Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 008

Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R............... 5 1.1. Lineaarne algebraline võrrandisüsteem......... 6 1.1.3 Ülesande üldisem püstitus. Operaatorvõrrand..... 8 1.1.4 Lavrentjevi meetod..................... 8 1.1.5 Tihhonovi meetod...................... 9 1.1.6 Diferentseerimisülesanne................. 10 1.1.7 Lineaarsed operaatorid Hilberti ruumis......... 11 1.1.8 Momentide võrratus.................... 1 1.1.9 Mittekorrektse ülesande mõiste.............. 13 1.1.10 Ajaloolist mittekorrektsetest ülesannetest....... 14 1.1.11 Ülesannete Gaussi sümmetriseerimine......... 14 1.1.1 Mittekorrektsete ülesannete klassifitseerimine..... 16 1.1.13 Ruumide valikust...................... 17 1. Näiteid mittekorrektsest ülesannetest.............. 17 1..1 I liiki Fredholmi integraalvõrrand............ 17 1.. I liiki Volterra integraalvõrrand.............. 18 1..3 I liiki Abeli integraalvõrrand............... 19 1..4 Suure konditsiooniarvuga lineaarne võrrandisüsteem. 0 1..5 Diferentseerimisülesanne................. 1 1

1..6 Fourier ridade summeerimine.............. 1 1..7 Dirichlet ülesanne lainevõrrandi jaoks......... 1..8 Funktsiooni analüütilise jätkamise ülesanne...... 1..9 Cauchy ülesanne Laplace i võrrandi jaoks........ 3 1..10 Soojusjuhtivuse pöördülesanne.............. 3 1.3 Lõplikumõõtmelisest regulariseerimisest............ 4 1.3.1 Regularisaatori mõiste................... 4 1.3. Iseregulariseerimise mõiste................ 5 1.3.3 Diferentseerimisül. lahendamine diferentsvalemi abil. 6 1.3.4 Fourier ridade summeerimine.............. 7 1.3.5 Operaatorvõrr. lahendamine spektraallõike meetodiga 7 1.3.6 I liiki Volterra integraalvõrrandi lahendamine...... 9 1.4 Operaatorvõrr.-te iseregulariseerimine proj. meetoditega... 31 1.4.1 Projektsioonimeetodite kirjeldus............. 31 1.4. Projekteeritud võrrandi ühene lahenduvus....... 31 1.4.3 Projektsiooniruumi mõõtme aprioorne valik....... 33 1.4.4 Projektsiooniruumi mõõtme valik hälbe põhjal..... 35 1.4.5 Lisandusi koonduvusteoreemile.............. 37 1.4.6 Kaks võrratust........................ 38 1.4.7 Vähimruutude meetod................... 40 1.4.8 Vähima vea meetod..................... 41 1.4.9 Galjorkini meetod...................... 43 1.5 Green i funkts. tüüpi tuumadega I liiki integraalvõrrandite... 44 1.5.1 Võrrandite klassi kirjeldus................. 44 1.5. Integraaloperaatori väärtuste piirkond......... 45 1.5.3 Splainide ruum....................... 46 1.5.4 Vähima vea meetod..................... 47 1.5.5 Vähimruutude meetod................... 48 1.5.6 Galjorkini meetod...................... 49

Regulariseerimismeetodite klass enesekaassete ül.-te jaoks 50.1 Regulariseerimismeetodite optimaalsus............. 50.1.1 Regulariseerimismeetodite optimaalsuse mõiste.... 50.1. Optimaalse meetodi veahinnang............. 51.1.3 Regul. meetodi veahinnang allikataolisel hulgal.... 5.1.4 Projektsioonimeetodite kvaasioptimaalsus....... 53. Regul. meetodite klass enesekaasse operaatori korral).... 53..1 Meetodite klassi kirjeldus................. 53.. Lavrentjevi meetod..................... 54..3 Itereeritud Lavrentjevi meetod.............. 55..4 Ilmutatud iteratsioonimeetod............... 57..5 Ilmutamata iteratsioonimeetod.............. 59..6 Cauchy ülesande meetod.................. 59..7 Spektraallõike meetod................... 61..8 Regulariseerimismeetodite koonduvus.......... 6..9 Koonduvuskiirus hulgal M p,ρ,u0.............. 63..10 Optim. ja asümpt. optim. meetodid hulgal M p,ρ,u0... 64.3 Hälbeprintsiip............................ 65.3.1 Hälbe muutumispiirid................... 65.3. Regulariseerimisparameetri valik ja abitulemused... 67.3.3 Hälbe monotoonsus..................... 71.3.4 Hälbe kriitiline tase..................... 71.4 Regulariseerimisparameetri valikureeglite kvaasioptimaalsus 7.4.1 Kvaasioptimaalse valikureegli mõiste.......... 7.4. Täiendavad tingimused funktsioonile g r λ)....... 74.4.3 Modifitseeritud hälbeprintsiip............... 76.4.4 Hälbeprintsiibi numbriline realiseerimine......... 81.4.5 Nõrgalt kvaasioptimaalsete valikute pere........ 81.4.6 Hälbeprintsiibi tugev kvaasioptimaalsus lõpmatu.... 84 3

.5 Mitteenesekaasse operaatoriga ülesanne............ 87.5.1 Ülesande seade....................... 87.5. Abitulemused........................ 89.5.3 Sümmetriseerimise teine variant............. 91.5.4 Regulariseerimisparameetri aprioorne valik...... 9.5.5 Parameetri aposterioorne valik. Hälbeprintsiip..... 93.5.6 Aposterioorsete valikureeglite kvaasioptimaalsus... 97.5.7 Nõrgalt kvaasioptimaalsete valikureeglite pere.... 98.5.8 Monotoonse vea reegel................... 99.5.9 Regul. param. valik kvaasilahendiga ül. korral..... 101.6 Veaga antud operaatori juht.................... 104.6.1 Hälbeprintsiip........................ 106.7 Param. valik mitte teada oleva või ligikaudselt teada oleva... 108.7.1 Mitte teada oleva veataseme juht............. 109.7. Ligikaudselt teada oleva veataseme juht........ 109.8 Normaalselt lahenduvad ülesanded............... 111.8.1 Hälbeprintsiip........................ 113.9 Regulariseeritud projektsioonimeetodid............. 113.9.1 Regulariseeritud projektsioonimeetodite näited.... 113.9. Näide I liiki integraalvõrrandi lahendusmeetoditest.. 114.9.3 Regulariseerimisparameetri aprioorne valik...... 116.9.4 Regulariseerimisparameetri aposterioorne valik.... 117.9.5 Diskretiseerimisparameetri n valik............ 118 4

Peatükk 1 Näiteid mittekorrektsetest ülesannetest ja iseregulariseerimisest 1.1 Sissejuhatus Kui modelleerime mõnda nähtust, saame ülesande matemaatilise mudeli, mis seob lähteandmeid ja otsitavaid tulemusi. Ülesanne on mittekorrektne, kui väikese lähteandmete muutuse korral lahend muutub palju. See tähendab, lahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest. See on ebameeldiv, sest mõõtmisel saadud algandmed on mõõtmisveaga. Kursuses vaatame, kuidas neid ebameeldivaid mõjusid vähendada. 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R Vaatleme võrrandit au = f, kus a, f R ja u on otsitav. Lahendi ühesus sõltub kordajast a. 1) Kui a = 0, siis lahend leidub parajasti juhul, kui f = 0. Sel korral on lahendeid u lõpmata palju, see tähendab, iga u R rahuldab antud võrrandit. ) Kui a 0, siis leidub parajasti üks lahend, mis avaldub kujul u = f a. Kui vaadelda piirprotsessi a 0, siis lahendi vead suurenevad. 5

Kui f asemel on antud f δ nii, et f δ f δ, kus δ > 0 ja δ on väike, siis saame lähislahendi u δ = f δ. Täpsest lahendist erineb see absoluutse a vea võrra: u δ u = f δ f a δ, st. mida väiksem on a, seda suurem on a jagatis ehk seda suurem on viga. Suhteline e. relatiivne viga u δ u = f δ f u a a f = f δ f f δ f. Siit nähtub, et absoluutne viga sõltub eelkõige arvust a ja suhteline viga arvust f. 1.1. Lineaarne algebraline võrrandisüsteem Vaatleme algebralist võrrandisüsteemi { u1 + 1 + ε)u = f 1 1 ε)u 1 + u = f Võrrandisüsteem on sümmeetriline, kui süsteemi maatriks A = A T. Suurused f 1 ja f on antud, u 1 ja u on otsitavad, D = 1 1 + ε 1 ε 1 = 1 1 ε ) = ε. Mida väiksem on ε, seda suuremad on lahendid f 1 1 + ε f 1 1 u 1 = = f 1 f 1 + ε), ε ε 1 f 1 1 ε f u = = f f 1 1 ε). ε ε Mõned näited. 1) Kui f 1 = f = 1, siis u 1 = 1 ε, u = 1 ε. ) Kui f 1 = 1 + ε, f = 1 ε, siis u 1 = 1 ε + 1, u = 1 ε + 1. 6

Kui ε 0, tulevad u 1 ja u hästi suured. Näiteks kui ε = 10 10, siis 1) juhul u 1 = 10 10, u = 10 10 ning ) juhul u 1 10 10, u 10 10. Omaväärtused λ on võrrandi A λi = 0 lahendid. Arvutame need. 1 λ 1 + ε 1 ε 1 λ = λ λ + 1 1 + ε = λ λ + ε = 0, siit λ 1, = 1 ± 1 ε, mis tähendab, et λ max, λ min ε. Järelikult Näeme, et kui ε 0, siis µa). µa) = λ max λ min : ε = 4 ε. Lahendi vea hindamine Olgu u = ux 1,...,x n ). Kui on teada argumentide x i vead, kui suur on u viga? Eeldusel, et u on diferentseeruv, avaldub absoluutne viga kujul n u = u x i x i. i=1 Valime ülaltoodud näites ε = 10 n, siis u 1 = u 1 f 1, f ) = f 1 f 1 + 10 n ) ) 10 n, u = u f 1, f ) = f f 1 1 10 n ) ) 10 n. Leiame osatuletised: u i f j 10n, i = 1,, j = 1,. Seega Kui näiteks f 1 = f = 1, siis Kui aga f 1 = 1 + 10 n, f = 1, siis u 1 u 10 n f 1 + f ). u 1 = 10 n, u = 10 n. u 1 = 0, u = 1 1 + 10 n )1 10 n )) 10 n = 1. Saadud lahendid on väga erinevad. Tegu on tüüpilise mittekorrektse ülesandega. 7

1.1.3 Ülesande üldisem püstitus. Operaatorvõrrand Olgu H ja F Hilberti ruumid ning A : H F lineaarne operaator. Vaatleme operaatorvõrrandit Au = f. Element f F väljendab lähteandmeid. Kui f F asemel on teada f δ nii, et f δ f δ, siis saame lahendi u asemel elemendi u δ, mille korral Au δ = f δ. Meid huvitab, kui palju u δ erineb täpsest lahendist u. Eeldame, et A on lineaarne, siis ka A 1, kui ta leidub, on lineaarne. Edasiseks aruteluks eeldamegi, et leidub pöördoperaator A 1 ja A 1 <. Võrrandi Au = f lahendi saame, kui vasakult rakendame A 1. Saame A 1 Au = A 1 f, millest u = A 1 f. Analoogiliselt u δ = A 1 f δ. Nüüd u δ u = A 1 f δ A 1 f = A 1 f δ f) A 1 fδ f A 1 δ. Siit näeme, et lähislahendi u δ absoluutne viga sõltub operaatorist A, sest A 1 sõltub operaatorist A. Lahendi relatiivse vea leiame järgmiselt: kuna f = Au A u, siis 1 A ning seega u f u δ u u A 1 f δ A 1 f A f A A 1 f δ f. f Siin f δ f on lähteandmete relatiivne viga. Suurust µa) = A A 1 f nimetatakse operaatori A konditsiooniarvuks. Sümmeetrilise operaatori A korral saab näidata, et µa) λ max λ min, kus arvud λ on operaatori A omaväärtused. Meenutame, et operaatori A omaväärtuseks nimetatakse arvu λ, mille korral võrrandil Au = λu leidub mittetriviaalne lahend u sellist elementi u nimetatakse omaelemendiks). Nagu näha, tasub lahendi vea vähendamiseks vähendada arvu A 1. 1.1.4 Lavrentjevi meetod Operaatorvõrrandi Au = f lahendamisel on problemaatilised operaatori A väikesed omaväärtused. Kui näiteks λ = 0 on A omaväärtus, see tähendab, Aũ = 0 kus ũ on omaväärtusele 0 vastav omaelement), siis võrrandi Au = f 8

lahend pole üldse üheselt määratud. Nimelt, koos lahendiga u oleks lahendiks samuti element u + cũ, kus c on suvaline arv. Tõepoolest: Au + cũ) = Au + caũ = f + 0 = f. Olgu nüüd operaator A enesekaasne, st. A = A, ja mittenegatiivne, st. Au, u 0 iga u korral. Lühemalt, A = A 0.) Lihtne on näha, et enesekaasse mittenegatiivse operaatori omaväärtused on mittenegatiivsed. Tõepoolest, olgu u omaväärtusele λ vastav omaelement, siis λ u = λu, u = Au, u 0, millest λ 0. Sellel juhul tekib soov modifitseerida võrrandit Au = f nii, et λ min oleks võimalikult suurem. Spektrinihe ehk Lavrentjevi meetod. Olgu A = A 0. Vaatleme võrrandi Au = f asemel võrrandit A+αI)u = f, kus α > 0, α on väike. Operaatori A+αI omaväärtused on arvud kujul λ+α, kus λ on A omaväärtus, sealjuures omaelemendid jäävad samaks. Tõepoolest, võrrandid A λi)u = 0 ja A + αi λ + α)i)u = 0 on samaväärsed. Nüüd λ + α α ning samuti λ + α > λ. Niisiis muutuvad uue võrrandi omaväärtused automaatselt positiivseks ja ka suurenevad. Mida täpsemalt on f teada mida väiksem on δ), seda väiksema α võime valida. Arvu α vähenedes väheneb viga täpsete lähteandmete korral, α suurenedes väheneb viga ligikaudsete andmete korral. 1.1.5 Tihhonovi meetod Meetodi põhiidee on üleminek mitte-enesekaasselt ülesandelt enesekaassele ülesandele. Kui operaator A pole enesekaasne või pole mittenegatiivne, siis läheme ülesandelt Au = f üle ülesandele A Au = A f, see tähendab, rakendame ülesande mõlemale poolele operaatori A kaasoperaatorit A. Operaator A A on enesekaasne ja mittenegatiivne. Tõepoolest: A A) = A A = A A, A Aw, w = Aw, Aw = Aw 0. Kui λ on A A omaväärtus, siis λ u = λu, u = A Au, u = Au 0, millest λ 0. Lisame ülesandes A Au = A f operaatorile A A operaatori αi. Saame võrrandi A A + αi)u = A f. 9

See ongi Tihhonovi meetod. Uurime Tihhonovi meetodi veahinnagut. Kui f asemel on teada f δ, saame kasutada u δ α kui võrrandi A A + αi)u δ α = f δ lahendit. Vaatleme lisaks veel lahendit u 0 α võrrandile A A + αi)u 0 α = f. Nüüd u δ α u = u δ α u 0 α + u 0 α u u δ α u 0 α + u 0 α u = = A A + αi) 1 f δ A A + αi) 1 f + u 0 α u = = A A + αi) 1 f δ f) + u 0 α u A A + αi) 1 fδ f + u 0 α u. Saab näidata, et A A + αi) 1 1 α ning u 0 α u 0 protsessis α 0. Seega u δ α u δ α + u 0 α u. Arv α on vaja valida sõltuvalt arvust δ nii, et αδ) 0, kui δ 0. Vaja on, et lähteandmete täpsuse paranedes lahendi täpsus suureneks. Vea käitumise graafik on esitatud joonisel. Jooniselt on näha, et leidub optimaalne α. δ α 0, kui δ 0, samuti 1.1.6 Diferentseerimisülesanne Olgu antud f C 1, ). Leida u = f C, ). Selline u leidub, sest f C 1 δ, δ) ja seega u C, ).) Olgu antud lähend f δ selliselt, et f δ f = f δ x) fx) δ. Ei pruugi leiduda f δ max x, ) või siis ei pruugi kehtida f δ C, ). Isegi kui f δ on diferentseeruv, võivad f ja f δ olla kuitahes erinevad. Jooniselt on see ilmekalt näha: f δ f on väike iga x korral, aga tuletiste erinevus on suur. Näide. f 0, f δ t) = δ sin δ t. Siis f f δ = max δ sin δ t = δ 0, t R 10

aga f δ t) = cos δ t, millest δ f f δ = max δ 1 cosδ t 1 = t R δ protsessis δ 0. Siin δ võib olla kuitahes väike. 1.1.7 Lineaarsed operaatorid Hilberti ruumis Meenutame, et Hilberti ruumiks nimetatakse täielikku skalaarkorrutisega ruumi. Näiteks L a, b), kus u, v = W m a, b), kus u, v = b a ut)vt) dt, u = m k=0 b a b u k) t)v k) t) dt. a u t) dt; Öeldakse, et operaator A on lineaarne, kui Aλu) = λau ja Au+v) = Au+Av kõigi kompleksarvude λ ja elementide u, v H korral. Öeldakse, et operaator A on tõkestatud, kui leidub c, et Au c u iga u H korral. Vähimat sellist arvu c nimetatakse operaatori A normiks: c = sup u H Au u. Saab näidata, et tõkestatud lineaarne operaator on pidev, see tähendab, kui u u, siis Au Au. Operaatorit A nimetatakse kompaktseks, kui ta teisendab iga tõkestatud hulga kompaktseks hulgaks. Hulka nimetatakse jadaliselt) kompaktseks, kui tema igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Vaatleme operaatorit A LH, F). Operaatori A väärtuste piirkonnaks nimetatakse hulka RA) = {f F : u H Au = f}. Operaatori A tuumaks nimetatakse hulka NA) = {u H : Au = 0}. Operaatoril A leidub pöördoperaator A 1 LF, H), kui iga f F korral leidub u H selliselt, et Au = f. Siis kirjutatakse A 1 f = u. Operaatori A LH, H) omaväärtuseks nimetatakse arvu λ, mille korral leidub u H nii, et Au = λu. Operaatorit A LH, H) nimetatakse enesekaasseks, kui A = A, see tähendab, Au, v = u, Av iga u, v H korral. Enesekaasset operaatorit A nimetatakse mittenegatiivseks, kui Au, u 0 iga u H korral; positiivseks, kui Au, u > 0 iga u H korral; positiivselt 11

määratuks, kui leidub arv c > 0 selliselt, et Au, u c u iga u H korral. Positiivselt määratud operaatoril leidub pidev pöördoperaator. Tõepoolest, c u Au, u Au u u 1 c Au. Nüüd A 1 f 1 c f iga f korral, millest järeldub, et A 1 1 c. Olgu A LH, F). Siis F = NA ) RA). Kui A on enesekaasne, siis H = NA) RA), see tähendab, iga u H avaldub üheselt u = u 0 + u 1, kus u 0 NA) ja u 1 RA). Olgu A lineaarne, enesekaasne, kompaktne. Kompaktsel operaatoril leidub täielik omaelementide süsteem {v i : i N}: Av { i = λ i v i. Need omaelemendid võib võtta ortonormeeritud v i, v j = δ ij = Seega iga u 1, i = j, 0, i j. esitub kujul u = u 0 + u, v k v k, kus u 0 NA). Nüüd k=1 Au = Au 0 + u, v k λ k v k = k=1 u, v k λ k v k k=1 ning induktsiooniga saame tõestada l N korral) A l u = u, v k λ l k v k. k=1 Kui A on lisaks enesekaassusele ka mittenegatiivne, st. A = A A α u = u, v k λ α k v k α on reaalarv, α 0). k=1 Kui g on tõkestatud funktsioon operaatori A spektril 0, siis σa) = C \ { µ C : A µi) 1}, siis võib defineerida ga)u = g0)u 0 + u, v k gλ k )v k. k=1 1.1.8 Momentide võrratus Olgu H Hilberti ruum ning A LH, H). 1

Lause 1. Kui A = A 0, siis A α u Au α u 1 α, kus 0 α 1. Tõestus. Kui α = 0 või α = 1, on see võrratus triviaalne. Juhul α 0, 1) teeme tõestuse läbi erijuhul, kus A = A > 0 ja A on kompaktne. Lähtume Hölderi võrratusest: ) 1 )1 ai b i ai p p bi q q, 1 p + 1 q = 1, p, q 1, ). Saame u = u, v k, Au = k=1 λ k u, v k, A α u = k=1 k=1 λ α k u, v k, millest võttes β = 1 α, p = 1 α, q = 1 1 α, järeldub A α u = k=1 λ α k u, v k α u, v k β = Au ) α u ) 1 α. ) α ) β λ k u, v k u, v k = Järeldus. Kui A = A 0, siis A p u A q u p q u 1 p q, kus 0 p q. Tõestus. Järeldub momentide võrratusest, võttes A asemele A q ja α = p q. Siis saame, et A p u = A q ) α u A q u α u 1 α = A q u p q u 1 p q. Märkus 3. Momentide võrratus on täpne A omaelementide peal. k=1 Tõestus. Kui v on A omaelement, siis Av = λv. Nüüd k=1 A p v = λ p v = λ p v, A q v = λ q v, millest A q v ) p q = λ q v ) p q = λ p v p q. 1.1.9 Mittekorrektse ülesande mõiste Olgu H ja F meetrilised ruumid. Vaatleme võrrandit Au = f. Seda ülesannet nimetatakse korrektselt püstitatud ülesandeks, kui on rahuldatud järgmised tingimused: 13

1) iga f F korral leidub lahend u H, ) lahend on ühene, 3) lahend sõltub pidevalt paremast poolest, st. kui f n f, siis vastavate lahendite jada u n u. Kui vähemalt üks tingimustest on rikutud, on tegemist mittekorrektse ülesandega. Lineaarse operaatori korral ülesanne Au = f on korrektne, kui leidub pidev pöördoperaator. Kui RA) on mittekinnine, siis ülesannet Au = f nimetatakse oluliselt mittekorrektseks. 1.1.10 Ajaloolist mittekorrektsetest ülesannetest Hadamard uuris matemaatilise füüsika võrrandite korrekselt seatust. Elliptilise võrrandi korral Dirichlet ülesanne lisaks võrrandile rajatingimus u Γ = ϕ), hüperboolse ja paraboolse võrrandi korral Cauchy ülesanne lisaks võrrandile antud algtingimus) on korrektselt seatud. Hadamard püstitas hüpoteesi, et looduses ongi kõik ülesanded korrektselt seatud. Siiski nii see ei ole. Maavarade otsimise ülesanne viib Cauchy ülesandele Laplace i võrrandi jaoks, mis on mittekorrektne ülesanne. Mittekorrektsete ülesannete teooria arendati välja Venemaal. 1963 Lenini preemia Tihhonov, Ivanov, Lavrentjev mittekorrektsete ülesannete uurimise eest. Käesolevaks ajaks on uurimise raskuspunkt kandunud mujale, Austrias ja Saksamaal on tugevad tegijad. 1.1.11 Ülesannete Gaussi sümmetriseerimine Olgu H ja F Hilberti ruumid, A : H F lineaarne operaator. Vaatleme võrrandit kujul Au = f. 1.1) Rakendame võrrandi 1.1) mõlemale poolele kaasoperaatorit A : A Au = A f. 1.) Tähistame ortoprojektori Q : F RA). Siis F = NA ) RA), st. iga z F esitub üheselt kujul z = z 0 + z 1, kus Qz = z 1, Qz 0 = 0, Qz 1 = z 1. Muidugi iga u H korral Au RA), mis tähendab, et QAu = Au, seega QA = A. 14

Vaatleme ülesannet ning ülesannet: Au = Qf 1.3) minimiseerida funktsionaal Φu) = Au f. 1.4) Lause 4. Ülesanded 1.), 1.3) ja 1.4) on samaväärsed, st. lahendite hulgad langevad kokku. Tõestus. Tõestuseks näitame, et u 1.) lahend A. u 1.3) lahend B. u 1.4) lahend C. u 1.) lahend. A. A Au = A f A Au f) = 0 Au f NA ) QAu f) = 0 QAu = Qf Au = Qf. B. Au f = Au Qf) + Qf f) = = Au Qf + Qf f Qf f, sest Au Qf RA) ja Qf F NA ). Tuli välja, et üldiselt Φu) Qf f, aga kui u = u on Au = Qf lahend, siis Φu) = Qf f. Seega Au = Qf lahend on Φu) miinimumkoht. C. Φu + h) Φu) = Au + h) f Au f = Samas Ah lim h 0 h Ah millest järeldub, et lim h 0 h Siit järeldub, et Φ Φu + h) Φu) u) = lim h 0 h = Au f) + Ah Au f = = Au f, Ah + Ah = = A Au f), h + Ah. lim A h h 0 h = 0, = 0. Leiame Φ tuletise: = lim h 0 Φ u) = 0 A Au f) = 0. Niisiis, kui u minimiseerib Φu), siis u on 1.) lahend. 15 A Au f), h. h

Ülesannete lahenduvuse seisukohalt on kolm võimalust. 1) Kui f RA), siis on võrrand 1.1) lahenduv ja 1.) langeb kokku 1.1)-ga. Seega kõik ülesanded 1.1), 1.), 1.3) ja 1.4) on samaväärsed ja lahenduvad). ) Kui f / RA), aga Qf RA), siis ülesanne 1.1) pole lahenduv, aga 1.), 1.3) ja 1.4) on lahenduvad. 3) Kui f / RA) ja Qf / RA), siis ei ole ükski neist ülesannetest lahenduv. 1.1.1 Mittekorrektsete ülesannete klassifitseerimine Olgu H Hilberti ruum, A LH, H), A = A, A kompaktne operaator. Sel juhul A kompaktsuse tõttu) leidub omaväärtuste jada λ k ), kus λ k [ A, A ] ja lim k λ k = 0. Operaatori A omaelemendid u k võib valida ortonormeerituna: u k, u j = δ kj. Sealjuures iga u H saab esitada kujul u = u, u k u k. Teoreem 5 Picard i teoreem). Ülesanne 1.1) on lahenduv parajasti siis, kui f NA ) ja λ k f, u k <. See on tingimus f sileduse kohta: k=1 kuna λ 1 k, siis peab f, u k 0 hääbuma kiiremini.) Sel juhul lahend avaldub kujul u = λ 1 k f, u k u k. k=1 k=1 1. MÜ klassifitseerimise võimalus Tähistame µ = sup { ν : λ k = Ok ν ) }. Suurus µ näitab, kui kiiresti λ k hääbub. Kui 0 < µ 1, siis nimetatakse ülesannet nõrgalt mittekorrektseks. Kui 1 < µ <, siis nimetatakse ülesannet mõõdukalt mittekorrektseks. Kui µ = näiteks eksponentsiaalne kahanemine), siis nimetatakse ülesannet tugevalt mittekorrektseks. 16

. MÜ klassifitseerimise võimalus Vähimat arvu m, mille korral operaator D m A on pidevalt pööratav, nimetatakse ülesande Au = f mittekorrektsuse mõõduks. Näiteks diferentseerimisülesanne u = f on samaväärne integraalvõrrandiga Au = f, kus Au = t 0 us) ds. Siis Au) t) = ut). Seega 1-kordse diferentseerimisülesande mittekorrektsuse mõõt on m = 1. Siin operaatori A omaväärtused λ k 1, seega 1. klassifikatsiooni järgi µ = 1. k Kui H = L, siis võib arvu m iseloomustada võrratustega c 1 u L Au W m c u L. Kui D m A on pidevalt pööratav, H = F = L Ω), kus Ω on tõkestatud piirkond l-mõõtmelises ruumis, siis λ k = O k m l ). 1.1.13 Ruumide valikust Formaalselt saab iga ülesannet Au = f ruumide valikuga muuta korrektseks. Kui NA) = {0}, võtame F = RA), siis iga f F korral on ülesanne lahenduv ja lahend on ühene, jääb mõelda vaid stabiilsusele. Seda saab aga garanteerida normi valikuga: võtame f F = u H. Siis A 1 f H = f F, A 1 F H = sup f F A 1 f H f F = sup f F f F f F = 1. See on ainult teoreetiline lähenemine. Ei ole lihtsalt kontrollitavat meetodit, millised f kuuluvad ruumi F. Kui andmed on ligikaudsed, siis ei saa mõõta f δ f suvalises normis. Mõõta saame näiteks ruumis C või L. Ruumide valik on ülesande poolt sageli ette dikteeritud. 1. Näiteid mittekorrektsest ülesannetest 1..1 I liiki Fredholmi integraalvõrrand Vaatleme võrrandit λut) + b a Kt, s)us) dx = ft), a s, t b. 17

Kui λ 0, siis on see võrrand II liiki Fredholmi integraalvõrrand; kui λ = 0, siis I liiki Fredholmi integraalvõrrand. II liiki võrrandid on korrektsed ülesanded. Veendume, et I liiki võrrandid on mittekorrektsed. Eeldame, et Kt, s) on pidev, siis leidub M selliselt, et Kt, s) M iga t, s [a, b] korral. Võtame F = H = C[a, b]. Fikseerime s a, b). Võtame ε > 0 nii, et [s ε, s+ε] [a, b]. Moodustame elemendi u ε nii, et u ε s) = 0, s / [s ε, s + ε], u ε s) = 1, u ε = max s [a,b] u εs) = 1. Tähistame f ε = Au ε, siis b f ε = max Kt, s)u ε s) ds t [a,b] a b M t [a,b] a s+ε max M s ε u ε s) ds = M max t [a,b] ds = M ε 0 +. s+ε s ε u ε s) ds Kui f ε = 0, on lahend 0. Kui vabaliikmete erinevus hääbub, siis lahendite erinevus on u ε 0 = u ε = 1. Ülesande korrektsuse kolmas tingimus stabiilsus) on seega rikutud. Kui m Kt, s) on pidev, siis λ s m k = O k m). Mida siledam tuum, seda ebakorrektsem. II liiki võrrandite lahendamisel tuleb tuuma siledus kasuks. Kui K 1, siis b a us) ds = ft). Ülesande lahenduvuse tarvilik ja piisav tingimus on, et f const, st. ei sõltu t-st. Lahendeid tuleb lõpmata palju. 1.. I liiki Volterra integraalvõrrand Vaatleme võrrandit λut) + t a Kt, s)us) ds = ft), a s, t b. Kui λ 0, siis see on II liiki Volterra integraalvõrrand, kui λ = 0, siis on I liiki. Jälle II liiki võrrand on korrektne, I liiki mittekorrektne. 18

Eeldame, et Kt, s) on pidevalt diferentseeruv, Kt, t) 0 iga t [a, b] korral. Diferentseerime võrrandi pooli: Kt, t)ut) + ut) + t a t a Kt, s) us) ds = f t) t Ht, s)us) ds = f t), Ht, s) = 1 Kt, t) 1 Kt, t) Kt, s). t Saime II liiki võrrandi ehk korrektse ülesande). I liiki võrrandi mittekorrektsuse mõõduks. klassifikatsiooni järgi on m = 1. Operaator A, Au)t) = b a Kt, s)us) ds, on üksühene pidevalt pööratav) ruumide paaril H = C[a, b], F = C0[a, 1 b] = { v C 1 [a, b] : va) = 0 }. Kt, s) Kui Kt, t) = 0 iga t [a, b] korral, aga t 0 iga t [a, b] s=t korral, siis kahekordse diferentseerimisega saame pidevalt pööratava operaatori D A. Mittekorrektsuse mõõt m =. 1..3 I liiki Abeli integraalvõrrand Vaatleme võrrandit t 0 us) ds = ft), 0 < α < 1. t s) α Lahendivalemi saame kohe välja kirjutada: sin απ f0) t ) ut) = π t + f s) ds 1 α 0 t s) 1 α Olukorras H = F = C[a, b], kui lahend leidub, siis f0) = 0, sest muidu t = 0 korral f0) =. t1 α Kuna on vaja tuletist f ja selle leidmine on mittekorrektne ülesanne, siis seda lahendivalemit eriti ei kasutata. Tähistame murrulise integraaloperaatori I 1 α 1 t us) ut) = Γ1 α) 0 t s) ds. α. 19

Siis saab esialgne võrrand kuju Au = f, kus Aut) = Γ1 α)i 1 α ut). Murrulise integraaloperaatori pöördoperaator on murruline diferentseerimisoperaator D 1 α, Γ1 α)ut) = D 1 α Aut). Siit näeme, et D 1 α A = Γ1 α)i H. Seega Abeli integraalvõrrandi mittekorrektsuse määr m = 1 α. Abeli integraaloperaatori omaväärtused λ k = O k α 1). 1..4 Suure konditsiooniarvuga lineaarne võrrandisüsteem Vaatleme võrrandit Au = f, kus A R m n st. A on m n maatriks), f R m, u R n. Kui m = n ja det A 0, siis leidub ühene lahend. Kui f asemel on teada f δ, kus f f δ δ, siis lähislahendite erinevus A 1 f A 1 f δ = A 1 f f δ ) A 1 f fδ. Kui m n, siis vaadeldakse võrrandit A T Au = A T f. Kui det A T A 0, siis sellel võrrandil leidub ühene lahend. Kui f asemel on f δ, saame A T A ) 1 A T f A T A ) 1 A T f δ A T A ) 1 A T f f δ. Ka siin, kui A T A ) 1 A T on liiga suur, on mõttekas vaadelda ülesannet mittekorrektsena. Normaalvõrrand A T Au = A T f on alati kooskõlaline, st. lahend leidub, aga neid võib olla mitu. Olgu U 1 = { u R n : A T Au = A T f }. Vaatleme ülesannet: leida u minimaalse normiga, st. u = min u U 1 u. See ülesanne on üheselt lahenduv: u = A + f, kus A + : R n R n on pseudopöördoperaator, st. AA + A = A ja A + AA + = A +. 0

1..5 Diferentseerimisülesanne Tähistame T dm, kus m > 0, siis on meil operaator T : C[a, b] C[a, b]. dxm Kusjuures DT) C m [a, b]. Olgu f f δ C[a,b] δ. Diferentseerimisülesanne on mittekorrektne. Vaatleme näiteks funktsioonide jada f n x) = 1 n sin nx. Siis f n x) 0 punktiviisi. Ent d m dx mf nx) = nm 1 { sin nx, n paaris, cos nx, n paaritu Niisiis, kehtib fx) = 0, f n f ning f x) = 0, aga f n f. } = n m 1. Üldiselt, ülesanne leida f m) t), kui f i) t) = 0, i = 0,...,m 1, on samaväärne I liiki Volterra integraalvõrrandiga t 0 t s) m 1 us) ds = ft). m 1)! Selle integraaloperaatori omaväärtused λ k = O k m). Seega mittekorrektsuse mõõt on m. 1..6 Fourier ridade summeerimine Olgu H separaabel Hilberti ruum. Olgu u k ) ortonormeeritud süsteem. Näiteks L 0, π) puhul sobib süsteemiks 1, sin x, cos x,...,sin nx, cos nx,.... Siis iga u H on avaldatav kujul u = u, u k u k. Näiteks ruumis L a, b) on skalaarkorrutiseks u, u k = b a k=1 ut)u k t) dt. Kui ξ k = u, u k asemel on teada ligikaudsed väärtused ξ k, siis vastava lähendi u erinevus elemendist u: ) u u = ξ k u k ξ k u k = ξk ξ k uk = ). ξk ξ k k=1 k=1 Kui ξk ξ k δ, siis u u võib olla kuitahes suur, sest liidetavaid on lõpmatu arv. k=1 k=1 1

1..7 Dirichlet ülesanne lainevõrrandi jaoks Olgu piirkond D = {x, t) : 0 x π, 0 t απ}, kus α on konstantne. Vaatleme võrrandit u t u x = 0 piirkonnas D. Olgu rajatingimused ux, 0) = fx), 0 x π, ux, απ) = ψx), 0 x π, u0, t) = uπ, t) = 0, 0 t απ. Selle ülesande lahend ei sõltu pidevalt algandmetest. Võtame f = f n 0, ψx) = ψ n x) = 1 n sin nx 0, siis lahend on u n x, t) = 1 n sin nt sin nx. sin nπα Vaatleme olukorda, kui α on ratsionaalarv, st. α = p, p N, q N. q Kui n = q, siis nimetajas siinuse argument on nπα = qπα = pπ, seega sin nπα = 0 ehk lahend ei ole üheselt määratud. Juba sellest piisab, et ülesanne ei oleks korrektselt lahenduv. Lähteandmed hääbuvad, aga u n, seega stabiilsuse tingimus ei ole täidetud.) 1..8 Funktsiooni analüütilise jätkamise ülesanne Olgu antud funktsioon mingil piirkonna osal ja vaja on analüütiliselt jätkata teda kogu piirkonnale. Olgu D lõplik piirkond ja E tema osa. Punkt z 0 olgu piirkonna D rajapunkt, d olgu z 0 kaugus piirkonnani E, d > 0. Olgu f 1 z) piirkonnas D analüütiline funktsioon, analüütiline on ka f z) = f 1 z) + ε, kus ε on väike arv, ε > 0. Vahe f 1 z) f z) = ε z z 0 z z 0 ε d, kui z E. Kui z D, siis vahe f 1 z) f z) on tõkestamata.

1..9 Cauchy ülesanne Laplace i võrrandi jaoks Vaatleme võrrandit piirkonnas D R rajatingimustel u u x + u y = 0 ux, 0) = fx), u y x, 0) = ψx). Valime f 0. Kui ψ = ψ 1 0, siis lahend u 1 0. Kui ψx) = ψ x) = 1 sin ax, a a > 0, siis lahend u x, y) = 1 a sin ax sinh ay, kus sinh ay = eay e ay. Mis juhtub, kui a? sup ψ 1 x) ψ x) = sup 1 sin ax x x a = 1 a 0, sup u 1 x, y) u x, y) = 1 x a sup sin ax sinh ay = 1 x a eay e ay protsessis a. Seega lähislahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest. 1..10 Soojusjuhtivuse pöördülesanne Vaatleme tõkestatud piirkonnas D R n võrrandit u n t = k=1 x k ax) u ), ax) > 0, x D, 0 t T x k rajatingimusel ux, t) = 0, x Γ raja), 0 t T, kus t on aeg. Otsene ülesanne on sel juhul, kui on antud veel ux, 0) = ϕx), x D ning huvitab tulevik: teame algtemperatuuri ux, 0), huvitab ux, t), t > 0. Pöördülesanne on juhul, kui antud veel ux, T) = ϕx), x D ning huvitab minevik: teame lõpptemperatuuri ux, T), huvitab ux, t), t < T. Otsene ülesanne on korrektne, pöördülesanne mittekorrektne. Vaatleme pöördülesande juhtu n = 1, a 1, siis on võrrand koos tingi- 3

mustega: u t = u x, x [0, 1], t [0, T], u0, t) = 0, t [0, T], u1, t) = 0, t [0, T], ux, T) = ϕx), x [0, 1]. Kui ϕ = ϕ 1 0, siis u = u 1 0. Kas see on ühene lahend?) Kui ϕx) = ϕ x) = 1 sin nπx 0 protsessis n, siis lahend n Seega sup ϕ 1 x) ϕ x) 0, aga x sup x protsessis n. u n x, t) = 1 n en π T t) sin nπx. u 1 x, t) u n x, t) = sup u n x, t) = 1 π T t) x n en 1.3 Lõplikumõõtmelisest regulariseerimisest 1.3.1 Regularisaatori mõiste Olgu H ja F Banachi ruumid ning A : H F. Vaatleme ülesannet Au = f. 1.5) Eeldame, et f RA) st. lahendeid leidub), NA) võib olla mittetriviaalne. Tähistame kõigi lahendite hulga A 1 f. Kui f asemel on teada f δ, ei pruugi kehtida f δ RA). Definitsioon 6. Ülesande 1.5) regularisaatoriks nimetatakse operaatorite peret R δ : F H, 0 δ δ 0, mille korral on rahuldatud tingimus sup dist R δ f δ, A 1 f ) 0, f δ F f δ f δ inf u H, Au=f kui δ 0, iga f RA) korral. Meenutame, et on defineeritud dist R δ f δ, A 1 f ) = R δ f δ u.) Kui regularisaator leidub, siis nimetatakse ülesannet regulariseeritavaks. 4

Leidub tuumi esimest liiki integraalvõrrandi b a Kt, s)us) ds = ft) jaoks, mille korral ülesanne pole regulariseeritav, kui operaator A tegutseb A : C L. Regularisaatori olemasolu on garanteeritud, kui ruum H on refleksiivne, st. H = H näiteks L p, 1 < p < ). Üldiselt mittekorrektsed ülesanded tekivad lõpmatumõõtmelistes ruumides. Näitame, et võttes lähislahendid lõplikumõõtmelisest ruumist saab tihti lähislahendite jada koonduma. 1.3. Iseregulariseerimise mõiste Praktikas on ülesannet tihti vaja diskretiseerida. Võib lähendada lahendit u lõplikumõõtmelise vektoriga y = y 1,...,y n ), kus y i ut i ), kui u = ut), n või funktsiooniga u n = c i ϕ i, kus ϕ i on baasifunktsioonid. Mõlemal juhul k=1 saab vaadelda lõplikumõõtmelist ülesannet A n u 0 n = Q n f, kus A n : H n F n, H n H, F n F ja Q n : F F n on projektor ning u 0 n on lähislahend täpse f korral. Korrektse ülesande puhul koonduvustingimused u 0 n u n ), kus u on Au = f lahend, on vähekitsendavad. Mittekorrektse ülesande korral on nad paljukitsendavad. Kui siiski leiab aset koondumine, on diskretiseerimisalgoritm kasutatav regularisaatorina, kui vaid diskretiseerimissamm sobivalt lähteandmete veatasemega δ f δ f δ) kohandada. Sellist regulariseerimist diskretiseerimise abil nimetatakse iseregulariseerimiseks. Lause 7. Olgu A lineaarne. Kui võrranditel A n u 0 n = Q nf ja A n u n = Q n f δ leiduvad ühesed lahendid ning u 0 n u, siis valides n = nδ) nii, et nδ), aga A 1 n Q n δ 0 protsessis δ 0, saame koonduvuse unδ) u 0 δ 0). See tähendab, just selle, mis iseregulariseerimise mõistes kirjas.) Tõestus. Lause eeldustel u n u = A 1 n Q nf δ A 1 n Q nf + u 0 n u A 1 n Q nf δ f) + u 0 n u A 1 n Q n fδ f + u 0 n u A 1 δ + u 0 n u 0. n Q n 5

1.3.3 Diferentseerimisülesande lahendamine diferentsvalemi abil Vaja leida ut) = f t), f C 1 [0, 1]. Antud on f δ nii, et f δ f C δ. Toome sisse diferentseerimisoperaatori 1 h ft + h) ft)), 0 < t h, 1 h ft) = f t + h ) f t h )) h, h < t < 1 h, 1 h ft) ft h)), 1 h t < 1. Sileda funktsiooni f korral h f f protsessis h 0. Kui f on küllalt sile, siis saame h f δ f = h f δ h f + h f f h f δ f) + h f f 1.6) h δ + oh), kusjuures h = sup h f = f =1 h. Seega h f δ f 0, kui hδ) valida sõltuvalt arvust δ nii, et hδ) 0 ja δ hδ) 0 protsessis δ 0. Näiteks sobib hδ) = δν, kus 0 < ν < 1. Kui f C M, siis h f f Mh ja veahinnangu 1.6) paremal pool on δ h + Mh = ψh). Võtame eesmärgiks valida h nii, et see minimiseeriks ψh). Saame, et ψ h) = δ h + M = 0, millest h = 4δ δ M ning h = M. Sel juhul ψh) = δ δm + M M = δm. Ilmneb, et kui lähteandmed võtta täpsusega δ, siis tuletise saame täpsusega δ. Mittekorrektsete ülesannete korral on tüüpiline, et lahendi saame väiksema täpsusega kui lähteandmed. Kui lähendame f m) t) diferentsvalemiga ) täpsusega O h p ), siis koguviga δ f δ kasutamisel on O h + m hp. Valides h nii, et δ h m hp st. h δ 1 m+p ), saa- 6

) me koguvea O δ p p+m. Kui m suureneb, siis täpsus väheneb. Kui p suureneb, siis täpsus suureneb samuti. 1.3.4 Fourier ridade summeerimine Olgu u k ) ortonormeeritud baas, u = u, u k u k. Kui ξ k = u, u k asemel on k=1 teada ξ k, ξk ξ k < δ, siis sellele vastab u = ξ k u k. Võtame lähislahendiks u n = u n u = = n ξ k u k, siis k=1 k=1 n n n ξ k u k ξ k u k + ξ k u k ξ k u k k=1 k=1 k=1 k=1 n ) ξk ξ k uk + ξ k u k = k=1 k=n+1 n )1 ) ξk ξ k + ξ k u k k=1 nδ + o n 1), k=n+1 sest rida koondub. Seega u nδ) u 0, kui n = nδ) valida nii, et nδ), nδ 0 protsessis δ 0. 1.3.5 Operaatorvõrrandi lahendamine spektraallõike meetodiga Olgu H = F, A LH) kompaktne, A = A 0. Operaatori A omaväärtused λ k rahuldavad seost Av k = λ k v k, kus v k on λ k -le vastav omaelement. Elemendid v k valime ortonormeeritud, arvud λ k valime kahanevas järjekorras selline omaväärtuste jada leidub kompaktse operaatori korral): λ 1 λ... λ n 0. Eeldame, et võrrandil Au = f leidub lahend. Siis lahend avaldub Picard i 7

teoreemi vt. teoreem 5) kohaselt kujul u = λ 1 k f, v k v k. Võtame lähislahendiks u n = u n u = n k=1 n k=1 n k=1 k=1 λ 1 k f δ, v k v k λ 1 k max 1 k n λ 1 k δ λ n + o n 1). λ 1 k f δ, v k v k. Siis n n λ 1 k f, v k v k + λ 1 k f, v k v k u k=1 k=1 f δ f, v k v k + λ 1 k f, v k v k k=n+1 ) fδ f ) 1 + o n 1) Rea jääkliige koondub seetõttu, et eeldasime lahendi olemasolu.) Seega u n u 0 on garanteeritud, kui n = nδ) valida nii, et nδ) ja δ λ n 0 protsessis δ 0. Vaatleme veel juhtu, kui täpne lahend esitub kujul u = A p w, w H, p > 0. Siis Siis Veahinnang f, v k = A p+1 w, v k = w, A p+1 v k = w, λ p+1 k v k = λ p+1 k w, v k. k=1 λ 1 k on minimaalne, kui ) δ p p+1. järku O f, v k v k = k=1 max k n+1 λp k λ 1+p+1 k λ p n+1 w. k=n+1 w, v k v k w, v k v k δ + λ p n+1 w δ + λ p n λ n λ w. n δ λ p λ n, st. λ p+1 n δ ehk λ n δ 1 p+1. Siis on veahinnang n 8

Mida suurem on p, seda kõrgemat järku veahinnangu saame. Päris Oδ) kätte ei saa. 1.3.6 I liiki Volterra integraalvõrrandi lahendamine kvadratuurvalemite meetodiga Vaatleme võrrandit t 0 Kt, s)us) ds = ft), 0 s t 1. Olgu Kt, s) pidev, t järgi diferentseeruv, Kt, t) 0 kogu diagonaalil t [0, 1]. Kvadratuurvalemite meetod seisneb selles, et t asemel vaadeldakse punkte t i = ih, i = 0,...,n, nh = 1. Integraal lähendatakse järgmiselt: 1 0 Φs) ds = n c j Φt j ). j=1 Integraalvõrrandi aproksimeerimisel kvadratuurvalemiga saame i c ij K ij y j = f i, i = 0, 1,..., j=0 kus f i = ft i ), y j us j ), s j = jh, K ij = Kt i, s j ). Trapetsvalemis valitakse kaalud c i0 = c ii = h ning c i1 = = c i,i 1 = h. Volterra võrrandis on lähislahendid võimalik saada rekurrentselt. Lähendi y 0 saamiseks diferentseerime võrrandit: Kt, t)ut) + t 0 Kt, s) t us) ds = f t). Siit t = 0 korral K0, 0)u0) = f 0), millest y 0 = f 0) K 00. Valime kvadratuurvalemis i = 1, siis c 10 K 10 y 0 + c 11 K 11 y 1 = f 1. 9

Siit leiame y 1 : Analoogiliselt jätkame, leides y 1 = 1 c 11 K 11 f 1 c 10 K 10 y 0 ). y i = 1 c ii K ii ) i 1 f i c ij K ij y j. Kasutades trapetsvalemit, leidsime Volterra integraalvõrrandi lahendi rekurrentselt. j=0 Trapetsvalem Keskmine ristkülikvalem Keskmine ristkülikvalem Võrrand aproksimeeritakse kujule kus s j+ 1 i 1 h K i,j+ 1y j+ 1 j=0 = s j + h ja K i,j+ 1 Kui i = 1, siis saame y 1 Üldiselt, y i 1 = 1 hk i,i 1 = K = f 1 hk 1, 1 = f i, i = 1,,..., t i, s j+ 1. i f i h j=0 ). K i,j+ 1y j+ 1 Kui f δ f C δ, siis küllalt sileda u korral y i ut i ) c h + δ ) h kehtib nii trapetsvalemi kui ka keskmise ristkülikvalemi jaoks. Veahinnang on optimaalne, kui h δ h ehk h3 δ ehk h δ 1 3, siis veahinnang on O δ 3 30 ). ).

O Kasutades vasak- või parempoolset ristkülikvalemit, tuleb veahinnang h + δ ) ), siis valik h δ 1 annab veahinnanguks O δ 1. h 1.4 Operaatorvõrrandite iseregulariseerimine projektsioonimeetoditega Olgu H ja F Hilberti ruumid, A LH, F). Vaatleme ülesannet Au = f. 1.4.1 Projektsioonimeetodite kirjeldus Olgu ruumid H n ja F n lõplikumõõtmelised ja võrdse dimensiooniga, H n H, F n F. Vaatleme projekteeritud võrrandit A n u n = Q n f, kus Q n on ortoprojektor F F n. Seega Q n = Q n = Q n. Olgu P n ortoprojektor H H n. Siis A n = Q n AP n LH n, F n ). Saame, et u n H n rahuldab seoseid A n u n = Q n f Q n Au n f) = 0 Au n f, z n = 0 z n F n. 1.4. Projekteeritud võrrandi ühene lahenduvus > 0. Siis projektee- Q n Au n Lemma 8. Olgu NA) H n = {0} ja τ n = inf u n H n Au n ritud võrrandis A n on pööratav ja κ n A 1 κ n n, kus τ n Tõestus. Olgu w n H n suvaline. Siis v n κ n = sup v n H n Av n. Q n Aw n = A n w n τ n Aw n τ n κ n w n. Operaatori A n üksühesus tuleb eeldusest NA) H n = {0}. Seega on A n : H n F n pööratav.) Võttes z n = A n w n, saame z n τ n A 1 n κ z n, n 31

seega A 1 κ n n. Olgu v n H n element, mille korral κ n definitsioonis τ n saavutatakse maksimum H n on lõplikumõõtmeline). Siis A n v n Seega A 1 n κn. = Q n Av n Q n Av n = Av n = v n = κ n κn 1 A 1 n An v n. = A 1 n A nv n κ n Vaatleme kaasoperaatorit A LF, H). Saame, et A n = Q nap n ) = P n A Q n = P na Q n, kus seetõttu, et P n ja Q n on ortoprojektorid, kehtivad P n = P n ja Q n = Q n. Lemma 9. Olgu NA ) F n = {0} ja τn = inf P n A z n z n F n A z n pidevalt pööratav ja kehtivad hinnangud κn A 1 κ n n, τn > 0. Siis A n on kus κn = sup z n z n F n A z n. Lisaks kehtivad seosed A 1 n Q n A 1 =, A 1 τn n Q n AI P n ) = σ n, kus σn = I P n )A z n sup, ja 1 = 1 + σ z n F n P n A z n τn n )) 1. Tõestus. Olgu z n F n. Siis A n z n = P n A Q n z n = P n A z n Olgu z n = A n ) 1 v n, v n H n. Siis millest A 1 = A n ) 1 κ n. n τn A z n τ n z κn n. A n ) 1 v n κ n v τn n, τ n 3

Olgu z n F n selline, et κn = z n A z n supreemum saavutatakse F n lõplikumõõtmelisuse tõttu), see tähendab A n z n kust A 1 = A n ) 1 κn. n = P n A z n P n A z n = z n = κn A = n ) 1 A nz n A n ) 1 A n z n, κ n On teada, et kompaktse enesekaasse operaatori B korral B = max λ B, kus λ B on B omaväärtus vt. E. Oja, P. Oja Funktsionaalanalüüs 1991, lk. 74). Võttes B n = A 1 n Q n A ja B = B n Bn, saame λ B = λ B n ning B n = λ 1 n kus λ n on operaatori B LH n, H n ) suurim omaväärtus. Olgu v n vastav omaelement, siis A 1 n Q naa Q n A n ) 1 v n = λ n v n. Tähistame x n = A n ) 1 v n, siis A 1 n Q n AA Q n x n = λ n A nx n ehk Q n AA Q n x n = λ n A n A nx n. On üldine fakt, et operaatori B = B LH, H) suurim omaväärtus λ Bv, v rahuldab seost λ = sup v H v, v. Seega Q n AA Q n z n, z n A Q n z n λ n = sup = sup z n F n A nz n, A nz n z n F n A nz n kuna Q n z n = z n. Seega võrdus A 1 n Q na = 1 σ n saadakse analoogiliselt. τ n κ n A z n = sup z n F n P n A z n = 1 τn), on näidatud. Võrdus A 1 n Q na I P n ) = Lõpuks, ) 1 A z n = sup z n F n P n A z n = sup P n A z n + I P n )A z n z n F n P n A z n = τ n = 1 + sup z n F n I P n )A z n P n A z n = 1 + σ n ). 1.4.3 Projektsiooniruumi mõõtme aprioorne valik Teoreem 10. Olgu A LH, F), kus H ja F on Hilberti ruumid. Olgu f RA) ning f δ f δ. Olgu täidetud järgmised tingimused: 1 P n u u 0 n ) iga u H korral, 33

NA ) F n = {0}, kui n n 0, 3 P n A z n τ A z n iga z n F n korral, kus n n 0 ja τ = const > 0. Siis kehtivad järgmised väited. 1) Võrrandil Au = f leidub ühene lahend u H ning projekteeritud võrrandil A n u n = Q n f leidub ühene lahend u n H n, kui n n 0. ) Kui valida n = nδ) nii, et nδ), aga δ κ nδ) 0, siis unδ) u 0 protsessis δ 0. Tõestus. 1) Projekteeritud võrrandi ühese lahendi garanteerib tingimus vt. lemma 9). Lahendi u leidumine on samaväärne sisalduvusega f RA). Oletame vastuväiteliselt, et leidub u 0 H nii, et u 0 0, aga Au 0 = 0. Võrrandil A nz n = P n u 0 leidub n n 0 korral täpselt üks lahend z n F 0. Tingimuse 1 kohaselt P n A z n = P n u 0 u 0 n ). Tingimusest 3 saame, et A z n 1 τ P na z n const, kuna paremal asuv jada koondub. Seega on jada A z n ) tõkestatud. Tõkestatud jada sisaldab nõrgalt koonduva osajada, st. leidub v nii, et minnes üle osajadale) A z n w v. Kuna -nõrk topoloogia on eralduv ning korraga P n A z n w u 0 ja P n A z n w v seega ka w -topoloogias), siis v = u 0. Niisiis A z n w u 0. Nüüd samal ajal A z n, u 0 u 0 ja A z n, u 0 = z n, Au 0 = z n, 0 = 0. Siit järeldub, et u 0 = 0, mis on vastuolus eeldusega u 0 0. Järelikult sellist elementi u 0 ei leidu. ) Tingimus A n u n = Q n f δ annab seetõttu, et f = Au ja A n = Q n AP n : A n u n P n u ) = Q n f δ f) + Q n Au P n u ). Sellele võrdusele operaatorit A 1 n rakendades saame u n P n u = A 1 n Q nf δ f) + A 1 n Q nau P n u ) = = A 1 n Q n f δ f) + A 1 n Q n AI P n )I P n )u. 34

Järelikult kasutades lemmat 9, saame u n u u n P n u + P n u u A 1 n Qn f δ f + A 1 n Q n AI P n ) I Pn )u + + I P n )u = = A 1 n fδ f + 1 + σn ) I P n)u = = ) A 1 1 n fδ f + 1 + τn) 1 I P n )u κ 1 τ n n) δ + 1 + I P τn τn n )u. Mõlemad liidetavad hääbuvad n = nδ) valikureegli tõttu protsessis δ 0. 1.4.4 Projektsiooniruumi mõõtme valik hälbe põhjal Teoreem 11. Olgu f RA), f δ f δ ning kehtigu veel järgmised viis tingimust: 1 u P n u 0 iga u H korral, NA) H n = {0}, kui n n 0, 3 Q n Av n τ Av n mingi konstandi τ > 0 korral, kus v n H n ja n n 0, 4 P n A z n τ A z n mingi konstandi τ > 0 korral, kus z n F n ja n n 0, 5 κ n+1 I Q n )A γ = const, kus Q n on ortoprojektor F AH n) ja n n 0. Siis kehtivad järgmised väited. 1) Võrrandil Au = f leidub täpselt üks lahend u H, projekteeritud võrrandil leidub täpselt üks lahend u n = H n, kui n n 0. ) Kui arv n = nδ) valida jadast 1,,... selliselt, et nδ) on esimene selline naturaalarv, mille korral projekteeritud võrrand on üheselt lahenduv ja Au n f δ bδ, kus b = const > 1 τ, siis unδ) u 0 protsessis δ 0. 35

Tõestus. Teoreemi 10 tõestusest saame n n 0 korral hinnangu seekord hindasime A 1 lemma 9 alusel) n u n u κ n τ δ + c I P n )u. Saab näidata see pole väga lihtne), et kui on rahuldatud tingimused ja 3, siis projekteeritud võrrandi A n u n = Q n f δ lahendi u n hälbe jaoks kehtib hinnang Au n f δ 1 τ 1 n Minnes piirile, saame dist f δ, AH n )) = 1 τ 1 n min f δ Av n. v n H n lim Au n f δ lim min f δ Av n f δ Au δ. n n v n H n Seega n valik hälbeprintsiibi abil on teostatav. Tähistame m = nδ) 1. Siis bδ < Au m f δ τ 1 dist f δ, AH m )) τ 1 δ + dist f, AH m ))), millest seetõttu, et I Q m )AP mu = 0 kuivõrd AP m u AH m )), tuleb 5 põhjal b τ 1 ) δ < τ 1 dist f, AH m )) = τ 1 f Q m Au = Oleme saanud, et = τ 1 I Q m)ai P m )u τ 1 I Q m )A I P m)u τ 1 γ κ 1 nδ) I Pnδ) 1 )u. u n u γ bτ 1)τ I P n 1)u + c I P n )u. 1.7) Kui nδ), siis see hinnang annab koonduvuse. Kui nδ k ) l = const mingi jada δ k 0 k ) korral, siis u nδk ) paiknevad lõplikumõõtmelises alamruumis ruumide H n, n = 1,..., l, lineaarses kattes. Hinnangu 1.7) põhjal on jada u nδk )) tõkestatud, seega suhteliselt kompaktne ruumis H. Kuna Aunδ) f δ bδ, siis Aunδk ) f = Au k ) hälbed koonduvad). Seega ka u nδk ) u k ). Märkus 1. Kui H n+1 H n iga n korral, siis n l parajasti siis, kui u H l. 36

1.4.5 Lisandusi koonduvusteoreemile Lause 13. 1) Kui on rahuldatud tingimus 3 ja mingi α 0, 1) korral kehtib 6 κn α I Pn )A A) α γ = const n n0 ), siis kehtib 4, kus τ = τ τ α + γ ) 1 α. ) Kui on rahuldatud 4 ning leidub α 0, 1) nii, et kehtib 7 κ n )α I Q n )AA ) α γ = const n n 0 ), siis kehtib 3, kus τ = τ τ ) α + γ ) ) 1 α. Tõestus. Tõestame väite ). Kasutame operaatori A polaaresitust: A = AA ) 1 U, kus U LH, F) on osalise isomeetria operaator, st. Uv v iga v H korral. Tähistame B = AA ) 1 LF, F), siis A = BU. Siis momentide võrratust kasutades saame, et 1 τ n = sup v n H n Av n Q n Av n = sup z n UH n) Bz n Q n Bz n = Q n Bz n + I Q n )Bz n = sup z n UH n) Q n Bz n = I Q n )Bz n = 1 + sup z n UH n) Q n Bz n 1 + I Q n )B α 1 + I Q n )B α sup z n UH n) sup z n UH n) B 1 α z n Q n Bz n Bz n 1 α) z n α Q n Bz n 1 α) QBz n α. Osutub, et ning sup z n UH n z n Q n Bz n = sup v n H n sup z n UH n Bz n Q n Bz n = 1 τ n v n Q n Av n = sup v n H n v n A n v n = A 1 κ n n. τ n 37

Seetõttu tingimuse 7 tõttu ) 1 α ) 1 1 κ 1 + I Q n )B α α n 1 + τ n τ n τ n γ ) τ 1 α) n τ ) α. Siit nähtub, et 1 1 on tõkestatud. Tõepoolest, kui n ), siis ) τ n τ n 1 α ) 1 1 = o, mis on vastuolus viimase võrratusega. τ n τ n Vaja on näidata, et mis on samaväärne sellega, et 1 τ n Tähistame x = 1 τ n ) ja c = γ ) τ ) α. τ n τ τ ) α + γ ) ) 1 α, τ ) α + γ ) ) 1 ) α τ ) = 1 + γ ) 1 α τ ) α. Ülesanne. Näidata, et 0 < x 1 + cx 1 α x 1 + c) 1 α. 1) osa tõestus tuleb duaalsust kasutades analoogiliselt. Lemma 14. Olgu H = F, H n = F n ja A = A > 0. Kui leidub α 0, 1) nii, et siis Siin τ = 1 + γ ) 1 α, kui α κ α n I P n)a α γ = const, n = 1,,..., P n Av n τ Av n, v n H n, n 1. 0, 1 ] ning τ = 1 + γ) 1α, kui α 1, 1 ). Tõestus. Analoogiline lause 13 tõestusega. 1.4.6 Kaks võrratust Lemma 15. Olgu B = B 0, B LH, H). Siis I P n )B p I P n )B q p q, 0 < p q. 38

Tõestus. Kuna B ja P n on enesekaassed ning operaatori ja kaasoperaatori normid võrduvad, siis I P n )B p = B p I P n )) = B p I P n ). Sama saame teha tõestatava võrratuse paremal pool seisva avaldisega. Momentide võrratuse põhjal B p I P n )v B q I P n )v p q I Pn )v 1 p q B q I P n ) p q v p q I Pn 1 p q v 1 p q = = B q I P n ) p q v. Seega B p I P n ) B q 1 P n ) p q. Lemma 16. Olgu Q n ortoprojektor F AH n). Siis I Q n)a I Pn )A A) α 1 α, α > 0. Tõestus. Vaatleme olukorda α = 1, m N. Sellest piisaks, sest siis lemmas m 15 valides B = A A) 1 saame I P n )B 1 m m I P n )B α 1 1 α, m < α. Olgu polaaresitus A = UB = UA A) 1, kus U on osaline isomeetria, U = 1, ning olgu P n ortoprojektor H BH n ). Kuna UP nh n ) AH n ), siis I Q n )UP n = 0. Seega Järelikult I Q n )A = I Q n )UB = I Q n )UI P n )B. I Q n )A = I Q n )UI P n )B I Q n U I P n)b I P n)b. Tähistame P n j) ortoprojektori H B j m Hn, j = 0, 1,..., m. Siis P n 0) P n m) = P n. = P n ja Kuna RB 1 m P j 1) n ) B j m Hn ), siis ) 1 I P j) n B m P j 1) n = 0, j = 1,..., m. 1.8) 39

Seega I P n )B = I P m) n = ) I P n m) 1 B m ) B = I P m) n ) 1 I P m 1) n B m ) 1 1 1 B m IB m I...B m }{{} = m tükki I P m ) n ) ) 1 I P 1) n B m. Hindame iga liiget eraldi: kuna projektor ja B on enesekaassed, võib nad normi all vahetada, ) I P n j) 1 B m = ) I P n j) 1 ) B m I P j 1) n I P j) 1 ) n B m I P j 1) n... ) I P 0) 1 B m = I P n )B 1 m. Kokkuvõttes oleme näidanud, et I Q n ) A I P n I )B Pn ) B 1 m m, tõestuse alguses on aga märgitud, et sellest piisab võrratuse I Q n)a I Pn )A A) α 1 α põhjendamiseks iga reaalarvu α > 0 jaoks. Järeldus 17. Tingimus 5 teoreemist 11 on rahuldatud, kui kehtib I Pn )A A) α γ, n n0. mingi α > 0 korral. κ α n+1 n 1.4.7 Vähimruutude meetod Otsime elementi u n H n, mis minimiseerib Av n f δ väärtuse, kus v n H n. See on samaväärne u n H n otsimisega, mis rahuldab Au n f δ, Av n = 0 iga v n H n korral. Siis Q n : F AH n ), mis tähendab, et F n = AH n ). Lahend u n leidub iga n = 1,,... korral ja on ainus, kui NA) H n = {0}. Teoreemi 11 tingimus 3 on rahuldatud, τ = 1, n 0 = 1. Kui on antud H n baas n {ϕ 1,...,ϕ n }, siis u n H n esitub kujul u n = c i ϕ i. Projekteeritud võrrandi tingimus on kujul i=1 Au n f δ, Aϕ j = 0 j = 1,...,n, 40

millesse u n asendades saame n A c i ϕ i f δ, Aϕ j = 0 j = 1,..., n i=1 ehk n c i Aϕ i, Aϕ j = f δ, Aϕ j i=1 j = 1,...,n. See on sümmeetriline lineaarne algebraline võrrandisüsteem kordajate c i määramiseks. Teoreem 18. Olgu NA) = {0}, f RA), u P n u 0 n ) iga u H korral. Leidugu arv α > 0 selliselt, et κ n + κ n+1 ) α I Pn )A A) α γ = const, n = 1,,.... 1.9) Kui n = nδ) valida nii, et nδ), κ nδ) δ 0 δ 0), siis unδ) u 0 protsessis δ 0. Sama koonduvus leiab aset n = nδ) valikul hälbeprintsiibist: n on esimene arvudest 1,,..., mille korral Au n f δ bδ, b > 1. Lemmadest 8 ja 9 järeldub, et vähimruutude meetodis alati κ n κ n, aga tingimusel 1.9) kehtib samuti κ n κ n τ. Tõestus. Esimese poole tõestamiseks piisab viidata teoreemile 10. Teine pool tuleb teoreemist 11 3 täidetud triviaalselt τ = 1 korral; 3 ja 1.9) 4 ; 5 on rahuldatud järelduse põhjal). 1.4.8 Vähima vea meetod Täpse f korral otsime u n = P n u, st. u n u v n u iga v n H n korral. Nimelt, kehtib u n u u P n u, et aga minimiseerida, valime P n u = u n.) Selleks leiame u n nii, et u n u, v n = 0 iga v n H n korral. Kui H n baas on {ϕ 1,...,ϕ n }, siis tuleb u n leida selliselt, et u n u, ϕ j = 0 iga ϕ j korral, j = 1,...,n. Meetodi rakendamisel on probleemiks see, et ei tea elementi u, mida projekteerida. Eeldame korraks, et leidub A pöördoperaator. Siis saaks kirjutada A 1 A u n u ),ϕ j = 0 j = 1,..., n. 41

Kuna Au = f, siis saaksime Aun f, A 1) ϕ j = 0 j = 1,...,n. Tähistame ψ j = A ) 1 ϕ j siis ϕ j = A ψ j ), nende elementide leidmisega on raskusi. Igatahes, siit aga selgus, et kui on ette võetud ψ j F n, siis H n baasielemendid saame A rakendamisel. Seega H n = A F n ) ja teoreemi 11 tingimus 4 on automaatselt täidetud. Loobume siis kitsendavast eeldusest, et leidub A pöördoperaator. Olgu n F n baas {ψ 1,..., ψ n }. Siis u n = c i A ψ i. Projekteerimise tingimus on i=1 Au n f δ, ψ j = 0 j = 1,...,n. Tõepoolest, Q n Au n = Q n f δ Q n Au n f δ ) = 0 Au n f δ, ψ j ) = 0 j = 1,..., n. Seega teisendades A n c i A ψ i, ψ j = f δ, ψ j ) j = 1,..., n i=1 ehk n c i A ψ i, A ψ j = f δ, ψ j i=1 j = 1,...,n. See on sümmeetriline lineaarne algebraline võrrandisüsteem kordajate c i leidmiseks. Teoreem 19. Olgu NA) = {0}, NA ) = {0}, f RA), ruumid F n olgu piirtihedad ruumis F see tähendab, z Q n z 0 iga z F korral). sup z n F n Siis kui n = nδ) valida nii, et nδ), δ κnδ) 0 kus κn := z n A z n ), siis unδ) u n 0 protsessis δ 0. Sama koonduvus kehtib n valikul hälbeprintsiibist: n = nδ) on esimene arvudest 1,,..., mille korral Au n f δ < bδ, kus b = const > 1 + γ ) ) 1 α, kui leidub α > 0 selliselt, et κ n )α I Qn )AA ) α γ = const ning ) κ α I n+1 Qn )AA ) α const. 4