KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s"

Väljavõte

1 MTMM Kõrgem matemaatika sügis Ülesannete kogu 1. osa

2 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx) 1 = 1 x 2 (e x ) = e x (tanx) 1 = cos 2 x (a x ) = a x lna (cotx) = 1 sin 2 x (arctanx) = 1 1+x 2 (arccotx) = 1 1+x 2 (ln x ) = 1 x Integreerimise põhivalemid (1) 0=C (7) sinx= cosx+c (2) =x+c (8) cosx=sinx+c (3) x a = xa+1 a+1 +C(a/= 1) (4) x =ln x +C (5) a x = ax lna +C (6) e x =e x +C (9) (10) (11) (12) sin 2 x = cotx+c cos 2 x =tanx+c 1 x 2 =arcsinx+c 1+x 2=arctanx+C Trigonomeetrilised seosed sin 2 α= 1 2 (1 cos2α) cos2 α= 1 2 (1+cos2α) ii

3 Sisukord 1 Maatriksid ja determinandid Reaalarvu absoluutväärtus * Summa sümbol Maatriksid Tehted maatriksitega Maatriksite korrutamine Rakenduslikud ülesanded Determinandi arvutamine Determinantide põhiomadused Determinantide arendamine Rakenduslikud ülesanded Pöördmaatriks ja maatriksvõrrandite lahendamine Pöördmaatriks Pöördmaatriksi leidmine Maatriksvõrrandite lahendamine Rakenduslikud ülesanded Lineaarvõrrandisüsteemid Cramer i valemid Maatriksi astaku leidmine Võrrandisüsteemi üldlahend ja erilahend Gaussi elimineerimise meetod Rakenduslikud ülesanded Funktsioonid Funktsionaalsed sõltuvused Funktsioonide graafikud Funktsioonid ja nende omadused Eksponentfunktsioon Logaritmfunktsioon Logistiline kõver Rakenduslikud ülesanded Kontrolltöö nr Funktsiooni piirväärtus Piirväärtuse omadusi Piirväärtuse arvutamine Rakenduslikud ülesanded Tähtsad piirväärtused Erinevaid piirväärtuse ülesandeid

4 Sisukord 6.6 Pidevad ja katkevad funktsioonid Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletis Liitfunktsiooni tuletis Kõrgemat järku tuletis Logaritmiline diferentseerimine * L Hospitali reegel Diferentsiaali ja tuletise rakendused Joone puutuja ja normaal Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni muudu ligikaudne arvutamine Funktsiooni väärtuse ligikaudne arvutamine Tuletis kui protsessi muutumise kiirus * Funktsiooni uurimine Kasvamis- ja kahanemispiirkonnad, nõgusus- ja kumeruspiirkonnad Ekstreemumid Optimiseerimine Graafiku asümptoodid * Määramata integraal Määramata integraali mõiste Määramata integraali leidmine Diferentsiaali märgi alla viimine Muutujavahetus Ositi integreerimine Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine * Kontrolltöö nr Diferentsiaalvõrrandid Harilik diferentsiaalvõrrand Diferentsiaalvõrrandi lahend Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamine Rakenduslikud ülesanded Lineaarne esimest järku diferentsiaalvõrrand Lineaarse esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamine Rakenduslikud ülesanded

5 Praktikum 1 Maatriksid ja determinandid 1.1 Reaalarvu absoluutväärtus * Definitsioon 1.1 Reaalarvu a absoluutväärtus a defineeritakse valemiga a ={ a, kui a 0, a, kui a<0. Omadus 1.1 (a) a 0; (b) a = a ; (c) a b a±b a + b ; (d) ±a a ; (e) a b = a b ; (f) a b = a b, b 0. Ülesanne 1.1. Leidke järgmised väärtused. (a) 3 5 (b) 8 (c) 9 (d) c, c<0 Ülesanne 1.2. Lahendage järgmised võrrandid ja võrratused. (a) x =3 (c) 2x+6 =4 (e) x <2 (g) x 2 <2 (b) 2x 3 =7 (d) 8 3x =9 (f) 1 x >1 (h) 4<x 2 <9 Ülesanne 1.3. Skitseerige xy-tasandil punktihulk (kujund){(x, y) x + y 1}. 1.2 Summa sümbol n i=1 u i =u 1 +u 2 + +u n. Ülesanne 1.4. Kirjutage summa sümboli Σ abil järgmised summad: (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1+q+q q k Ülesanne 1.5. Kirjutage ilma summa sümbolita järgmised summad. (a) 6 b k k=1 (b) 5 j=2 3 j (c) 1 n=1 ( 1) n+1 5 n (d) n 3 k=0

6 1.3. Maatriksid 1.3 Maatriksid Definitsioon 1.2 Olgu antud kaks m n maatriksit A=(a ij ) ja B=(b ij ). Maatrikseid A ja B nimetatakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid on võrdsed A=B, kui a ij =b ij,i=1,...,m;j=1,...,n. Ülesanne 1.6. Leidke maatriksi ridade arv m ja veergude arv n. Tähistage lühidalt maatriks tema üldelemendi kaudu. (a) A= (b) B=( ) (c) C=( ) (d) D=( ) (e) E= (f) F= (g) G= (h) H= a 1 a 2 a 30 b 1 b 2 b 30 c 1 c 2 c (i) I=( ) 1.4 Tehted maatriksitega Definitsioon 1.3 Maatriksi A=(a ij ) transponeeritud maatriks saadakse, kui esialgses maatriksis vahetatakse read veergudega (või vastupidi, veerud ridadega), so A T =(a ji ),i=1,...,m; j=1,...,n. Maatriksite A ja B summaks (vaheks) nimetatakse maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide summad (vahed) C=A±B, C=(c ij ), c ij =a ij ±b ij, i=1,...,m; j=1,...,n. Maatriksi korrutamisel skalaariga ehk arvuga λ, korrutuvad selle arvuga maatriksi kõik elemendid, λa=(λa ij ),i=1,...,m; j=1,...,n. Ülesanne 1.7. Leidke ülesandes 1.6 antud maatriksite transponeeritud maatriksid. Ülesanne 1.8. Olgu antud maatriksid A= 1 3 a 2 b 1 2 c 3 ja B= Leidke a, b ja c väärtused nii, et kehtiks võrdus A=B T. Ülesanne 1.9. Millised alljärgnevatest tehetest on sooritatavad ülesandes 1.6 antud maatriksite korral? Teostage lubatud tehted. (a) 2A 3A (d) H+2I T (g) A T B (j) F E (b) 3B+2B T (e) A+B (h) B T +A (k) C+D (c) 1 2 ET (f) B A (i) E+G (l) D T C 3

7 PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID 1.5 Maatriksite korrutamine Definitsioon 1.4 Maatriksite A ja B korrutiseks AB nimetatakse maatriksit C, mille elementideks on kus n c ij = a ik b kj =a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj, k=1 A=(a ij ), m n, i=1,...,m, j=1,...,n, B=(b ij ), n p, i=1,...,n, j=1,...,p, C=(c ij ), m p, i=1,...,m, j=1,...,p. Ülesanne Millised alljärgnevatest korrutistest on defineeritud ülesandes 1.6 antud maatriksite korral? Jaatava vastuse korral leidke korrutis. (a) AB (c) A T B (e) DC (g) FE (i) B T C (b) BA (d) CD (f) EF (h) F T E (j) D T B Ülesanne Leidke maatriksite korrutised. (a) ( )( ) (b) (d) ( 1 2 3) (e) ( 1 2 3) (c) ( )( T ) Ülesanne Olgu antud ruutmaatriksid (f) T A= ja B= Leidke (a) AB (b) BA (c) B 2 A 2 (d) (B A) 2 Ülesanne Olgu antud ruutmaatriksid A= , B= Näidake, et kehtivad järgmised võrdused , C= (a) A 2 =A (b) B 3 =B (c) C 2 4C 5E=O. Ülesanne Kasutades maatrikseid A=( ), B=( ), C=( ) näidake, et võrdusest AB=AC ei järeldu maatriksite B ja C võrdus.. 4

8 1.6. Rakenduslikud ülesanded Ülesanne (M) Tõestage, et maatriks A=BB T on sümmeetriline (s.t. A=A T ) iga maatriksi B korral. Ülesanne (M) Tõestage, et kahe kaldsümmeetrilise maatriksi (s.t. A T = A) korrutis on sümmeetriline parajasti siis, kui need maatriksid kommuteeruvad. 1.6 Rakenduslikud ülesanded Ülesanne Maatriksite kasutamine andmete hoidmiseks. Ravimifirma hoiab laos C-vitamiini järgmistes kogustes: 25 kasti 100 mg pudelites, 10 kasti 250 mg pudelites ja 32 kasti 500 mg pudelites. Lisaks B 3 -vitamiini kogustes: 30 kasti 100 mg pudelites, 18 kasti 250 mg pudelites ja 40 kasti 500 mg pudelites. Neid koguseid kirjeldatakse maatriksiga A. Ühe vastava kasti müügihinda hoitakse maatriksis C. Laost viiaks välja kaks korda sama kogust kaste B. Leidke maatriks, mis kirjeldab allesjäänud vitamiinide kogust. Millist infot annab maatriks BC T? A=( ), B=( ), C=( ). Ülesanne (B) Olgu ajahetkel t maatriksi N t =( N 1t N 2t N 3t ) T igas reas toodud ühe ökösüsteemi kolme liigi isendite arv vastavalt N 1t,N 2t,N 3t. Teisendusmaatriks P= 1+ t t t 10 seob liigi isendite arvu ajahetkel t ja t+1 valemiga N t+1 =P N t. Teostage viimane tehe ja analüüsige kolme liigi isendite arvukuse mõju üksteise suhtes. Millise struktuuriga peaks olema maatriks P, et isendite arv oleks üksteisest sõltumatu? Ülesanne (F) Satelliidi teekonda ümber Maa võib tasandil kujutada võrrandiga ( x y)( )( x y )=( ), kus ühikuteks on miilid. Millist joont on kujutatud? Ülesanne (IT) Roboti liikumise programmeerimiseks kasutatakse korrutist cos60 sin60 0 sin60 cos Teostage toodud korrutamine ning kujutage graafikul algset vektorit( 2 4 0) ning lõpptulemust. 5

9 PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID 1.7 Determinandi arvutamine Definitsioon 1.5 Esimest järku ruutmaatriksi A=(a 11 ) determinant on A =a 11. Kõrgemat järku ruutmaatriksi A=(a ij ) determinandiks nimetatakse summat n A = ( 1) i+j a ij M ij, i {1,2,...,n}, n 2, j=1 kus M ij on elemendi a ij miinor ehk elemendile a ij vastav(n 1)-järku determinant. Sellisel juhul räägitakse maatriksi A determinandi arendamisest i-nda rea järgi. Determinandi väärtus A ei muutu, kui maatriksi A determinanti arendada mingi j-nda veeru järgi. Definitsioon 1.6 Determinanti M ij nimetatakse maatriksi A elemendile a ij vastavaks miinoriks, mille saame, kui maatriksi A determinandis jätta välja elementi a ij läbiv rida ja veerg. Ülesanne Kirjutage välja: 1) maatriksi A teise rea elementidele vastavad miinorid ja alamdeterminandid, 2) maatriksi B esimese veeru elementidele vastavad miinorid ja alamdeterminandid. Arvutage iga maatriksi determinant. (a) A=( ) (b) B= (c) C= (d) G= (e) H= (f) J=( 5) Determinantide põhiomadused Omadus Maatriksi transponeerimine ei muuda maatriksi determinandi väärtust. 2. Kahe rea (või veeru) omavaheline vahetamine muudab determinandi märgi vastupidiseks. 3. Determinandi mingi rea (või veeru) kõigi elementide korrutamisel arvuga k korrutub determinandi väärtus selle sama arvuga. 4. Kui determinandi mingi rea (või veeru) elemendid on kõik nullid, siis determinant võrdub nulliga. 5. Determinant, milles on kaks võrdset rida (või veergu), võrdub nulliga. 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale (veerule) liita mistahes nullist erineva teguriga korrutatud teine rida (veerg). Omadus Kui determinandi mingis reas (või veerus) elemendid kujutavad endast kahe liidetava summasid, siis see determinant võrdub kahe sama järku determinandi summaga, millest esimeses on vastavas reas (veerus) esimesed liidetavad, teises teised liidetavad, kõik ülejäänud read (veerud) on aga samasugused nagu lähtedeterminandis. Kolmnurkse maatriksi determinant, mille peadiagonaalist allpool (üleval pool) asuvad elemendid on kõik nullid, võrdub peadiagonaali elementide korrutisega. 6

10 1.9. Determinantide arendamine Ülesanne Kasutades determinantide omadusi, selgitage, kas võrdus kehtib. (a) (b) (c) = = =0 (d) (e) (f) =2 = = Ülesanne Kasutades determinantide omadusi, arvutage järgmised determinandid. (a) (b) Ülesanne Kasutades determinantide omadusi ja teadmist, et järgmised determinandid (a) (b) Ülesanne Olgu antud maatriksid (c) = 40, arvutage (c) a b c A= d e f g h i 2g 2h 2i ja B= a+d b+e c+f. a b c Leidke B, kui A = Determinantide arendamine Ülesanne Leidke determinantide väärtused: 1) arendades teise rea järgi, 2) arendades kolmanda veeru järgi, 3) arendades vabalt valitud rea või veeru järgi, mis on eelnevalt teisendatud nii, et selles reas või veerus oleks vaid üks nullist erinev element (a) (b) (c)

11 PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID Ülesanne Arvutage determinant kasutades arendamist rea või veeru järgi (a) (e) , , (f) (b) , /4 3/8 1/8 1/4 (g) /64 1/64 1/64 1/64 (c) , , (h) (d) 0 0 0, , ,1 6 Ülesanne Arvutage determinandi väärtus (a) (f) (b) (g) (c) (h) (d) e π e π sint cost (i) (e) cost sint e t (j) (k) (l) (m) x x x 3 +1 e t sint e t cost 0 e t cost e t sint 1 e t ,2 0,1 4 π 2π π π

12 1.10. Rakenduslikud ülesanded 1.10 Rakenduslikud ülesanded Ülesanne Leidke järgmiste koordinaatidega antud kolmnurkade pindalad S, kui S=± 1 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1. (a) A( 1, 4), B(3, 1), C(2, 6) (b) A( 2, 2), B(1, 5), C(6, 1) (c) A(1, 0), B(2, 2), C(4, 3) (d) A(3, 6), B(10, 1), C( 2, 3) Ülesanne Leidke järgmistele vektoritele ehitatud rööptahukate ruumalad V, kui V=± x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3. (a) A(4,0,0), B(5,2,2), C(2,6,0) (b) K(2,0,0), L(0,4,0), M(0,0,3) (c) P(1,2,3), Q(0,4,5), R(6,0,7) Ülesanne (B) Olgu meil mingis liigis neli erinevat vanuseklassi. Kui liik on jõudnud stabiilsesse seisu, siis tema arvukus erinevates vanuseklassides ei tohiks enam oluliselt muutuda. Vastavas teoorias tuleb lahendada näiteks võrrand P λe =0, P= kus teisendusmaatriks P kirjeldab nelja erineva vanuseklassi arengut pikemal ajaperioodil (ellujäämistõenäosuste ja järeltulijate kohta), E on ühikmaatriks ja positiivne reaalne λ on stabiilse liigi jaoks vajalik juurdekasvu kiirus (isendit ajaühikus). Kui see juurdekasvu kiirus ei võrdu arvuga λ, siis liik ei ole stabiilse arvukusega erinevate vanuseklasside suhtes. Leidke λ väärtus. Leitud λ korral lahendage maatriksvõrrand(p λe)x=0, kus lahend x=( x 1 x 2 x 3 x 4 ) T näitab stabiilse oleku 3 0, jaoks iga vastava vanuseklassi proportsioone kogu liigi populatsiooni N= 4 i=1 x i suhtes. Ülesanne (K) Füüsikalises keemias kasutatakse molekulaarorbitaalide energiatasemete leidmiseks Hückel i meetodit (vt. konspekti lisa), kus tuleb leida järgmist tüüpi determinandid. Leidke need. (a) α E β β α E (b) x x x (c) α E β 0 0 β α E β 0 0 β α E β 0 0 β α E 9

13 Praktikum 2 Pöördmaatriks ja maatriksvõrrandite lahendamine 2.1 Pöördmaatriks Definitsioon 2.1 Ühikmaatriksiks nimetatakse niisugust n-järku ruutmaatriksit E, mille peadiagonaali elemendid võrduvad ühega ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga ning kehtib AE = EA = A suvalise n-järku maatriksi A korral. Näiteks(3 3)-järku ühikmaatriks on E= Definitsioon 2.2 Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A 1 nimetatakse niisugust maatriksit, mille korrutamisel antud ruutmaatriksiga A saadakse ühikmaatriks E, AA 1 =A 1 A=E. Omadus 2.1 Kahe maatriksi, A ja B, korrutise pöördmaatriks leitakse valemiga(ab) 1 =B 1 A 1. Ülesanne 2.1. Milline järgmistest on maatriksi A=( ) pöördmaatriks? (a) B= 1 17 ( ) (b) C= 1 17 ( ) (c) D= 1 17 ( ) ) puudub pöördmaat- Ülesanne 2.2. Näidake ilma determinanti leidmata, et maatriksil( riks. Ülesanne 2.3. Olgu A(n n)-maatriks ja E (n n)-ühikmaatriks. Millega võrdub avaldis (E+A 1 )A(E+A) 1? Ülesanne 2.4. Olgu A, B ja C pööratavad (n n)-maatriksid. Lihtsustage avaldis (A 1 B) 1 (C 1 A) 1 (B 1 C) 1. Ülesanne 2.5. Leidke regulaarse maatriksi A pöördmaatriks, kui A 2 4A+E=O. Ülesanne 2.6. (M) Olgu E ühikmaatriks ning A ja B sama järku ruutmaatriksid. Tõestage, et kui maatriks E+AB on pööratav, siis on pööratav ka E+BA. Näpunäide: Võib näidata, et kui maatriks C on maatriksi E+AB pöördmaatriks, siis maatriks E BCA on maatriksi E+BA pöördmaatriks. Ülesanne 2.7. (M) Tõestage, et(e A) 1 =E+A+ +A k 1, kui A k 1 O ja A k =O.

14 2.2. Pöördmaatriksi leidmine 2.2 Pöördmaatriksi leidmine Definitsioon 2.3 Kui ruutmaatriks A on regulaarne, so kui A 0, siis maatriksil A leidub pöördmaatriks A 1, mis on leitav valemiga A 1 = 1 A A 11 A A 1n A 21 A A 2n A n1 A n2... A nn kus A ij =( 1) i+j M ij on elemendile a ij vastav alamdeterminant ehk elemendi a ij algebraline täiend. T, Definitsioon 2.4 Maatriksi ridade elementaarteisendusteks nimetatakse järgmisi teisendusi: 1. Maatriksi kahte rida võib omavahel vahetada. 2. Maatriksi rea kõiki elemente võib korrutada nullist erineva arvuga. 3. Maatriksi reale võib liita mingi arvuga korrutatud teise rea. Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A 1, siis kirjutades maatriksi A kõrvale paremale ühikmaatriksi E, kujul(a E), saame ridade elementaarteisenduste abil paremale otsitava pöördkmaatriksi(e A 1 ). Ülesanne 2.8. Millise k korral ei ole maatriks pööratav? (a) k (b) k k (c) k k k Ülesanne 2.9. Leidke järgmiste maatriksite pöördmaatriksid valemi abil. (a) A= (b) B= (c) C= Ülesanne Leidke pöördmaatriks nii valemi abil kui ka elementaarteisenduste abil. Kontrollige saadud tulemust. (a) B=( ) (b) C=( ) (c) F=( ) (d) H= (e) I= (f) K= Ülesanne Leidke pöördmaatriksid. (a) (b) (c) Ülesanne Leidke seos a b c ja tema pöördmaatriksi elementide vahel. 11

15 PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS JA MAATRIKSVÕRRANDITE LAHENDAMINE 2.3 Maatriksvõrrandite lahendamine Olgu A,B ja X sama järku ruutmaatriksid, kus A ja B on teada ning A on regulaarne. Maatriks X on tundmatu, mis tuleb leida. Maatriksvõrrandi AX= B lahendiks on X= A 1 B. Maatriksvõrrandi XA=B lahendiks on X=BA 1. Ülesanne Lahendage võrrandisüsteemid maatrikskujul. x y z 2u 3=0 4x+2y+6z+ 3 = 0 2x 3y + u 4=0 (a) x 2y+3z+ 1 = 0 (b) x 2y 2z u 2=0 x y+3z+1.5=0 2x+ y+4z+ u 4=0 Ülesanne Lahendage maatriksvõrrandid. (a) ( )X=( ) (c) X= (b) X( )=( ) (d) X = Ülesanne Lahendage maatriksvõrrandid. (a) ( )X( )=( ). (b) X = Rakenduslikud ülesanded Ülesanne (F) Teatud elektriskeemis on Kirchoff i seaduse põhjal võimalik voolutugevused amprites leida võrrandiga Leidke voolutugevuste vektor, korrutades võrrandit (vasakult) vastava pöördmaatriksiga. Ülesanne (IT) Teile saadeti kodeeritud sõnum. On teada, et igale 32 tähega tähestiku tähele on seatud vastavusse number nii, et tühik = 1, A=2, B=3,..., Y=33 (vt. nt goo.gl/z0xml4). Lisaks on teada, et seda sõnumit korrutati vasakult maatriksiga A= Dekodeerige järgmised sõnumid. (a) M= I A I B I C =

16 2.4. Rakenduslikud ülesanded (b) M= (c) M= (d) M= (e) M= Ülesanne (K) Uue lahuse tegemiseks segatakse kokku neli erinevat lahust, mis sisaldavad muuhulgas vaske (Cu), niklit (Ni), tsinki (Zn) ja rauda (Fe). Esimene lahus sisaldab 80 % Cu ja 20 % Ni. Teine lahus sisaldab 60 % Cu, 20% Ni ja 20 % Zn. Kolmas lahus sisaldab 30 % Cu, 60% Ni ja 10 % Fe. Neljas lahus sisaldab 20% Ni, 40 % Zn ja 40 % Fe. Kui palju on igat lahust vaja, et lõpplahuses oleks 56 g Cu, 28 g Ni, 10 g Zn ja 6 g Fe? Koostage lineaarvõrrandisüsteem maatrikskujul Ax=F ning lahendage see pöördmaatriksi leidmise abil. Ülesanne (M) < > Olgu A ja B(n n)-maatriksid, mille korral AB+A+B=0. Tõestage, et AB=BA. Ülesanne (M) < > Olgu A(4 2)-maatriks ja B(2 4)-maatriks, mille korral Leidke maatriks BA. AB=

17 Praktikum 3 Lineaarvõrrandisüsteemid 3.1 Cramer i valemid Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem Ax=b a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2, a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m. Lause 3.1 Kui lineaarvõrrandisüsteemis esineb Cramer i peajuht (s.t. võrrndeid on sama palju kui tundmatuid ja A 0), siis on süsteemil Ax=b üks ja ainult üks lahend x. Cramer i valemid lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks x i = D i D, i=1,...,n, kus D i on maatriksi A determinant D, milles i-s veerg on vahetatud vabaliikme vektori b vastu. Ülesanne 3.1. Lahendage võrrandisüsteemid Cramer i valemite abil. 3x+4y+ z+ 2u=3 (a) { 2x 3y=5 2x 3y+2z= 8 x+ 5z+ u=0 (b) x+2y+ z= 3 (c) x+2y=2 3y 2z+ u=4 5x+ y z= 5 y 4z = Maatriksi astaku leidmine Definitsioon 3.1 Valime maatriksist A välja k suvalist rida ja k suvalist veergu, k m, n. Nende ridade ja veergude ühistest elementidest moodustatud determinanti M nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Definitsioon 3.2 Maatriksi A astakuks rank(a) nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku. Ülesanne 3.2. Millised alljärgnevatest on(4 4)-maatriksi A=(a ij ) miinorid? (a) a 11 a 14 (b) b 14 (c) a 44 (d) ( c 42 ) (e) ( a 21 ) (f) b 23 b 21 b 33 b 31 (g) b 23 b 21 b 33 b 31 (h) a 23 a 21 a 33 a 31 (i) a 11 a 13 a 31 a 33 a 41 a 43 (j) ( a 32 a 34 ) (k) a 22 a 24 (l) a 42 a 44 a 33 a 34 a 21 a 23 a 24 a 31 a 33 a 34 a 41 a 43 a 44

18 3.3. Võrrandisüsteemi üldlahend ja erilahend Ülesanne 3.3. Leidke maatriksi astak. (a) (b) (c) Ülesanne 3.4. Leidke maatriksi astak sõltuvalt parameetrite a,b R väärtustest. (a) a b b 1 4 (b) a a 4 1 a a (c) a a Võrrandisüsteemi üldlahend ja erilahend Definitsioon 3.3 Võrrandisüsteemi üldlahendiks nimetatakse võrrandisüsteemi kõigi lahendite hulka (tavaliselt sisaldab suvalist konstanti (konstante)). Võrrandisüsteemi erilahendiks nimetatakse ühte konkreetset lahendit (saadakse üldlahendis kõikidele konstantidele konkreetse arvulise väärtuse andmisel). Lause 3.2 Kronecker i-capelli lause. Lineaarne võrrandisüsteem Ax = b on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi A ja laiendatud maatriksi L =(A b) astakud on võrdsed, so r(a) = r(l). Seda tingimust nimetatakse ka astakutingimuseks. Tähistame n tundmatute arvu, m võrrandite arvu ja r astakut. Kui kehtib r(a)=r(l)=r, kus L =(A b), siis võrrandisüsteem on lahenduv ning sõltuvalt suurustest n, m ja r, on võrrandisüsteemil: 1. m = n = r,üks lahend (Cramer i peajuht). 2. m=r<n, lõpmata palju lahendeid (võrrandeid vähem kui tundmatuid, n m vaba tundmatut). 3. r < m n, lõpmata palju lahendeid (süsteemis on n r vaba tundmatut). 4. n=r<m, osad võrrandid üleliigsed (võrrandeid tundmatutest rohkem, ainult üks lahend). Homogeense võrrandisüsteemi Ax = 0 laiendatud maatriks(a b) erineb süsteemi maatriksist nullveeru poolest, mis astakut ei mõjuta. Süsteemi rahuldab alati triviaalne lahend x=0. Kui n=m ja D=0, siis astak r<n ja süsteemil Ax=0 on lõpmata palju lahendeid, vabu tundmatuid on n r. Ülesanne 3.5. Lineaarse võrrandisüsteemi AX = b laiendatud maatriks L =(A b) on elementaarteisendustega viidud allpool antud kujule. Kontrollige (nn astakutingimuse põhjal), kas süsteem on lahenduv. Lahenduvuse korral leidke võrrandisüsteemi lahend. (a) ( ) (c) ( ) (e) (b) ( ) (d) (f)

19 PEATÜKK 3. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID (g) (h) (i) Gaussi elimineerimise meetod Gaussi meetod. Teisendame ridade elementaarteisenduste abil elemendid allpool peadiagonaali nullideks. Viimasest võrrandist saame avaldada tundmatu x n, asendada eelviimasesse, eelviimasest saame avaldada x n 1 jne. Seda meetodit nimetatakse ka tundmatute järkjärgulise elimineerimise meetodiks. Ülesanne 3.6. Lahendage võrrandisüsteemid Gaussi meetodil. (a) x y+2z+2v= 0 3x+2y z = 3 3y + v= 1 3z 2v= 2 (d) x 1 + 2x 2 x 3 3x 4 +4x 5 =2 2x 1 x 2 +3x 3 + 2x 4 x 5 =4 x 1 + 4x 2 +2x 3 5x 4 +3x 5 =6 x 1 +15x 2 +6x 3 19x 4 +9x 5 =2 (b) x+ y 2z= 5 3x y+ z= 4 2x+2y+5z= 8 2x 2y+3z= 9 (e) 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 3x 1 + 4x 2 x 3 x 4 = 2 x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 4 5x 1 3x 2 + 6x 3 + 3x 4 = 5 (c) 2x 1 x 2 + x 3 x 4 = 1 2x 1 x 2 3x 4 = 2 3x 1 x 3 + x 4 = 3 2x 1 + 2x 2 2x 3 + 5x 4 = 6 (f) 3x 1 + x 2 + x 3 2x 4 +3x 5 = 4 2x 1 +3x 2 2x 3 + x 4 4x 5 = 5 x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 + x 5 = 3 x 1 2x 2 +3x 3 3x 4 +7x 5 = 1 Ülesanne 3.7. Tehke kindlaks, kas võrrandisüsteem on lahenduv ning lahenduvuse korral lahendage see. (a) {4x y+2z=10 (b) (c) (d) (e) x+2y+3z=4 5x+4y+z=13 3x+3y+2z=10 x+z+2u v=4 y+z+u+v=3 x 2y z+u 3v=0 2x+y+3z+2u v=5 x 1 +2x 4 3x 5 =5 2x 1 +2x 2 +2x 3 x 4 +4x 5 =0 x 1 x 2 x 3 +x 4 x 5 =3 x 2 +x 3 +x 4 2x 5 =2 2x 1 x 2 +x 3 x 4 =1 2x 1 x 2 3x 4 =2 3x 1 x 3 +x 4 = 3 2x 1 +2x 2 2x 3 +5x 4 = 6 (f) (g) (h) (i) x 1 +2x 2 3x 4 +2x 5 =1 x 1 x 2 3x 3 +x 4 3x 5 =2 2x 1 3x 2 +4x 3 5x 4 +2x 5 =7 9x 1 9x 2 +6x 3 16x 4 +2x 5 =25 x 3y 26z+22v=0 3x+8y+24z 19v=0 x+2y+4z 3v=0 3x+5y+6z 4v=0 x+2y+3z=0 3x 5y 2z=0 x+3y+4z=0 2x 3y z=0 5x+y+6z=0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 0 3x 1 3x 2 7x 4 = 0 4x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 0 16

20 3.5. Rakenduslikud ülesanded 3.5 Rakenduslikud ülesanded Ülesanne 3.8. Joonisel on toodud tänavaliikluse keskmised sõidukite arvud (ühes tunnis). Leidke arvud x 1, x 2, x 3, x 4 ja x 5. (a) (b) Ülesanne 3.9. (B) Mäletseja päevategevuse võib jagada jämedalt kolmeks tegevuseks: söömine, liikumine (uude söögikohta või kiskja eest põgenemine) ja puhkamine. Olgu söömisest saadav puhasenergia 200 kalorit tunnis. Liikumisel kaotatakse 150 cal/h ja puhkamisel 50 cal/h. Kuidas tuleks ööpäev jaotada nende kolme tegevuse vahel, et energiat kuluks sama palju, kui energiat saadakse? Kas selline jaotus on ühene? Kui loom peab ööpäevas puhkama vähemalt 6 tundi, kuidas peaks siis tegevused olema jaotunud? Kui ülesöömise vastu peaks loom liikuma ja sööma sama pikalt, kuidas on jaotus siis? Ülesanne (K) Taimed kasutavad fotosünteesis päikeseenergiat, et toota süsihappegaasist (CO 2 ) ja veest (H 2 O) glükoosi (C 6 H 12 O 6 ) ja hapnikku (O 2 ). Leidke iga aine kogused x 1, x 2, x 3 ja x 4, kui keemiline reaktsioon on kirja pandav võrrandiga x 1 CO 2 +x 2 H 2 O x 3 O 2 +x 4 C 6 H 12 O 6. Ülesanne (M) < > Olgu A=(a ij )(n n)-maatriks. Maatriksi A jäljeks nimetatakse tema peadiagonaalil asuvate elementide summat ja tähistatakse tr A, st tr A = kui ruutmaatriksi A astak on 1, siis det(a + E) = 1 + tr A. n i=1 a ii. Tõestage, et 17

21 Praktikum 4 Funktsioonid 4.1 Funktsionaalsed sõltuvused Kui suurus y on võrdeline (proportsionaalne) suurusega f(x), siis seda sõltuvust iseloomustab funktsioon y=kf(x), kus k on mingi konstant (võrdetegur). Ülesanne 4.1. Kirjutage välja järgmised funktsionaalsed sõltuvused. (a) Ümara lati tugevus S on võrdeline tema jämeduse h neljanda astmega (b) Delfiini energiakulu E ujudes on proportsionaalne tema liikumiskiiruse v kuubiga (c) Teekonna keskmine kiirus v on pöördvõrdeline kulutatud ajaga t (d) Kahe keha vaheline gravitatsioonijõud G on pöördvõrdeline nende kehade vahelise kauguse ruuduga Ülesanne 4.2. (K) Keemilise elemendi erisoojus s on energia hulk kalorites, mida on vaja 1 grammi elemendi 1 kraadiliseks soojendamiseks. Otsustage järgmise tabeli põhjal, kas erisoojus s on võrdeline või pöördvõrdeline aatommassiga w. Kui seos kehtib, leidke vastav võrdetegur k. element Li Mg Al Fe Ag Pb Hg w 6,9 24,3 27,0 55,8 107,9 207,2 200,6 s 0,92 0,25 0,21 0,11 0,056 0,031 0, Funktsioonide graafikud Ülesanne 4.3. Selgitage, kas funktsioonide f(x)=x+1 ja g(x)= x2 1 x 1 f=g? Skitseerige nende funktsioonide graafikud. korral kehtib võrdus Ülesanne 4.4. Skitseerige järgmiste funktsioonide graafikud. (a) f(x)= x 2 +1 (b) f(x)=log( x) (c) f(x)=sin(x π) (d) f(x)=arcsinx+π/2 (e) f(x)=e 2x (f) f(x)=cosx (g) f(x)=cos2x (h) f(x)=cos3x (i) f(x)=sin x 2 (j) f(x)=sin x 4 (k) f(x)=tan2x (l) f(x)=tan(x 2π) Ülesanne 4.5. (IT) Multiprotsessoriga arvuti suudab töötada S korda kiiremini, kui ühe protsessoriga arvuti. Skitseerige S graafik protsessorite arvu n järgi, kui S= 5n 4+n. Ülesanne 4.6. Milliste põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud on kujutatud järgmistel joonistel?

22 4.2. Funktsioonide graafikud A F K B G L C H M D I N E J O 19

23 PEATÜKK 4. FUNKTSIOONID Ülesanne 4.7. Kolmel graafikul on toodud anuma veega täitumise kõrgus, kui veevool on ühtlane. Milline anum vastab millisele graafikule? Ülesanne 4.8. Graafikul (ülal paremal) on toodud sinu ja sõbra liikumise kiirus ajas. Liikumist alustatakse samast punktist ja liigutakse samas sihis. (a) Kes liigub kiiremini hetkel t=20? (c) Millal on teie vahemaa suurim? (b) Kes on liikunud pikema maa, kui t=20? (d) Kes on liikunud pikema maa, kui t=50? 4.3 Funktsioonid ja nende omadused Definitsioon 4.1 Kõikide elementide x hulka, mille puhul funktsioon y = f(x) on määratud, nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni f kõigi väärtuste hulka Y={y y=f(x), x X} nimetatakse funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Definitsioon 4.2 Funktsiooni f X Y nimetatakse 1. paarisfunktsiooniks, kui f( x) = f(x) iga x X korral; 2. paarituks funktsiooniks, kui f( x) = f(x) iga x X korral; 3. perioodiliseks, kui leidub arv T 0 nii, et f(x+t)=f(x) iga x X korral; 4. üksüheseks, kui iga paari x 1,x 2 X, x 1 x 2, korral f(x 1 ) f(x 2 ); Ülesanne 4.9. Leidke järgmiste funktsioonide määramis- ja muutumispiirkonnad. (a) f(x)= x+4 (b) f(x)= x 2 4 (c) f(x)=log(x 6) (d) f(x)= (e) f(x)= 1 log(1 x) + x+2 1 ln(2 x) (f) f(x)=arcsin(2x 1) (g) f(x)=arccos 2 1+x Ülesanne Selgitage, millised järgmistest funktsioonidest on paaris- ja millised on paaritud funktsioonid. (a) f(x)= 3 x x3 (b) f(x)=x(5 2x 5 2x ) (c) f(x)= arcsinx arctan x (d) f(x)=sinx xcosx (e) f(x)=sinx cosx 20

24 4.3. Funktsioonid ja nende omadused Ülesanne periood T. Selgitage, millised järgmistest funktsioonidest on perioodilised, leidke vähim (a) f(x)=sin2x (b) f(x)=cos3x (c) f(x)=x 2 (d) f(x)=tan x 2 +3 Ülesanne Graafikul on toodud aastatel USA-s registreeritud mumpsi juhtumite arv kuude lõikes. (a) Leidke (ligikaudu) toodud funktsiooni periood ja amplituud (b) Ennustage mumpsi haigestumiste arvu 30 ja 45 kuu pärast 1. jaanuari 1972 Ülesanne Leidke järgmiste funktsioonide pöördfunktsioonid f 1 Y X. (a) f(x)=x 2, x [0, ) (b) f(x)=x 2, x (,0) (c) f(x)=10 x +1 (d) f(x)=1+log x 2, x (,2) (e) f(x)= 1 2 arcsin x 3, x [ 3,0] (f) f(x)=1+arccos(1 x) Ülesanne Järgmised parameetrilisel kujul antud funktsioonid kirjutage ilmutatud kujul y=f(x) või x=g(y). (a) x=t+5, y=t+lnt (b) x=t 5 +t, y=e t Ülesanne Leidke järgmised ilmutamata kujul antud funktsioonid y=f(x). (a) ln(y sinx)=x (b) y 2 2xy+x 2 4=0 Ülesanne Määrake, kas funktsioon f on üksühene. (a) f(x)=3x 2 (b) f(x)=2 x (c) f(x)=x 2 (d) f(x)=x 2, x [0, ) (e) f(x)=x 3 (f) f(x)=sinx Ülesanne (M) < > Leidke funktsioon f(x), kui f(x+ 1 x )=x2 + 1 x 2. 21

25 PEATÜKK 4. FUNKTSIOONID 4.4 Eksponentfunktsioon Eksponentfunktsioon on y=a x, kus a>0 ja a 1. Üliolulised on funktsioonid y=e x ja y=e x, kus esimese korral räägitakse eksponentsiaalsest kasvust ja teise puhul eksponentsiaalsest langusest. Omadus 4.1 Eksponentfunktsioonil on järgmised tähtsamad omadused: (a) a 0 =1 (b) a x >0 (c) a x+y =a x a y (d) a x = 1 a x (e) a x y = ax a y (f) (a x ) y =a x y (g) (a b)x =ax bx Ülesanne Lihtsustage avaldis f(x+1) f(x) f(x), kui f(x)=ae kx. Ülesanne Turule investeeritakse 300 eurot intressiga 3 % aastas. Leidke investeeringu suurus 10 aasta pärast. Ülesanne (K) Mõõteseade registreerib jões 1 km eemal kemikaali lekkekohast 620 osakest miljoni kohta (ppm) ning seadme näitajad suurenevad 12,5 % iga kilomeetri kohta lekkekohast eemal. Kui kaugel on seadme näit 100 ppm? 4.5 Logaritmfunktsioon Definitsioon 4.3 Positiivse arvu x logaritmiks alusel a (a>0, a 1) nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv x, s.t. log a x=c a c =x. Logaritm- ja eksponentfunktsioon on teineteise pöördfunktsioonid. Omadus 4.2 Logaritmfunktsioonil on järgmised tähtsamad omadused: (a) log1=0 (d) log x y =log x log y (g) a log a x =x (b) lne=1 (c) logxy=log x +log y (e) logx a =alog x (f) log a x= log b x log b a = lnx lna (h) e lnx =x Ülesanne Lihtsustage järgmised avaldised. (a) e 5lnx (b) ln 1 (c) e (3ln9)/2 e 3x (d) 4ln x+6lnx 1/3 (e) 16 log (f) loglog 5 10 (g) log 8 log 4 log 2 16 (h) e 2lncosx +(lne sinx ) 2 22

26 4.5. Logaritmfunktsioon Ülesanne Lihtsustage järgmised avaldised. (a) 5log log log 3 27+log 2 2+log 5 1 (b) 3 1 log log ,4 log 2, (c) log 2 12+log 2 25/3+2log 2 4/5 log (d) 4 (81 1/4 1/2log log ) Ülesanne Vesi kuumutatakse nõus 90 kraadini ja asetatakse ruumi, mille temperatuur on 0 kraadi. Newtoni jahtumisseadusest tuletatakse võrrand ln T = ln 90 0,23t, kus T on vee temperatuur ja t on aeg minutites. Esitage T ajast t sõltuva funktsioonina. Ülesanne Inimese vereringes olev alkohooli kogus A mg/ml on esitatav eksponentsiaalse seadusega A=A 0 e kt, kus t on aeg tundides ja k on konstant. Kui pikalt tuleb inimesel oodata autorooli istumist, kui lubatud kogus on 0,08 mg/ml, esialgne kogus 0,42 mg/ml ja poole tunni möödudes näitab alkomeeter A=0,26 mg/ml? Ülesanne (F) Kahe tähe näivheledused m 1 ja m 2 on seotud nende tegelike heledustega b 1 ja b 2 järgmise logaritmilise seose abil: m 1 m 2 =2,5 log 10 b 2 b 1. Avaldage b 2. Siiriuse näivheledus on 1,4 ning veel silmaga nähtavate tähtede näivheledus on u. 6,0. Mitu korda on Siiriuse tegelik heledus suurem, kui veel silmaga nähtavatel tähtedel? Ülesanne (K) Putukamürk DDT keelati USA-s aastal. Olgu A 0 alghetkel piirkonda pritsitud DDT kogus ning A hetkel t (aastat) veel lagundamata DDT kogus. Neid kahte suurust seob võrrand log 10 A=log 10 A 0 +0,1tlog 10 0,8. Avaldage A kui aja t-funktsioon. Ülesanne (K) Teatud tingimustel on temperatuur T ja rõhk p seotud järgmise võrrandiga T =( p k 1 k ), T 0 p 0 kus T 0 on temperatuur rõhul p 0. Lahendage toodud võrrand k suhtes. Ülesanne (M) Näidake, et kehtib võrdus b log a c =c log a b. Ülesanne (M) Arvutage b b, kui a b =8, b c =10 ja a c =2. 23

27 PEATÜKK 4. FUNKTSIOONID 4.6 Logistiline kõver Logistiline S-kõver y= L L 1+e k(x x0)= 1+be kx on laialt kasutusel populatsiooni modelleerimisel. Siin L on kõvera maksimaalne väärtus, k iseloomustab kasvu kiirust ja x 0 on keskpunkti asukoht. Logistilist kõverat kasutatakse palju ka statistikas ja IT-s masinõppes, kuna lubab modelleerida 0 ja 1 tüüpi väärtusi. Joonis: com/161 Ülesanne Ülikoolilinnakus on 5000 tudengit. Üks tudeng naaseb puhkuselt linnakusse kaua 5000 kestva gripiviirusega. Viiruse levikut modelleeritakse parajasti logisilise mudeliga y = d, e 0,8t kus t on aeg päevades ja y näitab nakatunud tudengite arvu. Mitme päeva pärast tuleb õppetöö lõpetada, kui eeskirja järgi tehakse seda olukorras, kus on vähemalt 40 % nakatunuid. 4.7 Rakenduslikud ülesanded Ülesanne Riigis on antud hetkel 100 miljonit elanikku. Statistiliste uuringutega tehti kindlaks, et iga 10 aastaga suureneb riigi elanike arv 1,2 korda. Leidke (a) riigi elanike arv 30 aasta pärast. (b) mitme aastaga kahekordistub riigi elanike arv? Ülesanne Igal kevadel peetakse Mission Bay s klassikaline meeskondlik sõudmise võistlus. On täheldatud, et n-liikmelises paadis tuleb võitja ajaks (keskmiselt) t=kn a. Teades, et 8-liikmelise paadi võidu aeg on 6 minutit ja 4-liikmelisel 6 min 28,8 sek, leidke, millise ajaga võidetakse 1- ja 2-liikmelise paadi võistlused. 24

28 Praktikum 5 Kontrolltöö nr Maatriksid 5. Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 1. Tehted maatriksitega. 2. Pöördmaatriksi leidmine ja maatriksvõrrandite lahendamine. 3. Maatriksi astaku leidmine. 2. Determinandid 1. Determinantide põhiomadused. 2. Determinantide arendamine rea või veeru järgi. 3. Lineaarvõrrandite süsteemid 1. Gaussi meetod. 2. Lineaarvõrrandite süsteemi üldlahendi ja erilahendi leidmine. 3. Crameri peajuht ja valemeid. 4. Funktsioonid 1. Määramispiirkond, muutumispiirkond, paaris- ja paaritufunktsioon, üksühesus. 2. Põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud, nende skitseerimine. 3. Eksponent ja logaritmfunktsioonide omadused. 4. Pöördfunktsiooni leidmine. 1. Piirväärtuse arvutamine, määramatuste ( 0 0,, 0, ) avamine (tegurdamine). Polünoomide jagatised, juuravaldised. 2. Piirväärtuse omadused (tehted, nulli mineva ja tõkestatud funktsiooni korrutis, keskmise muutuja omadus). Kasulik on teada ka piirväärtuseid tüüpi lim 1 x, lim 1 x 2, kui x Tähtsad piirväärtused: sinx lim x 0 x =1, tanx lim =1, x 0 x lim n n=1. n 4. Funktsiooni pidevuse uurimine. Töösse ei tule piirväärtuseid tüüpi arcsin x lim =1, x 0 x arctan x lim =1, x 0 x lim (1+ 1 x x ± x ) =e. Töösse ei tule funktsiooni katkevusliikide määramist.

29 Praktikum 6 Funktsiooni piirväärtus Definitsioon 6.1 Öeldakse, et punkt a R on hulga X R kuhjumispunkt, kui punkti a iga ümbrus sisaldab temast erinevaid hulga X punkte. Definitsioon 6.2 Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt. Reaalarvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a ja kirjutatakse lim x a f(x)=a, kui punktile a piisavalt lähedastes määramispiirkonna X punktides x (välja arvatud, võib-olla, punktis a eneses) erinevad vastavad funktsiooni väärtused f(x) arvust A kui tahes vähe. Määramatused: 0 0,, 0,, 00, 1, Piirväärtuse omadusi Teoreem 6.1 Olgu funktsioonidel f ja g üks ja sama määramispiirkond ning eksisteerigu lõplikud piirväärtused limf(x)= A ja limg(x)= B. Siis eksisteerivad ka piirväärtused x a x a lim x a (c f(x))=c A, lim(f(x)±g(x))=a±b, lim(f(x) g(x))=a B, lim x a x a x a f(x) g(x) = A B (kui B 0.) Teoreem 6.2 Kui lim x a g(x)=0 ja funktsioon f on tõkestatud punkti a mingis ümbruses, siis lim x a (f(x) g(x))=0. Teoreem 6.3 Kui (1) a on liitfunktsiooni y = f(φ(x)) määramispiirkonna kuhjumispunkt; (2) eksisteerivad piirväärtused limφ(x)= b ja limf(z)= c(b,c R {± }), x a z b siis eksisteerib ka piirväärtus lim f(φ(x))=limf(z)=c. x a z b Teoreem 6.4 Kui f on elementaarfunktsioon ja punkt a kuulub tema määramispiirkonda, siis lim x a f(x)=f(a). Teoreem 6.5 Kui eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x), siis piirväärtus limf(x)=l eksis- x a x a teerib parajasti siis, kui kehtivad võrdused x a+ lim f(x)= lim f(x)=l. x a+ x a

30 6.2. Piirväärtuse arvutamine Ülesanne 6.1. Leidke joonise põhjal järgmised piirväärtused. Siin täidetud ringid on graafiku punktid; seest tühjad ringid ei ole graafiku punktid. (a) lim x 2+ f(x) (b) lim x 2 f(x) (c) lim x 2 f(x) (d) lim x 4+ f(x) (e) lim x 4 f(x) (f) lim x 4 f(x) Ülesanne 6.2. Joonestage järgmiste funktsioonide graafikud ja leidke nende funktsioonide ühepoolsed piirväärtused märgitud punktides a ja b. (a) f(x)= x+1, 0 x 1, x 1, 1<x 3,, a =1 b =2 (b) f(x)= x 2, 0 x 1, x 1, 1<x 2,, a =0 b =1 Ülesanne 6.3. Olgu funktsioonidel f ja g üks ja sama määramispiirkond ning olgu lim x 0 f(x)=1 ja lim x 0 g(x)= 5. Millistele piirväärtuse omadustele tuginedes on tehtud järgmised teisendused? 2f(x) g(x) lim (2f(x) g(x)) lim 2f(x) limg(x) lim x 0 (f(x)+7) 2/3= x 0 x 0 x 0 = lim x 0 (f(x)+7)2/3 (lim(f(x)+7)) x 0 Ülesanne 6.4. Kas kehtib võrdus lim x /x = lim x 0 2 1/x? Põhjendage! Ülesanne 6.5. Leidke järgmised piirväärtused. 2limf(x) limg(x) 2/3 = x 0 x 0 (lim x 0 f(x)+lim x 0 7) 2/3 = 7 4. (a) lim x 25 ( x 5) (b) lim x 4 x 2 7 (c) lim x π cosx x (d) lim x 0 xsin 1 x (e) lim x e x cos2x (f) lim x 0 5x 2 +4x x (g) lim x 0 ( 1 x 1 x 2) (h) lim x 1 ( x x x+1 ) x (i) lim x 0 x x (j) lim x 0 x (k) lim 2+e 1 x 0+ 4+x sinx 6.2 Piirväärtuse arvutamine Ülesanne 6.6. Leidke järgmised piirväärtused. (a) lim x 1 (2x 1) 2 1 2x 2 (b) lim x 1 x 3 1 x 2 1 (c) lim x 1 x 2 +x x 3 +1 (d) lim x 3 x 2 2x 3 3 x x 3 8 (e) lim x 2 (2x 2 8)x 2 x 2 5x+6 (f) lim x 2 x 3 2x 2 x+2 x+3 (g) lim x 3 x 2 +4x+3 (h) lim t 1 t 2 +3t+2 t 2 t 2 (i) lim y 0 5y 3 +8y 2 3y 4 16y 2 (j) lim x 1 x+1 x 2 4 (k) lim x 4 x+2 (x+4) 2 (l) lim x 4 x 4 x 4 27

31 PEATÜKK 6. FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS Ülesanne 6.7. Leidke järgmised piirväärtused. x 1 (a) lim x 1 x 1 x 2 (b) lim x 4 x (c) lim y 0 y+16 y (d) lim x 1 x 1/3 1 x 1 (e) lim x 64 x 2/3 16 x 8 (f) lim x ( x 2 +1 x) (g) lim x (x x 2 x) (h) lim x ( x+9 x+4) (i) lim x 1 x+ x 2 +5x Ülesanne 6.8. Leidke järgmised piirväärtused. 3x (a) lim x x 4 x 2 (b) lim x x+1 (c) lim x 2x 2 +4 x 2 x+1 (d) lim x x 2 +1 x (e) lim x 0+ (logx log2x) 1 2x 2 (f) lim x (4x+3) 2 2x 2 +3 (g) lim x 5x 2 +7 (h) lim x 1 x 2 7x+1 (i) lim x x 4 +x 3 12x Rakenduslikud ülesanded Ülesanne 6.9. (B) Loomade õppimisvõime uurimiseks teostas üliõpilane eksperimendi, kus rotil lasti korduvalt läbida labürinti. Mõõtmistulemused näitasid, et n-dal korral läbis rott labürindi ajaga T(n) =(5n + 17)/n minutit. Mis juhtub labürindi läbimiseks kuluva ajaga, kui katsete arv tõkestamatult kasvab? Ülesanne (B) Teatud inimese silma pupilli pindala avaldub seosega S= 36+24y3 1+4y 3 (mm 2 ), kus y on valguse heledus luumenites. Milliste väärtuste vahel võib pupilli pindala teoreetiliselt muutuda? Ülesanne (F) Einstein i erirelatiivsusteooria järgi on liikuva keha mass leitav valemiga m M(v)=, kus c on valguse kiirus, m>0 on seisumass ja v on keha liikumise kiirus. Arvutage 1 v2 c 2 järgmiste avaldiste väärtused. Mis on vastavate tulemuste füüsikaline sisu? (a) M(0) (b) M( c ) 2 (c) lim M(v) v c (d) lim M(v) v c+ Ülesanne (F) Punktmassi liikumist aja t järgi kirjeldab seos f(t)=t 3 3t 2 +5t. Leidke f(2+ t) f(2) punktmassi liikumise kiirus hetkel t=2, s.t leidke piirväärtus lim. t 0 t Ülesanne On ennustatud, et t aasta pärast on eeslinna populatsioon p = p(t) tuhat inimest, kus p(t)=20 7. Keskkonnaameti uuring näitas, et keskmine süsihappegaasi tase on c t+2 osakest miljoni osakese kohta, kus c(p)= 2 p 2 +p+21. Mis juhtub süsihappegaasi tasemega pikas 5 perspektiivis, kui t? Ülesanne (K) Analüüsige vesiniku aatomi 3s-orbiidi lainefunktsiooni radiaalse osa R 3s (r) väärtusi protsessides r 0+ ja r. Siin N ja a 0 on konstandid, r on elektroni kaugus tuumast: R 3s (r)=n (27 18 r+ 2 a 0 a 2 r 2 ) e r 3a

32 6.4. Tähtsad piirväärtused 6.4 Tähtsad piirväärtused sinx lim x 0 x =1, lim (1+ 1 x x ± x ) =e, tanx lim =1, x 0 x lim (1+x) 1 x =e, x 0 arcsin x lim =1, x 0 x lim n n=1, n arctan x lim =1. x 0 x Ülesanne Leidke järgmised piirväärtused. (a) lim x 0 xsinx 2x 2 (b) lim x 0 sin4x x (c) lim x 0 2arcsinx 3x (d) lim x 0 xcotx (e) lim x 0 1 cosx x 2 sin(sinx) (f) lim x 0 sinx sin(1 x) (g) lim x 1 x 1 (h) lim x 0 sin2x tan5x (x x 3 ) 2 (i) lim x sin3x 3x (j) lim x xsin 1 x (k) lim x 0 arctan3x sin4x (l) lim( x x x 1+x ) (m) lim x 0 (1 x) 3/x 3x 2 (n) lim (x+1 x x 2 ) (o) lim x (1 1 x ) x+ln2 6.5 Erinevaid piirväärtuse ülesandeid Ülesanne Leidke järgmised piirväärtused. 2 x+3 (a) lim x 1 x 2 +x 2 (b) lim x 2 x+2 1 x+3 (c) lim x x 2 5x (x+1) 2 (d) lim x ( x 2 4x+x) (e) lim 1 x sinx x 0 x2 sin (f) lim x 0 3x tan5x sin2x (g) lim x 0 arcsin 6x x (h) lim x 1 (x 1) 2 (i) lim x 0 cosx cosx 1 (j) lim x 0 (x 2 2 x 1) Ülesanne (M) < > Olgu a R. Leidke piirväärtus Näpunäide n 2 = n(n+1)(2n+1) 6. lim n 1 n ((a+ 1 n ) 2 +(a+ 2 n ) (a+ n 1 n ) 2 ). 29

33 PEATÜKK 6. FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS 6.6 Pidevad ja katkevad funktsioonid Definitsioon 6.3 Öeldakse, et funktsioon f on pidev punktis a, kui lim x a f(x)=f(a); pidev hulgas X, kui ta on pidev hulga X igas punktis; pidev, kui ta on pidev oma määramispiirkonnas (s.t ta on pidev oma määramispiirkonna igas punktis). Teoreem 6.6 Iga elementaarfunktsioon on pidev. Definitsioon 6.4 Funktsiooni katkevuspunktideks nimetatakse tema määramispiirkonna punkte, milles see funktsioon ei ole pidev, ning määramispiirkonna kuhjumispunkte, mis ei kuulu määramispiirkonda. Definitsioon 6.5 x a x a+ Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a esimest liiki katkevus, kui eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x). Kui seejuures need ühepoolsed piirväärtused on võrdsed, siis öeldakse, et katkevus punktis a on kõrvaldatav. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a teist liiki katkevus, kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim f(x) ja lim f(x) on lõpmatu või ei eksisteeri. x a x a+ Ülesanne Leidke joonise põhjal intervallid, kus funktsioon on pidev ja punktid, kus ta ei ole pidev. Siin täidetud ringid on graafiku punktid; seest tühjad ringid ei ole graafiku punktid. Ülesanne Joonestage ühe funktsiooni f graafik, mis rahuldab järgmisi tingimusi. (a) funktsioon f on määratud lõigus[0,5] (c) f(1)=0 (d) funktsioon f on tõkestatud lõigus[4,5] (b) lim x 1 f(x)=3 (e) funktsioon f ei ole pidev punktis x= 3 Ülesanne Uurige järgmiste funktsioonide pidevust. (a) f(x)= x 3 x (b) f(x)= x 3 x 2 x 3, x<2 (d) f(x)= 6, x=2 4x, x>2 sin6x (e) f(x)= 2x, x 0 3, x=0 x 3 x 2 (c) f(x)= x 1, x 1 1, x=1 30

34 6.6. Pidevad ja katkevad funktsioonid Ülesanne Leidke parameetrite a ja b väärtused, mille korral järgmised funktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas. 7x 2, x 1 (a) f(x)= ax 2, x>1 bx 2, x 2 (b) f(x)= 2x+b, x>2 3+ax 2, x 1 (c) f(x)= x+1, x>1 x a, x<1 (d) f(x)= cosπx, x 1 2sinx, x π 2 (e) f(x)= asinx+b, π 2 <x π 2 cosx, x> π 2 Ülesanne Määrake järgmiste funktsioonide katkevuste liigid. Kui võimalik, siis kõrvaldage katkevused. (a) f(x)= sinx x (b) f(x)= sin2 x x (c) f(x)=2 1 3 x (d) f(x)=(1+x) 1 x (e) f(x)= x3 +1 x+1 (f) f(x)= 2 x 3 x 2 49 (g) f(x)=ln sinx (h) f(x)=arctan 1 x (i) f(x)=arctan 1 x 2 Ülesanne Töötaja leping näeb ette, et tema esialgne palk on 1000ening eduka töö korral ootab teda iga poole aasta tagant palgatõus 3%. Joonistage töötaja palga graafik järgmise 5 aasta jaoks ning uurida palgafunktsiooni pidevust. 31

35 Praktikum 7 Funktsiooni tuletis 7.1 Funktsiooni tuletis Definitsioon 7.1 Olgu X R (tõkestatud või tõkestamata) intervall, f X R, ning olgu a hulga X sisepunkt. Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse (lõplikku või lõpmatut) piirväärtust f f(x) f(a) f(a+h) f(a) (a) = lim = lim. x a x a h 0 h Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (const) =0 (x α ) =α x α 1, α 0 (e x ) =e x (a x ) =a x lna (ln x ) = 1 x (sinx) =cosx (cosx) = sinx (tanx) = 1 cos 2 x (cotx) = 1 sin 2 x (arcsinx) 1 = 1 x 2 (arccosx) 1 = 1 x 2 (arctanx) = 1 1+x 2 (arccotx) = 1 1 x 2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid (cu) =cu (u±v) =u ±v (u v) =u v+u v ( u v ) = u v u v, v 0 v 2 Ülesanne 7.1. Lähtudes definitsioonist, leidke järgmiste funktsioonide tuletised. (a) f(x)=6x 1 (b) f(x)=2x 2 5 (c) f(x)=x 3 (d) f(x)= 3x (e) f(x)=cosx (f) f(x)= 1 x Ülesanne 7.2. Leidke järgmiste funktsioonide tuletised. (a) f(x)=3x 5 (b) f(x)=x+6x 1 3 (c) f(x)= 1 x +2 x+2e (d) f(x)=2 x e x (e) f(x)=log 2 x +sinx (f) f(x)= 1 2x 3arccosx (g) f(x)=21x 7 arcsinx 2 (h) f(x)= ln x + x3 6 (i) f(x)=3π x 4 Ülesanne 7.3. Leidke järgmiste funktsioonide tuletised (a, b ja α on konstandid). (a) f(x)= 3 x 2 1 (b) f(x)=x a b x (c) f(x)= cosx x (d) f(t)=2tsint (t 2 2)cost (e) f(u)= sinu u lnucosu (f) f(x)= 5x x 6

36 (g) f(x)= ex a x 1+lna (h) f(x)= xtanα 1+x 2 +xlnx (i) f(x)=arccosxarcsinx (j) f(x)= 1 sinx +a2 arctanx Ülesanne 7.4. Leidke funktsiooni f(x)=(3x 1)(3x+1)(x 2 4) tuletis 7.2. Liitfunktsiooni tuletis (a) kasutades korrutise tuletise valemit (b) korrutades sulud läbi Ülesanne 7.5. Arvutage järgmiste funktsioonide tuletised punktis t. (a) f(t)=15t 3 e t ja t=1 (b) f(t)= t2 (1 2t) 3t 7 ja t= 1 Ülesanne 7.6. (F) Laserite teoorias avaldub kiirgusvõimsus valemiga P= kf 2 ω 2 2ωf+f 2 +a 2, kus f on sagedus ning a, k ja ω on teatud konstandid. Leidke dp df. Ülesanne 7.7. (IT) Arvutisüsteem töötleb N bitti andmeid ajaga t, mis on võrdeline arvuga N ln(n). Leidke aja muutumise kiirus bittide arvu suhtes, dt/dn. Ülesanne 7.8. (K) Termodünaamikas seob temperatuuri T, rõhku p ja gaasi ruumala V valem, kus a, b ja R on konstandid. Leidke dt dv, kui rõhk on konstantne ja T=(p+ a V 2)(V b R ). Ülesanne 7.9. (M) < > Leidke h (1), kui h(x)=xe x arccot(x)g(x) ning g(1)=2 ja g (1)= Liitfunktsiooni tuletis Valem 7.1 Kui y=f(g(x)), siis y =f (g(x)) g (x). Ülesanne Leidke järgmiste funktsioonide tuletised. (a) y=(4x 3) 5 +( 3x) 2 (d) y=x 1 x 2 (b) y=5(3x 6 4) 2 3 (e) y=ln(x+lnx) (c) y=(sinx) 1 (f) y=6 x +4 6x Ülesanne Leidke järgmiste funktsioonide tuletised. (g) y=tan( π 3 x 4 ) (h) y= e0,5x 2x (a) y=( 2x+1 3x 2 ) 2 (b) y= 2x+1 4x+1 (c) y=ln(4x 3) 3 (d) y=cos( 9x+2)+sin 3 4x 5 (e) y= 1 cos( 7x) + 1 sin( 7x) (f) y= cos 2 3x 1+2sin 2 2x (g) y=ln(tan2x)+ln(cot2x) (h) y=6arcsin 2 x (i) y=arctan 1 x 1+x (j) y=arccosxln(arctanx) 33

37 PEATÜKK 7. FUNKTSIOONI TULETIS Ülesanne Tabelis on antud funktsioonide f ja g ning nende tuletiste väärtused kohal x = 3. Leidke funktsiooni u(x)= f(x) 2 +2 g(x) 2 tuletise väärtus punktis x=3 x f(x) g(x) f (x) g (x) Ülesanne (F) Laine kiirus sügavas vees on arvutatav seaduse v= k L m + a L ja m on konstandid, L laine pikkus). Leidke L väärtused, mille korral v (L)=0. alusel (a, k Ülesanne (F) Selleks, et arvutada laserkiire levimiseks kuluvat aega punktist S (ühes keskkonnas) punkti P (teises keskkonnas), tuleb leida aja a t= 2 +x 2 b 2 +(c x) 2 + v 1 v 2 tuletis muutuja x järgi. Siin a, b, c, v 1 ja v 2 on konstandid. Leidke tuletis dt/. Ülesanne (B) Näidaku funktsioon y=y(t) mingi liigi isendite, taime osade, rakkude arvu vms ajahetkel t. Sel juhul tuletist y (t)= dy dt nimetatakse ka absoluutseks kasvukiiruseks hetkel t. Absoluutne kasvukiirus võib erisuurustes organismide vahel palju erineda ja see ei anna meile infot nn efektiivsuse kohta. Olgu kasvukiirus y (t)=g(t), s.t. ajast sõltuv funktsioon. Sel juhul jagades mõlemat poolt suurusega y saame y (t) y = G(t) y. Jagatist R(t) = y (t) y(t) nimetatakse suhteliseks kasvukiiruseks ja see iseloomustab nn materjali efektiivsust toota uut materjali (näiteks metsa kasv). Sookase (Betula pubescens) ja mägivahtra (Acer pseudoplatanus) seemned istuti maha ja kasvanud taimed kärbiti iga kahe nädala tagant. Esimese 18 nädalaga selgus mõõtetulemustest, et puud kasvasid seaduste W kask (t)=0,0441e 0,3041t, W vaher (t)=0,3837e 0,2243t alusel, kus t ühikuks olid nädalad ja W ühikuks grammid. Kirjutage välja mõlema liigi suhtelised kasvukiirused R(t). Milline liik taastoodab ennast efektiivsemalt? Ülesanne (F) Kaks kuullaagrit kuluvad nii, et ühe raadius r on teise omast alati 1,2 mm võrra väiksem. Leidke kuullaagrite summaarse ruumala muutumise kiirus raadiuse r järgi, V (r), hetkel kui r = 3,3 mm. Ülesanne (K) Kui gaasi ruumala muutub väga kiiresti, siis rõhk P muutub ligikaudu pöördvõrdeliselt ruumala 3/2-astmega. On teada mõõtmistulemus, et 300 kpa rõhuga V= 100 cm 3. Leidke rõhu P muutumise kiirus ruumala V järgi hetkel, mil V=100 cm 3. Ülesanne (M) < > Olgu g(0)=0ja olgu g diferentseeruv punktis x=0. Avaldage g tuletise kaudu lim x 0 g(x)+g( x 2 )+g(x 3 )+ +g( x 10 ). x 34

38 7.3. Kõrgemat järku tuletis 7.3 Kõrgemat järku tuletis Funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis on y =(y ). Üldisemalt n-järku tuletis on y (n) =(y (n 1) ) =(y ) (n 1). Ülesanne Leidke järgmised kõrgemat järku tuletised. (a) f(x)=lnx, leidke f (b) f(x)=sinx, leidke f (13) (c) f(x)=2x 5 +6x 2, leidke f (10) (d) f(x)=tanx, leidke f Ülesanne Leidke nõutud kõrgemat järku tuletised, kui funktsioon u=u(x) on vajalik arv kordi diferentseeruv. (a) f(x)=u(x 2 ), leidke f (b) f(x)=u(e x ), leidke f (c) f(x)=u(x) 2, leidke f (d) f(x)= u(x2 ) x, leidke f Ülesanne Arvutage nõutud kõrgemat järku tuletise väärtus. (a) f ( π 4 ), kui f(x)=cos2 x (b) f (4) (2), kui f(x)= 1 x x 2 Ülesanne Leidke (a) d2 y, kui y= lnx 2 x (b) d2 p dq 2, kui p=qe q2 (c) d3 s dt 3, kui s= t 2+3t 7.4 Logaritmiline diferentseerimine * Logaritmilise diferentseerimise võte on vältimatu[u(x)] v(x) tüüpi funktsioonide korral, kuid see on abiks ka siis, kui f sisaldab palju korrutisi ja jagatisi. 1. Kirjutame 2. Võtame võrdusest logaritmi 3. Võtame mõlemast poolest tuletise 4. Saadud seosest avaldame y y = f(x) ln y =ln f(x) 1 y y =(ln f(x) ) y =y (ln f(x) ) Ülesanne Leidke järgmiste funktsioonide tuletised. (a) f(x)=x x, kui x>0 (b) f(x)=x sinx, kui x>0 (c) f(x)=(lnx) x, kui x>1 (d) f(x)=x 3 e x2 sin2x (e) f(x)= (x 2)2 3 x+1 (x 5) 3 (f) f(x)= 3 x(x 2 +1) (x 2 1) 2 35

39 PEATÜKK 7. FUNKTSIOONI TULETIS 7.5 L Hospitali reegel Valem 7.2 L Hospitali reegel määramatuste 0 0 ja ± ± korral, lim f(x) g(x) =lim f (x) g (x), kui leidub lim f (x) g (x). Ülesanne Leidke l Hospitali reegli abil järgmised piirväärtused. (a) lim x x 2 3 x+1 (b) lim x 3x x 2 x (c) lim x 1 x 4 6x 3 +5 x 4 +5x 3 6 (d) lim x 1 x 5 1 x 3 1, lnx (e) lim x x (f) lim x x 2 e x (g) lim x 1 arctanx π 4 x 1 (h) lim x 0 1 cosx x 2 Ülesanne Leidke järgmised piirväärtused. (i) lim x 0 tanx x x sinx x 4 (j) lim x e 4x (k) lim x 0+ ln(sin6x) ln(sin 3x) (l) lim x x lnx x+lnx (a) lim x π 1 cosx (π x) 2 (b) lim x π 2sinx 1 cosx (c) lim x 0+ x 2 lnx (d) lim x 0+ sinx lnx (e) lim x 0 e x +e x 2 1 cos2x (f) lim x 0 ( 1 sinx 1 x ) (g) lim (1 sinx) tanx x π/2 (h) lim x 1+ (1 x) tan( π 2 x) (i) lim x x sinx Ülesanne (M) Leidke järgmised piirväärtused, veendudes eelnevalt, et neid l Hospitali reegliga leida ei saa, kuigi esineb sobiv määramatus. (a) lim x x sin(x) x+sin(x) (b) lim x x 1+x 2 (c) lim x 0 x 2 sin( 1 x ) sin(x) Ülesanne (M) Leidke definitsioonist lähtudes funktsiooni f tuletis punktis 0 (näpunäide: L Hospitali reegel): 1 f(x)= xln2 1 2 x, kui x 0, 1 1, kui x=0. 2 Ülesanne (F) Kui langeva keha õhutakistus on võrdeline langemiskiirusega, siis kiirus v avaldub valemiga v= mg k (1 e kt/m ), kus m on keha mass, t aeg alates langemise algusest, g raskuskiirendus ja k on positiivne konstant. Leidke piirväärtus lim v. k 0+ 36

40 Praktikum 8 Diferentsiaali ja tuletise rakendused 8.1 Joone puutuja ja normaal Definitsioon 8.1 Joone puutujaks punktis A nimetatakse sirget, mis on lõikaja AB piirseisuks, kui punkt B läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Joone y=f(x) tuletis f (x 0 ) on selle joone puutuja tõus punktis(x 0,f(x 0 )) ja puutuja võrrand avaldub järgmiselt: y=f(x 0 )+f (x 0 ) (x x 0 ). (8.1) Definitsioon 8.2 Joone y=f(x) normaaliks (ehk ristsirgeks) punktis(x 0,f(x 0 )) nimetatakse sirget, mis ristub seda sama punkti läbiva puutujaga. Joone y=f(x) normaali võrrand punktis(x 0,f(x 0 )) avaldub järgmiselt y=f(x 0 ) 1 f (x 0 ) (x x 0). (8.2) Ülesanne 8.1. Leidke funktsiooni graafiku puutuja ja normaal nõutud punktis(x 0,f(x 0 )). (a) y=x 2 +2x punktis(2,8) (b) y= 1 3 x3 5x punktis(3, 6) (c) y=4 x 2 punktis(3, 5) (d) y= 1 x 2 +1 punktis( 1, 1 2 ) Ülesanne 8.2. Leidke funktsiooni graafiku puutuja ja/või normaal etteantud tõusuga. (a) y=x 2 2x puutuja, tõusuga 2 (b) y= 2x 9 puutuja, tõusuga 1 (c) y= (2x 1) 3 normaal, tõusuga 1 24, x>0 (d) y= x normaal, tõusuga 4 Ülesanne 8.3. Arvutimängus liiguvad lennukid ekraanil vasakult paremale eeskirja y=2+ 1 x järgi. Lennukite relvadeks on raketid, mida tulistatakse ainult liikumise suunas. Sihtmärgid asuvad x-teljel: x=1,2,3,4. Kas punktist(1,3) lastud rakett tabab ühte sihtmärkidest? Ülesanne 8.4. Näidake, et joone y=x+2x 2 x 4 puutuja punktis(1,2) on selle joone puutujaks ka punktis( 1,0). Ülesanne 8.5. Käiaga terariistu teritades lendavad sädemed mööda käia välispinna puutujat. Leidke punktist(3,4) lenduva sädeme trajektoor (sirge), kui käi on ringjoone x 2 +y 2 =25 kujuga.

41 PEATÜKK 8. DIFERENTSIAALI JA TULETISE RAKENDUSED 8.2 Funktsiooni diferentsiaal Definitsioon 8.3 Anname argumendile x muudu x. Korrutist f (x) x (8.3) nimetatakse funktsiooni f diferentsiaaliks punktis x. Tähistame dy või df(x), seega dy=f (x) x ehk ka dy=f (x). (8.4) Ülesanne 8.6. Leidke funktsioonide diferentsiaalid. (a) y=x 5 +4x (b) y=3x 2 +6 (c) T= 2 r 5+3π2 (d) y=2 x 1 8x (e) y=xe x (f) R= 6u 1+2u (g) y=6x 1 4x (h) y= x 5x+2 (i) y= 3x+1 2x 1 Ülesanne 8.7. Arvutage funktsioonide diferentsiaalid ette antud väärtustel. (a) y=7x 2 +4x, x=4, x=0,2 (b) y=(x 2 +2x) 3, x=7, x=0,02 (c) y=(x 2 +1) 2,x=1 (d) f(x)=x 1+4x,x=12, x=0,06 (e) y= x 6x 1, x=3,5, x=0,025 (f) f(x)=tanx, x= π Funktsiooni muudu ligikaudne arvutamine Funktsiooni y=f(x) muut on y=f(x 0 + x) f(x 0 ). Kui x on küllalt väike, siis y dy ehk f(x 0 + x) f(x 0 ) f (x 0 ) x. Ülesanne 8.8. Avaldage ringi pindala S raadiuse funktsioonina. Leidke selle funktsiooni muut S ning diferentsiaali definitsiooni põhjal funktsiooni diferentsiaal ds. Leidke suurus, mille võrra erinevad funktsiooni muut ja diferntsiaal. Ülesanne 8.9. Arvutage, kui palju ligikaudu suureneb kera pinna pindala, kui raadiust pikendada 50 cm-lt 51 cm-ni. Ülesanne Arvutage ligikaudu, kui palju on vaja värvi, et katta 55 m raadiusega poolkerakujuline klaasist kuppel 0,5 mm paksuse värvikihiga. Ülesanne Ilmajaam ripub raadiusega 3,5 m kerakujulise õhupalli otsas. Õhupall kattub ühtlase jää kihiga, mille paksus on 1,2 mm. Leidke jää ligikaudne ruumala. Ülesanne Vertikaalselt õhku lastud raketti jälgitakse teleskoobiga, mille mõõtetäpsus on 2 kraadi. Vaateplatvorm asub 3000 m kaugusel raketi stardiplatvormist. Raketi asukoht mõõdetakse 60 sekundit pärast starti ja tulemuseks saadakse 64-kraadine nurk. Kui kõrgel on rakett ja milline on võimalik viga kõrguse hindamisel? 38

42 8.4. Funktsiooni väärtuse ligikaudne arvutamine Ülesanne Näidake, et DVD raadiuse mõõtmisel tehtav 2% viga põhjustab umbes 4% suurema materjalikulu. Ülesanne Näidake, et kerakujulise lumepalli ruumala arvutamisel tehtav suhteline viga V/V võrdub ligikaudu kolmekordse suhtelise veaga, mida tehakse raadiuse mõõtmisel. Ülesanne (B) Ajaühikus veeni läbiva vere hulk (voolutugevus V ) on võrdeline veeni ristlõike raadiuse r neljanda astmega. Leidke, kui palju ligikaudu muutub voolutugevus V, kui valendiku raadiust suurendada 5 %. Ülesanne (F) Valguse lainepikkus λ on pöördvõrdeline laine sagedusega f. Punase valguse korral λ=685 nm ja f= 4, Hz. Kui palju ligikaudu muutub λ, kui tõsta sagedust 0, Hz? 8.4 Funktsiooni väärtuse ligikaudne arvutamine Kui x on küllalt väike, siis f(x 0 + x) f(x 0 )+f (x 0 ) x. Ülesanne Arvutage ligikaudsed väärtused. (a) 1,08 (d) sin46 (g) 3 1,02 (i) arctan 1,05 (b) 15,93 (c) (3,02) 5 (e) log11 (f) e 0,1 (h) 2, , Ülesanne Esitage funktsiooni väärtuse arvutamiseks ligikaudne valem etteantud punkti a ümbruses. (a) f(x)= x 4 +3x 2 +8, a=2 (b) f(x)=x 2 (x+1) 4, a= 2 Ülesanne (B) Inimese ellujäämise tõenäosus y põletushaavade korral x % kehast on ligikaudselt esitatav valemiga y= 300 0,0005x Esitage y ligikaudse arvutamise valem kohal +2 x=50 %. Ülesanne (F) Elektroonilise tuuneri ühe elemendi mahtuvus on C= on pinge. Esitage C ligikaudse arvutamise valem kohal V=4,0 volti V µf, kus V 8.5 Tuletis kui protsessi muutumise kiirus * Ülesanne Naftatankeris tekib ringikujuline leke, kus vee pinnal olev õliringi raadius r suureneb kiirusega 10 m minutis. Kui kiiresti suureneb reostatud ala (ringi pindala) hetkel, kui r=25 m? Ülesanne Kerakujulisse õhupalli pumbatakse õhku fikseeritud kiirusega 20 cm 3 /min. Kui kiiresti suureneb kera raadius r, kui enne õhu juurde pumpamist r=6 cm? Ülesanne Silindri kõrgus h suureneb kiirusega 7 m/sek ja aluse raadius r suureneb 3 m/sek. Kui kiiresti suureneb silindri ruumala, kui h(0)=5 m ja r(0)=6 m? 39

43 PEATÜKK 8. DIFERENTSIAALI JA TULETISE RAKENDUSED Ülesanne Öisel tänaval kõnnib 1,8 meetri pikkune tegelinski, kelle selja taha jääb 7 meetri kõrgune valgust andev tänavalatern. Tegelinski eemaldub laternast kiirusega 3 m/sek. Kui kiiresti pikeneb tegelinski ette jääv valgustusest tekkiv vari? Ülesanne Prints on ilusa nõia poolt vangistatud torni. Teda tuleb päästma vapper printsess, kes asetab 7 m pikkuse redeli torni najale. Just siis, kui noorpaar on aknast väljumas, eksib juhuslikult sündmuspaika nõid, kes hakkab redeli alumist otsa tornist ühtlaselt eemale tirima. Kui kiiresti langeb redeli ülemine ots koos noorpaariga, kui redeli alumine ots oli algselt tornist 5 m kaugusel? Ülesanne (F) Eeldame, et udupiisk on ideaalse kera kujuga, mis kondensatsiooni käigus suureneb kiirusega, mis on võrdeline oma pindalaga. Näidake, et sellistel eeldustel suureneb piisa raadius konstantse kiirusega. Ülesanne (F) Majakas asub sirgest rannajoonest 4 km kaugusel. Majaka tuli pöörleb ringiratast ja teeb ühe täistiiru iga 10 sekundi järel. Kui kiiresti liigub valguskiir mööda sirget rannajoont hetkel, kui kiir moodustab rannajoonega 45-kraadise nurga? 40

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

(Tõrked ja töökindlus \(2\))

(Tõrked ja töökindlus \(2\)) Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu

Rohkem

Slide 1

Slide 1 Hiiumaa Mesinike Seltsing Mesilasperede talvitumine, soojusrežiim ja ainevahetus talvel Uku Pihlak Tänast üritust toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames Täna räägime: Natuke füüsikast ja keemiast

Rohkem

MS Word Sisukord Uue dokumendi loomine... 2 Dokumendi salvestamine... 3 Faili nimi... 4 Teksti sisestamine... 6 Klaviatuuril mitteleiduvat sümbolite l

MS Word Sisukord Uue dokumendi loomine... 2 Dokumendi salvestamine... 3 Faili nimi... 4 Teksti sisestamine... 6 Klaviatuuril mitteleiduvat sümbolite l MS Word Sisukord Uue dokumendi loomine... 2 Dokumendi salvestamine... 3 Faili nimi... 4 Teksti sisestamine... 6 Klaviatuuril mitteleiduvat sümbolite lisamine... 6 Uue dokumendi loomine Dokumendi salvestamine

Rohkem

Füüsika

Füüsika Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

Microsoft Word - VG loodus

Microsoft Word - VG loodus Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b)

2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) 2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. 10. klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) oogivees on kloriidioonide kontsentratsioon 75 mg/dm

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteadus

KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteadus KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning moistab keemia rolli inimuhiskonna ajaloolises

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt

Microsoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt Bioloogia Loodusteaduslik uurimismeetod Tiina Kapten Bioloogia Teadus, mis uurib elu. bios - elu logos - teadmised Algselt võib rääkida kolmest teadusharust: Botaanika Teadus taimedest Zooloogia Teadus

Rohkem

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid ) 1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi

Rohkem

Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta

Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp: Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete

Rohkem

Remote Desktop Redirected Printer Doc

Remote Desktop Redirected Printer Doc VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

HWU_AccountingAdvanced_October2006_EST

HWU_AccountingAdvanced_October2006_EST 10. Kulude periodiseerimine Simulatsioone (vt pt 5) kasutatakse ka juhul, kui soovitakse mõnd saadud ostuarvet pikemas perioodis kulusse kanda (nt rendiarve terve aasta kohta). Selleks tuleb koostada erinevad

Rohkem

Andmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud

Andmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud Andmebaasid, MTAT.03.264 6. loeng Normaalkujud E-R teisendus relatsiooniliseks Anne Villems Meil on: Relatsiooni mõiste Relatsioonalgebra Kus me oleme? Funktsionaalsete sõltuvuse pere F ja tema sulund

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

loeng2

loeng2 Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)

Rohkem

Microsoft PowerPoint - ainevahetus.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - ainevahetus.ppt [Compatibility Mode] Triin Marandi Tartu Forseliuse Gümnaasium EHK METABOLISM organismis toimuvad omavahel ja keskkonnaga seotud keemiliste reaktsioonide kogum erinevad orgaanilised ained väliskeskkonnast sünteesivad ise kehaomased

Rohkem