STEREOMEETRIA. Risttahukas. b a. Kuup d. Püstprisma H = A B. Kaldprisma Ristlõige. Korrapärane püramiid. a a

Väljavõte

1 STEREOMEETRI Ristthuks c Kuup Püstpis H = C Klpis Ristlõige H Kopäne püii C H 1

2 Siline H Koonus H Ke R NÄITEÜLESNDED 1) Püiii põhjks on võhne kolnuk, ille lus on 4 c j h 8 c Kõik külgthu ooustv püiii põhjg khethulise nug 60 o Leike püiii külgpinl Lhenus C Tähiste püiii kõguse H = OC Külgthu, ille luseks on 4 c potee on C j külgthu, ille luseks on 8 c potee on C Kolnug OC j OC on võse KNK (külgnuk-külg) tunnuse põhjl Seeg on võse külgthkue poteei (tähiste ) Se vl külgpinl Teiseks leie põhjks olev kolnug siseingjoone iuse 8 8 H O 4

3 Kolnug pinl s lei siseingjoone iuse või k Heoni vlei jägi p p p p p c S p p 10 S p c c 5 Leie nüü täisnuksest kolnugst OC (OC) poteei cos Sk c 5 Vstus Püiii külgpinl on 8 15 c² 1 : c ) Kopäse kolnukse püstpis põhisev on c j külgsev on 8 c vutge pis üe kujuntu ke ius ( pis tipu suv ke pinnl) Lhenus Kun tegeist on kopäse pisg, siis ke keskpunkt O su pis kõguse keskpunktis O Ke ius R = OC Vtlee täisnukset kolnuk OC Lõik O = 4 c (pool kõgusest) j, kus O R 8 h on põhjks olev kolnug kõgus j ss k ein, kun kolnuk on võkülgne Meinie lõikepunkt jot eini suhtes 1 : j tipu poole jää nii R C Leie Pythgose teoeei il kolnug kõguse h c C h c (või vleig h ) Leie nüü kolnugst OC Pythgose teoeei il ke iuse R OC 4 19c Vstus Ke ius on 19 c

4 ) Riigieks 1999 (0p) Püstööpthuk igonli on 9 c j c Te põhj üeõõt on 18 c j külgsev on 4 c Leike püstööpthuk uul Leike kolnukse püiii DD 1 uul Lhenus Ülesne nete põhjl D 1 = c j C 1 = 9 c; ( + ) = 18 c; Kõgus H = 1 = 1 = CC 1 = DD 1 = 4 c Lei tule thuk uul 1 D 1 D 1 C 1 C luste põhj pinl leiiseg Selleks leie eslt põhjksolev ööpküliku igonlie pikkuse Ksutes Pythgose teoeei leie täisnuksest kolnugst CC 1 igonli 1 = C = c 4 17c Rööpküliku külje leie seostest j 1 j kolnugst DD = D = Moouste võnisüsteei j lhene selle 8 (9 ) : Viete i teoeei põhjl j x D h 8 8: 1 C Seeg on eil = 5 (c) j = 4 (c) Rööpküliku kõguse leie Pythgose teoeei ksutes võnisüsteeist h x x x x x x h x x x x 10x 4 x,4c h x h 4,4 10,4 h, c Leie nüü põhj pinl kui ööpküliku pinl näiteks vlei S h il 4

5 S p h 5, 16c Ruul V S p H c Kolnukse püiii DD 1 uul leiiseks leie eslt kolnug D 16 pinl S D 8c (ooust ööpkülikupinlst poole) j püiii uul 1 1 V S p H c Vstus Püstööpthuk uul on 64 c³ j püiii uul 10 c³ 4) Riigieks 1999 (15p) Kopäse kolnukse püiii põhj üeõõt on 10 c ning põhj j külgthu vheline khethuline nuk on 0 o vutge selle püiii täispinl Lhenus H Leie põhisev pikkuse = 10 : 40 c Kun põhjks on võkülgne kolnuk, siis leie põhj kõguse näiteks seosest h sin 60 h 40 60c 40 h Põhj pinl S p 100 c Külgpinl leiiseks on vj te külgthu poteei Leie selle täisnuksest kolnugst seosest cos 0 Et põhjks on võkülgne 1 kolnuk, siis h 60 : 0 c j c cos0 n Külgpinl S k 400c Täispinl S c (einie lõikepunkti ouse põhjl), siis Vstus Püiii täispinl on 100 c² 5

6 5) Riigieks 1999 (15p) Koonuse telglõike tipunuk on 64 o j põhj üeõõt on 16 c vutge selle koonuse külgpinl j uul Lhenus 6 Ülesne nete põhjl on põhj üeõõt C = 16 Kun telglõikeks on võhne kolnuk, kus kõgus poolit tipunug, siis 6 sin sin Koonuse külgpinl Leie koonuse kõguse Koonuse uul H Vstus Koonuse külgpinl on ligikuu 84 c² j uul 1514 c³ 6) Võhne kolnuk hg 8 c j lusnugg 0 o pööle üe ühe h Leike tekkinu pöökeh uul j pinl Lhenus C 8 Kolnug pööleisel teki pöökeh, is koosne khest koonusest, illeel on ühine põhi Ühe koonuse istlõige on võhne kolnuk j teisel C Leie pöölev kolnug luse x 8 O 8 Seeg on kolnug lus 4 = 8 c x 1 Koonuse ius = O = O Leie selle sin 0 8 x 4 c Ühe koonuse kõguseks on OC j teisel O Leie esiese koonuse kõguse H OC c Seeg on k teise koonuse kõgus 8 4 = 4 (c) Jäelikult on koonuste uul võse j pöökeh uul vlu V H c Pöökeh pinl ooustv õle koonuse külgpinl Leie esiese koonuse külgpinl S1 4 8 c Teise koonuse külgpinl S c Pöökeh pinl on 96 c Vstus Pöökeh uul on 18 c³ j pinl c² 6

7 7) Kopäse püiii luseks on hulknuk, ille sisenuke su on 70 o Leike selle püiii uul tees, et t külgsev pikkuseg l ooust kõguseg nug 0 o Lhenus Kun hulknug nuke su 70 s n 180 n n 4 n 180 kuusnuk 6 Püiii uul vlu vle täisnuksest kolnugst O, st põhjks on kopäne kõguse j H põhisev Leie põhj pinl vleist O Põhj potee l 4 6 l l l Põhj pinl on S p l l l Ruul V üh 8 16 l Vstus Püiii uul vlu külgsev kuu 16 üh³ 8) Riigieks 00(0 p) Koonuse tippu läiv tsn lõik koonuse põhj öö kõõlu, ille pikkus on võne iuseg Lei koonuse tekkinu ose uule suhe Lhenus Koonuse uul vlu V Vtlee eslt koonuse põhj Põhjl tekki võkülgne kolnuk, seeg on kesknuk = 60º j koonusest eluv kujun CD ooust kogu uulst 1 H D C C 7

8 1 1 H Püiii CD uul vlu V S p H H 4 1 Lõige el kujuni CD ( 6 1 koonusest lhut püii) uulg 1 1 H H H H Suue os koonusest 1 j selle uul H H Se tsnilise lõikeg elunu suue os koonusest 5 H 5 10 H H 18 1 H Leie suhte H : 6 H 6 10 Vstus Koonuse tekkinu ose uule suhe on 9) Riigieks 00(0 p) Ristthukkujulisest tooikust seveg, j c vlisttkse etil Eslt puuitkse tooikust läi ügune v iuseg nii, et v telg ühti istthuk süeetiteljeg, is on plleelne külgsevg Seejäel tehkse uuukujulise istlõikeg v, ille süeetitelg ühti istthuk süeetiteljeg, is on plleelne külgsevg v uuukujulie istlõike külg on, kusjues vlge etili 1 välispinn pinl; uul; õõnsuste pinl Lhenus Vtlee eslt, illistest osest välispin koosne Se kol einevt kujunit c Pinl on c Pinl on c Pinl on 8

9 Kun ig kujuni vststhk on ssugune, siis se välispinn pinlks S c c Jägiseks leie uulvtlee kujuni läilõiget peltvtes Ristthuk uul il väljlõigetet on ; Ristthukkujulise väljkõike uul on ; Silinikujulise väljlõike uul on Se etili uulks V c ( ) Viiseks leie õõnsuste pinl Vtlee eslt istthukkujulist õõnsust, kun Ristthuk kks thku on uuukujulise (kopäne nelinukne püstpis) ning sellest on väljlõigtu ingi Ristthuk kujulise õõnsuse pinlks on (neljst istkülikust lhut ingi) S1 4 Silinikujulise õõnsuse pinl S ( ) S õõnsuse 4 Se õõnsuste pinlks kokku ( ) Vstus Välispinn pinl S c c, etili uul V c ( ) j õõnsuste pinl 4 ( ) S õõnsuse 10) ntu on koonus, ille kõgus on 15 c j uul 180 c³ Koonuse sisse on kujuntu siline 1 Leike koonuse põhj ius R vlge silini kõgus h te põhj iuse kuu vlge silini uul te põhj iuse kuu 4 Kui suu pe ole silini põhj ius, et selle uul oleks ksilne? C Lhenus 1 Tee, et koonuse uul on Silini kõguse h vliseks te põhj iuse kuu se kijut välj võe (kun kolnug C j DFC on snse) h h h 15 6h : 6 h 15,5 D h R F 15 9

10 Silini uul V h 15,5 Silini ksilse uul leiiseks lhene eksteeuülesne Ksute eelises punktis leitu uul vlist ning eksteeui ääiseks leie selle tuletise nullkoh V 15,5 V ( ) 0 7,5 7, ei soi 0 0 V 15,5 4 Kontollie nüü teise tuletise il, ks = 4 nn k ksilse uul V ( ) , st tegeist on ksiukohg Vstus Koonuse põhj ius on 6 c j silini kõgus vlu h 15, 5 Silini uul vlu V 15,5 ning ksilse uul nn ius = 4 c 11) Kesse iuseg 6 c on kujuntu koonus telglõike tipunugg 60 o Lei ke j koonuse uule vhe Lhenus 4 4 Ke uul V R 6 88 c Kun koonuse telglõike tipunuk on 60 º, siis on te telglõikeks võkülgne kolnuk Võkülgse kolnug kõgus vlu külje kuu h 4 Tee, et ke ius 6 c ooust 6 koonuse telglõike kõgusest (einie lõikepunkti ouse põhjl) H R Seeg koonuse ius on 0,5 0,5 6 c c Kun kõgusest on 6 c, siis on koonuse kõgus H 6 9c 1 1 V H c Ke j koonuse uul vhe on c Vstus Ke j koonuse uule vhe on 07 c³ 1 Leie koonuse uul 10

11 HRJUTUSÜLESNDED 1) Kopäse kolnukse pis kujulisse nusse vlti 1900 c vett ning listi etllist etil Seejuues tõusis veetse 0 c-lt c-le Lei etili uul V: 190 ) Koonuse uul on 48 ü Läi koonuse telje keskpunkti pni põhjg plleelne tsn, is on põhjks väiksele koonusele Lei väikse koonuse uul V:6 ) Ke sisse on kujuntu koonus vl selle koonuse uul, kui koonuse telglõike tipunuk on j ke ius R vut koonuse uul, kui R = 1,5 j = o R sin cos 15 V: 4, 1 4) Riigieks 1998 On ntu kopäne nelinukne püii, ille külgsev j põhj vhelise nug tngens on ning põhj igonl 8 c Püiii sisse on kujuntu kopäne nelinukne pis nii, et selle luine põhi su püiii põhjl j üleise põhj sev külgthkuel ) vl pis uul te põhj igonli kuu ) Millise väätuse kol on pis uul ksilne? 8 vut pis ksilne uul? V: V = 6² - 0,75³ ; 56 c³ 9 5) Riigieks1998 Koonuse tipp su punktis T(0;0;8), punkt ( ; ;16) pikne põhj üeingjoonel j põhj ius on 8 c Lei koonuse täispinl Kui kugele tipust tule teh põhjg plleelne lõige, ille pinl on veen põhj pinlst? V: S t = 144 c²; c 6) Silini telglõige j põhi on pinvõse vl silini täispinl, kui silini kõgus on h V: 4h 1 7) Kolnukse kopäse püiii kõik külgthu ooustv põhithug nug 60 o j potee on 1 c Lei püiii täispinl j uul V: S t 4 c j V 648 c 8) Koonuse tipp su koointie lguspunktis j põhi on isti y-teljeg Punkt ( ;;0) su põhj üeingjoonel Lei ) koonuse telglõike tipunuk, ) koonuse täispinl j uul, c) itu potsenti ooust koonuse põhj pinl külgpinlst? V: = 10º; S t = 9 üh² j V = 7 üh³ ; 86,6% 9) Tpets, ille luse on 4 c j 9 c ning h on c j 4 c, pööle üe pike luse Lei tekkiv pöökeh uul j pinl V: V =,64 c³ j S = 6 c² 10) Ro, ille külg on j üks nukest 0 o, pööle külje üe vl pöökeh pinl j uul V: S = ² üh², V = 0,5³ üh³ 11) Riigieks000 (0p) Koonusekujulise nu telglõike tipunuk on 60º nusse settkse ske kuul iuseg j vltkse vett kuni veenivoo kt kuuli Lei veenivoo kõgus päst kuuli eelist V: 11

12 1) Riigieks 001 Telgi põhjks on istkülik, ille pikkus on j lius Telgi ktus koosne khest kolnugst j khest tpetsist, is lõikuv hoisontltspinng nug ll Leike ) telgi hj pikkus ) telgi kõgus c) telgi ktuse pinl ) telgi uul tn V: ; ; 1 ; ( ) tn ; cos 1 1) Riigieks 00 Toni koonusekujulise ktuse läiõõt, õõetun kõige liest kohst, on 8,0 j kõgus 4, Mitu kilogi vävi tuleks ost toni ktuse väviiseks, kui ühe uuteeti väviiseks kulu 00 g vävi? V: 15 kg 14) Riigieks 00 (0 p) On ntu ke uulg 6 c³ Ke sisse on kujuntu koonus ) Leike ke ius R ) vlge koonuse põhj ius kõguse h kuu c) vlge koonuse uul kõguse h kuu ) Kui suu pe ole koonuse kõgus h, et koonuse h uul oleks ksilne? R V: R = c; = 6h h 15) Riigieks 00 (5p) ; V = 1 h²(6 h); h = 4 c; Mj sein vstu ehittkse kilest ksvuhoone, ille esisein kõgus on 1,5 j tgsein kõgus on (vt joonist) Põhj õõte on 1, j ning ktuselti pikkus 1, Kui plju kulu kilet ktuse, tpetsikujuliste külgseinte j esisein ktiseks? V: 9,8 16) Riigieks 00 (0p) Viktuse istlõige (vt joonisei) on su võkülgsest kolnugst selle ühe nug üisel ingjoone keg, ille ius on Seljuues kolnug kks külge on ingjoone puutujteks Viktuse lius j pikkus on vstvlt 4 j Leike viktuse pinl S, ktuseluse uul V j kõgus h V: S 6 ; V 11 ; h 5 1

13 17) Riigieks 004 (0p) Lillepott on kopäne kheksnukne pis, ille õõnsus on poolke (vt joonist) Seljuues ) poolke suuingi tsn ühti pis üleise põhj tsnig, ) poolke süeetitelg j pis süeetitelg ühtiv, c) poolke uul on pool pis uulst, ) lillepoti põhj pksus (kõige õhes kohs) võu külgsein pksuseg (kõige õhes kohs) (1) vlge poolkekujulise õõnsuse uul pis põhisev pikkuse kuu () Milline peks ole väätus täissentieetites, et õõnsuse ht oleks vähelt 0,5 liitit? 1 V: V tn,5 1 18) Riigieks 005 (10p) ; tn,5 0,56 Silinikujulisse kneg kpi on piguttu 4 ühesuuust plli, nii et ig pll puutu ki põhj, knt j külgsein ning khte neplli (vt joonist) Kui suue os ki uulst täiv plli? V: ligikuu 46% 19) Riigieks 005 (0p) Kuui CD''C'D' sevel ' j DD' setsev vstvlt punkti '' j D'', is jotv nee sev ltes punktiest j D suhtes 1 : (vt joonist) Läi punktie C', '' j D'' on settu tsn γ Kujutge tekkinu kuui lõige joonisel 1 Millises suhtes jot lõige kuui seve D j? vlge lõike pinl, kui kuui sev on V: Lõige poolit põhisev; 1

14 0) Riigieks 006 (0p) Kün (vt joonist) ots on võhse tpetsi, is on põhjg isti j ille üks lus on teisest 0% võ pike Kün külgsein j põhi on istküliku, põhj lius on Kün sügvus on h j vee sügvus küns on 0,5 h Kün klluttkse ühele külgseinle, kuni vstskülgsein välju täielikult veest Tehke kinlks, ks os veest vool seejuues üle kün ääe V: Os veest vool kllutisel välj 1) Riigieks 007 (0p) Koonuse põhjl on neli ühesuuust ke, illest igüks puutu ülejäänu keest khte Nenel keel setse viies niis suu ke, vt joonist Ig ke puutu koonuse külgpin Leike kugus viien ke kõige kõgest punktist koonuse põhjni j koonuse telglõike tipunug suuus, kui kee ius on V: ;90 ) Riigieks 008(0p) Kolnukse püiii OC sevel O j O setsev vstvlt punkti K j L, is jotv nee sev tipust O ltes suhtes 1 : j : 1 1) Tähistge püiii tipu j täienge joonist lõiketsnig CKL ) Millises suhtes jot lõiketsn CKL püiii uul? V: 9 ) Riigieks 009(0p) Püstööpthuk CD11C1D1 (vt joonist) põhjks on o CD, ille tevnuk D =α j igonl D = Püstööpthuk igonl C1 ooust põhithug nug β 1) vl püstööpthuk igonllõigete pinl nuke α j β ning igonli kuu ) ntu püstööpthuksse on kujuntu püii O1KL, kus punkti K j L on vstvlt püstööpthuk seve D1C1 j C11 keskpunkti ning punkt O on oi CD igonlie lõikepunkt Lei püstööpthuk j püiii O1KL uule suhe ) Näit, et sige 1O on isti sigeg D tn tn V: S1 ; S ;8:1 tn tn 14

15 4) Riigieks 010 (0p) Silinis on istthuks CD C D (vt joonist) Ristthuk pike põhisev on j põhithu igonlievheline tevnuk on α Ristthuk igonl ooust külgthug, ille pinl on väikse, nug β 1 vlge silini külgpinl, α j β kuu Näike, et = c, α = 60 o j β = 45 o kol on silini külgpinl π c 1 tn tn V: S k cos tn 5) Riigieks 011 (10p) Kopäse kuusnukse püiii TCDEF külgpinl on 1, j põhj pinl 4 c vut püiii kõgus V: c 6) Riigieks 011 (0p) Hoone l os on poolsilini- j kõge os istthukkujuline Ristthuk lius on võne poolsilinikujulise otssein ieetig Ristthuk pikkus j lius suhtuv ngu : ning selle kõgus on ko suue l os pikkusest Silinikujulise os ktuse pinnlotuse üeõõt on P 1) vl kogu hoone uul üeõõu P j ieeti kuu ) Kui suu peks ntu P väätuse kol ole poolingikujulise otssein ius, et l os ktuse pinl oleks võilikult suu? V: V P 1 16 P ; 4 7) Riigieks 01 (10p) Kolnukse püstpis põhjks on kolnuk, ille kks külge on 6,7 j 9,4 c ning nenevheline nuk 4 Nuk pis väiksei pinlg külgthu igonli j põhithu vhel on 45 Tehke selgitv joonis j vutge selle pis täispinl V: 150,5 c 15

16 8) Riigieks 01 (0p) Võhne tevnukne kolnuk hg j tipunugg pööle ue ühe h 1 vlge tekkinu pöökeh täispinl ning uul h j tipunug kuu vutge tekkinu pöökeh täispinl j uul, kui j sin 4 V: V ; S sin 1 1 cos 1 9) Riigieks 01 (10p) Silini täispinl on 15π Kui selle silini iust vähen kks ko j kõgus jätt sks, siis vähene silini täispinl 84π võ Lei esilgse silini kõgus j ius V: = 4 j H = 1 5 0) Riigieks 01 (0p) Kesse iuseg R on kujuntu kopäne kolnukne püii nii, et kõik püiii tipu puuutv ke pin 1) Kui kugle ke keskpunktist pe su püiii põhi, et püiii uul oleks ksilne? ) Lei püiii j ke uule suhe 1) Riigieks 014 (10p) Püiii KCD põhjks on uut CD Püiii külgthk K on isti põhjg Selle külgthu kõgus FK jot lõigu nii, et lõikue F j F pikkuse suhtuv ngu 1 : Püiii piki külgsev KC pikkuseg 4 c ooust püiii põhjg nug 45 vutge püiii KCD uul V : 07 1 ) Riigieks 015 (10p) Püiii põhi on kolnuk, ille khe külje pikkuse on 1 j ning nuk nene külgee vhel on 60 Püiii kõik külgsev on pikkuseg 10 Tehke ülesne tekstig soiv joonis j vutge selle püiii uul V : ) Riigieks 016 (10p) Silinikujuline huti on tossie il kinnittu pinnle (joonisel on kujuttu üht tossi) Ig tossi kinnituskoht pinnl on hutist 4,9 kugusel j ig toss ooust pinng nug 55 Mhuti põhj üeõõt on ligikuu 15,7 1 vutge huti külgpinl j uul Kui plju ksks hutitäis kütust, kui ühe liiti hin on 0,984 euot? Vstus nke täpsuseg 100 euot Mäkus Mhuti põhj j külgpinn pksust vutustes ei vestt V: 109,9( ); V 17,( ); S k 4) Riigieks 016 (10p) Püiii CDE põhjks on o CD j tipust E tõtu kõgus lnge põhisev keskpunkti Püiii uul on 100 c, kõgus 0 c j põhithu igonlie pikkuste vhe 14 c Konstueeige ülesne tekstile vstv joonis j vutge nuk püiii lühe külgsev j põhithu vhel V: E 77,8 16