1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi (1) väärtuseks kohal c nimetatakse korpuse K elementi f(c) = a 0 c n + a 1 c n 1 +... + a n 1 c + a n. Näide 1. Polünoomi f = 5x 3 2x 2 + 3 Z 7 [x] väärtus kohal 5 Z 7 on f(5) = 5 5 3 2 5 2 + 3 = 25 25 50 + 3 = 4 4 1 + 3 = 18 = 4. Teoreem 1. Kui f, g K[x] ja c K, siis (f + g)(c) = f(c) + g(c), (f g)(c) = f(c) g(c), (fg)(c) = f(c) g(c). Teoreem 1 tuleneb vahetult liitmis- ja korrutamisreeglist ringis K[x] ning definitsioonist 1. Teoreemist 1 järeldub, et iga c K korral on kujutus ϕ : K[x] K, ϕ(f) = f(c), homomorfism polünoomide ringist K[x] korpusesse K. Definitsioon 2. Polünoomi f juureks ehk nullkohaks nimetatakse korpuse K elementi c, mille korral f(c) = 0. Näide 2. Polünoomi f = x 3 + 2x 2 + 3x 1 Z 7 [x] üheks juureks on 5, sest f(5) = 5 3 + 2 5 2 + 3 5 1 = 189 = 7 27 = 0. Teoreem 2. [Bézout 1 teoreem] Korpuse K element c on polünoomi f K[x], f 0, juur parajasti siis, kui f jagub polünoomiga x c ringis K[x]. 1 Étienne Bézout (1730 1783) prantsuse matemaatik.
2 Tõestus. Kui f jagub polünoomiga x c, siis f = (x c) g mingi g K[x] korral ja teoreemi 1 põhjal f(c) = (c c) g(c) = 0, st c on polünoomi f juur. Vastupidi, olgu c polünoomi f juur, st f(c) = 0. Rakendades polünoomidele f ja x c jäägiga jagamist, saadakse f = (x c)g + r, deg(r) < deg(x c) = 1. Siit teoreemi 1 kohaselt 0 = f(c) = (c c)g(c) + r(c) = r(c) ehk r(c) = 0. Kuna deg(r) < 1, siis r on konstantne polünoom ja r = r(c) = 0, f = (x c)g ja polünoom f jagub polünoomiga x c. Näide 3. Vaatleme näites 2 antud polünoomi f. Bézout teoreemi põhjal peab f jaguma polünoomiga x 5. Jagades polünoomi f polünoomiga x 5, saadakse 5.5.2. Horneri skeem Vaadelgem polünoomi f = (x 5)(x 2 + 3). f = a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n 2 +... + a n 1 x + a n K[x]. Valime skalaari c K. Siis polünoomi f jäägiga jagamisel polünoomiga x c saadakse f = (x c)g + r, kus r = f(c) K ja g = b 0 x n 1 + b 1 x n 2 + b 2 x n 3 +... + b n 2 x + b n 1 K[x]. Järgnevalt tuletame skeemi skalaari f(c) = r ja polünoomi g kordajate leidmiseks. Teostades tehted avaldises (x c)g + r, saadakse (x c)g + r = (x c)(b 0 x n 1 + b 1 x n 2 + b 2 x n 3 +... + b n 2 x + b n 1 ) + r = = b 0 x n + (b 1 cb 0 )x n 1 + (b 2 cb 1 )x n 2 +... + (b n 1 cb n 2 )x + (r cb n 1 ). Kuna saadud polünoom võrdub polünoomiga f, siis nende polünoomide kordajad on vastavalt võrdsed, st a 0 = b 0, a 1 = b 1 cb 0, a 2 = b 2 cb 1,... a n 1 = b n 1 cb n 2, a n = r cb n 1,
3 ehk b 0 = a 0, b 1 = a 1 + cb 0, b 2 = a 2 + cb 1,... b n 1 = a n 1 + cb n 2, r = a n + cb n 1. Viimastest võrdustest leitakse üksteise järel skalaarid b 0, b 1,..., b n 1, r. Nende leidmist võib vormistada tabelina a 0 a 1 a 2... a n 1 a n + cb 0 cb 1... cb n 2 cb n 1 c b 0 b 1 b 2... b n 1 r Selles tabelis a 0, a 1,..., a n ja c on algandmed ning ülejäänud skalaarid leitakse järk-järgult arvutades. Polünoomi g ja r = f(c) leidmist kirjeldatud tabeli abil nimetatakse Horneri 2 skeemiks. Horneri skeemi kasutatakse polünoomi f väärtuse f(c) = r arvutamiseks ning kontrollimaks, kas mingi skalaar c on polünoomi f juureks. Näide 4. Leiame näites 2 antud polünoomi f väärtuse kohal 4 Z 7 : 1 2 3-1 + 4 3 3 4 1 6 6 2 Seega f = (x 2 + 6x + 6)(x 4) + 2, f(4) = 2. Näide 5. Kasutades Horneri skeemi, veendume, et arv 2 on polünoomi juur: f = x 5 5x 4 + 7x 3 2x 2 + 4x 8 R[x] 1-5 7-2 4-8 + 2-6 2 0 8 2 1-3 1 0 4 0 Seega f(2) = 0 ja f = (x 2)(x 4 3x 3 + x 2 + 4). 2 William George Horner (1786 1837) inglise matemaatik.
4 5.5.3. Kordsed juured Veendusime, et kui c K on polünoomi f K[x] juur, siis f = (x c)g 1 mingi g 1 K[x] korral. Kui c on ka polünoomi g 1 juur, siis omakorda g 1 = (x c)g 2, g 2 K[x] ja f = (x c) 2 g 2. Analoogiliselt jätkates on f esitatav kujul f = (x c) k g, g K[x], kus g(c) 0 ehk g ei jagu polünoomiga x c. Definitsioon 3. Polünoomi f juurt c nimetatakse tema k-kordseks juureks, kui f jagub polünoomiga (x c) k, kuid ei jagu polünoomiga (x c) k+1. Ühekordset juurt nimetatakse lihtjuureks, kahe- ja enamakordset juurt kordseks juureks. Kui c 1,..., c k on polünoomi f erinevad juured vastavalt kordsustega n 1,..., n k ja polünoomil pole rohkem juuri korpuses K, siis avaldub f kujul f = (x c 1 ) n1... (x c k ) nk g, g K[x], (2) kus g ei oma juuri korpuses K. Kui polünoomi f aste on n, siis võrdusest (2) järeldub, et n = deg(f) = n 1 +... + n k + deg(g) ja polünoom f ei saa omada rohkem kui n erinevat juurt. Polünoomi kordsete juurte uurimisel etendab tähtsat osa polünoomi tuletis. Tuletise defineerimisel ei saa kasutada piirväärtuse mõistet, sest polünoomi kordajad kuuluvad mis tahes korpusesse K. Polünoomi tuletis defineeritakse formaalselt, kuid nii, et juhul K = R jääksid kehtima matemaatilise analüüsi kursusest tuntud reeglid. Definitsioon 4. Polünoomi (1), kus deg(f) = n 1, tuletiseks nimetatakse polünoomi f = na 0 x n 1 + (n 1)a 1 x n 2 +... + 2a n 2 x + a n 1. Konstantse polünoomi f tuletiseks f nimetatakse nullpolünoomi. Polünoomide liitmise ja korrutamise eeskirjade ning tuletise definitsiooni abil võib hõlpsasti veenduda, et tuletise jaoks kehtivad reeglid (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg. Näide 6. Polünoomi f = x 3 + 2x 2 + 3x 1 Z 7 [x] tuletis on f = 3x 2 + 4x + 3. Teoreem 3. Polünoomi f K[x], f 0, juur c K on lihtjuur parajasti siis, kui f (c) 0.
5 Tõestus. Olgu c polünoomi f juur. Bézout teoreemi kohaselt f = (x c)g, g K[x]. Siis f = (x c) g + (x c)g = g + (x c)g, f (c) = g(c). Kui c on lihtjuur, siis g(c) 0 ja seega ka f (c) 0. Vastupidi, kui f (c) 0, siis g(c) 0 ja c on polünoomi f lihtjuur. Näide 7. Näites 2 toodud polünoomi f juur on 5. Kuna f = 3x 2 + 4x + 3 ja f (5) = 3 5 2 + 4 5 + 3 = 0, siis on 5 kordne juur. Lihtne on veenduda, et f = (x 5) 2 (x + 5), st 5 on polünoomi f kahekordne juur korpuses Z 7. 5.5.4. Juurte olemasolu Mitte iga polünoom f K[x] ei oma korpuses K juurt. Nii näiteks polünoomil x 2 + 1 R[x] ei ole juurt reaalarvude korpuses. Küll aga leidub korpusel R laiend C (kompleksarvude korpus) nii, et polünoom x 2 + 1 R[x] C[x] omab juuri korpuses C (nendeks juurteks on ± i). Huvitav on märkida, et see kehtib iga reaalarvuliste kordajatega mittekonstantse polünoomi jaoks. Nimelt kehtib Teoreem 4. Iga mittekonstantne polünoom f C[x] omab juurt kompleksarvude korpuses C. Teoreemi 4 me ei tõesta, kuid tõestusest huvitatu võib selle leida professor Gunnar Kangro õpikust Kõrgem algebra, lk 302 311. Tema tähtsuse tõttu nimetatakse seda teoreemi ka kompleksarvude algebra põhiteoreemiks. Selle teoreemi tõestas esmakordselt d Alembert 3. D Alembert i tõestust loetakse puudulikuks, kuna ta kasutas fakte, mille korrektsed tõestused esitati tunduvalt hiljem. Esimese korrektse tõestuse andis Gauss 4 1799. aastal. Hiljem on kompleksarvude algebra põhiteoreemile antud palju erinevaid tõestusi. Gauss ise on andnud neli erinevat tõestust sellele teoreemile. Saab näidata, et kehtib järgmine teoreem. Teoreem 5. [Kroneckeri 5 teoreem] Iga mittekonstantse polünoomi f K[x] korral leidub korpusel K selline laiend L, milles polünoom f omab juurt. 3 Jean Baptiste Le Rond d Alembert (1717 1783) prantsuse matemaatik. 4 Johann Carl Friedrich Gauss (1777 1855) saksa matemaatik. 5 Leopold Kronecker (1823 1891) saksa matemaatik.
6 Harjutustund Harjutustunnis lahendatakse ülesanded 5.25, 5.26, 5.35, 5.36 ja 5.31 äsjailmunud õpikust. 5.25. Leida polünoomi x 2 + 3x + 2 Z 6 [x] kõik juured ringis Z 6. Lahendus. Peame leidma sellised elemendid c Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, mille korral f(c) = 0, kus f = x 2 + 3x + 2. Arvutame f(0) = 0 2 + 3 0 + 2 = 2 0, f(1) = 1 2 + 3 1 + 2 = 0, f(2) = 2 2 + 3 2 + 2 = 0, f(3) = 3 2 + 3 3 + 2 = 2 0, f(4) = 4 2 + 3 4 + 2 = 0, f(5) = 5 2 + 3 5 + 2 = 0. Vastus. Juured on 1, 2, 4 ja 5. 5.26. Mitmekordne juur on 2 polünoomile f = x 5 + 7x 4 + 19x 3 + 26x 2 + 20x + 8 R[x]. Lahendus. Kui 2 on polünoomi f juur, siis polünoom f jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2, st leidub selline polünoom g, et f = (x + 2) g. Polünoomi g kordajad leiame Horneri skeemiga: 1 7 19 26 20 8 + 2 10 18 16 8 2 1 5 9 8 4 0 Seega polünoomi g kordajad on 1, 5, 9, 8, 4 ehk g = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 8x + 4. Kontrollime Horneri skeemiga, kas polünoom g jagub polünoomiga x + 2, st kas 2 on polünoomi g juureks: 1 5 9 8 4 + 2 6 6 4 2 1 3 3 2 0
7 Kuna tabeli viimase rea viimaseks arvuks on polünoomi g väärtus kohal -2, siis g( 2) = 0 ja -2 on polünoomi g juur ning polünoom g jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2, st leidub polünoom h, nii et g = (x + 2) h. Polünoomi h kordajad saame samuti tabeli viimasest reast ja nendeks on 1, 3, 3, 2. Seega h = x 3 + 3x 2 + 3x + 2, g = (x + 2) h, f = (x + 2) g = (x + 2) 2 h. Kontrollime, kas -2 on polünoomi h juur, st kas h jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2. Teeme seda jälle Horneri skeemiga: 1 3 3 2 + 2 2 2 2 1 1 1 0 Kuna tabeli viimase rea viimaseks arvuks on polünoomi h väärtus kohal -2, siis h( 2) = 0 ja -2 on polünoomi h juur ning polünoom h jagub polünoomiga x ( 2) = x+2, st leidub polünoom u, nii et h = (x+2) u. Polünoomi u kordajad saame samuti tabeli viimasest reast ja nendeks on 1, 1, 1. Seega u = x 2 + x + 1, h = (x + 2) u, f = (x + 2) 2 h = (x + 2) 3 u. Kontrollime, kas -2 on polünoomi u juur, st kas u jagub polünoomiga x ( 2) = x + 2. Teeme seda jälle Horneri skeemiga: 1 1 1 + 2 2 2 1 1 3 Tabeli viimase rea viimane arv on u( 2). Seega u( 2) = 3 ning -2 pole enam polünoomi u juur. Seega polünoom jagub polünoomiga (x + 2) 3, kuid ei jagu polünoomiga (x + 2) 4. Järelikult -2 on polünoomi f 3-kordne juur. Vastus. Arv -2 on polünoomi f kolmekordne juur ja f = (x + 2) 3 (x 2 + x + 1). Järgneva kahe ülesande lahendamiseks on vaja teada järgmist lihtsat omadust: Kui f on teise või kolmanda astme polünoom ringist K[x], siis ta on taandumatu parajasti siis, kui tal pole juuri korpuses K.
8 Tõepoolest, kui polünoomil f leiduks juur c K, siis Bézout teoreemi kohaselt leiduks g K[x], nii et f = (x c) g ja seega f oleks taanduv. Vastupidi, kui f oleks taanduv, siis omaks ta juurt korpuses K. Veendume selles. Taanduvuse tõttu avaldub f kujul f = gh, kus g ja h on mittekonstantsed polünoomid. Kuna f on teise või kolmanda astme polünoom, siis üks polünoomidest g ja h peab olema esimese astme polünoom. Olgu selleks g. Siis g = ax + b, a 0; a, b K. Polünoomi g juureks on skalaar b a. Skalaar b a on ka polünoomi f juureks. 5.35. Otsustada, kas polünoom x 3 + 1 Z 2 [x] on taanduv ringis Z 2 [x]. Lahendus. Leiame polünoomi f = x 3 + 1 väärtused korpuse Z 2 [x] = {0, 1} kõigi elementide korral: f(0) = 0 3 + 1 = 1 0, f(1) = 1 3 + 1 = 0. Kuna 1 on polünoomi f juur, siis ülalsõnastatud omaduse põhjal f pole taandumatu, st ta on taanduv. Bézout teoreemi põhjal jagub f polünoomiga x 1 = x+1. Jagades polünoomi f polünoomiga f, saadakse f = (x + 1)(x 2 + x + 1). 5.36. Näidata, et polünoom x 3 + x 2 + 2 on taandumatu polünoom ringis Z 3 [x]. Lahendus. Leiame polünoomi f = x 3 + x 2 + 2 väärtused korpuse Z 3 [x] = {0, 1, 2} kõigi elementide korral: f(0) = 0 3 +0 2 +2 = 2 0, f(1) = 1 3 +1 2 +2 = 1 0, f(2) = 2 3 +2 2 +2 = 2 0. Kuna polünoomil f pole juuri vaadeldavas korpuses, siis on ta taandumatu. 5.31. Leida polünoomi f = x 5 + x 4 + 4x 3 + 2x + 3 Z 7 [x] kõik juured ja nende kordsused ning avaldada see polünoom taandumatute tegurite korrutisena vaadeldavas polünoomide ringis. Lahendus. Leiame, millised korpuse Z 7 [x] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} elementidest on polünoomi f juured. Polünoomi f väärtused kohtadel 0, 1, 2 leiame vahetult, kohtadel 3, 4, 5, 6 aga Horneri skeemi abil: f(0) = 0 5 + 0 4 + 4 0 3 + 2 0 + 3 = 3, f(1) = 1 5 + 1 4 + 4 1 3 + 2 1 + 3 = 4, f(2) = 2 5 + 2 4 + 4 2 3 + 2 2 + 3 = 3, 1 1 4 0 2 3 + 3 5 6 4 4 3 1 4 2 6 6 0