Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Väljavõte

1 Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu a D selle intervalli sisepunkt. Teatavasti nimetatakse funktsiooni f punktis a diferentseeruvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus f (a) : mida nimetatakse funktsiooni f tuletiseks punktis a. f (a + ) f (a), 0 Meenutame nende mõistete geomeetrilist sisu. Võtame läbi funktsiooni f graafiku punktide (a, f (a)) ja (x, f (x)) sirge (ek lõikaja), selle võrrand on Y = f (a) + (X a), kus (X, Y ) on vaadeldava sirge punkt. Protsessis x a võtab see võrrand kuju Y = f (a) + f (a) (X a) ek Y f (a) X a = f (a). Selle võrrandiga määratud sirge läbib punkti (a, f (a)), teda nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujaks punktis a. Niisiis, punktis a diferentseeruva funktsiooni f korral defineeritakse selles punktis tema graafiku puutuja kui punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x a. Tuletis f (a) on võrdne puutuja tõusunurga tangensiga. Funktsiooni diferentseeruvuse mõiste analüütiline sisu seisneb selles, et punktis a diferentseeruvat funktsiooni saab lokaalselt (s.t. selle punkti ümbruses) lineaarselt läendada. Nimelt, kui täistame T (x) := f (a)+f (a) (), siis T : R R on lineaarne funktsioon (selgitada!) ja f (x) T (x) = 0 (veenduda!). Seega saab suvalise ε > 0 korral leida punkti a sellise ümbruse U δ (a) = (a δ, a + δ), et iga x U δ (a) puul ketib võrratus f (x) T (x) < f(x) T (x) x a < ε. Diferentseeruvate funktsioonide uurimiseks vajame järgmist lemmat, mida mõnedes õpikutes nimetatakse ka diferentsiaalarvutuse põilemmaks. Lemma. Funktsioon f on punktis a diferentseeruv parajasti siis, kui leidub selline punktis a pidev funktsioon G f : D R, et f (x) = f (a) + G f (x) (). () Sel juul f (a) = G f (a). Tõestus. Tarvilikkus. Olgu f diferentseeruv punktis a. Defineerime { f(x) f(a), kui x a, G f (x) := x a f (a), kui x = a,

2 2 4. Diferentseeruvad funktsioonid siis G f on punktis a pidev (kontrollida!) ja ketib võrdus () (veenduda!). Piisavus. Kui võrdus () ketib ning G f on punktis a pidev, siis seega on f koal a diferentseeruv ja f (a) = G f (a). G f (x) = G f (a), Järeldus 2. Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis on ta selles punktis pidev. Tõestus (iseseisvalt!). Tuletise definitsioonist lätudes saab leida litsamate elementaarfunktsioonide tuletised. Näited.. Kui f (x) = c =const, siis f (a) = 0 iga a korral (kontrollida!). 2. Kui f (x) = cx, kus c on konstant, siis f (a) = c iga a korral (kontrollida!). 3. Kui f (x) = x n, siis f x (a) n a n n x a k=0 xn k a k (kontrollida!) = na n (selgitada!). 4. Funktsioon f (x) = x ei ole punktis a = 0 diferentseeruv (veenduda!). 5. Leiame eksponentfunktsiooni f (x) = e x tuletise. Selleks arvutame suvalise a R puul piirväärtuse f (a) 0 e a+ e a 0 e a+ e a = e a 0 e = e a. (2) e (Piirväärtuse 0 arvutamiseks teeme muutujavaetuse z := e, siis = ln (z + ). e Kui 0, siis ka z 0, ning z 0 z 0 =.) Seosest (2) saame, et ln(z+) (e x ) = e x iga x R korral. 6. Funktsiooni f (x) = sin x korral on f sin (a + ) sin a (a) 0 ( cos a + ) ( ) 2 cos a + 2 sin 2 0 sin 2 2 = cos a. Niisiis, (sin x) = cos x iga x R korral. 7. Analoogiliselt veendutakse, et (cos x) = sin x iga x R korral (kontrollida!). 2. Diferentseerimisreeglid. Allpool toodud diferentseerimisreeglid on meile matemaatilise analüüsi eelnevatest kursustest ästi tuttavad. (I) Kui funktsioonid f : D R ja g : D R on punktis a diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f+g ja f g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g) (a) = f (a)±g (a). Tõestus (iseseisvalt!). (II) Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis ka funktsioon λf on iga λ R korral selles punktis diferentseeruv ning (λf) (a) = λf (a). Tõestus (iseseisvalt!).

3 Matemaatiline analüüs III 3 (III) Kui funktsioonid f : D R ja g : D R on punktis a diferentseeruvad, siis ka nende korrutis fg : D R, x f (x) g (x) on selles punktis diferentseeruv funktsioon ning (fg) (a) = f (a) g (a) + f (a) g (a). Tõestus. Kuna f on punktis a pidev, siis (fg) (x) (fg) (a) f (x) g (x) f (a) g (a) f (x) (g (x) g (a)) + g (a) () g (x) g (a) f (x) = f (a) g (a) + f (a) g (a). + g (x) (IV) Kui funktsioonid f : D R ja g : D R on punktis a diferentseeruvad ning g (a) 0, siis ka funktsioon f g : D R, x f (x) g (x), kus D := {x D g (x) 0}, on selles punktis diferentseeruv ja ( ) f (a) = f (a) g (a) f (a) g (a) g g (a) 2. Tõestus. Kõigepealt märgime, et a on mingi alamintervalli D D sisepunkt (selgitada!). Vaatleme algul jutu, kus f on konstantne funktsioon väärtusega. Siis (x) (a) g g g(x) g(a) g (x) g (a) g (a) g (x) = g (a) 2 ( g (a)). Rakendades nüüd eelmist väidet, saame ( ) ( f (a) = f ) ( ) (a) = f (a) (a) + f (a) g g g g (a) = f (a) g (a) g (a) 2 + f (a) g (a) = f (a) g (a) f (a) g (a) g (a) 2. Näited.. Iga polünoom P (x) = a n x n + a n x n a 0 on igas punktis x R diferentseeruv ning P (x) = na n x n + (n ) a n x n a

4 4 4. Diferentseeruvad funktsioonid (veenduda!). 2. Kui f (x) = tan x ( x R { π ± kπ k = 0,, 2,...}), siis 2 f (x) = ( ) sin x = (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = cos 2 x. 3. Analoogiliselt saadakse, et (cot x) = (veenduda!). sin 2 x iga x R {±kπ k = 0,, 2,...} korral Meile ästi tuntud liitfunktsiooni diferentseerimise reegli (nn. aelareegli) tõestamiseks kasutame lemmat. Lause 3. Olgu funktsioon f : D R punktis a diferentseeruv. Kui f (D) E ja funktsioon g : E R on punktis b := f (a) diferentseeruv, siis ka liitfunktsioon on punktis a diferentseeruv ja g f : D R, x g (f (x)) (g f) (a) = g (b) f (a). Tõestus. Lemma koaselt leiduvad sellised vastavalt punktides a ja b pidevad funktsioonid G f : D R ja G g : E R, et Seega f (x) = f (a) + G f (x) () ja g (y) = g (b) + G g (y) (y b). g (f (x)) = g (b) + G g (f (x)) (f (x) b) = g (f (a)) + G g (f (x)) (f (a) + G f (x) () f (a)) = g (f (a)) + G g f (x) G f (x) (). Täistame G g f := (G g f) G f, see funktsioon on punktis a pidev (põjendada!), niisiis saame võrdusest g (f (x)) = g (f (a)) + G g f (x) () lemma põjal, et g f on punktis a diferentseeruv ja (g f) (a) = G g f (x) = g (f (a)) f (a) (kontrollida!). Lõpuks tõestame pöördfunktsiooni diferentseerimise reegli. Meenutame, et (vt. 3, teoreem 8) kui f : D R on intervallis D pidev rangelt monotoonne funktsioon, siis tal on pidev pöördfunktsioon, mille määramispiirkonnaks on mingi intervall D. Seejuures, kui a on intervalli D sisepunkt, siis b := f (a) on intervalli D sisepunkt (kontrollida!). Lause 4. Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon g : D R on punktis b := f (a) diferentseeruv parajasti siis f (a) 0. Sel juul g (b) = f (a). (3) Tõestus. Tarvilikkus. Kuna g (f (x)) = x iga x D korral, siis lause 3 koaselt g (f (a)) f (a) =. Siit järeldub, et f (a) 0 ja ketib võrdus (3).

5 Matemaatiline analüüs III 5 Piisavus. Olgu f (a) 0. Kuna f (x) f (a) iga x D korral, siis on funktsioon F : D {a} R, x korrektselt defineeritud, seejuures F (x) = (selgitada!). Täistades y = f (x) f (a) (ek x = g (y)), saame funktsioonide f ja g pidevusest, et y b parajasti siis, kui x a (selgitada!). Seega g (y) g (b) y b y b F (x) = f (a). Näited. 4. Leiame valemi (3) abil logaritmfunktsiooni y = f (x) = ln x (x (0, )) tuletise. Kuna f on eksponentfunktsiooni g (y) = e y (y R) pöördfunktsioon, siis f (x) = g (y) = e y = e ln x = x (x (0, )). 5. Olgu y = f (x) = arcsin x (x [, ]). Tegemist on pideva rangelt monotoonse funktsiooni x = g (y) = sin y ( y [ π 2, π 2 ]) pöördfunktsiooniga, seega valemi (3) koaselt f (x) = cos y = sin 2 y = x 2 (x (, )). 6. Analoogiliselt tuletatakse valem (arccos x) = x 2 (x (, )) (iseseisvalt!). 7. Analoogiliselt saame, et (arctan x) = ja (arccot x) = (isesisvalt!). +x 2 +x 2 3. Lagrange i keskväärtusteoreem. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Alustame litsa, kuid olulise täelepanekuga tuletise seosest funktsiooni ekstreemumitega. Meenutame, et kui funktsiooni f määramispiirkonna D sisepunktil a on ümbrus U δ (a) omadusega f (x) f (a) iga x U δ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. Kui f (x) f (a) iga x U δ (a) korral, siis kõneldakse lokaalsest miinimumist. Kui funktsioonil on vaadeldavas punktis kas lokaalne maksimum või lokaalne miinimum, siis öeldakse, et tal on lokaalne ekstreemum. Lause 5 (Fermat teoreem, tarvilik tingimus lokaalseks ekstreemumiks). Olgu funktsioon f : D R intervalli D sisepunktis a diferentseeruv ning olgu tal selles punktis lokaalne ekstreemum. Siis f (a) = 0. Tõestus. Konkreetsuse mõttes olgu funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. Olgu δ > 0 selline arv, et f (x) f (a) iga x U δ (a) korral. Siis ja 0 kõikide x (a δ, a) korral 0 kõikide x (a, a + δ) korral

6 6 4. Diferentseeruvad funktsioonid f(x) f(a) (selgitada!). Diferentseeruvuse eelduse tõttu eksisteerivad piirväärtused x a f(x) f(a) 0 ja + 0 ning need peavad olema võrdsed (selgitada!). Seega f (a) = x a f(x) f(a) = 0. x a Lokaalse miinimumi korral on tõestus analoogiline. Geomeetriliselt täendab lause 5 väide seda, et kui punktis a diferentseeruval funktsioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud tuletis on paralleelne x-teljega (selgitada!).rõutame, et tegemist on vaid tarviliku, üldjuul mitte piisava tingimusega. Litsaks kontranäiteks on funktsioon y = x 3, mis on punktis a = 0 diferentseeruv, tuletis selles punktis ja funktsioon is võrduvad nulliga, kuid punkti 0 igas ümbruses saab funktsioon nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Lause 6 (Rolle i teoreem). Olgu f : [a, b] R pidev funktsioon, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruv. Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c (a, b), et f (c) = 0. Tõestus. Kõigepealt märgime seda, et Weierstrassi tuntud teoreemi koaselt (vt. 3, teoreem 7) on funktsioonil f lõigus [a, b] nii globaalne maksimum kui ka globaalne miinimum. Kui f on konstantne funktsioon, siis f (x) = 0 iga x [a, b] puul. Mittekonstantse funktsiooni f korral saab leida sellise z (a, b), et kas f (z) > f (a) või f (z) < f (a). Mõlemal juul peab väemalt üks globaalsetest ekstreemumitest paiknema vaemikus (a, b), olgu see punktis c (a, b). Lause 5 koaselt f (c) = 0. Geomeetriliselt täendab tõestatud väide seda, et kui funktsiooni f graafiku punkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbib selline lõikaja, mis on x-teljega paralleelne, siis on nende vael selline graafiku punkt (c, f (c)), milles võetud puutuja on x-teljega paralleelne. Ei ole mingit põjust arvata, et see väide vaid x-teljega paralleelsete lõikajate ja puutujate puul ketib. Järgmine väide - nn. keskväärtusteoreem - ütlebki, et läbi graafiku punktide (a, f (a)) ja (b, f (b)) tõmmatud lõikajaga saab teatud punktis graafikule võtta selle lõikajaga paralleelse puutuja. Lause 7 (Lagrange i keskväärtusteoreem). Olgu f : [a, b] R pidev funktsioon, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c (a, b), et f (c) = Tõestuseks defineerime uue funktsiooni g (x) := f (x) f (b) f (a) b a f (b) f (a). (4) b a (), (x [a, b]). See on lõigus [a, b] pidev ning vaemikus (a, b) diferentseeruv, sealjuures g (a) = g (b), niisiis saame funktsioonile g rakendada Rolle i teoreemi. (Geomeetriliselt kõneldes, me pöörame funktsiooni f graafikut punkti (a, f (a)) ümber nii, et lõikaja, mis läbib punkte (a, f (a)) = (a, g (a)) ja (b, g (b)), oleks x-teljega paralleelne). Rolle i teoreemi koaselt leidub selline punkt c (a, b), et s.t. ketib (4). 0 = g (c) = f (c) f (b) f (a) b a

7 Matemaatiline analüüs III 7 Märkus. Tingimus (4) esitatakse titi kujul (selgitada!). f (a + ) f (a) = f (a + θ) mingi θ (0, ) korral Keskväärtusteoreemi abil on mugav kirjeldada funktsiooni f : [a, b] R monotoonsusomadusi. Lause 8. Olgu f : [a, b] R pidev funktsioon, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruv. (a) Kui leiduvad sellised arvud m ja M, et m f (x) M iga x (a, b) korral, siis m (z y) f (z) f (y) M (z y) (a y z b). (b) Kui f (x) = 0 iga x (a, b) korral, siis f on konstantne. (c) Kui f (x) > 0 (f (x) 0) iga x (a, b) korral, siis f on rangelt kasvav (kasvav) funktsioon. (d) Kui f (x) < 0 (f (x) 0) iga x (a, b) korral, siis f on rangelt kaanev (kaanev) funktsioon. Tõestus. (a) Juul z = y on väide triviaalne. Kui z > y, siis keskväärtusteoreemi koaselt leidub c (a, b) omadusega m f (c) = f (z) f (y) z y M, mis on samaväärne tõestatava tingimusega. (b) Kui f (x) = 0 iga x (a, b) korral, siis rakendame väidet (a), võttes m = M = 0. (c) Kui f (x) > 0 iga x (a, b) korral, siis (keskväärtusteoreemi koaselt ketivas) tingimuses (4) on f (c) > 0, mistõttu f (z) f (y) = f (c) (z y) > 0, kui z > y. Seega on f rangelt kasvav. Analoogiliselt tõestatakse väite teine pool (iseseisvalt!). (d) (Iseseisvalt!). 4. Caucy keskväärtusteoreem ja L Hospitali reegel. Lause 9 (Caucy keskväärtusteoreem). Olgu f : [a, b] R ja g : [a, b] R pidevad funktsioonid, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruvad, ning olgu g (x) 0 iga x (a, b) korral. Siis leidub selline c (a, b), et f (b) f (a) g (b) g (a) = f (c) g (c). (5) Tõestus. Kõigepealt märgime, et g (b) g (a), sest vastasel juul rauldaks g Rolle i teoreemi tingimusi ning g (x) võrduks nulliga väemalt ües punktis x (a, b). Moodustame funktsiooni f (b) f (a) (x) := f (x) (g (x) g (a)) g (b) g (a)

8 8 4. Diferentseeruvad funktsioonid ja paneme täele, et : [a, b] R on pidev ja vaemikus (a, b) diferentseeruv, seejuures (b) = (a) (kontrollida!). Rolle i teoreemi koaselt (c) = 0 mingis punktis c (a, b). Kuna (x) = f f (b) f (a) (x) g (b) g (a) g (x), siis saamegi seose (5). Märkus. Analoogiliselt Lagrange i keskväärtusteoreemiga saab ka valemile (5) anda teistsuguse kuju: f (a + ) f (a) g (a + ) g (a) = f (a + θ) g (a + θ) mingi θ (0, ) korral. Caucy keskväärtusteoreem annab litsa meetodi funktsioonide piirväärtuse arvutamiseks määramatuste 0 0 ja puul. või Lause 0 (L Hospitali reegel). Olgu a R. Kui kas f (x) g (x) = 0 (6) + + f (x) g (x) = (7) + + f ning eksisteerib piirväärtus (x) + =: L, siis g (x) + f(x) = L. g(x) Analoogiline tulemus ketib ka vasakpoolse ja kaepoolse piirväärtuse puul. f Tõestus. Piirväärtuse (x) + olemasolust tuleneb, et avaldis f (x) on määratud g (x) g (x) ulgas (a, a + ] mingi > 0 korral, seega on funktsioonid f ja g ulgas (a, a + ] diferentseeruvad, seejuures g (x) 0 iga x (a, a + ] korral. A. Vaatleme algul jutu (6). Defineerime uued funktsioonid F : [a, a + ] R ja G : [a, a + ] R seostega F (x) := { f (x), kui x (a, a + ], 0, kui x = a ja G (x) := { g (x), kui x (a, a + ], 0, kui x = a. Siis F ja G on pidevad ning vaemikus (a, a + ) diferentseeruvad (selgitada!), seejuures on G (x) = g (x) 0 iga x (a, a + ) korral. Caucy keskväärtusteoreemi koaselt saab iga x (a, a + ) korral leida c (a, x) omadusega f (x) g (x) F (x) F (a) = G (x) G (a) = F (c) G (c) = f (c) g (c) (selgitada!). Protsessis x a+ ketib c a+ (sest c on punktide a ja x vael), niisiis f (x) + g (x) f (c) c a+ g (c) = L. B. Juul (7) on tõestus keerulisem. Olgu ε suvaline positiivne arv, vae > 0 nii väikese, et

9 Matemaatiline analüüs III 9 ) funktsioonid f ja g oleksid ulgas (a, a + ) diferentseeruvad, 2) f (x), g (x) ja g (x) on nullist erinevad iga x (a, a + ) korral ja 3) f (c) L g (c) < ε iga x (a, a + ) korral. Fikseerime x 0 (a, a + ) ning olgu x (a, a + ) suvaline. Rakendame lõigus otspunktidega x ja x 0 Caucy keskväärtusteoreemi. Selle koaselt leidub nende punktide vael punkt c omadusega f (x) f (x 0 ) g (x) g (x 0 ) = f (c) g (c), järelikult (põjendada!). Täistades f (x) f (t) g (x) g (t) L < ε kõikide x, t (a, a + ) korral (8) ϕ (x) := g(x 0) g(x) f(x 0) f(x) ning märkides, et + ϕ (x) = (kontrollida!), saame seostest (8) ja f (x) f (x 0 ) g (x) g (x 0 ) = f (x) f(x 0) f(x) g (x) g(x 0) g(x) võrratuse f (x) ϕ (x) g (x) L < ε ek f (x) g (x), = f (x) ϕ (x) g (x) (x (a, a + )) Lϕ (x) < ε ϕ (x) (x (a, a + )), millest omakorda järeldub f (x) g (x) L f (x) Lϕ (x) g (x) + Lϕ (x) L (9) < ε ϕ (x) + L ϕ (x) (x (a, a + )) Vae δ > 0 nii väikese, et δ ja iga x (a, a + δ) korral ketib võrratus ϕ (x) < ε ek ϕ (x) < ε + (x (a, a + δ)). (0) Võrratustest (9) ja (0) tuleneb tingimus f (x) g (x) L < ε (ε + ) + L ε (x (a, a + δ)), mis täendabki, et + f(x) g(x) = L. Analoogiliselt tõestatakse väited vasakpoolsete piirväärtuste korral. Litne on näa, et kui väited ketivad nii parem- kui vasakpoolsete piirväärtuste jaoks, siis ketivad nad ka kaepoolsete piirväärtuste puul.

10 0 4. Diferentseeruvad funktsioonid Märkus 2. Analoogilised väited (analoogiliste tõestustega) ketivad juul, kui piirprotsess on kas x või x. 5. Kõrgemat järku tuletised. Taylori valem. Olgu funktsioon f : D R intervalli D sisepunktis a ja selle ümbruses U δ (a) = (a δ, a + δ ) diferentseeruv. juul on määratud funktsioon f : (a δ, a + δ ) R, x f (x) ja me võime püstitada küsimuse tema diferentseeruvusest punktis a. Kui vastus on positiivne, s.t. eksisteerib funktsiooni f tuletis f (a) := (f ) (a), siis seda nimetame esialgse funktsiooni f teiseks (ek teist järku) tuletiseks punktis a ja ütleme, et f on punktis a kaks korda diferentseeruv. Eeldades, et f on kaks korda diferentseeruv punkti a mingis ümbruses U δ2 (a) = (a δ 2, a + δ 2 ) U δ (a), uurime funktsiooni f : (a δ 2, a + δ 2 ) R, x f (x) diferentseeruvust punktis a. Positiivse vastuse korral saame funktsiooni f kolmanda (ek kolmandat järku) tuletise f (a) := (f ) (a). Üldiselt, kui funktsioonil f on punkti a ümbruses U δn (a) = (a δ n, a + δ n ) olemas (n )-järku tuletis f (n ) : (a δ n, a + δ n ) R, x f (n ) (x), mis punktis a on diferentseeruv, siis öeldakse, et f on punktis a n korda diferentseeruv, ja funktsiooni f (n ) tuletist ( f (n )) (a) nimetatakse funktsiooni f n-järku tuletiseks punktis a. Olgu f : D R punktis a n korda diferentseeruv funktsioon. Me seame endale eesmärgiks leida niisugune polünoom, mis võimalikult ästi läendaks seda funktsiooni punkti a mingis ümbruses. Kui n =, siis sobib selleks esimese astme polünoom T (x) := f (a)+f (a) () (vt. punkt ). Kui f on punktis a kaks korda diferentseeruv (s.t. n = 2), siis defineerime T 2 (x) := f (a) + f (a) () + 2 f (a) () 2 ja paneme täele, et T 2 (a) = f (a), T 2 (a) = f (a) ja T 2 (a) = f (a), mis muuulgas ütleb, et funktsioonide f ja T 2 väärtused punktis a langevad kokku ja neil on üine puutuja. See annab põjust arvata, et punkti a teatavas ümbruses on T 2 funktsioonile f eaks läendiks. Üldjuul, kui f on n korda diferentseeruv, moodustame polünoomi T n (x) := f (a) + f (a) () + 2 f (a) () n! f (n) (a) () n = n k=0 k! f (k) (a) () k Sel

11 Matemaatiline analüüs III (siin f (0) := f), mida nimetatakse n-järku Taylori polünoomiks. Vaetu kontroll näitab, et T n (k) (a) = f (k) (a) kõikide k = 0,,..., n korral. Samal ajal on litne veenduda, et kui mingi n-astme polünoom P (x) = a 0 + a () a n () n rauldab tingimust P (k) (a) = f (k) (a) iga k = 0,,..., n korral, siis P = T n, s.t. a k = f (k) (a) (kontrollida!). See asjaolu õigustabki sellist polünoomide T k! n valikut. Allpool (vt. lause 2) näeme, et tegelikult on T n kõikide n-astme polünoomide ulgas (teatavas mõttes) parim läend funktsioonile f punkti a ümbruses. Täistame R n+ (a, x) := f (x) T n (x), seega f (x) = f (a) +! f (a) () n! f (n) (a) () n + R n+ (a, x). Seda valemit nimetatakse funktsiooni f Taylori valemiks punktis a ja avaldist R n+ (a, x) nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks, sellele saab anda erinevaid esitusi. Toome järgnevas mõned tätsamad jääkliikme kujud. Olgu b U δ (a) fikseeritud ja t U δ (a) muutuv suurus. Täistame F (t) := R n+ (t, b) = f (b) n k=0 k! f (k) (t) (b t) k, siis F (t) = n k=0 n = + n k= k=0 k! f (k+) (t) (b t) k n k= k! f (k) (t) ( ) k (b t) k k! f (k+) (t) (b t) k n! f (n+) (t) (b t) n (k )! f (k) (t) (b t) k = n! f (n+) (t) (b t) n (kontrollida!). Moodustame abifunktsiooni G (t) := (b t) r, kus r on mingi naturaalarv. Olgu := b a. Caucy keskväärtusteoreemi koaselt leidub selline arv θ (0, ), et F (a) F (b) G (a) G (b) = F (a + θ) G (a + θ). Seejuures F (a) = R n+ (a, b), F (b) = G (b) = 0, G (a) = (b a) r, F (a + θ) = n! f (n+) (a + θ) ( θ) n n, G (a + θ) = r ( θ) r r, täendab, F (a) (b a) r = rn! f (n+) (a + θ) ( θ) n r+ n r+,

12 2 4. Diferentseeruvad funktsioonid millest R n+ (a, b) = F (a) = rn! f (n+) (a + θ) ( θ) n r+ n+ Me saime (asendades fikseeritud b muutujaga x U δ (a)) jääkliikme nn Sclömilci üldkujul R n+ (a, x) = rn! f (n+) (a + θ ()) ( θ) n r+ () n+. Sellest saadakse juul r = jääkliige Caucy kujul ja juul r = n + Lagrange i kujul R n+ (a, x) = n! f (n+) (a + θ ()) ( θ) n () n+ R n+ (a, x) = (n + )! f (n+) (a + θ ()) () n+. Märgime, et kuna eelduse koaselt on f (n+) ulgas U δ (a) pidev, siis on mingis väiksemas ümbruses U δ (a) U δ (a) tõkestatud (põjendada!). Seega (põjendada!). Võtame eelneva arutelu kokku järgmiseks teoreemiks. R n+ (a, x) () n = 0 () Teoreem (Taylori teoreem). Kui funktsioon f : D R on intervalli D sisepunkti a mingis ümbruses U δ (a) n+ korda pidevalt diferentseeruv, siis leidub selline arv θ (0, ), et f (x) = f (a) +! f (a) () n! f (n) (a) () n + (n + )! f (n+) (a + θ ()) () n+. (2) Seejuures rauldab jääkliige R n+ (a, x) = f (n+) (a + θ ()) () n+ (n+)! (). tingimust Järgmise lause koaselt on esitus (2) teatavas mõttes üeselt määratud. Lause 2. Olgu funktsioon f : D R on intervalli D sisepunkti a mingis ümbruses U δ (a) n + korda pidevalt diferentseeruv ja olgu P (x) = n k=0 a kx k selline polünoom, et k=0 f (x) n k=0 a k () k () n = 0. (3) Siis a k = f (k) (a) (k = 0,..., n). k! Tõestus. Asendame valemisse (3) f (x) seosest (2), saame ( n ( ) ) () k k! f (k) (a) a k () n + (n + )! f (n+) (a + θ ()) () = 0.

13 Matemaatiline analüüs III 3 See võrdus on võimalik vaid juul a k = k! f (k) (a) (k = 0,..., n) (selgitada!). Näide. Leiame eksponentfunktsiooni f (x) = e x esituse Taylori valemi abil punkti a = 0 ümbruses. Valemi (2) koaselt e x = +! x + 2! x n! xn + eθx (n + )! xn+ (kontrollida!). Jääkliige R n+ (0, x) = eθx (n+)! xn+ kirjeldab viga, mida me teeme, kui asendame funktsiooni väärtuse e x polünoomiga + x +! 2! x n! xn. Selle vea indamiseks paneme täele, et kui b > 0, siis e θx (n + )! xn+ bn+ (n + )! e3 ( x b). b Seejuures n+ n = 0 (selgitada!), niisiis (n+)! n R n+ (0, x) = 0 iga x R korral (selgitada!) ek e x x k = iga x R korral. k! k=0