5.6. Konsooli paine 157

5.6. Konsooli paine 157 5.6 Konsooli paine Vaatleme kitsa ristkülikulise ristlõikega konsooli, mille vabas otsas ( = ) on rakendatud jõud P, mida võib vaadelda kui otspinnal mõjuvate nihkepingete peavektorit (joonis 5.4). Konsooli pealmine ja alumine pind on pingevabad ja ots = l jäigalt kinnitatud. Joonis 5.4: Kitsa ristkülikulise ristlõikega konsool pikkusega l, kõrgusega c ja paksusega 1. Sellist olukorda saab vaadelda kui superpositsiooni puhtast nihkest (alajaotus 5.5 A valemid (5.1) a = c = ja b ) ja valemitega (5.7) esitatud 5.6. Konsooli paine 158 juhust (alajaotus 5.5 C a 4 = b 4 = c 4 = e 4 = ja d 4 ). Saame Rajatingimused σ = d 4, σ =, τ = b d 4 = τ. (5.36) τ =±c τ =±c = d 4 = b c, (5.37) Fi = = P = c c τ d = c c ( b b ) d b c = 3P 4c. (5.38) Pannes nüüd konstandid b ja d 4 valemitest (5.37) ja (5.38) pingete avaldisse (5.36) saame σ = 3P c 3, σ =, τ = 3P ) (1. (5.39) 4c c Arvestades, et inertsimoment I I z = c 3 /3, siis

5.6. Konsooli paine 159 σ = P I, σ =, τ = P I (c ). (5.4) Lahend on täpne Saint-Venanti printsiibi mõttes, st., 5.5 C puhul on tala otsas nihkepinged paraboolse jaotusega. Leiame nüüd siirdekomponendid u ja v. Hooke i seadusest ε = u = σ E = P EI, ε = v = νσ E = νp EI, γ = u + v = τ G = P IG (c ). Integreerime (5.41) 1 koordinaadi järgi ja (5.41) koordinaadi järgi: (5.41) u = P EI + f(), v = νp EI + f 1 (), (5.4) kus funktsioonid f() ja f 1 () on integreerimiskonstantide analoogid. Pannes (5.4) valemisse (5.41) 3 saame P EI + df() d + νp EI + df 1() d = P IG (c ). (5.43) 5.6. Konsooli paine 16 Viimane on esitatav kujul kus F() = df 1() d P EI, F() + G() = K, (5.44) G() = df() d + νp EI P IG, K = P IG c. (5.45) Kuna F() + G() = K = const., siis peavad ka F() ja G() olema konstantsed. Tähistades F() = d ja G() = e saame valemitest (5.44) tingimuse ja diferentsiaalvõrrandid df() d = νp EI + P IG + e, Viimaste integreerimisel saame f() = νp 6EI 3 + P 6IG 3 + e + g, d + e = P IG c (5.46) df 1 () d = P EI + d (5.47) f 1 () = P 6EI 3 + d + h. (5.48)

5.6. Konsooli paine 161 Seega saavad siirete avaldised (5.4) kuju u = P EI νp 6EI 3 + P 6GI 3 +e+g, v = νp EI + P 6EI 3 +d+h. (5.49) Konstandid d, e, g ja h määratakse tingimusest (5.46) ja kolmest rajatingimustest siiretele. Olgu punkt A tala ristlõike = l kese. Jäiga kinnituse tõttu peab see punkt olema fikseeritud tema siirded on nullid ja ristlõige = l ei saa pöörduda ümber punkti A. Seega kui = l ja =, siis u = v = ning g = ja h = Pl3 6EI dl. (5.5) Võttes valemis (5.49) =, saame konsooli kõverdunud telje võrrandi (enne deformatsiooni on teljeks -telg, st. sirge = : v = = P 6EI 3 Pl3 6EI d(l ). (5.51) 5.6. Konsooli paine 16 Konstandi d määramiseks kasutame kolmandat rajatingimust, mis ei luba vaadeldaval ristlõikel pöörelda ümber punkti A. Seda tingimust võib ette anda mitmel viisil. Vaatleme kahte: a) tala telje element on punktis A fikseeritud, st., v = ; (5.5) = l = b) tala ristlõike vertikaalne element on punktis A fikseeritud, st., u =. (5.53) = l = Juhul a) saame avaldiste (5.5), (5.51) ja (5.46) põhjal d = Pl EI ja e = Pl EI Pc GI. (5.54)

5.6. Konsooli paine 163 Joonis 5.5: Rajatingimused otsas = l. Seega saavad siirdekomponentide avaldised (5.49) ja kõverdunud telje võrrand (5.51) kuju u = P EI νp 6EI 3 + P 6GI 3 + v = νp EI + P 6EI 3 Pl EI + Pl3 3EI, v = = P 6EI 3 Pl EI + Pl3 3EI. ( ) Pl EI Pc, GI (5.55) 5.6. Konsooli paine 164 võrrand (5.55) 3 annab konsooli vaba otsa = läbipaindeks Pl 3 /3EI, mis ühtib tugevusõpetusest tuntud tulemustega. Juhul b) saame konstantidele väärtused e = Pl EI ja d = Pl EI Pc GI ning siirdekomponentide ja tala kõverdunud telje jaoks avaldised u = P EI νp 6EI 3 + P 6GI 3 + Pl EI, v = νp EI + P 6EI 3 ( Pl EI + Pc GI v = = P 6EI 3 Pl EI + Pl3 3EI + Pc (l ). GI ) + Pc l GI + Pl3 3EI, (5.56) (5.57) Seega saame võrrandi (5.57) 3 kasutamise puhul tala teljele Pc 3P (l ) = (l ) (5.58) GI 4Gc

5.6. Konsooli paine 165 võrra suuremad läbipainded kui võrrandi (5.55) 3 puhul. Põhjus on selles, et rajatingimused (5.5) keelavad tala telje pöörded kuid lubavad otspinna pöördeid punktis A (vt. joonis 5.5 a). Rajatingimused (5.53) keelavad aga tala otspinna pöörded kuid lubavad telje pöördeid (vt. joonis 5.5 b). Mõlemal juhul toimuvad pöörded ühe ja sama nurga 3P/4cG võrra kuigi pöörduvad erinevad elemendid. Tegelikult jääb aga kogu otspind = l paigale ja õiget tulemust ei anna ei juht a) ega b) ning kinnituskoha läheduses ei vasta ka pingejaotus valemitega (5.4) antule. Avaldise (5.4) puhul tuleb rakendada Saint-Venant i printsiipi, st., et (5.4) annaks tõepärasema tulemuse, peame olema otsast = l piisavalt kaugel. Seega pikkade konsoolide puhul on tulemus täpsem, st. vastab enam tegelikkusele, kui lühikeste puhul. Näited. Joonistada: 1) tala kõverdunud telg (elastne joon) ja ) ristlõigete juhud =,l/,l deformeerunud kuju erinevate c ja l väärtuste jaoks mõlema b 1 ülalvaadeldud ääretingimuse korral. 5.6. Konsooli paine 166 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.m; l = 1m; P = 5 kn).1.1..3.4.5.6.7.8.9 1 Joonis 5.6: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon. Järgnevatel joonistel tähistavad α telg ja α ots vastavalt kõverdunud telje ja otspinna numbriliselt leitud tõusunurka kraadides punktis A. Nurk α teor : tanα teor = 3P/(4cbG) vastab rajatingimuste a) korral kõverdunud otspinna tõusule ja rajatingimuste b) korral kõverdunud telje tõusule punktis A (võrdle joon. 5.5).

5.6. Konsooli paine 167 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.m; l = 1m; P = 5 kn).8.6.4..8.8.6.6.4.4.....4.4.6.6.8.8.1.1 1 1.499.5.51 1 3. a) α ots =.66.4 b) α =.674 telg.6.8 c) α teor =.66.1 1 1 1 Joonis 5.7: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon. 5.6. Konsooli paine 168 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.m; l = 1m; P = 1 kn).5.5.1.1..3.4.5.6.7.8.9 1 Joonis 5.8: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon.

5.6. Konsooli paine 169 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.m; l = 1m; P = 1 kn).6.4...8.6.4..4..6.4.8.6.1.8.1.1 1 3.498.5.5.8.6.4.. a) α ots =.533.4 b) α telg =.5348.6.8 c) α teor =.533.1.9999 1 1 Joonis 5.9: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon. 5.6. Konsooli paine 17 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.m; l = 1.5m; P = 1 kn).1.5 1 1.5 Joonis 5.1: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon.

5.6. Konsooli paine 171 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.m; l = 1.5m; P = 1 kn).6.8..4.6.4..4.6..8..1.1.14.4.6.8..4.6 a) α ots =.533 b) α telg =.5351.16.1.8 c) α teor =.533.1.18.1 5 5.745.75.755 1.4999 1.5 1.5 1 3 Joonis 5.11: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon. 5.6. Konsooli paine 17 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.4m; l = 3m; P = 1 kn)...5 1 1.5.5 3 Joonis 5.1: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon.

5.6. Konsooli paine 173 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.4m; l = 3m; P = 1 kn) 5 5.5.5.5.5.1.5.15.1..15.5. 5 5 1 3 1.495 1.5 1.55.5 a) α ots =.66.1 b) α telg =.6678.15 c) α teor =.66..9999 3 3 Joonis 5.13: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon. 5.6. Konsooli paine 174 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.8m; l = 1m; P = 5 kn).4.3..1..3.4.1..3.4.5.6.7.8.9 1 Joonis 5.14: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon.

5.6. Konsooli paine 175 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.1m; c =.8m; l = 1m; P = 5 kn).3.3.3....1.1.1 a) α ots =.6651... b) α telg =.66517.3.3.3 c) α teor =.6651.4.4.4.1.1.495.5.55.998 1 1. Joonis 5.15: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) roheline kriipsjoon. 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 176 5.7 Ühtlaselt koormatud tala paine Joonis 5.16: Ühtlaselt koormatud kitsa ristkülikulise ristlõikega tala (tala pikkus l, kõrgus c, paksus 1). Vaatleme kitsa ristkülikulise ristlõikega tala (joonis 5.16). Tala on otstes vabalt toetatud ja talle mõjub ühtlaselt jaotatud koormus intensiivsusega q. Rajatingimused: a) külgpindadel = ±c τ =±c =, σ =+c =, σ = c = q; (5.59)

5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 177 b) otspindadel = ±l c c c c c c τ =±l d = ql, σ =±l d =, σ =±l d =, põikjõud tala otstes, pikijõud tala otstes, paindemoment tala otstes. (5.6) Rajatingimusi (5.59) ja (5.6) saab rahuldada kui kombineerida alajaotuses 5.5 leitud lahendeid. Lähtume lahendist (5.34) (lk. 155), millele vastavad rajatingimused on kujutatud joonisel 5.17 Et vabaneda tõmbepingetest küljel = c ja nihkepingetest külgedel = ±c lisame kehale tõmbe σ lahendist (5.1) ja pinged σ = b 3 ning τ = b 3 lahendist (5.3). Kokku saame seega σ = d 5 ( 3 3 ), σ = 1 3 d 5 3 + b 3 + a, (5.61) τ = d 5 b 3. 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 178 Joonis 5.17: Viiendat järku polünoomile vastavad rajatingimused d 5 ja a 5 = b 5 = c 5 = e 5 = f 5 = puhul. Rajatingimustest (5.59) saame a = q, b 3 = 3 4 q c, d 5 = 3 q 4c3. (5.6)

5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 179 Arvestades, et I = I z = c 3 /3 saame valemitest (5.61) ja (5.6) σ = q I ( 3 3 ), σ = q I (1 3 3 c + 3 c3 ), τ = q I (c ). (5.63) Leitud pingekomponendid rahuldavad lisaks rajatingimustele (5.59) ka (5.6) 1. Et oleks rahuldatud ka (5.6) 3 lisame puhtale paindele vastavad pinged σ = d 3 ja σ = τ = lahendist (5.3). Rajatingimusest (5.6) 3 leiame d 3 = 3 4 Seega kokku avaldub normaalpinge kujul σ = q I q c ( l ) + q I ( b c ). (5.64) 5 ( 3 3 ) 5 c. (5.65) Avaldise (5.65) esimene liige vastab elementaarsele paindeteooriale ning teist saab vaadelda kui parandusliiget ja ta on väike võrreldes esimesega. Pa- joonis randusliige on põhjustatud sellest, et elementaarteooria puhul eeldatakse, 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 18 et σ, kuid (5.63) põhjal pole see nii. Avaldisega (5.65) esitatud pinged annavad otspindadel nulliga võrduva peavektori ja peamomendi. Lahend on täpne vaid juhul kui otspindadel = ±l mõjuks pindjõud t = ± 3 4 q c 3 ( 3 3 5 c ). (5.66) Saint-Venaint i printsiibi põhjal loetakse lahend täpseks punktides, mis on otstest = ±l kaugemal kui tala kõrgus, st. c, ka t = puhul. Tala punktide siirded u ja v leitakse analoogselt alajaotusele 5.6. Nüüd eeldatakse, et punktis = = on horisontaalsed siirded võrdsed nulliga ja vertikaalsed siirded võrdsed läbipaindega δ.

5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 181 Kokku saame, et u = q ) ( [(l 3 + EI 3 3 3 ) ( 1 5 c + ν 3 3 c + )] 3 c3, v = q { 4 EI 1 c + [ (l 3 c3 + ν ) + 4 6 1 ]} 5 c q [ l EI 4 1 1 5 c + (1 + 1 ) ] ν c + δ. (5.67) Kuna (5.67) 1 põhjal siirded tala keskjoonel u = = νq E, (5.68) siis ei osutu keskjoon neutraalseks jooneks. Tala keskjoone läbipaine v = = δ q EI [ l 4 1 1 5 c + (1 + 1 ) ] ν c. (5.69) Kuna tala otsad on vabalt toetatud, siis v =±l = ja δ = 5 ql 4 [ 1 + 1 c ( 4 4EI 5 l 5 + ν )]. (5.7) 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 18 Avaldises (5.7) nurksulgude ees olev kordaja esitab elementaarteooriale vastavat läbipainet (eeldades, et tala ristlõiked jäävad deformatsioonil tasapinnalisteks). Teine liige nurksulgudes esitab parandust, st. arvestab põikjõu mõju läbipaindele. Diferentseerides (5.69) kaks korda saame keskjoone kõverust iseloomustava avaldise v = q [ l ( 4 + c = EI 5 + ν )]. (5.71) Ka selles avaldises vastab esimene liige elementaarteooria valemile ning on proportsionaalne paindemomendiga q(l )/. Kui soovitakse arvesse võtta ka omakaalu, tuleb lisada pinge σ = ρg(c ), (5.7) mis annab tala ülemisel pinnal = c pingeks σ = ρg(c) ja alumisel pinnal = c vastavalt σ =.