(5p.) Antud on funktsioon f ( ) ln. a) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist. b) Koostage funktsiooni y = f () graafiku puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on. c) Määrake ruutfunktsiooni g( ) a c avaldises kordajate a ja c väärtused tingimusel, et alajaotuses b) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g() graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on. d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f () ja y = g() graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. X ; y ln ; y ; a,5, c,5.. 5

26 ) Riigieksam 6(p.) Antud on funktsioonid y ja g() = +. a) Leidke funktsiooni y = f () nullkohad ning maksimum ja miinimum. b) Skitseerige ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f () ja y = g() graafikud lõigul [ ; ]. c) Kirjutage joonise põhjal välja antud funktsioonide ühine kahanemisvahemik. V: X o ;;, yma, ymin ; X ;. ) Riigieksam 6(5p.) On antud funktsioonid y = f () ja y = g(), kus f () = ln() ja g() = ln. a) Arvutage antud funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid. b) Avaldage f () summana. c) Koostage võrrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lõikepunktis. d) Joonestage ühes ja samas teljestikus mõlema funktsiooni graafikud ning punktis ) leitud puutujad. V: L ;ln ; f ( ) ln ln ; y ln, y ln e. e 5) Riigieksam 7(p.) Antud on funktsioon y 5 7. a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. ;. b) Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul V: X ;, ;, ; ; 7. X X y 6) Riigieksam 7(5p.) On antud joon y ln a) Leidke sellel joonel punkt P(; y), mille koordinaatide summa on vähim. b) Leidke arv a, mille korral sirge y = a - on antud joone puutujaks. c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid. V: P ; ; ln. a e e 7) Riigieksam 7(p.) Kuupfunktsiooni y a b c kohta on teada, et tema graafiku puutujate seas on ainult üks selline puutuja, mille tõus on, ja selle puutepunkti abstsiss on. Veel on teada, et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal =-. Määrake kordajad a, b ja c. V: a, b, c. 8) Riigieksam 8(p.) On antud funktsioon y a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond. b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt. c) Skitseerige funktsiooni graafik lõigul [ ; ]. V: X o ;,5, X ; ;,5 ; Pma ;, Pmin ;. 6 9) Riigieksam 8(p.) Antud on funktsioon f ( ) 8ln a. a) Leidke funktsiooni määramispiirkond. b) Koostage antud funktsiooni y = f () graafikule puutuja võrrand punktis, kus see lõikub joonega y a 6

27 c) Milliste a väärtuste korral on funktsioon f ( ) 8ln a kogu oma määramispiirkonnas positiivne? V: X ; ; y 6 7 a; a > 8ln. ) Riigieksam 9(p.) On antud funktsioon f ( ) a) nullkohad; b) negatiivsuspiirkond; c) tuletis; d) maksimumpunkti koordinaadid. V: ;,5; ; X ;,5; ; f ( ) 6 8; P ( ;9 ). X o ma. Leidke selle funktsiooni ) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f ( ) 7. a) Näidake, et f ( ) f (). b) Leidke funktsiooni f () tuletis. c) Leidke funktsiooni f () kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid. d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f () graafik lõigul [ ; ]. V: f ( ) > f ( ) 7; f ( ) 6; X ; ; Pmin (; 7), Pma (; ). ) Riigieksam (p.). On antud funktsioon f () = a + bln + c, kus a, b ja c on reaalarvud. Leidke kordajate a, b ja c väärtused nii, et funktsiooni f () graafik läbib punkti P(; ) ning graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = + a. Kontrollige saadud tulemusi.. Leidke funktsiooni g() = + 6ln suurim ja vähim väärtus lõigul [; e]. V: a, b 6, c ; yma ln, ymin e. ) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f() = + 5 ) Arvuta funktsiooni f() ekstreemumpunktide koordinaadid ja määra nende liik. ) Leia funktsiooni f() kasvamisvahemikud. ) Joonesta funktsiooni graafik lõigul [ -; ]. V: A min ( ; 5), Bmin (; 5), Cma (; ); X ;, X ;. ) Riigieksam (p.) log ja g() =a ln b, kus a R; b R ja On antud funktsioonid f() = h() = log..arvuta a) f ;. Lahenda võrrand f() = h().. Kas leidub parameetri p (p R ) väärtus nii, et võrrandil f() = f(p) on ainult üks lahend? Põhjenda vastust.. Määra a ja b väärtused nii, et funktsiooni g() graafik läbib punkti A(; e) ning selle puutuja kohal = on risti sirgega y = -( + ). Koosta puutuja võrrand. V: ; ; leidub, p,5; a, b e; y ln e. 9 5) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f () = 9. a) Leia funktsiooni f() nullkohad. b) Kas funktsioonf() on paaris- või paaritu funktsioon? Põhjenda. c) Leia funktsiooni f() maksimumpunkti koordinaadid. d) Leia funktsiooni f() graafiku puutuja tõus kohal o=. V: ;; ; paarisfunktsioon ; Pma (;); k 5. X o 7

28 6) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f () =. a) Leia funktsiooni f() pöördfunktsioon. b) Joonesta ühes koordinaatteljestikus funktsiooni f() ja tema pöördfunktsiooni graafikud. f c) Näita, et,5 5. f ( ),5 d) Lahenda võrrand 8 f,5. V: y log ;. 7) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f ( ). Leia selle funktsiooni a) positiivsuspiirkond; b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja määra nende liik; c) kahanemisvahemik. V: X 6; ; ; Pmin (;), Pma ; ; X ; 8) Riigieksam (p.) 9 X ;, X ; ; Pmin ; ; y ; P (;), P ; 8 8 9) Riigieksam (p.) V: V: X ;,5, X ;,5 ; P ma,5;,5 ; y 8

29 5) Riigieksam 5(5p.) Joonisel on funktsiooni f ( ) cos graafik lõigul ;. a) Leidke antud lõigul funktsiooni f() negatiivsuspiirkond ja graafiku miinimumpunkti koordinaadid. b) Kas punkt A ; asub funktsiooni f() graafikul? Põhjendage oma vastust. V: X ; ; Pmin ; ; ei asu. 5) Riigieksam 5(p.) a) Arvutage funktsiooni f () = ² nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerige funktsiooni graafik. b) On antud funktsioon g () =,5²,5 ³. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kasvamisvahemik. V: X ;, H(; ); min, ma ; X ; 5) Riigieksam 5(p.) On antud funktsioon f ( ).. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kahanemisvahemikud.. Punkt A, mille abtsiss on =, asub funktsiooni f () graafikul. Läbi punkti A on tõmmatud funktsiooni f () graafikule puutuja, mis lõikab funktsiooni f () graafikut punktis B. Koostage selle puutuja võrrand ja arvutage punkti B koordinaadid. V:, ; X ;, X ; ; y,5,5, B( ;7) min ma 5) Riigieksam 6(p.) On antud funktsioon f ( ).. Leidke funktsiooni f () kasvamisvahemik.. Leidke funktsiooni f () graafiku miinimumpunkti koordinaadid.. Koostage funktsiooni f () graafikule kohal o = joonestatud puutuja võrrand. V: X ; ; Emin (;); y 9. 5) Riigieksam 7K (p.) On antud funktsioon f () =.. Arvutage funktsiooni f () kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning miinimumpunkti koordinaadid.. Leidke funktsiooni f () graafikule kohal = tõmmatud puutuja tõus. V: X ;, X ; ; X ; ; Pmin (; ); k 9 55) Riigieksam 7L (p.) On antud funktsioon f () = ( ).. Arvutage lim f ( ).. Leidke funktsiooni f () kasvamisvahemik.. Koostage funktsiooni f () graafikule tõmmatud puutujate võrrandid, kui mõlema puutuja tõus on 9. V: ; X ; ; y 9 5; y 9 7 9

30 56) Riigieksam 8L (p.). Leidke funktsiooni f ( ) ( ) miinimumpunkti koordinaadid.. Leidke funktsiooni g ( ) tuletis ja lahendage võrratus g( ). 8 V: Pmin ; ; ; ; 7 57) Riigieksam 8K (p.) On antud funktsioon f ( ),5 6.. Leidke funktsiooni kahanemisvahemik ja maksimumpunkti koordinaadid.. Koostage funktsiooni f() graafikule kohal = tõmmatud puutuja võrrand. P ( ;,5); X ; ; y 6,5 V: ma

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

Microsoft Word - VG loodus

Microsoft Word - VG loodus Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

VRB 2, VRB 3

VRB 2, VRB 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine ( Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (punktide kogusumma jagatud sooritajate koguarvuga); Mediaan - statistiline keskmine, mis jaotab

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

ArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus

ArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus PILVI TAUER Tallinna Tehnikagümnaasium ArcGIS Online 1.Konto loomine 2.Veebikaardi loomine 3.Rakenduste tegemine - esitlus Avaliku konto loomine Ava ArcGIS Online keskkond http://www.arcgis.com/ ning logi

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

01_loomade tundmaõppimine

01_loomade tundmaõppimine Tunnikava vorm Õppeaine ja -valdkond: Mina ja keskkond Klass, vanuse- või haridusaste: alusharidus Tunni kestvus: 30+15minutit Tunni teema (sh alateemad): Loomade tundmaõppimine, maal elavad loomad Tase:

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid ) 1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

Anneli Areng Kaja Pastarus Matemaatika tööraamat 5. klassile II osa

Anneli Areng Kaja Pastarus Matemaatika tööraamat 5. klassile II osa Anneli Areng Kaja Pastarus Matemaatika tööraamat 5. klassile II osa Anneli Areng Kaja Pastarus Matemaatika tööraamat 5. klassile II osa Minu nimi on... Õpin...... 2013 Anneli Areng, Kaja Pastarus Matemaatika

Rohkem

Otsinguteavituse esitamine Kultuurimälestiste riiklikus registris 1. Mine aadressile: ja vajuta nuppu Kodanikule. 2. Sisene

Otsinguteavituse esitamine Kultuurimälestiste riiklikus registris 1. Mine aadressile:   ja vajuta nuppu Kodanikule. 2. Sisene Otsinguteavituse esitamine Kultuurimälestiste riiklikus registris 1. Mine aadressile: https://register.muinas.ee ja vajuta nuppu Kodanikule. 2. Sisene registrisse ID-kaardi, Mobiili-ID-ga. Kasutajakonto

Rohkem

Lisa I_Müra modelleerimine

Lisa I_Müra modelleerimine LISA I MÜRA MODELLEERIMINE Lähteandmed ja metoodika Lähteandmetena kasutatakse AS K-Projekt poolt koostatud võimalikke eskiislahendusi (trassivariandid A ja B) ning liiklusprognoosi aastaks 2025. Kuna

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

VRG 2, VRG 3

VRG 2, VRG 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,

Rohkem

Aili_A-mf-4_adiab.doc

Aili_A-mf-4_adiab.doc 4. ADIABAAILINE ROSESS 4.. emperatuuri adiabaatiline radient ermodünaamilisi protsesse, mis toimuvad soojusvahetuseta ümbritseva esonnaa, nimetatase adiabaatilistes. emperatuuri adiabaatilise radiendi

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc Tallinna Linnavalitsuse sõnumisaatja kasutusjuhend asutuse juhatajale Sisukord 1. Süsteemi sisenemine...2 2. Parooli lisamine ja vahetamine...2 3. Ametnike lisamine ametiasutuse juurde...2 4. Saatjanimede

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

PIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE

PIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE 5. Lõpliku siirdega filtrid (I) SIGNAALITÖÖTLUS II Loegumaterjal 5 (I/II) Toomas uube I filter omab lõpliku pikkusega diskreetset impulsskaja hi iltri väljudsigaal y o kovolutsioo impulsskajast ja diskreetsest

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

MS Word Sisukord Uue dokumendi loomine... 2 Dokumendi salvestamine... 3 Faili nimi... 4 Teksti sisestamine... 6 Klaviatuuril mitteleiduvat sümbolite l

MS Word Sisukord Uue dokumendi loomine... 2 Dokumendi salvestamine... 3 Faili nimi... 4 Teksti sisestamine... 6 Klaviatuuril mitteleiduvat sümbolite l MS Word Sisukord Uue dokumendi loomine... 2 Dokumendi salvestamine... 3 Faili nimi... 4 Teksti sisestamine... 6 Klaviatuuril mitteleiduvat sümbolite lisamine... 6 Uue dokumendi loomine Dokumendi salvestamine

Rohkem

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Rohkem

Lõppvoor 2016

Lõppvoor 2016 Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............

Rohkem

Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa

Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Minu nimi on... Õpin......

Rohkem

NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa

NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse (09.06.2010) 31 lõike 2, tuleb gümnaasiumi õpilastel kooli lõpetamiseks sooritada koolieksam.

Rohkem

(Tõrked ja töökindlus \(2\))

(Tõrked ja töökindlus \(2\)) Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu

Rohkem

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc 1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil

Rohkem

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

Taskuprinter KASUTUSJUHEND

Taskuprinter KASUTUSJUHEND Taskuprinter KASUTUSJUHEND Täname, et ostsite taskuprinteri Polaroid Mint. Käesoleva kasutusjuhendi eesmärk on anda teile juhiseid toote ohutuks kasutamiseks ja et see ei kujutaks endast kasutajale mingit

Rohkem

Microsoft Word - Loppukilpailu2015_16_tehtavat_viro_1

Microsoft Word - Loppukilpailu2015_16_tehtavat_viro_1 Põhikooli matemaatika võistlus Lõppvõistlus reedel 22.1.2016 OSA 1 Lahendamiseks aega 30 min Punkte 20 Selles osas kalkulaatorit ei kasutata. Lühikesed lahendused ja vajalikud joonised teha samale paberile.

Rohkem