Matematika 3 - skripta

Matematika 3 - skripta Steva Milaxiovi Novembar 09.

Sadraj Predgovor Redovi 3 Redovi sa pozitivim qlaovima................... 4. Rexei zadaci.......................... 8 Alterativi redovi.......................... 0. Rexei zadaci.......................... 3 Stepei redovi.............................. 30 3. Rexei zadaci.......................... 3

Predgovor Ova skripta ame ea je studetima Saobraajog fakulteta u Beogradu za lakxe sprema e pismeog ispita iz Matematike 3. Sve primedbe i sugestije su dobrodoxle i moete ih poslati a s.milasiovic@sf.bg.ac.rs.

SADRAJ [0

Glava Redovi Neka je a eki iz realih brojeva. Brojevi red je beskoaqa suma qlaova tog iza u ozaci a a + a + a 3 +... + a +.... Za iz a kaemo da je opxti qla reda. Sa s a + a +... + a, ozaqavamo tu parcijalu sumu reda.. Kaemo da red. kovergira ako postoji koaqa lim s, a u suprotom kaemo da divergira. Primer.. Po defiiciji ispitati kovergeciju reda. + Parcijala suma reda je s + +... +, kao suma prvih prirodih brojeva, xto bi trebalo da je pozato iz sred e xkole, pa je lim s + lim +. Dakle, zak uqujemo da red divergira. q, q R. Primer.. Po defiiciji ispitati kovergeciju reda s q 0 + q + q +... + q + q + q +... + q q+, za q, xto je q suma prvih qlaova geometrijskog iza sred a xkola. Odatle je lim s q + lim q jer je lim q q+ q lim q+ 0 za q < ; + za q > ; e postoji za q. 0 za q < ; q + za q > ; e postoji za q.,

4 REDOVI [ Za q imamo lim q 0 0, pa je s + +... +, odakle je lim s +, xto zaqi da red divergira. Dakle, red kovergira ako i samo ako je q <. Navedimo osovi kriterijum divergecije reda, takozvai test divergecije. Tvre e.. Ako iz a e tei uli, oda red a divergira. Napomea! Kovergecija reda e zavisi od prvih koaqo mogo qlaova reda, jer kovergecija iza s e zavisi od prvih koaqo mogo qlaova iza, pa zato moemo da ispitujemo kovergecije redova oblika a, a, 4 00 a... Redovi sa pozitivim qlaovima Red sa pozitivim qlaovima je svaki red a kod koga je a 0. Za ispitiva e ovakvih redova postoje razi kriterijumi koje emo ubudue koristiti. a i Tvre e.. Prvi poredbei kriterijum Neka su dati redovi i eka je a b poqevxi od ekog 0 N. Tada, ako red i red a kovergira, a ako red b b kovergira, oda a divergira, oda i red Podsetimo se sada jede defiicije iz Matematike. b divergira. Defiicija.. Neka su a i b izovi koji isu idetiqki jedaki uli. Kaemo da su a i b asimptotski ekvivaleti u ozaci a b ako je a lim. b Iz defiicije se vidi da ako je a b, oda mora biti i lim a lim b, pod pretpostavkom da limesi ili postoje ili odreeo divergiraju ka + ili. si x Zamo da je lim, pa zbog Hajeove teoreme graiqe vredosti vai x 0 x si a lim a, za svaki iz a takav da je lim a 0 i a 0. Odatle sledi

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 5 da je si a a. Na primer: si, si 5 + 5 itd. Motivisai + ovim primerom moemo dati sve ostale koje se ajqexe koriste asipmtotske relacije kad god je lim a 0 :. si a a,. cos a a, 3. e a + a, 4. + a λ + λa, 5. l + a a, 6. + a a e, 7. tga a, 8. arctga a. Isto tako vaa asimptotska relacija je vezaa za poliom a k k + a k k + + a + a 0 a k k, gde je a k 0. Qesto emo u ispitva u kovergecije redova koristiti sledea dva tvre a. Tvre e.3. Ako je a b i c d, oda je:. a + c b + d,. a c b d, 3. a c b d. Tvre e.4. Ako je a b, oda je a b, gde su a i b pozitivi izovi. Takoe vai i a p b p, za p R i p 0. Ne vai, meutim, ako je a b da je oda a b. To moemo videti a primeru a +, b. Oqigledo je a b, ali a e, jer je lim a e, pa e moe biti a b, jer je b. Veoma vaa e am biti asimptotska relacija koja je pozata pod azivom Stirligova formula! e π. Tvre e.5. Drugi poredbei kriterijum Ako je a b, tada redovi i b istovremeo kovergiraju ili divergiraju. a

6 REDOVI [ Tvre e.6. Dalamberov kriterijum Neka je dat red a i eka je a + lim L. a Tada za L < red kovergira, a za L > opxti qla reda e tei uli, pa red divergira. Tvre e.7. Koxijev korei kriterijum Neka je dat red a i eka je lim a L. Tada za L < red kovergira, a za L > opxti qla reda e tei uli, pa red divergira. Tvre e.8. Rabeov kriterijum Neka je dat red lim a + L. a a i eka je Tada za L > red kovergira, a za L < red divergira. Primetimo da kod Dalamberovog i Koxijevog kriterijuma, sluqaj L e daje iformaciju o kovergeciji reda. Zato, kada je L kod Dalamberovog kriterijuma, poe o je probati sa Rabeovim kriterijumom. Ako am i o e da iformaciju o kovergeciji reda, oda moramo da se dovijamo a drugi aqi. Tvre e.9. Koxijev itegrali kriterijum Neka je fx eprekida, eegativa i opadajua reala fukcija za x k, k N i eka je a f, za k. Tada red a kovergira ako i samo ako kovergira esvojstvei itegral + k fxdx. k Iskoristimo prethodi kriterijum da dokaemo sledee bito Tvre e.0. Red Hp Hp kovergira ako i samo ako je p >. p, p R zove se uopxtei harmoijski red.

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 7 Dokaz: Neka je prvo p < 0. Tada je a p p, p > 0, pa je lim a +, xto zaqi da red divergira jer opxti qla e tei uli. Sliqo, za p 0 dobijamo da je a, pa je i lim a 0, odoso red divergira. Neka je sada p > 0. Posmatrajmo fukciju fx. Oa je eprekida za x, xp eegativa je i vai f x p < 0, za x, xto zaqi da je fukcija +p opadajua za x. Moemo sada upotrebiti itegrali kriterijum a ax red, jer je oqigledo a f, za. Za p 0, imamo + x p dx xp p + + p p +, jer je p > 0, pa je + p + i red divergira. Za p > imamo + x p dx xp p + 0 p p p, jer je p < 0, pa je + p 0 i red kovergira. Koaqo, za p imamo + x dx lx + l+ l + 0 +, xto zaqi da red divergira. Time je tvre e dokazao. Napomeimo da je ozake poput + p graiqe vredosti. + podrazumevaju odgovajue Defiicija.. Neka je N. Dvostruki faktorijel parog broja je!! 4... 4, a dvostruki faktorijel eparog broja je!! 3 5... 3. Dakle, kod dvostrukog faktorijela ekog broja moimo uazad sa korakom dva. Pokaimo sada jedu osobiu dvostrukog faktorijela parog broja. Za svaki broj N vai da je!! 4... 4......!.!!!!!,

8 REDOVI [ jer je! proizvod svih brojeva od do,!! proizvod svih parih od do, a!! proizvod svih eparih od do, pa kad se pomoe daju proizvod svih od do. Nije loxe zati sledeu asimptotsku relaciju!!!! π.. Dokaimo ovo:!!!!!!!!!!!! e 4π e π π,! [!!]! [!]! [!] e π [ e π] gde je Stirligova formula prime ea a! i!. Defiiximo jox i uopxtei biomi koeficijet. a Defiicija.3. Uopxtei biomi koeficijet u ozaci, gde je a R, N, je dat sa a aa a a.! Primer.3. Navedimo eke biome koeficijete koji se ajqexe sreu u zadacima:.,. 3.!!!! 3!!!! za, za. Dokaimo, ilustracije radi, deo.! 3 5!!!!!!.!!. Rexei zadaci Zadatak.. Po defiiciji ispitati kovergeciju reda +.

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 9 Odredimo qemu je jedaka ta parcijala suma datog reda. s 3 + 4 + 3 5 + + + 5 3 3 5 + + 3 3 + 4 4 + + + 3 + 4 + 3 5 + + + + 3 +, + pa je lim s 3 4. Dakle, red kovergira i zbir mu je 3 4. Zadatak.. Ispitati kovergeciju sledeih redova.. + +, + 3, 3. + 7. Opxti qla reda pod. je a + i oqigledo je lim + a +, pa red divergira jer opxti qla e tei uli. Za red pod. je + 3 a + 4 + 4 4 4, + 4 4 4 pa je lim a e 0, xto zaqi da red divergira. Koaqo, za red pod 3. je a + 7. Primetimo da je + 7, pa je + 7, odakle sledi da je lim a lim. Dakle, lim a, pa opxti qla tei ekom broju koji je svakako razliqit od ule, xto zaqi da red divergira moe se pokazati da je lim a, primeom leme o dva policajca pr.. Zadatak.3. Ispitati kovergeciju reda +.

0 REDOVI [ Primetimo da je a + + + + + + + + + + +, a lim + + 0, pa red divergira prema testu divergecije. Zadatak.4. Ispitati kovergeciju reda. Prvi aqi: Primetimo da je, odatle sledi da je, pa je oda. Odatle dobijamo da je a, a red kovergira jer je q poqeti red kovergira. <. Prema prvom poredbeom kriterijumu sledi da + + Drugi aqi: Posmatrajmo koliqik a + a + + +. Kako je lim + <, to prema Dalamberovom kriterijumu sledi da red kovergira. Trei aqi: Kako je a, a zamo ili bi trebalo da zamo da je lim, to sledi da je oda lim a lim <, pa red kovergira prema Koxijevom kriterijumu. Ne bi bilo loxe podsetiti se da je lim p, zap R i lim a p, za a > 0, p R. Zadatak.5. Ispitati kovergeciju reda cos. Primetimo da je cos 0, jer je cos. To zaqi da je a cos 0, a kako je cos, to je a cos. Red divergira jer je to zapravo red H, pa oda mora i poqeti red da divergira prema drugom poredbeom kriterijumu.

.] Redovi sa pozitivim qlaovima Zadatak.6. Ispitati kovergeciju reda + + 3. + Kako je +, + 3 3, to je a + 3 3. Red H kovergira, pa i poqeti red kovergira prema drugom poredbeom kriterijumu. Zadatak.7. Ispitati kovergeciju reda +. { za paro; Primetimo da je, pa je za. eparo. Odatle je a + + 3, a red 3 kovergira, to oda kovergira i poqeti red prema prvom poredbeom kriterijumu. Zadatak.8. Ispitati kovergeciju reda si!. Kako je si x, za svako realo x, to je oda i si!. Odatle je a si!, a kako red kovergira, to kovergira i poqeti red 3 3 3 3 prema prvom poredbeom kriterijumu. Zadatak.9. Ispitati kovergeciju reda lim Prvi aqi: Kako je a a 3. i lim, to je <. To zaqi da red kovergira prema Koxijevom kriterijumu. Drugi aqi: Posmatrajmo koliqik a + a + + +. + + a Odatle je + + lim lim <, pa red kovergira prema a Dalamberovom kriterijumu.

REDOVI [ Zadatak.0. Ispitati kovergeciju reda 3. + a 3, pa je lim a 3 >, xto zaqi da red divergira prema + Koxijevom kriterijumu.!! Zadatak.. Ispitati kovergeciju reda +. a + a +!! + + + +!!!! + +!! + + +!! + +!! + + +, + odakle je a + + + lim lim a + + e, + + jer je lim, a lim e + + e. Kako je < to zaqi da red e kovergira prema Dalamberovom kriterijumu.!! Zadatak.. Ispitati kovergeciju reda.!!!! Prvi aqi: Kako je a, a red!! π π π divergira, to oda i poqeti red kovergira prema drugom poredbeom kriterijumu. Drugi aqi: Posmatrajmo koliqik a + a +!! +!!!!!! +!!!! +!!!! +!!!! +!!!! + +, a odakle vidimo da je + lim, a taj sluqaj am je eodluqa, tj. e moemo a ixta rei o kovergeciji a osovu Dalamberovog kriterijuma. Probamo da li Rabeov kriterijum moe exto da am kae. Posmatramo a + + a + pa je lim a + a kriterijumu. Zadatak.3. Ispitati kovergeciju reda + + +, <, xto zaqi da red divergira prema Rabeovom!! 5 9 4 +.

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 3 a + a + +!! 5 9 4+ 4+5!! 5 9 4+ + 4 + 5 4 + 4 + 5, 5 9 4 + + +!! 5 9 4 + 4 + 5!! a pa je + lim, xto am e govori ixta o kovergeciji. Zato probamo a Rabeov kriterijum. a + 4 + 3 a 4 + 5 4 + 5, pa je lim a + 3 <, xto zaqi da red divergira prema Rabeovom a 4 kriterijumu. + Zadatak.4. Ispitati kovergeciju reda l. a l + + l. Kako red poredbeom kriterijumu. Zadatak.5. Ispitati kovergeciju reda l + divergira, to divergira i poqeti red prema drugom! 3! 5!!! e. Kako je + a +! 3! 5!! +! e! a +! +! 3! 5!! e +!! e +!! e +! + +! +! +!! e +! +! +! e +! + + + e + π + e + + e + π + + + + + e + e + + + + + 4 ee e e 4, kad, e e to prema Dalamberovom kriterijumu zak uqujemo da dati red divergira.

4 REDOVI [ Zadatak.6. Ispitati kovergeciju reda od p R. l + l, u zavisosti p a l + l p + l l + p p a p+,. Kako je p p+ to zaqi da poqeti red kovergira ako i samo ako kovergira red, a p+ taj red kovergira ako i samo ako je p + >, odoso p > 0, prema drugom poredbeom kriterijumu. Zadatak.7. Ispitati kovergeciju reda l + l p, u zavisosti od p R. a l + l p + l p l + p p. Oda- 4p+, a o p+ tle poqeti red kovergira ako i samo ako kovergira red 4 kovergira ako i samo ako je p+ >, odoso p >, prema drugom poredbeom kriterijumu. Zadatak.8. Ispitati kovergeciju reda p R. 3 e p, u zavisosti od a 3 e p 3 + p 3 p, odakle vidimo da red p 3 kovergira ako i samo ako je p 3 >, tj. p > 4, prema drugom poredbeom kriterijumu. Zadatak.9. Ispitati kovergeciju reda p R. + p, u zavisosti od 5 + 3 + 7 a + p 5 + 3 + 7 p p 5 5, pa red kovergira ako i samo ako je 5 p 5 p >, odoso p < 3, prema drugom poredbeom kriterijumu. Zadatak.0. Ispitati kovergeciju reda!e, u zavisosti od p R. +p

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 5 Kad u opxtem qlau reda imamo zajedo faktorijel, ekspoecijalu fukciju ili, ideja je da faktorijel izrazimo preko Stirligove formule. Dakle, a!e e π e +p +p π p π, p odakle vidimo da red kovergira ako i samo ako je p >, odoso p > 3, prema drugom poredbeom kriterijumu. e! si, Zadatak.. Ispitati kovergeciju reda u zavisosti od p + p R. Kako am je opxti qla ti stepe ekog iza, to se amee Koxijev kriterijum za ispitiva e kovergecije. e! si a e! si e e + p + p + p π si π + p + π p + π p+ + p+ π π π π + p+ + p+ e π p+ e p+ e Dakle, dobili smo da je π a e p+ π si p+, pa je lim a 0 <, za p + > 0, tj. za p >, pa red kovergira. Ako je p <, oda se lako vidi da je lim a + >, pa red divergira, dok za p imamo da je lim a π < dokazati, pa red kovergira. Iz svega prethodog zak ucujemo da red e kovergira ako i samo ako je p. + p Zadatak.. Ispitati kovergeciju reda q, u zavisosti od p, q R. + p a q + p, pa je q + p a + p q + p q p p. Ovo vai za p 0, jer e moemo iz koji je razlicit od ule da proce ujemo sa izom koji je kostato ula u asimptotskim relacijama. Za p 0 se direkto.

6 REDOVI [ proveri da je tada a 0, pa red trivijalo kovergira kao suma ula iza. Dakle, za p 0, dobili smo da je a p, xto zaqi da je i lim a p. Za p < red e da kovergira, za p > red e da divergira, dok za p emamo odgovor o kovergeciji iz Koxijevog kriterijuma. Zato ubacimo u poqeti red vredosti parametra p za koje je zadovo ea jedakost p, a to su p ili p. Imamo: za p + a q + q q, q pa red kovergira ako i samo ako je q >. za p + a q q q + + q + + q + q + q + q e, q pa opet vidimo da red kovergira ako i samo ako je q >. Zadatak.3. Ispitati kovergeciju reda p, q R. + q p, u zavisosti od! Kako u opxtem qlau imamo ti stepe, probamo Koxijev kriterijum a + q p! p e e p. + q p! q p e π q p e π Ako je p > 0, tj. p <, oda vai lim e a lim 0 <, pa red p kovergira. Ako je p >, oda je lim a + >, pa red divergira. Ako je p, oda je lim a e >, pa red divergira. Dakle, red kovergira ako i samo ako je p <, xto zaqi da kovergecija e zavisi od parametra q. Zadatak.4. Ispitati kovergeciju reda + p + + l + p p l, u zavisosti od p R.

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 7 a + p + + l + p p l + p + + l + p l p + p + + + p l 0. p Da e, a + p + + l + p p l +. p Za p 0, l + e tei uli kad, a sa tim i a p e tei uli kad, pa red divergira po testu divergecije. Za p > 0 i p imamo a p p p, p odakle vidimo da za p >, tj. p > red kovergira, dok za 0 < p i p red divergira. Za p je a, pa red divergira. Zak ucak je da red kovergira ako i samo ako je p >. + p Zadatak.5. Ispitati kovergeciju reda, u zavisosti od p R. Ozaqimo sa Z sve cele brojeve ma e od ule. Ako p Z, oda je a 0, pa m red kovergira. Zaista, ako je m < i m, N lako se proveri da je 0, pa za p Z vai + p < kao i + p N, poqevxi od ekog N proveriti 4 a prostom primeru da je 0 pa uopxiti dokaz. Neka je sada p R i 5 p Z, imamo a + + + p + + p + + p + + p a +!! + p + p + p + p + + p + p + p + p +!! + p + p + p + p + + p + p, kad, + +

8 REDOVI [ pa am Dalamberov kriterijum e govori ixta o kovergeciji reda. Probamo sada Rabeov kriterijum a + + p p a + + p + p + p p, kad. + Sada vidimo da za p >, odoso p < red kovergira, dok za p > red divergira. Za p imamo a! 3 5!!!!!!!!, gde smo iskoristili relaciju., π π pa red divergira po drugom poredbeom kriterijumu. Primetimo da sluqaj p Z ismo morali i da razmatramo jer red svakako kovergira za svako p <, a to uk uquje i sve egative cele. Meutim, ije loxe imati a umu rasuiva e za taj specijala sluqaj. p + p Zadatak.6. Ispitati kovergeciju reda, u zavisosti od p R. Primetimo prvo da za p N i p N poqevxi od ekog N, pa kako je p p < to je oda 0, a odatle red kovergira. Neka je sada p R i p N. Dokaimo da je tada opxti qla reda stalog zaka p + p p p p p a! + p + p + p + p! p p p p! + p + p p 3 p! + p + p [ p p 3 p] p p.!.3

.] Redovi sa pozitivim qlaovima 9 Odavde vidimo da zak od a zavisi samo od izraza p p, jer je ostatak ili eegativa kao kvadrat ili je oblika + p + p, xto je vee od ule poqevxi od ekog prirodog broja. Dakle, za p, a < 0, a za ostale vredosti je a > 0. Ovo am daje za pravo da koristimo eki od kriterijuma koje vae za pozitive redove, jer ako je red a stalo egativa, oda je red a stalo pozitiva, a kovergecije redova Posmatrajmo koliqik a i a su istovreme. a + a + 3 p + p [ + p p 3 p] p p +!! + p + p [ p p 3 p] p p + 3 p + p + p + 3 p + p, + + p + p + kad, pa am Dalamberov kriterijum ije od pomoi. Rabeov kriterijum am daje a + + 3 p + p p p + 4p a + + + p + 4p p, kad, + odakle sledi da red kovergira za p >, odoso p > 3, a divergira za p < 3. Za p 3 imamo kad zameimo p 3 a + + [ 3 5! [ 3 5! u jedakost.3 3 3 ] ] + [ 3 5 3]! + 3!! +!!!!! π, odakle sledi da red divergira prema drugom poredbeom kriterijumu. + p Zadatak.7. Ispitati kovergeciju reda, u zavisosti od p R.

0 REDOVI [ Iskoristimo Koxijev kriterijum a + p + p e p, kad. Odavde sledi da za e p <, odoso za p < l red kovergira, dok za p > l red divergira. Za p l l imamo a e l l e l + l l l + e l l e l > 0, odakle sledi da opxti qla e tei uli, pa red diverigra po testu divergecije. Ovde smo iskoristili sledeu asimptotsku relaciju Defiicija.. Za red oblika l + x x x, kad x 0. Alterativi redovi a a a + a 3,.4 gde je a 0 za svako N, kaemo da je alterativi aizmeiqi red. Sledee tvre e odosi se a kovergeciju alterativih redova. Tvre e.. Lajbicov kriterijum Ako je iz a mootoo opadajui i lim a 0, tada alterativi red.4 kovergira. Napomea! Prethodo tvre e vai i za red oblika moe apisati kao a i da e je jaso. Defiicija.. Za red a kaemo da apsoluto kovergira ako kovergira red a, jer se o a. Ako red a divergira, a red oda kaemo da red a uslovo kovergira. a obiqo kovergira, Sledee tvre e je od velikog zaqaja za ispitiva e kovergecije redova.

.] Alterativi redovi Tvre e.. Ako red obiqo. a apsoluto kovergira, oda o kovergira i Obruto e mora da vai xto am govori sledei Primer.4. Pokazati da red divergira. kovergira obiqo, ali apsoluto Primetimo prvo da je a 0 i oqigledo je lim a 0. Ostaje jox da se pokae da je iz a opadajui. Niz a > 0 je opadajui ako i samo ako vai a +, pa je u axem sluqaju a + +. Prema Lajbicovom a a + kriterijum dati red kovergira obiqo. Da red e kovergira apsoluto lako se uveravamo jer je a a a, a taj red divergira. Napomea! Da je iz a opadajui mogli smo da proverimo i a sledei aqi. Posmatrajmo fukciju fx x. f x < 0, za svako x 0 ama x je dovo o da bude ma e od ule poqevxi od ekog x R, xto zaqi da je data fukcija opadajua, a samim tim i iz a f, za svako N.. Rexei zadaci Zadatak.. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda +. Prvo ispitujemo apsolutu kovergeciju a +, xto zaqi da red apsoluto divergira. Iz a vidimo da je lim a 0, pa ostaje da pokaemo da je a opadajui da bi mogli da primeimo Lajbicov kriterijum. Zaista, posmatrajmo fukciju fx x x +, za x. f x x < 0, za x >, xto zaqi da je data fukcija opadajua za x >. xx + Iz a f, sledi da je i dati iz opadajui za >, pa po Lajbicovom kriterijumu red kovergira. Kako red kovergira obiqo, a divergira apsoluto, zak uqujemo da kovergira uslovo. Zadatak.. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda zavisosti od p R., u p

REDOVI [ Ispitujemo prvo apsolutu kovereciju a, odakle zak uqujemo p da red apsoluto kovergira za p >, a apsoluto divergira za p. Primetimo da je za p 0, lim a 0, pa red divergira prema testu divergecije. Ostaje da se vidi xta se dexava sa obiqom kovergecijom za 0 < p. Jaso je da je tada lim a 0. Radi utvriva a mootoosti iza posmatrajmo fukciju x p, x. Tada je f x p fx < 0, za x jer je p 0, ], tj. x p p > 0. Odatle zak uqujemo da je fukcija opadajua, a samim tim i iz a je opadajui pa red kovergira po Lajbicu za p 0, ]. Koaqa zak uqak je da red apsoluto kovergira za p >, divergira za p 0, a uslovo kovergira za p 0, ]. Napomea! Mootoost iza iz prethodog zadatka mogli smo da proverimo i a sledei aqi. Posmatrajmo koliqik a + a p 0 + p <, + + p jer je + <, za svako N, a kako za a 0, vai da je ax < a y, za x > y, odatle sledi data ejedakost jer je p > 0. Zadatak.3. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p R. a + 3 + p, + 3 +, odakle sledi da red apsoluto kovergira p p za p >, odoso p >. Za p 0, tj. p 0 je lim a 0, pa red divergira prema testu divergecije. Za 0 < p, odoso 0 < p je lim a 0 i ostaje da vidimo xta se dexava sa mootooxu iza a. Posmatrajmo fukciju fx x + 3x +, za x. Tada je f px 3p x prvi izvod fukcije. p x + 3x + p Zak prvog izvoda u ovom sluqaju kada je imeilac uvek pozitiva, xto ovde jeste sluqaj zavisie uvek od koeficijeta uz oo x u brojiocu koje ima ajvei stepe, jer su svi ostali qlaovi zaemar ivi za dovo o veliko x. Ovde je koeficijet uz ajvei stepe jedak p, a kako je p > 0, to je p < 0 pa je fukcija opadajua, a samim tim i iz a. Prema Lajbicovom kriterijumu red kovergira za 0 < p. Koaqo, red apsoluto kovergira za p >, divergira za p 0, a uslovo kovergira za 0 < p.

.] Alterativi redovi 3 Napomea! Mootoost je opet mogla da se posmatra iz koliqika a + p + 3 + 0 + 3 + <, a + 5 + 5 + 5 + 5 jer je oqigledo + 3 + <, pa vai isto zak uqiva e kao u prethodom + 5 + 5 zadatku. Zadatak.4. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda e. a e, jer je lim kovergira. e. Odatle sledi da red apsoluto Zadatak.5. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda +. a + + + + + + + + + + + +, pa zak uqujemo da red apsoluto divergira. Proverimo obiqu kovergeciju prime ujui Lajbicov kriterijum. Kako je a, to je oda lim a 0. Proverimo mootoost iza tako xto emo pokazati da je a + < a za vebu primeiti eke od prethodih tehika. Imamo da je a + + + + + < + + + < + + a, jer je + > kao i + + > +, a samim tim su odgovarajui razlomci vei jer delimo ma im pozitivim brojevima. Iz svega sledi da red kovergira po Lajbicu, a kako divergira apsoluto to o kovergira uslovo. VANO Ako je a b oda zamo da je lim a lim b, ali e mora da vai da ako je iz b mooto da je tada i iz a mooto. Primer za to su izovi a +, i b. Lako se proveri da je a b kao i da je b opadajui, ali da iz a ije mooto jer mu vredosti aizmeiqo rastu pa opadaju. Zadatak.6. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda p +, u zavisosti od p R.

4 REDOVI [ a p + p, pa red apsoluto kovergira za p >, p odoso za p <. Za p 0, odoso za p je lim a 0 pa red divergira po testu divergecije. Za 0 < p, odoso za p [, imamo da lim a 0 i ostaje da ispitamo moostoost. Posmatramo fukciju fx xp x +, za x. Prvi izvod je f x p xp+ + px p x +, pa kako je p < 0 to je oda i f x < 0 za dovo o veliko x, a samim tim i fukcija opadajua. Iz svega sledi da je iz a opadajui i tei ka uli, pa po Lajbicu kovergira. Kako za p [, red apsoluto divergira, a obiqo kovergira zak uqujemo da kovergira uslovo. Zadatak.7. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p, q R. p 3! p, 3+q p 3! p p 3 a e π p 3+q 3+q p p 3 π. e 3+q 3p e p p π 3+q Odatle je p π p 3 a e 3+q p 3, e pa je lim p p 3 a. Za lim 3 a <, odoso za p < 0 jer je 3e e e > red apsoluto kovergira po Koxijevom kriterijumu i to za svako q R, a za p > 0 red divergira jer opxti qla e tei ka uli. Za p 0 dobijamo red za koji se lako utvruje da apsoluto kovergira za q >, 3+q divergira za q 3, a uslovo kovergira za q 3, ]. Zadatak.8. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p, q R. p 4 q 4,

.] Alterativi redovi 5 4 Odredimo prvo asimptotsko poaxa e iza primetimo da su 4 i prirodi brojevi pa vai pozata formula za biomi koeficijet m, za > m.! m! m! 4 4!!! Odatle je a p 4 4!! 44 e 4 8π e 4π 44 8π q 4 4 p 4 q 4π 4 4π 4. 4π p π q, pa je q q a. π π Dakle, lim q a, pa red apsoluto kovergira po Koxijevom kriterijumu za q > 0 jer je tada < i za svako p R, divergira za q < 0 π q π jer tada opxti qla e tei uli, a za q 0 je eudluqo. Za q 0 dobijamo red koji apsoluto kovergira za p >, divergira za p < 0, a uslovo p kovergira za p 0, ]. Zadatak.9. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p R. pa je Lako se dobija da je Odatle je, p!!!!! p!!!!,!!. p a a!!!! p π p π p+,

6 REDOVI [ pa red apsoluto kovergira za p + >, odoso za p >. Za p opxti qla e tei uli pa red divergira. Ostaje da se vidi xta se dexava za p, ]. Zamo da je tada siguro 0 < p +, pa je lim a 0. Ostaje da pokaemo da je iz a mootoo opadajui. Kako je a, to ije bax p lako ispitivati odgovarajuu mu fukciju fx zbog biomog koeficijeta koji bi am pravio problem. Ostaje am da pokuxamo eki drugi aqi, a primer posmatrajmo koliqik a + a +!! p!! +!! + p!! + + p. + + p + Zastaimo a ovom mestu i primetimo da su obe zagrade oqigledo ma e od, pa bi eko mogao pomisliti da je oda i proizvod ma i od, xto bi dovelo do toga da posmatrai iz jeste opadajui. To bi sve bilo taqo da je druga zagrada stepeovaa brojem koji je uvek pozitiva ili ula. U axem sluqaju dati broj p moe biti pozitiva, a moe biti i egativa, pa ako je egativa oda am je desa zagrada VE A od, a vredost izraza ab, gde je a <, a b > moe biti i vea i ma a od. Npr. ako je a 00, a b, oda je ab 50 <, a ako je a, a b 00, oda je ab 50 >. Jeda od aqia da dokaemo da je ovaj iz opadajui za p iz datog itervala je da iskoristimo sledeu qi eicu koja se lako moe dokazati, a ituitivo zaqe e je prikazao a slici ispod: Ako je g : R R fukcija takva da je gx i ako je g mootoo rastua, tada je gx <, za svako x R. y lim x + y y fx x Iskoristimo ovo posmatrajui fukciju gx p, x + x + koja odgovara datom koliqiku a +. Lako se vidi da obe zagrade tee ka, kad a

.] Alterativi redovi 7 x tei ka +, pa je zato i lim gx. Ostaje da pokaemo da je g mootoo x + rastua fukcija, xto em vaiti ako pokaemo da je e izvod strogo vei od ule poqevxi od ekog x. Zaista g x p + p x + x + x + x + p + p p x + x + x + x + x + p + p x + x + x + x + x + p x x x + x + x + + p x + x + x + p x x + px + x + x + 3 p x p + x + p > 0. x + x + 3 poqevxi od ekog x jer je x x + p > 0, a koeficijet p + > 0 x + 3 jer je p >. Dakle, dokazali smo da je iz a opadajui, pa iz svega sledi da dati iz uslovo kovergira po Lajbicu za p, ]. Zadatak.0. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p, q R. + p 3 +!!, q Da bi ispitali apsolutu kovergeciju posmatrajmo koliqik a + a + p 3 +!! q 3 + + 3! +! q + p p + + 3 + 3 + + + q 3 4 +q. +q 3 4 4 q a Ako je +q > 0, odoso q >, tada je + lim 0 <, pa red kovergira po a Dalamberovom kriterijumu. Ako je q <, oda je a + +, pa red divergira a po Dalamberu, jer mu opxti qla tada e tei uli. Za q je a + a 3 <, pa red kovergira apsoluto po Dalamberu. Dakle, red apsoluto kovergira za q i za svako p R, a divergira za g < i za svako p R.

8 REDOVI [ Zadatak.. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda za p, q R. Apsoluta kovergecija: a p + q, p p,. + q Odavde zak uqujemo da ako je p < red kovergira apsoluto po Koxiju, ako je p > red divergira po Koxiju jer tada opxti qla e tei uli. Za p, odoso p 0 ili p e moemo ixta da zak uqimo iz Koxijevog kriterijuma. Vraamo te vredosti u poqeti red i vidimo xta dobijamo. p 0 : Dobijamo red i u ovom sluqaju je red za pozitivim qlaovima pa je apsoluta kovergecij isto xto i obiqa. Imamo da + q je a +,.5 q q+ pa red kovergira za q + >, odoso q > 0. p : Dobijamo red koji prema.5 apsoluto kovergira za + q q > 0. Sliqo iz.5 zak uqujemo da ako je q + 0, odsoo q red divergira jer opxti qla e tei uli. Ostaje jox sluqaj q ], 0. Iz.5 je jaso da tada opxti qla tei uli, pa ostaje da ispitamo mootoost iza. Ako posmatramo fukciju fx x x +, imamo da je f x q x q + qx + x x + +q < 0, poqevxi od ekog x >, jer je za x > imeilac pozitiva, a koeficijet uz vodei qla u brojiocu je q + < 0, za q, 0 ]. Odatle sledi da je fukcija opadajua, pa je samim tim i iz a f opadajui, xto zaqi da red uslovo kovergira po Lajbicu. Zadatak.. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p, q R. + 3q p +,

.] Alterativi redovi 9 Apsoluta kovergecija: a p + q + p,. Za p < red apsoluto kovergira po Koxiju, za p > red divergira po Koxiju jer mu opxti qla e tei uli, dok za p ispitujemo posebo. p : + 3 Dobijamo red q koji je sa pozitivim qlaovima. + a + 3q + q q q,.6 q pa red kovergira za q >, odoso za q < 0. p : + 3q Dobijamo red koji prema.6 apsoluto kovergira za q < 0, a + za q opxti qla e tei uli pa red divergira i apsoluto i obiqo. Ostaje sluqaj q [0,. Jaso je iz.6 da opxti qla tei uli, pa ostaje da ispitamo mootoost iza a. Sliqo kao u prethodom zadatku, uzmemo fukciju fx x + 3 q x +. Tada je f xq + q 3 x < 0, za dovo o veliko x >, x + 3 q x + jer je koeficijet uz vodei stepe x u brojiocu q < 0, a sve ostalo je pozitivo. Odatle je fukcija opadajua, a samim tim i iz a. Dakle, red kovergira uslovo po Lajbicu za q [0,. Zadatak.3. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju reda u zavisosti od p, q R. p + 5 + 3, q Apsoluta kovergecija: a odatle je a!!! p + 5 + 3! q! + 5 + 3 q e 4π e π p + 5 + 3 q a 4 p π + 5 + 3 q,.7 4 p π q + 5 + 3 q 4 p,.

30 REDOVI [ Ako je 4 <, tj. 4 < p p, odoso p >, red kovergira apsoluto po Koxiju. Ako je p <, red divergira, a ako je p ispitujemo posebo. p : Iz.7 je a π + 5 + 3 q,.8 πq +q odakle sledi da tad red apsoluto kovergira za q > 4. Za q red divergira 4 jer opxti qla e tei uli. Ostaje jox da se ispita sluqaj q 4, ]. 4 Iz.3 jaso je da a tei uli. Ostaje da proverimo mootoost iza a. Posmatrajmo koliqik a + a + + + 5 + 3 q + 4 + + 9 + 0 q + q 4 + 7 + + 9 + 0 q 4 + 7. + + 9 + 0 q + 5 + 3 + 9 + 0 Na ovom mestu moemo da primeimo,,foru" iz zadatka.9 da bi dokazali da je iz opadajui, ali taj aqi za da bude dost apora za raqua e pa emo primeiti sledeu qi eicu: Ako je a > 0 a + i + p a i p < a 0, tada je + < poqevxi od ekog, pa a je iz a opadajui, a ako je p >, tada je iz a rastui. U axem sluqaju je a + a + q q 4 + 7 + 9 + 0 q + q + 4q + q, a odatle sledi da je iz a opadajui jer je + q < 0, za q 4, ]. Iz 4 svega avedeog zak uqujemo da red uslovo kovergira po Lajbicu. 3 Stepei redovi Defiicija 3.. Stepei red po stepeima od x je red oblika a x a 0 + a x + a x + + a x +,.9 0

3.] Stepei redovi 3 ili, u opxtijem sluqaju, po stepeima od x x 0 a x x 0 a 0 + a x x 0 + a x x 0 + + a x x 0 +,.0 0 gde je a eki reali iz, a x 0 R. Kako se smeom t x x 0 red.0 svodi a red oblika.9, to je dovo o razmatrati samo stepee redove oblika.9. Osovo pita e je proalae e oih x R za koje red.9 kovergira. Odgovor a to pita e dobija se po sledeem,,receptu":. Odredimo takozvai polupreqik radijus kovergecije stepeog reda R po jedoj od sledee dve formule: R lim a ili R a + a.. Za x < R red je apsoluto kovergeta, a za x > R red divergira. 3. Za x R ili x R e zamo xta se dexava pa te vredoti zameimo u red i dobijamo eki brojevi red, pa ekim od ve raeih kriterijuma proveravamo da li red divergira ili kovergira apsoluto ili uslovo u tim taqkama. Napomeimo da ako je R 0 tada red.9 kovergira samo za x 0, a ako je R + kovergira za sve x R. Takoe, ije loxe imati a umu da za ispitiva e kovergecije reda.9 u taqkama x R i x R e treba korititi i Koxijev i Dalamberov kriterijum jer e u tom sluqaju odgovarajui limes biti i eemo imati odgovor a pita e o kovergeciji. U zadacima e se jav ati pita a sumira a ekog reda ili razvoja eke fukcije u stepei Makloreov red. Ako za realu fukciju f vai fx a x, za x a, b, 0 tada kaemo da je fukcija f razvijea u stepei red po stepeima od x u itervalu a, b. Zbog toga je potrebo pozava e razvoja u stepei red sledeih fukcija:. e x x, razvoj vai za x R;! 0. si x 3. cos x 0 0 +! x+, razvoj vai za x R;! x, razvoj vai za x R;

3 REDOVI [ a 4. + x a x, razvoj vai za x < i svako a R. Za x 0 ili x razvoj vai za eke a, a za eke e vai ovo emo posebo ispitivati u zavisosti od a; 5. l + x x, razvoj vai za < x. Mi emo ajqexe koristiti geometrijski red, odoso x + x x x x, gde razvoj vai za x <. U zadacima 0 0 0 sa sumira em stepeog reda koristiemo qi eicu da se o moe diferecirati i itegaliti qla po qla uutar svog radijusa kovergecije, odoso da za x < R vai:.. 0 a x dx a x 0 0 a x 0 a x dx + C 0 a x 0 a x + + + C, a x. Time se polazi red svede a eki od gore avedeih pozatih, a zatim se ta fukcija itegrali ili deferecira koliko je puta potrebo da bi se dobila traea suma reda. Sve ovo bie prikazao kroz zadatke. 3. Rexei zadaci Zadatak 3.. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda 3 x. Prvo traimo radijus kovergecije. Imamo da je a odakle je R lim a a + lim 3! +! +!!! 3 + 3! lim + + 33 + 3 + 4 7. 3 3!!!, lim + + + 3 + 33 + 3 + Odavde zak uqujemo da red apsoluto kovergira za x < 4, a divergira za 7 x > 4 7. Ostaje da ispitamo sluqajeve x 4 7 i x 4. Na ovom mestu ije 7

3.] Stepei redovi 33 loxe spomeuti da uvek prvo va a ispitati kovergeciju za oaj x ±R za koji se zameom u stepei red dobije red sa pozitivim qlaovima. To je iz razloga xto ako taj red apsoluto kovergira, oda e kovergirati apsoluto i oaj drugi jer e biti isti po apsolutoj vredosti! x 4 7 : Dobijamo red a 3!!! 3 4 7 4 7 3! 4, pa je!! 7 3 3 e 3 6π 4 e π e 4π 7 odakle zak uqujemo da red u tom sluqaju divergira. x 4 7 : Dobijamo red 3 4 7 3!!! sluqaja vidimo da dati red apsoluto divergira, ali je a 3 π, 4. Iz prethodog 7 3 π, pa je lim a 0. Ostaje da proverimo mootoost. Lako se dobije da je a + a 4 3 + 33 + 3 + 4 33 + 3 + 8 + 8 + 4 <, pa je 7 + + + 7 + + 8 + 7 + 9 iz a opadajui i red kovergira uslovo prema[ Lajbicovom kriterijumu. Zak uqujemo da red kovergira ako i samo ako x 4 7, 4. 7 Zadatak 3.. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda 0 3 x +. Odredimo prvo iz a. U tu svrhu sraquajmo 3 : 3 + 3 3 3 3 3 3! 5 8 3 4. 3! 5 3! 3 4 3 5 8 3 4 5 8 3 4 Dakle, a. 3 +! 3 +! Odredimo radijus kovergecije R. R lim a a + lim 5 8 3 4 3 + +! 3 +! 5 8 3 4 3 3 + lim.. 3

34 REDOVI [ 0 0 Dakle, stepe red apsoluto kovergira za x <, a divergira za x >. Ostaje jox sluqaj x. x : Dobijamo red 3 + 5 8 3 4. Apsoluta kove- 3 +! rgecija ovog reda ekvivaleta je kovergeciji reda Iz. imamo da je a + 3 a 3 + lim a + a lim lim 0 5 8 3 4. 3 +!, pa po Rabeovom kriteijumu imamo 3 3 + 6 7 3 + 6 7 3 >, 7 lim 3 + 6 odakle zak uqujemo da stepei red apsoluto kovergira za x. x : Dobijamo red 3 + 5 8 3 4. Kako je apsoluta kovergecija ovog reda ekvivaleta apsolutoj kovergeciji prethodog 3 +! 0 0 reda, dobijamo da i za x stepei red apsoluto kovergira. Moemo a kraju spomeuti i da je iterval kovergecije stepeog reda I [, ]. Zadatak 3.3. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda u zaviosti od p R. + 3 l p x, Pre svega, primetimo da je dati stepei red po parim stepeima x. Smeom t x dobili bi stepei red sa stepeima po t za koji zamo da odredimo radijus kovergecije, ozaqimo ga sa R t. Odatle, radijus kovergecije stepeog reda sa stepeima po x se dobija jedostavim koreova em broja R t. Dakle, R x R t. Sliqa postupak se moe primeiti a bilo koji stepei red sa stepeima x k. Bie R x k R t, gde je t x k, k N. Mi emo ovaj pustupak raditi skraeo, bez uvoe a dodatih ozaka i smea. Napiximo opxti qla malo drugaqije. a 3 l p + p 3.. p Odatle je lim a lim p 3 p lim 3 p p, pa je prema prethodoj priqi R. Dakle, stepei red apsoluto kovergira za

3.] Stepei redovi 35 x <, a divergira za x >. Za x ispitujemo posebo. Napomea! Primetimo da je stepei red sa parim stepeima, pa e kovergecija u taqki x biti ekvivaleta kovergeciji u taqki x zapravo bie isti redovi. + x : Dobijamo red 3 l p koji je sa pozitivim qlaovima, i prema. je p a 3 p, odakle vidimo da red kovergira p p+ 3 ako i samo ako je p + 3 >, odoso p >. Prema prethodo apomei, red 3 kovergira i za x. Takoe, ako je red sa pozitivim qlaovima, tada je egova apsoluta kovergecija ekvivaleta obiqoj, pa moemo rei i da stepei red apsoluto kovergira u taqkama x i x. Zadatak 3.4. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda u zavisosti od p R. Odredimo prvo radijus kovergecije R lim + p + 3 x, a lim + 3 +. p Dakle, stepei red apsoluto kovergira za x <, a divergira za x >. x : + Dobijamo red p + 3, odakle je a p p, pa red kovergira ako p i samo ako je p >, tj. p < 0. x : + Dobijamo red p + 3, pa iz sluqaja za x dobijamo da red apsoluto kovergira za p < 0, divergira za p 0, tj. p jer tada a e tei uli. Ostaje da se ispita sluqaj p [0,. Kako je a p, a p > 0 p za p iz datog itervala, zak uqujemo da je lim a 0. Ostaje da se pokae da x + p je iz opadajui. U tu svrhu posmatramo fukciju fx, za x. x + 3 e izvod je f x + p x 4xp + 6p 0, za dovo o veliko x, x + 3 jer je p < 0, pa je izraz u zagradi egativa, dok je koliqik ispred ega uvek pozitiva za x. Odatle fx opada, pa i iz a f opada. Dakle, zak uqujemo da red uslovo kovergira po Lajbicu za p [0,.

36 REDOVI [ Zadatak 3.5. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda l p + x, u zavisosti od p R. Odredimo prvo polupreqik kovergecije. Kako je l p + R lim a lim l lim p + p., to je p Zadatak 3.6. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda u zavisosti od p R. Kako je 0! + +p x, a! + + p e π + e π + e, to je lim a e, pa je polupreqik kovergecije R e. Dakle, stepei red apsoluto kovergira za x < e, divergira za x > e, dok za x ± e ispitujemo zasebo. Kako je stepei red po parim stepeima, dovo o je ispitati kovergeciju samo u jedoj od te dve taqke. Ispitajmo pr. za x e. Dobijamo red! + +p e, za qiji opxti qla vai!e a + e π e π +p + +p + p + π + + e π, p p odakle sledi da red kovergira ako i samo ako je p > 3.

3.] Stepei redovi 37 Zadatak 3.7. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda u zavisosti od p, q R. Kako je + q p x,! 0 a! + q e π p p e π p e p e p, to je pa je lim a 0 za p > 0 p > ; + za p < 0 p < ; e za p 0 p. 0 za p > 0 p > ; R + za p < 0 p < ; za p 0 p. e To zaqi da stepei red kovergira jedio u taqki x 0 ako je p >, a apsoluto kovergira za sve x R ako je p <. Ako je p, tada je R, pa e stepei red apsoluto kovergira za x < e, divergira za x > e, dok za x ± e ispitujemo posebo. Kako je stepei red po parim stepeima, dovo o je ispitati kovergeciju u jedoj od te dve taqke. Ispitajmo pr. za x. e + Dobijamo red sa pozitivim qlaovima q. Za egov opxti qla! e 0 vai a + q e! q e e π pa red kovergira ako i samo ako je q <. q π, π q, Zadatak 3.8. Ispitati apsolutu i uslovu kovergeciju stepeog reda u zavisosti od p R. + +! p!! x,

38 REDOVI [ to je Kako je a a + p + +!! +! +! + + 3 +!! + + p + 3 + p p, p R lim a a + 0 za p > 0 p > ; + za p < 0 p < ; za p 0 p. To zaqi da stepei red kovergira jedio u taqki x 0 ako je p >, a apsoluto kovergira za sve x R ako je p <. Ako je p, tada je R, pa stepei red apsoluto kovergira za x <, divergira za x >, dok za x ± ispitujemo posebo. x : + +!! Dobijamo red, koji je sa pozitivim qlaovima pa! je apsoluta kovergecija ekvivaleta obiqoj. Za egov opxti qla vai a + +!!! pa zak uqujemo da red divergira.!!!!!!! p π,.3 x : + +!! Dobijamo red koji po prethodom apsoluto! divergira, pa ispitujemo uslovu kovergeciju. Iz.3 imamo da je lim a 0, dok mootoost iza a proveravamo uporeiva em dva uzastopa qlaa a + a + 3 + + 4 4 + 7 3 + 3 4 + 8 3 + + 8 + <, jer je jaso da je 4 +7 3 +3 < 4 +8 3 + +8+, pa je iz a opadajui. Dakle, red uslovo kovergira po Lajbicovom kriterijumu. Zadatak 3.9. Nai sumu stepeih redova: x.,. x, 4. + x, 5. x +. 3. x,

3.] Stepei redovi 39. U ovakvim zadacima ci je ekim trasformacijama date sume uglavom izvodom ili itegralom svesti sumu a eku pozatu uglavom a sumu geometrijskog reda, a zatim vraa em uazad dobiti sumu odgovarajueg reda. Zamo da se diferecira em spuxta stepe polioma, a itegracijom podie. U ovom primeru smeta am ovo u imeiocu da bi imali sumu geometrijskog reda. Da bi smo se oslobodili tog difereciraemo datu sumu. x Prvi aqi: Neka je Sx. Tada je S x x x x x. Ako uvedemo smeu k, imamo da je k 0 za, pa je x x k za x <, x k0 pa je S x. Da bi odredili Sx potreba am je itegracija. x Dakle, Sx dx l x + C. Ostaje jox da odredimo x kostatu C. u odreujemo ubaciva em vredosti x 0 u sumu, a zatim 0 u fukciju. Sa jede strae je S0 0, a sa druge strae je S0 l 0 + C l + C C. Izjedaqava em dobijamao C 0, pa je koaqo Sx l x. Napomea! Primetimo da smo kod ubaciva a vredosti x 0 zak uqili da je i vredost sume jedaaka uli. To je taqo zbog toga xto je axa suma bila po stepeima x bez kostatog tj. ultog qlaa zapravo a 0 0. Ukoliko suma ide od ule, odoso a x, tada je vredost te sume u 0 taqki x 0 zapravo a 0. Drugi aqi: Napiximo sumu u malo drugaqijem obliku Sx x jer je l+t. Neka je Sx x x l x, t, gde smo u prethodoj sumi uzeli da je t x. x. Sliqo kao i u prvoj sumi, elimo da se oslobodimo ovog koje moi x. Zamo da itegracijom dobijamo eki stepe povea

40 REDOVI [ za jeda u imeiocu, ali ukoliko bi odmah itegralili datu sumu e bi dobili ixta. Zato malo modifikujmo sumu kako am odgovara. Odgovaralo bi am da je x a stepe, pa je oda Sx x x x. Sada imamo stepe u sumi koji am odgovara, ali imamo i x koje moi qitavu sumu, pa ako bi odmah itegralili morali bi da radimo parcijalu itegraciju i samo bi se upet ali. Zbog toga ozaqimo sa F x x. Tada je Sx xf x, a F x raquamo F xdx x x dx + C x + C x + + C x + C 0 x + C x + C za x <. x Odatle F x dobijamo diferecira em x F x x + C Koaqo imamo 3. Neka je Sx gde je F x F xdx x. Tada je Sx xf x Sx x x. x x. x xf x, x. Imamo da je odakle je koaqo x dx F x x + C x x + C Sx xf x x + C prema delu, pa je x + x x 3, x + x x 3.

3.] Stepei redovi 4 4. Prvi Naqi: Neka je Sx Odatle je Sxdx Drugi aqi: Imamo da je Sx + x. Tada je + x dx x + + C x x + C x + C, prema delu. x x Sx x + C + x x + x + x + x x x 3 5. Prvi aqi: Neka je Sx S x gde je F x Da e je x F x odakle je Sx + x x x 3. x + x x 3 + x x x prema delovima i 3. x 3 x. Tada je + x + x x +. Smeom k + dobijamo + x + + k x k k k l x x prema delu. x k k + x x S x x + x F x l, x x l x x dx + C x l x x x + + x F x, k x k k x l x + C. Da bi odredili kostatu C moramo da zameimo x 0 u red i u fukciju. Meutim, fukcija Sx ije defiisaa u taqki x 0. U tom sluqaju e

4 REDOVI [ vaiti da je vredost stepeog reda u x 0 jedaka limesu fukcije Sx 0 kad x tei uli! Dakle, sa jede strae je S0 0, a sa + l x druge strae je S0 lim l x + C + C. Odatle x 0 x je 0 + C, pa je C. Koaqo Sx l x x Drugi aqi: Primetimo sledee Sx x + + + x l x +. x x + l x x l x l x x x l x x + x + + x l x +. Napomea! Primetimo da u prethodim primerima igde kod logaritma ismo stav ali apsolute zagrade jer smo ih dobili itegracijom fukcije x. Razlog za to je xto smo sve radili uutar polupreqika kovergecije datih redova, a koji su svi jedaki, pa je x > 0 za x <. Zadatak 3.0. Nai sumu stepeog reda Prvi aqi: Rastavimo izraz + x. + + A + B. Lako se dobije da je A B, odoso + Sx x x x + x + x a parcijale razlomke, tj. + +, pa je + x x x + x x + x + x l x + x x l x x l x + x. k x k k

3.] Stepei redovi 43 Drugi aqi: gde je F x pa je F xdx S x + x. Tada je x + x x + x dx k + x x F x, x + + C x x k k + C x l x + C, F x x l x + C Odatle je x x l x x Sx dx x x + x l x + C. x x l x. x x x dx Koaqo, kostatu C odreujemo iz uslova S0 0 l + C C, pa je C 0. Zadatak 3.. Nai sumu stepeih redova: x.!,. 4. 0 + + x!. Neka je Sx S t 0. Neka je Sx Odatle je S tdt 0 5. 0 0 + x,! +! x. x + C l xdx 0 0 i S0 0 + 3. 0 x +!, x!. Ako uvedemo smeu t x dobijamo stepei red t! et, pa je Sx S x e x. 0 + x. Smeom t x dobijamo S t! + t dt! 0 0 t +! + C t 0 0 + t.! t! + C tet + C,

44 REDOVI [ pa je a odatle je 3. Neka je Sx 0 0 t. Imamo da je +! gde je F t pa je 0 S t te t + C te t + t, Sx x e x + x. x +!. Uvoe em smee t x dobijamo S t S t t 0 t +. Da e je +! F t F t t + +! t F t, 0 t! et, e t dt e t + C. Sa jede strae je F 0 0 jer je a 0 0, a sa druge strae je F 0 e 0 + C + C. Iz ova dva uslova sledi da je C, pa je F t e t. Odatle je S t et, pa je t 4. Neka je Sx Sx ex x. + + x. Tada je! Sxdx + gde je F x x +. Da e je! x + F xdx + D x! x 0 + x + + C F x + C,! x + D x x! x + D x e x + D. x! + + D

3.] Stepei redovi 45 Odatle je pa je koaqo F x x e x + D x e x + xe x x, 5. Neka je Sx Sx x e x + xe x x + C x e x + 4xe x + e x. 0 +! x. Tada je Sx x 0 +! x+ x F x, gde je F x F x 0 0 x cos x, +! x+. Da e je + +! x+ 0! x+ x 0! x pa je F x x cos xdx x si x + cos x + C. Sa jede strae je F 0 0, a sa druge strae je F 0 0 + + C, pa je C. Koaqo x si x + cos x Sx. x Zadatak 3.. Nai sledee sume:. + 3,., 3. 3.. Neka je S + 3 +. Da bi axli sumu treba 3 primetiti da je oa zapravo vredost ekog stepeog reda u taqki x 3. Zapravo, posmatramo stepei red Sx + x i tada e biti S l x S. Prema delu 5. zadatka 3.9. imamo da je Sx l x+, 3 x pa je S S l 3 l + 3 3 l +. 3 3

46 REDOVI [ x. Sliqo kao u prethodom primeru posmatrajmo stepei red Sx. Iz dela. zadatka 3.9. imamo da je Sx l x, pa je S S l + 3 l. 3. Posmatramo stepei red x. Iz dela 3. zadatka 3.9. imamo da je Sx x + x, pa je S S 3 x 3 3. Zadatak 3.3. Nai sumu stepeog reda Neka je Sx Odatle je 0 + x. Tada je e! Sxdx 0 + x. e! x + e! x x x xe e + C.! e Sx xe x e + C e x e + xe x e e. Zadatak 3.4. Fukciju fx arctgx razviti u Makloreov red i odrediti gde vai razvoj dobijeog reda. Na osovu dobijeog razvoja izraquati sumu reda +. Ideja u ovim zadacima je da se data fukcija diferecira em ili a eki drugi aqi svede a eki od pozatih razvoja ajqesqe geometrijski. Prvi izvod fukcije je Odatle je f x + x + x 0 0 x a to je ekvivaleto sa tim da je x <. fx x dx + C 0 0 x za x <, 0 + x+ + C takoe za x < jer diferecira e i itegra e e e me aju polupreqik kovergecije.

3.] Stepei redovi 47 Otaje jox da odredimo kostatu C. To radimo a isti aqi kao i kod sumira e redova. Sa jede strae je f0 arctg 0 0, a sa druge je f0 0+C C, pa je C 0. Dakle, razvoj fukcije u Makloreov red je fx 0 + x+. Za sada zamo da razvoj vai za x <. Ostaje jox da proverimo u taqkama x ±. Dovo o je proveriti kovergeciju samo u taqki x zbog faktora koji se jav a kao stepe. U taqki x dobijamo red koji kovergira + 0 po Lajbicovom kriterijumu. Kako je fukcija fx arctg x eprekida u taqki x i u taqki x, a red kovergira u tim taqkama, zak uqujemo da e razvoj da vai u tim taqkama. Dakle, fx 0 + x+ za x [, ]. Ostaje jox da aemo sumu koja se trai. Meutim, to sada ije texko. Ozaqimo sa S + i primetimo da je S f arctg π 4. 0 a x razvoj fukcije u Makloreov red i razvoj Napomea. Ako je fx 0 vai za x R, R, oda je dovo o da fukcija bude eprekida sa leve dese strae i da red kovergira u taqki x R x R da bi razvoj vaio u taqki x R x R. x Zadatak 3.5. Fukciju fx arctg razviti u Makloreov red i x + odrediti gde vai razvoj dobijeog reda. Na osovu dobijeog razvoja izraquati sumu reda 4 +. Raquamo prvi izvod 0 f x x + x + x +x + x + x, +x +x + x odakle je isto kao u prethodom zadatku f x fx 0 x za x <. Odoso + x+ + C. Sa jede strae je f0 arctg π 4, a sa 0

48 REDOVI [ druge je f0 0 0 + C, odakle je C π 4 i fx + x+ π 4, 0 0 za x <. Primetimo da red kovergira u taqkama x ± Lajbic, ali da polaza fukcija ije defiisaa u taqki x! Kako je eprekida u taqki x zak uqujemo da razvoj vai za x, ]. Da bi axli sumu apiximo je kao S 4 +. Oblik sume as avodi + da izraquamo vredost fukcije u taqki x. Imamo da je f odakle je S f + π + 4 π + 4 0 0 + π π + + S, + π arctg + π 3 arctg + π 3. Zadatak 3.6. Fukciju fx xarctg x razviti u Makloreov red i odrediti gde vai razvoj dobijeog reda. Na osovu dobijeog razvoja izraquati sumu reda 6 +. 0 Ozaqimo sa gx arctg x. Tada je fx xgx. Imamo da je g x x + x x + 4 x4 x x 4 x 4+ za x <. Odatle je 0 0 gx x 4+ dx x4+ 4 + + C x4+ + + C. 0 0 0 Sa jede strae je g0 0 + C, a sa druge je g0 arctg 0 0, pa je C 0. Dakle, fx xgx x x4+ + x4+3 za x <. + 0 Za x ± lako se pokae da red kovergir po Lajbicu, a fukcija fx je eprekida u tim taqkama, pa zak uqujemo da razvoj vai za x [, ]. Ostaje da aemo jox sumu. Imamo da je S 6 + 4. Dakle, + 0 raquamo vredost fukcije u x 4+3 f 4 + 0 Odatle je S 8f 8 arctg 4arctg 4 0 3 4 0. 0 + 4 8 S.

3.] Stepei redovi 49 Zadatak 3.7. Fukciju fx xarcsi x razviti u Makloreov red i odrediti gde vai razvoj dobijeog reda. Na osovu dobijeog razvoja izraquati!! sumu reda!! +. Ozaqimo sa gx arcsi x. Tada je g x x + x x za x <. Odatle je 0 0 gx x dx + C Lako se dobije da je C 0, pa je koaqo fx xgx 0 0 x, x + + + C. 0 x + za x <. + Proverimo da li razvoj vai i za x ±. Za x dobijamo red + 0 koji apsoluto kovergira jer je prema Primeru.3!! +!! + π +. π + Potpuo isti argumet vai i za x, a fukcija fx je eprekida u obe taqke pa zak uqujemo da razvoj vai za x [, ]. Da bi izraquali datu sumu moramo drugaqije da zapixemo dati razvoj. Kako je!! za!!, a ax razvoj poqi e od 0, oda moramo drugaqije da apixemo taj α ulti qla. Meutim, po defiiciji je za svako α R. Zbog toga je 0 fx x +!!!! + x+, pa je f + S, odakle je S f arcsi π. 4x Zadatak 3.8. Fukciju fx arcsi x + 4 odrediti gde vai razvoj dobijeog reda. razviti u Makloreov red i

50 REDOVI [ Raquamo izvod fukcije f x 4x 4x x + 4 x +4 44 x x 4 x + 4. x 4 8x +6 x +4 6 4x x + 4 44 x x 4 x + 4 Zastaimo ovde a treutak. Vidimo da je izraz 4 x x 4 toga kako se poaxa apsoluta vredost. Vai da je ± u zavisosti od x 4 { x 4 za x 4 0 x 4; 4 x za x 4 < 0 x < 4. Prvi aqi da utvrdimo xta e biti apsoluta vredost je da se setimo da je Makloreov red zapravo razvoj fukcije u okolii taqke x 0 i da primetimo da je uslov x < 4 blii uli ego x 4, pa uzimamo da je apsoluta vredost zapravo 4 x i da je x < 4. Drugi aqi da to vidimo je tako xto prvo 4 kreemo da razvijamo x + 4 4 x x 4 + x + 4... 0 i da vidimo da taj razvoj vai za x <, xto je ekvivaleto sa x < 4, pa uzimamo da je apsoluta vredost 4 x. Vratimo se sada u. Imamo da je f x 4 4 + x 4 4 + x odakle je posle itegracije fx x + 0 x 4 0 x + 4 + + C za x <, odoso x <. 0 x Lako se dobija da je C 0, kao i da dati red kovergira po Lajbicu u taqkama 4x x ±, a kako je fukcija fx arcsi eprekida u tim taqkama, 4 + x to e razvoj vaiti i u ima, odoso razvoj fukcije vai za x [, ]. + x Zadatak 3.9. Fukciju fx x l razviti u Makloreov red i odrediti gde vai razvoj dobijeog x reda. Ozaqimo sa gx l 4, + x. Tada je fx xgx i dovo o je odrediti x

3.] Stepei redovi 5 razvoj za fukciju gx g x + x x 0 x + x + x x x + 0 x 4, za x <, odoso x <. Posle itegracije dobijamo gx 4 + x 4 4 x 4 4 + x 0 x + 4 + + C, 0 x x 4 a lako se dobije da je C 0. Kako fukcija gx ije defiisaa u taqki x de e e ulom, a i u taqki x logaritam od ule, zak uqujemo da razvoj vai za x,. Koaqo fx xgx x 0 x + 4 + x +, za x,. 4 + x Zadatak 3.0. Fukciju fx xarctg + l4 + x razviti u Makloreov red i odrediti gde vai razvoj. Koristei dobijei razvoj izraquati + x sumu reda 3. Zadatak 3.. Fukciju fx 4 4 x + razviti u Makloreov red 4 x i odrediti gde vai razvoj. Koristei dobijei razvoj izraquati sumu reda 3!!. 8! Imamo da je fx 4 x + 4 x + 4 0 + 0 4 x 0 0 x 4 x, za x <. 4 x + x

5 REDOVI [ Razvoj e da vai za x,, jer fukcija ije defiisaa u taqkama x ±. Da bi izraquali sumu koja se trai vidimo da razvoj treba apisati u drugaqijem oblilku, kao i da suma treba da am poqi e za. Vai da je kao i Odatle je fx + 0 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 def, 0 0 +!!!! 3!!!! def, 0 + x 3!!!! 3!!!! 3!!!! za za,,. x + 4 3!! x 4 + 4 4!! +!!!! + x 4 + 3!!!! + x 4 3!! x, 8! x 4 x jer je!!!. Za x imamo f 4 + 4S, a sa druge strae je f 4 3 + 3 7, odakle je 4 + 4S 7, odoso S 7 3 3 4 3. Zadatak 3.. Fukciju fx x 3 + xarctg x l + x x razviti u Makloreov red i odrediti gde vai razvoj dobijeog reda. Na osovu dobijeog razvoja izraquati sumu reda 4 6 + 3 3. Ozaqimo sa gx arctg x i hx l + x. Iz zadatka 3.4 je gx + x+ i razvoj vai za x [, ]. Naimo razvoj za gx. Imamo da je 0 g x x + x x + x x x x +, za x <. 0 0 4