PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo
|
|
- Linda Kulikov
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel pindadest, kus varjatult kujul esinesid palmikud ndad aastad Emil Artin 2 oma töödes topoloogiliste objektide formaalsel käsitlemisel võttis kasutusele mõiste braid (eesti keeles: 1. pats; punutud pael; ääris; 2. v. palmi(tse)ma). Vaugham Jones 3, käsitledes operaatoralgebraid, leidis esituse palmikrühmadele; pärast seda algas hoogne areng Artini palmikrühm Palmikrühma B n definitsioon. Olgu n positiivne täisarv. Siis defineerime B 1 = {1}, B 2 = σ 1 = C = Z ja B n = σ 1, σ 2,..., σ n 1 σ i σ j = σ j σ i, i j 2 ; 1 Adolf Hurwitz ( ) juudi rahvusest saksa matemaatik; töötas alates a. Zürichis; oli Hilberti hea sõber. Tema tööde kohta öeldakse tema ametlikus eluloos: Hurwitz studied the genus of the Riemann surface and worked on how class number relations could be derived from modular equations. 2 Emil Artin ( ) Austria päritoluga saksa matemaatik, tuntud oma töödega mittekommutatiivsete ringide alal; tema nime järgi on nimetatud parempoolsete ideaalide jaoks minimaalsuse tingimust rahuldavaid ringe Artini ringideks. 3 Vaughan Frederick Randal Jones (s ) Uus-Meremaa matemaatik; tuntud oma töödega von Neumanni algebratest, sõlmeteooria ja konformse väljateooria alalt. On saanud a. Fieldsi preemia. Praegu on Jones Kalifornia Ülikooli professor ja samaaegselt Aucklandi Ülikooli erakorraline professor. 1
2 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, 1 i n 2, kui n 3. Rühm B n on juhul n 3 mittekommutatiivne. Saab näidata, et ja kui n 3, 4, siis B n /B n = Z B n = B n kus B n on rühma B n kommutant. Seega pole rühm B n lahenduv, kui n 3, 4. Projektsioon sümmeetrilisele rühmale S n. Kuna s 1,..., s n 1 S n, s i = (i, i + 1) = ( ) 1... i i n, 1... i + 1 i... n S n = s 1,..., s n 1, ( ) 1... i i + 1 i n s i s i+1 s i = = s 1... i + 2 i + 1 i... n i+1 s i s i+1, siis leidub epimorfism Loomulik sisestus. π : B n S n, π(σ i ) = s i. Leiduvad loomulikud sisestused ι : B n B n+1 ja S n S n+1 : B n = σ 1, σ 2,..., σ n 1, B n+1 = σ 1, σ 2,..., σ n 1, σ n, ( ) ( ) 1... n 1... n n + 1 ι(σ i ) = σ i,. i 1... i n i 1... i n n + 1 Siis järgmine diagramm on kommutatiivne: π B n S n ι B n+1 π S n+1 ι 2
3 kus π on eelmis alajaotuses kirjeldatud epimorfism. Palmikrühm B 3. Juba palmikrühm B 3 pakub märkimisväärset huvi. B 3 = σ 1, σ 2 σ 1 σ 2 σ 1 = σ 2 σ 1 σ 2, x def = σ 1 σ 2 σ 1, y def = σ 1 σ 2, x = yσ 1, σ 1 = y 1 x, σ 2 = σ 1 1 y = x 1 y 2, σ 2 σ 1 σ 2 = x 1 y 2 y 1 xx 1 y 2 = x 1 y 3 = σ 1 σ 2 σ 1 = x, x 2 = y 3, B 3 = x, y x 2 = y 3 Erijuhul järeldub siit, et x 2 Z(B 3 ). Märkus: rühma B n tsenter leitakse hiljem. Leidub epimorfism B 3 SL(2, Z), kus σ , Selle epimorfismi tuumaks on σ (σ 1 σ 2 σ 1 ) 4 = C. Rühm B 3 tekib sõlmeteoorias (knot theory, teori uzlov). Vaatleme kolmemõõtmelises keras S 3 = { (z 1 ; z 2 ) C 2 z z 2 2 = 1 } { (x 1 ; x 2 ; x 3 ) R 3 x 2 1+x 2 2+x } alamhulka K = { (z 1 ; z 2 ) S 3 z z 3 2 = 0 } Seda hulka nimetatakse kolmikleheks (inglise keeles trefoil; täpne tõlge ristikhein; kolmikleht) ja see on kujutatud järgmisel joonisel 3
4 Saab näidata, et ruumi S 3 \ K fundamentaalrühm on isomorfne rühmaga B 3 : π 1 (S 3 \ K) = B 3 Samuti kehtib homöomorfism S 3 \ K SL(2, R)/SL(2, Z) 1.2. Palmikud ja palmikdiagrammid Geomeetriline palmik. string nöör, pael; nitka, verevka Topoloogiline intervall lõiguga I = [0; 1] homöomorfne hulk. Definitsioon 1 Geomeetriline palmik n stringist (n 1) on hulk b R 2 I n erinevast (disjoint, s.t paarikaupa ühisosata) topoloogilisest intervallist (neid nimetatakse stringideks), nii et: 1 0 projektsioon R 2 I I kujutab iga stringi homöomorfselt lõigule I; 2 0 b (R 2 {0}) = {(1; 0; 0), (2; 0; 0),..., (n; 0; 0)}, b (R 2 {1}) = {(1; 0; 1), (2; 0; 1),..., (n; 0; 1)}. Palmiku b iga string ühendab punkti (i; 0; 0) punktiga (s(i); 0; 0), kus i, s(i) {1, 2,..., n}. Nii tekib substitutsioon ( ) n s =, s(1) s(2)... s(n) mida nimetataske palmikule b vastavaks substitutsiooniks. y t = 0 x t = 1 t 4
5 Ülal joonisel on kujutatud geomeetriline palmik nelja stringiga. Sellele palmikule vastav substitutsioon on ( ) Definitsioon 2 Kahte geomeetrilist palmikut b ja b nimetatakse isotoopseks, kui palmik b on pidevalt deformeeritav palmikuks b, s.t nii et: pidev F : b I R 2 I, 1) s I = kujutus F s : b R 2 I, F s (x) = F (x, s), x b, on sisestamine, mille korral F s (b) on geomeetriline palmik n stringiga; 2) F 0 = id b : b b, F 1 (b) = b. Iga F s kujutab palmiku b otspunktid iseendaks. Nii kujutust F, kui ka palmikute peret {F s (b)} s I nimetatakse palmiku b isotoopiaks palmikuks b = F 1 (b). Isotoopsuse seos on ekvivalentsiseos n stringiga geomeetriliste palmikute seas. Iga sellist ekvivalentsiklassi nimetatakse n stringiga palmikuks. Geomeetriliste palmikute korrutamine toimub järgmiselt: b 1, b 2 R 2 I geomeetrilised palmikud n stringiga; b 1 b 2 def = { (x; y; 2t) b 1 0 t 1 2 } { (x; y; 2t 1) b t 1 }, b 1 b 2 R 2 I on samuti geomeetriline palmik n stringiga. Selline korrutamine säilitab isotoopsuse ja seega määrab korrutamise n stringiga palmikute hulgas. Saadud korrutamine on assotsiatiivne ja selle suhtes leidub ühik selleks on triviaalne palmik 1 n, mis on antud geomeetrilise palmikuga {1, 2,..., n} {0} I R 2 I. Hiljem veendutakse, et n stringiga palmikute hulk moodustab sellise korrutamise suhtes rühma, mis on kanooniliselt isomorfne palmikute rühmaga B n. Palmikdiagrammid. Geomeetrilisi palmikuid kujutatakse projektsioonidena hulgale R {0} I, näidates seejuures lõikepunktides, kumb string on niiöelda allpool ja kumb niiöelda ülevalpool. 5
6 Definitsioon 3 n keermega (strand) palmikdiagrammiks nimetatakse hulka D R I, mis on n topoloogilise lõigu neid nimetatakse keermeteks (strand) ühend, nii et: (i) projektsioon R I I kujutab iga keerme homöomorfselt lõigule I; (ii) hulga {1, 2,..., n} {0, 1} iga punkt on parajasti ühe keerme otspunkt; (iii) hulga R I iga punkt võib kuuluda ülimalt kahele keermele; kahe keerme igas lõikepunktis need keermed lõikuvad transversaalselt, s.t lõikepunkti ümbrus on homöomorfne hulgaga {(x; y) xy = 0}; lõikepunktis üks keere loetakse alumiseks (undergoing) ja teine ülemiseks (overgoing). Tingimuses (iii) mainitud kahe keerme ühist punkti nimetatakse topeltpunktiks või lõikepunktiks. Sellest tingimusest ja lõigu I kompaktsusest järeldub, et D lõikepunktide arv on lõplik. Nelja keermega palmikdiagrammi näide on esitatud järgmisel joonisel: t = t = Tavaliselt jäetakse ülemine ja alumine horisontaaljoon ja numbrid kirjutamata, s.t seesama diagramm kujutatakse järgmiselt: Kirjeldame vahekorda palmikute ja palmikdiagrammide vahel. Iga palmikdiagramm D esitab mingit palmikut, s.t geomeetriliste palmikute isotoopiaklassi: 6
7 D R I; samastades R I = R {0} I, võib lugeda, et D R 2 I; diagrammi D iga lõikepunkti ümbruses kasvatame veidi alumise keerme 2. koordinaati; see teisendab diagrammi D n stringiga geomeetriliseks palmikuks, mille isotoopia klass on palmik, mida esitab diagramm D; saadud palmikut tähistatakse β(d). Definitsioon 4 n keermega palmikdiagramme D ja D nimetatakse isotoopseteks, kui leidub pidev kujutus F : D I R I, nii et iga s I korral D s = F (D {s}) R I on n keermega palmikdiagramm ja D 0 = D, D 1 = D. On selge, et F kujutab iga s I korral diagrammi D lõikepunkti diagrammi D s lõikepunktiks ja ta säilitab keermete ülemiseks-alumiseks olemise. Ülal definitsioonis tekkivat diagrammide peret {D s } s I nimetatakse diagrammi D 0 = D isotoopiaks diagrammiks D 1 = D. Ilmselt sel korral β(d) = β(d ). Kahe palmikdiagrammi D 1 ja D 2 korrutis D 1 D 2 saadakse diagrammi D 1 asetamisel diagrammi D 2 kohale ja otspunktid ühendada (muidugi tuleb pärast venitada natukene kokku). Piltlikult:... D 1 D 2 = D D 2... Reidemeisteri nihked palmikdiagrammides. Järgmistel joonistel kujutatud palmikdiagrammide teisendusi Ω 2 ja Ω 3 ning nende pöördteisendusi (muuta joonistel nooled vastupidiseks) nimetatakse Reidemeisteri niheteks 4. Need nihked muudavad palmikdiagrammis kahe 4 Kurt Werner Friedrich Reidemeister ( ) saksa matemaatik; doktorikraadi algebralisest arvuteooriast kaitses a. Hamburgi Ülikoolis Erich Hecke juhendamisel; aaastast oli dotsent Viini Ülikoolis, aastail oli Königsbergi 7
8 keerme (teisendused Ω 2 ja Ω 2 1 ) või kolme keerme (teisendused Ω 3 ja Ω 3 1 ) asendit, ülejäänud osa diagrammist jääb muutmata. Kõik need teisendused säilitavad palmikdiagrammide isotoopsuse. Ω 2 Ω 2 Ω 3 Definitsioon 5 Palmikdiagramme D ja D nimetatakse R-ekvivalentseteks, kui D on teisendatav diagrammiks D lõpliku arvu isotoopiate ja Reidemeisteri nihete Ω ±1 2 ning Ω ±1 3 abil. Ilmselt D ja D on R-ekv. = β(d) = β(d ). Teoreem 1 D ja D on R-ekv. β(d) = β(d ) Teoreemi me siinkohal ei tõesta. Palmikrühm. Tähistagu B n kõigi n stringiga palmikute hulka ülal kirjeldatud korrutamisega. Ülikooli professor; vastuolude tõttu natsidega oli sunnitud loobuma professori ametist Königsbergis; edasist elulugu allikad ei kajasta. Tegeles kombinatoorse ja geomeetrilise rühmateooriaga, kombinatoorse topoloogiaga ja geomeetria alustega. 8
9 Lemma 1 β B n = β 1 B n σ + i Tõestus. Iga i = 1, 2,..., n 1 jaoks defineerime nn elementaarpalmikud ja σ i, mis on esitatud järgmistel joonistel antud diagrammidega: 1 i 1 i i + 1 i + 2 n σ + i : i 1 i i + 1 i + 2 n σ i : σ + 1,..., σ + n 1, σ 1,..., σ n 1 tekitavad B n kui monoidi: valime β B n ; D R I diagramm, mis esitab palmikut β; D lõikepunktide ümbruses deformeerime teda nii, et tema lõikepunktide teised koordinaadid on erinevad; = 0 = t 0 < t 1 <... < t k = 1, nii et iga D (R [t j ; t j+1 ]) sisaldab täpselt palmiku ühe lõikepunkti (sisepunktina); see ühisosa on siis kas σ + i või σ i mingi i = 1, 2,..., n 1 korral; siis β = β(d) = σ ε 1 i 1... σ ε k i k ; ε j {+, }; i 1,..., i k {1, 2,..., n 1}. (1) Ilmselt σ + i σ i = σ i σ+ i = 1 (vt. teisendust Ω 2 ) iga i korral ja β 1 = σ ε k i k... σ ε 1 i 1 ( + =, = +). Lemma on tõestatud. Seega moodustab hulk B n rühma. 9
10 Lemma 2 Palmikud σ + 1,..., σ + n 1 B n rahuldavad palmikseoseid, s.t σ + i σ+ j = σ + j σ+ i, kui i, j = 1, 2,..., n 1, i j 2, σ + i σ+ i+1 σ+ i = σ + i+1 σ+ i σ+ i+1, i = 1, 2,..., n 1. Esimene võrdus lemmas on ilmne, teine võrdus tuleneb eelpool kirjeldatud teisendusest Ω 3. Teoreem 2 Kujutused on isomorfismid. ϕ ε : B n B n, ϕ ε (σ i ) = σ ε i, ε = ±, i = 1, 2,..., n 1, Tõestus. Vaatleme juhtu ε = +, kuna juht ε = on käsitletav analoogiliselt. eelnevate lemmade põjal on ϕ + homomorfism ja sürjektiivne. Injektiivsuse näitamiseks konstrueerime kujutuse ψ : B n B n, nii et ψ ϕ + = id. Nagu lemmas 1, esitame β B n diagrammiga D, mille lõikepunktid on erinevate teiste koordinaatidega. Siis saame avaldise (1) ning defineerime ψ(d) = (σ i1 ) ε 1... (σ ik ) ε k B n, (σ i ) + = σ i, (σ i ) = σ 1 i. Väidame, et ψ(d) sõltub ainult palmikust β, s.t ψ(d) ei muutu, kui diagrammiga teha isotoopiaid ja Reidemeisteri nihkeid. Diagrammi D isotoopiad, mille korral säilub lõikepunktide järjekord 2. koordinaadi suhtes, säilitavad avaldise (1) ja seega ka ψ(d). Kui aga isotoopia muudab lõikepunktide järjekorda, nagu on näidatud ülal joonisel, siis avaldises (1) vastab sellele termi σ ε i i σε j j asendamine termiga σ ε j j σε i i mingite i, j {1, 2,..., n 1}, i j 2, korral. Need kaks avaldist aga langevad σ j ja σ i kommuteeruvuse tõttu (sest i j 2) kokku. Reidemeisteri nihe Ω 2 (analoogiliselt Ω 1 2 ) lisab avaldises (1) termi σ + i σ i või σ i σ+ i, mis samuti säilitab ψ(d). Nihe 10
11 Ω 3 asendab termi σ + i σ+ i+1 σ+ i avaldises (1) termiga σ + i+1 σ+ i σ+ i+1 ja jälle säilitab ψ(d) palmikseoste tõttu oma kuju. Analoogiliselt käsitletakse nihet Ω 1 3. Seega ψ on defineeritud korrektselt. Konstruktsiooni kohaselt ψ ϕ + = id. Teoreem on tõestatud. Saadud isomorfismi tõttu samastame rühmad B n ja B n. Rühma B n elemente nimetame nüüdsest n stringiga palmikuteks, palmikut σ + i aga tähistame σ i. Seega σ i = (σ + i ) 1 = σ 1 i. Projektsioon π : B n S n on nüüd tõlgendatav geomeetriliselt nii: substitutsioon π(b) S n teisendab iga i {1, 2,..., n} arvuks j {1, 2,..., n} nii, et palmiku b string, mis algab punktist (i, 0, 0), lõpeb punktis (j, 0, 1). Märgime, et loomulik sisestus ι : B n B n+1 on injektiivne. See järeldub asjaolust, et kui b B n, siis ι(b) on palmik, mis tekib palmikule b ühe vertikaalse triibu lisamisel (see toiming säilitab isotoopsuse). Loetleme mõned ülesanded: 1) Näidata, et iga geomeetrilise palmiku b R 2 I jaoks leidub selline ring U R 2, et b U I. 2) Näidata, et palmikute iga isotoopia {b s } s I jaoks leidub selline ring U R 2, et b s U I iga s I korral. 3) Olgu U lahtine ring ruumis R 2 ja punktid (1, 0),..., (n, 0) sisalduvad ringis U. Tõestada, et n stringiga geomeetriline palmik b R 2 I on istoopne hulgas U I sisalduva geomeetrilise palmikuga. 4) Tõestada, et iga kaks geomeetrilist palmikut, mis sisalduvad hulgas U I (U lahtine ring ruumis R 2 ) ja on isotoopsed hulgas R 2 I, on isotoopsed ka hulgas U I. 5) Iga n stringiga geomeetrilise palmiku b R 2 I jaoks tähistagu b palmiku b kujutist, mille korral punkt (x, y, t) kujutub punktiks (x, y, 1 t). Näidata, et b on geomeetriline palmik. Näidata, et kui b esitab palmikut β, siis b esitab palmikut β 1. Näidata, et kui β on esitatud palmikdiagrammiga D, siis β 1 on esitatav diagrammiga, mis tekib diagrammi peegeldamisel ümber sirge R { 1}. 2 11
12 1.3. Puhtad palmikrühmad Puhtad palmikud. pure puhas; range Definitsioon 6 Loomuliku projektsiooni π : B n S n tuuma nimetatakse puhtaks palmikrühmaks ja seda tähistatakse P n : P = Ker(π : B n S n ). Rühma P n elemente nimetatakse n stringiga puhasteks palmikuteks. n stringiga geomeetriline palmik esitab puhast palmikut parajasti siis, kui stringi üks otspunkt on (i, 0, 0), siis stringi teine otspunkt on (i, 0, 1). Selliseid geomeetrilisi palmikuid nimetatakse samuti puhasteks. Järgnevas mängib olulist rolli järgmisel joonisel kujutatud puhas n-string A i, j, kus 1 i < j n. 1 i 1 i i + 1 j 1 j j + 1 n Kehtib A i, j = σ j 1 σ j 2... σ i+1 σ 2 σ 1 i+1... σ 1 j 2 σ 1 j 1 (vt järgmisel leheküljel esitatud joonist, mida muidugi tuleb deformeerida). Palmikud A i, j on omavahel kaassed rühmas B n. Selles saab veenduda jooniste abil, näidates, et α j, k A i, j α 1 j, k = A i, k, α i, k A i, j α 1 i, k = A j, k, kus α i, j = σ j 1 σ j 2... σ i. 12
13 i i + 1 j 2 j 1 j σ j 1 σ j 2. σ i+1 σ i σ i σ 1 i+1. σ 1 j 2 σ 1 j 1 Palmikud A i, j ei ole aga omavahel kaassed rühmas P n. Ka rühma P n saab vaadelda rühma P n+1 alamrühmana (tuleb igale palmikule lisada vaid üks vertikaalne string). Ilmselt P 1 = {1} ja P 2 on lõpmatu tsükliline rühm tekitajaga σ 2 1. Unustavad homomorfismid. Defineerime nn unustavad homomorfismid f n : P n P n 1 järgmiselt. Kui b on rühma P n elementi esitav geomeetriline palmik, siis jättes sellest palmikust ära punkte (n, 0, 0) ja (n, 0, 1) ühendava stringi, 13
14 saadakse palmik f n (b). Kui b ja b on isotoopsed, siis ka f n (b) ja f n (b ) on isotoopsed, s.t saame korrektselt defineeritud kujutuse f n : P n P n 1. Palmikute korrutamisreeglist järeldub, et f n on homomorfism. Kui ι : P n 1 P n on loomulik sisestus, siis f n ι = id Pn 1. Seega f n on sürjektiivne. Kui n 2, siis defineerime U n = Ker(f n : P n P n 1 ) Rühm P n avaldub poolotsekorrutisena kus Kui β P n, siis P n = U n P n 1 β = ι(β ) β n, (2) β P n 1, β n U n, β = f n (β), β n = ι(β ) 1 β. Avaldises (2) esinevad palmikud on kujutatud järgneval joonisel. Induktiivselt saadakse β = β 2 β 3... β n, (3) kus β j U j P j P n, j = 2, 3,..., n. Avaldist (3) nimetatakse palmiku β normaalkujuks (combed or normal form). β 1 n. f n β 1 n 1 ι ι (β ) 1 n 1 n ; β n 1 n. Ilmselt A i, n U n, i = 1, 2,..., n 1 (vt. palmiku A i, n definitsiooni). Teoreem 3 Iga n 2 korral on rühm U n vaba rühm tekitajatega {A i, n } i=1, 2,..., n 1. 14
15 Teoreemi tõestus esitatakse hiljem. Järeldus 1 Rühma P n jaoks leidub nn normaalne filtratsioon 1 = U n (0) U n (1)... U n (n 1) = P n, nii et U n (i) /U n (i 1) on iga i korral vaba rühm astmega n i. Siis Tõestus. Defineerime U (i) n U (0) n def = {1}; def = Ker(f n i+1... f n 1 f n : P n P n i ), i = 1, 2,..., n 1. U n (i) /U n (i 1) = Ker(fn i+1 : P n i+1 P n i ) = U n i+1. Järeldus 2 Rühm P n on väändeta. See tuleneb eelmisest järeldusest, sest vabad rühmad on väändeta. Järeldus 3 Rühm P n on tekitatud n(n 1)/2 elemendiga {A i, j } 1 i<j n. See järeldub valemist (3) ja eelmisest teoreemist. Määravad seosed rühma P n tekitajate A i, j jaoks on A 1 r, sa i, j A r, s = A i, j, kui s < i või i < r < s < j, A r, j A i, j A 1 r, j, kui s = i, A r, j A s, j A i, j A 1 s, j A 1 r, j, kui i = r < s < j, A r, j A s, j A 1 r, j A 1 s, j A i, ja s, j A r, j A 1 s, j A 1 r, j, kui r < i < s < j. (4) Seoste (4) kehtivuses saab veenduda, joonistades välja vastavad diagrammid. Saab näidata, et nendest seostest järelduvad kõik võimalikud seosed tekitajate vahel. Järeldus 4 P n /[P n, P n ] = Z n(n 1)/2. 15
16 Tõestus. Rühm P n /[P n, P n ] on tekitatav selle faktorrühma kõrvalklasside poolt, millede esindajateks on elemendid A i, j. Neid esindajaid on n(n 1)/2 tükki. Järelduse näitamiseks tuleb näidata, et elemendid A i, j on lineaarselt sõltumatud modulo [P n, P n ]. Selleks piisab näidata, et leidub homomorfism l i, j : P n Z, nii et l i, j (A i, j ) = 1, l i, j (A r, s ) = 0, (i, j) (r, s). Valime β P n ja esitame ta diagrammiga D. Orienteerime iga keerme ülalt (t = 0) alla (t = 1) ja tähistame l + i, j (D) i-nda ja j-nda keerme lõikumiste arv, kus i. keere ületab j. keerme ülevalt (over) vasakult paremale; l i, j (D) i-nda ja j-nda keerme lõikumiste arv, kus i. keere ületab j. keerme ülevalt paremalt vasakule; l i, j (β) = l + i, j (D) l i, j (D). Arv l i, j (β) on invariantne isotoopiate ja Reidemeisteri nihete suhtes ja seega on ta üheselt määratud palmikuga β. Saadud kujutus l i, j ongi vajalike omadustega. Definitsioon 7 Rühma G nimetatakse residuaalselt lõplikuks, kui iga a G, a 1, korral leidub lõplik rühm H ja homomorfism f : G H, nii et f(a) 1. Järeldus 5 Rühm B n ja tema kõik alamrühmad on residuaalselt lõplikud. Tõestus. On teada, et vabad rühmad ja kahe lõplikult tekitatud residuaalselt lõpliku rühma poolotsekorrutis on residuaalselt lõplikud. Siit järeldub eelmise teoreemi põhjal, et P n on residuaalselt lõplik. Iga residuaalselt lõpliku rühma P laiend lõpliku rühma abil on residuaalselt lõplik (järeldub asjaolust, et lõpliku arvu rühma P lõpliku indeksiga alamrühmade ühisosa on samuti lõpliku indeksiga). Kuna B n on rühma P n laiend rühma S n abil ja P n on residuaalselt lõplik, siis ka B n on residuaalselt lõplik. Definitsioon 8 Rühma nimetatakse Hopfi 5 rühmaks, kui selle rühma iga sürjektiivne endomorfism on ka injektiivne. 5 Heinz Hopf ( ) sündis Wroclawis, mis tol perioodil kuulus Saksamaale; olles juut, pidi ta Hitleri võimule tulles lahkuma Saksamaalt; pärast mõningaid eksirännakuid töötas kuni elu lõpuni Šveitsis; andnud silmapaistva panuse algebralise topoloogia arengusse. 16
17 Järeldus 6 Rühm B n rühmad. ja iga tema lõplikult tekitatud alamrühm on Hopfi Järeldub allikast (teoreem 4.10): R. C. Lyndon, P. E. Shupp Combinatorial group theory. Springer Verlag, Järeldus 7 Iga i = 1, 2,..., n korral i-nda stringi ärajätmine ( unustamine ) määrab homomorfismi f i n : P n P n 1. Homomorfismi f i n tuum on vaba rühm astakuga n 1 ja vabade tekitajatega A 1, i,..., A i 1, i, A i, i+1,..., A i, n. Tõestus. Defineerime α i, n = σ n 1 σ n 2... σ i. Siis iga β P n korral palmikust α i, n βα 1 i, n stringi Seega n-nda stringi unustamine annab 1 n 1 f i n1 n 1 = f i n(β), s.t f i n(β) = f n (α i, n βα 1 i, n ), kus f n = f n n. Ker f i n = α 1 i, n (Ker f n)α i, n = α 1 i, n U nα i, n. Kuna hulga {A j, n } j=1, 2,..., n 1 transformeerimine palmikuga α 1 i, n teisendab selle hulga hulgaks {A 1, i,..., A i 1, i, A i, i+1,..., A i, n }, siis ongi saadud järelduse väide. Rühma B n tsenter. Rühma G tsenter Z(G) defineeritakse järgnevalt Z(G) = { g G gh = hg h G }. Teoreem 4 Kui n 3, siis Z(B n ) = Z(P n ) on lõpmatu tsükliline rühm, mille tekitajaks on θ n = 2 n, kus n = (σ 1 σ 2... σ n 1 )(σ 1 σ 2... σ n 2 )... (σ 1 σ 2 )σ 1 B n. 17
18 Järgmisel joonisel on kujutatud 5 = (σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 )(σ 1 σ 2 σ 3 )(σ 1 σ 2 )σ 1. 5 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 1 σ 2 σ 1 Teoreemi tõestus. Palmik n saadakse triviaalsest palmikust 1 n selle alumiste tippude asendi pööramisel nurga π võrra, palmik θ n = 2 n aga nurga 2π võrra. Siis θ n P n ja teda saab arvutada induktiivselt: θ n = ι(θ n 1 )γ, γ = γ n = A 1, n A 2, n... A n 1, n, kus ι : P n 1 P n on loomulik sisestus. Järgnevatel joonistel on kujutatud 18
19 siin mainitud palmikuid. θ 5 5 γ 5 A 1, 5 A 2, 5 A 3, 5 A 4, 5 5 γ 5 4 σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ
20 4 4 θ 5 ι(θ 4 ) γ 5 Seega Jooniste abil on lihtne veenduda. et σ i n = n σ n i. (5) σ i θ n = σ i n n = n σ n i n = n n σ i = θσ i, s.t θ n Z(B n ). Näitame induktsiooniga n 2 järgi, et tsentri Z(P n ) iga element on elemendi θ n aste. Kui n = 2, siis P 2 on tekitatud elemendi A 1, 2 = θ 2 = σ 2 1 poolt ja väide kehtib. Olgu nüüd n 3 ja β Z(P n ). Siis valemi (2) põhjal β = ι(β ) β n, β = f n (β) P n 1, β n U n. Kuna γ = γ n kommuteerub iga elemendiga hulgast ι(p n 1 ) P n (vt järgnevat joonist), siis ta kommuteerub ka elemendiga ι(β ) ja β Z(P n ) tõttu ka elemendiga β n = ι(β ) 1 β. Seega rühm G = β n, γ U n on kommutatiivne. Et U n on vaba rühm, siis ka G on vaba rühm ja kommutatiivsuse tõttu lõpmatu lõpmatu tsükliline rühm. Vaatleme nüüd järelduse 4 tõestuses defineeritud homomorfismi l i, j : P n Z (1 i < j n). Ilmselt l i, j (γ) = 1. Seetõttu peab γ olema 20
21 rühma G tekitaja, G = γ ja β n = γ k mingi k Z korral. Kuna unustav homomorfism f n : P n P n 1 on epimorfism, siis β = f n (β) Z(P n 1 ). Induktsiooni eelduse kohaselt β = θn 1 m mingi m Z korral. Veendume, et k = m: 1 n 1 n 1 n 1 n ι (β ) γ n γ n ι (β ) Siis β = ι(θ m n 1)γ k, l i, n (β) = k; i = 1, 2,..., n 1, l i, n (β) ei sõltu indeksist i; β Z(P n) = σ n 1 βσ 1 n 1 Z(P n ) = = l i, n (σ n 1 βσ 1 n 1) ei sõltu indeksist i = 1, 2,..., n 1 = = l 1, n (σ n 1 βσ 1 n 1) = l 1, n (β) = m, l n 1, n (σ n 1 βσ 1 n 1) = l n 1, n (β) = k = m = k. γ ι(θ n 1 ) = ι(θ n 1 ) γ = β = ι(β )β n = ι(θ k n 1)γ k = (ι(θ n 1 )γ) k = θ k n. Kui n 3, siis Z(B n projekteerub rühma S n tsentrile ja seega Z(B n ) Z(P n ) θ n Z(B n ), Z(B n ) = θ n. Järelduse 2 põhjal on θ n lõpmatu tsükliline rühm. Järeldus 8 Kui m n, siis rühmad B m ja B n pole isomorfsed. 21
22 1.4. Konfiguratsiooniruumid Järjestatud punktide hulkade konfiguratsiooniruumid. Defineerime topoloogilise ruumi M jaoks hulga F n (M) = { (u 1, u 2,..., u n ) M n u i u j i j }, mida nimetatakse ruumi M punktide järjestatud n-korteežide konfiguratsiooniruumiks. Kui M on topoloogiline muutkond, siis F n (M) on topoloogiline muutkond mõõtmega n dim(m). Kui dim(m) 2 ja M on sidus, siis ka muutkond F n (M) on sidus. Muutkonna F n (M) fundamentaalrühma nimetatakse muutkonna M puhtaks palmikrühmaks n stringil. Veendume, et kui M = R 2, siis muutkonna M puhtaks palmikrühmaks n stringil on rühm P n, s.t P n = π 1 (F(R 2 ), q n ) (6) kus q n = ((1, 0), (2, 0),..., (n, 0)) F(R 2 ). y t = 0 i u i (t) t x t = 1 t Olgu b R 2 I puhas geomeetriline palmik. Paneme talle vastavusse tee α : I F(R 2 ) reegliga t (u 1 (t),..., u n (t)), kus palmiku b i.string lõikab tasandit R 2 I punktis (u i (t); t), i = 1, 2,..., n (vt joonist). Saadud tee algab ja lõpeb punktis q n, s.t ta on kinnine ehk sõlm. 22
23 Vastupidi, iga kinnine tee α = (α 1,..., α n ) : I F(R 2 ), mis algab ja lõpeb punktis q n, määrab puhta geomeetrilise palmiku b = n i=1 t I (α i (t), t). Tekib üksühene vastavus puhaste geomeetriliste palmikute ja punktis q n võetud ruumi F(R 2 ) sõlmede hulga vahel. Seejuures palmikute isotoopiale vastab sõlmede homotoopsus ja see vastavus säilitab ka korrutamise. Järelikult kehtib võrdus (6) Vaba rühma palmikautomorfismid Tähistagu F n vaba rühma vabade tekitajatega x 1,..., x n. Rühma F n palmikautomorfismid. Definitsioon 9 Rühma F n automorfismi ϕ nimetatakse palmikautomorfismiks, kui (i) leidub µ S n, nii et ϕ(x k ) ja x µ(k) on kaassed iga k {1, 2,..., n} korral; (ii) ϕ(x 1 x 2... x n ) = x 1 x 2... x n. Rühma F n kõigi palmikautomorfismide hulka tähistatakse B n. Hulk B n moodustab rühma. Palmikautomorfismide näideteks on automorfismid σ i ja nende pöördautomorfismid (i = 1, 2,..., n 1): x k+1, kui k = i, σ i (x k ) = x 1 k x k 1x k, kui k = i + 1, x k, kui k i, i + 1, σ 1 i (x k ) = x k x k+1 x 1 k, kui k = i, x k 1, kui k = i + 1, x k, kui k i, i + 1. Teoreem 5 Kujutus σ i σ i, i = 1, 2,..., n 1, indutseerib isomorfismi rühmade B n ja B n vahel. 23
24 Elemendi β B n kujutist teoreemis näidatud isomorfismis tähistame β. See teoreem annab vastuse nn sõnaprobleemile rühmas B n. Meenutame, et sõnaprobleem tekitajatega ja määravate sesotega antud rühma jaoks on: kas leidub algoritm, mille abil saab otsustada, kas element, mis on esitatud tekitajate kaudu, võrdub ühikelemendiga või mitte. Teoreemi kohaselt element β B n võrdub ühikuga parajasti siis, kui β = id (see võrdus on aga kergesti tuvastatav). Teoreemi tõestamisel kasutatakse nn abeliseerimist: B n = Bn tegutseb rühmal F n, järelikult ka faktorrühmal F n /[F n, F n ] = F n /F n = Z n baasiga ẋ 1,..., ẋ n, ẋ i = x i F n; edasi tekib loomuliku projektsiooniga π : B n S n substitutsioon π(β) vektoritel ẋ 1,..., ẋ n (π( σ i ) on nende vektorite transpositsioon). Teoreemi 5 tõestus. Palmikseosed automorfismide σ 1,..., σ n 1 jaoks järelduvad lihtsalt, mistõttu kujutus σ i σ i määrab homomorfismi B n B n. Järgnevalt esitame selle homomorfismi teisiti, kasutades varem saadud fakte: ι : B n B n+1 loomulik sisestus; P n B n ; f n+1 : P n+1 P n unustav homomorfism; β B n, u U n+1 = Ker f n+1 ; ι(β) u ι(β) 1 U n+1 ; u ι(β) u ι(β) 1 määrab rühma U n+1 automorfismi; = tekib homomorfism ξ : B n Aut U n+1 (elemendile β vastab konjugeerimine elemendiga ι(β). Kuna U n+1 on vaba rühm n tekitajaga A 1, n+1,..., A n, n+1, siis samastame F n = U n+1 ja x k = A k, n+1, k = 1, 2,..., n. Sellise samastamise korral kehtib ξ(β) = β. Et selles veenduda, tuleb seda teha rühma B n tekitajate σ 1,..., σ n 1 jaoks, s.t tuleb veenduda võrduste A k+1, n+1, kui k = i, ι(β) A k, n+1 ι(β) 1 = A 1 k, n+1 A k 1, n+1a k, n+1, kui k = i + 1, A k, n+1, kui k i, i
25 täidetuses. Nende võrduste õigsuses saab veenduda, kui joonestada välja viimases võrduses esinevad palmikdiagrammid. Näitame kujutuse ξ : B n B n, β β (7) injektiivsuse. Selleks valime β B n, nii et β = 1. Peame näitama, et siis β = 1. Kujutuse β abeliseerides saadakse rühma U n+1 /U n+1 ühikautomorfism, s.t β P n B n. Avaldame β kujul (3): β = β 2 β 3... β n, β j U j P j P n ; j = 2, 3,..., n. Oletame vastuväiteliselt, et β 1. Olgu i suurim indeks, nii et β 1. Siis β = β 2 β 3... β i, β(u) = ι(β) u ι(β) 1 = u, ι(β) u = u ι(β) u U n+1, A i, n+1 ι(β) = ι(β) A i, n+1. Kuna β 2, β 3,..., β i 1 kuuluvad vasakpoolse i 1 stringi sekka ja seega kommuteeruvad elemendiga A i, n+1, siis ka β i kommuteerub elemendiga A i, n+1. Teisalt β i U i P i P n+1 ja U i on vabade tekitajatega A 1, i,..., A i 1, i. Siit järeldub, et β i = 1. See on aga vastuolu. Järelikult β = 1 ja kujutus (7) on injektiivne. Näitame homomorfismi (7) sürjektiivsuse. Olgu ϕ rühma F n mittetriviaalne palmikautomorfism: ϕ(x k ) = A k x µ(k) A 1 k, kus A k on sõna tähestikus x ±1 1,..., x ±1 A k x µ(k) A 1 k Tingimuse (ii) kohaselt n. Elemendi A k saab valida nii, et ja x 1 r x r. on redutseeritud, s.t ta ei sisalda tegureid kujudel x r x 1 r A 1 x µ(1) A 1 1 A 2 x µ(2) A A n x µ(n) A 1 n = x 1 x 2... x n. (8) Väidame, et leidub j {1, 2,..., n 1} ja sõna A tähestikus x ±1 1,..., x ±1 n (võimalik, et tühi sõna), mis rahuldab ühte kahest järgnevast tingimusest (a) A j = A j+1 x µ(j+1) A, (b) A j+1 = A j x 1 µ(j) A. Näitame, et (a) või (b) täidetuse korral sisaldub ϕ homomorfismi (7) kujutises ((a) või (b) täidetuse näitame hiljem). 25
26 Defineerime ϕ pikkuse kui sõnade A k x µ(k) A 1 k pikkuste (tähtede arv) summa üle k = 1, 2,..., n. Oletame, et kehtib (a). Siis ϕ σ j : F n F n jaoks kehtib: ϕ(x k ) = (ϕ σ j )(x k ), k j, j + 1, (ϕ σ j )(x j ) = ϕ(x j+1 ) = A j+1 x µ(j+1) A 1 j+1, (ϕ σ j )(x j+1 ) = ϕ(x 1 j+1 x jx j+1 ) = = A j+1 x 1 µ(j+1) A 1 j+1 A jx 1 µ(j) A 1 j A j+1 x µ(j+1) A 1 j+1 = =... = A j+1 x µ(j) A 1 A 1 j+1. Sõna A j+1 A on lühem kui sõna A j = A j+1 x µ(j+1) A. Seega ϕ σ j on lühema pikkusega kui ϕ. Analoogiliselt, kui kehtib (b), siis ϕ σ 1 j on lühema pikkusega kui ϕ. Seega saab elemendi ϕ korduvalt elementidega kujul σ j ja σ 1 j paremalt korrutades viia ühikuks, s.t ϕ avaldub korrutisena elementide σ j astmete korrutisena ehk homomorfism (7) on sürjektiivne. Jääb näidata (a) või (b). Sümbolit x µ(k), mis esineb avaldises A k x µ(k) A 1 k, nimetatakse spetsiaalseks. Iga sümbol x 1,..., x n esineb kui spetsiaalne sümbol avaldise (8) vasakul pool parajasti üks kord. Avaldise (8) vasakust poolest saadakse pärast kõikvõimalikke redutseerimisi kujul x r x 1 r = 1 ja x 1 r x r = 1 parem pool. Oletame, et nende redutseerimiste käigus spetsiaalne sümbol x µ(k) kaob pärast redutseerimist elemendiga x 1 µ(k). Siis x 1 µ(k) ei saa esineda sõnas A kx µ(k) A 1 k, mis eelduse kohaselt on redutseeritud. Kui x 1 µ(k) esineb avaldises A 1 k 1, siis A 1 k 1 = Bx 1 µ(k) A 1 k mingi B korral ja kehtib (a), kus j = k 1, A = B 1. Kui aga x 1 µ(k) esineb avaldises A k+1, saadakse juht (b), kus j = k. Oletame, et ükski spetsiaalne sümbol ei kao redutseerimiste käigus. Siis µ(k) = k ja A 1 k A k+1 = 1 ehk A k = A k+1 iga k korral, s.t ϕ = id. See on vastuolus ϕ valikuga. Järelikult vähemalt üks spetsiaalne sümbol kaob redutseerimiste käigus ja kehtib (a) või (b) mingi j korral. Teoreem on tõestatud. 26
27 1.6. Palmikud ja homöomorfismid Muutkonna omahomöomorfismide klassid. Olgu M orienteeritud topoloogiline muutkond 6 ja M 0 = M \ M tema sisemus. Valime lõpliku hulga Q M 0 (võib Q = ) ja moodustame paari (M, Q). Definitsioon 10 Homöomorfismi f : M M nimetatakse paari (M, Q) omahomöomorfismiks, kui: 1) f(x) = x iga x M korral, 2) f(q) = Q, 3) f säilitab orientatsiooni. Omahomöomorfism f indutseerib hulgal Q substitutsiooni. Omahomöomorfismide jaoks defineeritakse isotoopsuse seos: paari (M, Q) omahomöomorfisme f ja g nimetatakse isotoopseteks, kui leidub selle paari omahomöomorfismide pere {f t } t I, nii et leidub pidev kujutus M I M, (x, t) f t (x), nii et f = f 0 ja g = f 1. Isotoopsus on ekvivalentsiseos omahomöomorfismide hulgas ja isotoopsed omahomöomorfismid tekitavad ühe ja sama substitutsiooni hulgal Q. Tähistagu M(M, Q) paari (M, Q) kõigi omahomöomorfismide isotoopiaklasside hulka. See hulk moodustab rühma kujutuste korrutamise suhtes. Veel tähistame M(M) = M(M, ). Toogem näite saadud rühma kohta. Olgu muutkonnaks M ruumi R n kinnine ühikkera D keskpunktiga punktis 0. Elemendi z R n eukleidilist normi tähistame z. Olgu h ruumi D omahomöomorfism. Defineerime { z, kui t z 1, h t (z) = th(z/t), kui z < t. Saadud omahomöomorfismide pere realiseerib isotoopia h ja id vahel (h 0 = id, h 1 = h), s.t M(D) = {1}. Märgime, et kui h(0) = 0, siis h t (0) = 0 iga t I korral ja seega M(M, {0}) = {1}. 6 Muutkonna M kaarte (U, h) = (U; x 1,..., x n ) ja (U, h ) = (U ; x 1,..., x n ) nimetatakse positiivselt kooskõlastatuks, kui U U = või U U ja det h h > 0 hulgal U U. Atlast, mille kaardid on omavahel positiivselt kooskõlastatud, nimetatakse orienteeritud atlaseks ja vastavat muutkonda orienteeritud muutkonnaks. Siin on kasutatud M. M. Postnikovi tähistusi. 27
28 Poolkeerud. Olgu M orienteeritud pind ja Q M 0, Q lõplik. Vaatleme paari (M, Q) alamhulki α, mis on homöomorfsed lõiguga I = [0; 1] (seega kaar) ja võivad lõikuda hulgaga Q M vaid otspunktides. Veel eeldame, et vaadeldavad kaared on lihtsad, s.t neil pole omalõikumisi. Kaar α määrab homöomorfismi τ α : M M, mida nimetatakse poolkeeruks, järgmiselt: τ α seisneb kaare α ja selle lähema ümbruse pööramises ümber tema keskpunkti orientatsiooniga näidatud suunas nurga π võrra. α τ α Kirjeldame seda homöomorfismi täpsemalt. Olgu U kaare α väike ümbrus. Seda võib lugeda homöomorfseks ühikringiga komplekstasandil: U { z C z < 1 }. Kaart α aga vaatleme lõiguna α = [ 1/2; 1/2]. Siis homöomorfism τ α on defineeritud võrdusega z, kui z U, τ α (z) = z, kui z U, z 1/2, e 2πi z z, kui z U, 1/2 z < 1. Ülal joonisel on kujutatud kaarega risti oleva lõigu teisenemine homöomorfismiga τ α. Isotoopia täpsuseni τ α ei sõltu U valikust. Ilmselt τ α (α) = α, τ α (Q) = Q, τ α M(M, Q). Pööre orientatsiooni vastassuunas nurga π võrra annab τα 1. Orientatsiooni näitab ülal joonisel väike ring. 28
29 Loetleme poolkeerdude lihtsamaid omadusi: (i) Kui f : (M, Q) (M, Q ) on orientatsiooni säilitav homöomorfism ja α M(M, Q), siis f(α) M(M, Q ) ja τ f(α) = fτ α f 1. (ii) Kui α ja α on isotoopsed paaril (M, Q), siis τ α = τ α rühmas M(M, Q). (iii) Paari (M, Q) omahomöomorfism indutseerib muutkonna M omahomöomorfismi (nn unustamine). Tekib rühmade homomorfism M(M, Q) M, mille korral τ α 1. (iv) Kui α ja β on ühisosata kaared paaril (M, Q), siis τ α τ β = τ β τ α. (9) (v) Kui α ja β on kaared paaril (M, Q), milledel on ühine otspunkt ja muidu ühisosata, siis τ α τ β τ α = τ β τ α τ β M(M, Q). (10) Isomorfism B n = M(D, Qn ). Olgu Q n = {(1, 0), (2, 0),..., (n, 0)} R 2, n 1, ja D kinnine kera ruumis R 2, nii et Q n D (vt järgnevat joonist). Orienteerime D vastu kellaosuti suunda X 1 X i X n Moodustame kaared α i = [i, i + 1] {0} D. 29
30 Siis τ αi M(D, Q n ) ja τ α1,..., τ αn 1 rahuldavad seoste (9) ja (10) tõttu palmikseoseid. Seetõttu leidub rühmade homomorfism η : B n M(D, Q n ), η(σ i ) = τ αi, i = 1, 2,..., n 1. Defineerime rühmade homomorfismi ρ : M(D, Q n ) B n (vt rühma B n definitsiooni ülalt). Valime punkti d D (vt joonist). On ilmne, et fundamentaalrühm π 1 (D \ Q n, d) on vaba rühm F n tekitajatega x 1,..., x n, mille esindajateks on sõlmed X 1,..., X n. Paari (D, Q n ) iga omahomöomorfismi võib ahendada alamhulgale D \Q n ning see jätab elemendi d D paigale ja indutseerib rühma F n = π 1 (D \ Q n, d) automorfismi ρ(f). See automorfism sõltub ainult f isotoopiaklassist. Veendume, et ρ(f) on rühma F n palmikautomorfism. Sõlm X k on deformeeritav hulgas D \ Q n väikseks sõlmeks, mis kulgeb kellaosuti suunas ümber punkti (k, 0). Homöomorfism f kujutab saadud sõlme väikseks sõlmeks, mis kulgeb kellaosuti suunas ümber punkti (µ(k), 0) mingi µ(k) {1, 2,..., n} korral. Seda sõlme võib deformeerida sõlmeks X µ(k) hulgas D \ Q n, s.t. f(x k ) on deformeeritav sõlmeks X µ(k) (deformatsioonil baaspunkt f(d) = d võib nihkuda hulgas D \ Q n ). Siit järeldub, et sõlmede ρ(f)(x k ) ja x µ(k) homotoopiaklassid on kaassed rühmas π 1 (D \ Q n, d). Seega palmikautomorfismi definitsiooni tingimus (i) on täidetud. Selle definitsiooni tingimus (ii) tuleneb asjaolust, et x 1 x 2... x n on esitatav sõlmega D. Selle sõlme jätab f paigale ja tema homotoopiaklass on invariantne ρ(f) suhtes. Järelikult vastavus f ρ(f) määrab kujutuse ρ : M(D, Q n ) B n. Seejuures on ρ homomorfism, sest ρ(fg) = ρ(f g) = ρ(f) ρ(g) = ρ(f)ρ(g); f, g M(D, Q n ). Teoreem 6 Homomorfismid η ja ρ on iga n 1 korral isomorfismid ning järgmine diagramm on kommutatiivne: B n β β η M(D, Q n ) ρ Bn (11) kus β β on varem kirjeldatud isomorfism. 30
31 Diagrammi (11) kommutatiivsus tähendab, et β = ρ(η(β)) iga β B n korral. Selle näitamiseks piisab näidata antud võrdus ainult rühma B n tekitajate σ 1,..., σ n 1 jaoks. Peame näitama, et ρ(τ αi ) = σ i, i = 1, 2,..., n 1. Vahetult τ αi definitsioonist tulenevad võrdused ρ(τ αi )(x k ) = x k, k i, i+1, ja ρ(τ αi )(x i ) = x i+1. Võrdus ρ(τ αi )(x i+1 ) = x 1 i+1 x ix i+1 tuleneb võrdusest ρ(τ αi )(x 1... x n ) = x 1... x n. Seega ρ(τ αi ) = σ i. Teoreemi 6 tõestamiseks piisab veel näidata, et η on isomorfism. Seda tehakse alajaotuses 1.7. On selge, et poolkeerud τ αi : D D on difeomorfismid (R 2 standartne muutkonna struktuur indutseerib muutkonna struktuuri hulgal D). Difeomorfismide korrutised on difeomorfismid. Seega η sürjektiivsus tuleneb järgmisest väitest. Järeldus 9 Paari (D, Q n ) iga omahomöomorfism on isotoopne mingi difeomorfismiga samast omahomöomorfismide klassist Homöomorfismide rühmad Homöomorfismide rühmad. Olgu M sidus kompaktne orienteeritud topoloogiline muutkond ja Q selle muutkonna sisemuse M 0 = M \ M lõplik alamhulk. Tähistagu Top(M, Q) paari (M, Q) kõigi omahomöomorfismide rühma (homöomorfismid, mis säilitavad orientatsiooni, jätavad raja M iga punkti paigale ja kujutavad hulga Q iseendaks). Varustame hulga Top(M, Q) kompaktse-lahtise topoloogiaga. Anname selle topoloogia definitsiooni ja loetleme tema omadused. Olgu muutkonnas M antud kompaktne alamhulk K, lahtine alamhulk U ning defineerime N(K, U) = { f Top(M, Q) f(k) U }. Võttes selliste hulkade N(K, U) kõikvõimalikud lõplikud ühisosad ja nende ühisosade kõikvõimalikud ühendid, saadakse rühmal Top(M, Q) topoloogia, mille suhtes Top(M, Q) on topoloogiline rühm. Saadud topoloogiat nimetataksegi kompaktseks-lahtiseks topoloogiaks rühmal Top(M, Q). On teada, et kui X on topoloogiline ruum, siis kujutus f : X Top(M, Q) on pidev parajasti siis, kui kujutus X M M, (x, y) f(x)(y), 31
32 on pidev. Rakendades seda fakti juhule X = I, järeldub, et paari (M, Q) omahomöomorfismid on isotoopsed parajasti siis, kui nad on ühendatavad teega ruumis Top(M, Q), s.t nad kuuluvad ühte ja samasse ruumi Top(M, Q) sidususe komponenti. Seega M(M, Q) = π 0 (Top(M, Q)) (12) 32
33 Topoloogilise ruumiga seotud rühmad 1. Kompaktne-lahtine topoloogia Olgu X ja Y topoloogilised ruumid. Tähistame H(X, Y ) = {f : X Y f on pidev } Kui K on kompaktne hulk ruumis X ja U lahtine hulk ruumis Y, siis defineerime [K, U] = { f H(X, Y ) f(k) U }. Hulk H(X, Y ) muutub topoloogiliseks ruumiks, kui lahtisteks hulkadeks võtta hulkade [K, U] kõikvõimalikud lõplikud ühisosad ja saadud ühisosade kõikvõimalikud ühendid. Saadud topoloogiat nimetatakse kompaktsekslahtiseks topoloogiaks hulgal H(X, Y ). Näide 1. Tähistame järgnevas I = [0; 1]. Topoloogilist ruumi H(I, Y ) nimetatakse ruumi Y teede ruumiks, selle ruumi elementi aga teeks ruumis Y. Kui y 0 Y, siis teede ruumi H(I, Y ) alamruumi ΩY = { f H(I, Y ) f(0) = f(1) = y 0 } nimetatakse ruumi Y sõlmede ruumiks punktis y 0 ja iga selle ruumi elementi sõlmeks punktis y Homotoopia Olgu X ja Y topoloogilised ruumid. Definitsioon 11 Kujutusi f, g H(X, Y ) nimetatakse homotoopseteks ja tähistatakse f g, kui leidub pidev kujutus Φ : X I Y, nii et Φ(x, 0) = f(x), Φ(x, 1) = g(x) iga x X korral. Kujutust Φ nimetatakse kujutuste f ja g homotoopiaks. Samaväärne definitsioon: f g, kui leidub kujutuste pere ϕ t : X Y, t I, nii et: a) ϕ 0 = f, ϕ 1 = g, b) kujutus Φ : X I Y, Φ(x, t) = ϕ t (x), on pidev. Samaväärne definitsioon: f g, kui leidub tee ruumis H(X, Y ), mis ühendab punkte f ja g. 33
34 Saadud seos on ekvivalentsiseos hulgal H(X, Y ). Faktorhulka (faktorruumi) selle seose järgi tähistatakse π(x, Y ). Teisiti võib hulka π(x, Y ) vaadelda kui ruumi H(X, Y ) lineaarse sidususe (joonsidususe) komponente. Sageli tuleb vaadelda topoloogilist ruumi X, kus on fikseeritud üks punkt x 0 X. Siis öeldakse, et (X, x 0 ) on märgitud punktiga ruum. Kahe märgitud punktiga ruumi (X, x 0 ) ja (Y, y 0 ) korral vaadeldakse ruumi H(X, Y ) alamruumi H b (X, Y ) = { f H(X, Y ) f(x 0 ) = y 0 } (indeks b tuleneb sõnast base). Ka selles alamruumis saab defineerida homotoopia ja moodustada vastav faktorhulk π b (X, Y ) (defineerides vaadeldakse ainult neid kujutusi, mis teisendavad punkti x 0 punktiks y 0 ). 3. Loomulikud rühmastruktuurid hulgal π b (X, Y ) Olgu iga X korral ruumis π b (X, Y ) määratud rühma struktuur. Definitsioon 12 Öeldakse, et vaadeldav rühma struktuur hulkadel π b(x, Y ) on loomulik, kui iga pideva kujutuse ϕ : X 1 X 2 korral indutseeritud kujutus ϕ : π b (X 2, Y ) π b (X 1, Y ) on rühmade homomorfism: ϕ X 1 X 2 g g ϕ Y ϕ [g] = [g ϕ], [g] π b (X 2, Y ). Definitsioon 13 Topoloogilist ruumi Y nimetatakse H-ruumiks, kui temas on määratud korrutamine µ : Y Y Y ja pöördelemendi võtmine ν : Y Y, kusjuures on täidetud tingimused: 1 0 kujutused ja Y j 1 Y Y µ Y, j 1 (y) = (y, y 0 ), Y j 2 Y Y µ Y, j 2 (y) = (y 0, y), on homotoopsed samasuskujutusele e Y : Y Y ; 34
35 2 0 (homotoopiline assotsiatiivsus) kujutused ja on homotoopsed; 3 0 kujutused ja Y Y Y e Y µ Y Y µ Y Y Y Y µ e Y Y Y µ Y Y e Y ν Y Y µ Y Y ν e Y Y Y µ Y on homotoopsed kujutusega fikseeritud punkti. Duaalselt arendatakse sama teooriat järgmiselt. Olgu X ja Y topoloogilised ruumid vastavalt märgitud punktidega x 0 ja y 0. Võttes nende ruumide disjunktiivse ühendi ja samastades punktid x 0 ja y 0, saadakse ruumide X ja Y bukett X Y. Oletame, et iga ruumi X korral on hulgal π b (Y, X) määratud rühma struktuur. Definitsioon 14 Rühma struktuuri hulkadel π b (Y, X) nimetatakse loomulikuks, kui iga pideva kujutuse ϕ : X 1 X 2 korral indutseeritud kujutus on rühmade homomorfism: ϕ : π b (Y, X 1 ) π b (Y, X 2 ) g Y X 1 ϕ ϕ g X 2 ϕ [g] = [ϕ g], [g] π b (Y, X 1 ). Definitsioon 15 Topoloogilist ruumi Y nimetatakse H -ruumiks, kui temas on määratud kokorrutamine µ : Y Y Y ja pöördelemendi võtmine ν : Y Y, kusjuures on täidetud tingimused: 1 0 kujutused Y µ Y Y π 1 Y 35
36 ja Y µ Y Y π 2 Y on homotoopsed samasuskujutusele e Y : Y Y ; siin π 1 on samasuskujutus esimesel ruumi Y koopial ja teisel koopial on kujutus märgitud punkti ning kujutus π 2 toimib vastupidi; 2 0 (homotoopiline koassotsiatiivsus) kujutused ja on homotoopsed; 3 0 kujutus Y µ Y Y e Y µ Y Y Y Y µ Y Y µ e Y Y Y Y Y µ Y Y e Y ν Y on homotoopne kujutusega fikseeritud punkti. Näide 2. (H-ruumi näide.) Topoloogilise ruumi Z sõlmede ruum Y = ΩZ on H-ruum, kui kujutused µ : ΩZ ΩZ ΩZ ja ν : ΩZ ΩZ defineerida järgnevalt: { f(2t), kui 0 t 1/2, µ(f, g)(t) = g(2t 1), kui 1/2 t 1, ν(f)(t) = f(1 t). Näide 3. (H -ruumi näide.) Iga topoloogilise ruumi Z jaoks saab konstrueerida selle ruumi pealisehituse (nadstroika, suspension) ΣZ kui ruumi Z I faktorruumi ekvivalentsiseose järgi, mille ekvivalentsiklassideks on alamhulgad {(z, 0) z Z} ja {(z, 1) z Z} ning ülejäänud ekvivalentsiklassid on üheelemendilised (ehk teisiti: hulga {(z, 0) z Z} punktid kleebitakse kokku üheks punktiks nagu ka hulga {(z, 1) z Z} punktid). 36
Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
RohkemAndmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud
Andmebaasid, MTAT.03.264 6. loeng Normaalkujud E-R teisendus relatsiooniliseks Anne Villems Meil on: Relatsiooni mõiste Relatsioonalgebra Kus me oleme? Funktsionaalsete sõltuvuse pere F ja tema sulund
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemMicrosoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx
Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu
RohkemMicrosoft Word - VOTA_dok_menetlemine_OIS_ doc
Varasemate õpingute ja töökogemuse arvestamine (VÕTA ) dokumentide menetlemise protsess ÕISis Koostanud: Ele Hansen Ele Mägi Tartu 2012 1. Aine ülekandmine-õppekavajärgne aine Varasemalt sooritatud aine
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemMittekorrektsed ülesanded 2008
Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemPintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers)
Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) aknasse ja looge kaks läbipaistvat kihti juurde. Pange
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
RohkemOsakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.
Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste
RohkemTants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.
Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud
RohkemPIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As
PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta
RohkemKaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning
Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning seda saab kombineerida teiste Carcassonne laiendustega.
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemProgrammeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.
Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemTehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemKiekim mees kirjeldus.docx
KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemloogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd
. Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed
RohkemVRG 2, VRG 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
Rohkemloeng2
Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemScala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta
Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.
RohkemAndmebaasid, MTAT Andmebaasikeeled 11.loeng
Andmebaasid, MTAT.03.264 Andmebaasikeeled 11. loeng Anne Villems Eksamiaegade valimine Kas on vaja eksamiaega mai lõpus? I eksami aeg. valikud: 3., 4. või 5. juuni kell 10.00 II eksami aeg. 17. kell 12.00
RohkemDVD_8_Klasteranalüüs
Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte
RohkemSaksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi
Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
RohkemPÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019
PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...
Rohkem+/- 7(chomsky???) Deduktiivne jama 1.Hulkade spetsifitseerimine. Hulk on samalaadsete objektide järjestamata kogum, mida käsitlet
+/- 7(chomsky???) 17 29 30 31 32 33 34 Deduktiivne jama 1.Hulkade spetsifitseerimine. Hulk on samalaadsete objektide järjestamata kogum, mida käsitletakse kui tervikut.hulka kuuluvaid objekte nim. hulga
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
Rohkem1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad
1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-
RohkemTuustep
TUUSTEPP Eesti tants segarühmale Tantsu on loonud Roland Landing 2011. a. Pärnus, kirjeldanud Erika Põlendik. Rahvalik muusika, esitab Väikeste Lõõtspillide Ühing (CD Kui on kuraasi ). Tantsus on käed
RohkemKIIRJUHEND Lugege kiirjuhend enne seadme kasutamist hoolikalt läbi. Kõik tärniga (*) märgitud juhised kehtivad WLAN + 3G mudelitele (Lenovo B6000-H(V)
KIIRJUHEND Lugege kiirjuhend enne seadme kasutamist hoolikalt läbi. Kõik tärniga (*) märgitud juhised kehtivad WLAN + 3G mudelitele (Lenovo B6000-H(V) / Lenovo B8000-H). Tehnilised andmed Mudeli nimetus
Rohkem6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE
6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF 868MHz 3-6 EE 1. KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC
Rohkem(Microsoft Word - \334levaade erakondade finantsseisust docx)
Ülevaade erakondade finantsmajanduslikust olukorrast seisuga 31.12.2010 Ülevaate eesmärgiks on kirjeldada erakondade rahalist seisu, mis annab informatsiooni nende tugevusest või nõrkusest, mis omakorda
RohkemArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus
PILVI TAUER Tallinna Tehnikagümnaasium ArcGIS Online 1.Konto loomine 2.Veebikaardi loomine 3.Rakenduste tegemine - esitlus Avaliku konto loomine Ava ArcGIS Online keskkond http://www.arcgis.com/ ning logi
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
RohkemMicrosoft Word Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord.doc
Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord I ÜLDSÄTTED 1. Reguleerimisala Kord sätestab kutseliste hindajate (edaspidi Hindaja) kutsetegevuse aruandluse, täiendõppe aruandluse ja auditeerimise
RohkemE-arvete juhend
E- arvete seadistamine ja saatmine Omniva kaudu Standard Books 7.2 põhjal Mai 2015 Sisukord Sissejuhatus... 3 Seadistamine... 3 Registreerimine... 4 E- arve konto... 5 Vastuvõtu eelistus... 5 Valik E-
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemVana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi
Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi 22.02.2019 Rasmus Kask SA Eesti Vabaõhumuuseum teadur Mis on väärtus? 1) hrl paljude inimeste, eriti asjatundjate (püsiv) hinnang asja, nähtuse või olendi
RohkemMicrosoft Word - FV Steine - Keramik_Eesti
Tõlge saksa keelest Austria Majanduskoja kivi- ja keraamikatööstuse erialaliidu töörühm Looduslikud ehitusmaterjalid puit Wiedner Hauptstraße 63 1045 Viin Erialaliit Kivid keraamika 16. nov. 2005 Kaust:
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemPimeda ajal sõitmine
Sõidueksamitel tehtud vead www.mnt.ee 1 Vasakpöörde sooritamine Sõiduteel paiknemine. Enne vasak- või tagasipööret peab juht aegsasti suunduma sõidutee pärisuunavööndi vasaku ääre lähedale või selle pöörde
RohkemÜlesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased
Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi
RohkemAktiivtöö. Kuri Muri Teema: viha ja agressiivsus. Toimetulek vihaga. Alateema: eneseanalüüs, vihapäevik. Õpitulemused. Õpilane: oskab ära tunda olukor
Aktiivtöö. Kuri Muri Teema: viha ja agressiivsus. Toimetulek vihaga. Alateema: eneseanalüüs, vihapäevik. Õpitulemused. Õpilane: oskab ära tunda olukorrad, mis tekitavad viha; oskab ära tunda kehalisi reaktsioone,
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemM16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT
1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi
RohkemVRB 2, VRB 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga
Rohkem