BioMech_2011_1.dvi

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "BioMech_2011_1.dvi"

Väljavõte

1 Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Biomehaanika (Sissejuhatavad loengud mehaanika) Tallinn Peatükk 1 Sissejuhatus 1.1 Mis on biomehaanika Biomehaanika mehaanika printsiipide ja seaduste rakendamine bioloogias inimesed, loomad, taimed, organid, rakud Biomehaanika uurib bioloogiliste süsteemide ehitust ja funktsioone mehaanika meetoditega.

2 1.2. Biomehanika ajaloost ja rakendustest 1-3 Tihe seos füüsika ja inseneriteadustega (tehnikateadustega). Pideva keskkonna mehaanika, staatika, kinemaatika, dünaamika, mehansmide teooria, tugevusõpetus ja ehitusmehaanika, elastsusteooria, purunemismehaanika, hüdro- ja aeromehaanika, arvutusmehaanika jne., jne. Tavaliselt osutuvad bioloogilised süsteemid keerukamateks kui tehissüsteemid. 1.2 Biomehanika ajaloost ja rakendustest Aristoteles jäsemetele mõjuvad jõud, hüdro- ja aerodünaamika: linnud, putukad, kalad Leonardo da Vinci Uuris anatoomiat mehaanika võtmes: lihaste jõud näiteks Biomimeemika alged lendamine Hobused, nende rakmed ja (töö)riistad et nende jõud oleks otstarbekamalt kasutatud 1.2. Biomehanika ajaloost ja rakendustest 1-4 Galileo Galilei luude tugevus õõnes konstruktsioon: maksimaalne tugevus minimaalse kaaluga Loomade suuruse, kaalu ja luustiku seosed René Descartes Robert Hooke Isaac Newton Leonhard Euler Herrmann von Helmholtz jpt vt ajaloolist joonist

3 1.3. Biomehaanika harud 1-5 Rakendused (mõned) Sügavam arusaamine elusate organismide, organite ja kudede füsioloogilisest käitumisest rakendatav alates meditsiinist kuni kunstmaterajlide või tehisorganite (k.a. proteesid) ja tehisorganismide (bioinspireeritud robotid) loomise ja tootmiseni. Sport paremad tulemused, vähem vigastusi. 1.3 Biomehaanika harud Taimede biomehaanika biomehaanika rakendamine taimedele ja nende organitele, k.a. taimede kasvamine Spordi biomehaanika biomehaanika rakendamine eesmärgiga saada paremaid sporditulemusi ja vähendada seejuures vigastuste ohtu. Meetodid: (inseneri) mehaanika, elektriinseneridelt (signaalitöötlus), arvutiteadus, informaatika ja matemaatika (andmetöötlus, visualiseerimi Biomehaanika harud 1-6 ne, võrrandite alhendamine jms), kliiniline neurofüsioloogia (närvid, närvisignaalid), jne. Pideva keskkonna biomehaanika mitmel tasandil alates molekulaarsest kuni kudede ja organite tasemeni. Tavaliselt modelleeritakse elavaid kudesid kui pidevat keskkonda. Organite erinevad koed omavad väga erinevaid mehaanikalisi (ja muid) omadusi Keerulisem olukord kui tavaliste tehnika- ehk inseneriülesannete korral nahk, luud, veresooned vrs metall, puit, laminaadid jne. (vt. joonist) Rakendatud koormused võivad elusate kudede omadusi muuta (I.K. remodelling): vererõhu mõju arteri seinale luude kasvamine seoses rakendatud koormustega taimede erinev kasvamine sõltuvalt tuulest

4 1.3. Biomehaanika harud 1-7 Piirid: uuritav pikkusskaala peab erinema (olema suurem) vtl. koe mikrostrukruurist Koordinaadid Tahkised Lagrange i ehk materiaalsed koordinaadid Vedelikud Euleri ehk ruumi(lised) koordinaadid Tensorid Pingetensorid tegelik pinge, tinglik- ehk pseudopinge Deformatsioonitensorid: (lõpmata) väikesed deformatsioonid lineaarsed suure (lõplikud) deformatsioonid mittelineaarsed 1.3. Biomehaanika harud 1-8 Pideva keskkonna põhiseadused ehk aksioomid Jäävusseadused ehk tasakaalu seadused liikumishulga ehk impulsi jäävuse seadus ehk liikumishulga teoreem conservation of linear momentum kineetilise momendi ehk pöördeimpulsi ehk impulsi momendi jäävuse seadus ehk kineetilise momendi teoreem conservation of angular momentum massi jäävuse seadus conservation of mass energia jäävuse seadus conservation of energy entroopia võrratus the entropy inequality Liikumisvõrrandid (tasakaaluvõrrandid): Euleri liikumisvõrrandid Chauchy liikumisvõrrandid

5 1.3. Biomehaanika harud 1-9 Olekuvõrrandid: lineaarsed (näteks Hooke i seadus) mittelineaarsed Pidevusvõrrandid siirete ja deformatsioonide vahelised seosed. Kahest (kolmest) viimasest kokku konkreetsetele keskkondadele (materjalidele) ja konkreetsetele ülesannetele vastavad võrrandid Navier-Stokesi võrrandid (vedelikud) ( ) vk ρ t + v k,lv l = ρf k p,k + µv k,ll ρ v = ρf p + µ 2 v 1.3. Biomehaanika harud 1-10 Kui kasutada nn. klassikalist DRK tähistust (koordinaadid x, y, z, massijõud f = (f x,f y,f z ), ja kiirus v = (v x,v y,v z )) ( ) vx ρ t + v v x x x + v v x y y + v v x z = ρf x p ( 2 ) z x + µ v x x + 2 v x 2 y + 2 v x, 2 z 2 ( ) vy ρ t + v v y x x + v v y y y + v v y z = ρf y p ( 2 ) z y + µ v y x + 2 v y 2 y + 2 v y, 2 z 2 ( ) vz ρ t + v v z x x + v v z y y + v v z z = ρf z p ( 2 ) z z + µ v z x + 2 v z 2 y + 2 v z. 2 z 2 (1.1) Navier võrrandid (tahkised) jne. Luud üldjuhul suhteliselt kõvad deformatsioonid on väikesed Hooke i seadus: lineaarsed seosed pingete ja deformatsioonide vahel, näiteks σ ij = C ijkl ǫ kl.

6 1.3. Biomehaanika harud 1-11 Pehmed koed Laias laastus praktiliselt kõik mis pole luu nahk, lihased, kiud, kõõlused, rasv, kiled (membraanid), närvid, veresooned kollageen valk, mis moodustab loomsete sidekudede (nahk, luud, kõõlused) põhimassi, Inimeses 25-33% valkude massist. elastiin tugivalk, mis annab elunditele elastsuse kõõlused, veresoonte seinad, bronhid jms. Lihased liigutusi sooritavad organid kolm tüüpi (vt. jooniseid) Skeletilihased seotud skeletiga tahtele alluvad Südamelihased tahtele allumatud vere pumpamine siinussõlme signaalidele vastavalt Silelihased tahtele allumatud enamus on (õõnes)organite (k.a. arterid, aordid, hingamisteed jms.) seintes, mõned iseseisvalt, näiteks pupilliahendajad või karvapüstitajad lihased) 1.3. Biomehaanika harud 1-12 Viskoelestsus (vt joonist) Energia dissipatsioon hüstereetiline käitumine, st. materjal käitub koormamisel ja koormuse maha votmisel (lossimisel) erinevalt. Mõnedel juhtudel võib pinge sõltuda ka deformatsioonikiirusest mõned autorid nimetavad neid materjale pseudoelastseteks materjalideks Paljud sellised materjalid (koed) on modelleeritavad kui hüperelastsed hüperelastne ehk Greeni materjal on ideaalselt elastne materjal, mille korral pinge sõltub deformatsioonienergia tihedusest; teisisõnu, pingete ja deformatsioonide vaheline seos tuletatakse deformatsioonienergia funktsioonist Lineaarne vrs mittelineaarne Hooke i seadus lineaarne luud Pehmed koed enamasti on nende käitumine mittelineaarne Mittelineaarsed pole mitte üksnes materjalide omadused, vaid mittelineaarsus tuleb ülesannetesse ka (väga) suurtest deformatsioonidest, mis võivad ulatuda üle 100%

7 1.3. Biomehaanika harud 1-13 Mida tuleb veel tunda ja arvesse võtta Teisi teadusi (peale mehaanika) Keemia Füsioloogia Molekulaarbioloogia Rakubioloogia Biokeemia Jne. Jne. Näiteks: lihaste kokkutõmme energia biokeemilised reaktsioonid: kaltsiumi ioonid, ATP, ADP jne Materjalide anisotroopia ja mittehomogeensus, näiteks luud 1.3. Biomehaanika harud 1-14 Võrdlev biomehaanika Uurib näiteks loomade liikumist jooksmine, hüppamine, lendamine, ujumine Vaja energiat, et ületada hõõret, (õhu või vee) takistust, inertsi, gravitatsiooni jms mõjud Võrdlev biomehaanika kattub paljude teiste teadus harudega Teda rakendatakse näit. meditsiinis (loomkatsed) ja biomimeetikas (looduse järeleaimamine) Biovedelike mehaanika Veri enamusel juhtudel saab vere voolamist modelleerida Navier -Stokesi võrranditega, eeldades, et tegu on kokkusurumatu Newtoni vedelikuga. Kui aga veresoone läbimõõt saab võrreldavaks vereliblede mõõtudega, siis tuleb rakendada muid mudeleid (vt. joonist). Biotriboloogia Hõõre, kulumine, määrimine (õlitamine, piltlikult öeldes) eeskätt just liigestes

8 1.4. Uurimismetoodika Uurimismetoodika Vastavalt Y.C. Fungile peaks biomehaanika probleemide lahendamine toimuma järgmise skeemi põhjal: 1. Tuleb uurida organismi morfoloogiat (välisehitust), organi anatoomiat, koe histoloogiat jne, et saada teada uurimisobjekti geomeetriline konfiguratsioon. 2. Määrata uuritavate materjalide või kudede mehaanikalised omadused. See võib osutuda suheteliselt keerukaks. Probleemid: mõõtmed koeproovi (katsekeha) isoleerimine koe elusana hoidmine suurte deformatsioonide teke mittelineaarsed olekuvõrrandid 3. Tuginedes mehaanika (füüsika) seadustele (jäävusseadused jms.) ja olekuvõrranditele tuletada uuritavat nähtust või protsessi kirjeldavad võrrandid (i.k. governing equations) tavaliselt differentsiaal või integraalvõrrandid 1.4. Uurimismetoodika Rajatingimuste määramiseks teha kindlaks, millises keskkonnas uuritav organ (või organism) töötab 5. Lahendada saadud rajaülesanne kas analüütiliselt, numbriliselt või eksperimentaalselt 6. Teostada (füsioloogiline) eksperiment, et kontrollida saadud rajaülesande lahendit. Vajadusel tuleb matemaatilne ülesanne reformuleerida ja uuesti lahendada. Eesmärgiks peab olema teooria ja eksperimendi kokkulangevus nad peavad lähtuma samadest hüpoteesidest ja kontrollima samu hüpoteese. 7. Võrrelda eksperimntaalseid ja teoreetilisi tulemusi. Kui teoorias püstitatud hüpoteesid leiavad eksperimentaalset kinnitust, siis saab määrata tundmatute olekuvõrrandi parameetrite arvulised väärtused. 8. Selliselt kontrollitud (valideeritud) teooriat saab nüüd kasutada analoogiliste ülesannetega lahenendamiseks ja rakendada praktikas.

9 Peatükk 2 Ülevaade staatika, kinemaatika ja dünaamika põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest Mehaanika harud Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete kehade, vedelike ja gaaside liikumist, selle liikumise põhjusi ja tagajärgi. Joonis 2.1: Mehaanika harud

10 2.1. Mehaanika harud Jäiga keha mehaanika Teoreetiline mehaanika ehk jäiga keha mehaanika uurib absoluutselt jäikade kehade liikumist ja paigalseisu neile rakendatud jõudude toimel. Absoluutselt jäiga keha mistahes kahe punkti vaheline kaugus on konstantne. Laias laastus võib teoreetilise mehaanika jagada staatikaks, kinemaatikaks ja dünaamikaks. Staatika uurib: 1. kehade tasakaalu (täpsemalt öeldes kehadele rakendatud jõusüsteemide tasakaalu) ja 2. jõusüsteemide lihtsustamist ehk taandamist. Kinemaatika uurib liikumise geomeetrilisi seaduspärasusi. Klassikaline dünaamika uurib punktmasside ja jäikade kehade liikumist neile mõjuvate jõudude toimel Mehaanika harud 2-20 Liikumisena ehk mehaanikalise liikumisena mõistetakse vaadeldava keha asendi muutust teiste kehade suhtes. Selleks valitakse tavaliselt üks keha, mille suhtes uuritakse liikumist ja seotakse sellega jäigalt koordinaatsüsteem. Tulemust nimetatakse taustsüsteemiks. Punktmassiks nimetatakse materiaalset keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei arvestata. Aeg loetakse universaalseks, st., ühtviisi kulgevaks kõigis taustsüsteemides Pideva keskkonna mehaanika Pideva keskkonna mehaanika (PKM) uurib tahkiste (deformeeruvate tahkete kehade), gaaside ja vedelike liikumist välismõjude toimel. Palju harusid tahkise (deformeeruva keha) mehaanika tugevusõpetus elastsusteooria

11 2.1. Mehaanika harud 2-21 plastsusteooria jne. hüdro- ja aeromehaanika hüdrostaatika hüdrodünaamika jne Muud harud Pole ei puhtalt jäiga keha ega puhtalt pideva keskkonna mehaanika biomehaanika arvutusmehaanika kehade süsteemi mehaanika jne 2.2. Staatika Staatika Jäik keha Jõud Kehade vastastikuse mõju mõõt Jõusüsteem koonduv JS, paralleeljõudude süsteem, jne. Jõu moment, jõupaar M O = r F Jõu ja momendi projektsioonid ning komponendid Q = Q x + Q y + Q z = Q x i + Q y j + Q z k

12 2.2. Staatika 2-23 Koordinaadid ja koordinaatteljed Descartes i ristkoordinaadid (DRK) Koordinaatteljed peavad moodustama parema käe kolmiku Ümber telje toimuva pöörde positiivne suund määratakse kruvireegliga 2.2. Staatika 2-24 Vabaks kehaks nimetatakse keha, mille liikumist ei piira mitte ükski tingimus. Vaba keha saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse. Side on keha liikumist kitsendav tingimus. Tavaliselt moodustab sideme mingi teine keha. Sidemereaktsioon ehk reaktsioonjõud on jõud, millega sidet moodustav keha mõjub vaadeldavale kehale. Inseneriülesannete puhul nimetatakse sidemeid tihti ka tugedeks ja vastavaid reaktsioonjõudusid toereaktsioonideks. Sidemetest vabastatavuse printsiip: Iga seotud keha võib vaadelda vaba kehana kui asendada sidemed sidemereaktsioonidega. Sidemete tüübid: sile pind, kare pind, liikumatu liigend(tugi), liikuv liigend(tugi), kerge varras, painduv ühendus jne.

13 2.2. Staatika 2-25 Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse vektorit, mis võrdub jõu rakenduspunkti A kohavektori r ja jõuvektori F vektorkorrutisega. M O = r F, M O M O = Fr sin ϑ = Fd. (2.1) Jõu moment iseloomustab jõu pööravat toimet. Joonis 2.2: Jõu moment punkti suhtes. Momentvektori M O suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkti O valikust kuid ei sõltu punkti A valikust jõu mõjusirgel Staatika 2-26 Momentvektori M O mõjusirge määrab telje, mille ümber jõud F püüab tekitada pöörlemist. Pöörde suund määratakse kruvireegliga kui (parema käe) kruvi teljesihilise liikumise suund ühtib momentvektori suunaga, siis keha pöörlemise suund ühtib kruvi pöörlemise suunaga. Ja vastupidi, kui kruvi pöörata keha pöörlemise suunas, siis tema teljesihilise liikumise suund ühtib momentvektori suunaga. Jõu moment telje suhtes võrdub selle telje mistahes punkti suhtes leitud momentvektori projektsiooniga vaadeldaval teljel. See on üldlevinud määratlus ja selle põhjal on tegu skalaariga. Tegelikult võib ka jõu momenti telje suhtes käsitleda vektorina. Praktikas leitakse moment valemist M = ±Fd, s.t. jõud korda jõu õlg, ning märk määratakse kruvireegliga.

14 2.2. Staatika 2-27 Jõupaari moodustavad kaks võrdvastupidist jõudu F ja F millel on erinev mõjusirge. Jõupaari moment võrdub ühe jõupaari moodustava jõu momendiga teise rakenduspunkti suhtes. Jõupaari moment on vabavektor. Joonis 2.3: Jõupaar ja jõupaari moment (Joonis on pärit prof. A. Klausoni Tehnilise mehaanika loengukonspektist.) 2.2. Staatika 2-28 Lemma jõu paraleellükkest. Jäiga keha mistahes punktis A rakendatud jõu võib paralleelselt tema mõjusirgega üle kanda uude rakenduspunkti B kui lisada punktis A rakendatud jõu moment punkti B suhtes. Staatika põhiteoreem (Poinsot teoreem): Iga jäigale kehale rakendatud jõusüsteemi saab asendada taandamistsentrisse rakendatud jõusüsteemi peavektoriga ja jõusüsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. Joonis 2.4: Jõusüsteemi peavektor ja peamoment. (Joonis on pärit prof. A. Klausoni Tehnilise mehaanika loengukonspektist.)

15 2.2. Staatika 2-29 Jõusüsteemi peavektor: F O = n i=1 F i Jõusüsteemi peamoment: M O = n i=1 M O(F i ), kus punkti O nimetatakse taandamistsentriks. (Joonisel on kahjuks O asemel A.) Jõusüsteem on tasakaalus parajasti siis kui peavektor F O ja mingi punkti O suhtes leitud peamoment M O on võrdsed nulliga: F O = i F i = 0, M O = i M O (F i ) = 0. (2.2) Skalaarsed tasakaalu tingimused: F ix = 0, F iy = 0, F iz = 0, i i i M x (F i ) = 0, M y (F i ) = 0, M z (F i ) = 0. i i i (2.3) 2.3. Kinemaatika Kinemaatika Kinemaatika uurib liikumise geomeetrilisi seaduspärasusi. Liikumisena ehk mehaanikalise liikumisena mõistetakse vaadeldava keha asendi muutust teiste kehade suhtes. Selleks valitakse tavaliselt üks keha, mille suhtes uuritakse liikumist ja seotakse sellega jäigalt koordinaatsüsteem. Tulemust nimetatakse taustsüsteemiks. Punktmassiks nimetatakse materiaalset keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei arvestata. Materiaalne punkt Liikumise kirjeldamiseks peab olema kokkulepe kuidas mõõdetakse aega Aeg loetakse universaalseks, st., ühtviisi kulgevaks kõigis taustsüsteemides

16 2.3. Kinemaatika 2-31 Punkti trajektooriks nimetatakse pidevat joont, mille joonistab liikuv punkt taustsüsteemi suhtes Punkti liikumisseaduseks nimetatakse eeskirja, mis määrab punkti asukoha igal ajahetkel. Vektoriaalne viis. r = r(t) Koordinaatviis. Descartes i ristkoordinaadid (DRK) x = x(t), y = y(t), z = z(t). seos r = xi + yj + zk, r = x 2 + y 2 + z Kinemaatika 2-32 Loomulik viis. Punkti asukoht ruumis määratakse tema loomuliku koordinaadiga s = s(t). seos s = ± t 0 ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt. Punkti kiiruseks nimetatakse tema kohavektori esimest tuletist aja järgi DRK Kiirus on vektor, mis v = ṙ v = ṙ = ẋi + ẏj + żk on suunatud piki trajektoori puutujat liikumise suunas; iseloomustab nii kohavektori pikkuse kui suuna muutumist. Punkti kiirenduseks nimetatakse kiirusvektori esimest tuletist aja järgi ehk tema kohavektori teist tuletist aja järgi. a = v = r

17 2.3. Kinemaatika 2-33 DRK Kiirendus on vektor, mis on suunatud trajektoori sisse (v.a. sirgjooneline liikumine); a = v = r = ẍi + ÿj + zk. iseloomustab kiiruse muutumist (nii kiirusvektori pikkuse kui suuna muutumist) Kinemaatika 2-34 Loomulik teljestik: parema käe teljestik t n b, mis liigub koos vaadeldava punktiga. telg t on puutuja, n peanormaali ja b binormaali sihis Vastavaid ühikvektoreid tähistame τ, ν ja β.

18 2.3. Kinemaatika 2-35 Koordinaattasandid: t n kooldumistasand, t b sirgestumistasand, b n normaaltasand. Kiirus v = ṡτ 2.3. Kinemaatika 2-36 Kiirendus a = sτ + ṡ2 ρ ν = a t + a n a t puutekiirendus ehk tangentsiaalkiirendus a n normaalkiirendus Vastavad projektsioonid a b = 0!!! a t = s = v t ja a n = ṡ2 ρ = v2 ρ Puutekiirendus a t iseloomustab kiirusvektori mooduli muutumist Normaalkiirendus a n iseloomustab kiirusvektori suuna muutumist Kuna kiirenduse projektsioon b-teljel (binormaalil) on null, siis kiirenduse moodul a = a t + a n, a = a 2 t + a 2 n

19 2.3. Kinemaatika 2-37 Jäiga keha liikumise tüübid Rööpliikumiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul iga kehaga muutumatult seotud sirge jääb kogu liikumise kestel oma algsihiga paralleelseks Pöörlemiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul kaks kehaga muutumatult seotud punkti jäävad kogu liikumise kestel paigale Keha pöörlemisseaduseks nimetatakse pöördenurga muutumise eeskirja ϕ = ϕ(t) Kui pöörlemine toimub ümber z telje, siis võib pöörlemisseaduse esitada kujul ϕ = ϕ(t) = ϕ z (t)k Nurkkiiruseks nimetatakse pöördenurga vektori esimest tuletist aja järgi: ω = ϕ Kinemaatika 2-38 Nurkkiirus(vektor) ω määrab pöörlemise suuna (läbi kruvireegli) pöörlemise kiiruse (rad/s ehk 1/s) Nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse vektori esimest tuletist aja järgi ehk pöördenurga vektori teist tuletist aja järgi: Pöörleva keha punkti kiirus α = ω = ϕ. v = ω z hτ = ω r, kiiruse projektsioon loomulikul teljel t v t = ω z h = ϕ z h, kiiruse moodul v = ωh = ω r.

20 2.3. Kinemaatika 2-39 Pöörleva keha punkti kiirendus, puutekiirendus ja normaalkiirendus a = α r + ω v, a t = α r, a n = ω v Vastavad moodulid a = α 2 + ω 4 h, a t = αh, a n = ω 2 h 2.3. Kinemaatika 2-40 Tasapinnaliseks liikumiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul kõik keha punktid liiguvad tasapindades, mis on paralleelsed ühe paigalseisva tasapinnaga. Tasapinnalise liikumise võib lahutada tasapinnaliseks rööpliikumiseks koos vabalt valitud poolusega ja pöörlemiseks ümber selle pooluse (pöörlemiseks ümber seda poolust läbiva ja vaadeldava tasandiga ristuva telje). Rööpliikumine sõltub pooluse valikust, pöörlemine aga mitte v B = v A + v BA, a B = a A + a BA Hetkeline kiiruste tsenter ja hetkeline kiirenduste tsenter

21 2.3. Kinemaatika 2-41 Liitliikumine vaadeldav keha liigub taustsüsteemis, mis omakorda liigub mingi teise (paigalseisva) taustsüsteemi suhtes Absoluutseks liikumiseks nimetatakse punkti (keha) liikumist liikumatu taustsüsteemi suhtes Relatiivseks liikumiseks nimetatakse punkti (keha) liikumist liikuva taustsüsteemi suhtes Kaasaliikumiseks (ülekandeliikumiseks) nimetatakse liikuva taustsüsteemiga muutumatult seotud punktide liikumist liikumatu taustsüsteemi suhtes Absoluutne kiirus võrdub relatiivse kiiruse ja kaasaliikumise kiiruse geomeetrilise summaga v = v r + v e. Absoluutne kiirendus võrdub relatiivse kiirenduse, kaasaliikumise kiirenduse ja Coriolise kiirenduse geomeetrilise summaga a = a r + a e + a C Coriolise kiirendus a C = 2ω e v r 2.3. Kinemaatika 2-42 Sfääriliseks liikumiseks nimetatakse jäiga keha sellist liikumist, mille puhul üks kehaga muutumatult seotud punkt jääb liikumatuks. Seda liikumatut punkti nimetatakse kinnispunktiks 1 Lõikuvate telgede ümber toimuvate pöörlemiste liitmine Vaba jäiga keha liikumine Vaba jäiga keha liikumine on lahutatav rööpliikumiseks koos vabalt valitud poolusega ja pöördeks ümber poolust läbiva pöörlemistelje 1 Jäiga keha liikumine kinnispunkti ümber

22 2.4. Dünaamika Dünaamika Dünaamika (klassikalises mõttes) uurib punktmasside ja jäikade kehade liikumist neile mõjuvate jõudude toimel Newtoni seadused I inertsiseadus Inerts 2 on kehade võime püsida paigalseisus või ühtlases ja sirgjoonelises liikumises kuni mingi jõud seda olekut ei muuda. Keha inertsi mõõduks on tema mass II dünaamika põhiseadus: F = ma III mõju ja vastumõju seadus 2 kr. inertia - tegevusetus, loidus 2.4. Dünaamika 2-44 Märkused: Newtoni seadused pole matemaatiliselt tõestatavad vaid nad põhinevad katsetel. See annabki aluse nimetada neid ka aksioomideks. Neile seadustele on ülesehitatud kogu klassikaline mehaanika (vastandina relativistlik mehaanika). Praktikas loetakse paigalseisvaks taustsüsteemiks tavaliselt Maaga seotud taustsüsteemi. Kui sellest ei piisa, seotakse liikumatu taustsüsteem Päikesega. Aeg loetakse universaalseks, st., ühtviisi kulgevaks kõigis taustsüsteemides. Newton: Seadused kehtivad absoluutses ajas, millel pole mitte midagi ühist mitte millegagi väljaspool teda ja mis kulgeb ühtlaselt. Praktikas lähtutakse aja mõõtmisel ikkagi mingist konkreetsest nähtusest (Maa pöörlemine, isotoobi 133 Cs kiirguse periood).

23 2.4. Dünaamika 2-45 Praktikas määratakse keha mass kaalumise teel: m = P g. Newtoni II seadus käsitleb juhtu, kus punktmassile mõjub vaid üks jõud. Jõudude mõju sõltumatuse printsiip: Jõu mõju punktmassi liikumisele ei sõltu sellest, kas punktile on rakendatud peale tema veel teisi jõude või ei ole. Punktmassi dünaamika kaks põhiülesannet Newtoni II seadus + jõudude mõju sõltumatuse printsiip ma = n i=1 1. On antud punktmassi liikumisseadus. Leida millised punktmassile rakendatud jõud põhjustavad sellise liikumise! diferentseerimine F i 2.4. Dünaamika On teada punktmassile mõjuvad jõud. Leida selle punktmassi liikumisseadus! integreerimine Punktmasside mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse sellist üksteist mõjutavate punktmasside kogumit, kus iga punktmassi liikumine sõltub teiste punktmasside liikumisest ja asukohast. päikesesüsteem, vedelikud, gaasid, tahked kehad jne. Lühiduse mõttes jäetakse sõna mehaanikaline tihti ära ja piirdutakse vaid terminiga punktmasside süsteem. Välisjõud on jõud, millega sellesse süsteemi mittekuuluvad kehad mõjutavad vaadeldava süsteemi punkte. Sisejõud on jõud, millega vaadeldavasse süsteemi kuuluvad punktmassid mõjutavad üksteist. Punktmasside süsteemi kõigi sisejõudude summa on null. Punktmasside süsteemi kõigi sisejõudude momentide summa mistahes punkti suhtes on null.

24 2.4. Dünaamika 2-47 Punktmasside süsteemi mass Punktmasside süsteemi masskese x C = r C = m = i i m ix i m, y C = m i i m ir i m, i m iy i m, z C = i m iz i m Dünaamika 2-48 Masskeskme liikumise teoreem Teoreem: Punktmasside süsteemi masskese liigub nagu punktmass, mille mass võrdub süsteemi kogumassiga ja millele on rakendatud kõik sellele süsteemile mõjuvad välisjõud: ma C = i F i DRK mẍ C = i F ix, mÿ C = i F iy, m z C = i F iz i F i = 0 a C = 0, i F ix = 0 ẍ C = 0 jne.

25 2.4. Dünaamika 2-49 Liikumishulk Punktmasside süsteemi liikumishulgaks 3 nimetatakse süsteemi kõigi punktide liikumishulkade geomeetrilist summat K = i m i v i = mv C. m i v i i-nda punktmassi liikumishulk v C masskeskme kiirus Eesti keeles on terminid impulss ja liikumishulk sünonüümid Jõu impulss Jõu F elementaarimpulsiks nimetatakse korrutist F dt, kus dt on elementaarajavahemik. Jõu impulsiks lõplikus ajavahemikus [t 0, t 1 ] nimetatakse integraali J = t1 t 0 Fdt. 3 I.k. (linear) momentum 2.4. Dünaamika 2-50 Liikumishulga teoreemi diferentsiaalkuju Punktmasside süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetrilise summaga K = i F i. DRK K x = i F ix, K y = i F iy, K z = i F iz. Järeldus (liikumishulga jäävuse seadus): Välisjõududest vaba süsteem liigub muutumatu liikumishulgaga.

26 2.4. Dünaamika 2-51 Liikumishulga teoreemi integraalkuju Punktmasside süsteemi liikumishulga muutus teatud ajavahemikus t võrdub samas ajavahemikus süsteemile mõjuvate välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga DRK K 1 K 0 = i K 1x K 0x = i J i, J ix, K 1y K 0y = i J iy, K 1z K 0z = i J iz Dünaamika 2-52 Liikumishulga moment, kineetiline moment 4 Punktmassi liikumishulga momendiks punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutist L O (mv) = r mv, kus r on punktmassi kohavektor ja mv tema liikumishulk. Punktmasside süsteemi kineetiline moment on võrdne süsteemi kõigi punktide liikumishulkade momentide geomeetrilise summaga L O = i L O (m i v i ) = i r i m i v i (Loomulikult peavad kõik momendid olema leitud ühe ja sama punkti O suhtes.) Nii punktmassi liikumishulga momendi kui punktmasside süsteemi kineetilise momendi puhul kasutatakse eestikeelses kirjanduses ka termineid impulsi moment või pöördeimpulss. (I.k. angular momentum, moment of momentum) 4 I.k. angular momentum, moment of momentum

27 2.4. Dünaamika 2-53 Jõu momendi ja liikumishulga momendi definitsioonid on analoogsed ja analoogne on ka kogu teooria, mis meist räägib: komponendid, projektsioonid, peamoment jne Pöörleva keha puhul L z = I z ω z, kus I z = m ρ2 dm = m (x2 + y 2 )dm on keha massiinertsimoment. Kineetilise momendi teoreem: punktmasside süsteemi kineetilise momendi tuletis aja järgi võrdub vaadeldavale süsteemile rakendatud välisjõudude peamomendiga L O = M O (F i ). i Vaadeldav teoreem esitatakse diferentsiaalkujul. Võimalik on esitada teda ka integraalkujul. Järeldus (kineetilise momendi jäävuse seadus): Välisjõududest vaba süsteem liigub muutumatu kineetilise momendiga. Seega, kui L = const. puhul muutub keha inertsimoment, siis peab vastavalt muutuma ka tema nurkkiirus 2.4. Dünaamika 2-54 Jõu elementaartööks nimetatakse jõu ja tema rakenduspunkti elementaarsiirde skalaarkorrutist: dw = F dr. Jõu töö tema rakenduspunkti lõplikul siirdel punktist P 0 punkti P 1 esitatakse joonintegraalina W = P1 P 0 F dr = P1 P 0 (F x dx + F y dy + F z dz). Jõupaari elementaartöö (pöördel ümber z telje) dw = M z dϕ z

28 2.4. Dünaamika 2-55 Jõupaari töö lõplikul pöördel asendist ϕ 0 asendisse ϕ 1 ϕ1 W = M z dϕ z. ϕ 0 Jõu võimsuseks nimetatakse ajaühikus tehtavat tööd, st., töö muutmise kiirust P = dw dt Jõupaari võimsus = F dr dt = F v ehk P = F x v x + F y v y + F z v z. P = M z ω z Dünaamika 2-56 Kineetilise energia teoreem 5 Punktmassi kineetiline energia T = mv2 2 Kineetilise energia teoreemi diferentsiaalkuju punktmassi jaoks: Kineetilise energia tuletis aja järgi võrdub vaadeldavale punktmassile mõjuva jõu võimsusega T = P. Kineetilise energia teoreemi integraalkuju: kineetilise energia muutus punktmassi üleminekul asendist P 0 asendisse P 1 võrdub talle rakendatud jõu poolt tehtava tööga sellel liikumisel. T 1 T 0 = W Seega tööd saadakse selle arvelt, et kineetiline energia muutub, annab osa endast ära. 5 Vaadeldavat teoreemi nimetatakse ka kineetilise energia muutumise teoreemiks või lihtsalt energiateoreemiks.

29 2.4. Dünaamika 2-57 Punktmasside süsteemi kineetiline energia T = n T k = k=1 n k=1 m k v 2 k 2. Kineetilise energia teoreemi diferentsiaalkuju punktmasside süsteemi jaoks: Kineetilise energia tuletis aja järgi võrdub kõigile süsteemi punktidele rakendatud sise- ja välisjõudude võimsuste summaga T = n Pk i + k=1 n Pk. e k= Dünaamika 2-58 Kineetilise energia teoreemi integraalkuju punktmasside süsteemi jaoks: Kineetilise energia muutus punktmasside süsteemi liikumisel ühest asendist teise võrdub süsteemi punktidele rakendatud sise- ja välisjõudude tööde summaga sellel liikumisel T 1 T 0 = n Wk i + k=1 n Wk. e k=1 Nagu näha, tuleb kineetilise energia teoreemi puhul sisejõud arvesse võtta. Süsteemi nimetatakse muutumatuks kui süsteemi liikumisel tema sisejõudude rakenduspunktide vahelised kaugused ei muutu. Muutumatu süsteemi puhul on süsteemi sisejõudude töö null

30 2.4. Dünaamika 2-59 Kineetilise energia leidmine rööpliikumine Pöörlemine ümber z telje Tasapinnaline liikumine T = mv2 C 2 T = I zω 2 z 2 T = mv2 C 2 + I Cω 2 z 2 Viimase avaldise puhul leitakse inertsimoment I C masskeset läbiva ja z teljega paralleelse telje suhtes Dünaamika 2-60 Konservatiivsed jõud Kui jõu töö tema rakenduspunkti liikumisel asendist P 0 asendisse P 1 ei sõltu trajektoori kujust, siis nimetatakse sellist jõudu konservatiivseks jõuks Näiteks gravitatsioonijõud ja elastsusjõud. Kinnise trajektoori puhul on konservatiivse jõu töö null. Mittekonservatiivseid jõude nimetatakse dissipatiivseteks jõududeks Näiteks hõõrdejõud.

31 2.4. Dünaamika 2-61 Konservatiivse jõu F töö tema rakenduspunkti lõplikul siirdel punktist P 0 punkti P 1 P1 P1 W = F dr = (F x dx + F y dy + F z dz) P 0 P 0 on sõltumatu integreerimisteest. Joonintegraal ei sõltu integreerimisteest siis ja ainult siis kui integraalialune avaldis on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal. Seega võime sisse tuua funktsiooni V (x, y, z) kujul dv (x,y,z) = F x dx + F y dy + F z dz. Sellist täitvat funktsiooni V nimetatakse potentsiaalseks energiaks. Miinus märk on siin sisse toodud kokkuleppe tõttu. Potentsiaalse energia definitsiooni dv (x,y,z) = F x dx+f y dy+f z dz põhjal F x = V x, F y = V y, F z = V z Dünaamika 2-62 Konservatiivse jõu töö W = P1 P 0 dv = V P 1 P 0 = V 0 V 1 kus V 0 on süsteemi algasendile ja V 1 süsteemi lõppasendile vastav potentsiaalne energia. Konservatiivse jõu töö W = V 0 V 1 võrdub süsteemi alg- ja lõppasendile vastavate potentsiaalsete energiate (potentsiaalide) vahega. Potentsiaalne energia iseloomustab keha võimet teha tööd ja ta sõltub keha asendist (jõuväljas). Kui keha potentsiaalne energia suureneb, siis W < 0 keha potentsiaalse energia suurendamiseks on vaja teha tööd. Kui keha potentsiaalne energia väheneb, siis W > 0 potentsiaalse energia vähenemise arvelt võib saada tööd. Kui valemis definitsioonis poleks sisse toodud miinus märki, saaks töö avaldis kuju W = V 1 V 0.

32 2.4. Dünaamika 2-63 Olgu kõik muutumatule mehaanikalisele süsteemile mõjuvad jõud konservatiivsed Nende jõudude töö süsteemi liikumisel algasendist lõppasendisse: W = V 0 V 1 Kineetilise energia teoreem: T 1 T 0 = V 0 V 1 Viimasest saame T 0 + V 0 = T 1 + V 1 ehk } T {{ + V } = const. =E Kineetilise ja potentsiaalse energia summat nimetatakse mehaanikaliseks energiaks ja tähistatakse E. Mehaanikalise energia jäävuse seadus Kui punktmasside süsteem liigub konservatiivsete jõudude mõjul siis jääb tema mehaanikaline energia konstantseks: E = T + V = const. Punktmasside süsteeme, kus kehtib mehaanikalise energia jäävuse seadus nimetatakse konservatiivseteks süsteemideks.

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid 1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Microsoft Word - biomehaanikanov docx

Microsoft Word - biomehaanikanov docx Tartu Ülikool Loodus- ja tehnoloogiateaduskond BIOMEHAANIKA ALUSED JA BIOMATERJALID Loengumaterjalid biomeditsiinitehnika ja meditsiinifüüsika magistriõppe üliõpilastele PhD, bioloogiadoktor Arved Vain

Rohkem

elastsus_opetus_2017_ptk3

elastsus_opetus_2017_ptk3 1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt

Microsoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt Bioloogia Loodusteaduslik uurimismeetod Tiina Kapten Bioloogia Teadus, mis uurib elu. bios - elu logos - teadmised Algselt võib rääkida kolmest teadusharust: Botaanika Teadus taimedest Zooloogia Teadus

Rohkem

FJT p6hivara 2019

FJT p6hivara 2019 Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018

10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018 IX OSA, 10. klass füüsika NEWTONI SEADUSED Kehade vastastikmõju on nähtus, kus ühe keha kiirus muutub mingi teise keha mõju tõttu. Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha ja ühe keha mõjul võib juhtuda

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

Microsoft Word - VG loodus

Microsoft Word - VG loodus Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava

Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava Õppeaine: Füüsika Eesmärgid: Klass: 8 1) kasutab füüsika mõisteid, füüsikalisi suurusi, seoseid ning rakendusi loodus- ja tehnikanähtuste kirjeldamisel, selgitamisel

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

PowerPointi esitlus

PowerPointi esitlus Konverents Terve iga hinna eest, 07.03.2013 Tervis ja haigus muutuvas maailmas Andres Soosaar Mis on meditsiin? Meditsiin on pikka aega olnud ruum, mille koordinaattelgedeks on tervise-haiguse eristus

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine

Rohkem

(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc)

(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc) Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Solaariumisalongides UVseadmete kiiritustiheduse mõõtmine. Tallinn 2017

Solaariumisalongides UVseadmete kiiritustiheduse mõõtmine. Tallinn 2017 Solaariumisalongides UVseadmete kiiritustiheduse mõõtmine. Tallinn 2017 1. Sissejuhatus Solaariumides antakse päevitusseansse kunstliku ultraviolettkiirgusseadme (UV-seadme) abil. Ultraviolettkiirgus on

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

DE_loeng5

DE_loeng5 Digitaalelektroonika V loeng loogikalülitused KMOP transistoridega meeldetuletus loogikalülitused TTL baasil baaslülitus inverteri tunnusjooned ja hilistumine LS lülitus kolme olekuga TTL ja avatud kollektoriga

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc) 4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid

Rohkem

A.Kitzbergi nimeline Gümnaasium Ainevaldkond Loodusained Ainevaldkonna õppeaine füüsika kursused on järgmised: 1) Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumi

A.Kitzbergi nimeline Gümnaasium Ainevaldkond Loodusained Ainevaldkonna õppeaine füüsika kursused on järgmised: 1) Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumi Ainevaldkond Loodusained Ainevaldkonna õppeaine füüsika kursused on järgmised: 1) Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika, 2) Mehaanika, 3) Elektromagnetism, 4) Energia, 5) Mikro- ja megamaailma

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend I-KLASSI ÕLIPÜÜDURITE PAIGALDUS- JA HOOLDUSJUHEND PÜÜDURI DEFINITSIOON JPR -i õlipüüdurite ülesandeks on sadevee või tööstusliku heitvee puhastamine heljumist ja õlijääkproduktidest. Püüduri ülesehitus

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

Remote Desktop Redirected Printer Doc

Remote Desktop Redirected Printer Doc VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus

Rohkem

IX klass

IX klass Keemia IX klassile Näidistöökava Õpik (Õ): Lembi Tamm, Heiki Timotheus Keemia õpik IX klassile, Avita, 2013 Töövihik (TV): Kontrolltööd (KT): Lembi Tamm, Eevi Viirsalu Keemia töövihik IX klassile I osa,

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Untitled-2

Untitled-2 Tervise Alkeemia Hiina meditsiin on aastatuhandete vanune tarkus sellest, mis on tervis ning kuidas seda luua ja hoida. Tervise Alkeemia keskuse eesmärgiks on aidata taastada harmoonia ja tasakaal inimese

Rohkem

EESTI STANDARD EVS :2003 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2:

EESTI STANDARD EVS :2003 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2: EESTI STANDARD TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2: Tanks EESTI STANDARDIKESKUS AMETLIK VÄLJAANNE EESSÕNA Eesti standard Teraskonstruktsioonid. Vedelikumahutid on välja

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Slide 1

Slide 1 Hiiumaa Mesinike Seltsing Mesilasperede talvitumine, soojusrežiim ja ainevahetus talvel Uku Pihlak Tänast üritust toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames Täna räägime: Natuke füüsikast ja keemiast

Rohkem

Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimise

Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimise Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimisel on hea teada... 5 Vintsi hooldus... 6 Garantii...

Rohkem

Tootmine_ja_tootlikkus

Tootmine_ja_tootlikkus TOOTMINE JA TOOTLIKKUS Juhan Lehepuu Leiame vastused küsimustele: Mis on sisemajanduse koguprodukt ja kuidas seda mõõdetakse? Kuidas mõjutavad sisemajanduse koguprodukti muutused elatustaset? Miks sõltub

Rohkem

Tromboos ja kuidas selle vastu võidelda

Tromboos ja  kuidas selle vastu võidelda Kasvaja Rasedus Geneetiline soodumus jne Endoteeli düsfunktsioon (trauma, ateroom) Op ravi Kateetrid, punktsioonid Rudolph Carl Virchow 1821 1902 Staas Immobilistatsioon Laienenud veenid Kasvaja Ülekaal

Rohkem

(Estonian) DM-RBCS Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8

(Estonian) DM-RBCS Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8 (Estonian) DM-RBCS001-02 Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8 SISUKORD OLULINE MÄRKUS... 3 OHUTUSE TAGAMINE... 4

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Pakendi taaskasutus jäätmekäitleja pilgu läbi Agu Remmelg Ragn-Sells AS ärijuht 30. november 2005 Teemad Ragn-Sells pakenditeenused 3 viisi pakendi liigitamiseks Kes vastutab? Veo- ja rühmapakend vs müügipakend

Rohkem

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc 1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil

Rohkem

NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa

NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse (09.06.2010) 31 lõike 2, tuleb gümnaasiumi õpilastel kooli lõpetamiseks sooritada koolieksam.

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Microsoft PowerPoint - ainevahetus.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - ainevahetus.ppt [Compatibility Mode] Triin Marandi Tartu Forseliuse Gümnaasium EHK METABOLISM organismis toimuvad omavahel ja keskkonnaga seotud keemiliste reaktsioonide kogum erinevad orgaanilised ained väliskeskkonnast sünteesivad ise kehaomased

Rohkem

Microsoft Word - vundamentide tugevdamine.doc

Microsoft Word - vundamentide tugevdamine.doc 10 Vundamentide tugevdamine. 1. Vundamentide tugevdamise põhjused 2. Tugevdamisega seotud uuringud 3. Tugevdusmeetodid 3.1 Vundamendi süvendamine 3.2 Talla laiendamine 3.3 Koormuse ülekanne vaiadele 3.4

Rohkem

Microsoft Word - FÜÜSIKA GÜMNAASIUM docx

Microsoft Word - FÜÜSIKA GÜMNAASIUM docx FÜÜSIKA AINEKAVA GÜMNAASIUMIS Gümnaasiumi füüsikaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1) kirjeldab, seletab ja ennustab loodusnähtusi ning nende tehnilisi rakendusi; 2) väärtustab füüsikateadmisi looduse,

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

EESTI STANDARD EVS-EN ISO 3381:2007 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade RAUDTEEALASED RAKENDUSED Akustika Raudteeveeremi sisemüra mõõtmine (IS

EESTI STANDARD EVS-EN ISO 3381:2007 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade RAUDTEEALASED RAKENDUSED Akustika Raudteeveeremi sisemüra mõõtmine (IS EESTI STANDARD RAUDTEEALASED RAKENDUSED Akustika Raudteeveeremi sisemüra mõõtmine Railway applications Acoustics Measurement of noise inside railbound vehicles EESTI STANDARDIKESKUS EESTI STANDARDI EESSÕNA

Rohkem

Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi

Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi 22.02.2019 Rasmus Kask SA Eesti Vabaõhumuuseum teadur Mis on väärtus? 1) hrl paljude inimeste, eriti asjatundjate (püsiv) hinnang asja, nähtuse või olendi

Rohkem

METALL

METALL 1. Plaadi arvutus 1.1 Koormused plaadile Normkoormused: kasuskoormus: q k =17 kn/m 2 Arvutuskoormused: kasuskoormus: q d =1,5*17=25,5 kn/m 2 1.2 Plaadi arvutrusskeem ja dimensioneermine Abitalade sammuks

Rohkem

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp: Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete

Rohkem

Tallinna Lastehaigla eetikakomitee juubelikonverents 16.märts 2007 Varajase elu moraalsest staatusest Andres Soosaar

Tallinna Lastehaigla eetikakomitee juubelikonverents 16.märts 2007 Varajase elu moraalsest staatusest Andres Soosaar Tallinna Lastehaigla eetikakomitee juubelikonverents 16.märts 2007 Varajase elu moraalsest staatusest Andres Soosaar TLH EK -- 10 Palju õnne ja jaksu edaspidiseks! TLH EK on teinud olulise panuse Eesti

Rohkem

Microsoft Word - Järvamaa_KOVid_rahvastiku analüüs.doc

Microsoft Word - Järvamaa_KOVid_rahvastiku analüüs.doc Töömaterjal. Rivo Noorkõiv. Käesolev töö on koostatud Siseministeeriumi poolt osutatava kohalikeomavalitsuste ühinemist toetava konsultatsioonitöö raames. Järvamaa omavalitsuste rahvastiku arengu üldtrendid

Rohkem

Pealkiri on selline

Pealkiri on selline Kuidas keerulisemad alluvad muudaksid oma käitumist, kui juht seda soovib? Jaana S. Liigand-Juhkam Millest tuleb juttu? - Kuidas enesekehtestamist suhtlemises kasutada? - Miks kardetakse ennast kehtestada?

Rohkem

Theory - LIGO-GW150914

Theory - LIGO-GW150914 LIGO-GW150914 (10 punkti) Q1-1 2015. aastal detekteeris gravitatsioonilainete observatoorium LIGO esimest korda läbi Maa leviva gravitatsioonilaine. Selle sündmuse nimega GW150914 põhjustas kaks ligikaudu

Rohkem

Kehaline Kasvatus Ainekava 6. kl. 2 h nädalas õpetaja: Siiri Sülla l trimester Kergejõustik Lähted, kiirendusjooks, süstikjooks, põlve- jala-, sääretõ

Kehaline Kasvatus Ainekava 6. kl. 2 h nädalas õpetaja: Siiri Sülla l trimester Kergejõustik Lähted, kiirendusjooks, süstikjooks, põlve- jala-, sääretõ Kehaline Kasvatus Ainekava 6. kl. 2 h nädalas Kergejõustik Lähted, kiirendusjooks, süstikjooks, põlve- jala-, sääretõste ja ristsammujooks. Jooks kurvis, tõkkejooks, ringteatejooks, täpsusjooks. Kaugushüpe-

Rohkem

master.dvi

master.dvi TARTU ÜLIKOOL Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut ELMO TEMPEL GALAKTIKA NGC 4594 HÜDRODÜNAAMILINE MUDEL Astrofüüsika magistritöö Juhendaja: dots. PEETER TENJES Tartu 2005 Sisukord 1

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Tarvikud _ Puhurid ja vaakumpumbad INW külgkanaliga Air and Vacuum Components in-eco.co.ee

Tarvikud _ Puhurid ja vaakumpumbad INW külgkanaliga Air and Vacuum Components in-eco.co.ee Tarvikud _ Puhurid ja vaakumpumbad INW külgkanaliga Air and Vacuum Components in-eco.co.ee IN-ECO, spol. s r.o. Radlinského 13 T +421 44 4304662 F +421 44 4304663 E info@in-eco.sk Õhufiltrid integreeritud

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc) ALGKLASSILAPSED 1 MINU NIMI ON MINA OLEN PRAEGU TÄNA ON 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED KIRJUTA VÕI JOONISTA SIIA KAKS KÄRNERI TÖÖRIISTA KIRJUTA SIIA SELLE TAIME 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST NIMI MIDA ISTUTASID MÕISTA,

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei

DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

KUUM! OTSI POEST ja heade hindadega! 2 49 DRESSIPLUUS tüdrukutele, värvilise kirjaga, suurused: cm DRESSIPLUUS poistele, kirja ja pealetrükiga

KUUM! OTSI POEST ja heade hindadega! 2 49 DRESSIPLUUS tüdrukutele, värvilise kirjaga, suurused: cm DRESSIPLUUS poistele, kirja ja pealetrükiga KUUM! OTSI POEST ja heade hindadega! värvilise kirjaga, poistele, kirja ja pealetrükiga, DRESSIPÜKSID värvilise aplikatsiooni ja elastsete mansettidega, DRESSIPÜKSID poistele, ühevärvilised, elastsete

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem