Mittekorrektsed ülesanded 2008

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Mittekorrektsed ülesanded 2008"

Väljavõte

1 Mittekorrektsed ülesanded 008

2 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest Sissejuhatus Lineaarne võrrand ruumis R Lineaarne algebraline võrrandisüsteem Ülesande üldisem püstitus. Operaatorvõrrand Lavrentjevi meetod Tihhonovi meetod Diferentseerimisülesanne Lineaarsed operaatorid Hilberti ruumis Momentide võrratus Mittekorrektse ülesande mõiste Ajaloolist mittekorrektsetest ülesannetest Ülesannete Gaussi sümmetriseerimine Mittekorrektsete ülesannete klassifitseerimine Ruumide valikust Näiteid mittekorrektsest ülesannetest I liiki Fredholmi integraalvõrrand I liiki Volterra integraalvõrrand I liiki Abeli integraalvõrrand Suure konditsiooniarvuga lineaarne võrrandisüsteem Diferentseerimisülesanne

3 1..6 Fourier ridade summeerimine Dirichlet ülesanne lainevõrrandi jaoks Funktsiooni analüütilise jätkamise ülesanne Cauchy ülesanne Laplace i võrrandi jaoks Soojusjuhtivuse pöördülesanne Lõplikumõõtmelisest regulariseerimisest Regularisaatori mõiste Iseregulariseerimise mõiste Diferentseerimisül. lahendamine diferentsvalemi abil Fourier ridade summeerimine Operaatorvõrr. lahendamine spektraallõike meetodiga I liiki Volterra integraalvõrrandi lahendamine Operaatorvõrr.-te iseregulariseerimine proj. meetoditega Projektsioonimeetodite kirjeldus Projekteeritud võrrandi ühene lahenduvus Projektsiooniruumi mõõtme aprioorne valik Projektsiooniruumi mõõtme valik hälbe põhjal Lisandusi koonduvusteoreemile Kaks võrratust Vähimruutude meetod Vähima vea meetod Galjorkini meetod Green i funkts. tüüpi tuumadega I liiki integraalvõrrandite Võrrandite klassi kirjeldus Integraaloperaatori väärtuste piirkond Splainide ruum Vähima vea meetod Vähimruutude meetod Galjorkini meetod

4 Regulariseerimismeetodite klass enesekaassete ül.-te jaoks 50.1 Regulariseerimismeetodite optimaalsus Regulariseerimismeetodite optimaalsuse mõiste Optimaalse meetodi veahinnang Regul. meetodi veahinnang allikataolisel hulgal Projektsioonimeetodite kvaasioptimaalsus Regul. meetodite klass enesekaasse operaatori korral) Meetodite klassi kirjeldus Lavrentjevi meetod Itereeritud Lavrentjevi meetod Ilmutatud iteratsioonimeetod Ilmutamata iteratsioonimeetod Cauchy ülesande meetod Spektraallõike meetod Regulariseerimismeetodite koonduvus Koonduvuskiirus hulgal M p,ρ,u Optim. ja asümpt. optim. meetodid hulgal M p,ρ,u Hälbeprintsiip Hälbe muutumispiirid Regulariseerimisparameetri valik ja abitulemused Hälbe monotoonsus Hälbe kriitiline tase Regulariseerimisparameetri valikureeglite kvaasioptimaalsus Kvaasioptimaalse valikureegli mõiste Täiendavad tingimused funktsioonile g r λ) Modifitseeritud hälbeprintsiip Hälbeprintsiibi numbriline realiseerimine Nõrgalt kvaasioptimaalsete valikute pere Hälbeprintsiibi tugev kvaasioptimaalsus lõpmatu

5 .5 Mitteenesekaasse operaatoriga ülesanne Ülesande seade Abitulemused Sümmetriseerimise teine variant Regulariseerimisparameetri aprioorne valik Parameetri aposterioorne valik. Hälbeprintsiip Aposterioorsete valikureeglite kvaasioptimaalsus Nõrgalt kvaasioptimaalsete valikureeglite pere Monotoonse vea reegel Regul. param. valik kvaasilahendiga ül. korral Veaga antud operaatori juht Hälbeprintsiip Param. valik mitte teada oleva või ligikaudselt teada oleva Mitte teada oleva veataseme juht Ligikaudselt teada oleva veataseme juht Normaalselt lahenduvad ülesanded Hälbeprintsiip Regulariseeritud projektsioonimeetodid Regulariseeritud projektsioonimeetodite näited Näide I liiki integraalvõrrandi lahendusmeetoditest Regulariseerimisparameetri aprioorne valik Regulariseerimisparameetri aposterioorne valik Diskretiseerimisparameetri n valik

6 Peatükk 1 Näiteid mittekorrektsetest ülesannetest ja iseregulariseerimisest 1.1 Sissejuhatus Kui modelleerime mõnda nähtust, saame ülesande matemaatilise mudeli, mis seob lähteandmeid ja otsitavaid tulemusi. Ülesanne on mittekorrektne, kui väikese lähteandmete muutuse korral lahend muutub palju. See tähendab, lahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest. See on ebameeldiv, sest mõõtmisel saadud algandmed on mõõtmisveaga. Kursuses vaatame, kuidas neid ebameeldivaid mõjusid vähendada Lineaarne võrrand ruumis R Vaatleme võrrandit au = f, kus a, f R ja u on otsitav. Lahendi ühesus sõltub kordajast a. 1) Kui a = 0, siis lahend leidub parajasti juhul, kui f = 0. Sel korral on lahendeid u lõpmata palju, see tähendab, iga u R rahuldab antud võrrandit. ) Kui a 0, siis leidub parajasti üks lahend, mis avaldub kujul u = f a. Kui vaadelda piirprotsessi a 0, siis lahendi vead suurenevad. 5

7 Kui f asemel on antud f δ nii, et f δ f δ, kus δ > 0 ja δ on väike, siis saame lähislahendi u δ = f δ. Täpsest lahendist erineb see absoluutse a vea võrra: u δ u = f δ f a δ, st. mida väiksem on a, seda suurem on a jagatis ehk seda suurem on viga. Suhteline e. relatiivne viga u δ u = f δ f u a a f = f δ f f δ f. Siit nähtub, et absoluutne viga sõltub eelkõige arvust a ja suhteline viga arvust f Lineaarne algebraline võrrandisüsteem Vaatleme algebralist võrrandisüsteemi { u ε)u = f 1 1 ε)u 1 + u = f Võrrandisüsteem on sümmeetriline, kui süsteemi maatriks A = A T. Suurused f 1 ja f on antud, u 1 ja u on otsitavad, D = ε 1 ε 1 = 1 1 ε ) = ε. Mida väiksem on ε, seda suuremad on lahendid f ε f 1 1 u 1 = = f 1 f 1 + ε), ε ε 1 f 1 1 ε f u = = f f 1 1 ε). ε ε Mõned näited. 1) Kui f 1 = f = 1, siis u 1 = 1 ε, u = 1 ε. ) Kui f 1 = 1 + ε, f = 1 ε, siis u 1 = 1 ε + 1, u = 1 ε

8 Kui ε 0, tulevad u 1 ja u hästi suured. Näiteks kui ε = 10 10, siis 1) juhul u 1 = 10 10, u = ning ) juhul u , u Omaväärtused λ on võrrandi A λi = 0 lahendid. Arvutame need. 1 λ 1 + ε 1 ε 1 λ = λ λ ε = λ λ + ε = 0, siit λ 1, = 1 ± 1 ε, mis tähendab, et λ max, λ min ε. Järelikult Näeme, et kui ε 0, siis µa). µa) = λ max λ min : ε = 4 ε. Lahendi vea hindamine Olgu u = ux 1,...,x n ). Kui on teada argumentide x i vead, kui suur on u viga? Eeldusel, et u on diferentseeruv, avaldub absoluutne viga kujul n u = u x i x i. i=1 Valime ülaltoodud näites ε = 10 n, siis u 1 = u 1 f 1, f ) = f 1 f n ) ) 10 n, u = u f 1, f ) = f f n ) ) 10 n. Leiame osatuletised: u i f j 10n, i = 1,, j = 1,. Seega Kui näiteks f 1 = f = 1, siis Kui aga f 1 = n, f = 1, siis u 1 u 10 n f 1 + f ). u 1 = 10 n, u = 10 n. u 1 = 0, u = n )1 10 n )) 10 n = 1. Saadud lahendid on väga erinevad. Tegu on tüüpilise mittekorrektse ülesandega. 7

9 1.1.3 Ülesande üldisem püstitus. Operaatorvõrrand Olgu H ja F Hilberti ruumid ning A : H F lineaarne operaator. Vaatleme operaatorvõrrandit Au = f. Element f F väljendab lähteandmeid. Kui f F asemel on teada f δ nii, et f δ f δ, siis saame lahendi u asemel elemendi u δ, mille korral Au δ = f δ. Meid huvitab, kui palju u δ erineb täpsest lahendist u. Eeldame, et A on lineaarne, siis ka A 1, kui ta leidub, on lineaarne. Edasiseks aruteluks eeldamegi, et leidub pöördoperaator A 1 ja A 1 <. Võrrandi Au = f lahendi saame, kui vasakult rakendame A 1. Saame A 1 Au = A 1 f, millest u = A 1 f. Analoogiliselt u δ = A 1 f δ. Nüüd u δ u = A 1 f δ A 1 f = A 1 f δ f) A 1 fδ f A 1 δ. Siit näeme, et lähislahendi u δ absoluutne viga sõltub operaatorist A, sest A 1 sõltub operaatorist A. Lahendi relatiivse vea leiame järgmiselt: kuna f = Au A u, siis 1 A ning seega u f u δ u u A 1 f δ A 1 f A f A A 1 f δ f. f Siin f δ f on lähteandmete relatiivne viga. Suurust µa) = A A 1 f nimetatakse operaatori A konditsiooniarvuks. Sümmeetrilise operaatori A korral saab näidata, et µa) λ max λ min, kus arvud λ on operaatori A omaväärtused. Meenutame, et operaatori A omaväärtuseks nimetatakse arvu λ, mille korral võrrandil Au = λu leidub mittetriviaalne lahend u sellist elementi u nimetatakse omaelemendiks). Nagu näha, tasub lahendi vea vähendamiseks vähendada arvu A Lavrentjevi meetod Operaatorvõrrandi Au = f lahendamisel on problemaatilised operaatori A väikesed omaväärtused. Kui näiteks λ = 0 on A omaväärtus, see tähendab, Aũ = 0 kus ũ on omaväärtusele 0 vastav omaelement), siis võrrandi Au = f 8

10 lahend pole üldse üheselt määratud. Nimelt, koos lahendiga u oleks lahendiks samuti element u + cũ, kus c on suvaline arv. Tõepoolest: Au + cũ) = Au + caũ = f + 0 = f. Olgu nüüd operaator A enesekaasne, st. A = A, ja mittenegatiivne, st. Au, u 0 iga u korral. Lühemalt, A = A 0.) Lihtne on näha, et enesekaasse mittenegatiivse operaatori omaväärtused on mittenegatiivsed. Tõepoolest, olgu u omaväärtusele λ vastav omaelement, siis λ u = λu, u = Au, u 0, millest λ 0. Sellel juhul tekib soov modifitseerida võrrandit Au = f nii, et λ min oleks võimalikult suurem. Spektrinihe ehk Lavrentjevi meetod. Olgu A = A 0. Vaatleme võrrandi Au = f asemel võrrandit A+αI)u = f, kus α > 0, α on väike. Operaatori A+αI omaväärtused on arvud kujul λ+α, kus λ on A omaväärtus, sealjuures omaelemendid jäävad samaks. Tõepoolest, võrrandid A λi)u = 0 ja A + αi λ + α)i)u = 0 on samaväärsed. Nüüd λ + α α ning samuti λ + α > λ. Niisiis muutuvad uue võrrandi omaväärtused automaatselt positiivseks ja ka suurenevad. Mida täpsemalt on f teada mida väiksem on δ), seda väiksema α võime valida. Arvu α vähenedes väheneb viga täpsete lähteandmete korral, α suurenedes väheneb viga ligikaudsete andmete korral Tihhonovi meetod Meetodi põhiidee on üleminek mitte-enesekaasselt ülesandelt enesekaassele ülesandele. Kui operaator A pole enesekaasne või pole mittenegatiivne, siis läheme ülesandelt Au = f üle ülesandele A Au = A f, see tähendab, rakendame ülesande mõlemale poolele operaatori A kaasoperaatorit A. Operaator A A on enesekaasne ja mittenegatiivne. Tõepoolest: A A) = A A = A A, A Aw, w = Aw, Aw = Aw 0. Kui λ on A A omaväärtus, siis λ u = λu, u = A Au, u = Au 0, millest λ 0. Lisame ülesandes A Au = A f operaatorile A A operaatori αi. Saame võrrandi A A + αi)u = A f. 9

11 See ongi Tihhonovi meetod. Uurime Tihhonovi meetodi veahinnagut. Kui f asemel on teada f δ, saame kasutada u δ α kui võrrandi A A + αi)u δ α = f δ lahendit. Vaatleme lisaks veel lahendit u 0 α võrrandile A A + αi)u 0 α = f. Nüüd u δ α u = u δ α u 0 α + u 0 α u u δ α u 0 α + u 0 α u = = A A + αi) 1 f δ A A + αi) 1 f + u 0 α u = = A A + αi) 1 f δ f) + u 0 α u A A + αi) 1 fδ f + u 0 α u. Saab näidata, et A A + αi) 1 1 α ning u 0 α u 0 protsessis α 0. Seega u δ α u δ α + u 0 α u. Arv α on vaja valida sõltuvalt arvust δ nii, et αδ) 0, kui δ 0. Vaja on, et lähteandmete täpsuse paranedes lahendi täpsus suureneks. Vea käitumise graafik on esitatud joonisel. Jooniselt on näha, et leidub optimaalne α. δ α 0, kui δ 0, samuti Diferentseerimisülesanne Olgu antud f C 1, ). Leida u = f C, ). Selline u leidub, sest f C 1 δ, δ) ja seega u C, ).) Olgu antud lähend f δ selliselt, et f δ f = f δ x) fx) δ. Ei pruugi leiduda f δ max x, ) või siis ei pruugi kehtida f δ C, ). Isegi kui f δ on diferentseeruv, võivad f ja f δ olla kuitahes erinevad. Jooniselt on see ilmekalt näha: f δ f on väike iga x korral, aga tuletiste erinevus on suur. Näide. f 0, f δ t) = δ sin δ t. Siis f f δ = max δ sin δ t = δ 0, t R 10

12 aga f δ t) = cos δ t, millest δ f f δ = max δ 1 cosδ t 1 = t R δ protsessis δ 0. Siin δ võib olla kuitahes väike Lineaarsed operaatorid Hilberti ruumis Meenutame, et Hilberti ruumiks nimetatakse täielikku skalaarkorrutisega ruumi. Näiteks L a, b), kus u, v = W m a, b), kus u, v = b a ut)vt) dt, u = m k=0 b a b u k) t)v k) t) dt. a u t) dt; Öeldakse, et operaator A on lineaarne, kui Aλu) = λau ja Au+v) = Au+Av kõigi kompleksarvude λ ja elementide u, v H korral. Öeldakse, et operaator A on tõkestatud, kui leidub c, et Au c u iga u H korral. Vähimat sellist arvu c nimetatakse operaatori A normiks: c = sup u H Au u. Saab näidata, et tõkestatud lineaarne operaator on pidev, see tähendab, kui u u, siis Au Au. Operaatorit A nimetatakse kompaktseks, kui ta teisendab iga tõkestatud hulga kompaktseks hulgaks. Hulka nimetatakse jadaliselt) kompaktseks, kui tema igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Vaatleme operaatorit A LH, F). Operaatori A väärtuste piirkonnaks nimetatakse hulka RA) = {f F : u H Au = f}. Operaatori A tuumaks nimetatakse hulka NA) = {u H : Au = 0}. Operaatoril A leidub pöördoperaator A 1 LF, H), kui iga f F korral leidub u H selliselt, et Au = f. Siis kirjutatakse A 1 f = u. Operaatori A LH, H) omaväärtuseks nimetatakse arvu λ, mille korral leidub u H nii, et Au = λu. Operaatorit A LH, H) nimetatakse enesekaasseks, kui A = A, see tähendab, Au, v = u, Av iga u, v H korral. Enesekaasset operaatorit A nimetatakse mittenegatiivseks, kui Au, u 0 iga u H korral; positiivseks, kui Au, u > 0 iga u H korral; positiivselt 11

13 määratuks, kui leidub arv c > 0 selliselt, et Au, u c u iga u H korral. Positiivselt määratud operaatoril leidub pidev pöördoperaator. Tõepoolest, c u Au, u Au u u 1 c Au. Nüüd A 1 f 1 c f iga f korral, millest järeldub, et A 1 1 c. Olgu A LH, F). Siis F = NA ) RA). Kui A on enesekaasne, siis H = NA) RA), see tähendab, iga u H avaldub üheselt u = u 0 + u 1, kus u 0 NA) ja u 1 RA). Olgu A lineaarne, enesekaasne, kompaktne. Kompaktsel operaatoril leidub täielik omaelementide süsteem {v i : i N}: Av { i = λ i v i. Need omaelemendid võib võtta ortonormeeritud v i, v j = δ ij = Seega iga u 1, i = j, 0, i j. esitub kujul u = u 0 + u, v k v k, kus u 0 NA). Nüüd k=1 Au = Au 0 + u, v k λ k v k = k=1 u, v k λ k v k k=1 ning induktsiooniga saame tõestada l N korral) A l u = u, v k λ l k v k. k=1 Kui A on lisaks enesekaassusele ka mittenegatiivne, st. A = A A α u = u, v k λ α k v k α on reaalarv, α 0). k=1 Kui g on tõkestatud funktsioon operaatori A spektril 0, siis σa) = C \ { µ C : A µi) 1}, siis võib defineerida ga)u = g0)u 0 + u, v k gλ k )v k. k= Momentide võrratus Olgu H Hilberti ruum ning A LH, H). 1

14 Lause 1. Kui A = A 0, siis A α u Au α u 1 α, kus 0 α 1. Tõestus. Kui α = 0 või α = 1, on see võrratus triviaalne. Juhul α 0, 1) teeme tõestuse läbi erijuhul, kus A = A > 0 ja A on kompaktne. Lähtume Hölderi võrratusest: ) 1 )1 ai b i ai p p bi q q, 1 p + 1 q = 1, p, q 1, ). Saame u = u, v k, Au = k=1 λ k u, v k, A α u = k=1 k=1 λ α k u, v k, millest võttes β = 1 α, p = 1 α, q = 1 1 α, järeldub A α u = k=1 λ α k u, v k α u, v k β = Au ) α u ) 1 α. ) α ) β λ k u, v k u, v k = Järeldus. Kui A = A 0, siis A p u A q u p q u 1 p q, kus 0 p q. Tõestus. Järeldub momentide võrratusest, võttes A asemele A q ja α = p q. Siis saame, et A p u = A q ) α u A q u α u 1 α = A q u p q u 1 p q. Märkus 3. Momentide võrratus on täpne A omaelementide peal. k=1 Tõestus. Kui v on A omaelement, siis Av = λv. Nüüd k=1 A p v = λ p v = λ p v, A q v = λ q v, millest A q v ) p q = λ q v ) p q = λ p v p q Mittekorrektse ülesande mõiste Olgu H ja F meetrilised ruumid. Vaatleme võrrandit Au = f. Seda ülesannet nimetatakse korrektselt püstitatud ülesandeks, kui on rahuldatud järgmised tingimused: 13

15 1) iga f F korral leidub lahend u H, ) lahend on ühene, 3) lahend sõltub pidevalt paremast poolest, st. kui f n f, siis vastavate lahendite jada u n u. Kui vähemalt üks tingimustest on rikutud, on tegemist mittekorrektse ülesandega. Lineaarse operaatori korral ülesanne Au = f on korrektne, kui leidub pidev pöördoperaator. Kui RA) on mittekinnine, siis ülesannet Au = f nimetatakse oluliselt mittekorrektseks Ajaloolist mittekorrektsetest ülesannetest Hadamard uuris matemaatilise füüsika võrrandite korrekselt seatust. Elliptilise võrrandi korral Dirichlet ülesanne lisaks võrrandile rajatingimus u Γ = ϕ), hüperboolse ja paraboolse võrrandi korral Cauchy ülesanne lisaks võrrandile antud algtingimus) on korrektselt seatud. Hadamard püstitas hüpoteesi, et looduses ongi kõik ülesanded korrektselt seatud. Siiski nii see ei ole. Maavarade otsimise ülesanne viib Cauchy ülesandele Laplace i võrrandi jaoks, mis on mittekorrektne ülesanne. Mittekorrektsete ülesannete teooria arendati välja Venemaal Lenini preemia Tihhonov, Ivanov, Lavrentjev mittekorrektsete ülesannete uurimise eest. Käesolevaks ajaks on uurimise raskuspunkt kandunud mujale, Austrias ja Saksamaal on tugevad tegijad Ülesannete Gaussi sümmetriseerimine Olgu H ja F Hilberti ruumid, A : H F lineaarne operaator. Vaatleme võrrandit kujul Au = f. 1.1) Rakendame võrrandi 1.1) mõlemale poolele kaasoperaatorit A : A Au = A f. 1.) Tähistame ortoprojektori Q : F RA). Siis F = NA ) RA), st. iga z F esitub üheselt kujul z = z 0 + z 1, kus Qz = z 1, Qz 0 = 0, Qz 1 = z 1. Muidugi iga u H korral Au RA), mis tähendab, et QAu = Au, seega QA = A. 14

16 Vaatleme ülesannet ning ülesannet: Au = Qf 1.3) minimiseerida funktsionaal Φu) = Au f. 1.4) Lause 4. Ülesanded 1.), 1.3) ja 1.4) on samaväärsed, st. lahendite hulgad langevad kokku. Tõestus. Tõestuseks näitame, et u 1.) lahend A. u 1.3) lahend B. u 1.4) lahend C. u 1.) lahend. A. A Au = A f A Au f) = 0 Au f NA ) QAu f) = 0 QAu = Qf Au = Qf. B. Au f = Au Qf) + Qf f) = = Au Qf + Qf f Qf f, sest Au Qf RA) ja Qf F NA ). Tuli välja, et üldiselt Φu) Qf f, aga kui u = u on Au = Qf lahend, siis Φu) = Qf f. Seega Au = Qf lahend on Φu) miinimumkoht. C. Φu + h) Φu) = Au + h) f Au f = Samas Ah lim h 0 h Ah millest järeldub, et lim h 0 h Siit järeldub, et Φ Φu + h) Φu) u) = lim h 0 h = Au f) + Ah Au f = = Au f, Ah + Ah = = A Au f), h + Ah. lim A h h 0 h = 0, = 0. Leiame Φ tuletise: = lim h 0 Φ u) = 0 A Au f) = 0. Niisiis, kui u minimiseerib Φu), siis u on 1.) lahend. 15 A Au f), h. h

17 Ülesannete lahenduvuse seisukohalt on kolm võimalust. 1) Kui f RA), siis on võrrand 1.1) lahenduv ja 1.) langeb kokku 1.1)-ga. Seega kõik ülesanded 1.1), 1.), 1.3) ja 1.4) on samaväärsed ja lahenduvad). ) Kui f / RA), aga Qf RA), siis ülesanne 1.1) pole lahenduv, aga 1.), 1.3) ja 1.4) on lahenduvad. 3) Kui f / RA) ja Qf / RA), siis ei ole ükski neist ülesannetest lahenduv Mittekorrektsete ülesannete klassifitseerimine Olgu H Hilberti ruum, A LH, H), A = A, A kompaktne operaator. Sel juhul A kompaktsuse tõttu) leidub omaväärtuste jada λ k ), kus λ k [ A, A ] ja lim k λ k = 0. Operaatori A omaelemendid u k võib valida ortonormeerituna: u k, u j = δ kj. Sealjuures iga u H saab esitada kujul u = u, u k u k. Teoreem 5 Picard i teoreem). Ülesanne 1.1) on lahenduv parajasti siis, kui f NA ) ja λ k f, u k <. See on tingimus f sileduse kohta: k=1 kuna λ 1 k, siis peab f, u k 0 hääbuma kiiremini.) Sel juhul lahend avaldub kujul u = λ 1 k f, u k u k. k=1 k=1 1. MÜ klassifitseerimise võimalus Tähistame µ = sup { ν : λ k = Ok ν ) }. Suurus µ näitab, kui kiiresti λ k hääbub. Kui 0 < µ 1, siis nimetatakse ülesannet nõrgalt mittekorrektseks. Kui 1 < µ <, siis nimetatakse ülesannet mõõdukalt mittekorrektseks. Kui µ = näiteks eksponentsiaalne kahanemine), siis nimetatakse ülesannet tugevalt mittekorrektseks. 16

18 . MÜ klassifitseerimise võimalus Vähimat arvu m, mille korral operaator D m A on pidevalt pööratav, nimetatakse ülesande Au = f mittekorrektsuse mõõduks. Näiteks diferentseerimisülesanne u = f on samaväärne integraalvõrrandiga Au = f, kus Au = t 0 us) ds. Siis Au) t) = ut). Seega 1-kordse diferentseerimisülesande mittekorrektsuse mõõt on m = 1. Siin operaatori A omaväärtused λ k 1, seega 1. klassifikatsiooni järgi µ = 1. k Kui H = L, siis võib arvu m iseloomustada võrratustega c 1 u L Au W m c u L. Kui D m A on pidevalt pööratav, H = F = L Ω), kus Ω on tõkestatud piirkond l-mõõtmelises ruumis, siis λ k = O k m l ) Ruumide valikust Formaalselt saab iga ülesannet Au = f ruumide valikuga muuta korrektseks. Kui NA) = {0}, võtame F = RA), siis iga f F korral on ülesanne lahenduv ja lahend on ühene, jääb mõelda vaid stabiilsusele. Seda saab aga garanteerida normi valikuga: võtame f F = u H. Siis A 1 f H = f F, A 1 F H = sup f F A 1 f H f F = sup f F f F f F = 1. See on ainult teoreetiline lähenemine. Ei ole lihtsalt kontrollitavat meetodit, millised f kuuluvad ruumi F. Kui andmed on ligikaudsed, siis ei saa mõõta f δ f suvalises normis. Mõõta saame näiteks ruumis C või L. Ruumide valik on ülesande poolt sageli ette dikteeritud. 1. Näiteid mittekorrektsest ülesannetest 1..1 I liiki Fredholmi integraalvõrrand Vaatleme võrrandit λut) + b a Kt, s)us) dx = ft), a s, t b. 17

19 Kui λ 0, siis on see võrrand II liiki Fredholmi integraalvõrrand; kui λ = 0, siis I liiki Fredholmi integraalvõrrand. II liiki võrrandid on korrektsed ülesanded. Veendume, et I liiki võrrandid on mittekorrektsed. Eeldame, et Kt, s) on pidev, siis leidub M selliselt, et Kt, s) M iga t, s [a, b] korral. Võtame F = H = C[a, b]. Fikseerime s a, b). Võtame ε > 0 nii, et [s ε, s+ε] [a, b]. Moodustame elemendi u ε nii, et u ε s) = 0, s / [s ε, s + ε], u ε s) = 1, u ε = max s [a,b] u εs) = 1. Tähistame f ε = Au ε, siis b f ε = max Kt, s)u ε s) ds t [a,b] a b M t [a,b] a s+ε max M s ε u ε s) ds = M max t [a,b] ds = M ε 0 +. s+ε s ε u ε s) ds Kui f ε = 0, on lahend 0. Kui vabaliikmete erinevus hääbub, siis lahendite erinevus on u ε 0 = u ε = 1. Ülesande korrektsuse kolmas tingimus stabiilsus) on seega rikutud. Kui m Kt, s) on pidev, siis λ s m k = O k m). Mida siledam tuum, seda ebakorrektsem. II liiki võrrandite lahendamisel tuleb tuuma siledus kasuks. Kui K 1, siis b a us) ds = ft). Ülesande lahenduvuse tarvilik ja piisav tingimus on, et f const, st. ei sõltu t-st. Lahendeid tuleb lõpmata palju. 1.. I liiki Volterra integraalvõrrand Vaatleme võrrandit λut) + t a Kt, s)us) ds = ft), a s, t b. Kui λ 0, siis see on II liiki Volterra integraalvõrrand, kui λ = 0, siis on I liiki. Jälle II liiki võrrand on korrektne, I liiki mittekorrektne. 18

20 Eeldame, et Kt, s) on pidevalt diferentseeruv, Kt, t) 0 iga t [a, b] korral. Diferentseerime võrrandi pooli: Kt, t)ut) + ut) + t a t a Kt, s) us) ds = f t) t Ht, s)us) ds = f t), Ht, s) = 1 Kt, t) 1 Kt, t) Kt, s). t Saime II liiki võrrandi ehk korrektse ülesande). I liiki võrrandi mittekorrektsuse mõõduks. klassifikatsiooni järgi on m = 1. Operaator A, Au)t) = b a Kt, s)us) ds, on üksühene pidevalt pööratav) ruumide paaril H = C[a, b], F = C0[a, 1 b] = { v C 1 [a, b] : va) = 0 }. Kt, s) Kui Kt, t) = 0 iga t [a, b] korral, aga t 0 iga t [a, b] s=t korral, siis kahekordse diferentseerimisega saame pidevalt pööratava operaatori D A. Mittekorrektsuse mõõt m = I liiki Abeli integraalvõrrand Vaatleme võrrandit t 0 us) ds = ft), 0 < α < 1. t s) α Lahendivalemi saame kohe välja kirjutada: sin απ f0) t ) ut) = π t + f s) ds 1 α 0 t s) 1 α Olukorras H = F = C[a, b], kui lahend leidub, siis f0) = 0, sest muidu t = 0 korral f0) =. t1 α Kuna on vaja tuletist f ja selle leidmine on mittekorrektne ülesanne, siis seda lahendivalemit eriti ei kasutata. Tähistame murrulise integraaloperaatori I 1 α 1 t us) ut) = Γ1 α) 0 t s) ds. α. 19

21 Siis saab esialgne võrrand kuju Au = f, kus Aut) = Γ1 α)i 1 α ut). Murrulise integraaloperaatori pöördoperaator on murruline diferentseerimisoperaator D 1 α, Γ1 α)ut) = D 1 α Aut). Siit näeme, et D 1 α A = Γ1 α)i H. Seega Abeli integraalvõrrandi mittekorrektsuse määr m = 1 α. Abeli integraaloperaatori omaväärtused λ k = O k α 1) Suure konditsiooniarvuga lineaarne võrrandisüsteem Vaatleme võrrandit Au = f, kus A R m n st. A on m n maatriks), f R m, u R n. Kui m = n ja det A 0, siis leidub ühene lahend. Kui f asemel on teada f δ, kus f f δ δ, siis lähislahendite erinevus A 1 f A 1 f δ = A 1 f f δ ) A 1 f fδ. Kui m n, siis vaadeldakse võrrandit A T Au = A T f. Kui det A T A 0, siis sellel võrrandil leidub ühene lahend. Kui f asemel on f δ, saame A T A ) 1 A T f A T A ) 1 A T f δ A T A ) 1 A T f f δ. Ka siin, kui A T A ) 1 A T on liiga suur, on mõttekas vaadelda ülesannet mittekorrektsena. Normaalvõrrand A T Au = A T f on alati kooskõlaline, st. lahend leidub, aga neid võib olla mitu. Olgu U 1 = { u R n : A T Au = A T f }. Vaatleme ülesannet: leida u minimaalse normiga, st. u = min u U 1 u. See ülesanne on üheselt lahenduv: u = A + f, kus A + : R n R n on pseudopöördoperaator, st. AA + A = A ja A + AA + = A +. 0

22 1..5 Diferentseerimisülesanne Tähistame T dm, kus m > 0, siis on meil operaator T : C[a, b] C[a, b]. dxm Kusjuures DT) C m [a, b]. Olgu f f δ C[a,b] δ. Diferentseerimisülesanne on mittekorrektne. Vaatleme näiteks funktsioonide jada f n x) = 1 n sin nx. Siis f n x) 0 punktiviisi. Ent d m dx mf nx) = nm 1 { sin nx, n paaris, cos nx, n paaritu Niisiis, kehtib fx) = 0, f n f ning f x) = 0, aga f n f. } = n m 1. Üldiselt, ülesanne leida f m) t), kui f i) t) = 0, i = 0,...,m 1, on samaväärne I liiki Volterra integraalvõrrandiga t 0 t s) m 1 us) ds = ft). m 1)! Selle integraaloperaatori omaväärtused λ k = O k m). Seega mittekorrektsuse mõõt on m Fourier ridade summeerimine Olgu H separaabel Hilberti ruum. Olgu u k ) ortonormeeritud süsteem. Näiteks L 0, π) puhul sobib süsteemiks 1, sin x, cos x,...,sin nx, cos nx,.... Siis iga u H on avaldatav kujul u = u, u k u k. Näiteks ruumis L a, b) on skalaarkorrutiseks u, u k = b a k=1 ut)u k t) dt. Kui ξ k = u, u k asemel on teada ligikaudsed väärtused ξ k, siis vastava lähendi u erinevus elemendist u: ) u u = ξ k u k ξ k u k = ξk ξ k uk = ). ξk ξ k k=1 k=1 Kui ξk ξ k δ, siis u u võib olla kuitahes suur, sest liidetavaid on lõpmatu arv. k=1 k=1 1

23 1..7 Dirichlet ülesanne lainevõrrandi jaoks Olgu piirkond D = {x, t) : 0 x π, 0 t απ}, kus α on konstantne. Vaatleme võrrandit u t u x = 0 piirkonnas D. Olgu rajatingimused ux, 0) = fx), 0 x π, ux, απ) = ψx), 0 x π, u0, t) = uπ, t) = 0, 0 t απ. Selle ülesande lahend ei sõltu pidevalt algandmetest. Võtame f = f n 0, ψx) = ψ n x) = 1 n sin nx 0, siis lahend on u n x, t) = 1 n sin nt sin nx. sin nπα Vaatleme olukorda, kui α on ratsionaalarv, st. α = p, p N, q N. q Kui n = q, siis nimetajas siinuse argument on nπα = qπα = pπ, seega sin nπα = 0 ehk lahend ei ole üheselt määratud. Juba sellest piisab, et ülesanne ei oleks korrektselt lahenduv. Lähteandmed hääbuvad, aga u n, seega stabiilsuse tingimus ei ole täidetud.) 1..8 Funktsiooni analüütilise jätkamise ülesanne Olgu antud funktsioon mingil piirkonna osal ja vaja on analüütiliselt jätkata teda kogu piirkonnale. Olgu D lõplik piirkond ja E tema osa. Punkt z 0 olgu piirkonna D rajapunkt, d olgu z 0 kaugus piirkonnani E, d > 0. Olgu f 1 z) piirkonnas D analüütiline funktsioon, analüütiline on ka f z) = f 1 z) + ε, kus ε on väike arv, ε > 0. Vahe f 1 z) f z) = ε z z 0 z z 0 ε d, kui z E. Kui z D, siis vahe f 1 z) f z) on tõkestamata.

24 1..9 Cauchy ülesanne Laplace i võrrandi jaoks Vaatleme võrrandit piirkonnas D R rajatingimustel u u x + u y = 0 ux, 0) = fx), u y x, 0) = ψx). Valime f 0. Kui ψ = ψ 1 0, siis lahend u 1 0. Kui ψx) = ψ x) = 1 sin ax, a a > 0, siis lahend u x, y) = 1 a sin ax sinh ay, kus sinh ay = eay e ay. Mis juhtub, kui a? sup ψ 1 x) ψ x) = sup 1 sin ax x x a = 1 a 0, sup u 1 x, y) u x, y) = 1 x a sup sin ax sinh ay = 1 x a eay e ay protsessis a. Seega lähislahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest Soojusjuhtivuse pöördülesanne Vaatleme tõkestatud piirkonnas D R n võrrandit u n t = k=1 x k ax) u ), ax) > 0, x D, 0 t T x k rajatingimusel ux, t) = 0, x Γ raja), 0 t T, kus t on aeg. Otsene ülesanne on sel juhul, kui on antud veel ux, 0) = ϕx), x D ning huvitab tulevik: teame algtemperatuuri ux, 0), huvitab ux, t), t > 0. Pöördülesanne on juhul, kui antud veel ux, T) = ϕx), x D ning huvitab minevik: teame lõpptemperatuuri ux, T), huvitab ux, t), t < T. Otsene ülesanne on korrektne, pöördülesanne mittekorrektne. Vaatleme pöördülesande juhtu n = 1, a 1, siis on võrrand koos tingi- 3

25 mustega: u t = u x, x [0, 1], t [0, T], u0, t) = 0, t [0, T], u1, t) = 0, t [0, T], ux, T) = ϕx), x [0, 1]. Kui ϕ = ϕ 1 0, siis u = u 1 0. Kas see on ühene lahend?) Kui ϕx) = ϕ x) = 1 sin nπx 0 protsessis n, siis lahend n Seega sup ϕ 1 x) ϕ x) 0, aga x sup x protsessis n. u n x, t) = 1 n en π T t) sin nπx. u 1 x, t) u n x, t) = sup u n x, t) = 1 π T t) x n en 1.3 Lõplikumõõtmelisest regulariseerimisest Regularisaatori mõiste Olgu H ja F Banachi ruumid ning A : H F. Vaatleme ülesannet Au = f. 1.5) Eeldame, et f RA) st. lahendeid leidub), NA) võib olla mittetriviaalne. Tähistame kõigi lahendite hulga A 1 f. Kui f asemel on teada f δ, ei pruugi kehtida f δ RA). Definitsioon 6. Ülesande 1.5) regularisaatoriks nimetatakse operaatorite peret R δ : F H, 0 δ δ 0, mille korral on rahuldatud tingimus sup dist R δ f δ, A 1 f ) 0, f δ F f δ f δ inf u H, Au=f kui δ 0, iga f RA) korral. Meenutame, et on defineeritud dist R δ f δ, A 1 f ) = R δ f δ u.) Kui regularisaator leidub, siis nimetatakse ülesannet regulariseeritavaks. 4

26 Leidub tuumi esimest liiki integraalvõrrandi b a Kt, s)us) ds = ft) jaoks, mille korral ülesanne pole regulariseeritav, kui operaator A tegutseb A : C L. Regularisaatori olemasolu on garanteeritud, kui ruum H on refleksiivne, st. H = H näiteks L p, 1 < p < ). Üldiselt mittekorrektsed ülesanded tekivad lõpmatumõõtmelistes ruumides. Näitame, et võttes lähislahendid lõplikumõõtmelisest ruumist saab tihti lähislahendite jada koonduma Iseregulariseerimise mõiste Praktikas on ülesannet tihti vaja diskretiseerida. Võib lähendada lahendit u lõplikumõõtmelise vektoriga y = y 1,...,y n ), kus y i ut i ), kui u = ut), n või funktsiooniga u n = c i ϕ i, kus ϕ i on baasifunktsioonid. Mõlemal juhul k=1 saab vaadelda lõplikumõõtmelist ülesannet A n u 0 n = Q n f, kus A n : H n F n, H n H, F n F ja Q n : F F n on projektor ning u 0 n on lähislahend täpse f korral. Korrektse ülesande puhul koonduvustingimused u 0 n u n ), kus u on Au = f lahend, on vähekitsendavad. Mittekorrektse ülesande korral on nad paljukitsendavad. Kui siiski leiab aset koondumine, on diskretiseerimisalgoritm kasutatav regularisaatorina, kui vaid diskretiseerimissamm sobivalt lähteandmete veatasemega δ f δ f δ) kohandada. Sellist regulariseerimist diskretiseerimise abil nimetatakse iseregulariseerimiseks. Lause 7. Olgu A lineaarne. Kui võrranditel A n u 0 n = Q nf ja A n u n = Q n f δ leiduvad ühesed lahendid ning u 0 n u, siis valides n = nδ) nii, et nδ), aga A 1 n Q n δ 0 protsessis δ 0, saame koonduvuse unδ) u 0 δ 0). See tähendab, just selle, mis iseregulariseerimise mõistes kirjas.) Tõestus. Lause eeldustel u n u = A 1 n Q nf δ A 1 n Q nf + u 0 n u A 1 n Q nf δ f) + u 0 n u A 1 n Q n fδ f + u 0 n u A 1 δ + u 0 n u 0. n Q n 5

27 1.3.3 Diferentseerimisülesande lahendamine diferentsvalemi abil Vaja leida ut) = f t), f C 1 [0, 1]. Antud on f δ nii, et f δ f C δ. Toome sisse diferentseerimisoperaatori 1 h ft + h) ft)), 0 < t h, 1 h ft) = f t + h ) f t h )) h, h < t < 1 h, 1 h ft) ft h)), 1 h t < 1. Sileda funktsiooni f korral h f f protsessis h 0. Kui f on küllalt sile, siis saame h f δ f = h f δ h f + h f f h f δ f) + h f f 1.6) h δ + oh), kusjuures h = sup h f = f =1 h. Seega h f δ f 0, kui hδ) valida sõltuvalt arvust δ nii, et hδ) 0 ja δ hδ) 0 protsessis δ 0. Näiteks sobib hδ) = δν, kus 0 < ν < 1. Kui f C M, siis h f f Mh ja veahinnangu 1.6) paremal pool on δ h + Mh = ψh). Võtame eesmärgiks valida h nii, et see minimiseeriks ψh). Saame, et ψ h) = δ h + M = 0, millest h = 4δ δ M ning h = M. Sel juhul ψh) = δ δm + M M = δm. Ilmneb, et kui lähteandmed võtta täpsusega δ, siis tuletise saame täpsusega δ. Mittekorrektsete ülesannete korral on tüüpiline, et lahendi saame väiksema täpsusega kui lähteandmed. Kui lähendame f m) t) diferentsvalemiga ) täpsusega O h p ), siis koguviga δ f δ kasutamisel on O h + m hp. Valides h nii, et δ h m hp st. h δ 1 m+p ), saa- 6

28 ) me koguvea O δ p p+m. Kui m suureneb, siis täpsus väheneb. Kui p suureneb, siis täpsus suureneb samuti Fourier ridade summeerimine Olgu u k ) ortonormeeritud baas, u = u, u k u k. Kui ξ k = u, u k asemel on k=1 teada ξ k, ξk ξ k < δ, siis sellele vastab u = ξ k u k. Võtame lähislahendiks u n = u n u = = n ξ k u k, siis k=1 k=1 n n n ξ k u k ξ k u k + ξ k u k ξ k u k k=1 k=1 k=1 k=1 n ) ξk ξ k uk + ξ k u k = k=1 k=n+1 n )1 ) ξk ξ k + ξ k u k k=1 nδ + o n 1), k=n+1 sest rida koondub. Seega u nδ) u 0, kui n = nδ) valida nii, et nδ), nδ 0 protsessis δ Operaatorvõrrandi lahendamine spektraallõike meetodiga Olgu H = F, A LH) kompaktne, A = A 0. Operaatori A omaväärtused λ k rahuldavad seost Av k = λ k v k, kus v k on λ k -le vastav omaelement. Elemendid v k valime ortonormeeritud, arvud λ k valime kahanevas järjekorras selline omaväärtuste jada leidub kompaktse operaatori korral): λ 1 λ... λ n 0. Eeldame, et võrrandil Au = f leidub lahend. Siis lahend avaldub Picard i 7

29 teoreemi vt. teoreem 5) kohaselt kujul u = λ 1 k f, v k v k. Võtame lähislahendiks u n = u n u = n k=1 n k=1 n k=1 k=1 λ 1 k f δ, v k v k λ 1 k max 1 k n λ 1 k δ λ n + o n 1). λ 1 k f δ, v k v k. Siis n n λ 1 k f, v k v k + λ 1 k f, v k v k u k=1 k=1 f δ f, v k v k + λ 1 k f, v k v k k=n+1 ) fδ f ) 1 + o n 1) Rea jääkliige koondub seetõttu, et eeldasime lahendi olemasolu.) Seega u n u 0 on garanteeritud, kui n = nδ) valida nii, et nδ) ja δ λ n 0 protsessis δ 0. Vaatleme veel juhtu, kui täpne lahend esitub kujul u = A p w, w H, p > 0. Siis Siis Veahinnang f, v k = A p+1 w, v k = w, A p+1 v k = w, λ p+1 k v k = λ p+1 k w, v k. k=1 λ 1 k on minimaalne, kui ) δ p p+1. järku O f, v k v k = k=1 max k n+1 λp k λ 1+p+1 k λ p n+1 w. k=n+1 w, v k v k w, v k v k δ + λ p n+1 w δ + λ p n λ n λ w. n δ λ p λ n, st. λ p+1 n δ ehk λ n δ 1 p+1. Siis on veahinnang n 8

30 Mida suurem on p, seda kõrgemat järku veahinnangu saame. Päris Oδ) kätte ei saa I liiki Volterra integraalvõrrandi lahendamine kvadratuurvalemite meetodiga Vaatleme võrrandit t 0 Kt, s)us) ds = ft), 0 s t 1. Olgu Kt, s) pidev, t järgi diferentseeruv, Kt, t) 0 kogu diagonaalil t [0, 1]. Kvadratuurvalemite meetod seisneb selles, et t asemel vaadeldakse punkte t i = ih, i = 0,...,n, nh = 1. Integraal lähendatakse järgmiselt: 1 0 Φs) ds = n c j Φt j ). j=1 Integraalvõrrandi aproksimeerimisel kvadratuurvalemiga saame i c ij K ij y j = f i, i = 0, 1,..., j=0 kus f i = ft i ), y j us j ), s j = jh, K ij = Kt i, s j ). Trapetsvalemis valitakse kaalud c i0 = c ii = h ning c i1 = = c i,i 1 = h. Volterra võrrandis on lähislahendid võimalik saada rekurrentselt. Lähendi y 0 saamiseks diferentseerime võrrandit: Kt, t)ut) + t 0 Kt, s) t us) ds = f t). Siit t = 0 korral K0, 0)u0) = f 0), millest y 0 = f 0) K 00. Valime kvadratuurvalemis i = 1, siis c 10 K 10 y 0 + c 11 K 11 y 1 = f 1. 9

31 Siit leiame y 1 : Analoogiliselt jätkame, leides y 1 = 1 c 11 K 11 f 1 c 10 K 10 y 0 ). y i = 1 c ii K ii ) i 1 f i c ij K ij y j. Kasutades trapetsvalemit, leidsime Volterra integraalvõrrandi lahendi rekurrentselt. j=0 Trapetsvalem Keskmine ristkülikvalem Keskmine ristkülikvalem Võrrand aproksimeeritakse kujule kus s j+ 1 i 1 h K i,j+ 1y j+ 1 j=0 = s j + h ja K i,j+ 1 Kui i = 1, siis saame y 1 Üldiselt, y i 1 = 1 hk i,i 1 = K = f 1 hk 1, 1 = f i, i = 1,,..., t i, s j+ 1. i f i h j=0 ). K i,j+ 1y j+ 1 Kui f δ f C δ, siis küllalt sileda u korral y i ut i ) c h + δ ) h kehtib nii trapetsvalemi kui ka keskmise ristkülikvalemi jaoks. Veahinnang on optimaalne, kui h δ h ehk h3 δ ehk h δ 1 3, siis veahinnang on O δ 3 30 ). ).

32 O Kasutades vasak- või parempoolset ristkülikvalemit, tuleb veahinnang h + δ ) ), siis valik h δ 1 annab veahinnanguks O δ 1. h 1.4 Operaatorvõrrandite iseregulariseerimine projektsioonimeetoditega Olgu H ja F Hilberti ruumid, A LH, F). Vaatleme ülesannet Au = f Projektsioonimeetodite kirjeldus Olgu ruumid H n ja F n lõplikumõõtmelised ja võrdse dimensiooniga, H n H, F n F. Vaatleme projekteeritud võrrandit A n u n = Q n f, kus Q n on ortoprojektor F F n. Seega Q n = Q n = Q n. Olgu P n ortoprojektor H H n. Siis A n = Q n AP n LH n, F n ). Saame, et u n H n rahuldab seoseid A n u n = Q n f Q n Au n f) = 0 Au n f, z n = 0 z n F n Projekteeritud võrrandi ühene lahenduvus > 0. Siis projektee- Q n Au n Lemma 8. Olgu NA) H n = {0} ja τ n = inf u n H n Au n ritud võrrandis A n on pööratav ja κ n A 1 κ n n, kus τ n Tõestus. Olgu w n H n suvaline. Siis v n κ n = sup v n H n Av n. Q n Aw n = A n w n τ n Aw n τ n κ n w n. Operaatori A n üksühesus tuleb eeldusest NA) H n = {0}. Seega on A n : H n F n pööratav.) Võttes z n = A n w n, saame z n τ n A 1 n κ z n, n 31

33 seega A 1 κ n n. Olgu v n H n element, mille korral κ n definitsioonis τ n saavutatakse maksimum H n on lõplikumõõtmeline). Siis A n v n Seega A 1 n κn. = Q n Av n Q n Av n = Av n = v n = κ n κn 1 A 1 n An v n. = A 1 n A nv n κ n Vaatleme kaasoperaatorit A LF, H). Saame, et A n = Q nap n ) = P n A Q n = P na Q n, kus seetõttu, et P n ja Q n on ortoprojektorid, kehtivad P n = P n ja Q n = Q n. Lemma 9. Olgu NA ) F n = {0} ja τn = inf P n A z n z n F n A z n pidevalt pööratav ja kehtivad hinnangud κn A 1 κ n n, τn > 0. Siis A n on kus κn = sup z n z n F n A z n. Lisaks kehtivad seosed A 1 n Q n A 1 =, A 1 τn n Q n AI P n ) = σ n, kus σn = I P n )A z n sup, ja 1 = 1 + σ z n F n P n A z n τn n )) 1. Tõestus. Olgu z n F n. Siis A n z n = P n A Q n z n = P n A z n Olgu z n = A n ) 1 v n, v n H n. Siis millest A 1 = A n ) 1 κ n. n τn A z n τ n z κn n. A n ) 1 v n κ n v τn n, τ n 3

34 Olgu z n F n selline, et κn = z n A z n supreemum saavutatakse F n lõplikumõõtmelisuse tõttu), see tähendab A n z n kust A 1 = A n ) 1 κn. n = P n A z n P n A z n = z n = κn A = n ) 1 A nz n A n ) 1 A n z n, κ n On teada, et kompaktse enesekaasse operaatori B korral B = max λ B, kus λ B on B omaväärtus vt. E. Oja, P. Oja Funktsionaalanalüüs 1991, lk. 74). Võttes B n = A 1 n Q n A ja B = B n Bn, saame λ B = λ B n ning B n = λ 1 n kus λ n on operaatori B LH n, H n ) suurim omaväärtus. Olgu v n vastav omaelement, siis A 1 n Q naa Q n A n ) 1 v n = λ n v n. Tähistame x n = A n ) 1 v n, siis A 1 n Q n AA Q n x n = λ n A nx n ehk Q n AA Q n x n = λ n A n A nx n. On üldine fakt, et operaatori B = B LH, H) suurim omaväärtus λ Bv, v rahuldab seost λ = sup v H v, v. Seega Q n AA Q n z n, z n A Q n z n λ n = sup = sup z n F n A nz n, A nz n z n F n A nz n kuna Q n z n = z n. Seega võrdus A 1 n Q na = 1 σ n saadakse analoogiliselt. τ n κ n A z n = sup z n F n P n A z n = 1 τn), on näidatud. Võrdus A 1 n Q na I P n ) = Lõpuks, ) 1 A z n = sup z n F n P n A z n = sup P n A z n + I P n )A z n z n F n P n A z n = τ n = 1 + sup z n F n I P n )A z n P n A z n = 1 + σ n ) Projektsiooniruumi mõõtme aprioorne valik Teoreem 10. Olgu A LH, F), kus H ja F on Hilberti ruumid. Olgu f RA) ning f δ f δ. Olgu täidetud järgmised tingimused: 1 P n u u 0 n ) iga u H korral, 33

35 NA ) F n = {0}, kui n n 0, 3 P n A z n τ A z n iga z n F n korral, kus n n 0 ja τ = const > 0. Siis kehtivad järgmised väited. 1) Võrrandil Au = f leidub ühene lahend u H ning projekteeritud võrrandil A n u n = Q n f leidub ühene lahend u n H n, kui n n 0. ) Kui valida n = nδ) nii, et nδ), aga δ κ nδ) 0, siis unδ) u 0 protsessis δ 0. Tõestus. 1) Projekteeritud võrrandi ühese lahendi garanteerib tingimus vt. lemma 9). Lahendi u leidumine on samaväärne sisalduvusega f RA). Oletame vastuväiteliselt, et leidub u 0 H nii, et u 0 0, aga Au 0 = 0. Võrrandil A nz n = P n u 0 leidub n n 0 korral täpselt üks lahend z n F 0. Tingimuse 1 kohaselt P n A z n = P n u 0 u 0 n ). Tingimusest 3 saame, et A z n 1 τ P na z n const, kuna paremal asuv jada koondub. Seega on jada A z n ) tõkestatud. Tõkestatud jada sisaldab nõrgalt koonduva osajada, st. leidub v nii, et minnes üle osajadale) A z n w v. Kuna -nõrk topoloogia on eralduv ning korraga P n A z n w u 0 ja P n A z n w v seega ka w -topoloogias), siis v = u 0. Niisiis A z n w u 0. Nüüd samal ajal A z n, u 0 u 0 ja A z n, u 0 = z n, Au 0 = z n, 0 = 0. Siit järeldub, et u 0 = 0, mis on vastuolus eeldusega u 0 0. Järelikult sellist elementi u 0 ei leidu. ) Tingimus A n u n = Q n f δ annab seetõttu, et f = Au ja A n = Q n AP n : A n u n P n u ) = Q n f δ f) + Q n Au P n u ). Sellele võrdusele operaatorit A 1 n rakendades saame u n P n u = A 1 n Q nf δ f) + A 1 n Q nau P n u ) = = A 1 n Q n f δ f) + A 1 n Q n AI P n )I P n )u. 34

36 Järelikult kasutades lemmat 9, saame u n u u n P n u + P n u u A 1 n Qn f δ f + A 1 n Q n AI P n ) I Pn )u + + I P n )u = = A 1 n fδ f σn ) I P n)u = = ) A 1 1 n fδ f τn) 1 I P n )u κ 1 τ n n) δ I P τn τn n )u. Mõlemad liidetavad hääbuvad n = nδ) valikureegli tõttu protsessis δ Projektsiooniruumi mõõtme valik hälbe põhjal Teoreem 11. Olgu f RA), f δ f δ ning kehtigu veel järgmised viis tingimust: 1 u P n u 0 iga u H korral, NA) H n = {0}, kui n n 0, 3 Q n Av n τ Av n mingi konstandi τ > 0 korral, kus v n H n ja n n 0, 4 P n A z n τ A z n mingi konstandi τ > 0 korral, kus z n F n ja n n 0, 5 κ n+1 I Q n )A γ = const, kus Q n on ortoprojektor F AH n) ja n n 0. Siis kehtivad järgmised väited. 1) Võrrandil Au = f leidub täpselt üks lahend u H, projekteeritud võrrandil leidub täpselt üks lahend u n = H n, kui n n 0. ) Kui arv n = nδ) valida jadast 1,,... selliselt, et nδ) on esimene selline naturaalarv, mille korral projekteeritud võrrand on üheselt lahenduv ja Au n f δ bδ, kus b = const > 1 τ, siis unδ) u 0 protsessis δ 0. 35

37 Tõestus. Teoreemi 10 tõestusest saame n n 0 korral hinnangu seekord hindasime A 1 lemma 9 alusel) n u n u κ n τ δ + c I P n )u. Saab näidata see pole väga lihtne), et kui on rahuldatud tingimused ja 3, siis projekteeritud võrrandi A n u n = Q n f δ lahendi u n hälbe jaoks kehtib hinnang Au n f δ 1 τ 1 n Minnes piirile, saame dist f δ, AH n )) = 1 τ 1 n min f δ Av n. v n H n lim Au n f δ lim min f δ Av n f δ Au δ. n n v n H n Seega n valik hälbeprintsiibi abil on teostatav. Tähistame m = nδ) 1. Siis bδ < Au m f δ τ 1 dist f δ, AH m )) τ 1 δ + dist f, AH m ))), millest seetõttu, et I Q m )AP mu = 0 kuivõrd AP m u AH m )), tuleb 5 põhjal b τ 1 ) δ < τ 1 dist f, AH m )) = τ 1 f Q m Au = Oleme saanud, et = τ 1 I Q m)ai P m )u τ 1 I Q m )A I P m)u τ 1 γ κ 1 nδ) I Pnδ) 1 )u. u n u γ bτ 1)τ I P n 1)u + c I P n )u. 1.7) Kui nδ), siis see hinnang annab koonduvuse. Kui nδ k ) l = const mingi jada δ k 0 k ) korral, siis u nδk ) paiknevad lõplikumõõtmelises alamruumis ruumide H n, n = 1,..., l, lineaarses kattes. Hinnangu 1.7) põhjal on jada u nδk )) tõkestatud, seega suhteliselt kompaktne ruumis H. Kuna Aunδ) f δ bδ, siis Aunδk ) f = Au k ) hälbed koonduvad). Seega ka u nδk ) u k ). Märkus 1. Kui H n+1 H n iga n korral, siis n l parajasti siis, kui u H l. 36

38 1.4.5 Lisandusi koonduvusteoreemile Lause 13. 1) Kui on rahuldatud tingimus 3 ja mingi α 0, 1) korral kehtib 6 κn α I Pn )A A) α γ = const n n0 ), siis kehtib 4, kus τ = τ τ α + γ ) 1 α. ) Kui on rahuldatud 4 ning leidub α 0, 1) nii, et kehtib 7 κ n )α I Q n )AA ) α γ = const n n 0 ), siis kehtib 3, kus τ = τ τ ) α + γ ) ) 1 α. Tõestus. Tõestame väite ). Kasutame operaatori A polaaresitust: A = AA ) 1 U, kus U LH, F) on osalise isomeetria operaator, st. Uv v iga v H korral. Tähistame B = AA ) 1 LF, F), siis A = BU. Siis momentide võrratust kasutades saame, et 1 τ n = sup v n H n Av n Q n Av n = sup z n UH n) Bz n Q n Bz n = Q n Bz n + I Q n )Bz n = sup z n UH n) Q n Bz n = I Q n )Bz n = 1 + sup z n UH n) Q n Bz n 1 + I Q n )B α 1 + I Q n )B α sup z n UH n) sup z n UH n) B 1 α z n Q n Bz n Bz n 1 α) z n α Q n Bz n 1 α) QBz n α. Osutub, et ning sup z n UH n z n Q n Bz n = sup v n H n sup z n UH n Bz n Q n Bz n = 1 τ n v n Q n Av n = sup v n H n v n A n v n = A 1 κ n n. τ n 37

39 Seetõttu tingimuse 7 tõttu ) 1 α ) 1 1 κ 1 + I Q n )B α α n 1 + τ n τ n τ n γ ) τ 1 α) n τ ) α. Siit nähtub, et 1 1 on tõkestatud. Tõepoolest, kui n ), siis ) τ n τ n 1 α ) 1 1 = o, mis on vastuolus viimase võrratusega. τ n τ n Vaja on näidata, et mis on samaväärne sellega, et 1 τ n Tähistame x = 1 τ n ) ja c = γ ) τ ) α. τ n τ τ ) α + γ ) ) 1 α, τ ) α + γ ) ) 1 ) α τ ) = 1 + γ ) 1 α τ ) α. Ülesanne. Näidata, et 0 < x 1 + cx 1 α x 1 + c) 1 α. 1) osa tõestus tuleb duaalsust kasutades analoogiliselt. Lemma 14. Olgu H = F, H n = F n ja A = A > 0. Kui leidub α 0, 1) nii, et siis Siin τ = 1 + γ ) 1 α, kui α κ α n I P n)a α γ = const, n = 1,,..., P n Av n τ Av n, v n H n, n 1. 0, 1 ] ning τ = 1 + γ) 1α, kui α 1, 1 ). Tõestus. Analoogiline lause 13 tõestusega Kaks võrratust Lemma 15. Olgu B = B 0, B LH, H). Siis I P n )B p I P n )B q p q, 0 < p q. 38

40 Tõestus. Kuna B ja P n on enesekaassed ning operaatori ja kaasoperaatori normid võrduvad, siis I P n )B p = B p I P n )) = B p I P n ). Sama saame teha tõestatava võrratuse paremal pool seisva avaldisega. Momentide võrratuse põhjal B p I P n )v B q I P n )v p q I Pn )v 1 p q B q I P n ) p q v p q I Pn 1 p q v 1 p q = = B q I P n ) p q v. Seega B p I P n ) B q 1 P n ) p q. Lemma 16. Olgu Q n ortoprojektor F AH n). Siis I Q n)a I Pn )A A) α 1 α, α > 0. Tõestus. Vaatleme olukorda α = 1, m N. Sellest piisaks, sest siis lemmas m 15 valides B = A A) 1 saame I P n )B 1 m m I P n )B α 1 1 α, m < α. Olgu polaaresitus A = UB = UA A) 1, kus U on osaline isomeetria, U = 1, ning olgu P n ortoprojektor H BH n ). Kuna UP nh n ) AH n ), siis I Q n )UP n = 0. Seega Järelikult I Q n )A = I Q n )UB = I Q n )UI P n )B. I Q n )A = I Q n )UI P n )B I Q n U I P n)b I P n)b. Tähistame P n j) ortoprojektori H B j m Hn, j = 0, 1,..., m. Siis P n 0) P n m) = P n. = P n ja Kuna RB 1 m P j 1) n ) B j m Hn ), siis ) 1 I P j) n B m P j 1) n = 0, j = 1,..., m. 1.8) 39

41 Seega I P n )B = I P m) n = ) I P n m) 1 B m ) B = I P m) n ) 1 I P m 1) n B m ) B m IB m I...B m }{{} = m tükki I P m ) n ) ) 1 I P 1) n B m. Hindame iga liiget eraldi: kuna projektor ja B on enesekaassed, võib nad normi all vahetada, ) I P n j) 1 B m = ) I P n j) 1 ) B m I P j 1) n I P j) 1 ) n B m I P j 1) n... ) I P 0) 1 B m = I P n )B 1 m. Kokkuvõttes oleme näidanud, et I Q n ) A I P n I )B Pn ) B 1 m m, tõestuse alguses on aga märgitud, et sellest piisab võrratuse I Q n)a I Pn )A A) α 1 α põhjendamiseks iga reaalarvu α > 0 jaoks. Järeldus 17. Tingimus 5 teoreemist 11 on rahuldatud, kui kehtib I Pn )A A) α γ, n n0. mingi α > 0 korral. κ α n+1 n Vähimruutude meetod Otsime elementi u n H n, mis minimiseerib Av n f δ väärtuse, kus v n H n. See on samaväärne u n H n otsimisega, mis rahuldab Au n f δ, Av n = 0 iga v n H n korral. Siis Q n : F AH n ), mis tähendab, et F n = AH n ). Lahend u n leidub iga n = 1,,... korral ja on ainus, kui NA) H n = {0}. Teoreemi 11 tingimus 3 on rahuldatud, τ = 1, n 0 = 1. Kui on antud H n baas n {ϕ 1,...,ϕ n }, siis u n H n esitub kujul u n = c i ϕ i. Projekteeritud võrrandi tingimus on kujul i=1 Au n f δ, Aϕ j = 0 j = 1,...,n, 40

42 millesse u n asendades saame n A c i ϕ i f δ, Aϕ j = 0 j = 1,..., n i=1 ehk n c i Aϕ i, Aϕ j = f δ, Aϕ j i=1 j = 1,...,n. See on sümmeetriline lineaarne algebraline võrrandisüsteem kordajate c i määramiseks. Teoreem 18. Olgu NA) = {0}, f RA), u P n u 0 n ) iga u H korral. Leidugu arv α > 0 selliselt, et κ n + κ n+1 ) α I Pn )A A) α γ = const, n = 1,, ) Kui n = nδ) valida nii, et nδ), κ nδ) δ 0 δ 0), siis unδ) u 0 protsessis δ 0. Sama koonduvus leiab aset n = nδ) valikul hälbeprintsiibist: n on esimene arvudest 1,,..., mille korral Au n f δ bδ, b > 1. Lemmadest 8 ja 9 järeldub, et vähimruutude meetodis alati κ n κ n, aga tingimusel 1.9) kehtib samuti κ n κ n τ. Tõestus. Esimese poole tõestamiseks piisab viidata teoreemile 10. Teine pool tuleb teoreemist 11 3 täidetud triviaalselt τ = 1 korral; 3 ja 1.9) 4 ; 5 on rahuldatud järelduse põhjal) Vähima vea meetod Täpse f korral otsime u n = P n u, st. u n u v n u iga v n H n korral. Nimelt, kehtib u n u u P n u, et aga minimiseerida, valime P n u = u n.) Selleks leiame u n nii, et u n u, v n = 0 iga v n H n korral. Kui H n baas on {ϕ 1,...,ϕ n }, siis tuleb u n leida selliselt, et u n u, ϕ j = 0 iga ϕ j korral, j = 1,...,n. Meetodi rakendamisel on probleemiks see, et ei tea elementi u, mida projekteerida. Eeldame korraks, et leidub A pöördoperaator. Siis saaks kirjutada A 1 A u n u ),ϕ j = 0 j = 1,..., n. 41

43 Kuna Au = f, siis saaksime Aun f, A 1) ϕ j = 0 j = 1,...,n. Tähistame ψ j = A ) 1 ϕ j siis ϕ j = A ψ j ), nende elementide leidmisega on raskusi. Igatahes, siit aga selgus, et kui on ette võetud ψ j F n, siis H n baasielemendid saame A rakendamisel. Seega H n = A F n ) ja teoreemi 11 tingimus 4 on automaatselt täidetud. Loobume siis kitsendavast eeldusest, et leidub A pöördoperaator. Olgu n F n baas {ψ 1,..., ψ n }. Siis u n = c i A ψ i. Projekteerimise tingimus on i=1 Au n f δ, ψ j = 0 j = 1,...,n. Tõepoolest, Q n Au n = Q n f δ Q n Au n f δ ) = 0 Au n f δ, ψ j ) = 0 j = 1,..., n. Seega teisendades A n c i A ψ i, ψ j = f δ, ψ j ) j = 1,..., n i=1 ehk n c i A ψ i, A ψ j = f δ, ψ j i=1 j = 1,...,n. See on sümmeetriline lineaarne algebraline võrrandisüsteem kordajate c i leidmiseks. Teoreem 19. Olgu NA) = {0}, NA ) = {0}, f RA), ruumid F n olgu piirtihedad ruumis F see tähendab, z Q n z 0 iga z F korral). sup z n F n Siis kui n = nδ) valida nii, et nδ), δ κnδ) 0 kus κn := z n A z n ), siis unδ) u n 0 protsessis δ 0. Sama koonduvus kehtib n valikul hälbeprintsiibist: n = nδ) on esimene arvudest 1,,..., mille korral Au n f δ < bδ, kus b = const > 1 + γ ) ) 1 α, kui leidub α > 0 selliselt, et κ n )α I Qn )AA ) α γ = const ning ) κ α I n+1 Qn )AA ) α const. 4

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

my_lauluema

my_lauluema Lauluema Lehiste toomisel A. Annisti tekst rahvaluule õhjal Ester Mägi (1983) Soran Alt q = 144 Oh se da ke na ke va de ta, ae ga i lust üü ri kes ta! üü ri kes ta! 3 Ju ba on leh tis lei na kas ke, hal

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation SUVISE RUUMITEMPERATUURI KONTROLL METOODIKA UUENDUSED Raimo Simson 23.04.19 MÕNED FAKTID Viimase 50 aastaga on Eesti suve keskmine temperatuur tõusnud ca 1.5K Aasta maksimumtemperatuurid on tõusnud ca

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.

Rohkem

lcs05-l3.dvi

lcs05-l3.dvi LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

loeng2

loeng2 Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritö

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritö TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritöö finants- ja kindlustusmatemaatika erialal (30 EAP)

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Mida me teame? Margus Niitsoo

Mida me teame? Margus Niitsoo Mida me teame? Margus Niitsoo Tänased teemad Tagasisidest Õppimisest TÜ informaatika esmakursuslased Väljalangevusest Üle kogu Ülikooli TÜ informaatika + IT Kokkuvõte Tagasisidest NB! Tagasiside Tagasiside

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel

Rohkem

Lasteendokrinoloogia aktuaalsed küsimused

Lasteendokrinoloogia aktuaalsed küsimused Haigusjuht nooruki androloogiast lasteendokrinoloogi pilgu läbi Aleksandr Peet SA TÜK Lastekliinik aleksandr.peet@kliinikum.ee Neuroloogi jälgimisel vanuseni 13 a. Esmakordselt visiidil vanuses 7a Elu

Rohkem

Statistiline andmetöötlus 1997

Statistiline andmetöötlus 1997 STAT97FK STATISTILINE ANDMETÖÖTLUS MÕÕTMISTULEMUSTE TÖÖTLEMINE LOENGUD 997 TEHNILISED MÄRKUSED: Tekst peab olema hõlpsalt.5 või 2 korda vähendatav. Selleks reeglid:. Reavahe defineeritud ainult kui multiple.

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

VRG 2, VRG 3

VRG 2, VRG 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,

Rohkem

DVD_8_Klasteranalüüs

DVD_8_Klasteranalüüs Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte

Rohkem

Tõstuksed Aiaväravad Tõkkepuud Automaatika KÄIGUUKSED Käiguuksed on paigaldatavad kõikidele sektsioonuste tüüpidele. Käiguukse saab varustada kas tava

Tõstuksed Aiaväravad Tõkkepuud Automaatika KÄIGUUKSED Käiguuksed on paigaldatavad kõikidele sektsioonuste tüüpidele. Käiguukse saab varustada kas tava KÄIGUUKSED Käiguuksed on paigaldatavad kõikidele sektsioonuste tüüpidele. Käiguukse saab varustada kas tavalise või madala lävepakuga. Soovitav on ukse tellimise ajal käiguukse vajadus ning ning lävepaku

Rohkem

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS GS1 Järgnevalt on kirjeldatud lühidalt mõningaid inimesi. Palun lugege iga kirjeldust ja märkige igale reale, kuivõrd Teie see inimene on. Väga Minu Mõnevõrra

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid 1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus

Rohkem

Segamudelid2010.pdf

Segamudelid2010.pdf Peatükk 5 Dispersiooimaatriksi V hidamisest Üldistatud vähimruutude meetodit saame kasutada siis, kui teame vaatluste kovariatsiooimaatriksit V. Paraku eamasti pole uural sellist iformatsiooi. Seega tekib

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat

Rohkem

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko

Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.

Rohkem

VRB 2, VRB 3

VRB 2, VRB 3 Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

EELNÕU

EELNÕU Keskkonnaministri 4. jaanuari 2007. a määruse nr 2 Vääriselupaiga klassifikaator, valiku juhend, vääriselupaiga kaitseks lepingu sõlmimine ja vääriselupaiga kasutusõiguse arvutamise täpsustatud alused

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

PIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE

PIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE 5. Lõpliku siirdega filtrid (I) SIGNAALITÖÖTLUS II Loegumaterjal 5 (I/II) Toomas uube I filter omab lõpliku pikkusega diskreetset impulsskaja hi iltri väljudsigaal y o kovolutsioo impulsskajast ja diskreetsest

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Füüsika

Füüsika Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse

Rohkem

Õppimine Anne Villems, Margus Niitsoo ja Konstantin Tretjakov

Õppimine Anne Villems, Margus Niitsoo ja Konstantin Tretjakov Õppimine Anne Villems, Margus Niitsoo ja Konstantin Tretjakov Kava Kuulame Annet Essed ja Felder Õppimise teooriad 5 Eduka õppe reeglit 5 Olulisemat oskust Anne Loeng Mida uut saite teada andmebaasidest?

Rohkem

Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus

Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus 2014 Peamised kortermajade ventilatsiooni renoveerimislahendused!

Rohkem

Lisa I_Müra modelleerimine

Lisa I_Müra modelleerimine LISA I MÜRA MODELLEERIMINE Lähteandmed ja metoodika Lähteandmetena kasutatakse AS K-Projekt poolt koostatud võimalikke eskiislahendusi (trassivariandid A ja B) ning liiklusprognoosi aastaks 2025. Kuna

Rohkem

Programmi AnimatorDV Simple+ lühike kasutajajuhend

Programmi AnimatorDV Simple+ lühike kasutajajuhend Programmi AnimatorDV Simple+ esmane kasutusjuhend Programm AnimatorDV Simple+ on mõeldud animatsioonide loomiseks. Tegemist on tasuta tarkvaraga, mis töötab videoseadmetega (videokaamera, veebikaamera).

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT 1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi

Rohkem

ISS0010_5osa_2018

ISS0010_5osa_2018 Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!

Rohkem

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...

Rohkem

(Estonian) DM-RBCS Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8

(Estonian) DM-RBCS Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8 (Estonian) DM-RBCS001-02 Edasimüüja juhend MAANTEE MTB Rändamine City Touring/ Comfort Bike URBAN SPORT E-BIKE Kasseti ketiratas CS-HG400-9 CS-HG50-8 SISUKORD OLULINE MÄRKUS... 3 OHUTUSE TAGAMINE... 4

Rohkem