Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi koordinaadid olla sirgjoonelised ja/või ortogonaalsed. Lihtsamateks kõverjooneliste koordinaatide näideteks on silindrilised ja sfäärilised koordinaadid. Sellistel juhtudel tulevad sisse ko- ja kontravariantsuse mõisted ning oliliseks muutub see, kas indeksid on kirjutatud alla või üles. Kolmandas peatükis tõime sisse EK ja LK kõverjoonelistena, kuid edaspidi oleme kasutanud vaid DRKe. Käesolevas peatükis esitame eelnevates peatükkides tuletatud põhitulemused kõverjoonelistes koordinaatides ja defineerime juurde mõned uued mõisted. Pikemalt on käesolevas peatükis esitatust võimalik lugeda minu loengukonspektist, mis oli pideva keskkonna mehaanika õpetamisel kasutusel kuni 2008/09 õppeaastani, vt. http://cens.ioc.ee/~salupere. Märkus: Käesolevas peatükis tähistavad j ja J vastavalt (üldistele) kõverjoonelistele koordinaatidele ja DRKle vastavaid jakobiaane: j = x k X L ja J = z k Z K.
6.2. Koordinaadid 6-3 6.2 Koordinaadid 6.2.1 Euleri koordinaadid Toome sisse ajas muutumatu kõverjoonelise koordinaatsüsteemi x, mille suhtes vaadeldakse keskkonna materiaalsete punktide liikumist. Sellist koordinaatsüsteemi nimetatakse Euleri koordinaatsüsteemiks ehk ruumiliseks koor- Joonis 6.1: Euleri koordinaadid dinaatsüsteemiks ning vastavaid punkti koordinaate x Euleri koordinaatideks (EK) ehk ruumilisteks koordinaatideks. Ühe punktmassi liikumist Euleri koordinaatsüsteemis kirjeldavad kolm võrrandit x i = f i (t), i = 1, 2, 3. (6.1) 6.2. Koordinaadid 6-4 6.2.2 Lagrange i koordinaadid Fikseerime ajahetkel t = t 0 keskkonna materiaalsete punktide asendi ja seome nendega kõverjoonelise koordinaatsüsteemi X. Kui nüüd ajahetkel t > t 0 keskkond liigub ja muudab kuju, siis liigub ja muudab kuju ka koordinaatsüsteem X. Sellist koordinaatsüsteemi nimetatakse Lagrange i koordinaatsüsteemiks ehk materiaalseks koordinaatsüsteemiks ning Joonis 6.2: Lagrange i koordinaadid vastavaid punkti koordinaate X Lagrange i koordinaatideks (LK) ehk materiaalseteks koordinaatideks.
6.2. Koordinaadid 6-5 6.2.3 Kõverjooneliste koordinaatide avaldamine Descartes i ristkoordinaatide kaudu Eukleidilises ruumis E 3 saab alati sisse tuua Descartes i ristkoordinaadid (DRK). Toome nüüd Euleri kõverjoonelised koordinaadid sisse läbi Euleri Descartes i ristkoordinaatide (EDRK) z (z 1, z 2, z 3 ). Selleks eeldame, et EDRK z sõltuvad kolmest Eukleidilise ruumi E 3 muutujast x, st., z k = f k (x) = z k (x), k = 1, 2, 3, (6.2) kus funktsioonid f k kuuluvad klassi C r, r 1 (st., nad on pidevad funktsioonid, mis omavad pidevaid osatuletisi kuni järguni r) ja on defineeritud mingis ruumi E 3 piirkonnas. Nüüd tuleb määratleda tingimused, mille puhul õnnestub võrranditest (6.2) avaldada x k = x k (z), k = 1, 2, 3 (6.3) nii, et (6.2) ja (6.3) oleksid teineteise ühesed pöördteisendused. 6.2. Koordinaadid 6-6 Joonis 6.3: Kõverjoonelised koordinaadid ja DRK Matemaatilisest analüüsist tuntud teoreemi (teoreem ilmutamata funktsioonist) 1 põhjal omab teisendus (6.2) punkti p ümbruses δ ühest pöördteisendust (6.3) siis ja ainult siis kui jakobiaan J E = z k x l 0; x k x k 0 < δ. (6.4) 1 Tõestust vaata näiteks M.N.L. Narasimhan i õpikust Principlec of Continuum Mechanics. John Wiley & Sons, Inc., New-York et al., 1993. lk. 28 30
6.2. Koordinaadid 6-7 Siin x k 0, k = 1, 2, 3, on ruumipunkti p koordinaadid ja J E = z k x l = z 1 / x 1 z 1 / x 2 z 1 / x 3 z 2 / x 1 z 2 / x 2 z 2 / x 3 z 3 / x 1 z 3 / x 2 z 3 / x 3. (6.5) Kui fikseerime avaldise (6.2) vasakul poolel (z) = (z, 1 z, 2 z ), 3 siis saame kolme lõikuva pinna võrrandid. Teatavasti esitavad kaks lõikuvat pinda kõvera (kõverjoone) ja kolm lõikuvat pinda punkti. Kui (z) = (z, 1 z, 2 z ) 3 on punkti p koordinaadid, siis paarikaupa lõikuvad pinnad esitavad kolm ruumipunkti p läbivat kõverat. Neid ruumipunkti p läbivat kolme pinda nimetatakse koordinaatpindadeks ja kolme kõverat koordinaatkõverateks. Joonis 6.4: Koordinaatkõverad ja koordinaatpinnad 6.2. Koordinaadid 6-8 Ajahetkel t = t 0 toome analoogiliselt sisse Lagrange i kõverjoonelised koordinaadid eeldame, et LDRK Z on avaldatavad LK X kaudu kujul Z K = Z K (X), K = 1, 2, 3. (6.6) Vastav pöördteisendus X K = X K (Z), K = 1, 2, 3 (6.7) eksisteerib ja on ühene materiaalse punkti P ümbruses δ parajasti siis kui jakobiaan J L = Z K X L 0; X K X0 K < δ. (6.8) Avaldisi (6.2), (6.3), (6.6) ja (6.7) nimetatakse koordinaatteisendusteks, kusjuures (6.2) ja (6.3) kehtivad suvalisel ajahetkel, kuid (6.6) ja (6.7) vaid t = t 0 puhul (viimaseid kasutatakse vaid selleks, et LK sisse tuua). Edaspidises eeldame, et kõverjoonelised koordinaatsüsteemid on sisse toodud Descartes i ristkoordinaatide kaudu (EK kujul (6.2) ja LK kujul (6.6)) selliselt, et jakobiaanid
6.2. Koordinaadid 6-9 (6.4) ja (6.8) pole samaselt nullid ruumis E 3 või vähemalt mingis meid huvitavas ruumi E 3 piirkonnas (v.a. mõned singulaarsed punktid, jooned või pinnad); üldjuhul on pikkuse mõõtmiseks piki telgi z k ja Z K valitud ühtne mastaap. Märkused: Selliselt sisse toodud kõverjoonelised koordinaadid on üldjuhul lokaalsed ja pole üldjuhul ortogonaalsed. J 0 J > 0 või J < 0 igas ruumipunktis. Näide 6.2.1. Euleri koordinaatideks x k on silindrilised koordinaadid. Kas EK on üheselt määratud EDRK kaudu? Millised on koordinaatpinnad ja koordinaatkõverad? Defineerime x k läbi z k : z 1 = x 1 cos x 2 z 2 = x 1 sin x 2 (6.9) z 3 = x 3 6.2. Koordinaadid 6-10 Joonis 6.5: Silindrilised koordinaadid Pöördteisendus x 1 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 x 2 = arctan(z 2 /z 1 ) (6.10) x 3 = z 3 Jakobiaan J E = z k x l =... Järelikult, ühene pöördteisendus eksisteerib...
6.3. Liikumise kirjeldamine 6-11 6.3 Liikumise kirjeldamine Liikumisseaduseks nimetatakse üheparameetrilist koordinaatide teisendust x k = x k (X, t) (6.11) või X K = X K (x, t), (6.12) mis siirdab materiaalse punkti X ruumipunkti x. Parameetriks on siin aeg t. Alghetkel t = t 0 kujutavad teisendused (6.11) ja (6.12) (parameetrist sõltumatuid) koordinaatteisendusi. Tihti on kasulik kui t = t 0 puhul teljestikud x k ja X K ühtiksid, st., hetkel t = t 0 x k = X K kui k = K. Sel juhul on materiaalse punkti asukoht alghetkel t = t 0 automaatselt teada ning asukoha muutus algasendi suhtes on hetkel t > t 0 lihtsalt leitav. Analoogiliselt eelmise punktiga 6.2.3 tekib ka siin küsimus liikumisseaduse ühesusest, st., teisendused (6.11) ja (6.12) peavad olema teineteise ühesed pöördteisendused. Eeldades, et nii funktsioon (6.11) kui (6.12) kuuluvad klassi C r, r 1, on see tingimus täidetud ruumipunkti p ümbruses δ parajasti siis kui jakobiaan j = x k X L 0 x k x k 0 < δ. (6.13) 6.4. Skalaar, vektor ja tensor 6-12 Jakobiaan (6.13) väljendab tegelikult pidevuse aksioomi, mille põhjal positiivne lõplik aine maht ei saa deformeeruda nullmahuks ega lõpmata suureks mahuks 2 ning ükski ainehulk ei tungi teise ainehulga sisse 3 (joon deformeerub jooneks, pind pinnaks ja maht mahuks). 6.4 Skalaar, vektor ja tensor 6.4.1 Skalaar Vaatleme koordinaatsüsteeme ζ i ja η i. Funktsiooni ϕ(ζ 1, ζ 2, ζ 3 ) ϕ(ζ) nimetatakse (absoluutseks) skalaariks kui ta ei muuda koordinaatteisendusega ζ k = ζ k (η 1, η 2, η 3 ) ζ k (η), k = 1, 2, 3 oma algväärtust, st., ϕ(ζ 1 (η), ζ 2 (η), ζ 3 (η)) ψ(η) = ϕ(ζ). (6.14) Seega ei sõltu skalaari väärtus antud punktis koordinaatide valikust. Näide 6.4.1. Temperatuur on absoluutne skalaar. 2 ik. indestructibility of matter 3 ik. impenetrability of matter
6.4. Skalaar, vektor ja tensor 6-13 6.4.2 Kontravariantne vektor Suurusi ϕ k (ζ) nimetatakse vektori kontravariantseteks komponentideks ehk lihtsalt kontravariantseteks vektoriks kui koordinaatteisenduse ζ = ζ(η) puhul muutub ta vastavalt seadusele ϕ k (ζ(η)) ψ k (η) = ϕ m (ζ) ηk ζm, k = 1, 2, 3. (6.15) Suurusi ψ k (η) tuleb siin mõista kui suuruste ϕ k (ζ) komponente koordinaatsüsteemis η i, i = 1, 2, 3. Samuti on siin kasutatud summeerimiskokkulepet, mida kõverjooneliste koordinaatide korral jääme kasutama kujul 3 i=1 ai b i a i b i, st. üks summeerimisindeksitest peab olema all ja teine üleval. Näide 6.4.2. Diferentsiaal on kontravariantne vektor, sest võttes ϕ k = dζ k, saame ψ k = dη k = ηk ϕ m ηk ζ mdζm ζ m. 6.4. Skalaar, vektor ja tensor 6-14 6.4.3 Kovariantne vektor Suurusi ϕ k (ζ) nimetatakse vektori kovariantseteks komponentideks ehk lühidalt kovariantseks vektoriks kui nad koordinaatide teisenduse ζ = ζ(η) puhul teisenevad vastavlt seadusele ϕ k (ζ(η)) ψ k (η) = ϕ m (ζ) ζm, k = 1, 2, 3. (6.16) ηk Näide 6.4.3. Osatuletis absoluutsest skalaarist on kovariantne vektor, sest tähistades ϕ m = Φ ζ m kus Φ on absoluutne skalaar, saame ϕ k (ζ(η)) ψ k (η) Φ η k = Φ ζ m ζ m η = ϕ m(ζ) ζm, k = 1, 2, 3. k ηk
6.4. Skalaar, vektor ja tensor 6-15 6.4.4 Kontravariantne, kovariantne ja segatensor Suurusi Φ kl (ζ), Φ kl (ζ) ja Φ k l(ζ) nimetatakse vastavalt kontravariantseteks-, kovariantseks- ja segatensoriks kui nad koordinaatteisenduse ζ = ζ(η) puhul teisenevad seaduste Φ kl (ζ(η)) Ψ kl (η) = Φ mn (ζ) ηk η l ζ m ζn, k, l = 1, 2, 3, (6.17) Φ kl (ζ(η)) Ψ kl (η) = Φ mn (ζ) ζm ζ n, k, l = 1, 2, 3, (6.18) η k ηl ja Φ k l(ζ(η)) Ψ k l(η) = Φ m n(ζ) ηk ζ n, k, l = 1, 2, 3 (6.19) ζ m ηl järgi. 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-16 6.5 Baasivektor, meetriline tensor 6.5.1 Kovariantsed baasivektorid Vaatleme kahte DRK üks neist on EDRK z k ja teine LDRK Z K. Vastavad ühikbaasid tähistame i k ja I K. Kui eeldame, et pikkuse mastaap piki telgi z k ja Z K on sama, siis omavad vektorid i k ja I K võrdset ühikpikkust. Kõverjoonelised LK tuuakse teatavasti sisse kujul (6.6), st., Z K = Z K (X), K = 1, 2, 3, ja kõverjoonelised EK kujul (6.2), st., z k = z k (x), k = 1, 2, 3. Kohavektorid P ja p avalduvad läbi LDRK ja EDRK kujul P = Z K (X)I K ja p = z k (x)i k. (6.20)
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-17 Viimastest leiame kohavektorite P ja p diferentsiaalid dp = P X K dxk = G K dx K ja dp = p = g x kdxk k dx k, (6.21) kus vektoreid G K = P X = ZM K X KI M (6.22) ja g k = p x = zm k x i k m (6.23) nimetatakse vastavalt kõverjooneliste koordinaatide X K ja x k kovariantseteks baasivektoriteks. Nad on suunatud piki koordinaatkõverate puutujaid (vaadelda- vas punktis) ja liikumisel ühest punktist teise muutuvad nad üldjuhul nii suuruselt kui suunalt. Seega moodustavad nad vektorvälja. Loomulikult saab suurusi dp ja dp avaldada DRK kaudu kujul dp = P Z K dzk = I K dz K ja dp = p = i z kdzk k dz k (6.24) ning DRK baasivektoreid I K ja i k omakorda baasivektorite G K ja g k kaudu kujul I K = P Z K = XL Z KG L ja i k = p z k = xl z kg l. (6.25) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-18 Joonis 6.6: Kovariantsed baasivektorid
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-19 6.5.2 Kovariantne meetriline tensor Elementaarpikkuse ruut ds 2 = dp dp avaldub lähtudes valemitest (6.24) ja(6.21) kujul ds 2 = dp dp = dz K I K dz L I L = dx K G K dx L G L. Järgnevalt defineerime kovariantse meetrilise tensori def (6.22) G KL = G LK = G K G L = ZM X KI M ZN Z M Z N X LI N = δ MN X K XL, (6.26) kus Kroneckeri delta { def 1, K = L, δ KL = I K I L = 0, K L. (6.27) Arvestades viimaseid avaldisi saame elementaarpikkuse ruudu avaldada kujul ds 2 = dp dp = G KL dx K dx L = δ KL dz K dz L. (6.28) Analoogiliselt elementaarpikkuse ruut ds 2 = dp dp = g kl dx k dx l = δ kl dz k dz l, { def 1, k = l δ kl = i k i l = 0, k l (6.29) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-20 ja kovariantne meetriline tensor g kl = g lk def = g k g l (6.23) = zm x k i m zn x l i n = δ mn z m x k z n x l. (6.30) Märkus. Suurused ds 2 ja ds 2 on skalaarid ja nende väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust, st., ds 2 (x) = ds 2 (z) ja ds 2 (X) = ds 2 (Z). 6.5.3 Kontravariantsed baasivektorid ja meetrilised tensorid Kovariantsete baaside G K ja g k duaalsed 4 baasid on defineeritud läbi ortonormaalsustingimuse G K G L = δ K L ja g k g l = δ k l (6.31) Vektoreid G K ja g k nimetatakse kontravariantseteks baasivektoriteks ja nad avalduvad võrrandisüsteemide (6.31) lahendina kujul 4 Lad. k. dualis kahene G K = G KL G L ja g k = g kl g l. (6.32)
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-21 Viimastes avaldistes esinevad kontravariantsed meetrilised tensorid avalduvad läbi kovariantsete meetriliste tensorite kujul ja kus G KL = cofactor G KL G g kl = cofactor g kl g ( 1)K+L G LK G (6.33) ( 1)k+l g lk, (6.34) g G = G KL ja g = g kl (6.35) on determinandid ning G KL ja g kl on determinantide G KL ja g kl elemendile indeksipaariga KL või kl vastav miinor. Meetrilised tensorid rahuldavad tingimusi G KL G LM = δ K M ja g kl g lm = δ k m. (6.36) Kuna meetrilised tensorid G KL ja G KL on muutujate X I ning meetrilised tensorid g kl ja g kl muutujate x i funktsioonid, siis kujutavad G KL ja G KL endast tensorvälju Lagrange i koordinaatides X I ning g kl ja g kl tensorvälju Euleri koordinaatides x i. Vt. ka faili kojokoord.pdf 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-22 Näide 6.5.1. Vektorite avaldamine kovariantsete ja kontravariantsete baasivektorite kaudu. Joonis 6.7:
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-23 Näide 6.5.2. Vektorite avaldamine kovariantsete ja kontravariantsete baasivektorite kaudu. Joonis 6.8: 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-24 Joonis 6.9: Silindrilised koordinaadid Näide 6.5.3. Pöördume tagasi Näite 6.2.1 (lk. 9) juurde. Euleri koordinaatideks x k on silindrilised koordinaadid, mis on defineeritud läbi DRK järgmiselt: z 1 = x 1 cos x 2 z 2 = x 1 sin x 2 z 3 = x 3
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-25 ja x 1 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 x 2 = arctan z2 z 1 x 3 = z 3 Vaatleme suvalist punkti p koordinaatidega (x) ehk kohavektoriga p. Leida sellele punktile vastavad kovariantsed ja kontravariantsed baasivektorid ning meetrilised tensorid! Suvaline vektor v on avaldatav nii kovariantse kui ka kontravariantse baasi kaudu: v = v k g k = v k g k, (6.37) kus v k ja v k on vastavalt vektori v kovariantsed ja kontravariantsed komponendid, mis ühtivad vaid ortonormeeritud baasi puhul. Korrutame nüüd avaldist (6.37) kontravariantse baasivektoriga g l v k g k g l = v k g k g l. Kuna v k δ k l = v l, siis v k g kl = v l, ehk nimetades indeksid ümber, v k = g kl v l. (6.38) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-26 Kui korrutada aga avaldist (6.37) kovariantse baasivektoriga g l, siis saame analoogiliselt, et v k = g kl v l. (6.39) Sellist protseduuri nimetatakse vektori indeksite tõstmiseks ja langetamiseks. Seega, meetriliste tensorite abil saab indekseid tõsta ja langetada ehk teisisõnu minna kovariantsetelt komponentidelt üle kontravariantsetele ja vastupidi. Lagrange i koordinaatide puhul analoogiliselt V K = G KL V L ja V K = G KL V L (6.40) Märkused: 1. Üldjuhul pole baasivektorid G K, G K, g k ja g k ühikvektorid. Nende pikkused avalduvad läbi meetrilise tensori diagonaali elementide G K = G K K, G K = G K K, K = K g k = g k k, g k = (6.41) g k k, k = k. Allkriips tähendab siin seda, et korduva indeksi järgi ei summeerita. Eelnenud näite 6.5.3 puhul g 1 = g 3 = 1 ja g 2 = x 1.
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-27 2. Kui kõverjoonelised koordinaadid on ortogonaalsed, siis g kl = g kl = 0 kui k l. Näite 6.5.3 puhul see nii oligi. Lisaks olid vektorid g k ja g k kollineaarsed. 6.5.4 Vahetaja 5 Seni oleme hoidnud EK ja LK lahus, kuid vahel on vaja ühes koordinaatsüsteemis esitatud vektoreid projekteerida teise koordinaatsüsteemi baasivektoritele. Vaatleme joonist 6.6 (lk. 18) Punktide P ja p kohavektorid P = P L G L ja p = p l g l. Korrutame neist esimest kontravariantse baasivektoriga G K Seega, P G K = P L G L G K = P L δ L K = P K. P K = P G K ja p k = p g k. (6.42) Viimased kujutavad endast vektorite P ja p projektsioone vastavalt baasivektorite G K ja g k sihtidele (vt. Näited 6.5.1 ja 6.5.2). 5 Varasemas konspektis nihutaja, i.k. shifter. 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-28 Oletame nüüd, et tahame viia vektori p paralleellükkega punkti P ja projekteerida teljestikku X K, st., baasivektorite G K sihile. Tähistame vastava projektsiooni p K. Nüüd p = p K G K (X) = p k g k (x) (6.43) Korrutame avaldist (6.43) kontravariantse baasivektoriga G L Defineerime nn. vahetaja p K G K G L = p k g k G L. g k K def = g K k Seega, tähistades ümber indeksid L K saame def = g k G K = G K g k. (6.44) p K = g k K p k = g K kp k, (6.45) mis esitabki kohavektori p projektsiooni kovariantse baasivektori G K sihil. Korrutades avaldist (6.43) kontravariantse baasivektoriga g l ja defineerides vahetajad g k K saame vektori p tagasi EK-sse: def k def = g K = g k G K = G K g k, (6.46) p k = g k Kp K = g K k p K. (6.47)
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-29 Analoogiliselt eelnevaga saab defineerida vahetajad ja g kk def = g Kk def = g k G K = G K g k (6.48) g kk def = g Kk def = g k G K = G K g k. (6.49) Vahetajad g k K, g K k jne. on nii muutujate X kui ka x funktsioonid, sest baasivektorid G K ja G K sõltuvad Lagrange i koordinaatidest X ning baasivektorid g k ja g k Euleri koordinaatidest x. Enamgi veel, nad osutuvad nn. kahepunktilisteks tensorväljadeks, sest teisenevad kui tensorid mõlemas koordinaatsüsteemis. Järgnevalt näitame, et g K kg l K = δ k l. (6.50) Teatavasti Kuna v k = v K g K k = v l g l Kg K k. v k = v l δ k l, siis peab kehtima võrdus (6.50) ehk vahetajad g K k ja g l K on teineteise pöördtensorid. analoogiliselt g K kg k L = δ K L. (6.51) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-30 Teisendame nüüd vahetajat g kk kus g kk = g k G K (6.23), (6.22) = Suurus δ ll on Kroneckeri delta vaid juhul kui z k Z K. z l x ki l ZL X KI L = δ ll z l x k Z L X K, (6.52) δ ll = δ Ll = i l I L. (6.53) 6.5.5 Tensorite indeksite tõstmine ja langetamine Peale vektorite indeksite saab meetriliste tensorite abil tõsta ja langetada ka tensorite indekseid, näiteks C K L = G KM C ML C L K = G KM C LM C K L = G LM C KM C KL = G LM C K M g K k = G KL g kl g L l
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-31 g Kk = G KL g kl g Ll g K k = G KL g kl g L l g Kk = G KL g kl g Ll Näide 6.5.4. Vaatleme juhtu, kus LK ühtib LDRK ning EK ühtib EDRK, st., (X)=(Z) ja (x)=(z). Baasivektorid punktides P ja p on avaldiste (6.22) ja (6.23) põhjal G K = P X = ZM K X KI M = I K (6.54) analoogiliselt g k = i k (6.55) Antud juhul ühtivad kovariantsed ja kontravariantsed koordinaadid ja baasid, st., millest viimane on Kroneckeri delta kui i k I K. G KL = G KL = δ KL, (6.56) g kl = g kl = δ kl, (6.57) g Kk = g Kk = δ Kk, (6.58) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-32 6.5.6 Gradient Skalaarse funktsiooni gradient on defineeritud järgmiselt gradt def = T n n, (6.59) kus n on normaalisihiline ühikvektor, mis on suunatud funktsiooni T kasvamise suunas. Teisest küljest gradt def = T = g k T xk, (6.60) kus nabla def = g k x = k gkl g l xk. (6.61) Valemeis (6.60) ja (6.61) peame kasutama kontravariantset baasi, sest osatuletis absoluutsest skalaarist on kovariantne vektor, st., T/ x k = Φ k.
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-33 6.5.7 Deformatsioonigradient Deformatsioonigradiendid on defineeritud järgmiselt 6 : x k,k = xk (X, t) X K ja X K,k = XK (x, t) x k, (6.62) Vastavalt liikumisseadustele avalduvad koordinaatide diferentsiaalid kujul Deformatsioonigradientide vahelised seosed dx k = x k,kdx K ja dx K = X K,kdx k. (6.63) x k,kx K,l = δ k l ja X K,kx k,l = δ K L (6.64) Valemite (6.21) põhjal avalduvad kohavektorite diferentsiaalid (lõpmata väikesed muudud) läbi baasivektorite G K ja g k. Teisendame neid avaldisi: dp = G K dx K (6.63) = G K X K,kdx k = c k dx k, dp = g k dx k (6.63) = g k x k,kdx K = C K dx K, 6 Indeks peale koma tähistab siin ja edaspidi osatuletist vastava (kontravariantse) koordinaadi järgi. (6.65) 6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-34 kus suurused c k (x, t) def = P x = P k X K XK,k = G K X K,k ja (6.66) C K (X, t) def = p X = p K x kxk,k = g k x k,k on vaadeldavad kui uued, keskkonna deformeeritud olekule vastavad, baasivektorid. Teisisõnu, keskkonna liikumisel transformeeruvad baasivektorid g k ja G K uuteks baasivektoriteks C K ja c k. Järgnevalt avaldame vana baasi G K uue baasi c k kaudu: (6.66) 1 x k,l......... G K = c k x k,k. (6.67) (6.66) 2 X K,l......... g k = C K X K,k. (6.68) Kontravariantsed baasid saadakse ortonormaalsustingimustest kust c k c l = δ k l ja C K C L = δ K L, (6.69) c k (x, t) = G K (X)x k,k ja C K (X, t) = g k (x)x K,k. (6.70)
6.5. Baasivektor, meetriline tensor 6-35 Meil oli eeldatud, et t = t 0 puhul EK ja LK ühtivad, st., x 1 = X 1,..., x 3 = X 3. Järelikult alghetkel Vaatleme avaldisi (6.65) g k (x) = G K (X) = c k (x, t) = C K (X, t) dp = G K dx K }{{} i i määrab dp kui t = t 0 ii dp muutumise seadus EK-s = c k dx k }{{} ii ja dp = g k dx k }{{} iii = } C K {{ dx K }. (6.71) iv iii määrab dp igal ajahetkel, sest vastavalt definitsioonile (6.21) ja (6.23) ei muutu dp ajas iv määrab muutumatu suuruse dp muutuvates koordinaatides X K suvalisel hetkel t t 0. 6.6. Deformatsioonitensorid 6-36 6.6 Deformatsioonitensorid 6.6.1 Cauchy ja Greeni deformatsioonitensorid def (6.66) c kl = c k c l = G KL X K,kX L,l ja C KL def = C K C L (6.66) = g kl x k,kx l,l. (6.72) Suurust c kl nimetatakse Cauchy deformatsioonitensoriks ja suurust C KL Greeni deformatsioonitensoriks. Nad on sümmeetrilised ja positiivselt määratud. Ten- soreid c kl ja C KL võib interpreteerida ka kui meetrilisi tensoreid, sest meetriline tensor G KL (X) transformeerub läbi keskkonna liikumise tensoriks c kl (x) ja g kl (x) C KL (X). Kovariantsete tensorite c kl ja C KL indekseid saab kontravariantsete meetriliste tensoritega tõsta (c k ja C K omi ei saanud!). Saadud kontravariantsete tensorite maatriksid [c kl ] ja [C KL ] ei osutu aga kovariantsete tensorite maatriksite [c kl ] ja [C KL ] pöördmaatriksiteks (nagu oli g kl ja G KL puhul). Antud juhul tuleb sisse tuua tensorid 1 c kl def = c k c l (6.70) = G KL x k,kx l,l ja 1 C KL def = C K C L (6.70) = g kl X K,kX L,l, (6.73)
6.6. Deformatsioonitensorid 6-37 mille puhul c km 1 c ml = δ k l ja C KM 1 C ML = δ K L. Tensorit 1 c kl nimetatakse Fingeri deformatsioonitensoriks ja 1 C KL Piola deformatsioonitensoriks 6.6.2 Lagrange i ja Euleri deformatsioonitensorid Pöördume tagasi suuruste dp ja dp juurde { ds 2 = dp dp = G KL dx K dx L = c kl dx k dx l, ds 2 = dp dp = g kl dx k dx l = C KL dx K dx L Viimastest leiame elementaarpikkuse ruudu muudu kus ds 2 ds 2 = 2E KL dx K dx L = 2e kl dx k dx l, (6.74) 2E KL = 2E LK = C KL G KL ja 2e kl = 2e lk = g kl c kl. (6.75) Tensorit E KL = E KL (X, t) nimetatakse Lagrange i deformatsioonitensoriks ja tensorit e kl = e kl (x, t) Euleri deformatsioonitensoriks. 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-38 Kehtivad seosed: E KL = e kl x k,kx l,l ja e kl = E KL X K,kX L,l (6.76) Valemi (6.76) 1 kasutamise puhul tuleb avaldada e kl (X, t) ja (6.76) 2 puhul vastupidi E KL (x, t). Meetriliste tensorite abil saame leida vastavaid sega- ja kontravariantseid tensoreid: E K L = G KM E ML, E KL = G KM G LN E MN = G LM E K M, e k l = g km e ml, e kl = g km g ln e mn = g lm e k m. 6.7 Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6.7.1 Vektori kovariantne osatuletis Kõigepealt püüame siirdevektori u kaudu avaldada vektorid C K ja c k. Kohavektor p = P + u (kui LK ja EK nullpunktid ei ühti siis p = b + P + u). Seega siirdevektor u = p P. (6.77)
6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-39 Siirdevektori u saab avaldada nii LK kui EK kaudu u = U K G K = U K G K = u k g k = u k g k, (6.78) kus U K (X, t) ja u k (x, t) on vektori u kontravariantsed komponendid ning U K (X, t) ja u k (x, t) kovariantsed komponendid vastavalt LK-s ja EK-s. Ka nende indekseid saab meetriliste tensorite abil tõsta ja langetada U K = G KM U M, U L = G LK U K, u k = g km u m, u l = g lk u k. (6.78) U K G K = u k g k G L......... =......... Tähistame indeksid ümber (L K) ja saame Definitsioonide (6.66) põhjal U K = g k Ku k ja u k = g K ku K. (6.79) C K (X, t) = p X K, c k(x, t) = P x k. 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-40 Avaldame valemist (6.77) kohavektorid p ja P ning asendame viimastesse avaldistesse. Saame C K = P X K + u X K = G K + u X K, c k = p x k u x k = g k u x k (6.80) Valemite (6.78) põhjal u = U L G L = u l g l ning (6.80) saab kuju C K = G K + X K (UL G L ), c k = g k g x k(ul l ). (6.81) Analoogilised avaldised siirdevektori kovariantsete komponentide jaoks: C K = G K + X (U LG L ), c K k = g k x k(u lg l ). (6.82) Järgnevalt püüame leida avaldistes (6.81) ja (6.82) olevaid osatuletisi X K (UL G L ) = UL X KG L + U L G L X K, g x k(ul l ) = ul x kg l + u l g l xk, (6.83) X (U LG L ) = U L G L + U K X KGL L X, K x k(u lg l ) = u l g l + u x kgl l xk. (6.84) Esimeste liidetavate leidmine pole probleemiks see on lihtne. Teiste liidetavatega on lugu keerukam, sest osatuletisi tuleb leida baasivektoritest G L,...,g l.
6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-41 Vastavalt definitsioonidele (6.22) ja (6.23) G L = ZN X LI N I N = XL Z G L, N Seega osatuletised võrrandeis (6.83) G L X = 2 Z N K X K X LI N = g l x = 2 z n k x k x li n = 2 z n x m x k x l z g m. n Võtame kasutusele Christoffeli teist liiki sümbolid { } { } M m KL ja kl def = 2 Z N X M X K X L Z N Valemid (6.85) saavad nüüd kuju { } G L M X = K KL analoogiliselt saab näidata, et G L X K = { L KM g l = zn x Li n i n = xl z ng l. 2 Z N X M X K X L Z G M, N G M ja g l x k = (6.85) def = 2 z n x m x k x l z. (6.86) n { } m g kl m. (6.87) { } }G M ja gl l x = g m. (6.88) k km 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-42 Christoffeli esimest liiki sümbolid on defineeritavad kahel moel. i) Läbi Christoffeli teist liiki sümbolite { } { } [KL, M] def N M = G MN, = G MN [KL, N], KL KL { } { } [kl, m] def n m = g mn, = g mn [kl, n]. kl kl (6.89) ii) Arvestades meetriliste tensorite definitsioone (6.26) ja (6.30), saame G KL = G K G L = δ MN Z M X K Z N [KL, M] def = 1 2 [kl, m] def = 1 2 X L, ( GKM ( gkm x l X L g kl = g k g l = δ mn z m x k z n x l, + G LM X G KL K X ) M. + g lm x k g kl x m Väga tihti defineeritaksegi Christoffeli esimest liiki sümbolid kujul (6.90). ), (6.90) Valemeist (6.86) ja (6.90) järeldub, et Christoffeli sümbolid on sümmeetrilised
6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-43 indeksite K ja L (k ja l) suhtes: { } { } M M =, [KL, M] = [LK, M], KL LK NB! Christoffeli sümbolid pole tensorid! { } m = kl { } m, [kl, m] = [lk, m]. lk (6.91) Tuleme tagasi valemite (6.83) ja (6.84) juurde ning esitame nad kujul Siin X K (UL G L ) = U M ;KG M, X K (U LG L ) = U M;K G M, U M ;K def = UM X + K U M;K def = U M X K { } M U L, u m ;k KL x k(ul g l ) = u m ;kg m, (6.92) x k(u lg l ) = u m;k g m, (6.93) def = um x + k on kontravariantsete vektorite kovariantsed osatuletised ning { } L U MK L, u m;k def = u m x k on kovariantsete vektorite kovariantsed osatuletised. { l mk { } m u l (6.94) kl } u l (6.95) 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-44 Suurused U M ;K ja u m ;k on segatensorid ning U M;K ja u m;k kovariantsed tensorid. Meetriliste tensoritega saab teostada üleminekuid (6.94) (6.95) ja vastupidi: { U L ;K = G LM U M;K U L;K = G LM U M ;K u l ;k = g lm u m;k u l;k = g lm u m ;k Kovariantse osatuletise geomeetriline interpretatsioon. Kovariantse osatuletise avaldised (6.94) ja (6.95) koosnevad kahest osast. Neist esimene iseloomustab vektori u muutumist kui muutub koordinaat X K (või x k ) ning teine u muutumist kui seoses X K (või x k ) muutumisega muutub baas G M (või g m ). Sirgjooneliste koordinaatide puhul on Christoffeli sümbolid samaselt nullid ja seega kovariantne osatuletis on võrdne hariliku osatuletisega. Pöördume nüüd tagasi uute baasivektorite C K ja c k avaldiste (6.81) ja (6.82) juurde. Arvestades avaldisi (6.92) ja (6.93) saame { CK = G K + U M ;KG M, c k = g k u m (6.96) ;kg m, { CK = G K + U M;K G M, c k = g k u m;k g m. (6.97)
6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-45 Avaldame nüüd Greeni ja Cauchy deformatsioonitensorid läbi siirete võttes arvesse valemeid (6.96) C KL = C K C L (6.96) =... =...... =...... Kokku saame { CKL = G KL + U K;L + U L;K + U N;K U N ;L, c kl = g kl u k;l u l;k + u n;k u n ;l. (6.98) Arvestades Lagrange i ja Euleri deformatsioonitensorite definitsioone (6.75) saame omakorda { 2EKL = 2E LK = C KL G KL = U K;L + U L;K + U M;K U M ;L, 2e kl = 2e lk = g kl c kl = u k;l + u l;k u m;k u m (6.99) ;l. Need võrrandid on PKM ühed põhivõrrandid, mis seovad omavahel Lagrange i ja Euleri deformatsioonitensorid ning materiaalsete punktide siirded u. 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-46 Sirgjooneliste koordinaatide puhul U M;K U M,K jne. DRK puhul lisaks eelnevale U M,L U M,K jne. ning võrrandid (6.99) saavad kuju { 2EKL = 2E LK = C KL G KL = U L,K + U K,L + U M,K U M,L, (6.100) 2e kl = 2e lk = g kl c kl = u l,k + u k,l u m,k u m,l. Avaldame kohavektorite P ja p lõpmata väikesed muudud dp ja dp läbi siirete. Valemite (6.65) põhjal dp = c k (x, t)dx k ja dp = C K (X, t)dx K. Asendades siia c k ja C K valemeist (6.96) ja (6.97) saame Märkused: dp = (g k u m ;kg m )dx k, dp = (G K + U M ;KG M )dx K, (6.101) dp = (g k u m;k g m )dx k, dp = (G K + U M;K G M )dx K. (6.102) 1. Ortogonaalse kõverjoonelise koordinaatsüsteemi puhul lihtsustuvad mõned avaldised tunduvalt:
6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-47 meetriline tensor elementaarpikkuse ruut determinant g kl = g k g l g kl = 0 kui k l; (6.103) ds 2 = g kl dx k dx l = g 11 (dx 1 ) 2 + g 22 (dx 2 ) 2 + g 33 (dx 3 ) 2 ; (6.104) g = g 11 g 22 g 33 ; (6.105) kontravariantne meetriline tensor g k k = 1/g k k ; (6.106) kontravariantne baas g k = g k k g k, k = k ; (6.107) Christoffeli teist liiki sümbolid 6.7. Deformatsioonitensorite avaldamine siirete kaudu 6-48 { } l = 1 g k k, l k ; (6.108) k k 2g ll x { } l k = k l x ln g l k k, l k ; (6.109) { } k = k k x ln g k k k ; (6.110) { } k = 0, l k m. (6.111) lm 2. Alghetkel t = t 0 toome sisse Lagrange i koordinaadid (mis võivad kuid ei pruugi ühtida Euleri koordinaatidega). Sel hetkel loeme keskkonna deformatsioonid ja siirded nulliks ning ütleme, et keskkond on loomulikus olekus. 3. Siirete ja deformatsioonide määramiseks hetkel t = t 1 on vaja teada liikumisseadust, st., ajast kui parameetrist sõltuvat koordinaatteisendust. Kui meid ei huvita kuidas deformatsioon toimus, siis piisab tegelikult sellest kui me teame liikumisseadust esitavat koordinaatteisendust vaid kahel ajahetkel: t = t 0 ja t = t 1. 4. Suurusi u l;k, u m ;l jne. nimetatakse siirdegradientideks.
6.8. Vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid 6-49 6.8 Vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid Vektorite ja tensoritega opereerides ei pöörata tavaliselt tähelepanu dimensioonile erinevad komponendid on sageli erineva dimensiooniga (näiteks silindrilised koordinaadid). Et sellest füüsikaliselt vastuvõtmatust olukorrast puhtalt välja tul- la, tuuakse sisse vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid. Teatavasti pole baasivektorid kõverjoonelise koordinaatsüsteemi puhul üldjuhul ühikvektorid ja valemite (6.41) põhjal on nende pikkused määratud meetrilise tensori diagonaalielementidega g k = g k k ja g k = g k k kui k = k. (6.112) Defineerime ühikvektorid Nüüd e k = g k gk k ja e k = gk g k k, k = k. (6.113) u = u k g k = u (k) e k = u k g k = u (k) e k, (6.114) kus u (k) ja u (k) on vektori u kontra- ja kovariantsed füüsikalised komponendid. Valemite (6.113) ja (6.114) põhjal vektori füüsikalised komponendid u (k) = u k gk k ja u (k) = u k g k k. (6.115) 6.8. Vektorite ja tensorite füüsikalised komponendid 6-50 Ortogonaalse baasi puhul g k k = 1/g k k, järelikult on kovariantne füüsikaline komponent leitav kovariantse meetrilise tensori abil: u (k) = u k gk k. (6.116) analoogiliselt saab defineerida tensorite füüsikalised komponendid. Näiteks ortogonaalse baasi puhul t (k) (l) = t k gk k l... (6.117) g l l Märkused 1. Tavaliselt lahendatakse ülesanded ko- ja kontravariantsetes tensorites ning lõpus minnakse üle füüsikalistele komponentidele. 2. DRK puhul g k g k e k e k. Näide 6.8.1. Leida ühikbaas ja siirdevektori füüsikalised komponendid silindriliste koordinaatide jaoks
6.9. Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded 6-51 6.9 Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded 6.9.1 Lõpmata väikeste deformatsioonide tensorid Hüljates kõrgemat järku lõpmata väiksed liikmed, saame lõpmata väikeste deformatsioonide tensorid 7 { 2E KL = 2E LK = C KL G KL = U L;K + U K;L, 2 e kl = 2 (6.118) e lk = c kl g kl = u l;k + u k;l. Selliseid deformatsioonitensoreid kasutatakse klassikalises lineaarses teoorias. 6.9.2 Pöördetensorid ja pöördevektorid R KL = 1 2 (U K;L U L;K ) ja r kl = 1 2 (u k;l u l;k ). (6.119) Viimased on klassikalise lineaarse teooria pöördetensorid. On selge, et tegu on kaldsümmeetriliste tensoritega, st., R KL = R LK ja r kl = r lk. Pöördetensorite indekseid saab meetriliste tensoritega tõsta ja langetada. 7 Neid nimetatakse ka lihtsalt väikeste deformatsioonide tensoriteks unustades sõna lõpmata lisamata. 6.9. Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded 6-52 Järgnevalt toome sisse Lagrange i ja Euleri lineaarsed pöördevektorid R K ja r k : R K = 1 2 ǫklm R ML, ja r k = 1 2 ǫklm r ml, (6.120) kus ǫ KLM ja ǫ klm on permutatsioonisümbolid. Permutatsioonisümbolid 8 ǫ klm = eklm, g ǫ klm = e klm g, g = gkl, (6.121) kus 9 1 kui klm on 123 paaris permutatsioon, e klm, e klm = 1 kui klm on 123 paaritu permutatsioon, 0 muudel juhtudel. (6.122) 8 Tuntud ka kui Levi-Civita tensor või Levi-Civita permutatsioonitensor. I.k. on kasutusel ka nimetused Levi-Civita symbol, permutation symbol, antisymmetric symbol, alternating symbol. Tullio Levi-Civita (29. 03. 1873 29. 12. 1941) oli Itaalia matemaatik. 9 Vt. ka 2. ptk. lk. 13
6.9. Lõpmata väikesed deformatsioonid ja pöörded 6-53 Näide 6.9.1. Avaldame pöördevektorid r 1, r 2 ja r 3 siirdegradientide kaudu. Valemite (6.120) ja (6.121) põhjal r k = 1 2 g eklm r ml, Seega r 1 = 1 2 [......... +.........] =...... g 1 2 g (u 3;2 u 2;3 ) r 2 = 1 2 [......... +.........] =...... g 1 2 g (u 1;3 u 3;1 ) r 3 = 1 2 [......... +.........] =...... g 1 2 g (u 2;1 u 1;2 ) (6.123) 6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-54 6.10 Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6.10.1 Pikenemine, pikenemiskoefitsendid ja suhteline pikenemine Pikenemiskoefitsient suunas N: Λ (N) = ds ds ds = 2 ds = CKL dx K dx L = C 2 ds 2 KL N K N L, λ (n) = ds (6.124) ds ds = 2 ds = ds 2 2 c kl dx k dx = 1 l ckl n k n l. Füüsikaliselt on suurused Λ (N) ja λ (n) samad esimene on vaid esitatud LK-s, teine EK-s. Suhteline pikenemine 10 (suunas N) esitatakse kujul 10 I.k. extension E (N) = e (n) = ds ds ds = Λ (N) 1 λ (n) 1. (6.125)
6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-55 Lagrange i koordinaadid. Pikenemiskoefitsendid ja suhteline pikenemine koordinaatkõvera X K puutuja sihis (N on koordinaatkõvera X K puutuja sihis): C K K Λ (K) = = 1 + 2E K K, E (K) = 1 + 2E K K 1. (6.126) G K K G K K G K K Et anda füüsikalist tõlgendust deformatsioonitensorite komponentidele, esitatakse viimased valemid sageli kujul C K K G K K = Λ 2 (K), 2E K K G K K = Λ 2 (K) 1 = ( 1 + E (K) ) 2 1. (6.127) Euleri koordinaadid. Lähtudes avaldistest (6.124) 2 saame tuletada analoogilised valemid EK jaoks ( gk k λ (k) = = 1 2e ) 1 ( 2 k k, e(k) = 1 2e ) 1 2 k k 1, c k k g k k g k k c k k g k k = λ 2 (k), 2e k k g k k = 1 λ 2 (k) = 1 ( 1 + e (k). ) 2 (6.128) 6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-56 6.10.2 Nurga muutus ja nihkedeformatsioon Vaatleme kahte lõpmata väikest vektorit dx 1 ja dx 2, mille vaheline nurk on Θ Θ (N1,N 2 ) ja mis deformeeruvad vektoriteks dx 1 ja dx 2, mille vaheline nurk on ϑ ϑ (n1,n 2 ). Nurkade koosinused Joonis 6.10: Nurga muutus ja cos Θ = dx 1 dx 2 dx 1 dx 2 (6.21) = G KLdX K 1 dx L 2 dx 1 dx 2 = G KL N K 1 N L 2 (6.129)
6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-57 cos ϑ = dx 1 dx 2 dx 1 dx 2 (6.65) = C KL dx1 K dx2 L CMN dx1 MdXN 1 CRS dx2 RdXS 2... (6.124) = C KLN K 1 N L 2 Λ (N1 )Λ (N2 ) =... tähistame = H. (6.130) Nihe ehk nihkedeformatsioon ehk nihkenurk vektoritega N 1 ja N 2 määratud pinnal on defineeritud kui algse nurga Θ muut Γ (N1,N 2 ) = γ (n1,n 2 ) = Θ (N1,N 2 ) ϑ (n1,n 2 ). (6.131) Võtame viimase avaldise vasakust ja paremast poolest siinuse sin Γ = sin(θ ϑ) =...... (6.130) = H sin Θ 1 H 2 cos Θ. (6.132) 6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-58 Kui N 1 N 2, siis saame viimasest, et sin Γ = H (6.130) = C KLN1 K N2 L. (6.133) Λ (N1 )Λ (N2 ) Seega, kaks algselt ristuvat vektorit jäävad ka peale deformatsiooni risti parajasti siis kui C KL dx1 K dx2 L = 0. (6.134) Kui valida suunad N 1 ja N 2 piki koordinaatkõverate X K puutujaid, siis saab nurgamuutuste hindamiseks kasutada baasivektoreid G K ja C K (kuigi nad pole ühikvektorid) G cos Θ (KL) = KL, GK K G L L (6.135) C KL G cos ϑ (KL) = KL + 2E = KL CK K C L L (GK K + 2E K K ) (G L L + 2E L L ).
6.10. Pikenemine, nurga muutus ja deformatsioonitensorite geomeetriline tõlgendus 6-59 EK-s saavad viimased valemid kuju g kl cos ϑ (kl) =, gk k g l l cos Θ (kl) = c kl ck k c l l = g kl 2e (6.136) kl (gk k 2e k k ) (g l l 2e l l ). Kuna LK ja EK on valitavad sõltumatult, siis üldjuhul ei õnnestu siduda nihkeid Γ (KL) ja γ (kl). Nurkadele Θ (KL) = π/2 ja ϑ (kl) = π/2 vastavad nihked on määratud järgmiselt: 1 C sin Γ (KL) = KL, Λ (K) Λ (L) GK K G L L c (6.137) kl sin γ (kl) = λ (k) λ (l). gk k g l l Kui X K on DRK, siis... 6.11. Deformatsioonitensori invariandid, peaväärtused ja peasuunad 6-60 6.11 Deformatsioonitensori invariandid, peaväärtused ja peasuunad Tuleb lahendada võrrandisüsteem ( ) C K L Cδ K L N L = 0. (6.138) Viimasel eksisteerib mittetriviaalne lahend juhul kui tema karakteristlik determinant on null, st., C K L Cδ K L = 0. (6.139) Selle determinandi arendamise tulemusena saadakse karakteristlik võrrand (mis kujutab endast kuupvõrrandit) C 3 + I C C 2 II C C + III C = 0 (6.140) tundmatu C määramiseks. Kogu protseduur on tegelikult analoogiline DKR korral käsitletule. Invariantide III C ja III c geomeetriline tõlgendus. Maatriksite teooriast on teada, et determinant maatriksite korrutisest on võrdne korrutatavate maatriksite
6.11. Deformatsioonitensori invariandid, peaväärtused ja peasuunad 6-61 determinantide korrutisega, st., A B = A B. Meil C K L = G KM C ML (6.72) = G KM g kl x k,mx l,l. (6.141) Invariandi III C definitsiooni põhjal III C = C K L (6.141) = G RS gmn x k,k 2 = g G j2 = J 2, (6.142) kus J on teisenduse z k = z ( k Z K, t ) jakobiaan fikseeritud ajahetkel t ja mis on leitav järgmiselt: J = z k Z K = z k x m X M x m X M Z K = z k x n X M g x m X N Z K = j. (6.143) G Vaatleme peatelgede sihilisi joonelemente ds α ja ds α. Elementaarruumalad dv = ds 1 ds 2 ds 3 ja dυ = ds 1 ds 2 ds 3. Kuna siis ds α ds α = Λ α = λ α, dυ dv = ds 1ds 2 ds 3 ds 1 ds 2 ds 3 = λ 1 λ 2 λ 3 = III C (6.142) = J. 6.12. Pöörde põhiteoreem 6-62 Seega dυ = III C dv ja dv = III c dυ. (6.144) Kokkuvõttes invariandid III C ja III c iseloomustavad ruumala muutust. 6.12 Pöörde põhiteoreem Fikseeritud kiu lokaalse pöörde määramiseks toome sisse pöördetensori. Olgu vektorid N α peatelgede sihilised ortogonaalsed ühikvektorid X-s. Peale deformatsiooni on see kolmik pööratud ortogonaalseks kolmikuks n α koordinaatides x. Kui vahetada (siirata) kolmik N α ruumipunkti p(x) siis saab defineerida ühese ortogonaalse tensori R, mida nimetatakse pöördetensoriks ja mis pöörab vahetatud kolmiku N α kolmikuks n α. n k α = R k mg m KN K α = g k LR L KN K α = R k KN K α N K α = g K 1 mr m kn k α = 1 R K Lg L kn k α = 1 (6.145) R K kn k α
6.12. Pöörde põhiteoreem 6-63 Joonis 6.11: Peatelgede siire koos pöördega Siin 1 R on tensori R pöördtensor (duaalne tensor): R pöörab N α n α ja vastupidi 1 R pöörab n α N α tagasi. Tensor esitab siiret X x koos järgneva pöördega. Defineerime nüüd vektorite kolmikud N α ja n α R k K = R k mg m K = R L Kg k L (6.146) N α KN L α def = δ L K, n α kn l α def = δ l k, (6.147) 6.12. Pöörde põhiteoreem 6-64 st., (vektorite) kolmikud N α ja n α ning N α ja n α teineteise pöördkolmikud 11. Maatrikskirjaviisis tähendaks eelnev seda, et [N α K][N L α] = I, kus I on ühikmaatriks. Korrutame avaldisi (6.145) vastavalt vektoritega N α L ja n α l. Ar- vestades definitsioone (6.147) saame pöördetensorite määramiseks valemid R k K = n k αn α K ja 1 R K k = N K αn α k. (6.148) Pöördeta deformatsiooni (deformatsiooni, kus peateljed ei pöördu) puhul, seega Toupin (1956) tõestas, et R = I ehk R k l = δ k l; R k K = g k K;... (6.149) 1. Greeni ja Cauchy deformatsioonitensorite n-ndad astmed on seotud järgmiselt n C K L = 1 R K n kc k lr l n L, c k l = R k n 1 K R L l (6.150) ning lisaks veel, et n C K L = α C K L (C α ) n N K αn α L. (6.151) 11 I.k. reciprocal triads
6.12. Pöörde põhiteoreem 6-65 2. Deformatsioonigradiendid avalduvad kujul 1 2 x k,k = R k LC L K = R l K Viimastest omakorda 1 2 c k l, 1 2 X K,k = 1 R K l 1 2 c l k = 1 R L k 1 2 C K L. (6.152) R k K = x k,lc L K ja 1 R K k = X K 1 2,l c l k. (6.153) Saab näidata, et teiselt poolt x k,k = g kl g L l (G KL + U L;K ), kust U L;K = g kl g l Lx k,k G KL. Arvestades nüüd (6.152) 1, saame, et U L;M = R KL 1 2 1 2 C L L M G KM = R K C LM G KM. (6.154) Lisaks eelnenule saab tõestada seosed tensorite E, R ja R vahel R KM = (G KL + E KL + R KL ) 1 2 C L M. (6.155) Väikeste deformatsioonigradientide puhul saame viimasest R KM R KM G KM, (6.156) 6.12. Pöörde põhiteoreem 6-66 ning arvestades (6.154) analoogi EK jaoks, et R KM g k Kg m M rkm. (6.157) Pöörde põhiteoreem: Iga joonelemendi deformatsiooni mingis punktis võib vaadelda koosnevana kolmest osast 1) paralleellükkest, 2) peatelgede jäigast pöördest ja 3) pikkuse muudust peatelgede sihis. Vaatleme vektorit dx K X-s, mis läheb deformatsiooni käigus vektoriks dx k = x k,kdx K. Kasutades seoseid (6.152) 1 saame 1 2 dx k = g k LR L MC M KdX K = 1 2 c k lr l mg m KdX K. (6.158) Avaldisele (6.158) saab anda järgmise tõlgenduse (joonis 6.12). 1. Vektori dx lüke 12 (koos peatelgedega) vektoriks dx (T). 2. Vektori dx (T) jäik pööre 13 (koos peatelgedega) vektoriks dx (R). 12 I.k. translation 13 I.k. rotation
6.12. Pöörde põhiteoreem 6-67 Joonis 6.12: Joonelemendi deformatsiooni dekompositsioon 3. Läbi peatelgede pikkuste muutmise 14 muudetakse vektor dx (R) vektoriks dx (S) = dx. Täiendavat pööret ei toimu siin siis ja ainult siis kui dx on paralleelne ühega tensori C KL peavektoritest. Valemites on eelnev esitatav kujul 14 I.k. stretch dx k (T) = g k KdX K, dx k (R) = R k ldx l (T), dx k = 1 2 c k ldx l (R). (6.159) 6.12. Pöörde põhiteoreem 6-68 Kui asendame (6.159) 1 (6.159) 2 (6.159) 3, siis saame (6.158), mis tõestabki teoreemi. Joonis 6.13 esitab sama protsessi teises järjekorras: pikenemine, pööre, lüke, st., dx M (S) = 1 2 C M KdX K, dx L (T) = R L MdX M (S), dx k = g k LdX L (R). (6.160) Seega sellise dekompositsiooni puhul pole operatsioonide järjekord tähtis. Joonis 6.13: Joonelemendi deformatsiooni dekompositsioon
6.13. Kiirus ja kiirendus 6-69 6.13 Kiirus ja kiirendus 6.13.1 Materiaalne tuletis Materiaalne tuletis vektorist. Materiaalseks tuletiseks vektorist (aja järgi) nimetatakse operatsiooni ḟ def = df dt. (6.161) X=const Kui vektorfunktsiooni f argumentideks on LK, siis langevad materiaalne tuletis ja osatuletis aja järgi kokku: ḟ(x, t) Näide: Nii leitakse materiaalset tuletist liikumisseadusest. f(x, t). (6.162) t 6.13. Kiirus ja kiirendus 6-70 Keerukam on lugu siis, kui f on avaldatud EK-s. Vaatleme vektorfunktsiooni f(x, t) = f k g k = f k g k. Nüüd ḟ(x, t) = ( ) f k g k + g t x l(fk k )ẋ l, ḟ(x, t) = ( fk g k) + (6.163) t x l(f kg k )ẋ l. kuna baasivektorid g k ja g k on ajast sõltumatud, saavad valemid (6.163) kuju ḟ(x, t) = Dfk Dt g k = Df k Dt gk, (6.164) kus suurusi Df k def = fk Dt t + fk ;lẋ l Df k def ja = f k Dt t + f k;lẋ l (6.165) nimetatakse materiaalseks tuletiseks vastavalt vektori kontravariantsest ja kovariantsest komponendist.
6.13. Kiirus ja kiirendus 6-71 Tensorite kovariantsed osatuletised. Enne kui saab asuda materiaalsete tuletiste leidmisele tensoritest tuleb sisse tuua tensorite kovariantsed osatuletised. Need on defineeritud analoogiliselt vektorite kovariantsete osatuletistega (vt. lk. 43) { } { } k l f kl ;m = f kl,m + f nl + f kn (6.166) nm nm on kontravariantse tensori kovariantne osatuletis. Analoogiliselt saab defineerida kovariantse osatuletise segatensorist { } { } k n f k l;m = f k l,m + f n l f k n (6.167) mn lm ja kovariantse osatuletise kovariantsest tensorist { } { } n n f kl;m = f kl,m f nl f km kn lm. (6.168) 6.13. Kiirus ja kiirendus 6-72 Materiaalne tuletis tensoritest. Materiaalne tuletis tensorite kontravariantsetest, kovariantsetest ja segakomponentidest on defineeritud järgmiselt Df kl = fkl + f kl ;mẋ m Dt t Df kl = f kl Dt t + f kl;mẋ m (6.169) Df k l = fk l + f k l;mẋ m Dt t
6.13. Kiirus ja kiirendus 6-73 6.13.2 Materiaalse punkti kiirus ja kiirendus Kiirus v = ṗ = u. (6.170) Lagrange i koordinaadid. Olgu siirdevektor esitatud läbi LK kujul u = U K G K, kus U K = U K (X, t). Nüüd v = u = UK t G K, ehk v = V K G K, kus V K = UK t. (6.171) Viimased avaldised esitavadki kiiruse (kiirusvektori) Lagrange i koordinaatides. Euleri koordinaadid. Kui siirdevektor on esitatud läbi Euleri koordinaatide, siis u = u k g k, kus u k = u k (x, t). Nüüd saame kiiruse avaldised Euleri koordinaatides: [ ] v = u X=const = Duk u k Dt g k t + uk ;lv l g k, ehk (6.172) v = v k g k, kus v k = Duk Dt uk t + uk ;lv l. Seega on kiiruse- ja siirdekomponentide vahelised seosed Euleri koordinaatide puhul ilmutamata kujul. 6.13. Kiirus ja kiirendus 6-74 Kiirendus Materiaalse punkti kiirendus on defineeritud kui tema kiirusvektori esimene tuletis aja järgi a = v. (6.173) Lagrange i koordinaatide puhul a = A K G K, ning Euleri koordinaatide puhul a = a k g k, A K = V K t = 2 U K t 2 (6.174) a k = Dvk Dt = vk t + vk ;l }{{} v l (6.175) ẋ l Seega avalduvad kiirenduse komponendid nii LK-s kui EK-s ilmutatud kujul.
6.13. Kiirus ja kiirendus 6-75 6.13.3 Deformatsioonikiiruse tensor Materiaalne tuletis deformatsioonigradiendist x k,k. D(x k,k) Dt Materiaalne tuletis koordinaadi diferentsiaalist. D(dx k ) Dt Euleri deformatsioonikiiruse tensor. = v k ;lx l,k. (6.176) = v k ;ldx l. (6.177) 2d kl = v k;l + v l;k, (6.178) Materiaalne tuletis joonelemendi ruudust D(ds 2 ) Dt Lagrange i deformatsioonikiiruse tensor. Ė KL = DE KL Dt = 2d kl dx k dx l. (6.179) = d kl x k,kx l,l. (6.180) 6.13. Kiirus ja kiirendus 6-76 6.13.4 Elementaarruumala muutumise kiirus Käesolevas alajaotuses leiame materiaalse tuletise EK-s esitatud elementaarrumalast dυ. Alghetkel t 0 on meil tahke keha (ruumipiirkond) B, mida ümbritseb pind A ja mille ruumala on V. Deformatsiooni käigus B b, A a ja V υ. Kasutame tähistusi j = x k X K = x k,k z k, J = Z K = z k,k, g = g kl, G 1 = (6.181) G KL. Pideva liikumise puhul on koordinaatteisendused x = x(x, t) ja X = X(x, t) teineteise ühesed pöördteisendused ja j 0. Kõverjoonelised koordinaadid x ja X olid sissetoodud läbi DRK. Seega ning jakobiaan... z k Z = zk x m X M K x m X M Z K J = z k Z K = z k x m x n X M X N Z K. (6.182)
6.13. Kiirus ja kiirendus 6-77 Kokku saame aga avaldise D(dυ) Dt mis väljendabki elementaarruumala muutumise kiirust. 6.13.5 Elementaarpinna muutumise kiirus DJ Dt = Jvk ;k (6.183) = Jv k ;kdv = v k ;kdυ, (6.184) Materiaalne tuletis deformatsioonigradiendist X K,k: D(X K,k) Dt = X K,lv l ;k (6.185) Pinnaelemendi materiaalne tuletis (muutumise kiirus): D(da k ) Dt = v m ;mda k v m ;kda m. (6.186) 6.14. Joon-, pind- ja ruumintegraalide kinemaatika 6-78 6.14 Joon-, pind- ja ruumintegraalide kinemaatika Joonintegraal. Olgu φ mingi funktsioon (näit. massi tihedus või kiirus või elektrijuhtivus vms.), mis on defineeritud üle materiaalse joone L. Vastava joonintegraali muutumise kiirus leitakse materiaalse tuletise abil: D Dt L φdx k = L (6.177) = D Dt (φdxk ) = L L [ φdx k + φv k ;ldx l ]. [ Dφ Dt dxk + φ D ] Dt (dxk ) = (6.187) Pindintegraal. Olgu nüüd suvaline funktsioon φ defineeritud üle materiaalse pinna S. Vastava pindintegraali muutumise kiirus [ D D Dφ φda k = Dt S S Dt (φda k) = S Dt da k + φ D ] Dt (da k) = [ φdak + φ ( ) ] (6.188) v l ;lda k v l ;kda l. (6.186) = S
6.14. Joon-, pind- ja ruumintegraalide kinemaatika 6-79 Ruumintegraal. Kui nüüd funktsioon φ on defineeritud üle materiaalse mahu V, siis ruumintegraali muutumise kiirus [ D Dφ φdυ = Dt V V Dt dυ + φ D ] Dt (dυ) (6.184) = [( ) ] [ φ φ = t + φ ;kv k dυ + φv k ;k(dυ) = t + ( φv k) ] dυ. ;k V V (6.189) Kui kasutada Greeni-Gaussi teoreemi 15, siis saame viimasest D φ φdυ = Dt t dυ + φv k da k. (6.190) V υ Siin on materiaalne maht V asendatud fikseeritud ruumimahuga υ, mida ümbritseb pind s ja mis hetkeliselt ühtib materiaalse mahuga V. Seega, mingi füüsikalise suuruse φ materiaalses mahus V muutumise kiirus võrdub selle suuruse φ muutumise kiirus ruumilises mahus υ (mis hetkeliselt ühtib materiaalse mahuga V) pluss suuruse φv k voog läbi ruumilist mahtu υ ümbritseva pinna s. 15 V uk ;kdυ = S uk da k, da k = n k da tuntud ka kui Gaussi-Ostrogradski teoreem s 6.15. Keeriselisus ja deformatsiooni kiirus 6-80 6.15 Keeriselisus ja deformatsiooni kiirus 6.15.1 Keeriselisus (Cauchy) keeriselisuse tensor 16 w kl = 1 2 (v k;l v l;k ) v [k;l]. (6.191) Kaldsümmeetrilisest tensorist w kl saab omakorda konstrueerida keerisvektori w k = ǫ klm w ml = ǫ klm v m;l ehk w = curlv, (6.192) kus curlv rotv def = v ja def = g k xk. (6.193) Keerisvektori kovariantsed komponendid w k = g kl w l. (6.194) 16 I.k. vorticity tensor. Kasutatakse ka terminit pöörlemistensor, i.k. vastavalt spin tensor.
6.15. Keeriselisus ja deformatsiooni kiirus 6-81 6.15.2 Deformatsioonitensorite materiaalsed tuletised Lagrange i deformatsioonikiiruse tensor Ė KL = DE KL Dt = d kl x k,kx l,l. Leiame nüüd seose deformatsioonikiiruse tensori d kl ja Euleri deformatsioonitensori materiaalse tuletise ė kl vahel. Selleks leiame jällegi materiaalse tuletise deformatsiooni mõõdust ds 2 ds 2 D Dt (ds2 ) = D Dt (ds2 ds 2 ) (6.74) = 2 D Dt (e kldx k dx l ) (6.177) = 2 (ė kl + e ml v m ;k + e km v m ;l)dx k dx l. (6.195) d kl = ė kl + e ml v m ;k + e km v m ;l. (6.196) Arvestades Euleri ja Lagrange i deformatsioonitensorite definitsioone (2e kl = g kl c kl ja 2E KL = C KL G KL ) saame ċ kl = 2ė kl ja ĊKL = 2ĖKL. (6.197) 6.16. Mass 82 Deformeeruva keskkonna dünaamika 6.16 Mass Pideva keskkonna mehaanika I põhiaksioom massi jäävuse seadus Globaalne massi jäävuse aksioom. Keskkonna kogumass on liikumisel invariantne ρ dv = ρdυ. (6.198) V Kuna dυ = JdV, siis saab viimase võrduse esitada nii LK-s kui EK-s (ρ ρj)dv = 0 või (ρ ρ J 1 )dυ = 0, (6.199) V υ υ