elastsus_opetus_2017_ptk3

Väljavõte

1 1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon Siire ja deformatsioon Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y, z. VälisjõududetoimelliigubtaasendisseA koordinaatidega x,y,z.vektoritaa nimetatakse punkti A siirdeks ehk siirdevektoriks. 1 Eristame kahte liiki siirded: keha kui terviku siirded toimuvad ilma deformatsioonideta) jäiga keha mehaanika 2 siirded, mis on seotud keha deformatsiooniga käesolevas kursuses vaadeldakse vaid selliseid siirdeid. Siirdevektori koordinaattelgede x, y, z sihilisi komponente tähistatakse u, v, w, st., u = x x, v = y y,, w = z z. 3.1) 1 Siirde sünonüüm on paigutis. 2 Mitmed pideva keskkonna mehaanika õpikud nimetavad selliseid siirdeid jäigaks deformatsiooniks.

2 3.1. Siire ja deformatsioon 3-3 v + v y dy y C C u + u y dy C β 2 dy y v A A β 1 B B B v + v O x u dx u + u x Joonis 3.1: Normaal- ja nihkedeformatsioon 3.1. Siire ja deformatsioon 3-4 Kui keha deformeerub, siis peavad erinevate punktide siirded olema erinevad, st., u = ux, y, z), v = vx, y, z), w = wx, y, z). 3.2) Vaatleme lõpmata väikese risttahuka kahe serva käitumist x, y tasandil joon. 3.1). Enne deformatsiooni: AB = dx x ja AC = dy y; Punktide koordinaadid: A :x, y); B :x + dx, y); C :x, y + dy). Peale deformatsiooni: A A ; B B ja C C.Vastavadsiirded: Punkt A: u ja v; Punkt B: u + u v dx ja v + x ; Punkt C: u + u v dy ja v + y y dy;

3 3.1. Siire ja deformatsioon 3-5 Kuna lineaarses elastsusteoorias on kõik muutused väikesed, siis on väikesed ka servade AB ja AC pöördenurgad, st., cos β 1, sin β β ja tan β β. Seetõttu lõikude AB ja AC suhtelised pikenemised koordinaatide x ja y sihilised normaaldeformatsioonid) ε x = A B AB AB ε y = A C AC AC A B AB AB A C AC AC dx + u + u dx u) dx = x = dx dy + v + v dy v) dy y = = dy u dx v y dy dy = u x, = v y 3.3) 3.1. Siire ja deformatsioon 3-6 ja pöörded β 1 tan β 1 = B B A B = β 2 tan β 2 = C C A C = v dx + u = u y dy v 1 + u x dy + u y dy =...= }{{} =ε x 1 u y )dx = v dx = v x 3.4) Nihe ehk nihkedeformatsioon on defineeritud kui algse täisnurga muutus,st.nihe xy tasandil γ xy = β 1 + β 2 = u y + v x. 3.5)

4 3.1. Siire ja deformatsioon 3-7 Analoogiliselt saab leida suhtelised pikenemised normaaldeformatsioonid) ja nihked teistel koordinaattasanditel. Kokku saame kuus seost deformatsioonikomponentide ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz ja siirdekomponentide u, v, w vahel: ε x = u x, γ xy = u y + v x, ε y = v y, γ yz = v z + w y, ε z = w z, γ xz = u z + w x. Saadud seoseid nimetatakse tihti Cauchy võrranditeks või Cauchy seosteks. Märgireeglid: pikenemisele vastav normaaldeformatsioon on positiivne; 3.6) koordinaattelgede positiivsete suundade vahelisele täisnurga vähenemisele vastav nihe on positiivne. Järeldus: Positiivsed pinged põhjustavad positiivseid deformatsioone Siire ja deformatsioon Orienteeritud lõigu pikenemine Vaatleme kahte lõpmata lähedast punkti A ja B, kusjuures vektor AB = dr =dx, dy, dz). Siinjuures on vektori dr suunakoosinused l = dx dr, m = dy dr, n = dz dr. y B B A dr A dy dx dz z Joonis 3.2: Lõigu AB deformatsioon x

5 3.1. Siire ja deformatsioon 3-9 Vastava joonelemendi AB suhteline pikenemine deformatsioon) Siin ε r = A B AB. AB AB = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr, A B = dx + u )2 r dr + = dr 1+2 dy + v )2 r dr + l u r + m v r + n w r ). dz + w r dr )2 = ) 3.8) Kombineerides kahte viimast avaldist ning hinnates liikmete suurusjärke saame ε r = l u r + m v r + n w r. 3.9) Teisendades osatuletised r järgi osatuletisteks koordinaatide x, y, z järgi, saame 3 ε r = l 2 ε x + m 2 ε y + n 2 ε z + lmγ xy + mnγ yz + lnγ xz. 3.10) 3 Detailset tuletuskäiku vt. R. Eek, L. Poverus, Ehitusmehaanika II, Tallinn, Valgus, 1967 lk Siire ja deformatsioon 3-10 Rakendus tensomeetrias. Olgu vaja määrata xy tasandi meelevaldses punktis normaaldeformatsioonid suhtelised pikenemised) ε x ja ε y ning nihe γ xy. Kuna antud juhul on n =0,siissaamevalemile3.10)kuju ε r = l 2 ε x + m 2 ε y + lmγ xy. 3.11) Kaks lahendust: 1. Vaadeldava punkti ümbrusse asetatakse kolm suvaliselt orienteeritud tensomeetrit joon. 3.3 a)). Tensomeetrite lugemid esitavad valemi 3.11) vasakut poolt kolme erineva orientatsiooniga lõigu jaoks. Kuna tensomeetrite orientatsioon on teada s.o. määratud sihikoosinustega l, m, n) saadakse kolmest lugemist kolm võrrandit otsitavate suuruste ε x, ε y ja γ xy määramiseks. 2. Kui orienteerida kaks tensomeetrit telgede x ja y sihis joon. 3.3 b)), siis saame deformatsioonid ε x ja ε y otse tensomeetrite lugemitest, γ xy aga avaldame võrrandist 3.11) γ xy = ε r l 2 ε x m 2 ε y. 3.12) lm

6 3.1. Siire ja deformatsioon 3-11 Üldjuhul on kolmas tensomeeter koordinaattelgede suhtes 45 nurga all. Seega l = m = 2/2 ja γ xy =2ε r ε x ε y. 3.13) y a) y b) ε r2 ε r2 ε y ε r ε r1 45 ε x x Joonis 3.3: Tensomeetria näide. x 3.2. Deformatsioonitensor Deformatsioonitensor Normaaldeformatsioonidest suhtelistest pikenemistest) janihetestsaabmoodustada deformatsioonitensori γ xy γ xz 2 2 E = ε x γ yx 2 γ zx 2 ε y γ zy 2 γ yz 2 ε z. 3.14) Erinevalt pingetensorist on siin nihete kordajaks 0, 5. Ilma selliste kordajateta ei alluks deformatsioonitensor tensorarvutuste reeglitele. Analoogiliselt pingetensoriga saab ka deformatsioonitensorile leida peaväärtused ja peasuunad ehk peavektorid) ning invariandid tuleb lihtsalt rakendada analoogilisi valemeid ja arvutuseeskirju.

7 3.3. Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Üldjuhul muutub keha ruumala maht) deformatsiooni käigus.vaatlemelõpmata väikest risttahukat, mille ruumala enne deformatsiooni oli dv = dxdydz.serva AB pikkus enne deformatsiooni vt. joon. 3.1) on dx ja peale deformatsiooni dx 1 = dx1+ε x ). Analoogiliselt dy dy 1 = dy1+ε y )jadz dz 1 = dz1+ε z ). Keha ruumala peale deformatsiooni leiame lähtudes eeldusest, et normaaldeformatsioonid ja nihked on väikesed. Pärast mõningaid teisendusi, mille käigus hüljatakse teist ja kolmandat järku väkesed liikmed, saame deformeerunud elementaarristküliku mahuks dv 1 = dx 1 dy 1 dz 1 = dv 1 + ε x + ε y + ε z ). Ruumde- formatsioon ehk suhteline mahumuutus 4 avaldub seega kujul θ = dv 1 dv = ε x + ε y + ε z. 3.15) dv Seega on ruumdeformatsioon võrdne deformatsioonitensori esimese invariandiga. Teisest küljest, arvestades deformatsioonide ε x, ε y ja ε z definitsioone 3.6) on ruumdeformatsioon siirde divergents: θ =divu u. 4 I. k. dilatation 3.4. Pidevustingimused Pidevustingimused Cauchy võrrandid 3.6) seovad kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz kolme siirdekomponendiga u, v, w. Kui on antud kolm siirdekomponenti u, v, w, siis võrrandite 3.6) abil on võimalik üheselt määrata kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz. Kui on antud kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz,siis pole võrrandite 3.6) abil võimalik kolme siirdekomponenti u, v, w üheselt määrata. Ühese lahendi saamiseks tuleb sisse tuua kuut deformatsioonikomponenti siduvad lisatingimused lisavõrrandid). Neid lisatingimusi nimetatakse pidevustingimusteks. 5 5 Pidevustingimusi nimetatakse ka pidevusvõrranditeks või sobivustingimusteks. Ingl. k. compatibility conditions.

8 3.4. Pidevustingimused 3-15 Alternatiivne põhjendus pidevustingimuste sissetoomiseks. a) b) c) Joonis 3.4: Pidevustingimused Oletame, et vaadeldav keha on algolekus lõigatud väikesteks kuupideks joon. 3.4 a). Kui iga kuupi on seejärel eraldi deformeeritud, siis on nende uuesti ühendamine selliselt, et tekkiks pidev keha üldjuhul võimatu joon. 3.4 b). Selleks, et peale deformatsiooni oleks meil endiselt tegu pideva kehaga joon. 3.4 c), peavad kuupide deformatsioonid rahuldama teatud tingimusi, mida eestikeelses kirjanduses nimetatakse tavaliselt pidevustingimusteks Pidevustingimused 3-16 Pidevusvõrrandite tuletamine. Diferentseerime võrrandit 3.6) 1 kaks korda koordinaadi y järgi ja võrrandit 3.6) 2 kaks korda koordinaadi x järgi ning liidame saadud tulemused. 2 ε x y ε y x 2 = 3 u x y v x 2 y = 2 u x y y + v x ) = }{{} γ xy 2 γ xy x y. 3.16) Kombineerides võrrandeid 3.6) 1 3 saame veel kaks analoogilist pidevusvõrrandit. Neist aga ei piisa. Selleks, et saada veel kolm võrrandit, leiame võrrandeist 3.6) 4 6 osatuletised «puuduva koordinaadi» järgi, liidame 3.6) 4 5 ja lahutame saadud summast 3.6) 6.Seejärelvõtamesaadudtulemusestosatuletisey järgi: γxy y z + γ yz x γ ) xz y 3 v =2 x y z =2 2 x z Analoogiliselt saab tuletada veel kaks pidevusvõrrandit. ) v =2 2 ε y y x z. 3.17)

9 3.4. Pidevustingimused 3-17 Kokku oleme saanud kuus võrrandit, mis väljendavadki pidevustingimusi: 2 ε x y ε y x 2 = 2 γ xy x y, 2 ε y z + 2 ε z 2 y 2 = 2 γ yz y z, 2 ε z x + 2 ε x 2 z 2 γxz x = 2 γ xz x z, y + γ xy z γ yz x γxy y z + γ yz x γ xz y γyz z x + γ xz y γ xy z ) ) ) =2 2 ε x y z =2 2 ε y x z =2 2 ε z x y Need võrrandid on tuntud ka Saint-Venant i pidevusvõrranditena. 3.18) 3.4. Pidevustingimused 3-18 Saadud kuuel võrrandil on väga selge füüsikaline sisu. 1. Esimesed kolm: kui on antud normaaldeformatsioonid suhtelised pikenemised) kolmes ristuvas sihis, siis nende sihtidega määratud tasandites ei saa nihkedeformatsiooni meelevaldselt ette anda, vaid nad on määratud avaldistega 3.18) Viimased kolm: kui on antud nihkedeformatsioonid kolmes ristuvas tasapinnas, siis ei saa normaaldeformatsioone meelevaldselt ette anda, vaid nad on määratud avaldistega 3.18) 4 6 Neid võrrandeid on vaja arvesse võtta kui elastsusteooria ülesannet lahendatakse deformatsioonides või pingetes.

10 3.5. Üldistatud Hooke i seadus Üldistatud Hooke i seadus Deformatsioonide avaldamine pingete kaudu Olekuvõrranditeks nimetatakse seoseid pingete ja deformatsioonide vahel. Klassikalise elastsusteooria olekuvõrrand on üldistatud Hooke i seadus, mis ütleb, et deformatsioonitensori komponendid on lineaarsed funktsioonid pingetensori komponentidest. Kõige üldisemal juhul saab vastavad seosed esitada kujul 6 ε x = C 11 σ x + C 12 σ y + C 13 σ z + C 14 τ xy + C 15 τ yz + C 16 τ zx, ε y = C 21 σ x + C 22 σ y + C 23 σ z + C 24 τ xy + C 25 τ yz + C 26 τ zx, ε z = C 31 σ x + C 32 σ y + C 33 σ z + C 34 τ xy + C 35 τ yz + C 36 τ zx, γ xy = C 41 σ x + C 42 σ y + C 43 σ z + C 44 τ xy + C 45 τ yz + C 46 τ zx, γ yz = C 51 σ x + C 52 σ y + C 53 σ z + C 54 τ xy + C 55 τ yz + C 56 τ zx, γ zx = C 61 σ x + C 62 σ y + C 63 σ z + C 64 τ xy + C 65 τ yz + C 66 τ zx. 3.19) 6 Sellisel kujul on pingete ja deformatsioonide vahelised seosed esitaud näiteks õpikutes R. Eek, L. Poverus, Ehitusmehaanika II, Tallinn, Valgus, 1967 ja V. I. Samul, Osnovõ Teorii Uprugosti i Plastitšnosti /Elastsus- ja plastsusteooria alused/, Moskva, Võšaja Škola, Üldistatud Hooke i seadus 3-20 Viimased avaldised sisaldavad 36 elastsuskonstanti sedaonpalju!kuieeldada, et keha on ideaalselt elastne st. peale koormuse kõrvaldamist taastub algne kuju) ja isotroopne, siis jääb järele vaid kaks sõltumatut elastsuskonstanti, mis on määratavad väga lihtsate eksperimentide abil ja on kasutuses ka tugevusõpetuses. Need kaks konstanti on Youngi moodul E ja Poissoni koefitsent Poissoni tegur) ν Tõmme surve x-telje sihis). Elastsuskonstant ehk Youngi moodul E: ε x = σ x /E Poissoni koefitsent ν: ε y = νε x Nihe xy tasandis). Nihkeelastsusmoodul G: γ xy = τ xy /G, kus G = E 21 + ν). 3.20) Kuna nihkeelastsusmoodul G on avaldatav E ja ν kaudu, siis ei saa teda pidada iseseisvaks elastsuskonstandiks.

11 3.5. Üldistatud Hooke i seadus 3-21 Üldistatud Hooke i seaduse tuletamiseks vaatleme lõpmata väikest isotroopset risttahukat, milles mõjuvad vaid normaalpinged σ x, σ y, σ z.pingeσ x > 0põhjustab pikenemist x telje sihis ja lühenemist y ja z telje sihis. Analoogiline toime on normaalpingetel σ y > 0jaσ z > 0. Seega on summaarne suhteline pikenemine x telje sihis ehk normaaldeformatsioon ε x = σ x E ν σ y E ν σ z E = 1 E [σ x νσ y + σ z )]. 3.21) Nihkepingete ja nihkedeformatsioonide vahelised seosed on määratudhooke i seadusega iga koordinaattasandi jaoks sõltumatult, s.t., τ xy põhjustab vaid nihet γ xy,jne.vrd.normaaldeformatsioonidega). Kokku saame kuus võrrandit, mis esitavad üldistatud Hooke i seadust isotroopse ideaalselt elastse keha jaoks: ε x = 1 E [σ x νσ y + σ z )], γ xy = 1 G τ xy, ε y = 1 E [σ y νσ z + σ x )], γ yz = 1 G τ yz, 3.22) ε z = 1 E [σ z νσ x + σ y )], γ zx = 1 G τ zx Üldistatud Hooke i seadus Hooke i seadus ruumdeformatsiooni jaoks Vastavalt üldistatud Hooke i seadusele 3.22) ε x + ε y + ε z = }{{} =θ 1 2ν) E σ x + σ y + σ z ) }{{} =I σ ) Seega θ = 1 2ν)Iσ 1 E. 3.24) Suurust θ = ε x + ε y + ε z nimetatakse ruumdeformatsiooniks ja ta on ühtlasi ka deformatsioonitensori esimene invariant. Tuues sisse ruumpaisumismooduli K ja keskmise normaalpinge σ 0, K = E 31 2ν), σ 0 = σ x + σ y + σ z 3 = Iσ 1 3, 3.25) saame lineaarse seose keskmise normaalpinge ja ruumdeformatsiooni vahel kujul σ 0 = Kθ. 3.26)

12 3.5. Üldistatud Hooke i seadus Pingete avaldamine deformatsioonide kaudu Liidame avaldise 3.22) 1 paremale poolele ja lahutame avaldise 3.22) 1 paremast poolest suuruse 1 E νσ x: ε x = 1 E [σ x + νσ x νσ x νσ y + σ z )] = 1 E [1 + ν)σ x νi σ 1 ]. 3.27) Avaldades 3.24)-st invariandi I σ 1 = Eθ/1 2ν), saame ε x = 1 + ν)σ x E Tuues sisse Lamé koefitsiendid λ = νθ 1 2ν), kust σ x = Eν 1 + ν)1 2ν), µ = E 21 + ν) saame valemist 3.28) 2 σ x = λθ +2µε x. Eνθ 1 + ν)1 2ν) + Eε x 1+ν 3.28) = G, 3.29) 3.5. Üldistatud Hooke i seadus 3-24 Leides analoogilised avaldised σ y ja σ z jaoks ning avaldades seostest 3.22) nihkepinged, olemegi saanud Hooke i seaduse alternatiivse kuju σ x = λθ +2µε x, τ xy = µγ xy, σ y = λθ +2µε y, τ yz = µγ yz, σ z = λθ +2µε z, τ zx = µγ zx. 3.30) Kasutades viimaseid valemeid leiame seose pingetensori ja deformatsioonitensori esimese invariandi vahel σ x + σ y + σ z }{{} =I σ 1 =3λθ +2µ ε x + ε y + ε z ), kust I1 σ } {{ } θ =3λ +2µ)θ. 3.31) Kui tähistada keskmist normaaldeformatsiooni ε 0 = ε x + ε y + ε z 3 = θ 3, 3.32) saame seose keskmise normaalpinge ja keskmise normaaldeformatsiooni vahel σ 0 =3λ +2µ)ε )

13 3.5. Üldistatud Hooke i seadus Anisotroopsed kehad Paljudes õpikutes 7 esitatakse valemitega 3.19) analoogilised pingete ja deformatsioonide vahelised seosed natuke teisel kujul. Esiteks tuuakse sisse tähistused ja σ 1 = σ x, σ 2 = σ y, σ 3 = σ z, σ 4 = τ yz, σ 5 = τ xz, σ 6 = τ xy 3.34) ε 1 = ε x, ε 2 = ε y, ε 3 = ε z, ε 4 =2γ yz, ε 5 =2γ xz, ε 6 =2γ xy. 3.35) Seejärel esitatakse pinge sõltuvana deformatsioonist kujul σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 = C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε ) 7 Vt. näiteks J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates, Philadelphia,Taylor&Francis, Üldistatud Hooke i seadus 3-26 ja deformatsioon sõltuvana pingest kujul ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 = S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 21 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 31 S 32 S 33 S 34 S 35 S 36 S 41 S 42 S 43 S 44 S 45 S 46 S 51 S 52 S 53 S 54 S 55 S 56 S 61 S 62 S 63 S 64 S 65 S 66 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ ) Elastsuskoefitsentidest moodustatud maatriksit [C ij ]nimetataksejäikusmaatriksiks 8.Maatriksit[S ij ]=[C ij ] 1 võib eesti keeles seega nimetada pöördjäikusmaatriksiks 9. 8 I. k. stiffness matrix 9 I. k. compliance matrix. Tehnikasõnastikusoningliskeelsesõnacompliance eestikeelseks vasteks pakutud ka vetruvus.

14 3.5. Üldistatud Hooke i seadus 3-27 Eelmistes alajaotustes vaatlesime isotroopseid materjale ning seal oli pingete ja deformatsioonide vaheliste seoste kirjeldamiseks vaja vaid kahte sõltumatut elastsuskoefitsenti. Anisotroopse keha puhul on elastsuskonstantide arv loomulikult suurem. Kuna anisotroopseid materjale on mitut liiki, siis tuleb vajalik elastsuskonstantide arv määrata iga liigi jaoks eraldi. Ortotroopsed materjalid, näiteks vineer, on üks sagedamini esinevaidanisotroopse materjali liike. Sellisest materjalist kehade jaoks on võimalik määrata 3 omavahel ristuvat telge peasuunada), mille sihis rakendatud normaalpinged ei põhjusta telgedevaheliste nurkade muutumist. Ortotroopse materjalielastsed omadused ei muutu telgede pööramisel 180 võrra, kuid muutuvad iga teistsuguse pöörde korral. Ortotroopse materjali iseloomustamiseks on vaja üheksat elastsuskonstanti. Valemid 3.37) saavad selliste materjalide korral kuju 3.5. Üldistatud Hooke i seadus 3-28 kus ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 = S 11 S 12 S S 12 S 22 S S 13 S 23 S S S S 66 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6, 3.38) S 11 = 1 E 1, S 22 = 1 E 2, S 33 = 1 E 3, S 12 = ν 12 E 1, S 13 = ν 13 E 1, S 23 = ν 23 E 2, S 55 = 1 G 23, S 44 = 1 G 13, S 66 = 1 G ) Konstandid E 1, E 2, E 3, ν 12, ν 13, ν 23, G 12, G 13 ja G 23 on vastavalt Youngi moodulid, Poissoni tegurid ja nihkeelastsusmoodulid peatelgedega 1, 2, 3määratud sihtides Vt. lisaks J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates, Philadelphia, Taylor & Francis,

15 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia Deformatsiooni potentsiaalne energia Vaatleme lõpmata väikest risttahukat joon. 3.5). Nagu on jooniselt näha, ei eelda me antud juhul enam homogeenset pingust. Arvestame aga klassikalise elastsusteooria eeldusi ja hüpoteese, mille kohasel on materjal ideaalselt elastne, deformatsioonid on väikesed ja kehtib superpositsiooniprintsiip.eesmärgiks on leida deformatsiooni potentsiaalne energia, miskehasonsalvestunud.selleks tuleb kõigepealt leida töö, mida tehakse deformatsiooni muutumisel suurenemisel) elementaarristtahukas. Vaatleme tahke, mis on risti x teljega. Eeldame, et normaalpingete toimel suureneb deformatsioon dε x võrra ja tahkude vaheline kaugus seega dε x dx võrra. Vastav elastsusjõu elementaartöö hüljates kõrgemat järku väikesed suurused): σ x dydzdε x dx Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-30 τ yz + τ yz y dy τ zy + τ zy z dz dy σ x z τ xy τ xz y τ zx Z τ yx τ yz dx σ y + σ y y dy Y σ y σ z X τ zy dz τyx + τ yx y dy τ xy + τ xy σ x + σ x τ xz + τ xz x τ zx + τ zx σ z + σ z dz z z dz Joonis 3.5: Elementaarristtahukas

16 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-31 Vaatleme tahke, mis on risti x teljega ja tahke, mis on risti y teljega. Eeldame, et nihkepingete toimel muutub nurk x ja y telje vahel väikese suuruse dγ xy võrra. Vastav elastsusjõu elementaartöö hüljates kõrgemat järku väikesed suurused): τ xy dydzdγ xy dx. Analoogiliselt saab leida pingetele σ y, σ z, τ yz ja τ xz vastavad tööd. Rakendame superpositsiooni printsiipi ja saame summaarse elementaartöö da =σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xz dγ xz ) dxdydz. 3.40) Jagades viimase elementaarruumalaga dv = dxdydz, saame elementaartöö tiheduse da = da /dv.kunaeeldusepõhjalonmaterjalideaalseltelastne,siis on tehtud töö tõttu suurendatud elementaarristahuka potentsiaalset energiat dw = da võrra. Edaspidi vaatleme seega suurust dw,st.potentsiaalseenergia juurdekasvu ühikruumala kohta ehk potentsiaalse energia tiheduse diferentsiaali: dw = σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xz dγ xz. 3.41) 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-32 Asendame saadud avaldisse pinged σ x,... üldistatud Hooke i seadusest 3.30) ja saame dw =λθ +2µε x ) dε x +λθ +2µε y ) dε y +λθ +2µε z ) dε z + + µγ xy dγ xy + µγ yz dγ yz + µγ zx dγ xz = = λθdθ +2µ ε x dε x + ε y dε y + ε z dε z )+ + µ γ xy dγ xy + γ yz dγ yz + γ zx dγ xz ). 3.42) Viimast avaldist integreerides leiame potentsiaalse energia tiheduse sõltuvana deformatsioonidest W = 1 2 [ λθ 2 +2µ ε 2 x + ε 2 y + ε 2 z ) + µ γ 2 xy + γ 2 yz + γ 2 zx )]. 3.43) Kuna Lamé koefitsiendid 3.29) on positiivsed, siis peab ka potentsiaalne energia olema positiivne või null) igas ideaalselt elastse keha punktis. Kasutades taas Hooke i seadust kujul 3.30) saame Clapeyroni valemi W = 1 2 σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ). 3.44) Viimasest saab omakorda avaldada W läbi pingete ja elastsuskonstantide E ja

17 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-33 ν kui kasutada Hooke i seadust kujul 3.22) W = 1 [ σ 2 2E x + σy 2 + σ2 z 2ν σ xσ y + σ y σ z + σ x σ z )+21+ν) τxy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 )]. 3.45) Kuna W on potentsiaalne energia, siis peab avaldis 3.41) olema funktsiooni W täisdiferentsiaal, mis omakorda tähendab, et σ x = W ε x, τ xy = W γ xy, σ y = W ε y, τ yz = W γ yz, σ z = W ε z, τ zx = W γ zx. 3.46) Viimased avaldised on tuntud Castigliano valemitena. Ülaltoodu kontrolliks leiame avaldistest 3.43) W ε x = λθ +2µε x = σ x, W γ xy = µγ xy = τ xy, ) 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-34 Et leida kehas salvestunud summaarne potentsiaalne energia W tuleb potentsiaalse energia tihedust integreerida üle kogu keha ruumala V,st. W = V WdV = Wdxdydz. 3.48) V Rakendes Clapeyroni valemit avaldub summaarne potentsiaalne energia kujul W = 1 2 V σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) dxdydz. 3.49)