MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond ja kujutada see graafiliselt Vastus: + y 4 z = arcsin( + y ) - - - (4) Leida funktsiooni määramispiirkond ja kujutada see graafiliselt - Vastus: ( < + y ) ( y ) z = ln( + y ) + 4 y - - - - - (5) Leida funktsiooni määramispiirkond ja kujutada see graafiliselt - z = arcsin y + Vastus: ( > y ) ( < y ) - 4 Vihje: negatiivse arvuga korrutamine muudab võttatuse märgi vastupidiseks. Seega vaatame eraldi juhtumeid < 0, < 0 - -4-6
(6) Leida funktsiooni määramispiirkond ja kujutada see graafiliselt Vastus: (y k k +, k Z) (y k k, k Z) z = (y ) sin(π) - - - - - (7) Leida funktsiooni y = 4 arcsin( ) pöördfunktsioon. (8) Leida funktsiooni y = ln + pöördfunktsioon. (9) Kas funktsioon y = ln on paaris, paaritu või mitte kumbki? (0) Leida piirväärtus () Leida piirväärtus () Leida piirväärtus () Leida piirväärtus (4) Leida piirväärtus (5) Leida piirväärtus (6) Leida piirväärtus (7) Leida piirväärtus + 4 + + + 5 + 4 V: 7 ( + 9 ) 9 0 4 + V: 4 ( ) 4 + 4 + tan β 0 tan α V: β α cos 0 5 V: 0 V: 9 V: ( + tan ) cos V: e + = + ( 0+), e = 0 ( 0 ) 0 (8) Leida piirväärtus L Hospitali reegli abil ( ln ) ln (9) Leida piirväärtus L Hospitali reegli abil tan π/4 sin (0) Leida piirväärtus L Hospitali reegli abil (tan )tan Vastus: π/4 ( ) 5 5 + V: e - Vastus: Vastus: e
() Leida piirväärtus L Hospitali reegli abil 0 (e + ) / Vastus: e () Leida piirväärtus 7 y Vihje: y = k (,y) (0,0) 4 + y Vastus: Ei eksisteeri. Ei ole üheselt määratud () Leida piirväärtus (,y) (0,0) (4) Leida piirväärtus 7y Vihje: polaarkoordinaadid või y = k, y = k, y = k 4 4 + y 4 Vastus: Ei eksisteeri.(, 7k, 0) 4 sin y (,y) (0,0) 4 + y 4 (5) Uurida funktsiooni pidevust punktis (0, 0) 4 y f (, y) := + y = 0 4 +y + y = 0 (6) Uurida funktsiooni pidevust punktis (0, 0) f (, y) := ( + y ) /( +y ) + y = 0 + y = 0 Vihje: polaarkoordinaadid, ekvialentsed lõpmata väikesed suurused Vastus:0 Vastus: katkev punktis (0, 0) Vihje: polaarkoordinaadid f (, y) = (,y) (0,0) e0 = Vastus: pidev punktis (0, 0) (7) Uurida funktsiooni pidevust punktis (0, 0) ( + f (, y) := + y ) / y + y Vihje: polaarkoordinaadid = 0 + y = 0 Vastus: katkev punktis (0, 0) (8) Uurida funktsiooni pidevust punktis (0, 0) cos( +y ) f (, y) := + y Vihje: polaarkoordinaadid = 0 +y 0 + y = 0 Vastus: pidev punktis (0, 0) (9) Leida funktsiooni f katkevuskohad ja määrata nende liik + cos π, 0 < f () := ( ) +, < 0 V: I liiki katkevuskoht = 0, II liiki katkevuskoht = (pidev = ) (0) Leida funktsiooni f katkevuskohad ja määrata nende liik f () := cos() V: I liiki katkevuskoht =, II liiki katkevuskoht = 0 () Leida funktsiooni f katkevuskohad ja määrata nende liik f () := π 4 arctan V: I liiki katkevuskoht =, II liiki katkevuskoht = () Leida funktsiooni f katkevuskohad ja määrata nende liik V: I liiki katkevuskoht = f () := e + e
4 () Leida y, kui y = ( + ) V: y = ln (6 + ln + ln 9) (4) Leida funktsiooni tuletis y = dy d y = V: y = + ln (5) Leida funktsiooni tuletis y = dy d y = (sin ln( ) + cos ln( )) V: y = 4 cos ln( ) sin ln( ) (6) Leida ilmutamata funktsiooni tuletis y = dy d + 4 y = y (7) Leida ilmutamata funktsiooni tuletis y = dy d y = y (8) Leida ilmutamata funktsiooni tuletis y = dy d arctan y = ln 4 + y (9) Leida parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis dy d = e t cos t y = e t sin t (40) Leida parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis y = d y d = cos t y = sin t (4) Kontrollida, kas funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahendiks Vihje: z = ln + y z + z yy = 0 z = ln + y = ln ln( + y ) (4) Kontrollida, kas funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahendiks z = y + arctan y z + y z y = y + z (4) Kontrollida, kas funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahendiks z = sin y + y cos y z + y y + y z yy = 0 (44) Leida ilmutamata funktsiooni tuletised z, z y cos y + y cos z + z cos = 0 z sin cos y Vastus: z = cos y sin z, z y = (45) Kontrollida, kas ilmutamata funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahendiks ln( z) + cos(y 5z) = 0 z + 5z y = sin y cos z cos y sin z.
(46) Kontrollida, kas ilmutamata funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahendiks z arctan z y = 0 z + y z y = z (47) Leida funktsiooni suunatuletis punktis A vektori AB suunas. w = y + z, A(0; ; ), B( ; ; 0) (48) Leida funktsiooni suunatuletis punktis A vektori s suunas. Vastus: w = y yz + z, A(; ; ), π s = (cos ; cos π 4 ; cos π ) (49) Leida funktsiooni tuletis gradiendi suunas (gradiendi pikkus). Vastus: 5 w = + y + z Vastus: gradw = + y + z