Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi maatriksiks. Igale ruutfunktsionaalile n-m~o~otmelisel vektorruumil üle K vastab ruutvorm n muutujast üle K; ja vastuidi (vt. def. X..4). Denitsioon. Öeldakse, et ruutvorm üle K ; ;; r K; on kanoonilisel kujul, kui tal on kuju x + x + + rx r ; kus ruutvorm üle R on normaalkujul, kui tal on kuju x + +x,x +,,x r ; ruutvorm üle on normaalkujul, kui tal on kuju x + x + +x r Ruutvormi viimine kanoonilisele kujule tähendab sellise regulaarse muutujate vahetuse leidmist, mille tagajärjel saame kanoonilisel kujul oleva ruutvormi (uutest muutujatest). Maatrikskujul v~oib ruutvormi esitada korrutisena x t x; kus x = x x n on muutujate veerg ja on vaadeldava ruutvormi maatriks. Regulaarse muutujate vahetuse 8 < x = c y + +c n y n v~oib maatrikskujul esitada v~ordusena x = y; kus y = y y n x n = c n y ++c nn y n on uute muutujate veerg; =(cij ) ja det() = Sellise muutujate vahetusega teiseneb ruutvorm x t x ruutvormiks (y) t (y) =y t ( t )y; seega ärast muutujate vahetuse tegemist tekkiva ruutvormi maatriks on t
Ülesanne.. Viige kanoonilisele kujule ruutvormi x x +x x Selle ruutvormi maatriks on Kanoonilisele kujule viimiseks teisendame maatrikseid,,,,,,,,,,,,,,,,,, Teisenused, mida tegime, olid järgmised liitsime esimesele reale ja veerule teise, lahutasime teisest reast ja veerust -ga korrutatud esimese, lahutasime kolmandast reast ja veerust -ga korrutatud esimese ning l~ouks liitsime kolmandale reale ja veerule teise. Viimase maatriksi ülemisest oolest on näha, et ruutvormi kanooniline kuju on y, y ; viimase maatriksi alumine ool annab meile kanoonilisele kujule viiva muutujate vahetuse Smaatriksi, see muutujate vahetus on 8 < x = y, y,y Kontroll,, t,, x = y + y x = y =,,, Ülesanne. Viige järgmised ruutvormid normaalkujule a) üle R, b) üle F = x +4x +x +4x x,x x ; F =x +x,x +4x x,x x,4x x ; F =,4x,x,x,4x x +4x x +8x x ; F 4 =x +x,x +x x +4x x =,
Millised nendest ruutvormidest on omavahel ekvivalentsed? (Kahte ruutvormi nimetatakse ekvivalentseteks, kui üks on teisest saadav mingi muutujate vahetuse teel.) Viime ruutvormi F kanoonilisele kujule,,,, 4,,,,,,, 4, 4,, 4,,, Viime ruutvormi F kanoonilisele kujule,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Viime ruutvormi F kanoonilisele kujule,4,,4,,4,4,, 9 8 8 8 9, 8 8 8,,4 8,4,4,4, Viime ruutvormi F 4 kanoonilisele kujule,4,4,4,4,,,,,,,
Tulemused v~otame kokku järgmise tabelina Ruutvorm Kanooniline kuju Normaalkuju üle R Normaalkuju üle F y +4y,y z +z,z u +u +u F y,y,y z,z,z u +u +u. F,4y +y,4y z,z,z u +u +u F 4 y,4y z,z u +u Teoreem. Kaks ruutvormi on ekvivalentsed üle (üle R) arajasti siis, kui neil on samad normaalkujud üle (üle R). Siit on näha, et üle R on ekvivalentsed F ja F ning üle on ekvivalentsed F ;F ja F Denitsioon. P n Ruutvorm i;j= a ijx i x j üle R on ositiivselt (negatiivselt) määratud, kui P P n i;j= a n ijc i c j > ( i;j= a ijc i c j < ) iga vektori (c ;;c n )R n korral. Teoreem (X.4.4). Ruutvorm on ositiivselt määratud siis ja ainult siis, kui tema maatriksi äämiinorid on k~oik ositiivsed, ja negatiivselt määratud siis ja ainult siis, kui tema maatriksi äämiinorid on vaheldumisi negatiivsed ja ositiivsed. Ülesanne. Leidke k~oik arameetri a reaalarvulised väärtused, mille korral ruutvorm x, x +4x +(a,)x x + a x x on ositiivselt määratud. Vaadeldava ruutvormi maatriks on = a, a,, Leiame selle maatriksi äämiinorid. Esiteks, M =>Teiseks, M = a, a,, a =,,, a, =,,a +a, 4 =,a +a, 9 4 Kuna v~orratusel,a + a, 9 > ei ole reaalarvulisi lahendeid, siis vaadeldav ruutvorm ei ole 4 ositiivselt määratud ühegi a väärtuse korral. a a 4 Ülesanne 4. Leidke k~oik arameetri a reaalarvulised väärtused, mille korral ruutvorm ax + ax +(a,)x +x x +ax x +x x on negatiivselt määratud. Vaadeldava ruutvormi maatriks on a a Maatriksi äämiinorid on M = a; M = M = a a a = a a a, = a, ; a = a, a + a + a, a, a +,a=,a + a a a, 4
Lahendades v~orratustesüsteemi 8 < a < a, >,a + < saame, et ruutvorm on negatiivselt määratud, kui, <a<, Denitsioon 4 (IX...). Eukleidilise ruumi E lineaarteisendust ' nimetatakse sümmeetriliseks, kui iga a; b E korral ('(a);b)=(a; '(b)) Sümmeetrilise teisenduse maatriks ortonormeeritud baasi suhtes on sümmeetriline maatriks. Kui eukleidilise ruumi lineaarteisenduse maatriks ortonormeeritud baasi suhtes on sümmeetriline, siis see teisendus on sümmeetriline (teoreem IX...). Ülesanne. T~oestage, et eukleidilise ruumi sümmeetrilise lineaarteisenduse erinevatele omaväärtustele vastavad omavektorid on ortogonaalsed. Olgu '(a) =a ja '(b) =b; kus = ; a = ja b =. Siis (a; b) =(a; b) =('(a);b)=(a; '(b)) = (a; b) =(a; b) Seega (, )(a; b) =;millest järeldub, et (a; b) = Teame, et ruutmaatriks üle koruse K on sarnane diagonaalmaatriksiga arajasti siis, kui leidub selle maatriksi omavektoreist koosnev baas vektorruumis K n.teoreemi IX... ~ohjal leidub iga sümmeetrilise maatriksi jaoks üle R tema omavektoreist koosnev ortonormeeritud baas eukleidilises ruumis R n (standardse skalaarkorrutamise suhtes). Seega iga sümmeetriline maatriks üle R on sarnane diagonaalmaatriksiga,, on diagonaalmaatriks, mille äädiagonaalil on maatriksi omavektorid ning veeruvektorid on ortonormeeritud omavektorid. Kuna lause IX... ~ohjal on ortogonaalmaatriks, s.t., = t ; siis t on diagonaalmaatriks. Järelikult kehtib järgmine väide. Lause. Iga ruutvormi üle R saab viia kanoonilisele kujule ortogonaalse muutujate vahetusega, s.o. muutujate vahetusega, mille maatriks on ortogonaalmaatriks. Ülesanne. Viige ruutvorm x +x +x +4x x,4x x,8x x kanoonilisele kujule ortogonaalse muutujate vahetusega. Ruutvormi maatriks on,,4 =,,4 Selle maatriksi karakteristlik olünoom on,,,,,,4,,4, =,,4,, = = (,) + (, ), 4 9, =(,)(8, +, 8), 4, 9,,4, = (, )(, + ) =,(, ) (, )
Seega omaväärtused ja nende kordsused on = ; r = ; = ; r = Järelikult ruutvormi kanooniline kuju on y + y +y. Muutujate vahetuse leidmiseks tuleb leida veel omavektoreist koosnev ortonormeeritud baas. Omaväärtusele vastavate omavektorite leidmiseks lahendame lineaarv~orrandisüsteemi maatriksiga, E =, 4,4,,4 4 (muutujate z ;z ;z suhtes, et mitte segi ajada ruutvormis esinevate muutujatega). Siit saame, et z =,z +z Selle v~orrandisüsteemi lahendite fundamentaalsüsteemiks (ja seega omaväärtusele vastavaiks lineaarselt s~oltumatuiks omavektoreiks) on näiteks a = (,;;); a = (;;) Omaväärtusele vastavate omavektorite leidmiseks lahendame järgmise lineaarv~orrandisüsteemi,8,,8,8, E =,,4,,4 ;,,4,,9,9 ehk z =, z ;z =,z Seega lahendite fundamentaalsüsteem koosneb näiteks vektorist a =(,;,;) Omavektorite a ;a ;a ortogonaliseerimiseks eukleidilises ruumis R v~otame b = a =(,;;); ja b = a + k b ; kus k =, (a ;b) (b;b) =,,4 = 4 ; s.t. b = a + 4 b =(;;) +, 8 ; 4 ; = ; 4 ; On selge, et b ja b on omaväärtusele vastavad omavektorid. Kuna a ja b on sümmeetrilise maatriksi erinevatele omaväärtustele vastavad omavektorid, siis on nad ülesande ~ohjal ortogonaalsed. Samal ~ohjusel on ortogonaalsed a ja b. Seega v~oime v~otta b = a =(,;,;) Vektorid b ;b ;b tuleb veel ortonormeerida. Selleks leiame nende ikkused jb j = q q 4 jb j= + += 9 = ;jb j= +4+4= ning vektorid e = b =, ; ; ; 4+= ;
e = e = b = b = ; 4, ;, ; ; Niisiis oleme saanud omavektoreist koosneva ortonormeeritud baasi e ;e ;e Järelikult kanoonilisele kujule y + y +y viiva muutujavahetuse maatriks on Kontroll t = = =, 4,,, 4,,,, 4,,4,,,4,, 4, ; = Olgu F ja G ruutvormid üle R muutujatest x ;;x n maatriksitega ja vastavalt ning olgu F ositiivselt määratud. Teoreemist X.4.. järeldub, et leidub selline muutujavahetus, mis viib F ja G korraga kanoonilisele kujule. Selgitame, kuidas seda teha. Viies ruutvormi F kanoonilisele kujule saame leida regulaarse maatriksi nii, et t = kus a i > iga i =;;n korral. V~ottes D = a a a ; a n a a n saame, et D t ( t )D =(D) t (D)=E; s.t. saame F viia normaalkujule. Vaatleme ruutvormi maatriksiga (D) t (D) Viime ta kanoonilisele kujule ortogonaalse muutujate vahetusega U (DU) t (DU)=U t ((D) t (D))U = b b b n Siis (DU) t (DU) = U t (D) t (D)U = U t EU = U, U = E; s.t. muutujate vahetus maatriksiga DU viib kanoonilisele kujule nii F kui G 7
Ülesanne 7. Leidke muutujate vahetus, mis viib ruutvormid F = x +x +x +x x,x x ; G=x +8x +x +8x x +x x +4x x korraga kanoonilisele kujule. Uurime, kas üks ruutvormidest F ja G on ositiivselt määratud. Ruutvormide F ja G maatriksid on vastavalt Kuna maatriksi korral =,, ja = 4 4 8 M = > ; M =, =>; M =,, =>; siis F on ositiivselt määratud. Viime ruutvormi F kanoonilisele kujule,,,,,,,,,,,,, Seega t = E; kus =,, Kuna saadud F kanooniline kuju osutus juba normaalkujuks, siis v~otame D = E. Leiame nüüd t =, 4 4 8 =, 4 4,, = = 8
Viime ruutvormi maatriksiga kanoonilisele kujule ortogonaalse muutujate vahetusega. Selleks leiame maatriksi karakteristliku olünoomi, j, Ej =, =(4,4+ )(, ) +4+,+4, +,, =, 4, +4 +,, + =, +7, =,(, 7 + ) =,(, )(, ) Seega maatriksil on ühekordsed omaväärtused ; ja Leiame vastavad omavektorid z = z a =(;,;); z =,z z,, =,z a =(;;,);, z = z,,,, z, = z a =(;;), z = z,, Kuna erinevatele omaväärtustele vastavad omavektorid on ortogonaalsed, siis vektoreid a ;a ;a ortogonaliseerida ei ole enam vaja. Nende ortonormeerimisel saame e = ;, ; ; e = e = ; ; ; ;, Seega ruutvormi, mille maatriks on ; kanooniline kuju on y +y muutujavahetus maatriksiga U =,, ; ja sellele kujule viib Kokkuv~ottes, ruutvormid F ja G viib kanoonilisele kujule muutujavahetus maatriksiga U =,,,, 4 =,,, 9