vv05lah.dvi
|
|
- Kristi Annus
- 5 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1 ja O vastavalt ringjoonte c 1 ja c keskpunktid ning r 1 ja r ringjoonte raadiused, üldisust kitsendamata võime eeldada, et r 1 > r. Lühiduse mõttes tähistame veel PMQ 1 = α 1, PMQ = α ning PM = d. Võrdustest PMO 1 = 1 PMQ 1 ja PMO = 1 PMQ näeme, et Q 1 MQ = α 1 α on maksimaalse väärtusega parajasti siis, kui O 1 MO = α 1 α on maksimaalne. See omakorda leiab aset parajasti siis, kui viimase nurga tangens on võimalikult suur, sest tangens on esimeses veerandis kasvav. Nurkade vahe tangensi valemist ( α1 tan α ) = Esitades tulemuse kujul ( α1 tan α ) = r 1 r d + r 1r d tan α 1 tan α 1 + tan α 1 tan α r 1 = d r d 1 + r 1 d r. d r 1 r = ( ), d r1 r r1 r + r1 r d saame, et viimases avaldises on murru nimetaja väärtus minimaalne, kui d = r 1 r. Siis aga tan α 1 = r 1 d = r1, tan α r = r d = r r1 ehk tan α 1 ja tan α on teineteise pöördarvud. Seetõttu α 1 + α = π ja PMQ 1 + PMQ = α 1 + α = π. Teisel juhul, kui ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l erineval pool (joonis ), siis on maksimaalse nurga Q 1 MQ suurus π, mis ongi üldse suurim võimalik nurk. Punkt M asub sel juhul ringjoonte c 1 ja c ühisel puutujal, mis lõikub sirgega l. Sel juhul PMQ 1 + PMQ = Q 1 MQ = π. 1
2 c 1 c 1 Q 1 c O 1 Q 1 O Q l P M l P M c Q Joonis 1 Joonis. Vastus: jah. Lahendus 1. Tõestame kõigepealt, et kõik automoorid armastavad iseennast. Olgu A suvaline automoor. Siis leidub automoor B, keda A armastab, ning automoor C, keda A austab. Samuti leidub automoor D, kes armastab automoori A. Et D armastab A-d ja A austab C-d, siis D austab C-d. Vastavalt ülesande tingimusele leidub automoor, keda C armastab. Kui see automoor ei oleks B, siis armastaks A kahte automoori: seda, keda C armastab, ja B-d; seega saaksime vastuolu tingimusega, et iga automoor armastab ainult ühte automoori. Järelikult armastab C automoori B. Et D austab C-d ja C armastab B-d, siis D armastab B-d. Samal ajal armastab D ka A-d, seetõttu peab olema A = B ehk A armastab iseennast. Tõestame nüüd, et kõik automoorid austavad iseennast. Olgu A suvaline automoor ja B see automoor, keda A austab. Eelneva järgi armastavad A ja B iseennast. Et A austab B-d ja B armastab iseennast, siis A armastab B-d. Samal ajal armastab A iseennast. Seega peab olema A = B ehk A austab iseennast. Et iga automoor armastab ja austab ainult ühte automoori, kelleks on tema ise, siis on vastus ülesande küsimusele jaatav. Lahendus. Defineerime automooride hulgal funktsioonid f ja g, lugedes, et f(a) on see automoor, keda A armastab, ja g(a) on see automoor, keda A austab. Ülesande tingimused võib siis kirja panna järgmiselt: iga automoori A korral leidub automoor C, et f(c) = A; iga automoori C korral f(g(c)) = f(c); iga automoori C korral g(f(c)) = g(c).
3 Näitame, et funktsioonide f ja g väärtused on igal argumendil võrdsed. Rakendades kolmanda tingimuse mõlemale poolele funktsiooni f, saame f(g(f(c))) = f(g(c)). Tulemuse mõlemas pooles kasutame teist tingimust, sellega võime võrduse ümber kirjutada kujul f(f(c)) = f(c). Saadud võrdusest järeldub, et suvalise A korral f(a) = A, sest esimese tingimuse põhjal võime suvalise A korral valida C nii, et f(c) = A. Seega armastab iga automoor iseennast. Teise tingimuse ja saadud võrduse abil nüüd f(a) = f(g(a)) = g(a). Järelikult on suvalise A korral see, keda A armastab, ja see, keda A austab, üks ja sama automoor (kes tegelikult pole keegi muu kui A ise). 3. Vastus: (, 6) ja (3, 6). Lahendus 1. Esitame arvud x ja y kujul x = ad ja y = bd, kus d on arvude x ja y suurim ühistegur ning a ja b on ühistegurita. Ülesande võrdus omandab siis kuju (ad + bd) ad = (ad) bd ehk pärast d-nda juure leidmist ja arvu d astmete eraldamist (a + b) a d a = a b d b. Kui oleks a b, siis saaksime võrduse (a + b) a d a b = a b, millest järeldub, et arv a b jagub arvuga (a + b) a. Et a ja a + b on samuti ühistegurita, siis peab kehtima (a + b) a = 1, mis ei ole võimalik, sest a ja b on positiivsed täisarvud. Järelikult a < b ning (a + b) a = a b d b a, mistõttu arv (a + b) a jagub arvuga a b. Et a + b ja a on ühistegurita, siis ainukese võimalusena a b = 1, millest a = 1. Seega kehtib võrdus 1 + b = d b 1. Juhul b = saame siit d = 3, see annab lahendi x = 3, y = 6. Juhul b = 3 saame d =, mis annab lahendi x =, y = 6. Juhul b 4 arvestame ülaltoodud võrdusest järelduvat tingimust d, mille tõttu d b 1 b 1 > 1 + b; viimase võrratuse kehtivuses võib veenduda näiteks induktsiooniga. Järelikult rohkem lahendeid ei ole. 3
4 Lahendus. Et x y = (x + y) x > x x, siis y > x. Olgu y = nx, kus n on mingi ühest suurem ratsionaalarv. Ülesande võrdusest saame seose (x + nx) x = x nx, mis pärast x-nda juure leidmist ja poolte jagamist x-ga teiseneb kujule 1 + n = x n 1. Võrduse paremal poolel esitub astendaja n 1 kui positiivne ratsionaalarv taandatud murruna p, seetõttu saab arv q x n 1 = x p q = q x p kui teatava naturaalarvu q-s juur olla ainult kas naturaalarv või irratsionaalarv. Võrduse vasak pool aga irratsionaalarv olla ei saa, järelikult on ta naturaalarv. Seega on ka n naturaalarv, eelduse kohaselt on n ühest suurem. Samamoodi nagu esimeses lahenduses leiame kaks võimalikku lahendit: juhul n = saame x = 3 ja y = 6, juhul n = 3 saame aga x = ja y = 6; juhul n 4 lahendeid pole. Teine päev 4. Vastus: ainuke sobiv arvpaar on ( 6, 1). Olgu x 1 ja x esimese polünoomi nullkohad ning x 1, x ja x 3 teise polünoomi nullkohad. Jagades esimese polünoomi 6-ga, saame polünoomi x 4x 3 a, mille nullkohad on samuti x 1 ja x. Viète i valemite põhjal x 1 + x = 4, x 1 x = 3 a. Rakendades Viète i valemeid ülesande teisele polünoomile x 3 +ax+bx 8, saame seosed x 1 + x + x 3 = a, x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 = b, x 1 x x 3 = 8. Nüüd ühelt poolt ning teiselt poolt 4 = ( ) 4 = ( x1 + x ) x 1 x = 3 a 3 a = 3 (x 1 + x + x 3 ) 3 x 1 x x 3 = 4. 4
5 Siit näeme, et mõlemas võrratuses kehtib tegelikult võrdus. Järelikult x 1 = x, x 1 = x = x 3 ja a = 4. Viimasest seosest leiame a = 6. 3 Et x 1x x 3 = 8, siis x 1 = x = x 3 =, millest saame b = 1. Teiselt poolt, a = 6, b = 1 korral saame 6x 4x 4a = 6(x ) ja x 3 + ax + bx 8 = (x ) 3, seega on ülesande tingimused täidetud. 5. Vastus: ainuke võimalus on 100. Kui sirgel esinevad kõrvuti valge punkt V ja must punkt M järjekorras V M, siis vastavad neile punktidele võrdsed summad, sest kummastki paremal asub ühepalju valgeid ja kummastki vasakul ühepalju musti punkte. Kui punktid asuvad järjekorras M V, siis vastavad punktidele ikka võrdsed summad, sest eelmise olukorraga võrreldes on musta punkti puhul lisandunud üks paremal asuv valge punkt ja valge punkti puhul üks vasakul asuv must punkt. Kui vahetada kaks kõrvutiasuvat erinevat värvi punkti, siis muutuvad ainult nendele punktidele vastavad summad, ülejäänud summad jäävad samaks. Seega saab iga väärtuse esinemiste arv summade hulgas muutuda niisugusel vahetamisel ainult paarisarvu võrra ning esinemiste arvu paarsus jääb alati samaks. Eeldame, et sirgel on n valget ja 005 n musta punkti. Järjestikuste vahetamistega toome valged punktid algusesse: Vastavad summad on V V... V V MM... MM. n 1, n,..., 1, 0, 0, 1,..., 003 n, 004 n. Ka selles järjendis esineb täpselt üks väärtus paaritu arv kordi. Et järjendi keskmised väärtused esinevad kahekaupa, siis peab paaritu arv kordi esinev väärtus olema kas n 1 järjendi alguses või 004 n järjendi lõpus. Kui paariline puudub väärtusel n 1, siis peab olema n = 004 n, millest n = 1003 ja n 1 = 100. Kui paariline puudub väärtusel 004 n, siis n 1 = 003 n ehk n = 100 ja 004 n = 100 nagu eelmisel juhulgi. 6. Olgu H sirge F C teine lõikepunkt ringjoonega (joonis 3). Me peame näitama, et GH AB ehk GH l. See on samaväärne võrdusega AGH = AFD. Et AGH = ACH = FCD, siis piisab tõestada samaväärne väide F CD = AF D, mis omakorda on samaväärne väitega, et kolmnurgad FCD ja AFD on sarnased, sest neil on tipu D juures ühine nurk. Nimetatud kolmnurgad on sarnased parajasti siis, kui DF DC = DA DF ehk DF = DC DA. Et aga DC DA = DE, siis on eelmine võrdus sama mis võrdus DE = DF ehk DEF = DFE. Tõestame selle võrduse. 5
6 A H G E B C l X D F Joonis 3 Olgu X sirgete AB ja l lõikepunkt. Siis AEF = AXF = 90, mistõttu punktid A, E, X ja F asuvad ühel ringjoonel. Järelikult XFE = EAB. Kasutades teoreemi lõikajast ja puutujast, saame DEF = EAB. Siit järeldubki vajalik võrdus. 6
IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemKontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa
Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemMicrosoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx
Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
RohkemKiekim mees kirjeldus.docx
KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemAINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi
AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
RohkemMining Meaningful Patterns
Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti
RohkemLõppvoor 2016
Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............
RohkemIVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon jaan lk Dok IVXV-SVR-1.4.0
IVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon 1.4.0 18. jaan 2019 11 lk Dok IVXV-SVR-1.4.0 Sisukord Sisukord........................................ 2 1 Võtmerakendus.................................. 3
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemPIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE
5. Lõpliku siirdega filtrid (I) SIGNAALITÖÖTLUS II Loegumaterjal 5 (I/II) Toomas uube I filter omab lõpliku pikkusega diskreetset impulsskaja hi iltri väljudsigaal y o kovolutsioo impulsskajast ja diskreetsest
RohkemTants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.
Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
RohkemPIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As
PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta
RohkemTuustep
TUUSTEPP Eesti tants segarühmale Tantsu on loonud Roland Landing 2011. a. Pärnus, kirjeldanud Erika Põlendik. Rahvalik muusika, esitab Väikeste Lõõtspillide Ühing (CD Kui on kuraasi ). Tantsus on käed
RohkemEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu
Eesti koolioorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. Lahedused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu M tipust A lõigule KL tõmmatud ristlõigu aluspukt (vt.
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
Rohkem1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine
http://kodu.ut.ee/~kiho/ads/praktikum/ 4. PSK Paisksalvestus. Loendamine Mõisteid Paisktabel (Hashtable, HashMap) Paisktabeli kasutamine loendamisülesannetes Paiskfunktsioon, kollisoonid (põrked) Praktikumitööd
RohkemMicrosoft Word - Toetuste veebikaardi juhend
Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika
RohkemMatemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase
Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete
RohkemPärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kass
Pärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel 19. 06. 2018 Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kassariik Jõelähtme Osavõtjaid: vaba arv paare Lähteasend:
RohkemPimeda ajal sõitmine
Sõidueksamitel tehtud vead www.mnt.ee 1 Vasakpöörde sooritamine Sõiduteel paiknemine. Enne vasak- või tagasipööret peab juht aegsasti suunduma sõidutee pärisuunavööndi vasaku ääre lähedale või selle pöörde
RohkemTartu Kutsehariduskeskus Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärg
Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärgid jne. Suurte tähtede sisestamiseks hoia all Shift-klahvi. Kolmandate märkide
RohkemFüüsika
Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemPeafail3_2.dvi
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 3.2 13. märts 2017. a. 09:45 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2017 Käesoleva õppevahendi
RohkemPALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo
PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel
RohkemУ : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986
У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU
RohkemScala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta
Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.
RohkemMicrosoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc
Tallinna Linnavalitsuse sõnumisaatja kasutusjuhend asutuse juhatajale Sisukord 1. Süsteemi sisenemine...2 2. Parooli lisamine ja vahetamine...2 3. Ametnike lisamine ametiasutuse juurde...2 4. Saatjanimede
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemTehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.
RohkemMOOCi „Programmeerimise alused“ ülesannete lahenduste analüüs
TARTU ÜLIKOOL LOODUS- JA TÄPPISTEADUSTE VALDKOND Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Helen Hendrikson MOOCi Programmeerimise alused ülesannete lahenduste analüüs Bakalaureusetöö (9 EAP) Juhendaja:
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemMicrosoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc
Mudeliklassi F3A Eesti meistrivõistluste reeglistik (2010) Reeglid põhinevad Rahvusvahelise Lennuspordi Föderatsiooni (FAI) määrustel, kuid on mugandatud arvestades kohalike võistlejate lennuvahendeid
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
RohkemVRG 2, VRG 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,
Rohkem(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)
TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg
RohkemÕppeprogramm „vesi-hoiame ja austame seda, mis meil on“
ÕPPEPROGRAMM VESI-HOIAME JA AUSTAME SEDA, MIS MEIL ON PROGRAMMI LÄBIVIIJA AS TALLINNA VESI SPETSIALIST LIISI LIIVLAID; ESITUS JA FOTOD: ÕPPEALAJUHATAJA REELI SIMANSON 19.05.2016 ÕPPEPROGRAMMI RAHASTAS:
RohkemNR-2.CDR
2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
Rohkem(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )
1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi
RohkemValik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapo
Valik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapoolsete tervitus- ja hüvastijätufraasidega. Saab arutleda,
Rohkemefo09v2pke.dvi
Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat
RohkemKom igang med Scratch
Alustame algusest Getting Started versioon 1.4 SCRATCH on uus programmeerimiskeel, mis lubab sul endal luua interaktiivseid annimatsioone, lugusid, mänge, muusikat, taieseid jm Scratch'i saab kasutada
RohkemÜlesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased
Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi
RohkemMicrosoft Word - 1-1_toojuhend.doc
1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
Rohkemelastsus_opetus_2015_ptk5.dvi
Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
RohkemVRB 2, VRB 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga
RohkemArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus
PILVI TAUER Tallinna Tehnikagümnaasium ArcGIS Online 1.Konto loomine 2.Veebikaardi loomine 3.Rakenduste tegemine - esitlus Avaliku konto loomine Ava ArcGIS Online keskkond http://www.arcgis.com/ ning logi
Rohkem