12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1"

Väljavõte

1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus Algfunktsioon Määramata integraal Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Tehetega seotud integreerimisreeglid Muutuja vahetamine Ositi integreerimine Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Kontrolltöö teemad. Määramata integraali seos kiirenduse, kiiruse ja teepikkusega. 2. Põhiliste elementaarfunktsioonide algfunktsioonid. 3. Muutuja vahetuse võte määramata integraali leidmisel.. Ositi integreerimise reegel ja selle kasutamine. Eksamiteemad. Algfunktsiooni mõiste. 2. Määramata integraali mõiste. 3. Määramata integraali seos kiirenduse, kiiruse ja teepikkusega.. Põhiliste elementaarfunktsioonide algfunktsioonid. 5. Muutuja vahetuse võte määramata integraali leidmisel. 6. Ositi integreerimise reegel ja selle kasutamine. 9

2 2. Algfunktsioon 2. Sissejuhatus Vaatleme objekti liikumist seaduse s = s(t) alusel, kus s näitab läbitud teepikkust ajahetkel t. Funktsiooni s tuletis andis meile hetkkiiruse v(t) = s (t) hetkel t ja teine tuletis kiirenduse a(t) = s (t), a(t) = v (t) = s (t). Vaatleme nüüd olukorda, kus me näiteks teame objekti kiirust v(t) igal ajamomendil. Meid huvitab, kas kiiruse v(t) alusel saab teada objekti asukoha s(t) igal ajahetkel t. Osutub, et teatud tingimustel on see võimalik. Sellist vastupidise suunaga info leidmist me nimetamegi määramata integraali leidmiseks (sõnastame täpsemalt all pool). Kohe me näeme, et kiirenduse või kiiruse teadmisel kehtivad järgmised omadused: v(t) = v (t) dt = a(t) dt, s(t) = s (t) dt = v(t) dt. 2.2 Algfunktsioon Definitsioon 2. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a, b), kui F (x) = f(x) iga x (a, b) korral. Funktsiooni f algfunktsiooni leidmine on sama, mis leida diferentsiaalvõrrandi y = f(x) Näide 2. Funktsiooni y = x 3 üheks algfunktsiooniks on funktsioon y = x, üldiselt iga funktsioon kujul y = x + C, lahend y = y(x). Diferentsiaalvõrrandid on looduse modelleerimisel üks väga levinud vahend. kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, ( ) x F (x) = + C = x 3. Näide 2.2 Arvestades sissejuhatuses toodud kommentaare, on lihtne näha, et kiirenduse a(t) algfunktsiooniks on kiirus v(t) ja kiiruse algfunktsiooniks on teepikkus s(t). Matemaatiliselt kehtib väide vähemalt siis, kui a ja v on pidevad funktsioonid aja t järgi. Olgu näiteks punkti liikumise kiirus konstantne v(t) =. Sel juhul v algfunktsiooniks on s(t) = t + C (kuna (t + C) = ). Kui me liikumise kohta rohkem infot ei tea, siis v algfunktsiooniks võib olla iga sirge t+c, mille tõus on üks, kuid lõikepunkt y-teljega suvaline (s.t. kõik sirged, mille tõus on üks). 50

3 2. Määramata integraal Te sõidate autoga maanteel kiirusega 90 km/h. Kui suur peab olema auto konstante aeglustus (negatiivne kiirendus, a), et auto peatuks 73 meetri pärast? Tähistame auto liikumise seaduse s = s(t). Siis saame diferentsiaalvõrrandi s (t) = a Kui me näiteks teame, et alghetkel t = 0 objekti asukoht oli punktis, siis võrdustest s(0) = 0 + C = saame, et C = ja punkti liikumisseaduseks on üks konkreetne sirge s(t) = t +. Kui s(0) oli midagi muud, siis saame mingi teise paralleelse sirge. Märkus 2. Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F (x) + C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. 2.3 Määramata integraal tingimustega v(0) = s (0) = 60 ja s(0) = 0. Viimase lahendamine taandub algfunktsiooni leidmise peale. Seega v(t) = s (t) = at + C. Kuna v(0) = 60, siis C = 60 ja kiiruse avaldiseks tuleb v(t) = at Edasi, s(t) = a t t+C, millest algtingimuse s(0) korral saame C = 0 ja s(t) = a t t. Kiirus v = 0, kui t = 60 a. Jääb veel asendada see aeg võrrandisse = a t t. Pärast ühikutega opereerimist saame vastuseks a.9 m/s 2. Definitsioon 2.2 Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F (x) +C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Siin F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. Tähistame f(x) dx = F (x) + C. (2.) Definitsioon 2.3 Funktsiooni määramata integraali leidmist nimetatakse selle funktsiooni integreerimiseks. Näide 2.3 Leiame 2x dx = x 2 + C. 5

4 2. Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Märkus 2.2 Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed:. ( f(x) dx ) = f(x), 2. d ( f(x) dx ) = f(x) dx, 3. df (x) = F (x) + C. Seega diferentseerimine ja integreerimine on teineteise pöördoperatsioonid (konstantse liidetava täpsusega). Inglise keeles kasutatakse tuletise jaoks väljendit derivative ja määramata integraali jaoks väljendit antiderivative, mis on tegelikult täpsem, kui eesti keelne integreerimine. Miks, seda selgitame siis, kui tutvume määratud integraali mõistega. Märkus 2.3 Funktsioonil f on olemas määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon. Igal vahemikus (a, b) pideval funktsioonil on olemas algfunktsioon selles vahemikus. 2. Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Astmefunktsioonid c dx = c x + C x dx = x2 2 + C x α dx = xα+ α + + C dx = ln x + C x x 2 dx = x + C 2 x dx = x + C Eksponentfunktsioonid e x dx = e x + C a x dx = ax ln(a) + C Trigonomeetrilised funktsioonid sin(x) dx = cos(x) + C cos(x) dx = sin(x) + C cos 2 dx = tan(x) + C (x) sin 2 dx = cot(x) + C (x) 52

5 2. Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid dx = arcsin(x) + C dx = arccos(x) + C x 2 x 2 dx = arctan(x) + C + x2 dx = arccot(x) + C + x2 Hüperboolsed funktsioonid sh(x) dx = ch(x) + C ch(x) dx = sh(x) + C ch 2 dx = th(x) + C (x) sh 2 dx = cth(x) + C (x) Hüperboolsete funktsioonide pöördfunktsioonid dx = arsh(x) + C dx = arch(x) + C x2 + x2 dx = arth(x) + C x2 dx = arcth(x) + C x2 Märkus 2. Kõikidel funktsioonidel ei pruugi leiduda algfunktsiooni elemetaarfunktsioonide kujul (selliseid funktsioone saab leida ainult ligikaudsete meetoditega). Näiteks järgmisi integraale ei saa esitada elementaarfunktsioonide abil: e x2 dx, cos ( x 2) sin(x) dx, dx. x 2.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid Teoreem 2. Kui on olemas integraalid f(x) dx ja g(x) dx, siis kõikide reaalarvude α, β R korral on olemas integraal (α f(x) + β g(x)) dx, kusjuures (α f(x) + β g(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. (2.2) 53

6 2. Tehetega seotud integreerimisreeglid Tõestus. Eelduse järgi leiduvad algfunktsioonid F ja G, nii et F (x) = f(x) ja G (x) = g(x) ja α f(x) dx + β Tuletise leidmiste omadustest kehtib g(x) dx = α F (x) + β G(x). (α F (x) + β G(x)) = α F (x) + β G (x) = α f(x) + β g(x). Viimane ütlebki, et (α f(x) + β g(x)) algfunktsiooniks on (α F (x) + β G(x)). Näide 2. Leiame määramata integraali ( x sin(x) 2 ) dx = x 5 dx + 0 x 0 cos(x) 2 ln x + C. = x6 6 sin(x) dx 2 x dx Näide 2.5 Auto sõidab konstantse kiirendusega a. Leida läbitud teepikkuse seadus, kui auto algkiirus oli v(0) = v 0 ja esialgne asukoht s(0) = s 0. If there is a chance that something can go wrong, then 9 times out of ten it will. (Paul Harvey News, 979) I gather, young man, that you wish to be a Member of Parliament. The first lesson that you must learn is, when I call for statistics about the rate of infant mortality, what I want is proof that fewer babies died when I was Prime Minister than when anyone else was Prime Minister. That is a political statistic. (Winston Churchill) If you torture data enough it will confess, öeldud ühe statistikaprofessori poolt. Leiame kiiruse v(t) = a dt = a t + C, kus tingimusest v(0) = v 0 saame, et C = v 0. Leiame teepikkuse s(t) = v(t) dt = (a t + v 0 ) dt = a t2 2 + v 0 t + C, kus tingimusest s(0) = s 0 saame, et C = s 0. Seega auto liigub seaduse s(t) = 2 a t2 + v 0 t + s 0 alusel. Kui liikumine ei ole konstantse kiirendusega, siis saaksime mingi muu liikumise seaduse. 2.6 Muutuja vahetamine Integreerimine on üldjuhul raske tehe. Tuletise leidmisel kasutasime korrutamise ja jagamise reegleid, liitfunktsiooni leidmise reeglit jne. Integraali leidmisel selliseid universaalseid reegleid eriti palju ei ole. Enamasti taandub integreerimine algfunktsiooni ära arvamisele, mille järel saab teatud abitulemustega näidata, et vastus tuleb see, mis ta peab tulema. Seoses sellega on integreerimise jaoks välja töötatud palju erivõtteid (mõnikord ainult kindlat tüüpi funktsioonide jaoks), millest tutvustame siinkohal ainult kahte kõige olulisemat: muutujate vahetamine ja ositi integreerimine. 5

7 2. Muutuja vahetamine Lause 2. [5]. Kui funktsioonil f on intervallis X olemas algfunktsioon F ja ϕ on intervallis T diferentseeruv funktsioon muutumispiirkonnaga X, siis kehtib valem f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. (2.3) Tõestus. Funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon ja järelikult f(x) dx = F (x) + C. Meie eeldustel eksisteerib funktsioonide F ja ϕ liitfunktsioon F ϕ määramispiirkonnaga T. Liitfunktsioon F ϕ on toodud eeldustel diferentseeruv, kusjuures iga t T korral kehtib seos (F ϕ) (t) = F (ϕ(t)) ϕ (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t). Saime, et funktsiooni (f ϕ) ϕ algfunktsiooniks intervallis T on F ϕ, mistõttu f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = (F ϕ)(t) + C = F (ϕ(t)) + C. Kuna funktsiooni ϕ muutumispiirkond on intervall X, võime võtta x = ϕ(t) ja seega f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = F (x) + C. Kasutades eelnevaid seoseid, saamegi võrduse (2.3). Näide 2.6 Leiame integraali e 2x 3 dx. Teeme muutujavahetuse y = 2x 3. Sel juhul dy = d(2x 3) = 2dx ja dx = dy 2. Järelikult e 2x 3 dx = e y 2 dy = ey 2 + C. Asendades y = 2x 3 tagasi, saame e 2x 3 dx = e2x 3 + C. 2 Märkus 2.5 Muutuja vahetamise võtte erijuhuks on diferentsiaali märgi alla viimise võte. Sel juhul on enamasti lihtne leida diferentsiaali dv(t) = v (t) dt. 55

8 2. Muutuja vahetamine Näide 2.7 Leiame integraali cos(x) dx. Me teame, et koosinuse algfunktsiooniks on siinus. On lihtne näha, et d(x) = dx. Seega võime kirjutada cos( x) dx = cos(x) d( x) = sin( x) + C, devil = evil + C mille võib leida ka muutuja vahetamise y = x abil cos( x) dx = cos(y) dy = sin(y) + C = sin( x) + C. Näide 2.8 Leiame integraali (x 3) 2 dx. Me teame, et ruutfunktsiooni algfunktsiooniks on teatav kuupfunktsioon. On lihtne näha, et d(x 3) = dx. Seega võime kirjutada (x 3) 2 dx = (x 3) 2 d(x 3) = (x 3)3 3 mille võib leida ka muutuja vahetamise y = x 3 abil (x 3) 2 dx = y 2 dy = y3 (x 3)3 + C = C, + C. Näide 2.9 Leiame integraali sin 2 (x) cos(x) dx. Märkame, et d sin(x) = cos(x) dx. Seega võime kirjutada sin 2 (x) cos(x) dx = Kontrolliks võib leida, et ( sin 3 (x) 3 sin 2 (x) d sin(x) = sin3 (x) 3 + C. ) + C = 3 sin2 (x) cos(x) = sin 2 (x) cos(x). 3 56

9 2. Ositi integreerimine 2.7 Ositi integreerimine Lause 2.2 [5]. Olgu funktsioonid u ja v mingis intervallis X diferentseeruvad funktsioonid ja eksisteerigu integraal v(x) u (x) dx. Siis eksisteerib ka integraal u(x) v (x) dx ja kehtib seos u(x) v (x) dx = u(x) v(x) v(x) u (x) dx. (2.) Tõestus. Tehtud eelduste korral on korrutis u v diferentseeruv, [u(x) v(x)] = u (x) v(x) + u(x) v (x). Kuna on olemas integraal v(x) u (x) dx, siis leidub funktsiooni v u algfunktsioon F. Järelikult [u(x) v(x)] = F (x) + u(x) v (x), millest saame u(x) v (x) = [u(x) v(x)] F (x) = [u(x) v(x) F (x)]. Saime, et (u v F ) on funktsiooni u v algfunktsioon. Tulemus ütlebki, et u(x) v (x) dx = u(x) v(x) F (x) + C = u(x) v(x) v(x) u (x) dx. Märkus 2.6 Valemit (2.) nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemikis. Kuna u (x) dx = du ja v (x) dx = dv, siis esitatakse seos sageli kujul u dv = u v v du. (2.5) Näide 2.0 Leiame integraali 57

10 2. Ositi integreerimine Näide 2. Leiame integraali x cos(x) dx. Kui meil on integraali märgi all polünoom korda teine funktsioon, siis on tihti lootust leida vastus ositi integreerimise teel. Üldiselt võetakse funktsiooniks v selline funktsioon, millest on lihtne leida integraali ja funktsiooniks u selline, et u tuletis lihtsustab avaldist. Kuna tuletis alandab polünoomi järku ja integreerimine tõstab, siis kasulik on valida u(x) = x, dv(x) = cos(x) dx. Siit u (x) = x = du = dx ja võrduse dv(x) = cos(x) dx integreerimisel saame dv(x) = cos(x) dx v(x) = sin(x). Seega ositi integreerimise valemi abil leiame x cos(x) dx = x sin(x) sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C. Näide 2.2 Vaatleme ühte sageli esinevat integraali sin 2 (x) dx. Leiame selle integraali mitmel erineval moel. Esiteks ositi integreerimisega, võttes u = sin(x) ja dv = sin(x) dx. Siis du = cos(x) dx, v(x) = cos(x). Saame sin 2 (x) dx = sin(x) cos(x) + cos 2 (x) dx = 2 sin(2x) + ( sin 2 (x)) dx. Siit saab leida, et sin 2 (x) dx = 2 sin(2x) + x sin 2 (x) dx. Viies sin 2 (x) dx paremalt poolt vasakule, tekib võrrand sin 2 (x) dx suhtes. Järelikult sin 2 (x) dx = x 2 sin(2x) + C. 58

11 2. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Näide 2.3 Teine võimalus sin 2 (x) dx leidmiseks on kasutada trigonomeetrilist valemit sin 2 x = ( cos(2x)). 2 Siis sin 2 (x) dx = 2 2 sin 2 (x) dx = 2 ( cos(2x)) dx = x 2 sin(2x) + C. Allikas: Näide 2. Kolmas võimalus on kasutada siinuse kompleksarvulist esitust (imaginaarühik i käitub siin kui konstant), ( e sin 2 i x e i x ) 2 ( e i (2x) + e i (2x) ) 2 (x) dx = dx = dx. 2i Arvestades, et e i (2x) dx = 2i ei (2x) d(2ix) = ei (2x) + C, 2i siis sin 2 (x) dx = ( e i (2x) e 2i i (2x) ) + x 2 + C = x 2 sin(2x) + C. Analoogiliselt leitakse eraldi cos 2 (x) dx, kuid praegu saaksime otse leida cos 2 (x) dx = ( sin 2 (x)) dx = x x 2 + sin(2x) + C = x 2 + sin(2x) + C. 2.8 Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Vaatleme järgnevalt lihtsamaid juhte polünoomide P (x) ja Q(x) jagatise P (x) Q(x) integreerimisel. Näide 2.5 Leiame integraali 5x x 2 x 2 dx. Antud polünoomi 5x x 2 x 2 5x x 2 x 2 = Seega 5x x 2 x 2 dx = saab lahutada teguriteks A x x + dx+ B x 2 = 2 x x 2. 3 dx = 2 ln x+ +3 ln x 2 +C. x 2 59

12 2. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Näide 2.6 Leiame integraali x (x 2 + ) dx. Antud polünoomi x (x 2 +) saab lahutada teguriteks x (x 2 + ) = A x + Bx + C x 2 +. Võttes tegurid uuesti ühisele nimetajale A x + Bx + C x 2 + = Ax2 + A + Bx 2 + Cx x (x 2 = (A + B)x2 + Cx + A + ) x (x 2 + ) saame konstantide A, B ja C jaoks võrrandid A + B = 0, C = 0, A =. Seega A =, B = ja C = 0. Kokkuvõtteks x (x 2 + ) dx = ( x x ) x 2 dx = + ln x 8 ln x2 + + C. Näide 2.7 Leiame integraali 2x 2 + x 2 (x ) dx. 2x Antud polünoomi 2 + x2 (x ) saab lahutada teguriteks 2x 2 + x 2 (x ) = A x + B x 2 + C x. Võttes tegurid uuesti ühisele nimetajale A x + B x 2 + C x = Ax2 Ax + Bx B + Cx 2 x 2 (x ) = (A + C)x2 + (B A)x B x 2 (x ) saame konstantide A, B ja C jaoks võrrandid A + C = 2, B A = 0, B =. Seega A =, B = ja C = 3. Kokkuvõtteks 2x 2 ( + x 2 (x ) dx = x x ) dx x = ln x ln x + C. x Mõningaid erijuhte vaatleme veel lisaks praktikumides. 60

13 2. Viited Viited [] M. M. Dougherty, J. Gieringer. First Year Calculus For Students of Mathematics and Related Disciplines (veebikonspekt). [2] D. Hoffman. Contemporary Calculus (veebikonspekt). Bellevue College. [3] A. D. Hwang. Calculus for Mathematicians, Computer Scientists, and Physicists. An Introduction to Abstract Mathematics (loengukonspekt). College of the Holy Cross, [] J. Knisley, K. Shirley. Calculus: A Modern Approach (veebikonspekt) [5] L. Loone, V. Soomer. Matemaatilise analüüsi algkursus. Tartu Ülikooli Kirjastus [6] G. B. Thomas, M. D. Weir, J. Hass. Thomas Calculus th. Pearson, [7] A. J. Washington. Basic Technical Mathematics with Calculus. 0th ed. Pearson, 20. 6

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

(Tõrked ja töökindlus \(2\))

(Tõrked ja töökindlus \(2\)) Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013

3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 3D mänguarenduse kursus (MTAT.03.283) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 Teemad Tee leidmine ja navigatsioon Andmete protseduuriline genereerimine Projektijuhtimine Tee leidmine Navigatsiooni võrgustik (navigation

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Remote Desktop Redirected Printer Doc

Remote Desktop Redirected Printer Doc VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus

Rohkem

Pimeda ajal sõitmine

Pimeda ajal sõitmine Sõidueksamitel tehtud vead www.mnt.ee 1 Vasakpöörde sooritamine Sõiduteel paiknemine. Enne vasak- või tagasipööret peab juht aegsasti suunduma sõidutee pärisuunavööndi vasaku ääre lähedale või selle pöörde

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

E-õppe ajalugu

E-õppe ajalugu Koolituskeskkonnad MTAT.03.142 avaloeng Anne Villems September 2014.a. Põhiterminid Koolituskeskkonnad (Learning environments) IKT hariduses (ICT in education) E-õpe (e-learning) Kaugõpe (distance learning)

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Keskkonnamoju_rus.ppt

Microsoft PowerPoint - Keskkonnamoju_rus.ppt Keskkonnakonverents 07.01.2011 Keskkonnamõju hindamine ja keskkonnamõju strateegiline hindamine on avalik protsess kuidas osaleda? Elar Põldvere (keskkonnaekspert, Alkranel OÜ) Kõik, mis me õpime täna,

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid

Rohkem

Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta

Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator

Rohkem

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Rohkem

6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE

6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE 6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF 868MHz 3-6 EE 1. KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC

Rohkem

Kuidas hoida tervist töökohal?

Kuidas hoida tervist töökohal? Kuidas hoida tervist töökohal? Kristjan Port, TLU 25.04.2017 Tööinspektsiooni konverents Kas aeg tapab?. Mis on tervis? Teadmatus võib olla ratsionaalne. On olukordi milles teadmiste hankimise kulud ületavad

Rohkem

KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1

KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1 KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1 KUULA JA KORDA Inglise keel 1 Koostanud Kaidi Peets Teksti lugenud Sheila Süda (eesti keel) Michael Haagensen (inglise keel) Kujundanud Kertu Peet OÜ Adelante Koolitus, 2018

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL

TARTU ÜLIKOOL TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatika instituut Matemaatika eriala Liina Uurman Mehaaniliste võnkumiste ja majanduse mudelid Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ella Puman Tartu 2014

Rohkem

Kuidas ärgitada loovust?

Kuidas ärgitada loovust? Harjumaa ettevõtluspäev äriideed : elluviimine : edulood : turundus : eksport Äriideede genereerimine Harald Lepisk OPPORTUNITYISNOWHERE Ideed on nagu lapsed Kas tead kedagi, kelle vastsündinud laps on

Rohkem

Õppematerjalide esitamine Moodle is (alustajatele) seminar sarjas Lõunatund e-õppega 12. septembril 2017 õppedisainerid Ly Sõõrd (LT valdkond) ja Dian

Õppematerjalide esitamine Moodle is (alustajatele) seminar sarjas Lõunatund e-õppega 12. septembril 2017 õppedisainerid Ly Sõõrd (LT valdkond) ja Dian Õppematerjalide esitamine Moodle is (alustajatele) seminar sarjas Lõunatund e-õppega 12. septembril 2017 õppedisainerid Ly Sõõrd (LT valdkond) ja Diana Lõvi (SV valdkond) Järgmised e-lõunad: 10. oktoober

Rohkem

Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa

Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Minu nimi on... Õpin......

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

lcs05-l3.dvi

lcs05-l3.dvi LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

elastsus_opetus_2017_ptk3

elastsus_opetus_2017_ptk3 1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng6ver2.ppt

Microsoft PowerPoint - Loeng6ver2.ppt Admeaalüüs molekulaarbioloogias LOMR.10.007 6. loeg Regressiooaalüüs. Regressiooseose tugevus (korrelatsiooikordaja, determatsiooikordaja) Märt Möls martm@ut.ee Kas Argetiias elavad õelikud iimesed? eadmestik:

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta

Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 Bayesi statistika Markovi ahelatega,

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

DVD_8_Klasteranalüüs

DVD_8_Klasteranalüüs Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Microsoft Word - polkaudio 2010 hinnakiri

Microsoft Word - polkaudio 2010 hinnakiri polkaudio 2010 hinnakiri HINNAKIRI 2010 Kirjeldus Viimistlus Hinna Hind EEK Hind ühik 20%km 20%km naturaalne LSi SEEERIA spoon LSi 15 Põrandakõlar või kirss tk. 11344 725 LSi 9 Riiulikõlar või kirss paar

Rohkem

VRG 2, VRG 3

VRG 2, VRG 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine

Rohkem

SAF 7 demo paigaldus. 1.Eeldused SAF 7 demo vajab 32- või 64-bitist Windows 7, Window 8, Windows 10, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2012, Wind

SAF 7 demo paigaldus. 1.Eeldused SAF 7 demo vajab 32- või 64-bitist Windows 7, Window 8, Windows 10, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2012, Wind SAF 7 demo paigaldus. 1.Eeldused SAF 7 demo vajab 32- või 64-bitist Windows 7, Window 8, Windows 10, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2012, Windows Server 2012 R2, Windows Server 2016 või Windows

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

FJT p6hivara 2019

FJT p6hivara 2019 Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid

Rohkem

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU

Rohkem