ARVUTEOORIA. Kevad 2016

Väljavõte

1 ARVUTEOORIA Kevad 016 Loengukonsekt Lektor: Lauri Tart Konsekt: Valdis Laan ja Lauri Tart

2 Sisukord 1. Jaguvus. Aritmeetika õhiteoreem Täisarvud Täisarvude jaguvus. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne Võrrand ax + by = c Aritmeetika õhiteoreem Algarvud Algarvulisuse kontrollimine Algarvud ja aritmeetilised jadad Algarvude jaotus Aditiivseid robleeme Kongruentsi mõiste ja lihtsamad omadused Kongruentsi mõiste Jäägiklassid Konguentsusseose omadused Jaguvustunnused Jäägiklassiringid Jäägiklassiringid ja nende otsekorrutised Jäägiklassiringi ööratavad elemendid Arvuteoreetilisi funktsioone Euleri funktsioon Euleri teoreem Möbiuse funktsioon Teisi funktsioone Tundmatut sisaldavad kongruentsid. Hiina jäägiteoreem Ülesande üstitusest Lineaarkongruentsid Hiina jäägiteoreem Kongruentsid algarvu astme järgi Kongruentsid suvalise mooduli järgi Algjuured Algjuured Indeksid Ruutjäägid Legendre i sümbol ja selle lihtsamad omadused Gaussi ruutvastavusseadus Jacobi sümbol Arvuteooria krütograafias Algarvulisuse testimine Fermat algarvulisuse test Miller-Rabini algarvulisuse test Algteguriteks lahutamine RSA krütosüsteem Diskreetne logaritm Diffie-Hellmani võtmevahetus

3 10. Lõlikud korused* Lõlike koruste ehitus Aritmeetika lõlikes korustes Juurimine lõlikes korustes Gaussi ruutvastavusseadus Arvuvallad* Naturaalarvudelt täisarvudele Täisarvudelt ratsionaalarvudele Ratsionaalarvudelt reaalarvudele Weierstrassi meetod Dedekindi meetod Cantori meetod aadilised arvud Reaalarvude valla laiendamine Indeks 7 Kirjandus 74 3

4 1. Jaguvus. Aritmeetika õhiteoreem 1.1. Täisarvud Käesoleva kursuse õhiliseks uurimisobjektiks on täisarvud ja nende omadused. Teatavasti on täisarvude hulk Z = {...,, 1, 0, 1,,...} järjestatud kommutatiivne ring, s.t., et sellel hulgal on defineeritud liitmistehe + : Z Z Z, korrutamistehe : Z Z Z ning järjestusseos Z Z nii, et Z1. ( a, b, c Z((a + b + c = a + (b + c (liitmine on assotsiatiivne; Z. ( 0 Z( a Z(a + 0 = a = 0 + a (leidub nullelement; Z3. ( a Z( ( a Z(a + ( a = 0 = ( a + a (igal täisarvul leidub vastandarv; Z4. ( a, b Z(a + b = b + a (liitmine on kommutatiivne; Z5. ( a, b, c Z((abc = a(bc (korrutamine on assotsiatiivne; Z6. ( 1 Z( a Z(a1 = a = 1a (leidub ühikelement; Z7. ( a, b Z(ab = ba (korrutamine on kommutatiivne; Z8. ( a, b, c Z(a(b + c = ab + ac (liitmine on korrutamise suhtes distributiivne; Z9. ( a, b, c Z(a b = a + c b + c (järjestus on kooskõlas liitmisega; Z10. ( a, b, c Z(a b c 0 = ac bc (järjestus on kooskõlas mittenegatiivsete arvudega korrutamisega. Lisaks nendele on täisarvude ringil veel teisigi omadusi. Näiteks Z11. ( a, b, c Z(ac = bc c 0 = a = b; Z1. ( a, b Z(ab = 0 a = 0 b = 0; Z13. ( a, b Z(ab = 1 a = b = 1 a = b = 1; s.t. täisarvude ring on taandamisega, nullitegureita ning ainsad ööratavad elemendid on 1 ja 1. Täisarvude hulk sisaldab naturaalarvude hulka N = {1,, 3,...}. Võib vaadelda kujutust : Z N {0}, mis on defineeritud võrdusega { a, kui a 0, a = a, kui a < 0. Mittenegatiivset täisarvu a nimetatakse täisarvu a absoluutväärtuseks. Absoluutväärtuse tähtsamad omadused on järgmised: ABS1. ( a Z( a = 0 a = 0; ABS. ( a, b Z( ab = a b ABS3. ( a, b Z( a + b a + b (absoluutväärtus on kooskõlas korrutamisega; (kolmnurga võrratus. 1.. Täisarvude jaguvus. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne Väga oluline koht arvuteoorias on jaguvuse mõistel. Definitsioon 1.1. Öeldakse, et täisarv a jagab täisarvu b (ja tähistatakse a b, kui leidub selline täisarv c, et ac = b. Fakti, et a b, võib tähistada ja väljendada väga mitmel moel. Kõik järgnevad kirjutised ja väited tähendavad täisarvude a ja b korral ühte ja sedasama: a b arv a jagab arvu b b.. a arv b jagub arvuga a a on b jagaja a on b tegur b on a kordne ( c Z(ac = b. Definitsioonist järelduvad lihtsalt mitmed jaguvusseose omadused. 4

5 Lause 1.. Täisarvude jaguvusseosel on järgmised omadused: iga a, b, c Z korral 1. kui a b ja b c, siis a c (transitiivsus;. kui a b ja a c, siis a (b ± c; 3. kui a b, siis ac bc (järelikult ka a bc; 4. a 1 arajasti siis, kui a { 1, 1}. Tõestus. Neljas väide järeldub omadusest Z13. Esimene väide kehtib selleärast, et mistahes a, b, c Z korral a b b c = ( d, e Z(ad = b be = c = c = be = (ade = a(de de Z = a c. Def. 1.1 Z5 Def. 1.1 Ülejäänud kaks väidet saab tõestada analoogiliselt. Jaguvusseose abil saab defineerida täisarvude suurima ühisteguri ja vähima ühiskordse. Definitsioon 1.3. Täisarvu d nimetatakse täisarvude a ja b suurimaks ühisteguriks (tähistatakse d = SÜT(a, b ehk lühidalt d = (a, b, antud kursuses eelistame viimast tähistust, kui (i d a ja d b; (ii iga täisarvu c korral, kui c a ja c b, siis c d. Definitsioon 1.4. Täisarvu m nimetatakse täisarvude a ja b vähimaks ühiskordseks (tähistatakse m = VÜK(a, b ehk m = [a, b], kui (i a m ja b m; (ii iga täisarvu c korral, kui a c ja b c, siis m c. Lihtne on veenduda, et kui d on a ja b suurim ühistegur (vähim ühiskordne, siis ka d on a ja b suurim ühistegur (vähim ühiskordne ja rohkem suurimaid ühistegureid (vähimaid ühiskordseid arvudel a ja b ei ole. Teiste sõnadega, suurim ühistegur ja vähim ühiskordne on määratud üheselt märgi täsusega. Muuhulgas tähendab see seda, et mistahes suurimat ühistegurit või vähimat ühiskordset sisaldavate avaldiste võrdust tuleb tõlgendada märgi täsusega. Kui a ja b suurim ühistegur on 1, siis öeldakse tihti, et a ja b on ühistegurita. Suurimal ühisteguril on järgmised omadused. Lause 1.5. Iga a, b, c Z korral 1. (a, b = a arajasti siis, kui a b;. (a, 0 = a; 3. (a, b = 0 arajasti siis, kui a = 0 ja b = 0; 4. ((a, b, c = (a, (b, c. Tõestus. Tõestame näitena esimese väite. Kui a = (a, b, siis definitsiooni 1.3 tingimuse (i õhjal a b. Vastuidi, eeldame, et a b. Kuna lisaks sellele a a, siis a on a ja b ühine tegur. Oletame, et ka c a ja c b. Siis ilmselt c a, mis tähendab, et ka definitsiooni 1.3 tingimus (ii on rahuldatud ning a on tõesti a ja b suurim ühistegur. Järgmine lause on lugejale kindlasti tuttav. Lühidalt öeldes väidab ta seda, et iga täisarvu võib jäägiga jagada iga naturaalarvuga. Lause 1.6. Olgu a täisarv ja b naturaalarv. Siis leiduvad üheselt määratud täisarvud (jagatis ja r (jääk, nii et a = b + r ja 0 r < b. 5

6 Tõestus. Olgu antud a Z ja b N. Vaatleme hulka A = {a bx x Z, a bx 0} N {0}. Paneme tähele, et a + a 0. Tõeoolest, a 0 korral on see võrratus ilmne, a 1 ehk a 1 korral a = ( a a omaduse Z10 õhjal ning a + a 0 omaduste Z9 ja Z3 õhjal. Järelikult a b( a = a + ba a + a 0 ning seega a b( a A. Kuna hulga N {0} igas mittetühjas alamhulgas leidub vähim element, siis leidub ka hulga A vähim element r = a b A, kus Z. Näitame, et r < b. Selleks oletame vastuväiteliselt, et r b. Siis 0 r = r b = a b( + 1 A ja r < r, mis on vastuolus r valikuga. Niiviisi oleme leidnud sellised, r Z, et a = b + r ja 0 r < b. Näitame, et ja r on üheselt määratud. Selleks oletame, et leiduvad täisarvud 1,, r 1, r nii, et a = b 1 + r 1 = b + r ja 0 r 1, r < b. Siis b( 1 = r r 1. Kuna b 1, r r 1 < b ja 1 Z, siis võrdusest r r 1 = b 1 = b 1 järeldub, et 1 = 0 ja seega ka r r 1 = 0. Sellega oleme näidanud, et 1 = ja r 1 = r. Võrreldes lauset 1.6 definitsiooniga 1.1 võime öelda, et naturaalarv b jagab täisarvu a (ehk a jagub arvuga b arajasti siis, kui arvu a jagamisel arvuga b tekkiv jääk on 0. Lausest 1.6 järeldub muuhulgas, et kahe täisarvu suurima ühisteguri leidmiseks saab kasutada Eukleidese algoritmi. Eukleides (sündis u aastal e.m.a. oli kreeka matemaatik, kes elas ja töötas Aleksandrias. Eukleidese algoritm sisaldub Eukleidese õhiteose Elemendid VII raamatus. Algoritm ise võis olla teada kuni 00 aastat enne Eukleidest. See algoritm töötab järgmiselt. Olgu eesmärgiks leida täisarvude a ja b suurim ühistegur. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et a b > 0 (sest (a, b = ( a, b, (a, b = (b, a ja b = 0 korral on selge, millega (a, b võrdub. Kõigeealt jagame arvu a jäägiga arvuga b: a = b 1 + r 1, 0 r 1 < b. Kui r 1 = 0, siis b a ja seega (a, b = b. Kui r 1 0, siis jagame arvu b arvuga r 1 : b = r 1 + r, 0 r < r 1. Kui r = 0, siis lõetame; vastasel juhul jagame arvu r 1 arvuga r : r 1 = r 3 + r 3, 0 r 3 < r. Niimoodi jätkame senikaua kui saame mingil sammul jäägiks r n+1 = 0. Varem või hiljem eab see juhtuma, sest b > r 1 > r >... 0 ja ei leidu lõmatuid kahanevaid naturaalarvujadasid. Osutub, et a ja b suurimaks ühisteguriks on viimane nullist erinev jääk r n (tõestuse võib leida raamatust [1], lk Algoritmi võib kokku võtta järgmise tabelina. Eukleidese algoritm. a = b 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 + r, 0 < r < r 1, r 1 = r 3 + r 3, 0 < r 3 < r, r n 3 = r n n 1 + r n 1 0 < r n 1 < r n, r n = r n 1 n + r n 0 < r n < r n 1, r n 1 = r n n ( Võrrand ax + by = c Paljudel arvuteooria robleemidel on järgmine kuju: kui f on täisarvuliste kordajatega (ühe- või mitmemuutuja olünoom, siis kas võrrandil f = 0 on täisarvulisi lahendeid? Selliseid võrrandeid on hakatud kreeka matemaatiku Diohantose auks nimetama diofantilisteks võrranditeks. Diohantos elas 3. sajandil ja töötas Aleksandrias. Tema õhiteos oli Aritmeetika, milles ta muuhulgas käsitles tehteid ratsionaalarvudega, kasutas algelist algebralist sümboolikat ja lahendas mitme tundmatuga võrrandeid. Üheks lihtsamaks diofantiliseks võrrandiks on võrrand ax + by = c, kus a, b, c on täisarvud ja x, y tundmatud. Järgnevas anname tarviliku ja iisava tingimuse selle võrrandi lahenduvuseks ja eeskirja kõigi lahendite leidmiseks. 6

7 Teoreem 1.7. Antud täisarvude a, b, c korral leidub diofantilisel võrrandil täisarvuline lahend arajasti siis, kui (a, b c. ax + by = c ( Tõestus. Tarvilikkus. Oletame, et leiduvad sellised täisarvud x 0 ja y 0, et ax 0 + by 0 = c. Kuna (a, b a ja (a, b b, siis lause 1.(, 3 õhjal ka (a, b ax 0 + by 0 = c. Piisavus. Olgu (a, b = r n leitud Eukleidese algoritmi abil. Et (a, b c, siis leidub selline s Z, et r n s = c. Liikudes tabelis (1 alt üles, saame r n avaldada a ja b kaudu: r n = r n r n 1 n = r n (r n 3 r n n 1 n = (1 + n 1 n r n n r n 3 =... = ax + by, kus x, y Z. Seega a(x s + b(y s = (ax + by s = r n s = c, s.t. täisarvuaar x s, y s on võrrandi ( lahend. Teoreemist 1.7 saab teha mitmeid kasulikke järeldusi. Järeldus ( 1.8. Olgu a, b, d Z sellised, et d a, d b ja d 0. Siis võrdus (a, b = d on samaväärne võrdusega a d, b d = 1. Tõestus. Olgu a, b, d Z sellised, et d a, d b ning d 0 (siis muuhulgas a d ja b d on täisarvud. Tähistame d = (a, b. Definitsiooni 1.3 õhjal teame, et d d. Seega d = d arajasti siis, kui d d. Järelikult ( a d = d d d ( x 0, y 0 Z(ax 0 + by 0 = d ( x 0, y 0 Z Teor. 1.7 d x 0 + b d y 0 = 1 ( a Teor. 1.7 d, b ( a 1 d Lause 1.(4 d, b = 1. d Järeldus 1.9 (Eukleidese lemma. Mistahes a, b, c Z korral, kui a bc ja (a, b = 1, siis a c. Tõestus. Kuna (a, b = 1, siis leiduvad sellised täisarvud x 0 ja y 0, et ax 0 + by 0 = 1. Järelikult ax 0 c + by 0 c = c. Et a jagab selle võrduse vasakut oolt, siis eab ta jagama ka aremat oolt, s.t. a c. Meenutame, et algarvuks nimetatakse naturaalarvu > 1, mille ainsad naturaalarvulised jagajad on 1 ja. Naturaalarvu, mis on suurem kui 1 ja mis ole algarv, nimetatakse kordarvuks. Järeldus Mistahes b, c Z ja algarvu korral, kui bc, siis kas b või c. Tõestus. Algarvu ainsad täisarvulised jagajad on ±1 ja ±. Seega (, b = või (, b = 1. Esimesel juhul b. Teisel juhul saame järelduse 1.9 õhjal, et c. Järeldust 1.10 kasutades saab lihtsalt tõestada järgmise väite. Järeldus Mistahes täisarvude a 1, a,..., a n Z ja algarvu korral, kui a 1 a... a n, siis leidub selline k {1,,..., n}, et a k. Kuna ainus algarv, millega mingi algarv jagub, on see algarv ise, siis saame järgmise tulemuse. Järeldus 1.1. Kui, 1,,..., n on algarvud ja 1... n, siis leidub selline k {1,,..., n}, et = k. Näitena nende omaduste rakendamisest vaatleme järgmist väidet, mille tõestas juba kreeka matemaatik ja filosoof Pythagoras ( e.m.a.. Näide ei ole ratsionaalarv. Oletame vastuväiteliselt, et leidub ratsionaalarv, mille ruut on, s.t. = ( b, a kus a ja b on täisarvud ja (a, b = 1. Siis b = a ning seega a b = bb. Järelduse 1.9 õhjal eaks a b ning järelikult 1 = (a, b = a ja b =, mis on vastuolu, sest ühegi täisarvu ruut ole. Saadud vastuolu näitabki, et ei saa olla ratsionaalarv. Lõetuseks tõestame teoreemi, mis näitab, kuidas leida diofantilise võrrandi ( kõik täisarvulised lahendid, kui on teada selle võrrandi üks (erilahend. 7

8 Teoreem Olgu a, b ja c täisarvud. Kui vähemalt üks arvudest a ja b ei ole 0 ning x 0, y 0 on võrrandi ax+by = c mingi lahend, siis selle võrrandi kõik lahendid x, y saadakse valemite x = x 0 + abil, andes muutujale t kõik täisarvulised väärtused. b (a, b t, y = y 0 a (a, b t Tõestus. Olgu meile teada võrrandi ax + by = c mingi lahend x 0, y 0. Kui x, y on selle võrrandi mingi teine lahend, siis ax 0 + by 0 = c = ax + by, millest järeldub, et a(x x 0 = b(y 0 y. Kui vähemalt üks arvudest a ja b ei ole 0, siis (a, b 0. Tähistades d = (a, b, saame leida sellised täisarvud a ja b, et a = da ja b = db, kusjuures järelduse 1.8 õhjal (a, b = ( a d, d b = 1. Järelikult da (x x 0 = db (y 0 y, millest arvu d taandamisel (täisarvude omadus Z11 saame a (x x 0 = b (y 0 y. (3 Meil on olukord, kus a b (y 0 y ja (a, b = 1. Kasutades järeldust 1.9 saame, et a (y 0 y, s.t. leidub selline t Z, et y 0 y = a t. Asendades y 0 y võrduses (3 ning taandades arvu a (juhul kui a 0, saame x x 0 = b t. Seega näeme, et lahend x, y avaldub kujul x = x 0 + b t = x 0 + b (a, b t, y = y 0 a t = y 0 a (a, b t. Kui a = 0, kuid b 0, siis toimime analoogiliselt lähtudes asjaolust, et b a (x x 0. Teisest küljest, on lihtne kontrollida, et iga t Z korral sellised arvud rahuldavad võrrandit ax + by = c: ( a x 0 + b ( (a, b t + b y 0 a (a, b t = ax 0 + by 0 = c. Märkus Vaatleme võrrandit ax+by = c üle reaalarvude ning kirjutame selle võrrandi reaalarvulisi lahendeid järjestatud aaridena x, y. Eeldame, et vähemalt üks arvudest a ja b ei ole 0. Siis lineaaralgebrast on teada, et sellest ühest võrrandist koosnevale lineaarvõrrandisüsteemile vastava homogeense süsteemi ax + by = 0 lahendite b fundamentaalsüsteem sisaldab ühe lahendi x 1, y 1 (selleks võib võtta näiteks aari x 1, y 1 = (a,b, a (a,b R ning süsteemi ax + by = c kõigi reaalarvuliste lahendite hulk avaldub kujul x 0, y 0 + {t x 1, y 1 t R} = { x 0 + tx 1, y 0 + ty 1 t R}, kus x 0, y 0 R on selle võrrandi mingi erilahend (vt. [1], teoreem Teoreem 1.7 ütleb, et kui vaadelda võrrandit ax + by = c üle täisarvude, siis tema kõigi lahendite hulk avaldub sisuliselt samasugusel kujul. Näide Lahendame diofantilise võrrandi Selleks leiame Eukleidese algoritmi abil (17, 0: 17x + 0y = = = = = 4, kust näeme, et (17, 0 = 4. Kuna , siis võrrandil on lahend olemas. Avaldame nüüd arvu 4 arvude 17 ja 0 lineaarkombinatsioonina : 4 = 1 8 = 1 (0 1 = 1 0 = ( = 17 + ( Korrutades saadud võrduse mõlemaid ooli arvuga 50, saame 1000 = ( 450 0, seega x 0 = 500, y 0 = 450 on antud võrrandi üheks lahendiks. Kõik ülejäänud täisarvulised lahendid saame arvutada valemeist x = t = t, y = t = t, kus t on täisarv. Leiame veel näiteks selle võrrandi kõik ositiivsed lahendid (s.t. lahendid, kus x > 0 ja y > 0. Positiivsete lahendite korral eab t rahuldama võrratusi t > 0 ja t > 0, ehk samaväärselt 100 < t < Ainus täisarv, mis neid tingimusi rahuldab, on t = 99. See tähendab, et antud võrrandil on vaid üks ositiivne lahend x = ( 99 = 5, y = ( 99 = 7. 8

9 1.4. Aritmeetika õhiteoreem Järgnevalt tõestame väite, millele tugineb suur osa naturaalarvude aritmeetikas tõestatavatest teoreemidest ja mis ärineb Eukleidese Elementide IX raamatust. Teoreem 1.17 (Aritmeetika õhiteoreem. Iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena (s.t. leiduvad r N ja algarvud 1,..., r nii, et n = 1... r ning see esitus on ühene tegurite järjekorra täsuseni. Tõestus. Näitame esiteks matemaatilise induktsiooniga, et iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena. Arvu n = korral on väide ilmne. Oletame, et n > ja iga naturaalarvu 1 < m < n saab esitada algarvude korrutisena. Naturaalarv n eab olema kas algarv või kordarv. Esimesel juhul ole midagi tõestada. Kui aga n on kordarv, siis leidub naturaalarv d n, kusjuures 1 < d < n. Olgu n = da, a N; siis ka 1 < a < n. Induktsiooni eelduse õhjal avalduvad d ja a algarvude korrutisena ning järelikult ka n avaldub algarvude korrutisena. Ühesuse näitamiseks oletame, et n saab algarvude korrutisena esitada kahel viisil: n = 1... r = 1... s, kus (üldisust kitsendamata r s ja algarvud i ja j on mittekahanevas järjekorras, s.t r ja 1... s. Kuna s, siis järelduse 1.1 õhjal 1 = k mingi k {1,..., s} korral; kuid siis 1 1. Samamoodi saame 1 1 ning kokkuvõttes 1 = 1. Arvu 1 taandades saame 3... r = 3... s. Korrates seda mõttekäiku saame = ja r = s. Kui r < s, siis niimoodi jätkates jõuame võrduseni 1 = r+1 r+... s, mis on aga võimatu, sest i > 1 iga i {1,..., s} korral. Seega r = s ning 1 = 1, =,..., r = r, mida oligi tarvis tõestada. Naturaalarvu esitust algarvude korrutisena nimetame tema algtegureiks lahutuseks ning selles lahutuses esinevaid algarve nimetame antud arvu algtegureiks. Sõltuvalt tegurite järjekorrast võib algtegureiks lahutusi olla mitu. Vahel on siiski otstarbekam kasutada arvu ühesemat esitust. Järeldus Iga naturaalarvu n > 1 saab üheselt esitada kujul kus k i N, i on algarv iga i = 1,,..., s korral ning 1 < <... < s. Naturaalarvu n esitust kujul (4 nimetame selle arvu standardkujuks. n = k1 1 k... ks s, (4 Näide = = = 3 5 1, kus viimane korrutis on arvu 180 standardkuju. Aritmeetika õhiteoreem annab veel ühe võimaluse SÜT ja VÜK arvutamiseks. Kui m, n > 1 on naturaalarvud ja { 1,..., s } on nende arvude algtegurite hulkade ühend, siis võime need arvud esitada kujul m = k ks s, n = l ls s, kus 1,..., s on aarikaua erinevad algarvud ja k i 0, l i 0, i = 1,..., s. (NB! Tegemist ole standardkujudega, sest astendajate hulgas võib olla nulle. Lause 1.0. Olgu m, n > 1 naturaalarvud, m = k ks s, n = l ls s, kus 1,..., s on aarikaua erinevad algarvud ja k i 0, l i 0, i = 1,..., s. Siis 1. m n arajasti siis, kui k i l i iga i = 1,..., s korral;. (m, n = u us s, kus u i = min(k i, l i iga i = 1,..., s korral; 3. [m, n] = v vs s, kus v i = max(k i, l i iga i = 1,..., s korral; 4. (cm, cn = c(m, n iga c Z korral; 5. [cm, cn] = c [m, n] iga c Z korral. Tõestus. 1. Tarvilikkus. Eeldame, et m n. See tähendab, et leidub selline a N, et ma = n. Kui a = 1, siis järeldub väide vahetult aritmeetika õhiteoreemist. Kui a > 1, siis tänu aritmeetika õhiteoreemile ei saa a algtegurite hulgas olla selliseid algarve, mis ei ole n algtegurid. Seega on a kujul a = j js s, kus j 1,..., j s 0. Järelikult ( ( k1+j ks+js s = k ks s j js s = ma = n = l ls s. Aritmeetika õhiteoreemi õhjal k i + j i = l i, millest järeldubki, et k i l i iga i = 1,..., s korral. 9

10 ( Piisavus. Olgu k i l i iga i = 1,..., s korral. Siis m l1 k ls ks s = n, ehk m n.. Tähistame d = u us s. Kuna u i k i ja u i l i, i = 1,..., s, siis väite 1 õhjal d m ja d n. Oletame, et c m ja c n, kusjuures c = j js s. Jällegi väite 1 õhjal j i k i ning j i l i, i = 1,..., s. Seega j i min(k i, l i = u i, i = 1,..., s, millest järeldub, et c d. Väite 3 saab tõestada analoogiliselt. Väited 4 ja 5 järelduvad sellest, et min(j + k, j + l = j + min(k, l ja max(j + k, j + l = j + max(k, l mistahes mittenegatiivsete täisarvude j, k ja l korral. Tuleb märkida, et lause 1.0 omab tähtsust igem teoreetilistes arutlustes, sest naturaalarvu algtegureiks lahutamine on enamasti väga töömahukas. Suurima ühisteguri raktiliseks leidmiseks kasutatakse reeglina Eukleidese algoritmi. Kuna mistahes mittenegatiivsete täisarvude k ja l korral min(k, l+max(k, l = k +l, siis kehtib järgmine lause. Lause 1.1. Mistahes naturaalarvude m ja n korral (m, n [m, n] = mn. Näide 1.. Olgu m = 36 ja n = 7. Lahutame nad algarvude astmete korrutiseks: m = 3 ja n = Kasutades lauset 1.0 saame, et (m, n = 0 3 = 9 ja [m, n] = 3 3 = 108. Näide 1.3. Leiame [17, 0]. Näite 1.16 õhjal teame, et (17, 0 = 4. Järelikult [17, 0] = = = 43 0 = 860. (17,

11 . Algarvud.1. Algarvulisuse kontrollimine Meenutame veelkord, et naturaalarvu > 1 nimetatakse algarvuks, kui tema ainsad naturaalarvulised jagajad on 1 ja. Naturaalarvu, mis on suurem kui 1 ja mis ole algarv, nimetatakse kordarvuks. Kõigi algarvude hulka tähistame edasidi sümboliga P. Kuidas antud naturaalarvu korral kindlaks teha, kas ta on algarv või kordarv? Kõige lihtsam viis on jagada seda arvu kõigi talle eelnevate naturaalarvudega. Kui ta ühegagi neist (välja arvatud 1 ei jagu, siis on ta algarv, vastasel juhul kordarv. Kuigi see meetod on lihtne, ei kõlba ta raktikas kasutamiseks arvutuste liiga suure mahu tõttu. Arvutuste mahtu saab veidi vähendada, kui aneme tähele järgmist kordarvude omadust. Olgu a > 1 kordarv, s.t. a = bc, kus 1 < b, c < a. Eeldades, et näiteks b c, saame, et b bc = a ja seega b a. Et b > 1, siis leidub arvul b vähemalt üks algtegur. Siis b a, ning kuna b ja b a, siis a. Niisiis, kui a on kordarv, siis tal leidub selline algtegur, mis ole suurem kui a. Ehk samaväärselt: kui ükski algarv a ei ole arvu a jagaja, siis a on algarv. Niisiis arvu a algarvulisuse kontrollimiseks iisab, kui kontrollime, kas ta jagub algarvudega a. Näide.1. Kas 101 on algarv? Et 10 < 101 < 11, siis tuleb kontrollida jaguvust algarvudega, 3, 5 ja 7. Kuna 101 ühegagi neist ei jagu, siis on ta algarv. Eesool nägime, et kui ükski algarv a ei ole arvu a jagaja, siis a on algarv. Sellel faktil õhineb kreeka matemaatiku Eratosthenese ( e.m.a. oolt välja töötatud meetod mingist fikseeritud naturaalarvust n mittesuuremate algarvude leidmiseks, mida nimetatakse Eratosthenese sõelaks. Alljärgnev kirjeldus on ärit Boethiuse (u m.a.j. raamatust Aritmeetika alustest. Nende arvude [algarvude] genereerimine ja leidmine on võetud uurimusest, mida Eratosthenes, muuhulgas, nimetas sõelaks, sest kui kõik aaritud arvud on andud keskele kokku, siis kunsti abil, mida me tahame edasi anda, sõelutakse teiste hulgast välja iga arv, mis on kas esimest või kolmandat liiki [s.t. on algarv]. Olgu kõik aaritud arvud alates kolmest aigutatud mistahes ikkusega järjestatud ritta: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 1, 3, 5, 7, 9, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47. Nende arvude sellise jada korral eame vaatama, mis on esimene arv, mida saab mõõta esimene arv reas. Siis ta järgmisena mõõdab arvu, mis on kahe arvu kaugusel esimesest ja selleks, et mõõta arvu tolle mõõdetud arvu järel, eab veel kaks arvu vahele jätma ning samamoodi edasi, kui need kaks arvu on vahele jäetud, siis arv, mida jälle kord mõõdetakse, on mõõdetud esimese arvu oolt; niimoodi iga mõõdetava arvu ja eelmise mõõdetud arvu vahel on kaks ja nii jätkatakse esimesest arvust lõmatuseni. Kuid las ma teen seda mitte üldisel ja segasel moel. Esimene arv mõõdab oma suurusega seda, mis aikneb kahe arvu järel ärast teda ennast. Nii kolm, jättes kaks arvu vahele, see on 5 ja 7, mõõdab üheksat ja mõõdab teda iseenda suurusega, see on kolm korda. Kolm korda kolm mõõdab üheksat. Kui ärast üheksat jätan vahele kaks arvu, siis saan arvu, mis tuleb nende järel ja on mõõdetud esimese aaritu arvu oolt teise aaritu arvu suuruse abil, see on viie abil. Nii et kui ärast 9-t me jätame vahele arvu, see on 11 ja 13, siis kolmandat arvu, 15-t, mõõdetakse [jada] teise arvu suuruse abil, see on viie abil, kolm mõõdab 15-t viis korda. Jälle, kui alustades viieteistkümnest ma jätan vahele kaks arvu, mis on aigutatud jadas tema järele, siis esimene arv on tema [s.o. arvu 3] mõõt jada kolmanda aaritu arvu abil. Kui ärast 15-t ma jätan vahele 17 ja 19, siis ma jõuan 1-ni, mis on mõõdetud arvu kolm oolt seitse korda. Arvust 1 on kolm seitsmendikosa, ja tehes seda lõmatult, ma leian, et jada esimene arv, kui jadas kaks arvu järjest vahel jätta, suudab mõõta kõiki järgnevaid arve, ja seda järjest selle jada aaritute arvude suuruste abil. Kui arvu viis korral, mis asub jadas teisel kohal, tahaks keegi leida esimese ja järgnevad arvud, millele 5 on mõõduks, tuleks vahele jätta 4 aaritut arvu ärast 5-t, kuni tuleb see, mida 5 mõõta saab. Vahele jäetakse 4 aaritut arvu, see on 7, 9, 11 ja 13. Pärast neid on 15, mida viis mõõdab esimese aaritu arvu suurusega, see on kolmega. 5 mõõdab 15-t kolm korda. Kui seejärel jäetakse vahele neli arvu, siis seda, mis asetseb nende järel, mõõdab jada teine arv, see on 5, oma suurusega. Nii ärast 15-t, kui arvud 17, 19, 1 ja 3 jätad vahele, siis ärast neid leiame 5, mida viis mõõdab iseenda suurusega. Viis korrutades viiega kasvab 5-ni. Kui ärast seda jäetakse vahele järgmised neli arvu, säilitades sellega sellesama jada konstantsuse, siis arvu, mis järgneb, mõõdab viis jada kolmanda arvu, see on seitsme, suurusega; ja see rotsess on lõmatu. Kui kolmas arv, millega saab mõõta, on välja otsitud, ja kuus kohta on vahele jäetud, siis jõuab järjestus seitsmenda arvuni, seda saab mõõta esimese arvu, see on kolme, suurusega; ja ärast seda arvu, kui kuus arvu aned vahele, siis arvu, mille jada siis annab, saab mõõta viiega, jada teise arvuga, ja see mõõdab 15-t kolm korda. Kui siis jäetaks vahele veel kuus vaheealset arvu, siis arvu, mis järgneb, seitsmendat arvu [1] saab mõõta seitsmega kolme suuruse abil; ja see kindel kord jätkub jada viimase arvuni. Juba Eukleides oma Elementides näitas, et ei saa olla suurimat algarvu. 11

12 Teoreem. (Eukleides. Algarvude hulk on lõmatu. Tõestus. Olgu algarvud tähistatud 1 =, = 3, 3 = 5, 4 = 7,.... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv n. Vaatleme naturaalarvu a = 1... n + 1. Et a > 1, siis eab leiduma algarv, mis arvu a jagab. Kuna oletasime, et 1,..., n on ainsad algarvud, siis eab leiduma selline i {1,..., n}, et i a. Lause 1. õhjal saame, et i a 1... n = 1, mis on vastuolus sellega, et i > 1... Algarvud ja aritmeetilised jadad Lause 1.6 tõttu võib iga naturaalarvu esitada üheselt kas kujul 4k, 4k + 1, 4k + või 4k + 3, kus k N {0}, sõltuvalt sellest, millise jäägi annab see naturaalarv jagamisel 4-ga. On selge, et arvud 4k ja 4k + = (k + 1, k N, on aarisarvud ja seega kordarvud. Paaritud arvud jagunevad kahte lõmatusse jadasse: ühed, mis on kujul 4k + 1, s.t. 1, 5, 9, 13, 17, 1,... ja teised, mis on kujul 4k + 3, s.t. 3, 7, 11, 15, 19, 3,.... Mõlemas jadas on nii alg- kui kordarve. Osutub, et analoogiliselt eelmise teoreemiga, saab tõestada, et teine jada sisaldab lõmata alju algarve. Selleks tõestame enne ühe tillukese lemma. Lemma.3. Kui kaks naturaalarvu on kujul 4k + 1, siis nende korrutis on samal kujul. Tõestus. Olgu m = 4k + 1 ja n = 4l + 1, k, l N {0}. Siis mn = (4k + 1(4l + 1 = 4(4kl + k + l + 1. Teoreem.4. On lõmata alju algarve kujul 4k + 3. Tõestus. Oletame jällegi vastuväiteliselt, et on vaid lõlik arv algarve kujul 4k+3. Olgu nad tähistatud 1,..., n. Vaatleme naturaalarvu a = n 1 = 4( 1... n Olgu a = r 1 r... r s arvu a lahutus algtegureiks. Kuna a on aaritu arv, siis ükski r i ei ole. Seega iga r i on kas kujul 4k + 1 või 4k + 3. Lemma.3 tõttu eab vähemalt üks tegureist r 1,..., r s olema kujul 4k + 3. Olgu r i = 4k + 3, k N {0}. Siis eab leiduma selline j, et r i = j > 1. Järelikult r i a n = 1, vastuolu. Tegelikult on ka jadas (4k + 1 k N {0} lõmata alju algarve (vt. lauset 8.10 ja veelgi enam, kehtib saksa matemaatiku Dirichlet ( oolt a. tõestatud teoreem algarvude kohta aritmeetilises jadas, mida me siinkohal ei tõesta. Teoreem.5 (Dirichlet. Kui a ja b on naturaalarvud ja (a, b = 1, siis aritmeetilises jadas on lõmata alju algarve. Lihtne on tõestada järgmist tulemust. a, a + b, a + b, a + 3b,... Lause.6. Igas aritmeetilises jadas on lõmata alju kordarve. Tõestus. Vaatleme aritmeetilist jada a, a + b, a + b,... = (a + kb k N {0}, a, b N. Kui kõik selle jada liikmed on kordarvud, siis on väide ilmne. Kui aga leidub l N {0} nii, et a + lb =, kus on algarv, siis iga m N korral on a + (l + mb = a + lb + mb = (1 + mb kordarv ja seega jada (a + kb k N {0} sisaldab lõmata alju kordarve aastal õnnestus briti matemaatikul Ben Greenil (sünd ja austraalia matemaatikul Terence Taol (sünd tõestada, et iga naturaalarvu n korral leidub aritmeetiline jada ikkusega n, mis koosneb algarvudest. Näiteks n = 3 ja n = 4 korral on sellisteks jadadeks 3, 5, 7 ja 51, 57, 63, 69. 1

13 .3. Algarvude jaotus Et algarvude hulk on lõmatu, oleks huvitav teada, kuidas nad aiknevad teiste naturaalarvude seas. Järjestikuste algarvude vahe võib olla väike, nagu näiteks aaride 11 ja 13, 17 ja 19 või ja korral. Selliseid järjestikuste algarvude ja + aare nimetatakse algarvukaksikuiks. Kas selliseid aare on lõmata alju või mitte, ei ole teada. Samas võivad kaks järjestikust algarvu olla teineteisest kuitahes kaugel. Täsemalt, iga naturaalarvu n korral leidub n järjestikust kordarvu. Nendeks on näiteks (n + 1! +, (n + 1! + 3,..., (n + 1! + (n + 1. Kui tahame saada näiteks nelja järjestikust kordarvu, võime võtta 5! + = 1 = 61 5! + 3 = 13 = ! + 4 = 14 = ! + 5 = 15 = 5 5. Loomulikult on ka väiksemate järjestikuste kordarvude nelikuid, nt. 4, 5, 6, 7 või 3, 33, 34, 35. Järgmine teoreem ütleb, et naturaalarvule n järgnevat algarvu ei ea siiski väga kaugelt otsima. Teoreem.7 (Tšebõšov. Kui n > 3 on naturaalarv, siis n ja n vahel leidub vähemalt üks algarv. Selle teoreemi tõestas esimesena a. vene matemaatik Pafnuti Tšebõšov ( Hüoteesina sõnastas selle väite a. rantsuse matemaatik Joseh Bertrand ( ning seetõttu kutsutakse seda väidet vahel ka Bertrand i ostulaadiks. Tegelikult kehtib isegi tugevam väide. Teoreem.8. Kui n > 5 on naturaalarv, siis n ja n vahel leidub vähemalt kaks erinevat algarvu. Veel on loomulik küsida, et kui alju on antud naturaalarvust väiksemaid algarve. Naturaalarvu n korral olgu π(n kõigi arvust n väiksemate algarvude arv. Täset valemit π(n arvutamiseks ole. Mitmed matemaatikud leidsid roovides, et suurte naturaalarvude korral on π(n ligikaudu võrdne avaldisega n/ ln(n. Ja tõeoolest, aastal õnnestus rantsuse matemaatikuil Jacues Hadamard il ( ja Charles de la Vallé Poussinil ( teineteisest sõltumatult tõestada, et lim n π(n n/ ln(n = 1. Sajandeid on matemaatikud otsinud valemit, mille järgi saaks välja arvutada kõik algarvud. Kui see ei õnnestu, siis vähemalt leida selline funktsioon, mille määramisiirkond oleks naturaalarvude hulk ja muutumisiirkond oleks algarvude hulga mingi alamhulk. Keskajal oli laialt levinud arvamus, et ruutfunktsioon f(n = n + n + 41 omandab vaid algarvulisi väärtusi. Tegelikult see muidugi nii ei ole, sest n = 40 ja n = 41 korral saame vastavalt f(40 = = 41 ja f(41 = = Järgmine väärtus f(4 = 1747 osutub jälle algarvuks. Pole teada, kas funktsioonil f on lõmata alju algarvulisi väärtusi. See, et n = 40 ja n = 41 korral saime kordarvud, olnud sugugi juhuslik. Kehtib üldisem teoreem, mille tõestamisel kasutame järgmist fakti (vt. [1], lause Lause.9. n-nda astme ühemuutuja olünoomil üle nullitegureita kommutatiivse ringi ei ole selles ringis rohkem kui n juurt. Teoreem.10 (Euler. Ühegi täisarvuliste kordajatega mittekonstantse ühemuutuja olünoomi väärtused ei ole kõigi muutuja naturaalarvuliste väärtuste korral algarvud. Tõestus. Oletame vastuväiteliselt, et leidub mittekonstantne olünoom f(x = a m x m + a m 1 x m a x + a 1 x + a 0, kus a 0,..., a m Z, mille väärtus iga naturaalarvu n korral on algarv. Siis muuhulgas f(1 = a m a 0 = on algarv. Kui t N, siis kasutades Newtoni binoomvalemit saame f(1 + t = a m (1 + t m a 1 (1 + t + a 0 = (a m a 1 + a 0 + g(t = + g(t = (1 + g(t, 13

14 kus g(x on täisarvuliste kordajatega olünoom muutuja x suhtes. Järelikult f(1 + t, millest eelduse tõttu saame, et f(1 + t = iga t N korral. Seega täisarvuliste kordajatega mittekonstantsel olünoomil f(x on lõmata alju täisarvulisi juuri, mis on vastuolus lausega a. tõestas William H. Mills, et leidub selline ositiivne reaalarv θ = 1, (nn. Millsi konstant, et avaldise f(n = θ 3n väärtus, kus t tähistab reaalarvu t alumist täisosa, s.t. suurimat täisarvu, mis ei ole suurem kui x, on algarv iga n N korral. Funktsiooni f : N N esimesed väärtused on, 11, 1361, ,.... Ei ole teada, kas θ on ratsionaalarv. Kahjuks ei ole funktsioonist f raktilist kasu, sest θ täse väärtuse leidmiseks eaks eelnevalt teadma funktsiooni f kõiki väärtusi. Samuti on funktsiooni f muutumisiirkond algarvude hulga väga väike alamhulk..4. Aditiivseid robleeme Üheks kuulsamaks algarvude kohta käivaks lahendamata robleemiks on reisi matemaatiku Christian Goldbachi ( oolt kirjavahetuses šveitsi matemaatiku Leonhard Euleriga ( aastal 174 üstitatud hüotees. Hüotees.11 (Goldbach. Iga ositiivne aarisarv on esitatav summana a+b, kus nii a kui ka b on kas algarv või 1. Või natuke üldisemalt: kas iga -st suurem aarisarv on esitatav kahe algarvu summana? On lihtne näha, et väikeste aarisarvude korral see tõesti nii on: = = + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Kui Goldbachi hüotees eaks aika idama, siis saab iga 5-st suurema aaritu arvu esitada kolme aaritu algarvu summana. Nimelt, kui n on 5-st suurem aaritu arv, siis n 3 on aarisarv ja suurem kui. Kui n 3 saaks esitada kahe aaritu algarvu summana, siis n oleks kolme aaritu algarvu summa. Üheks märkimisväärsemaks Goldbachi hüoteesiga seotud tulemuseks on vene matemaatiku Ivan Vinogradovi ( teoreem aastast, kus ta tõestas, et leidub naturaalarv N (kaks aastat hiljem leiti, et N = e ee41,96 ; raeguseks teatakse, et iisab arvust N = e , millest suuremad aaritud arvud on esitatavad kolme algarvu summana. Sellest järeldub, et kõik iisavalt suured aarisarvud on esitatavad ülimalt 4 aaritu algarvu summana. Goldbachi robleem kuulub arvuteooria valdkonda, mida nimetatakse aditiivseks (s.o. liitmisega seotud arvuteooriaks. Veel tuntum kui Goldbachi robleem on aga järgmine aditiivse arvuteooria tulemus. Teoreem.1 (Fermat suur teoreem. Kui n 3 on naturaalarv, siis võrrandil ei ole mittetriviaalseid ratsionaalarvulisi lahendeid. x n + y n = z n (5 Triviaalseks loetakse lahendit, mille vähemalt üks komonent on 0. Sellise hüoteesi üstitas juba aastate lõus rantsuse matemaatik Pierre de Fermat ( Ta ise andis selle väite tõestuse juhul, kui n = 4. Kolme aastasaja kestel näitasid aljud matemaatikud Fermat teoreemi tõestust otsides, et võrrandil (5 ei ole lahendeid ikka suuremate ja suuremate astendajate korral. Korrektne tõestus üldjuhu jaoks õnnestus aga leida alles möödunud sajandi lõul. 3. juunil aastal teatas inglise matemaatik Andrew Wiles (sünd Cambridge is eetud loengus, et on tõestanud Fermat teoreemi. Tõestamiseks kasutas ta algebralise geomeetria vahendeid, muuhulgas ellitilisi kõveraid ja modulaarseid vorme. See tõestus, mille ta välja akkus, oli küll isut vigane, kuid ta suutis need vead arandada ning lõlikult ilmus tema töö ajakirja Annals of Mathematics a. mainumbris. 14

15 3. Kongruentsi mõiste ja lihtsamad omadused 3.1. Kongruentsi mõiste Kongruentsi mõiste võttis kasutusele saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss ( oma teoses Disuisitiones Arithmeticae (kirjutatud 1798, ilmunud 1801, mis ani aluse kaasaegsele arvuteooriale. Definitsioon 3.1. Olgu a, b Z ja n N. Öeldakse, et a ja b on kongruentsed mooduli n järgi (ja kirjutatakse a b (mod n, kui n b a, s.t. kui leidub selline k Z, et b = a + kn ehk a = b + ( kn. Näide (mod 5, sest 5 15 = 7 ehk = Kuna mooduli 1 järgi on kõik täisarvud aarikaua kongruentsed, siis see juhtum ei aku meile huvi. Edasidises eeldame kongruentsidest kõneldes, et moodul n on vähemalt. Lause 3.3. Mistahes täisarvude a ja b korral a b (mod n arajasti siis, kui a ja b annavad arvuga n jäägiga jagamisel sama jäägi. Tõestus. Tarvilikkus. Olgu a b (mod n, s.t. leidugu selline k Z, et b = a + kn. Jagades a arvuga n, saame mingi jäägi r: a = n + r, kus 0 r < n. Järelikult b = a + kn = (n + r + kn = ( + kn + r, mis tähendabki, et b annab arvuga n jagades sama jäägi r, mis a. Piisavus. Oletame, et a = 1 n + r ja b = n + r, kus 0 r < n. Siis b a = ( n + r ( 1 n + r = ( 1 n, kust saame, et n b a ehk a b (mod n. 3.. Jäägiklassid Lausest 3.3 järeldub vahetult järgmine kongruentsusseose omadus. Lause 3.4. Täisarvude kongruentsusseos on ekvivalentsusseos. Tähistame sümboliga a kõigi selliste täisarvude hulga, mis on kongruentsed täisarvuga a mooduli n järgi, s.o. a = {b Z a b (mod n} = {a + kn k Z}, ja nimetame selliseid hulki jäägiklassideks mooduli n järgi. Kongruentsusseose refleksiivsuse tõttu a a. Lause 3.5. Iga a, b Z korral a = b arajasti siis, kui a b (mod n. Tõestus. Tarvilikkus. Kui a = b, siis b a ja järelikult a b (mod n. Piisavus. Kui a b (mod n, siis b a. Iga c Z korral, kui c b, s.t. b c (mod n, siis kongruentsusseose transitiivsuse tõttu ka a c (mod n ja c a. Seega b a. Analoogiliselt kehtib a b ning järelikult a = b. Lause 3.6. Mooduli n järgi leidub täselt n erinevat jäägiklassi. Tõestus. Vaatleme jäägiklasse 0, 1,..., n 1 mooduli n järgi. Kui a Z ja a jagamisel arvuga n tekib jääk r, s.t. a = n + r, 0 r < n, siis a r (mod n ning lause 3.5 õhjal a = r. Seega iga jäägiklass mooduli n järgi on võrdne ühega jäägiklassidest 0, 1,..., n 1. Lause 3.3 tõttu iga i, j {0, 1,..., n 1} korral, kui i j, siis i j (mod n (sest i ja j annavad arvuga n jagades erinevad jäägid i ja j ning lause 3.5 tõttu siis ka i j, s.t. jäägiklassid 0, 1,..., n 1 on kõik erinevad Konguentsusseose omadused Kongruentsusseost võib vaadelda kui võrdusseose üldistust: kui täisarvud on võrdsed, siis on nad kongruentsed, kuid mitte tingimata vastuidi. Sellegioolest on kongruentsidel mitmed võrdustega sarnased omadused. Näiteks võib kongruentside vastavaid ooli omavahel liita ja korrutada. Lause 3.7. Kui a 1 b 1 (mod n ja a b (mod n, siis a 1 + a b 1 + b (mod n ja a 1 a b 1 b (mod n. Tõestus. Oletame, et n b 1 a 1 ja n b a. Siis n (b 1 a 1 +(b a = (b 1 +b (a 1 +a, s.t. a 1 +a b 1 +b (mod n. Et b 1 b a 1 a = b 1 (b a + a (b 1 a 1, siis n b 1 b a 1 a ning järelikult a 1 a b 1 b (mod n. 15

16 Järeldus 3.8. Kui f(x on täisarvuliste kordajatega olünoom ning a b (mod n, siis f(a f(b (mod n. Tõestus. Olgu f(x = a m x m +a m 1 x m a 1 x+a 0, kus a 0,..., a m Z, ning olgu a b (mod n. Kasutades lauset 3.7 saame, et iga i = 1,..., m korral a i b i (mod n. Kuna a i a i (mod n, siis jällegi lauset 3.7 kasutades saame, et a i a i a i b i (mod n iga i = 1,..., m korral. Siis aga ka f(a = a m a m + a m 1 a m a 1 a + a 0 a m b m + a m 1 b m a 1 b + a 0 = f(b (mod n. Näide 3.9. Näitame, et olünoomil x 117x + 31 ei ole täisarvulisi juuri. Vaatleme moodulit n =. Iga täisarvu a korral kas a 0 (mod või a 1 (mod ja seega, kui f(x on täisarvuliste kordajatega olünoom, siis järelduse 3.8 õhjal kas f(a f(0 (mod või f(a f(1 (mod. Kui f(x = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0, siis f(0 = a 0 ja f(1 = a m + a m a 1 + a 0. Järelikult, kui f(x Z [x] ning f(0 ja f(1 on mõlemad aaritud arvud (s.o. kongruentsed 1-ga mooduli järgi, siis olünoomil f(x ei ole täisarvulisi juuri, sest kui a Z oleks olünoomi f(x juur, siis oleks f(a = 0 0 (mod. Et 31 ja on aaritud arvud, siis olünoomil x 117x + 31 ei saa olla täisarvulisi juuri. Samamoodi ei saa täisarvulisi juuri olla ka näiteks olünoomidel x x + 1 ja 3x 3 + x + x + 3. Tõestame veel mõned kongruentsusseose omadused. Lause Iga täisarvu k 0 korral a b (mod n arajasti siis, kui ka kb (mod kn. Tõestus. Olgu k 0. Kasutades seda, et nullist erineva täisarvu võib võrduse mõlemalt oolelt taandada, saame a b (mod n n b a ( c Z(nc = b a ( c Z((knc = kb ka kn kb ka ka kb (mod kn. Lause Kui ka kb (mod n, siis a b (mod n (k,n. Tõestus. Kui d = (k, n, n = dn ja k = dk, siis järelduse 1.8 õhjal (n, k = 1. Kuna n kb ka, siis leidub selline c Z, et nc = kb ka. Asendades viimases võrduses n ja k saame võrduse dn c = dk b dk a. Et n 0, siis ka d 0 ning järelikult n c = k b k a. Sellest, et n k b k a = k (b a ja (n, k = 1, saame järeldust 1.9 kasutades, et n = n d b a, ehk a b (mod n d. Järeldus 3.1. Kui ka kb (mod n ja (k, n = 1, siis a b (mod n. Näide Sellest, et (mod 9 ja (3, 9 = 3, saame lause 3.11 õhjal, et 11 5 (mod 3. Sellest, et (mod 8 ja (5, 8 = 1, saame järelduse 3.1 õhjal, et 7 9 (mod Jaguvustunnused Näitena kongruentsusseose omaduste rakendamisest vaatame, kuidas nende abil tuletada jaguvustunnuseid. Lause Olgu n = a m 10 m + a m 1 10 m a a 0 = a m a m 1... a 1 a 0, kus 0 a i 9 ja a m 0 (s.o. n on arv, mille kümnendnumbreiks on a m,..., a 0. Siis 1. 3 n 3 a 0 + a a m ;. 9 n 9 a 0 + a a m ; n 11 a 0 a 1 + a... + ( 1 m a m. Tõestus. Vaatleme olünoomi f(x = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0. Siis n = f(10.. Kuna 10 1 (mod 9, siis järelduse 3.8 õhjal n = f(10 f(1 = a 0 + a a m (mod 9. Seega arvud n ja a 0 + a a m annavad 9-ga jagades sama jäägi, muuhulgas n jagub 9-ga (s.o. annab jäägi 0 arajasti siis, kui a 0 + a a m jagub 9-ga. Tunnuse 1 saab tõestada analoogiliselt. 3. Et 10 1 (mod 11, siis n = f(10 f( 1 = a 0 a 1 + a... + ( 1 m a m (mod 11, millest järeldubki, et n jagub 11-ga arajasti siis, kui a 0 a 1 + a... + ( 1 m a m jagub 11-ga. 16

17 4. Jäägiklassiringid 4.1. Jäägiklassiringid ja nende otsekorrutised Tähistame kõigi jäägiklasside hulka (mooduli n > 1 järgi sümboliga Z n, s.t. Z n = {a a Z} = { 0, 1,..., n 1 }. Selle hulga saame muuta kommutatiivseks ringiks (s.t. hulgaks, millel on defineeritud liitmis- ja korrutamistehe nii, et selle hulga elemendid rahuldavad tingimusi Z1 Z8 defineerides liitmise ja korrutamise võrdustega a + b = a + b, ab = ab, iga a, b Z n korral. Lausest 3.7 järeldub, et need definitsioonid on korrektsed, s.t. ei sõltu jäägiklasside esindajate valikust. Ringi definitsiooni tingimuste täidetus järeldub täisarvude vastavatest omadustest. Ringi Z n nimetatakse jäägiklassiringiks mooduli n järgi. Edasidises läheb vaja kahte lemmat. Lemma 4.1. Kui arvud n 1,..., n s, n N on sellised, et iga i = 1,..., s korral (n i, n = 1, siis (n 1... n s, n = 1. Tõestus. Oletame, et (n 1... n s, n = d > 1. Siis leidub selline algarv, et d ning seega n 1... n s ja n. Järelduse 1.11 õhjal eab leiduma selline i, et n i. Siis aga (n i, n, mis on vastuolus sellega, et (n i, n = 1. Lemma 4.. Kui arvud n 1,..., n s, a N on sellised, et iga i = 1,..., s korral n i a ja iga i, j {1,..., s}, i j, korral (n i, n j = 1, siis n 1... n s a. Tõestus. Tõestame selle väite induktsiooniga s järgi. Kui s = 1, siis on kõik korras. Oletame nüüd, et s > 1 ning et s 1 korral väide kehtib. Siis n 1... n s 1 a. Lemma 4.1 õhjal (n 1... n s 1, n s = 1. Järelikult teoreemi 1.7 õhjal leiduvad sellised täisarvud x ja y, et n 1... n s 1 x + n s y = 1. Korrutades viimase võrduse mõlemaid ooli arvuga a saame n 1... n s 1 ax + n s ay = a. Näeme, et n 1... n s jagab selle võrduse vasakut oolt ja seega eab jagama ka aremat oolt ehk arvu a. Viimasest lemmast saame teha ühe kasuliku järelduse. Järeldus 4.3. Olgu a täisarv ja olgu naturaalarv n = k ks s kui ki i a iga i {1,..., s} korral. Tõestus. Tarvilikkus on ilmne. Piisavus järeldub lemmast 4., sest i j korral > 1 antud standardkujul. Siis n a arajasti siis, ( ki i, kj j = 1. Näide 4.4. Teeme kindlaks, kas arv n = jagub 99-ga. Kuna 99 = 3 11, siis tänu järeldusele 4.3 iisab, kui kontrollida n jagumist 9 ja 11-ga. Et arvu n ristsumma (kõigi numbrite summa ( = 4 9 = 7 jagub 9-ga ja arv = 0 jagub 11-ga, siis lause 3.14 ja järelduse 4.3 õhjal n jagub 99-ga. Jäägiklassiringide uurimisel kasutame mõningaid ringide üldisi omadusi, andes ka nende omaduste tõestused üldjuhul. Meenutame, kuidas defineeritakse ringide R 1,..., R s otsekorrutis R 1... R s. Nimelt võetakse hulkade R 1,..., R s otsekorrutis R 1... R s = {(r 1,..., r s r i R i } ja defineeritakse sellel hulgal tehted komonentide kaua, s.t. (r 1,..., r s + (r 1,..., r s = (r 1 + r 1,..., r s + r s, (r 1,..., r s (r 1,..., r s = (r 1 r 1,..., r s r s. Tulemuseks on ring, mille nullelemendiks on (0,..., 0, kus elemendi (r 1,..., r s vastandelemendiks on element ( r 1,..., r s ning ühikelemendiks on (1,..., 1. Teoreem 4.5. Kui arvud n 1,..., n s N on aarikaua ühistegurita ja n = n 1... n s, siis ringid Z n ja Z n1... Z ns on isomorfsed. 17

18 Tõestus. Defineerime kujutuse f : Z n Z n1... Z ns järgmiselt: f(a = (a 1,..., a s, mistahes a Z n korral, kus a i on arvu a jäägiklass mooduli n i järgi. Veendume, et f on korrektselt defineeritud. Selleks oletame, et a = b, s.t. n b a. Et n i n, i = 1,..., s, siis jaguvusseose transitiivsuse tõttu n i b a, s.t. a i = b i ja (a 1,..., a s = (b 1,..., b s. Näitame, et f on injektiivne. Selleks oletame, et f(a = f(b, see tähendab, et (a 1,..., a s = ( b 1,..., b s. Siis a i = b i, millest järeldub, et n i b a iga i = 1,..., s korral. Et arvud n 1,..., n s on aarikaua ühistegurita, siis lemma 4. õhjal n b a ehk a = b. Sellest, et f on injektiivne ja Z n = n = n 1... n s = Z n1... Z ns, järeldub, et f on sürjektiivne. Arvestades, et tehted ringide otsekorrutisel on defineeritud komonenthaaval, saame, et f(a + b = f(a + b = ( a + b 1,..., a + b s = ( a1 + b 1,..., a s + b s = (a 1,..., a s + ( b 1,..., b s = f (a + f ( b ja analoogiliselt f ( ab = f (a f ( b. Lisaks sellele f(1 = (1 1,..., 1 s. Seega f on ringide isomorfism. Näide 4.6. Teoreemi 4.5 õhjal Z 1 = Z4 Z 3. Üheks isomorfismiks f : Z 1 Z 4 Z 3 on kujutus, mis on defineeritud tabeliga a f(a (0, 0 (1, 1 (, (3, 0 (0, 1 (1, (, 0 (3, 1 (0, (1, 0 (, 1 (3,. 4.. Jäägiklassiringi ööratavad elemendid Ringi elementi nimetatakse ööratavaks, kui tal leidub korrutamise suhtes öördelement. Kui ax = xa = 1 ringis R, siis elemente a ja x nimetatakse teineteise öördelementideks ja tihti kirjutatakse x = a 1 (või a = x 1. Ringi R kõigi ööratavate elementide hulka tähistatakse U(R, vahel ka R. Niisiis U(R = {a R ( x R(ax = xa = 1}. Kui U(R = R \ {0}, siis ringi R nimetatakse koruseks. Seega jäägiklassikorus on jäägiklassiring, mille iga nullelemendist (s.o. jäägiklassist 0 erinev element on ööratav. Lause 4.7. Ringi R ööratavate elementide hulk U(R on rühm korrutamise suhtes. Tõestus. Olgu a, b U(R. Siis leiduvad sellised x, y R, et ax = xa = 1 ja by = yb = 1. Järelikult (ab(yx = a(byx = ax = 1 ja (yx(ab = y(xab = yb = 1, s.t. ab U(R. Seega korrutamine on algebraline tehe hulgal U(R. Korrutamine on assotsiatiivne kogu ringil, seega ka hulgal U(R. Lisaks sellele 1 U(R ja U(R iga elemendi öördelement on samuti ööratav. Lause 4.8. Kui f : R S on ringide R ja S isomorfism, siis f(u(r = U(S. Seega kujutus U(R U(S, a f(a on rühmade isomorfism. Tõestus. Olgu a U(R, s.t. leidub x R, nii et ax = xa = 1. Näitame, et f(a U(S. Tõeoolest, f(af(x = f(ax = f(1 = 1 ja analoogiliselt f(xf(a = 1. Seega f(u(r U(S. Olgu nüüd u U(S, s.t. leidub v S nii, et uv = vu = 1. Kujutuse f sürjektiivsuse tõttu leiduvad a, b R nii, et f(a = u ja f(b = v. Seega f(1 = 1 = uv = f(af(b = f(ab. Kujutuse f injektiivsusest järeldub, et ab = 1. Analoogiliselt ba = 1, mis tähendab, et a U(R ja seega u = f(a f(u(r. Järelikult ka U(S f(u(r. Teoreemist 4.5 ja lausest 4.8 saame järgmise väite. Järeldus 4.9. Kui arvud n 1,..., n s N on aarikaua ühistegurita ja n = n 1... n s, siis rühmad U(Z n ja U(Z n1... Z ns on isomorfsed. Leiame ringi Z n ööratavad elemendid. 18

19 Teoreem Iga n > 1 korral U(Z n = {a Z n (a, n = 1}. Tõestus. Olgu a Z n ööratav, s.t. leidugu selline b, et 1 = a b = ab. Lause 3.5 õhjal tähendab see seda, et ab 1 (mod n. Järelikult leidub selline k Z, et ab = 1 + kn ehk ab kn = 1. Teoreemi 1.7 tõttu siis (a, n = 1. Seega U(Z n {a Z n (a, n = 1}. Tõestame vastuidise sisalduvuse. Olgu (a, n = 1. Siis teoreemi 1.7 õhjal leiduvad sellised x, y Z, et ax + ny = 1. Järelikult 1 = ax + ny = ax + ny = a x + 0 y = a x. See tähendab, et a on ööratav ja seega {a Z n (a, n = 1} U(Z n. Näide Ringi Z 9 ööratavate elementide hulk U(Z 9 = {a Z 9 (a, 9 = 1} = { 1,, 4, 5, 7, 8 }. Seejuures 1 1 = 1, 1 = 5 (ja seega 5 1 =, 4 1 = 7 ja 8 1 = 8. Näide 4.1. Tänu lausele 4.8 on rühm isomorfne rühmaga U(Z 1 = {1, 5, 7, 11} U(Z 4 Z 3 = {(1, 1, (1,, (3, 1, (3, }. Lause Jäägiklassiring Z n on korus arajasti siis, kui n on algarv. Tõestus. Tarvilikkus. Oletame, et Z n on korus, kuid n ei ole algarv, s.t. leiduvad sellised a, b N, 1 < a, b < n, et n = ab. Siis a b = n = 0, kuid a 0 ja b 0. Koruse igal nullist erineval elemendil on olemas öördelement. Korrutades võrduse a b = 0 mõlemad ooled elemendiga a 1 saame, et b = 0, vastuolu. Seega n on algarv. Piisavus. Olgu n algarv. Siis iga a Z korral kas (a, n = 1 või (a, n = n. Viimasel juhul n a ja a = 0. Seega kui a Z n \ { 0 }, siis (a, n = 1 ja a U(Z n. Kuna iga nullist erinev element on ööratav, siis Z n on korus. Definitsioon Ringi R elementi r 0 nimetatakse nulliteguriks, kui leidub teine selle ringi element s 0 nii, et rs = 0. Lause Jäägiklassiringi Z n iga element on kas 0, ööratav või nullitegur. Tõestus. Ilmselt väide kehtib, kui jäägiklassiring Z n sisaldab vaid nullelementi ja ööratavaid elemente (sel juhul on meil tegu jäägiklassikorusega. Oletame nüüd, et jäägiklassiringis Z n leidub nullist erinevaid mitteööratavaid elemente. Fikseerime vabalt ühe sellise, näiteks a Z n. Tõestuse lõetamiseks iisab, kui me näitame, et a on nullitegur. Kuna a ei ole ööratav, siis teoreemi 4.10 õhjal (a, n > 1 (juht (a, n = 0 ei ole võimalik, sest n > 0. Tähistame d = (a, n, n = n d ja a = a d. Paneme tähele, et d > 1 tõttu 1 n < n. Järelikult n 0. Samas a n = a d n = a dn = a n = a 0 = 0, ehk a on tõeoolest nullitegur. 19

20 5. Arvuteoreetilisi funktsioone 5.1. Euleri funktsioon Üks tähtsam arvuteoreetiline funktsioon on Euleri funktsioon, mis loetleb, kui alju on antud naturaalarvust väiksemaid ja selle arvuga ühistegurita naturaalarve. Definitsioon 5.1. Euleri funktsioon ϕ : N N defineeritakse võrdusega Kui n, siis (n, n = n > 1. Seega kui n, siis Silmas idades teoreemi 4.10 saame, et iga n korral ϕ(n = {x N 1 x n, (x, n = 1}. ϕ(n = {x N 1 x < n, (x, n = 1}. ϕ(n = U(Z n, s.t. ϕ(n on jäägiklassiringi Z n ööratavate elementide arv. Näide 5.. ϕ(30 = 8, sest naturaalarvude seas, mis ole suuremad kui 30, on 8 sellist, mis on 30-ga ühistegurita, nimelt 1, 7, 11, 13, 17, 19, 3 ja 9. Kui on algarv, siis kõik temast väiksemad naturaalarvud on temaga ühistegurita ja ka vastuidi, kui naturaalarvul ole ühest suuremaid ühiseid tegureid temast väiksemate naturaalarvudega, siis on ta algarv. Seega kehtib järgmine väide. Lause 5.3. Naturaalarv on algarv siis ja ainult siis, kui ϕ( = 1. Teame, et mistahes naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude astmete korrutisena. Püüame leida valemi, mille abil saaks leida ϕ(n, kui on teada arvu n standardkuju. Selleks leiame kõigeealt ϕ väärtuse algarvu astmetel. Lause 5.4. Kui on algarv ja k naturaalarv, siis ϕ( k = k k 1 = k 1 ( 1. Tõestus. Iga x N korral on (x, k > 1 arajasti siis, kui x. Arve x, mis jaguvad arvuga, on hulgas {1,,..., k } k 1 tükki: nimelt,, 3,..., ( k 1. Seega hulgas { 1,,..., k} on täselt k k 1 arvu, mis on arvuga k ühistegurita. Näide 5.5. ϕ(3 = = 3 1 (3 1 = 6. Need kuus 9-st väiksemat ja temaga ühistegurita arvu on 1,, 4, 5, 7, 8 (vt. ka näidet Lause 5.6. Mistahes ringide R 1,..., R s korral U(R 1... R s = U(R 1... U(R s. Selle võrduse vasakul oolel on rühm (vt. lauset 4.7 ja aremal oolel samuti: nimelt rühmade U(R 1,..., U(R s otsekorrutis, mis saadakse kui hulkade otsekorrutisel U(R 1... U(R s = {(u 1,..., u s u i U(R i } defineeritakse korrutamine komonenthaaval. Tõestus. Mistahes elementide r 1 R 1,..., r s R s korral (r 1,..., r s U(R 1... R s ( (r 1,..., r s R 1... R s [[(r 1,..., r s (r 1,..., r s = (r 1,..., r s(r 1,..., r s ] = (1,..., 1] ( (r 1,..., r s R 1... R s (r 1 r 1,..., r s r s = (r 1r 1,..., r sr s = (1,..., 1 ] ( (r 1,..., r s R 1... R s ( i {1,..., s} [r i r i = r i r i = 1 ( i {1,..., s} [r i U(R i ] (r 1,..., r s U(R 1... U(R s. 0

21 Teoreem 5.7. Kui n 1,..., n s on aarikaua ühistegurita naturaalarvud, siis ϕ(n 1... n s = ϕ(n 1... ϕ(n s (Euleri funktsioon on nõrgalt multilikatiivne. Tõestus. Tähistame n = n 1... n s. Kui n = 1, siis on väide ilmne. Olgu n > 1. Järelduse 4.9 ja lause 5.6 õhjal ϕ(n = U(Z n = U(Z n1... Z ns = U(Z n1... U(Z ns = U(Z n1... U(Z ns = ϕ(n 1... ϕ(n s. Teoreem 5.8. Kui n > 1 ja n = k ks s on naturaalarvu n standardkuju, siis ϕ(n = k ks 1 s ( ( s 1. Tõestus. Kuna 1,..., s on aarikaua erinevad algarvud, siis arvud k1 1,..., ks s on aarikaua ühistegurita ning seega teoreemist 5.7 ja lausest 5.4 järeldub, et ϕ(n = ϕ( k ϕ(ks s = k1 1 1 ( ks 1 s ( s 1 = k ks 1 s ( ( s 1. Näide 5.9. ϕ(360 = ϕ( = ( 1(3 1(5 1 = = 96, ϕ(01 = ϕ( 503 = 50 = Lause Kui n ja d on naturaalarvud ning d n, siis {x N 1 x n, (x, n = d} = ϕ ( n d. Tõestus. Tähistame {x N 1 x n, (x, n = d} = K. Siis hulka K kuuluvad arvud eavad jaguma arvuga d. Seega hulka K kuuluvad sellised naturaalarvud x = kd { d, d,..., n d d} = { kd k N, 1 k n d }, mis rahuldavad tingimust (kd, n = d. Järeldusest 1.8 saame, et võrdus (kd, n = d on samaväärne võrdusega (k, n d = 1. Seega hulga K elemente on niialju, kuialju on naturaalarve k, 1 k n d, mille korral ( k, n d = 1. See tähendab, et hulgas K on ϕ ( n d elementi. Teoreem 5.11 (Gauss. Iga naturaalarvu n korral ϕ(d = n. Tõestus. Olgu 1=d 1, d,..., d s =n arvu n kõik naturaalarvulised jagajad. Tähistame d n K i = {x N 1 x n, (x, n = d i }. Hulgad K 1,..., K s on lõikumatud ja s i=1 K i { = {1,,..., n}, sest iga a {1,,..., n} korral leidub selline i, et n (a, n = d i. Kasutades seda, et {d 1,..., d s } = d 1,..., n d s }, ning lauset 5.10, saame s n = K i = i=1 s K i = i=1 s ( n ϕ = i=1 d i s ϕ(d i. i=1 1

22 5.. Euleri teoreem Üks kasulikumaid Euleri funktsiooni rakendusi on järgmine tulemus, mida edasidi kutsume Euleri teoreemiks. Teoreem 5.1 (Euler. Kui a Z, n N ja (a, n = 1, siis a ϕ(n 1 (mod n. Tõestus. Vaatleme jäägiklassiringi Z n ööratavate elementide rühma (U(Z n,. Et (a, n = 1, siis teoreemi 4.10 õhjal a U(Z n. Olgu m elemendi a järk rühmas U(Z n, s.t. tema oolt tekitatud alamrühma a järk, s.o. vähim selline naturaalarv, et a m = 1 ([1], def Kuna lõliku rühma elemendi järk jagab Lagrange i teoreemi tõttu rühma järku, siis m U(Z n = ϕ(n, s.t. leidub selline k N, et mk = ϕ(n. Seega rühmas U(Z n Järelikult lause 3.5 õhjal a ϕ(n 1 (mod n. a ϕ(n = a ϕ(n = a mk = (a m k = 1 k = 1. Euleri teoreem annab ühe võimaluse rühma U(Z n elemendi a öördelemendi a 1 leidmiseks. Nimelt võrdusest 1 = a ϕ(n = a a ϕ(n 1 järeldub, et a 1 = a ϕ(n 1. (6 Arvutuslikult on öördelemendi leidmiseks siiski otstarbekam kasutada Eukleidese algoritmi. Järeldusena Euleri teoreemist ja lausest 5.3 saame Fermat väikese teoreemi. Teoreem 5.13 (Fermat väike teoreem. Kui on algarv ja a on täisarv, mis ei jagu arvuga, siis a 1 1 (mod. Järeldus Kui on algarv, siis iga täisarvu a korral a a (mod. Tõestus. Kui a, siis a 0 a (mod. Kui a, siis Fermat väikse teoreemi tõttu a 1 1 (mod, millest järeldub, et a a (mod. Näide Euleri teoreemi rakendusena leiame näiteks arvu 3 56 kaks viimast numbrit. Selleks tuleb leida jääk, mis tekib arvu 3 56 jagamisel 100-ga, s.o. vähim mittenegatiivne täisarv, millega 3 56 on kongruentne mooduli 100 järgi. Kuna (3, 100 = 1 ja ϕ(100 = ϕ( 5 = 5 4 = 40, siis Euleri teoreemi õhjal (mod 100. Et 56 = , siis 3 56 = = ( (mod 100. Seega jääb veel vaid leida, millega on 3 16 kongruentne mooduli 100 järgi: Järelikult arv 3 56 lõeb numbritega ja = 81 4 ( 19 4 = (mod Möbiuse funktsioon Möbiuse funktsioon on oma nime saanud saksa matemaatiku August Ferdinand Möbiuse ( järgi, kes võttis selle funktsiooni kasutusele a. Definitsioon Möbiuse funktsioon µ : N Z defineeritakse võrdusega 1, kui n = 1, µ(n = 0, kui leidub algarv nii, et n, ( 1 s, kui n = 1... s, kus 1,..., s on aarikaua erinevad algarvud. Teoreem Kui n N, siis µ(d = d n { 1 1, kui n = 1, = n 0, kui n > 1.

23 Tõestus. Kui n = 1, siis on väide ilmne. Olgu n > 1 ja esitame ta standardkujul n = k ks s. Summasse d n µ(d tulevad nullist erinevad liidetavad ainult d = 1 ja selliste jagajate d korral, mis on erinevate algarvude korrutised. Seega µ(d = µ(1 + µ( µ( s + µ( µ( s 1 s µ( 1... s d n = 1 + ( s ( ( s ( Euleri ja Möbiuse funktsioon on seotud järgmise valemi abil. ( s ( 1 s = (1 1 s = 0. s Teoreem 5.18 (Möbiuse inversioonivalem. Iga naturaalarvu n korral ϕ(n = d n µ(d n d. Tõestus. Euleri funktsiooni definitsiooni õhjal on ilmne, et ϕ(n = n k=1 Kasutades teoreemi 5.17, kus n osas on võetud (n, k, saame ϕ(n = n k=1 d (n,k 1. (n, k µ(d = n µ(d. Kui fikseerida arvu n jagaja d, siis tuleb arvu µ(d liita iseendale niimitu korda, kuialju on hulgas {1,,..., n} arvu d kordseid. Kuna neid on n d tükki, siis n d ϕ(n = µ(d = d n i=1 d n µ(d k=1 n d d n d k i=1 1 = d n µ(d n d Teisi funktsioone Definitsioon Kui n on naturaalarv, siis tähistagu τ(n arvu n kõigi naturaalarvuliste jagajate arvu ning σ(n arvu n kõigi naturaalarvuliste jagajate summat. Näide 5.0. Kuna arvu 1 naturaalarvulisteks jagajateks on 1,, 3, 4, 6 ja 1, siis τ(1 = 6 ja σ(1 = = 8. Kui on teada arvu n lahutus algtegureiks, siis järgmine teoreem annab lihtsa võimaluse funktsioonide τ ja σ arvutamiseks. Teoreem 5.1. Kui n > 1 ja n = k1 1 k... ks s 1. on arvu n standardkuju, siis τ(n = (k 1 + 1(k (k s + 1;. σ(n = k k ks+1 s 1 s 1. 3

24 Tõestus. 1. Tänu lausele 1.0 on arvu n jagajaiks need ja ainult need arvud, millel on kuju l ls s, kus 0 l i k i, i = 1,..., s. Aritmeetika õhiteoreemi tõttu annavad erinevad astendajate komlektid (l 1,..., l s erinevad n jagajad. Astendaja l 1 valikuks on k võimalust, astendaja l valikuks on k + 1 võimalust jne. Seega on arvul n kokku (k 1 + 1(k (k s + 1 erinevat jagajat.. Et leida σ(n väärtust, vaatleme korrutist ( k1 1 ( k... (1 + s + s ks s. Kui sulud avada, siis saadavas summas esineb arvu n iga naturaalarvuline jagaja täselt ühe korra, seega σ(n = ( k (1 + s + s ks s. Kasutades geomeetrilise jada summa valemit saame, et iga i = 1,..., s korral millest järeldubki väide. 1 + i + i ki i = ki+1 i 1 i 1, Funktsiooniga σ on seotud huvitav lahendamata robleem. Naturaalarvu n nimetatakse täiuslikuks, kui σ(n = n. Näiteks arvud 6 ja 8 on täiuslikud. Üldisemalt, kui m 1 on algarv, siis n = m 1 ( m 1 on täiuslik. Selle tõestas juba Eukleides. Euler näitas, et mistahes aarisarvuline täiuslik arv on sellisel kujul. Seega aarisarvuliste täiuslike arvude leidmise robleem taandub algarvude m 1 otsimisele. Selliseid algarve nimetatakse Mersenne i algarvudeks. Praeguse seisuga (1. veebruar 01 on teada 47 Mersenne i algarvu, neist suurim on , millel on kümnendnumbrit. Otsingud jätkuvad (vt. ka htt:// Lahendamata on robleemid: kas leidub lõmata alju täiuslikke arve ja kas leidub mõni aaritu täiuslik arv. 4

25 kus 6. Tundmatut sisaldavad kongruentsid. Hiina jäägiteoreem. Vaatleme tundmatut x sisaldavaid kongruentse kujul 6.1. Ülesande üstitusest f(x 0 (mod n, (7 f(x = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 (8 on täisarvuliste kordajatega olünoom muutuja x suhtes ja a m 0 (mod n. Kui m = 1, siis kõneldakse lineaarkongruentsidest, kui m =, siis ruutkongruentsidest, jne. Ütleme, et täisarv x 0 on kongruentsi (7 lahend, kui f(x 0 0 (mod n. Kui mingi täisarv x 0 on kongruentsi (7 lahend, siis tänu järeldusele 3.8 on ka kõik arvuga x 0 mooduli n järgi kongruentsed arvud selle kongruentsi lahendid. Seeärast loeme kongruentsi (7 lahendiks tervet jäägiklassi x 0 Z n ja lahendit märgime ka järgmiselt: x x 0 (mod n. See, et f(x 0 0 (mod n on lause 3.5 tõttu samaväärne sellega, et f(x 0 = 0 ringis Z n. Arvestades seda, kuidas on defineeritud liitmine ja korrutamine jäägiklassiringis, on viimane samaväärne sellega, et f(x 0 = 0, kus f(x = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 on olünoom kordajatega ringist Z n. Seega kongruentsi (7 lahendamine on samaväärne võrrandi f(x = 0 (9 lahendamisega jäägiklassiringis Z n. Et mooduli n järgi on olemas täselt n jäägiklassi, siis võrrandi (9 (ja seega ka kongruentsi (7 lahendid saame kätte, kui lihtsalt roovime läbi kõik n jäägiklassi. Väikese mooduli n korral ei ole see liiga raske, kuid suure n korral on roovimismeetod arvutuslikult äärmiselt ebaefektiivne. Näide 6.1. Lahendame roovimismeetodil kongruentsi Proovime kõiki jäägiklasse 0, 1,, 3, 4 mooduli 5 järgi: 3x 4 + x 1 0 (mod = 4 0, = = 4 0, = = 10 = 0, = = 10 = 0, = = 4 0. Näeme, et antud kongruentsi lahendeiks on jäägiklassid ja 3 mooduli 5 järgi, ehk isut teistmoodi kirjaanduna võime lahendi esitada kujul x (mod 5, x 3 (mod 5. Märgime, et f(x 0 leidmiseks võib kasutada ka Horneri skeemi. Näiteks skeemi = = = = 0 abil näeme, et on eesoolvaadeldud kongruentsi lahend. 6.. Lineaarkongruentsid Kõige lihtsamad kongruentsid on lineaarkongruentsid, need on kongruentsid kujul ax b (mod n, (10 kus a 0 (mod n. Osutub, et sellel kongruentsil võib olla üks, mitu või mitte ühtegi lahendit. 5

26 Lause 6.. Lineaarkongruents (10 omab lahendit arajasti siis, kui (a, n b. Kui d = (a, n b, siis sellel kongruentsil on d lahendit. Need on kus n = x 0, x 0 + n, x 0 + n,..., x 0 + (d 1n, (11 n (a,n = n d ja x 0 Z n on selle kongruentsi mingi (erilahend. Tõestus. Olgu d = (a, n, n = n d ja a = a d. Kui x 0 on lahend, siis leidub selline täisarv k, et b = ax 0 +kn. Kuna d jagab viimase võrduse aremat oolt, siis ka d b. Vastuidi, oletame, et d b ning olgu b = db, b Z. Teoreemi 1.7 õhjal leiduvad sellised täisarvud x 0 ja y 0, et ax 0 + ny 0 = d. Korrutame võrduse mõlemad ooled arvuga b. Siis a(x 0b + n(y 0b = b. Võttes x 0 = x 0b saame, et ax 0 b (mod n. Sellega on näidatud, et kongruents (10 on lahenduv arajasti siis, kui d b. Oletame nüüd, et d b, s.t. leidub selline b Z, et db = b, ning olgu x 0 kongruentsi (10 mingi lahend. Näitame, et jäägiklassid (11 on kongruentsi (10 lahendid. Tõeoolest, iga k {0,..., d 1} korral a(x 0 + kn = ax 0 + a dkn b + a kn b (mod n. Näitame, et lahendid (11 on kõik erinevad. Selleks oletame vastuväiteliselt, et x 0 + in = x 0 + jn, 0 i < j d 1, s.t. x 0 + in x 0 + jn (mod n. Siis n (x 0 + jn (x 0 + in = (j in, mis aga ole võimalik, sest 0 < (j in < dn = n. Lõetuseks näitame, et kongruentsi (10 mistahes lahend x 1 on võrdne ühega lahendeist (11. Sellest, et ax 0 b (mod n ja ax 1 b (mod n, järeldub kongruentside vastavaid ooli lahutades, et a(x 1 x 0 0 (mod n, mis tähendab, et a(x 1 x 0 = kn mingi k Z korral. Jagades viimase võrduse mõlemaid ooli arvuga d saame, et a (x 1 x 0 = kn. Kuna järelduse 1.8 tõttu (a, n = 1, siis järelduse 1.9 õhjal n x 1 x 0, s.t. leidub selline l Z, et x 1 x 0 = ln ehk x 1 = x 0 + ln. Lause 1.6 õhjal leiduvad selised, r Z, et l = d + r ja 0 r < d. Järelikult x 1 = x 0 + (d + rn = x 0 + n + rn x 0 + rn (mod n, mis tähendab, et x 1 on võrdne ühega lahendeist (11. Märkus 6.3. Kongruentsi a x b (mod n lahend on lause 3.10 tõttu ka kongruentsi ax b (mod n lahend. Seega kongruentsi ax b (mod n mingi erilahendi leidmiseks iisab leida kongruentsi a x b (mod n mingi lahend. Järeldus 6.4. Kongruents (10 on üheselt lahenduv arajasti siis, kui (a, n = 1. Näide 6.5. Lahendame kongruentsi 5x 3 (mod 16. Selle kongruentsi lahendamine on samaväärne võrrandi 5x = 3 lahendamisega ringis Z 16. Kuna (5, 16 = 1, siis 5 U(Z 16 ja seega saame x leida korrutades selle võrrandi mõlemaid ooli elemendiga 5 1. Et rühma elemendi öördelement on üheselt määratud, siis ka x on üheselt määratud (sedasama väidab meile ka järeldus 6.4. Leiame 5 1 ringis Z 16. Valemi (6 abil saame ( 5 1 = 5 ϕ(16 1 = 5 7 = = 9 5 = = 9 5 = 3 = 13 ja seega Kontrollime: (mod 16. x = = 3 3 = 9 = Hiina jäägiteoreem Selles unktis vaatleme lineaarkongruentside süsteemide lahendamist. Selliseid süsteeme vaadeldi Hiinas juba 3. sajandil. Põhitulemus on järgmine. Teoreem 6.6 (Hiina jäägiteoreem. Olgu a 1,..., a s täisarvud, n 1,..., n s aarikaua ühistegurita naturaalarvud ja n = n 1... n s. Siis kongruentside süsteemil on olemas ühene lahend mooduli n järgi. x a 1 (mod n 1... x a s (mod n s (1 6

27 Anname sellele teoreemile kaks erinevat tõestust. Tõestus 1. Kui n 1,..., n s on aarikaua ühistegurita, siis teoreemi 4.5 tõestuse õhjal kujutus f : Z n Z n1... Z ns, f(b = ( b 1,..., b s, kus bi on arvu b jäägiklass mooduli n i järgi, on ringide isomorfism. Vaatleme elementi ((a 1 1,..., (a s s Z n1... Z ns (siin (a i i on arvu a i jäägiklass mooduli n i järgi. Kujutuse f sürjektiivsusest järeldub, et leidub selline a Z, et f(a = ((a 1 1,..., (a s s. Teiselt oolt aga vastavalt f definitsioonile f(a = (a 1,..., a s. Seega (a i i = a i, i = 1,..., s. See tähendab, et iga i korral a a i (mod n i ning järelikult x = a ongi süsteemi (1 lahend. Veendume, et see lahend on ühene mooduli n järgi. Olgu ka b süsteemi (1 lahend. Siis b a i (mod n i iga i korral, s.t. b i = (a i i ning f(a = ((a 1 1,..., (a s s = ( b 1,..., b s = f(b. Kujutuse f injektiivsuse tõttu a = b, ehk a b (mod n. Tõestus. Leiame iga i = 1,..., s korral arvu m i = n n i = j i n j. Kuna (n j, n i = 1, kui j i, siis lemma 4.1 õhjal ka (m i, n i = 1. Seega m i U(Z ni. Iga i = 1,..., s korral leiame elemendi m i öördelemendi ringis Z ni ki = mi 1 U(Z ni, s.t. sellise k i Z, et k i m i = 1 ehk k i m i 1 (mod n i. Tähistame s x = a j k j m j. j=1 Siis x = s j=1 a jk j m j a i k i m i a i (mod n i iga i = 1,..., s korral, sest j i korral n i m j. Seega x on süsteemi (1 lahend. Kui ka y on süsteemi (1 lahend, siis iga i = 1,..., s korral x a i y (mod n i ning kuna n 1,..., n s on aarikaua ühistegurita, siis lemma 4. õhjal x y (mod n. Näide 6.7. Lahendame lineaarkongruentside süsteemi 3x 4 (mod 7 x 1 (mod 5 x 4 (mod 3. Selleks lahendame esialgu iga kongruentsi eraldi. Et ringis Z 7 on 3 1 = 5, siis x (mod 7. Kuna ringis Z 5 on 1 = 3, siis x 3 1 = 3 (mod 5. Lisaks sellele x 4 (mod 3 arajasti siis, kui x 1 (mod 3. Seega tuleb lahendada esialgsega samaväärne kongruentside süsteem x 6 (mod 7 x 3 (mod 5 x 1 (mod 3. Selle süsteemi lahendi saame kätte Hiina jäägiteoreemi abil. Selleks tähistame m 1 = 15, m = 1, m 3 = 35 ning leiame, et ringis Z 7 k 1 = m 1 1 = 1 1 = 1, ringis Z 5 k = m 1 = 1 1 = 1 ja ringis Z 3 k 3 = m 1 3 = 1 =. Seega x = = = 3 ja x 13 (mod 105. Näide 6.8. Lahendame järgmise ülesande, mis on ärit india matemaatikult Brahmagutalt ( Kui võtta korvist mune, 3, 4, 5 või 6 kaua, siis jääb lõuks järgi vastavalt 1,, 3, 4 või 5 muna. Kui võtta korvist mune 7 kaua, siis ei jää lõuks ühtegi muna üle. Leida vähim võimalik munade arv korvis. Kui otsitav munade arv tähistada tähega x, siis saame x leidmiseks järgmise kongruentside süsteemi: x 1 (mod x (mod 3 x 3 (mod 4 x 4 (mod 5 x 5 (mod 6 x 0 (mod 7. 7

28 Lihtne on näha, et selle süsteemi kaks esimest kongruentsi on järelduseks ülejäänutest. Seetõttu on see süsteem samaväärne oma alamsüsteemiga x 3 (mod 4 x 5 (mod 6 x 4 (mod 5 x 0 (mod 7. Paneme tähele, et siin ei ole moodulid ühistegurita ning seega ei saa lahendada nii nagu eelmises ülesandes. Selle ülesande saab siiski lahendada kasutades järgmist meetodit (lahendame n.ö. järk-järgult. See seisneb selles, et iga järgmise kongruentsi lahendeid otsitakse vaid kõigist eelnevatest kongruentsidest koosneva osasüsteemi lahendite hulgast. Igal sammul tuleb siinjuures lahendada teatud lineaarkongruents. Selle lahendite uudumine toob kaasa kogu süsteemi mittelahenduvuse. Lineaarkongruentside lahendite olemasolu kõigil etaidel tagab süsteemi lahendi olemasolu. Vastus jääb mooduli järgi, mis on antud moodulite vähim ühiskordne. Esimese kongruentsi lahendeiks on kõik täisarvud kujul x = 4t + 3, t Z. Leiame nende hulgas need, mis rahuldavad ka teist kongruentsi. Asendades saame 4t+3 5 (mod 6, kust t 1 (mod 3 ja seega t (mod 3. Niisiis t = 3u +, u Z, ja x = 1u (Seega x 11 (mod 1 ja edasi võiks õhimõtteliselt kasutada Hiina jäägiteoreemi, kuid jätkame siin siiski sama meetodiga. Otsime selliste arvude hulgast neid, mis rahuldavad ka kolmandat kongruentsi. Nende korral 1u (mod 5, kust saame u 1 (mod 5. Seega u = 5v 1, v Z, ja x = 60v 1. Viimasesse kongruentsi asendades saame 60v 1 0 (mod 7 ehk 4v 1 (mod 7, kust v (mod 7. Seega v = 7w +, w Z, ja x = 40w Järelikult vähim võimalik munade arv korvis on 119. Uurime, kuidas lahendada kongruentse 6.4. Kongruentsid algarvu astme järgi f(x 0 (mod k, (13 kus f(x on olünoom kujul (8, on algarv ja k on naturaalarv. Oletame, et meil on mingil viisil (nt. roovimismeetodil, üldjuhul aremat meetodit olegi leitud kongruentsi f(x 0 (mod (14 kõik lahendid. Kui x 0 Z on selle kongruentsi mingi lahend, siis iga täisarvu y korral f(x 0 + y f(x 0 0 (mod. Paneme tähele, et kongruentsi f(x 0 (mod (15 iga lahend on ka kongruentsi (14 lahend (kuid vastuidine üldjuhul ei kehti. Seetõttu tuleks kongruentsi (15 lahendite saamiseks eraldada kongruentsi (14 lahendite hulgast välja need, mis rahuldavad kongruentsi (15, s.t. kongruentsi (14 iga lahendi x 0 = {x 0 + y y Z} Z korral tuleks leida kõik sellised täisarvud y, mille korral f(x 0 + y 0 (mod. Kuna Newtoni binoomvalemi õhjal f(x 0 + y = a m (x 0 + y m + a m 1 (x 0 + y m a (x 0 + y + a 1 (x 0 + y + a 0 ( ( ( m m 1 a m x m 0 + a m x m 1 0 y + a m 1 x m a m 1 x m 0 y a x 0 + a x 0 y + a 1 x 0 + a 1 y + a = (a m mx m a m 1 (m 1x m a x 0 + a 1 y + f(x 0 = f (x 0 y + f(x 0 (mod, siis tuleks leida lineaarkongruentsi f (x 0 y + f(x 0 0 (mod (tundmatu y suhtes lahendid. Kuna x 0 on kongruentsi (14 lahend ehk f(x 0, siis lause 3.10 õhjal on viimane kongruents samaväärne kongruentsiga f (x 0 y + f(x 0 0 (mod. (16 Kui kongruentsi (16 lahendiks on jäägiklass y 0 Z, s.t. kõik täisarvud y = y 0 + z, z Z, siis kongruentsi (14 rahuldavatest arvudest x 0 + y rahuldavad kongruentsi (15 arvud kujul x = x 0 + (y 0 + z = x 1 + z, kus x 1 = x 0 + y 0 ja z Z. Eraldame viimaste hulgast välja arvud, mis rahuldavad kongruentsi f(x 0 (mod 3. 8

29 Selleks tuleb leida kõik täisarvud z, mille korral f(x 1 + z 0 (mod 3. Kasutades jällegi Newtoni binoomvalemit saame f(x 1 + z = a m (x 1 + z m + a m 1 (x 1 + z m a (x 1 + z + a 1 (x 1 + z + a 0 ( ( m a m x m 1 + a m x m 1 1 z a x 1 + a x 1 z + a 1 x 1 + a 1 z + a (a m mx m a x 1 + a 1 z + f(x 1 = f (x 1 z + f(x 1 (mod 3. Kuna x 1 on kongruentsi (15 lahend, siis f(x 1 ja seega tuleb lahendada lineaarkongruents f (x 1 z + f(x 1 0 (mod tundmatu z suhtes. Analoogiliselt jätkame, kuni saame kätte kongruentsi (13 lahendid. Näide 6.9. Lahendame kongruentsi Selle kongruentsi lahendamiseks lahendame kõigeealt kongruentsi ehk 4x 3 + 7x 7x 10 0 (mod 3. (17 4x 3 + 7x 7x 10 0 (mod 3 x 3 + x x 1 0 (mod 3. Et järelduse 5.14 tõttu mistahes x korral x 3 x (mod 3, siis viimane kongruents on samaväärne kongruentsiga x 1 0 (mod 3, mille lahendeiks on x 1 1 (mod 3 ja x 1 (mod 3. Seega eame kongruentsi (17 lahendamiseks vaatlema eraldi kahte juhtu. Otsime kongruentsi (17 lahendit kujul x = 1 + 3y. Kuna olünoomi f(x = 4x 3 + 7x 7x 10 tuletis on f (x = 1x + 14x 7, f(1 = 6 ning f (1 = 19 1 (mod 3, siis tuleb lahendada lineaarkongruents 1 y (mod 3. Selle kongruentsi ainus lahend on y (mod 3 ehk arvud y = + 3z, z Z. Seega kongruentsi (17 lahendeiks on arvud x = 1 + 3( + 3z = 7 + 9z, z Z, ehk x 7 (mod 9. Otsime nüüd kongruentsi (17 lahendit kujul x = 1 + 3y. Arvutades f( 1 = 0 ja f ( 1 = 9 0 (mod 3 saame kongruentsi 0 y (mod 3, 3 mis on rahuldatud iga y korral, s.t. y 0, 1, (mod 3. Järelikult kongruentsi (17 lahendeiks on veel x (mod 9, x 5 (mod 9 ja x 8 (mod Kongruentsid suvalise mooduli järgi Vaatleme kongruentsi f(x 0 (mod n lahendamist üldjuhul. Olgu moodul n = k ks s antud standardkujul. Järeldusest 4.3 tuleb välja, et selle kongruentsi saame asendada teatava kongruentside süsteemiga. Lause Kongruents on samaväärne kongruentside süsteemiga (s.t. neil on samad lahendid. f(x 0 (mod k ks s (18 f(x 0 (mod k f(x 0 (mod ks s (19 9

30 Oletame, et iga i = 1,..., s korral on leitud kongruentsi f(x 0 (mod ki i mingi lahend a i. Siis lineaarkongruentside süsteemi x a 1 (mod k (0 x a s (mod ks s iga lahend on järelduse 3.8 õhjal ka süsteemi (19 lahend. Ka vastuidi, kui x 0 on süsteemi (19 lahend, siis ta on iga i = 1,..., s korral mooduli ki i järgi kongruentne kongruentsi f(x 0 (mod ki i lahendiga x 0, s.o. rahuldab süsteemi (0, kus a 1 =... = a s = x 0. Niisiis, kui me oskaksime lahendada kongruentse f(x 0 (mod ki i, siis süsteemi (19 (ja seega kongruentsi (18 kõik lahendid saame, kui lahendame Hiina jäägiteoreemi abil kõikvõimalikud süsteemid (0, kus iga i = 1,..., s korral a i on kongruentsi f(x 0 (mod ki i mingi lahend. Kui r i on kongruentsi f(x 0 (mod ki i lahendite arv, siis selliseid süsteeme (ja seega ka kongruentsi (18 lahendeid on r 1 r... r s tükki. Näide Lahendame kongruentsi 4x 3 + 7x 7x 10 0 (mod 5. (1 Kuna 5 = 3 5, siis taandub selle kongruentsi lahendamine kongruentside süsteemi 4x 3 + 7x 7x 10 0 (mod 3 ( 4x 3 + 7x 7x 10 0 (mod 5 (3 lahendamisele. Esimene neist kongruentsidest on lahendatud näites 6.9. Asume kongruentsi (3 lahendama. Selleks lahendame esialgu kongruentsi ehk 4x 3 + 7x 7x 10 0 (mod 5 x 3 + x x 0 (mod 5. Proovimise teel saame, et selle kongruentsi lahendeiks on x 0 (mod 5, x 3 (mod 5 ja x 4 (mod 5. Arvestades, et (4x 3 + 7x 7x 10 = 1x + 14x 7, saame iga x 0 {0, 3, 4} korral Horneri skeemi abil arvutada f(x 0 ja f (x 0, need väärtused on järgneva tabeli vastavalt viiendas ja viimases veerus: x (Kuna kongruents f (x 0 y + f(x0 5 0 (mod 5 tuleb lahendada mooduli 5 järgi, siis tegelikult võiksime kõik arvutused selle tabeli viimases kolmes veerus teha ka mooduli 5 järgi. Arvutused f(x 0 leidmiseks võib aga teha mooduli 5 järgi. Seega tuleb lahendada kongruentsid ehk 7y (mod 5, 143y (mod 5 ja 41y y (mod 5, 3y (mod 5 ja y 4 (mod (mod 5 Nende kõigi lahendamisel saame y 4 (mod 5. Seega kongruentsi (3 lahendeiks on x = 0 (mod 5, x = 3 (mod 5 ja x = 4 (mod 5. Saime, et kongruentsi ( lahendeiks on x, 5, 7, 8 (mod 9 ja kongruentsi (3 lahendeiks x 0, 3, 4 (mod 5. Seega kongruentsil (1 on 4 3 = 1 lahendit. Need saame, kui Hiina jäägiteoreemi abil lahendame 1 lineaarkongruentside süsteemi { x a1 (mod 9 x a (mod 5, kus a 1 {, 5, 7, 8} ja a {0, 3, 4}. Lahendame neist ühe: { x (mod 9 x 5 (mod 5. 30

31 Ringis Z = 11 = 14 ja ringis Z = 4. Seega kongruentsi (1 üheks lahendiks on x = ( = 430 ehk x 0 (mod 5. Ülejäänud lahendite saamiseks tuleb x avaldises võtta ja 5 asemel teised arvud a 1 ja a. Nii tehes saame lahendeiks x 0, 3, 70, 74, 95, 98, 14, 149, 170, 173, 3, 4 (mod 5. 31

32 7. Algjuured 7.1. Algjuured Meenutame, et lõliku rühma järguks nimetatakse tema elementide arvu. Kui G on lõlik rühm ja a G, siis kindlasti leidub elemendi a naturaalarvuliste astmete hulgas võrdseid. Olgu näiteks a k = a l, kus k, l N ja k > l. Korrutades selle võrduse mõlemaid ooli elemendiga a l = (a 1 l saame a k l = a 0 = 1, kusjuures k l N. Vähimat naturaalarvu m, mille korral a m = 1, kus 1 on rühma G ühikelement, nimetatakse elemendi a järguks. Lagrange i teoreem ütleb, et lõliku rühma elemendi järk on rühma järgu jagaja. Rühma nimetatakse tsükliliseks, kui temas leidub element, mille astmetena avalduvad kõik selle rühma elemendid. Sellist elementi nimetatakse tsüklilise rühma moodustajaks ehk tekitajaks. Seega m-elemendiline rühm G on tsükliline, kui leidub selline element a G, et G = {a, a,..., a m 1, a m = 1}, muuhulgas elemendi a järk on võrdne rühma G järguga. Asjaolu, et element a G on rühma G moodustaja, väljendatakse võrduse G = a abil. Näiteks rühm (Z, + on tsükliline rühm moodustajaga 1 või 1 (Z = 1 = 1 ning (Z m, + on tsükliline rühm moodustajaga 1. Selles aragrahvis uurime, millal on rühm (U(Z n, tsükliline, s.t. millal leidub selline element a U(Z n, mille järk on ϕ(n = U(Z n, ehk millal leidub element a U(Z n, mille astmetena avalduvad rühma U(Z n kõik elemendid. Definitsioon 7.1. Täisarvu a nimetatakse algjuureks mooduli n järgi, kui (U(Z n, on tsükliline rühm moodustajaga a, s.t. kui U(Z n = { a, a,..., a ϕ(n 1, a ϕ(n = 1 }. Samaväärselt võiks defineerida ka nii, et a on algjuur mooduli n järgi, kui (a, n = 1 ja ϕ(n on vähim naturaalarv, mille korral a ϕ(n 1 (mod n. Näide 7.. Kui n =, siis U(Z = { 1 } on tsükliline rühm. Kui n = 3, siis U(Z 3 = { 1, } { =, } on tsükliline rühm moodustajaga, seega on algjuur mooduli 3 järgi. Kui n = 4, siis U(Z 4 = { 1, 3 } { = 3, 3 } on tsükliline rühm moodustajaga 3, seega 3 on algjuur mooduli 4 järgi. Kui n = 5, siis U(Z 5 = { 1,, 3, 4 } { =,, 3, 4} = { 3, 3, 3 3, 3 4} on tsükliline rühm, seega ja 3 on algjuured mooduli 5 järgi. Kui n = 8, siis U(Z 8 = { 1, 3, 5, 7 } ja 1 = 1, 3 = 1, 5 = 1, 7 = 1, seega ühegi U(Z 8 elemendi järk ole 4 = ϕ(8, järelikult U(Z 8 ei saa olla tsükliline rühm ning ei leidu ühtegi algjuurt mooduli 8 järgi. Meie eesmärk on teha kindlaks, milliste moodulite järgi leidub algjuuri, ning anda eeskiri algjuurte konstrueerimiseks etteantud mooduli järgi. Selleks tõestame esialgu aar lihtsat abitulemust rühmade kohta. Lemma 7.3. Olgu G rühm, olgu elemendi a G järk m ning olgu l N. Siis a l = 1 arajasti siis, kui m l. Tõestus. Tarvilikkus. Olgu a l = 1. Lause 1.6 õhjal leiduvad sellised, r Z, et l = m + r ja 0 r < m. Siis 1 = a l = a m+r = (a m a r = 1 a r = a r. Kuna m on vähim naturaalarv, mille korral a m = 1, siis r ei saa olla naturaalarv, mis tähendab, et r = 0. Seega l = m, ehk m l. Piisavus. Kui leidub selline k N, et mk = l, siis a l = (a m k = 1 k = 1. Lemma 7.4. Paarisarvulise järguga rühmas leidub element, mille järk on kaks. Tõestus. Kui rühmas G ei ole elementi, mille järk on kaks, s.t. iga elemendi 1 a G korral a 1 ehk a a 1, siis kõik G ühikelemendist erinevad elemendid jagunevad lõikumatuteks aarideks { a, a 1}. Seega G järk on aaritu arv. Järelikult kui G järk on aarisarv, siis eab leiduma vähemalt üks teist järku element. Lemma 7.5. Paarisarvulise järguga tsüklilises rühmas on täselt üks element, mille järk on kaks. Tõestus. Olgu G = a tsükliline rühm moodustajaga a ja G = m, kus m N. Siis a m = 1 ja G = { 1, a, a,..., a m 1}. Järelikult a m 1 ja (a m = 1, s.t. elemendi a m järk on. Oletame, et ka elemendi a l, kus 1 l m 1, järk on, s.t. a l = ( a l = 1. Siis lemma 7.3 tõttu m l, ehk m l. Kuna m l < m ja m l, siis m = l ja a m = a l. Näide 7.6. Näites 7. vaadeldud mittetsüklilises 4. järku rühmas U(Z 8 on kolm teist järku elementi: 3, 5 ja 7. Tsüklilises 4. järku rühmas U(Z 5 on aga täselt üks teist järku element, see on 4. 3

33 Teoreemist 5.8 järeldub lihtsalt järgmine väide. Lemma 7.7. Iga naturaalarvu n > korral on ϕ(n aarisarv. Pöördume tagasi küsimuse juurde, millal leidub mooduli n järgi algjuuri. Olgu n = k ks s, kus 1,..., s on aarikaua erinevad algarvud ja k 1,..., k s N. Järelduse 4.9 ja lause 5.6 õhjal kehtib rühmade isomorfism U(Z n = U ( Z k Z ks s ( = U Z k U Oletame, et leiduvad erinevad i, j {1,..., s}, nii ( et i ja j ( on aaritud algarvud. Üldisust kitsendamata eeldame, et i = 1 ja j =. Lemma 7.7 õhjal on U Z k 1 ja U Z k 1 aarisarvulist järku rühmad ning seega ( ( leiduvad lemma 7.4 õhjal teist järku elemendid a U ja b U. Siis ka elemendid Z k 1 1 ( a, 1, 1,..., 1, ( 1, b, 1,..., 1 U ( Z k 1 1 Z k... U ( ( on teist järku. Lemma 7.5 õhjal rühm U Z k 1... U Z 1 ks ning järelikult ka sellega isomorfne rühm U(Z s n ei saa olla tsükliline. Oletame, et n = k l, kus > on algarv ja k. Siis jällegi rühmad U (Z k ja U ( Z l on aarisarvulist järku, leiduvad teist järku elemendid a U (Z k ja b U ( Z l ning seega ka elemendid (a, 1, (1, b U (Z k U ( Z l on teist järku, mistõttu U(Z n ei saa olla tsükliline. Lõuks oletame, et n = k, kus k 3. Siis U (Z k sisaldab jälle kaks erinevat teist järku elementi (ja seega ei saa olla tsükliline. Nendeks teist järku elementideks on k 1 1 ja k Tõeoolest, kuna k 3, siis 1 < k 1 1 < k ja 1 < k < k, seega k k Lisaks sellele ( k 1 ± 1 = k ± k (mod k, ( ( Z ks s Z ks s. s.t. need elemendid on teist järku. Ning kuna k 3, siis 0 (mod k ja seetõttu k 1 1 k (mod k, ehk k 1 1 k Seega kui n ei ole kujul, 4, k ega k, kus > on algarv, siis mooduli n järgi ei saa leiduda algjuuri, s.t. me oleme tõestanud järgmise tulemuse. Lause 7.8. Kui mooduli n järgi leidub algjuuri, siis n on kujul, 4, k või k, kus > on algarv. Näitame nüüd, et kui arvul n on eesoolmainitud kuju, siis mooduli n järgi leidub algjuuri. Arvude ja 4 korral oleme seda juba teinud näites 7.. Järgmisena sammuna veendume, et iga algarvulise mooduli järgi leidub algjuuri. Teoreem 7.9. Kui on algarv, siis jäägiklassikoruse Z multilikatiivne rühm Z on tsükliline. Tõestus. Tähistagu Z = Z \ {0} = U(Z koruse Z ööratavate elementide rühma. Olgu K d rühma Z kõigi selliste elementide hulk, mille järk on d. Kuna Z iga elemendi järk on Lagrange i teoreemi õhjal arvu 1 = Z jagaja ning elemendi järk on üheselt määratud, siis Z = d 1 K d. Gaussi teoreemi (teoreem 5.11 õhjal d 1 ϕ(d = 1 = Z = d 1 K d. (4 Näitame, et iga d 1 korral K d = ϕ(d, ehk et rühmas Z leidub täselt ϕ(d elementi, mille järk on d. Oletame, et antud d 1 korral K d, s.t. et leidub d-ndat järku element a, ning tõestame, et sellisel juhul K d = {a k 1 k d, (k, d = 1}. (5 Kuna a järk on d, siis elemendid a, a,..., a d on erinevad ning nad rahuldavad võrrandit x d 1 = 0, sest (a k d = (a d k = 1 k = 1 iga k = 1,..., d korral. Kuna d-nda astme olünoomil üle koruse Z ei saa lause.9 õhjal olla rohkem kui d juurt koruses Z, siis a, a,..., a d on olünoomi x d 1 ainsad juured, järelikult iga element b K d on võrdne ühega neist elementidest; olgu b = a k. Oletame vastuväiteliselt, et (k, d = d > 1. 33

34 Siis elemendi b järk oleks väiksem kui d, sest b d d = ( a k d d = ( a d k d = 1 ja d d < d. Sellega oleme tõestanud, et K d {a k 1 k d, (k, d = 1}. Oletame nüüd, et 1 k d ja (k, d = 1. Olgu m elemendi a k järk rühmas Z. Kuna (a k d = 1, siis m d. Lisaks sellele a km = ( a k m = 1. Kuna a järk on d, siis lemma 7.3 õhjal d km. Järelduse 1.9 tõttu eab d m, mis koos võrratusega m d annab, et m = d, s.t. a k K d. Sellega oleme tõestanud võrduse (4. Niisiis iga d 1 korral kas K d = ϕ(d või K d =. Tänu võrdusele (4 ei ole aga viimane võrdus võimalik. Seega iga d 1 korral on täselt ϕ(d elementi, mille järk on d. Muuhulgas, kuna 1 1, siis leidub ϕ( 1 elementi, mille järk on 1, teiste sõnadega: leidub ϕ( 1 rühma Z moodustajat. Kui a on mingi moodustaja, siis ülejäänud moodustajaiks on eesooltõestatu õhjal astmed a k, kus 1 k < 1 ja (k, 1 = 1. Järeldus Kui on algarv, siis mooduli järgi leidub ϕ( 1 algjuurt. Täsemalt, kui a on mingi algjuur mooduli järgi, siis kõik ülejäänud algjuured avalduvad kujul a k, kus 1 k < 1 ja (k, 1 = 1. Järgnevalt näitame, kuidas leida algjuurt mooduli järgi, kui on teada mingi algjuur mooduli järgi. Teoreem Olgu > algarv. Kui a on algjuur mooduli järgi, siis arvudest a ja a + vähemalt üks on algjuur mooduli järgi. Tõestus. Olgu a algjuur mooduli järgi. Siis a U(Z, s.t. a ning a järk selles rühmas on U(Z = ϕ( = 1. Kuna a, siis ka a + ja seega (, a = 1 = (, a +, mis tähendab, et a, a + U(Z. Tuleb näidata, et kas a või a + järk rühmas U(Z on U(Z = ϕ( = ( 1. Olgu m elemendi a järk rühmas U(Z. Siis a m 1 (mod, järelikult ka a m 1 (mod, s.t. a m = 1 rühmas U(Z. Seega lemma 7.3 õhjal 1 m. Lagrange i teoreemi tõttu aga m ( 1. Seega leiduvad sellised u, v N, et ( 1u = m ja mv = ( 1. Järelikult ( 1uv = ( 1, millest arvu 1 taandamisel saame, et uv = ehk u = või v = (sest on algarv. See tähendab, et kas m = ( 1 või m = 1. Kui a on algjuur mooduli järgi, siis ka a + on algjuur mooduli järgi, sest ringis Z on a = a +. Seetõttu saame a + jaoks läbi viia sama arutluse, mis a jaoks. See tähendab, et ka elemendi a + järk rühmas U(Z on kas ( 1 või 1. Oletame vastuväiteliselt, et nii a kui ka a + järk rühmas U(Z on 1, muuhulgas a 1 1 (mod ja (a (mod. Newtoni binoomvalemi õhjal 1 (a + 1 a 1 + ( 1a 1 + ( 1a (mod, millest saame, et ( 1a 0 (mod. Lause 3.10 õhjal ( 1a 0 (mod ehk ( 1a. Kuna 1 ja a, siis oleme saanud vastuolu. Järelikult eab kas elemendi a või elemendi a + järk rühmas U(Z olema ( 1, s.t. vähemalt üks arvudest a ja a + on algjuur mooduli järgi. Järeldus 7.1. Kui > on algarv, a on algjuur mooduli järgi, b {a, a + } ja b 1 1 (mod, siis b on algjuur mooduli järgi. Näide Leiame mingi algjuure mooduli 5 järgi. Nagu näites 7. veendusime on üheks algjuureks mooduli 5 järgi arv. Järelduse 7.1 õhjal on algjuureks mooduli 5 järgi see arvudest ja + 5, mille jäägiklassi järk rühmas U(Z 5 ei ole 5 1 = 4. Kuna 4 = 16 1, siis üheks algjuureks mooduli 5 järgi on. Selleks, et minna ruudult üle kõrg e astmeile, vajame järgmist abitulemust. Lemma Kui on algarv ja 1 k 1 on naturaalarv, siis jagab binoomkordajat ( k. Tõestus. Definitsiooni järgi ( = k ( 1... ( k + 1, k! ehk ( k k! = ( 1... ( k + 1. Kuna jagab selle võrduse aremat oolt, siis eab ta jagama ka vasakut oolt. Et aga k!, siis ( k. Teoreem Olgu > algarv. Siis iga algjuur mooduli järgi on ka algjuur mooduli k järgi, kus k >. 34

35 Tõestus. Olgu a algjuur mooduli järgi. Tõestame induktsiooniga l järgi, et iga l N korral leidub t l Z nii, et a ( 1l 1 = 1 + t l l ja t l. (6 Vaatleme kõigeealt juhtu l = 1. Kuna a on algjuur mooduli järgi, siis a U(Z ja seega a. Fermat väikese teoreemi õhjal a 1 1 (mod. Järelikult leidub selline t 1 Z, et a 1 = 1 + t 1. Kui oletada, et t 1, siis a 1 1 (mod ehk a 1 = 1 rühmas U(Z, mis on vastuolus sellega, et a on algjuur mooduli järgi. Seega t 1. Oletame nüüd, et l > 1 ja l 1 korral leidub selline täisarv t l 1, et a ( 1l = 1 + t l 1 l 1 ja t l 1. Siis ( a ( 1l 1 = a ( 1l = (1 + tl 1 l 1 kus ( ( = 1 + t l 1 l 1 + t ( l 1 l 1 ( ( ( ( = 1 + t l 1 + t l 1 (l 1 l = 1 + t l l, t l = t l 1 + t 1 ( l 1 l 1 ( 1 + t l 1 t 1 l 1 ( 1(l 1 l + t l 1 (l 1 l l ( ( t l 1 (l 1 l t 1 l 1 1 ( 1(l 1 l + t l 1 (l 1 l Z ( l 1 ja l sulgude taha võtmisel oleme arvestanud, et iga m korral m(l 1 l = m(l 1 l+1 1 = (m 1(l Kuna >, siis (l 1 l = ( 1(l ja seega t l 1 (l 1 l. Lisaks sellele, lemma 7.14 tõttu 1 ( i= i t i l 1 i(l 1 l ning seega ( t i i l 1 i(l 1 l = t l t l 1. i= Kui oletada, et t l, siis ka t l 1, mis ei ole aga induktsiooni eelduse tõttu võimalik. Seega t l ja väide (6 on tõestatud. Olgu m elemendi a järk rühmas U(Z k. Siis a m = 1 ehk a m 1 (mod k ja m U(Z k = ϕ( k = ( 1 k 1. Tuleb näidata, et m = ( 1 k 1. Kuna a m 1 (mod k ja k >, siis ka a m 1 (mod, järelikult lemma 7.3 õhjal ( 1 m (sest a järk rühmas U(Z on ( 1. Niisiis leiduvad sellised u, v Z, et mu = ( 1 k 1 ja ( 1v = m ning seega ( 1 k 1 = ( 1vu. Taandades ( 1 saame k = vu. Seega v = r, kus r k, ning m = ( 1 r 1. Järelikult 1 + t r r = a ( 1r 1 = a m 1 (mod k, millest saame, et t r r 0 (mod k ehk k t r r. Kuna t r siis k r ehk k r. Koos võrratusega r k annab see, et r = k ja m = ( 1 k 1. Teoreem Kui a on algjuur mooduli k järgi, kus > on algarv, siis üheks algjuureks mooduli k järgi on aaritu arv arvudest a ja a + k. Tõestus. Kuna k on aaritu arv, siis täselt üks arvudest a ja a + k on aaritu. Oletame, et a on aaritu (juhul kui a+ k on aaritu, saab väite tõestada analoogiliselt. Kui a on algjuur mooduli k järgi, siis a U(Z k, millest järeldub, et (a, k = 1. Kuna a on aaritu, siis ka (a, = 1 ja seega (a, k = 1, s.t. a U(Z k. Sellest, et a on algjuur mooduli k järgi, järeldub, et elemendi a järk rühmas U(Z k on m = U(Z k = k 1 ( 1. Olgu n elemendi a järk rühmas U(Z k. Siis n U(Z k = k 1 ( 1 = m, järelikult n m. Teiselt oolt aga sellest, et a n 1 (mod k järeldub, et a n 1 (mod k ja seega lemma 7.3 õhjal m n. Oleme saanud võrduse n = m, mida oligi tarvis tõestada. Näide Leiame mingi algjuure mooduli 5 01 järgi. Näites 7.13 nägime, et on algjuur mooduli 5 järgi. Teoreemi 7.15 õhjal on algjuur ka mooduli 5 01 järgi. Teoreemile 7.16 tuginedes on üheks algjuureks mooduli 5 01 järgi arv Tehtu võime kokku võtta järgmise teoreemina. Teoreem Mooduli n järgi leidub algjuuri arajasti siis, kui n on kujul, 4, k või k, kus > on algarv. 35

36 Teoreemid 7.11, 7.15 ja 7.16 annavad lihtsa võimaluse algjuurte leidmiseks mooduli k või k järgi, kui teame mingit algjuurt mooduli järgi. Algjuuri mooduli järgi aitab leida järgmine lemma. Lemma Olgu G lõlik rühm, mille järk G = n = k ks s a G arajasti siis, kui leidub selline i {1,..., s}, et a n i = 1. on antud standardkujul. Iga a G korral, Tõestus. Tarvilikkus. Oletame, et a G. Olgu m elemendi a järk. Siis m n ning seega m = l ls s, kus iga i {1,..., s} korral 0 l i k i. Kuna a G, siis a järk on väiksem kui n. Seega eab leiduma selline i, et l i < k i. Sellisel juhul m n i ja seega a n i = 1. Piisavus. Kui a n i = 1, siis elemendi a järk on väiksem kui n ning järelikult a G. Järeldus 7.0. Olgu G lõlik rühm, mille järk G = n = k ks s a = G arajasti siis, kui iga i {1,..., s} korral a n i 1. on antud standardkujul. Iga a G korral, Järeldus 7.1. Olgu > algarv. Siis a on algjuur mooduli järgi arajasti siis, kui arvu 1 iga algteguri korral a 1 1 (mod. Tõestus. Rakendame järeldust 7.0 juhul G = U(Z. Näide 7.. Olgu = 13. Kuna 1 = 1 = 3, 6 = (mod 13 ja 4 = (mod 13, siis on algjuur mooduli 13 järgi. Teoreemi 7.9 tõestuse õhjal on rühmal U(Z 13 kokku ϕ(1 = 4 moodustajat ning nendeks on jäägiklassid k, kus 1 k 1 ja (k, 1 = 1, s.t. 1 =, 5 = 6, 7 = 11, 11 = 7. Lause 7.3. Olgu n naturaalarv. Siis n-elemendilisel tsüklilisel rühmal on täselt ϕ(n moodustajat. Tõestus. Olgu G = { 1, a, a,..., a n 1} tsükliline rühm, kus a n = 1. Esitame n standardkujul: n = k ks s. Piisab näidata, et iga k {1,..., n} korral a k = G arajasti siis, kui (k, n = 1. Selleks tõestame, et a k G arajasti siis, kui (k, n 1. Oletame esiteks, et a k G. Lemma 7.19 õhjal leidub siis selline i {1,..., s}, et ( a k n i = 1 rühmas G. Lemma 7.3 õhjal n kn i, s.t. leidub selline u N, et nu = kn i. Järelikult u i = k, millest saame, et i k. Seega (k, n i > 1. Vastuidi, oletame, et (k, n = d > 1. Siis leidub selline i {1,..., s}, et i d. Järelikult ka i k. Olgu k = i k, kus k N. Siis ( a k n i = a k n = (a n k = 1 ning lemma 7.19 õhjal a k G. Rakendades lauset 7.3 rühmale U(Z n saame järgmise tulemuse. Teoreem 7.4. Kui mooduli n järgi leidub algjuuri, siis on neid täselt ϕ(ϕ(n tükki. 7.. Indeksid Algjuurte olemasolul on võimalik arvutusi, sealhulgas kongruentside lahendamist mooduli n järgi lihtsustada nn. indeksarvutuse abil. Põhimõtteliselt on indeksite näol tegemist logaritmidega jäägiklassiringides. Eelnevast teame, et kui mooduli n järgi leidub algjuur a, siis Seetõttu omab mõtet järgmine definitsioon: {b Z n (b, n = 1} = U(Z n = {a, a,..., a ϕ(n = 1}. Definitsioon 7.5. Olgu a algjuur mooduli n järgi ja b selline täisarv, et (b, n = 1. Siis arvu b indeksiks alusel a mooduli n järgi nimetatakse vähimat võimalikku ositiivset astendajat k, mille korral b a k (mod n. Arvu b indeksit tähistatakse k = ind a b või k = indb, kui algjuur a on kontekstist leitav. 36

37 Edasidi eeldame vaikimisi, et mooduli n järgi leidub algjuuri ja et kirjutis ind a b sisaldab endas eeldust (b, n = 1. Näide 7.6. Näite 7. õhjal on arv algjuur mooduli 13 järgi ja arvutades saame, et 1, 4, 3 8, 4 3, 5 6, 6 1, 7 11, 8 9, 9 5, 10 10, 11 7, 1 1 (mod 13. Järelikult ind 1 = 1, ind = 1, ind 3 = 4, ind 4 =, ind 5 = 9, ind 6 = 5, ind 7 = 11, ind 8 = 3, ind 9 = 8, ind 10 = 10, ind 11 = 7, ind 1 = 6. Saadud tulemused võime kokku võtta alljärgneva tabeliga, kus esimeses reas on indekseeritava arvu viimane kümnendnumber ja esimeses veerus kümneliste number Paljude moodulite jaoks on sellised indeksite tabelid juba välja arvutatud (vt. näiteks [3], lk Lause 7.7. Kongruents on samaväärne kongruentsiga b c (mod n (7 ind a b ind a c (mod ϕ(n. (8 Tõestus. Olgu b c (mod n. Kuna c b a ind ab (mod n, siis ind a c ind a b. Analoogiliselt ind a b ind a c ja ind a b = ind a c, mistõttu ka ind a b ind a c (mod ϕ(n. Teisiidi, olgu ind a b ind a c (mod ϕ(n ja üldisust kitsendamata ind a b ind a c. Siis ϕ(n ind a b ind a c. Kuna a on algjuur, siis a järk on ϕ(n ja lemma 7.3 tõttu a ind ab ind ac 1 (mod n. Korrutades tulemust kongruentsiga a ind ac a ind ac (mod n, saamegi, et b a ind ab a ind ac c (mod n. Üleminekut kongruentsilt (7 kongruentsile (8 nimetatakse indekseerimiseks ja vastuidist sammu otentseerimiseks. Paneme siinkohal tähele, et lause 7.7 tõestuse kohaselt on kongruents (8 hooiski võrdus. Tegelikult kehtib järgmine, üldisem väide, kus kongruents ei taandu enam võrdusele. Lemma 7.8. Olgu a algjuur mooduli n järgi ja s, t N. Siis a s a t (mod n arajasti siis, kui s t (mod ϕ(n. Tõestus. Tõestuse iisavuse osa on identne lause 7.7 tõestuse vastava osaga. Tarvilikkuse tõestamiseks oletame üldisust kitsendamata, et 0 s t. Kuna ϕ(n 1, siis ϕ(n s s 0 ja Euleri teoreemi (teoreem 5.1 õhjal ( a ϕ(n s s a s = a ϕ(n s s+s = a ϕ(n s 1 s = 1 (mod n. Seetõttu saame kongruentsi a s a t (mod n mõlemat oolt arvuga a ϕ(n s s läbi korrutades, et ( a t s = a t s 1 s a t s a ϕ(n s = at a ϕ(n s s a s a ϕ(n s s 1 (mod n. Lemma 7.3 kohaselt jagab elemendi a järk (mis on ϕ(n, sest a on algjuur astendajat t s. Teisisõnu, ϕ(n t s ehk s t (mod ϕ(n, mida oligi tarvis tõestada. Indeksitel on mitmeid logaritmidega sarnaseid omadusi, kus algjuur a on logaritmi aluse rollis. Teoreem 7.9. Olgu a, α algjuured mooduli n järgi, l N ja b, c, d Z sellised, et (b, n = 1 = (c, n ja d b. Siis 1. 1 ind a b ϕ(n, a ind ab b (mod n;. ind a 1 = ϕ(n 0 (mod ϕ(n, ind a a = 1; 3. ind a (bc ind a (b + ind a (c (mod ϕ(n; 4. ind a b l l ind a b (mod ϕ(n; 5. ind a ( b d ind a b ind a d (mod ϕ(n; 6. ind α b ind a b ind α a (mod ϕ(n; 7. ind a α ind α a 1 (mod ϕ(n. 37

38 Tõestus. Omadused 1. ja. järelduvad vahetult indeksi definitsioonist. Omadus 6. on omaduse 7. erijuht, kus b = α. Omadused tõestatakse ühe ja sama skeemi abil, mistõttu õhjendame siinkohal ära vaid ühe neist ja jätame ülejäänud lugejale kontrollimiseks. 5. Kuna (b, n = 1 ja d b, siis ka (d, n = 1 ehk d U(Z n. Paneme nüüd tähele, et b d be (mod n, kus de 1 (mod n, st. e = d 1. Tõeoolest, lause 3.7 ja järelduse 3.11 õhjal on kongruents b d be (mod n samaväärne samaselt tõese kongruentsiga b = b d d be d b 1 = b (mod n. Lemma 7.8 tõttu saame kirjutada, et a ind a( d b = a ind abe be a ind ab a ind ae ind = a ab+ind ae (mod n. Lemma 7.8 abil indekseerides nüüd ind a ( b d ind a b+ind a e (mod ϕ(n. Tõestuse lõetamiseks iisab näitamisest, et ind a e ind a d (mod ϕ(n. Selleks aneme tähele, et omaduse. ning lemmade 7.3 ja 7.8 tõttu a ind ad+ind ae = a ind ade de 1 = a ϕ(n (mod n. Uuesti lemmat 7.8 kasutades saame, et ind a d + ind a e ϕ(n (mod ϕ(n ehk tõeoolest ind a e ind a d (mod ϕ(n. Indeksid võimaldavad meil lahendada lineaarkongruentse kujul sx m t (mod n, s, t Z, (9 sest indekseerimisel saame me lemma 7.8 ja teoreemi 7.9 abil samaväärse lineaarkongruentsi ind a s + m ind a x ind a t (mod ϕ(n. (30 Lineaarkongruentse oskame me aga lause 6. abil lihtsasti lahendada. Kuna lineaarkongruentsid kujul (9 on teisendatavad kujule x m u (mod n, kus n on n jagaja, siis osutub otstarbekaks järgmine lahenduvuskriteerium. Teoreem Olgu a algjuur mooduli n järgi ja olgu b Z selline, et (b, n = 1. Tähistame d = (m, ϕ(n. Kongruents x m b (mod n on lahenduv siis ja ainult siis, kui b ϕ(n/d 1 (mod n. Juhul, kui kongruents x m b (mod n on lahenduv, on tal täselt d erinevat lahendit. Tõestus. Indekseerides saame, et kongruents b ϕ(n/d 1 (mod n on lahenduv arajasti siis, kui ϕ(n/d ind a b ind a 1 = ϕ(n 0 (mod ϕ(n. Viimane kongruents kehtib arajasti siis, kui d ind a b. Lause 6. kohaselt on selline jaguvusseos samaväärne lineaarkongruentsi m ind a x ind a b (mod ϕ(n lahenduvusega tundmatu ind a x suhtes, mis tagasi otentseerides tähendabki kongruentsi x m a ind axm a m ind ax a ind ab b (mod n lahenduvust. Oletame viimaks, et kongruents x m c on lahenduv. Eelneva õhjal on kõik selle kongruentsi lahendid vastavuses lineaarkongruentsi m ind a x ind a b (mod ϕ(n lahenditega, mida on lause 6. õhjal (m, ϕ(n = d tükki. Järeldus 7.31 (Euler. Olgu algarv, b Z, (b, = 1 ja d = (m, 1. Siis kongruents x m b (mod on lahenduv arajasti siis, kui b ( 1/d 1 (mod. Näide 7.3. Lahendame kongruentsi 5 x (mod 13. On lihtne näha, et 5 8 = 40 1 (mod 13, ehk 5 1 = 8, seega võime antud kongruentsi teisendada kujule x (mod

39 Kuna ϕ(13 = 1, siis 5 1/(013,1 = 5 1/3 = 5 4 = 5 ( 1 = 1 (mod 13. Järelikult teoreemi 7.30 õhjal on kongruents x (mod 13 lahenduv ja tal on (013, ϕ(13 = (013, 1 = 3 erinevat lahendit. Leiame need. Indekseerides saame, et 013 indx ind5 (mod 1, mis näites 7.6 koostatud indeksite tabeli õhjal on samaväärne lineaarkongruentsiga 013 indx 9 (mod 1. Jagades selle kongruentsi mõlemad ooled ja mooduli läbi arvuga 3 (seda lubab meil teha lause 3.10 on tulemuseks, et 3 indx 671 indx 3 (mod 4. Kuna 3 U(Z 4, siis indx 1 (mod 4. Tänu teoreemi 7.9 omadusele 1. saame, et indx = 1, 5, 9, sest need on ainsad täisarvud vahemikust [1, ϕ(13 = 1], mis rahuldavad seost indx 1 (mod 4. Näites 7.6 leitud tabelit taguridi kasutades saamegi vastuse, milleks on x, 6, 5 (mod 13. Kontroll: astendades 013 = = ( ( 4 = 16 3 = 18 5 (mod 13, = = ( (5 4 5 = ( = 5 (mod 13, = = ( (6 4 6 = (10 6 ( 4 6 = = 18 5 (mod 13. Järelikult = 5 1 (mod 13. Peale kongruentside lahendamise saab indekseid ja nende tabeleid kasutada algjuurte ning ööratavate elementide järkude leidmisel. Täsemalt, alltoodud teoreem võimaldab meil indeksite tabelite abil lahendada järgmisi ülesandeid leida ööratava elemendi järk rühmas U(Z n, leida kõik algjuured mooduli n järgi, leida kõik fikseeritud järku elemendid rühmas U(Z n, jaotada kõik rühma U(Z n elemendid klassidesse vastavalt järgule. Teoreem Olgu a algjuur mooduli n järgi ja b Z selline, et (b, n = 1. Siis 1. elemendi b järk rühmas U(Z n on ϕ(n (ind ab,ϕ(n,. b on algjuur mooduli n järgi arajasti siis, kui (ind a b, ϕ(n = 1, 3. kui m ϕ(n, siis rühma U(Z n m. järku elemendid on need ja ainult need jäägiklassid b, mille korral (ind a b, ϕ(n = ϕ(n m. Tõestus. 1. Tähistame edasidi d = (ind a b, ϕ(n, ϕ = ϕ(n d ja ind ind = ab d. Paneme muuseas tähele, et järelduse 1.8 õhjal (ϕ, ind = 1. Olgu m elemendi b järk rühmas U(Z n. Kuna a on algjuur, siis a ϕ(n 1 (mod n ja b ϕ (a ind ab ϕ = a ind ab ϕ = a ind d ϕ = a ind ϕ(n = (a ϕ(n ind 1 (mod n, järelikult lemma 7.3 tõttu m ϕ. Teisiidi, elemendi järgu definitsioonist b m 1 (mod n, seega 1 b m (a ind ab m = a m ind ab. Kasutades uuesti asjaolu, et a järk on ϕ(n, ja lemmat 7.3, saame nüüd, et ϕ(n m ind a b ehk m ind d 0 (mod ϕ d. Jagades viimase kongruentsi läbi teguriga d 0, on tulemuseks m ind 0 (mod ϕ. Teisisõnu, ϕ m ind, mis Eukleidese lemma tõttu annab meile, et ϕ m. Kokkuvõttes oleme näidanud, et m ja ϕ on ositiivsed, teineteist jagavad täisarvud, mis saab kehtida vaid juhul, kui m = ϕ ϕ(n = (ind. ab,ϕ(n. Kuna algjuureks olek on samaväärne ϕ(n. järku elemendiks olemisega, siis osa 1. õhjal on b algjuur arajasti ϕ(n siis, kui ϕ(n = (ind. Viimane seos kehtib ilmselt arajasti siis, kui (ind ab,ϕ(n ab, ϕ(n = 1. ϕ(n 3. Eelduse kohaselt m ϕ(n ja 1. osa õhjal m = (ind, järelikult (ind ab,ϕ(n ab, ϕ(n = ϕ(n m. 39

40 Näide Leiame elemendi 17 järgu jäägiklassiringis Z 19, kõik algjuured mooduli 19 järgi ja kõik ringi Z 19 kolmandat järku elemendid. Algjuure jaoks on indeksite tabel järgmine ([3], lk. 330: ϕ(19 Elemendi 17 järk on seetõttu (ind = 18 17,ϕ(19 (10,18 = 18 = 9. Algjuurte leidmiseks tuleb meil võtta sellised indeksid vahemikust [1, 18], mille suurim ühistegur arvuga ϕ(19 = 18 on 1. Nendeks on 1, 5, 7, 11, 13 ja 17, millele indeksite tabelis vastavad arvud, 13, 14, 15, 3 ja 10. Kolmandat järku elemendid on need jäägiklassid b, mille korral (ind b, ϕ(19 = ϕ(19 3 = 18 3 = 6. Sellisteks indeksiteks on arajasti need arvud vahemikust [1, 18], mille suurim ühistegur arvuga 18 on 6, ehk 6 ja 1. Neile kahele indeksile vastavad tabelis arvud 7 ja 11. Viimane tulemus on muuseas kooskõlas teoreemi 7.9 tõestusega, mille kohaselt eab leiduma ϕ(3 = kolmandat järku elementi. 40

41 8. Ruutjäägid 8.1. Legendre i sümbol ja selle lihtsamad omadused Olgu > algarv. Selles eatükis huvitab meid, millistel jäägiklassikoruse Z elementidel on olemas ruutjuur, s.t. millised koruse Z elemendid on mingi teise elemendi ruudud. Oletame, et mingil elemendil a Z on olemas ruutjuur, s.t. leidub selline b Z, et b = a. Siis ka b on elemendi a ruutjuur, sest b = b = a. Kui oletada, et b = b, siis b = 0, millest > tõttu järeldub, et b = 0, mis aga ole võimalik. Seega b ja b on erinevad elemendi a ruutjuured. Lause.9 õhjal on teise astme olünoomil x a üle koruse Z ülimalt juurt, s.t. elemendil a teisi ruutjuuri ole. Seega, kui elemendil a leidub ruutjuur, siis on neid ruutjuuri täselt kaks tükki ja nad on teineteise vastandelemendid. { } Kõik ruutjuurt omavad elemendid rühmas Z saab leida, kui arvutada hulga 1,,..., 1 kõigi elementide ruudud (sest ülejäänud jäägiklassid on sellesse hulka kuuluvate jäägiklasside vastandelemendid. Seetõttu on ruutjuur olemas ülimalt 1 elemendil, milleks ongi needsamad eelnevalt välja arvutatud ruudud. Põhimõtteliselt 1 võiksid mõned neist ruutudest koruses Z kokku langeda, millisel juhul oleks meil vähem kui ruutjuurt omavat elementi, aga tänu järeldusele 8.6 seda tegelikult kunagi ei juhtu. (Alternatiivselt, kuna (, 1 =, siis teoreemi õhjal on ruutjuur olemas 1 nullist erineval elemendil, s.o. täselt ooltel Z elementidel. Kui aga tahame teada, kas mingil konkreetsel elemendil on olemas ruutjuur ning on suur, siis on kõigi ruutude väljaarvutamine ebaotstarbekas. Osutub, et leidub alju aremaid viise. Definitsioon 8.1. Olgu > algarv ja a selline täisarv, et a. Täisarvu a nimetatakse ruutjäägiks (mitteruutjäägiks mooduli järgi, kui element a omab (ei oma ruutjuurt koruses Z. Niisiis a on ruutjääk mooduli järgi, kui a ja ruutkongruents on lahenduv. x a (mod Näide 8.. Koruses Z 11 on ruutjuur olemas elementidel 1 = 1 = 10, 4 = = 9, 9 = 3 = 8, 5 = 4 = 7 ja 3 = 5 = 6. Seega ruutjäägid mooduli 11 järgi on 1, 3, 4, 5, 9 ning mitteruutjäägid on, 6, 7, 8, 10. ( Definitsioon 8.3. Olgu a täisarv ja > algarv. Legendre i 1 sümbol defineeritakse järgmiselt ( a = (Seda sümbolit loetakse a suhtes. 0, kui a; 1, kui a on ruutjääk mooduli järgi; 1, kui a on mitteruutjääk mooduli järgi. Näites 8. saadud tulemuse võib Legendre i sümboli abil kirja anna järgmiselt: ( ( ( ( ( = = = = = 1, ( ( ( ( ( = = = = = Vahetult definitsioonist järeldub järgmine Legendre i sümboli omadus. ( Lemma 8.4. Mistahes täisarvude a, b ning algarvu > korral, kui a b (mod, siis Lemma 8.5. Kui c on algjuur mooduli > järgi, siis iga k N korral ( c k = ( 1 k. 1 Prantsuse matemaatiku Adrien Marie Legendre i ( järgi. a a ( = b. 41

42 Tõestus. Olgu c algjuur mooduli järgi, s.t. Z = { c, c,..., c 1 = 1 }. Kui k {1,..., 1} on aarisarv, siis elemendi c k ruutjuureks on c k. Et täselt ooled arvudest 1,..., 1 on aarisarvud ja kõik neile vastavad astmed c k on c algjuureks oleku tõttu erinevad, siis omavad ruutjuurt vähemalt 1 elementi. Käesoleva eatüki sissejuhatuse kohasel on selliseid elemente aga ülimalt 1 1, mistõttu neid eab olema täselt. Järelikult ülejäänud elemendid kujul c k, kus 1 k 1 on aaritu, ei oma ruutjuurt. Kokkuvõttes saamegi, et ruutjuurt omavad arajasti need elemendid c k, kus k {1,..., 1} on aaris. Kui aga k on suvaline naturaalarv, siis leiduvad, r N nii, et k = ( 1 + r ja 1 r 1. Siis c k ( c 1 c r c r (mod ja ( ( c k c r = = ( 1 r = ( 1 k, sest 1 on aarisarv ning k ja r on sama aarsusega. Eelneva lemma tõestuses tegime tegelikult kindlaks ruutjääkide arvu mooduli järgi. Järeldus 8.6. Algarvulise mooduli > järgi leidub 1 ruutjääki ja 1 mitteruutjääki. Lause 8.7 (Euleri kriteerium. Iga täisarvu a ja algarvu > korral ( a a 1 (mod. ( Tõestus. Kui a, siis ( c 1 a = 0 a 1 (mod. Oletame, et a ja a = c k, kus Z = { c, c,..., c 1 = 1 }. Siis = c 1 1 (mod. Järelikult c 1 on olünoomi x 1 Z [x] juur ning seega kas c 1 1 (mod või c 1 1 (mod, sest teisi juuri kui 1 ja 1 sellel olünoomil ei ole. Kuna c on rühma Z moodustaja, siis esimene võimalus langeb ära ja seega ( a ( c k = = ( 1 k k ( (c 1 = c k 1 a 1 (mod. Kuigi Euleri kriteeriumi abil saab õhimõtteliselt iga täisarvu korral kindlaks teha, kas ta on ruutjääk või mitte, ei ole see siiski sobiv suurte algarvude korral. Õnneks on Legendre i sümbolil terve rida omadusi, mis lihtsustavad tema väärtuse arvutamist. Lause 8.8. Iga algarvu > korral on Legendre i sümbolil järgmised omadused. 1. Iga a, b Z korral ( ab = ( a ( b.. Iga a, b Z, b, korral ( 3. Kehtib 1 = 1 ja ( ab = ( a. ( { 1 = ( 1 1 1, kui 1 (mod 4; = 1, kui 3 (mod 4. Tõestus. 1. Euleri kriteeriumi kasutades saame, et ( ab (ab 1 = a 1 b 1 ( a ( b (mod, kust soovitud võrdus järeldub tänu sellele, et > ning viimase kongruentsi kummalgi oolel on kas 0, 1 või 1.. Kui b, siis vastavalt definitsioonile 8.3 = 1 ning seega tõestuse esimese osa õhjal ( b ( ab = ( a ( b = 4 ( a.

43 ( 3. Võrdus 1 = 1 kehtib selleärast, et 1 = 1 koruses Z. Teine võrdus järeldub Euleri kriteeriumist võttes a = 1 või järgmise eatüki järeldusest 10.1, sest 1 on aarisarv arajasti siis kui 1 jagub neljaga ehk 1 (mod 4. ( Näide 8.9. Teeme kindlaks, kas kongruents x 9 (mod 17 on lahenduv. Selleks leiame Legendre i sümboli 9 17 väärtuse. Kuna 9 1 (mod 17, siis ( 9 17 = ( 1 = 17 ( 3 = 17 ( Viimase sümboli arvutamiseks kasutame Euleri kriteeriumi. Et ( = 3 8 = (mod 17, 17 siis ( ( 3 17 = 1 ja seega ka 9 17 = 1, mis tähendab, et kongruentsil x 9 (mod 17 ei ole lahendit. Väikse kõrvaleõikena kasutame lauset 8.8 selleks, et näidata teatud kujul algarvude hulga lõmatust (vt. ka teoreemi.4. Lause On lõmata alju algarve kujul 4k + 1. Tõestus. Oletame, et on ainult lõlik arv selliseid algarve; tähistame nad 1,,..., n. Vaatleme naturaalarvu a = ( 1... n + 1. On selge, et a on aaritu, seega eab leiduma mingi aaritu algarv (, nii et a, ehk ( 1... n 1 1 (mod. See tähendab, et 1 on ruutjääk mooduli järgi, ehk = 1. Lause 8.8 ( õhjal = 1 arajasti siis, kui = 4k + 1, kus k N. Järelikult on üks algarvudest 1,..., n. Seega 1 a ( 1... n = 1, vastuolu. Teeme nüüd kindlaks, millal on arv ruutjääk mooduli järgi. Teoreem Iga algarvu > korral ( { = ( , kui ±1 (mod 8; = 1, kui ±3 (mod 8. Tõestus. Vaatleme järgmist 1 kongruentsist koosnevat süsteemi: 1 1( 1 1 (mod ( 1 (mod 3 3( 1 3 (mod 4 4( 1 4 (mod... r 1 ( 1 1 (mod, kus r on kas 1 (juhul kui 1 on aaritu arv või 1 (kui 1 on aarisarv. Korrutades nende kongruentside vastavad ooled saame ( ( 1!( 1 (mod. Kõik tegurid selle kongruentsi vasakul oolel on aarisarvud ja ( = 1 8, järelikult ( ( 1 1 Kuna ( 1! 0 (mod, siis Euleri kriteeriumi õhjal 1 1 (!!( (mod. 1 ( (mod. ( (mod, millest järeldubki väide, sest kuna kongruentsi ( (mod mõlemal oolel on kas 1 või 1, > ning 1 1 (mod, siis viimase kongruentsi mõlemal oolel eavad olema võrdsed arvud. 43

44 8.. Gaussi ruutvastavusseadus Gaussi oolt a. tõestatud teoreem ruutjääkide kohta kuulub arvuteooria kõige ilusamate ja sügavamate tulemuste hulka. Trükis on avaldatud vähemalt 196 erinevat tõestust, Gauss ise andis oma elu jooksul 8 erinevat tõestust. Selle teoreemi tõestamiseks vajame järgmist, samuti Gaussi nime kandvat abitulemust. Teoreem 8.1 (Gaussi lemma. Olgu > aaritu algarv, a täisarv ja (a, = 1. Siis ( a = ( 1 n, kus n on hulga A = { a, a, 3a,..., 1 a } selliste elementide arv, mis annavad arvuga jagamisel jäägi r >. Tõestus. Paneme kõigeealt tähele, et kuna (a, = 1, siis Eukleidese lemma (lemma 1.9 õhjal ei saa ükski hulka A kuuluvate erinevate täisarvude aar olla kongruentne mooduli järgi. Samamoodi ei ole ükski neist kongruentne nulliga mooduli järgi. Olgu r 1, r,..., r n sellised jäägid, mis tekivad hulga A elementide jagamisel arvuga ja mis rahuldavad tingimust < r i <, ning s 1, s..., s m niisugused jäägid, mille korral 0 < s j < 1. Siis m + n = ja 0 < r 1, r..., r n, s 1, s,..., s m <. Nüüd veendume, et tegelikult on arvud r 1, r,..., r n, s 1, s..., s m kõik erinevad. Kuna (a, = 1, siis jällegi Eukleidese lemma tõttu ei ole võimalik, et r i = r j või s i = s j, kui i j. Järele jääb võimalus, et leiduvad sellised indeksid i ja j, mille korral r i = s j ehk r i + s j =. Olgu jääkidele r i ja s j vastavad hulga A elemendid ua ja va, st. 1 u, v 1 on täisarvud ning r i ua (mod ja s j va (mod. Siis (u + va r i + s j = (mod. Uuesti Eukleidese lemmat kasutades saame siit, et u + v ehk u + v 0 (mod. See ei ole aga võimalik, sest u + v 1 = 1. Seega oleme me näidanud, et { r 1, r,..., r n, s 1, s,..., s m } = { 1,,..., 1 ( 1! = ( r 1 ( r... ( r n s 1 s... s m ( r 1 ( r... ( r n s 1 s... s m (mod = ( 1 n r 1 r... r n s 1 s... s m (mod. }. Järelikult Samas defineerisime me jäägid r 1, r,..., r n, s 1, s, s m selliselt, et nad on mooduli järgi mingis järjekorras kongruentsed arvudega a, a, 3a,..., 1 a, st. r 1 r... r n s 1 s... s m a a 3a... 1 a. Seetõttu ( 1! ( 1 n r 1 r... r n s 1 s... s m (mod ( 1 n a a 3a... 1 a (mod ( 1 =! ( 1 n a 1 (mod. Kuna ( 1! 0 (mod, siis võime temaga taandada ja saada 1 ( 1n a 1 (mod. Selle ekvivalentsi mõlemaid ooli arvuga ( 1 n korrutades on tulemuseks ( 1 n a 1 (mod. Euleri kriteerium (lause 8.7 annab meile nüüd, et ( a a 1 ( 1 n (mod. Eelduse kohaselt >, seega 1 1 (mod ja kongruentsi mõlemad ooled eavad olema võrdsed, ehk tõeoolest ( a = ( 1 n (mod. Selleks, et Gaussi lemmat saaks rakendada ruutvastavusseaduse tõestamiseks, on vaja veel ühte abitulemust. 44

45 Lause Olgu > aaritu algarv, a aaritu täisarv ja (a, = 1. Siis ( a = ( 1 1 k=1 ka/. Tõestus. Kuna eeldused on siin kitsamad, kui Gaussi lemmal, siis võime kasutada seal sissetoodud tähiseid A = { a, a, 3a,..., 1 a }, r i ja s i. Jagades hulga A elemendid järgemööda arvuga, on tulemuseks võrdused ka = k + t k, 1 t k 1, 1 k 1. Eelneva tähistuse kohaselt juhul < t k < leidub selline indeks i, et t k = r i, ja juhul 0 < t k < leidub niisugune indeks j, et t k = s j. Järelikult kõiki jäägiga jagamisel tekkinud võrdusi kokku liites saame, et ka = 1 k=1 k + 1 k=1 n m r i + s j. Gaussi lemma tõestuse õhjal { 1,,..., 1 } = { r1, r,..., r n, s 1, s,..., s m }. Seega i=1 j=1 k = 1 k=1 k=1 n m ( r i + s j. Nende kahe summa omavahelisel lahutamisel tekib võrdus 1 1 n (a 1 k = k n + r i. i=1 k=1 Kuna arvud ja a on mõlemad aaritud, siis a 1 (mod ja järelikult omandab eelnev võrdus mooduli järgi kuju k 1 k n (mod. k=1 Viimane kongruents on samaväärne kongruentsiga n 1 k=1 j=1 k (mod. Nüüd jääb ainult tähele anna, et k = ka ja Gaussi lemma õhjal k=1 i=1 ( a = ( 1 n = ( 1 1 k=1 ka/. Teoreem 8.14 (Ruutvastavusseadus. Kui > ja > on erinevad algarvud, siis ( ( ( = ( 1 ( 1( 1 4, kui 3 (mod 4; = (, ülejäänud juhtudel. Tõestus. Tõestame ainult esimese võrduse kehtivuse, sest on lihtne veenduda, et ( 1 ( 1( 1 4 = { 1, kui 3 (mod 4; 1, ülejäänud juhtudel. 45

46 Selleks vaatleme tasandil asetsevat ristkülikut, mille tiude koordinaadid on (0, 0, (, 0, (0, ja (,. Olgu R tasandi see osa, mis asub antud ristküliku sisemuses, s.t. R = { (x, y R 0 < x <, 0 < y < Ruutvastavusseaduse tõestamiseks leiame hulka R jäävate täisarvuliste koordinaatidega unktide (edasidi nimetame neid võreunktideks arvu kahel eri viisil. Kuna ja on aaritud arvud, siis hulka R kuuluvate võreunktide hulk koosneb unktidest (m, n, kus m, n Z ning 1 m 1 ja 1 n 1. Ilmselt on selliseid unkte kokku 1 1 tükki. }. Ristküliku R diagonaal D rahuldab võrrandit y = x, mis on samaväärne võrrandiga y = x. Kuna (, = 1, siis iga võrrandi y = x täisarvuline lahend rahuldab seoseid x ja y. Samas me teame, et hulga R sisemuses asuvate võreunktide (x, y korral 1 x 1 < ja 1 y 1 <, mistõttu ilmselt x ja y. Seega ei saa ükski hulga R sisemusse kuuluv võreunkt asuda diagonaalil D. Tähistame sümbolitega T 1 ja T hulga R need osad, mis jäävad diagonaalist D vastavalt allaoole ja ülesoole. Kuna diagonaalil võreunkte ei ole, siis on hulka R kuuluvate võreunktide arv võrdne hulkadesse T 1 ja T kuuluvate võreunktide arvude summaga. Kui fikseerida 1 x 1, siis vahemikku 1 y x jäävaid täisarve on kokku x diagonaali D ja fikseeritud unkti (x, 0 vahel täselt l=1 l x tükki. Järelikult on võreunkti, mistõttu hulka T 1 kuulub kokku võreunkti. Samasugune arutelu unktide (0, y ja hulga T jaoks annab viimasesse kuuluvate võreunktide arvuks 1. Kokkuvõttes oleme saanud hulka R kuuluvaid võreunkte loendades, et 1 1 = 1 k l +. Kuna (, = 1 ning ja on mõlemad aaritud arvud, siis võime kasutada lauset 8.13 ja leida, et 1 k=1 l=1 1 k=1 k ( ( = ( 1 1 k=1 k/ ( 1 1 l=1 1 l/ = ( 1 Lõtulemusena saame lause 8.8 unktide. ja 3. kohaselt, et ( = ( ( = ( k/ + k=1 l=1 ( ( ( = 1 = ( = ( 1 ( 1( 1 4 l/ = ( = 1, mistõttu tõeoolest (. 46