EUROOPA KOOLI BAKALAUREUSEEKSAM 010 MATEMAATIKA 5 NÄDALATUNNIGA KURSUS KUUPÄEV: 4. juuni 010 EKSAMI KESTUS: 4 tundi (40 minutit) LUBATUD ABIVAHENDID: Euroopa kooli valemite kogumik Mitteprogrammeeritav, mittegraafiline taskuarvuti MÄRKUSED: Lahendada tuleb kõik neli kohustuslikku ülesannet. Märkige vastavas ruudus ristikesega ära need kaks ülesannet, mida Te kolme valikülesande hulgast lahendate. Iga ülesande jaoks kasutage eri lahenduslehte. Lehekülg 1/8 ET
KOHUSTUSLIK ÜLESANNE 1 ANALÜÜS Funktsioon f on antud valemiga x 1 f( x). x a) i. Leidke funktsiooni f määramispiirkond, vahemikud, milles funktsioon f kasvab ja vahemikud, milles funktsioon f kahaneb, samuti esitage funktsiooni f graafiku kõigi asümptootide võrrandid. ii. Skitseerige funktsiooni f graafik. b) i. Funktsiooni f graafikule punktis ( 1; ) joonestatud puutuja lõikab x-telge punktis A ja y-telge punktis B. Arvutage lõigu AB pikkus. ii. Arvutage pindala sellisele pinnatükile, mida piiravad funktsiooni f graafik, x-telg ning sirged x 1 ja x. 5 punkti 1 punkt Lehekülg /8
KOHUSTUSLIK ÜLESANNE ANALÜÜS Keemilise reaktsiooni käigus moodustub uus aine. Kui reaktsiooni algusest on möödunud t sekundit, on tekkinud m grammi uut ainet. Funktsioon mt ( ) rahuldab diferentsiaalvõrrandit dm dt (50 m). 500 a) Lahendage see diferentsiaalvõrrand tingimusel, et ajahetkel t = 0 on m = 0. 6 punkti b) i. Arvutage selle aine mass, mis on tekkinud 100 sekundi jooksul. punkti ii. Leidke aeg, mis on möödunud hetkeni, mil tekkinud aine mass on 40 grammi. iii. Näidake, et selle reaktsiooni käigus tekkiva aine mass ei saa minna suuremaks kui 50 grammi. punkti punkti Lehekülg 3/8
KOHUSTUSLIK ÜLESANNE 3 GEOMEETRIA Ristkoordinaadistikuga (ortonormeeritud) ruumis on antud järgmised punktid: O( 0; 0; 0), P( 1; 1; 3), Q( 1; 5; ), R( 0; 3; 1) ja S( 1; 4; 1). a) i. Näidake, et sirge OP on risti sirgega OQ ja sirgega OR. ii. Koostage tasandi QOR võrrand ja näidake, et punkt S asub sellel tasandil. b) i. Arvutage punkti P kaugus tasandist QOR. ii. Arvutage kolmnurga SPR pindala. 4 punkti Lehekülg 4/8
KOHUSTUSLIK ÜLESANNE 4 TÕENÄOSUS Pakis on kümme kaarti, mis on tähistatud numbritega 1 kuni 10. Sellest pakist võetakse üksteise järel neli kaarti nii, et ühtki kaarti tagasi ei panda. a) i. Arvutage tõenäosus selleks, kõikidel võetud kaartidel on arv, mis on väiksem kui 6 või sellega võrdne. ii. Arvutage tõenäosus selleks, et nende nelja arvu korrutis on paarisarv. b) i. Arvutage tõenäosus selleks, et teisena, kolmandana ja neljandana võetud arvudest igaüks on 1 võrra suurem kui eelmisena võetud arv. 4 punkti ii. On teada, et kaks esimest võetud arvu on paarisarvud. Leidke tõenäosus selleks, et iga võetud arv on paarisarv. Lehekülg 5/8
VALIKÜLESANNE I ANALÜÜS Funktsioon f on antud järgmise valemiga : f ( x) ( x 4 x)e x. a) i. Leidke funktsiooni f nullkohad, vahemikud, milles f kasvab ja vahemikud, milles kahaneb, funktsiooni f graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid. ii. Uurige funktsiooni f (x) käitumist protsessis x ja protsessis x. Koostage graafiku kõigi asümptootide võrrandid. 7 punkti b) i. Näidake, et funktsiooni f graafikule kohal x 1 joonestatud puutuja t 4 võrrandi võib esitada kujul y x. e e ii. Arvutage sirge t ja x-telje vahelise teravnurga suurus. punkti c) i. Skitseerige funktsiooni f graafik ja puutuja t samale joonisele. ii. Määrake kordajate b ja c väärtused nii, et funktsioon F x x bx c e x oleks funktsiooni f (x) üks algfunktsioon. iii. Funktsiooni f graafik ja puutuja t piiravad ühe pinnatüki. Arvutage selle pinnatüki pindala 4 punkti Lehekülg 6/8
VALIKÜLESANNE II TÕENÄOSUS Ühe suurlinna ühistransporti kasutava populatsiooni U uurimise käigus selgus järgmist: 40% populatsioonist U moodustavad mehed ja 60% populatsioonist U moodustavad naised. 5% populatsiooni U meestest ja 50% populatsiooni U naistest omavad kuukaarti. a) Populatsioonist U valitakse juhuslikult välja üks isik. i. Näidake, et tõenäosusega 0,4 on sellel isikul olemas kuukaart. ii. Nüüd eeldame, et populatsioonist U väljavalitud isikul ei ole kuukaarti. Leidke tõenäosus selleks, et valitud isik on mees. b) Populatsioonist U valitakse juhuslikult välja kümme isikut. Leidke tõenäosus selleks, et i. täpselt 6 isikul valitud 10 hulgast on olemas kuukaart, ii. vähemalt isikul valitud 10 hulgast on olemas kuukaart. c) Populatsioonist U valitakse juhuslikult välja valim suurusega 00 isikut. Olgu X juhuslik suurus, mis kirjeldab kuukaarti omavate isikute arvu valimis. i. Määrake juhusliku suuruse X tõenäosuse jaotusfunktsiooni tüüp ja arvutage X keskväärtus ja standardhälve. ii. Arvutage P(60 X 100), kasutades sobivat jaotusfunktsiooni. Põhjendage jaotusfunktsiooni valiku õigsust. 5 punkti iii. Arvutage seda jaotusfunktsiooni kasutades vähim täisarv k, mille korral kehtib võrratus PX ( k) 0,90. 5 punkti Lehekülg 7/8
VALIKÜLESANNE III GEOMEETRIA Ristkoordinaadistikuga (ortonormeeritud) ruumis on antud: tasand : x y 3z 1, kera S : x y z x y z 1 6 4 0 ja punktid A( 1; 0; 0), B( 0; 6; 0), C( 0; 0; 4) ja P( 5; 1,5; 5). a) Leidke koordinaadid tasandi lõikepunktidele x-, y- ja z-teljega. b) Punktid A, B, C ja koordinaatide alguspunkt O on kolmnurkse püramiidi tippudeks. Arvutage selle püramiidi ruumala. c) i. Koostage võrrand kerale, mille pinnal asuvad püramiidi OABC tipud. Näidake, et tegemist on keraga S. ii. Näidake, et kera S keskpunkt asub väljaspool püramiidi OABC. punkti 5 punkti iii. Tasandi lõikumisel keraga S tekib ring. Arvutage selle ringi keskpunkti koordinaadid ja raadius. 4 punkti d) i. Näidake, et punkt P asub kera S sisepiirkonnas. punkti ii. Q on selline punkt kera S pinnal, mis asub kõige lähemal punktile P. Leidke punkti Q koordinaadid. iii. Tasandi ja kera S ainuke ühine punkt on Q. Koostage tasandi võrrand. Lehekülg 8/8