7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
|
|
- Tiit Vill
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse läbi kanali ja seejärel vastu võetud sümbolite jada dekodeeritakse. Skemaatiliselt võib seda protsessi kujutada järgmise joonisega: Saatja Kodeerimine Kanal Müra Vastuvõtja Dekodeerimine Müra tõttu võib vastuvõetav teade erineda saadetavast teatest. Kodeerimisteooria eesmärk ongi konstrueerida kodeerimisviise, mis võimaldavad dekodeerimisel avastada kodeeritud teadete edastamisel tekkivaid vigu ja võimaluse korral neid ka parandada. Kirjeldame järgnevalt kodeerimise üldisi põhimõtteid. Tähistagu Σ sümbolite hulka, milles esitatakse lähteinformatsioon. Kodeerimisel iga hulka Σ kuuluv sümbol esitatakse sõnana nn kooditähestikus Γ. Tähistagem kõigi sõnade hulka tähestikus Γ kujul Γ (vaadeldakse ka nn tühja sõna). Siis kodeerimine seisneb kujutuse K : Σ Γ defineerimises: sümbol a Σ kodeeritakse sõnaga K(a) Γ, mida nimetatakse sümboli a koodsõnaks. Kui aga vaadeldakse sõna w = x 1 x 2... x n Σ, siis kodeerimine K laiendatakse sellele sõnale reegliga K(w) = K(x 1 x 2... x n ) = K(x 1 ) K(x 2 )... K(x n ). Näide 7.1 Olgu Σ = Γ = {0, 1}. Kõige lihtsam viis kodeerimiseks on defineerida kujutus K järgmiselt: K(0) = 000, K(1) = 111, st esitada ühte ja sama sümbolit kolm korda. Siis sõna 101 kodeeritakse kujul K(101) = K(1) K(0) K(1) = Kui nüüd saadud sõna edastamisel võetakse vastu sõna , siis on tõenäone, et sõnumi edastamisel vigu ei tekkinud ja see sõna dekodeeritakse sõnaks 101. Kui aga edastamisel võetakse vastu sõna , siis on selge, et esimese kolme sümboli ja järgneva kolme sümboli seas on tekkinud edastamisel kanalis viga. On tõenäone, et esimesed kolm sümbolit oleks pidanud olema siiski 111, 1
2 järgnevad kolm sümbolit 000 ja viimased kolm sümbolit 111. Seega dekodeeritakse sõna sõnaks 101. Näide 7.2 (2/5-kood) Kasutust on leidnud ka järgnev kood: Σ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, Γ = {0, 1}, K(1) = 11000, K(2) = 10100, K(3) = 01100, K(4) = 10010, K(5) = 01010, K(6) = 00110, K(7) = 10001, K(8) = 01001, K(9) = 00101, K(0) = Sõna K(x) = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Γ dekodeeritakse siin järgmiselt: K(x) = = x = 0; K(x) = x = a 2 + 2a 3 + 4a 4 + 7a 5. Näide 7.3 (Morse-kood) Morse-koodi korral lähtetähestikuks on ladina tähestik Σ = {A, B, C,...} ja kooditähestikuks on Γ = {,, }, kus tähendab tühikut ja seda kasutatakse erinevate tähtede koodide vahel (eelmistes näidetes polnud tühik vajalik, sest esialgseid sümboleid kodeeriti ühepikkuste sõnadena). Esitame näitena mõnede ladina tähtede morse-koodid: K(A) =, K(B) =, K(C) =, K(D) =, K(E) =,.... Sõna ABC kodeeritakse siin kujul K(ABC) = K(A) K(B) K(C) =. Näide 7.4 (ASCII-kood 1 ) Siin kodeeritakse iga sümbol 128 sümbolist 8-bitiste blokkidena x 1 x 2... x 7 x 8 (x i Γ = {0, 1}). Esimesed 7 sümbolit x 1, x 2,..., x 7 kannavad informatsiooni ja viimane sümbol x 8 valitakse nn kontrollsümbolina nii, et x 1 + x x 7 = x 8 jäägiklassiringis Z 2. Näide 7.5 (ISBN-kood) Igale raamatule omistatakse ISBN-kood a 1 a 2... a 9 a 10, mis koosneb 10 numbrist a 1, a 2,..., a 9, a 10. Esimesed 9 numbrit omavad väärtusi hulgast {1, 2,..., 9}. Kümnes number a 10 omab väärtusi hulgast {1, 2,..., 9, 10}, kusjuures arvu 10 esitatakse sümbolina X. Number a 10 on kontrollnumber ja see valitakse nii, et 10 i=1 i a 11 i 0 (mod 11) (st tehteid vaadeldakse jäägiklassiringis Z 11 ). Näiteks ISBN X on korrektne, sest (mod 11). 1 International Standard Book Number. 2
3 ISBN-koodidel on nende edastamisel tekkida võivate vigade avastamise seisukohalt terve rida häid omadusi, kuid siinkohal me neid ei vaatle. Näide 7.6 (Paarsuse kontroll) Olgu Σ = Γ = Z 2 = {0, 1} ja kodeeritavaks sõnaks sümbolite jada x 1... x n, kus x 1,..., x n Z 2. Siis sageli kodeeritakse see sõna kujul x 1... x n x n+1, kus x n+1 = x x n. Siin sümbol x n+1 on kontrollsümbol. Kui vastuvõetavas sõnas y 1... y n y n+1 võrdus y n+1 = y y n ei kehti, siis on selge, et edastamisel on tekkinud viga. Näide 7.7 Olgu kodeeritav sõna x 1 x 2 x 3, kus jällegi x 1, x 2, x 3 Z 2. Siis võib sõna x 1 x 2 x 3 kontrollsümboleid x 4, x 5, x 6 lisades kodeerida sõnana x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6, kus ehk sobivamalt esitatuna x 4 = x 1 + x 2, x 5 = x 1 + x 3, x 6 = x 2 + x 3 x 1 x 1 +x 2 + x 2 + x 3 x 3 +x 4 = 0 +x 5 = 0 +x 6 = 0 Nagu näeme, on siin koodsõnad teatava lineaarse homogeense võrrandisüsteemi lahenditeks. Vaatleme viimast näidet tõenäosusteooria seisukohalt. Oletagem, et meil on vaja edastada m sümbolist koosnev sõna (iga sümbol on kas 0 või 1). Olgu üksiku sümboli korrektse edastamise tõenäosus p. Vastavalt binoomjaotuse reeglitele on tõenäosus, et vastu võetavas sõnas on t viga, võrdne arvuga C t mp m t (1 p) t (eeldusel, et sümbolite vastuvõtmised on üksteisest sõltumatud) 2. Tõenäoseim vigaselt vastu võetud sümbolite arv on aga m(1 p). Märgime, et tavaliselt kehtib nõue p > 0, 5, sest vastasel juhul pole mõtet sõnumeid üldse edastada. Samuti edastatakse sümboleid tavaliselt väikeste portsjonite kaupa, st m ei ole väga suur. Valides m = 50 ja p = 0, 99, saadakse t t vea esinemise tõenäosus 0,605 0,3056 0,0756 0,0122 0,00145 Kui kõik vead, millede arv t, on võimalik avastada koodsõna vastuvõtmisel, siis vastavat kodeerimismeetodit nimetatakse t viga avastavaks meetodiks 3. Kui kõik vead kuni vigade arvuni s on võimalik avastada ja ka automaatselt parandada, siis seda kodeerimismeetodit nimetatakse s viga korrigeerivaks meetodiks 4. 2 Cm t m! = t!(m t)!. 3 Inglise keeles: t-error detecting method. 4 Inglise keeles: s-error correcting method. 3
4 Koode võib liigitada mitmeti. Koode, milles kõik koodsõnad on ühe ja sama pikkusega, nimetatakse ühtlasteks koodideks 5. Näidetes esitatud koodid on ühtlased koodid. See-eest morse-kood pole ühtlane kood. Teiseks levinud kooditüübiks on lineaarne kood. Lineaarseid koode kirjeldame järgnevates alajaotustes. 7.2 Lineaarsed koodid Järgnevalt eeldatakse, et sümboltähestikuks Γ, milles kodeeritakse edastatavaid teateid, on alati lõplik korpus GL(q) = F q elementide arvuga q = p n, kus p on algarv. Erijuhul, kui n = 1, on selliseks korpuseks jäägiklassikorpus Z p. Tähistagu F n q otsekorrutist F n q = { (x 1,..., x n ) x 1,..., x n F q }. Hulk F n q on n-mõõtmeline vektorruum üle korpuse F q ning seetõttu saab tema elementidega teostada lineaarseid tehteid. Vektori x = (x 1,..., x n ) samastame sõnaga x 1 x 2... x n tähestikus F q, st x = (x 1,..., x n ) = x 1 x 2... x n. Seetõttu F n q on alamhulk sõnade hulgas F q. Definitsioon 7.1 Koodiks pikkusega n üle F q nimetatakse alamhulka C F n q. Kui koodsõna x C on edastatud ja vastu võetud sõnana y F n q, siis sõna e = y x = e 1... e n nimetatakse veasõnaks (ka: veavektor, viga). Näide 7.8 Näites 7.7 on koodiks C = { x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 F 6 2 x 4 = x 1 + x 2, x 5 = x 1 + x 3, x 6 = x 2 + x 3 }. Definitsioon 7.2 Koodi C F n q nimetatakse lineaarseks, kui C on vektorruumi alamruum, st C rahuldab nõudeid F n q x, z C = x + z C, x C, c F q = cx C. Kui seejuures alamruumi C mõõde on k, siis koodi C nimetatakse (n, k)-koodiks. Kui q = 2, siis koodi C nimetatakse binaarseks. Olgu C lineaarne (n, k)-kood. Siis C kui k-mõõtmeline vektorruum üle korpuse F q on isomorfne aritmeetilise ruumiga F k q. Seetõttu leidub injektiivne lineaarne kujutus γ : F k q F n q, nii et γ(f k q) = C 6. Sageli defineeritaksegi lineaarne (n, k)- kood kui mainitud injektiivne lineaarne kujutus γ. Sõna u F k q mõistetakse kui lähtesõna ja sõna γ(u) F n q on lähtesõna u kodeerituna. Lineaaralgebra kursusest on teada, et iga k-mõõtmeline alamruum n-mõõtmelisest vektorruumist koosneb teatava n k võrrandist koosneva lineaarse homogeense võrrandisüsteemi kõigist 5 Inglise keeles: block code. 6 Kujutuse γ injektiivsus tähendab, et erinevad elemendid kujutuvad erinevateks elementideks ehk u, v F k q, γ(u) = γ(v) = u = v. 4
5 lahenditest. Seega leidub lineaarne homogeenne võrrandisüsteem üle korpuse F q, mille lahenditeks on parajasti koodi C vektorid x = x 1 x 2... x n. Olgu see süsteem järgmine: h 11 x 1 + h 12 x h 1n x n = 0 h 21 x 1 + h 22 x h 2n x n = 0 (7.1) h n k,1 x 1 + h n k,2 x h n k,n x n = 0 Süsteem (7.1) on esitatav maatrikskujul kus Hx T = θ, x 1 0 h 11 h h 1n x T = x 2..., θ = 0..., H = h 21 h h 2n.... x n 0 h n k,1 h n k,2... h n k,n Märgime, et maatriksi H reavektorid on lineaarselt sõltumatud. Kood C on täielikult määratud maatriksiga H. Maatriksit H võib vaadelda ka kui teatava lineaarse kujutuse η : F n q F n k q maatriksit kanoonilistes baasides. Kood C on siis selle lineaarse kujutuse tuum: C = Ker η = { z F n q η(z) = θ } = { z F n q Hz T = θ }. Hakkame järgnevalt nimetama maatriksit H kontrollmaatriksiks 7. Maatriks H pole alamruumiga C üheselt määratud. Näites 7.7 on antud lineaarne (6, 3)-kood üle F 2 = Z 2 kontrollmaat- Näide 7.9 riksiga H = Lineaarse (n, k)-koodiga C saab seostada veel teise maatriksi. Selleks vaatleme seda koodi kui injektiivset lineaarset kujutust γ : F k q F n q, kus γ(f k q) = C. Kood C on täielikult määratud ka lineaarteisenduse γ maatriksiga ruumide F k q ja F n q mingitel baasidel. Valime nendeks baasideks loomulikud baasid: ruumis F k q baasi e 1 = (1, 0,..., 0) = , e 2 = (0, 1,..., 0) = ,..., e k = (0, 0,..., 1) = ja analoogilise baasi ε 1,... ε n ruumis F n q. Vaadeldav kood on siis täielikult määratud lineaarteisenduse γ maatriksiga G nendel baasidel. Maatriksi G veergudeks on ruumi 7 Inglise keeles: parity check matrix. 5
6 F k q baasivektorite kujutiste γ(e 1 ),..., γ(e k ) koordinaadid, st kui siis γ(e 1 ) = (a 11, a 21,..., a n1 ) = a 11 a a n1, γ(e 2 ) = (a 12, a 22,..., a n2 ) = a 12 a a n2, γ(e k ) = (a 1k, a 2k,..., a nk ) = a 1k a 2k... a nk, a 11 a a 1k G = a 21 a a 2k a n1 a n2... a nk Maatriksit G nimetatakse koodi C tekitavaks maatriksiks 8. Maatriksite H ja G konstruktsioonist järeldub vahetult, et HG = θ. (7.2) Kui maatriks G on teada, siis võrdust (7.2) saab kasutada vajaduse korral maatriksi H leidmiseks. Kui h = h 1... h n on maatriksi H mingi rida, siis on võrduse (7.2) kohaselt vektori h skalaarkorrutis maatriksi G iga veeruvektoriga võrdne nulliga, st Viimane võrrand maatrikskujul on a 11 h 1 + a 21 h a n1 h n = 0 a 12 h 1 + a 22 h a n2 h n = 0... a 1k h 1 + a 2k h a nk h n = 0 G T h T = θ. (7.3) Seega tuleb maatriksi H ridadeks valida lineaarse homogeense võrrandisüsteemi (7.3) (see on võrrandisüsteem h suhtes) lahendite ruumi baasivektorid. Näide 7.10 Näites 7.7 esitatud lineaarne (6, 3)-kood on antud injektiivse lineaarse kujutusega γ : F 3 2 F 6 2, kus γ(x 1 x 2 x 3 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ja Seetõttu x 4 = x 1 + x 2, x 5 = x 1 + x 3, x 6 = x 2 + x 3. γ(e 1 ) = γ(100) = , γ(e 2 ) = γ(010) = , γ(e 3 ) = γ(001) = Inglise keeles: generator matrix. 6
7 ja G = Paneme tähele, et näidetes 7.9 ja 7.10 saadud maatriksid H ning G näites 7.7 antud (6,3)-koodi jaoks on esitatavad kujudel H = P E 3 E, G = 3 P, kus E 3 on kolmandat järku ühikmaatriks ja P = Definitsioon 7.3 Kui lineaarse (n, k)-koodi C maatriksid H ja G on kujuga H = P E n k E, G = k P, kus E r on r-ndat järku ühikmaatriks, siis öeldakse, et kood C on standartses kujus. Kasutades võrrandisüsteemi Hx T = θ lahendamiseks üldtuntud Gaussi meetodit, võib hõlpsalt veenduda, et iga lineaarne kood on ekvivalentne standartsel kujul esitatud lineaarse koodiga, kui koodide ekvivalentsust mõista järgnevalt. Definitsioon 7.4 Koode C ja C nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub selline substitutsioon ( ) n π =, π(1) π(2)... π(n) et (x 1, x 2,..., x n ) C (x π(1), x π(2),..., x π(n) ) C. Näide 7.11 Olgu lõplikuks korpuseks valitud korpus F 3 = Z 3. Vaatleme (6, 3)-koodi C maatriksiga H = Lahendame võrrandisüsteemi Hx T = θ Gaussi meetodiga: III H =
8 I = H. Kuna võrrandisüsteemidel Hx T = θ ja H x T = θ on ühed ja samad lahendid, siis on kood C antav ka maatriksiga H : C = { x F 6 3 Hx T = θ } = { x F 6 3 H x T = θ }. Muutes maatriksi H veergude järjekorda substitutsiooni ( ) π = kohaselt, st i-nda veeru paigutame π(i)-ndaks veeruks, saadakse maatriks H = Maatriksile H vastav lineaarne kood C on ekvivalentne esialgse koodiga C. 7.3 Hammingi kaugus Lineaarse koodi γ : F k q F n q korral on koodsõnadeks vektorruumi F n q alamruumi C = γ(f k q) elemendid. Koodsõnade x = x 1 x 2... x n ja y = y 1 y 2... y n erinevuse mõõtmiseks on kasutusele võetud nendevaheline Hammingi kaugus d(x, y) 9. Definitsioon 7.5 Vektorite x = x 1... x n ja y = y 1... y n (x, y F n q ) vaheliseks Hammingi kauguseks d(x, y) nimetatakse nende vektorite mittekokkulangevate koordinaatide arvu: d(x, y) = { i x i y i ; i = 1,..., n }. Vektori x F n q Hammingi kaaluks nimetatakse selle vektori nullist erinevate koordinaatide arvu w(x), st w(x) = d(x, θ) (θ - nullvektor). Lihtne on veenduda, et Hammingi kaugus rahuldab kõiki kauguse ültuntud omadusi, st 1 0 d(x, y) 0, 2 0 d(x, y) = 0 x = y, 3 0 d(x, y) = d(y, x), 4 0 d(x, y) d(x, z) + d(z, y), kus x, y, z F n q. Näide 7.12 Kui x = Z 6 2 ja y = Z 6 2, siis d(x, y) = 3. 9 Richard Wesley Hamming ( ) - ameerika matemaatik. 8
9 Definitsioon 7.6 Koodi C minimaalseks kauguseks nimetatakse arvu d min = min u, v C, u v d(u, v). Niisiis, kui võetakse vastu koodsõna y, siis on loomulik seda dekodeerida sellele sõnale Hammingi kauguse mõttes lähimaks koodsõnaks. Näide 7.13 Näites 7.7 saadakse kood C = γ(f k q) = {111000, , , , , , , }. Tähistades koodsõnade hulga C elemendid ülaltoodud järjekorras vastavalt numbritega 1, 2,..., 8, on elementide i ja j vaheline kaugus d(i, j) esitatud järgneva tabeli i-ndas reas ja j-ndas veerus: Saadud tabelist on näha, et vaadeldava koodi minimaalne kaugus on 3. Tähistagu edaspidi sfääri keskpunktiga x ja raadiusega r. Näide 7.14 S r (x) = { y F n q d(x, y) r } Näites 7.13 esitatud koodi korral S 1 (000000) = { , , , , , , }, S 2 (000000) = { , , , , , , , , , , , , , , }. Kui vastu võetud sõna y = y 1 y 2... y n esineb ainult ühes sfääridest S r (x), mis on võetud koodsõnade x C ümber, siis sõna y dekodeeritakse selle sfääri keskpunktiks x. Teatud põhjustel valitakse sfäärid ümber koodsõnade ühe ja sama raadiusega r. See arv r püütakse valida võimalikult suurena nii, et sfäärid raadiusega r ümber koodsõnade ei lõiku omavahel. Seega peab valima r nii, et r d 1 2, kus d = d min. 9
10 Kui valida r mainitud viisil ja y S r (x), x C, siis d(x, y) (d 1)/2, st on võimalik parandada (d 1)/2 vigaselt vastu võetud sümbolit 10. Nagu märgitud, kui koodsõna x C edastamisel läbi kanali võeti vastu sõna y, siis selle dekodeerimisel leitakse sõnale y lähim koodsõna x C: d(x, y) = min x C d(x, y). Kui seejuures d(x, y) d 1, siis on koodsõna x vastuvõtmisel tekkinud vähemalt viga d(x, y) sümboli osas. Seetõttu on vaadeldav kood võimeline avastama d 1 viga. Oleme saanud teoreemi: Teoreem 7.1 Lineaarne kood minimaalse kaugusega d võib korrigeerida d 1 2 viga ja avastada d 1 viga. Näide 7.15 Vaatleme näites 7.14 esitatud koodi. Kuna siin d = 3, siis see kood on võimeline avastama kuni 2 viga ja parandama ühe vea. Oletame, et koodsõna x = x 1... x 6 võeti vastu sõnana y = Sõna y ei kuulu koodsõnade hulka, st koodsõna x on vastu võetud vigaselt. Arvutades sõna y kaugused kõigist kaheksast koodsõnast 1, 2,..., 8 (nummerdatud vastavalt näitele 7.14), saadakse vastavalt 1, 2, 4, 3, 2, 5, 3, 4. Lähim koodsõna sõnale y on ja seetõttu dekodeeritaksegi ta sõnaks Siin avastati ja parandati tekkinud viga koodsõna eelviimase sümboli edastamisel. 7.4 Lineaarse koodi dekodeerimine Vaatleme lineaarset (n, k) koodi C: γ : F k q F n q, γ(f k q) = C = { x F n q Hx T = θ } F n q. Olukord on järgmine. Lähteinformatsioon on esitatud sõnana a F k q, sõna a kodeeritakse kujutusega γ koodsõnaks x = γ(a) C, mis edastatakse mööda kanalit ja võetakse vastu sõnana y F n q. Koodsõna x edastamisel tekkinud viga on e = y x ehk x = e y C. Seega kehtib faktorruumis F n q /C võrdus e + C = y + C ehk e y + C. (7.4) Kuna me soovime, et dekodeerimisel oleks vigaste sümbolite arv võimalikult väike, siis tuleneb seosest (7.4) järgmine dekodeerimisreegel: 1) kõrvalklassist y + C tuleb valida vähima kaaluga element e : w(e ) = min e y+c w(e), 2) vastu võetud sõna y dekodeeritakse koodsõnaks x = y e. 10 Kui c R, siis c tähistab suurimat täisarvu, mis ei ületa arvu c. 10
11 Definitsioon 7.7 Kõrvalklassi y + C vähima kaaluga elementi e nimetatakse selle kõrvalklassi juhtelemendiks. Kui kõrvalklassis y + C on mitu elementi ühe ja sama minimaalse kaaluga, siis valitakse neist juhtelemendiks välja ainult üks element. Näide 7.16 Vaatleme jälle näites 7.7 esitatud lineaarset (6,3)-koodi C. Koodsõnade hulgas C on 8 elementi ja need loetleti näites Leiame faktorruumi Z 6 2/C elemendid ehk kõik kõrvalklassid y+c. Neid on = 8 tükki. Üheks kõrvalklassiks on K 1 = C. Järgmise kõrvalklassi K 2 saamiseks valime mis tahes elemendi y 2 hulgast Z 6 2 \K 1 ja leiame K 2 = y 2 +C. Kolmanda kõrvalklassi K 3 saamiseks valime mis tahes elemendi y 3 hulgast Z 6 2 \ (K 1 K 2 ) ja leiame K 3 = y 3 + C. Analoogiliselt jätkates saadakse kätte kõik 8 vajalikku kõrvalklassi. Need on: K 1 = {111000, , , , , , , }, K 2 = {111001, , , , , , , }, K 3 = {111010, , , , , , , }, K 4 = {111100, , , , , , , }, K 5 = {110000, , , , , , , }, K 6 = {101000, , , , , , , }, K 7 = {011000, , , , , , , }, K 8 = {011001, , , , , , , }. Kõrvalklassides K 1 K 7 on minimaalse kaaluga ja seega juhtelementideks vastavalt elemendid , , , , , ja Kõrvalklassis K 8 on aga minimaalse kaaluga 2 kolm elementi , ja Juhtelemendiks võib neist kolmest elemendist valida vabalt ainult ühe. Vähegi suuremate n ja k korral on selliste kõrvalklasside tabelite säilitamine küllaltki ebamugav. Seetõttu toimitakse järgmiselt. Definitsioon 7.8 Vektori y F n q sündroomiks nimetatakse vektorit S(y) = Hy T F n k q, kus H on vaadeldava lineaarse koodi kontrollmaatriks. siis Kuna S(z) = Hz T = θ z C, S(z) = S(y) z + C = y + C. Kui e = y x, x C, siis S(e) = S(y). Seetõttu toimitakse dekodeerimisel järgmiselt. Kui y on vastu võetud sõna, siis leitakse selle sõna sündroom S(y) ja selle sündroomiga kõrvalklassi juhtelement e. Siis eeldatav esialgne koodsõna x on x = y e. Sellise valiku korral d(x, y) = min{ d(c, y) c C }. 11
12 Otstarbekas on seega säilitada kõrvalklasside juhtelemendid ja nende sündroomid. Näide 7.17 Olgu vaadeldav kood sama nagu näites Seal saime kõigi kõrvalklasside juhtelemendid: , , , , , , , Nende elementide z sündroomid Hz T on vastavalt 000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111. Olgu vastu võetud sõna y = Tema sündroom on S(y) = Hy T = 010. Sama sündroomiga on juhtelement e = Seega kodeerime sõna y sõnaks x = y e = = Ehkki äsja kirjeldatud eeskiri dekodeerimiseks on mugavam kui esialgne, on ka see praktiliselt mittekasutatav. Näiteks, kui vaadelda (50, 20)-koodi üle F 2 = Z 2, siis on juba tegemist ligikaudu 10 9 kõrvalklassiga. Seetõttu tuleb konstrueerida paremaid koode. Vaatleme siinkohal ühte neist. Vaatleme binaarset lineaarset koodi C F n 2 = Z n 2 maatriksiga H. Säilitame varasemad tähistused: e = y x, x C, S(y) = S(e) = He T, e = e 1... e n Z n 2, e i Z 2. Tähistame maatriksi H veerge H 1,..., H n. Siis S(e) = He T = e 1 H e n H n. Seega: binaarse koodi korral vea e sündroom võrdub maatriksi H nende veergude summaga, kus viga esines. Maatriksi H veerud peaksid erinema nullvektorist, sest kui näiteks i-nda veeru elemendid on nullid, siis pole võimalik avastada vektori y i-ndas komponendis viga. Samuti peaksid maatriksi H kõik veerud omavahel olema erinevad, sest vastasel juhul pole võimalik eristada vea esinemise kohti. Seetõttu oleks sobiv binaarse koodi korral maatriks H valida järgmiselt. Tähistagu siinkohal m maatriksi H ridade arvu (erinevalt varasematest tähistustest). Maatriksi H veergudeks aga valime kõikvõimalikud nullvektorist erinevad vektorid ruumist Z m 2. Selliseid vektoreid on n = 2 m 1 tükki. Veeruvektorite järjestamiseks maatriksis kasutame leksikograafilist järjestust 11. Näiteks m = 3 korral saame H = (7.5) Sellise maatriksiga kood on binaarne (2 m 1, 2 m 1 m)-kood. Saadud koodi nimetatakse binaarseks Hammingi koodiks ja seda tähistatakse C m. Koodi C m minimaalne kaugus on 3, st see kood on võimeline parandama iga üksiku vea. 11 Kui u = u 1... u m ja v = v 1... v m, siis u v parajasti siis, kui u = v või leidub selline indeks i 1, et u 1 = v 1,..., u i 1 = v i 1 ja u i < v i. 12
13 Näide 7.18 Binaarse Hammingi koodi C 3 kontrollmaatriks on antud valemiga (7.5). Selle maatriksi esimene veerg on arvu 1 binaarne esitus, teine veerg on arvu 2 binaarne esitus jne.. Kui S(y) = 101, siis ka S(e) = 101. Et 101 on arvu 5 binaarne esitus, siis järeldame, et edastamisel tekkis viga viienda sümboliga. Teoreem 7.2 Binaarne Hammingi kood C m rahuldab omadust x 1 x 2... x n 1 x n C m = x n x 1 x 2... x n 1 C m. Teoreemi 7.2 õigsus järeldub vahetult maatriksi H konstruktsioonist. 7.5 Tsüklilised koodid Käesolevas alajaotuses on eeldatud, et kooditähestikuks on Γ = F q. Eesmärgiks on kirjeldada lineaarse koodi erijuhtu - tsüklilist koodi. Definitsioon 7.9 Alamruumi C F n q rahuldab tingimust nimetatakse tsükliliseks koodiks, kui ta v = (v 0, v 1,..., v n 1 ) C = (v n 1, v 0,..., v n 2 ) C. (7.6) Üheks tsüklilise koodi erijuhuks on eelmises alajaotuses kirjeldatud binaarne Hammingi kood C m. Hakkame sõna v 0 v 1... v n 1 = (v 0, v 1,..., v n 1 ) F n q esitame siin polünoomina v 0 + v 1 x + v 2 x v n 1 x n 1 F q [x]: v 0 v 1... v n 1 = (v 0, v 1,..., v n 1 ) = v 0 + v 1 x + v 2 x v n 1 x n 1. (7.7) Tähistagu V n kõigi ülimalt (n 1)-nda astme polünoomide hulka üle F q : Kuna V n = { v F q [x] deg v < n } F q [x]. u, v V n = u + v V n, v V n, c F q = cv V n, siis V n on alamruum ruumis F q [x]. Samastamine (7.7) on õigustatud, sest kujutus (v 0, v 1,..., v n 1 ) v 0 + v 1 x + v 2 x v n 1 x n 1 määrab isomorfismi vektorruumide F n q ja V n vahel. Samastamise tõttu F n q = V n. Kirjeldame veel ühte vektorruumide F n q ja V n esitust. Valime polünoomi x n 1 F q [x], moodustame selle järgi ringi F q [x] peaideaali (x n 1) = (x n 1) F q [x] ning vaatleme faktorringi W n = F q [x]/(x n 1) = { v + (x n 1) v F q [x] }. 13
14 See faktorring on ka vektorruum üle F q. Polünoomide teooriast on teada, et faktorringi W n moodustavate kõrvalklasside esindajate süsteemiks on kõik ülimalt (n 1)- nda astme polünoomid, st vektorruumi V n elemendid. Seetõttu samastati kõrvalklass v +(x n 1), v V n teda esindava elemendiga v. Selline samastamine on õigustatud, sest kujutus v v + (x n 1), v V n, määrab vektoruumide isomorfismi V n ja W n vahel. Sooritatud samastamise tõttu W n = V n. Juhime tähelepanu asjaolule, et W n on ka ring, st tema elemente saab korrutada. Korrutamine ringis W n tekitab korrutamise ka vektorruumis V n : kuna kõrvalklasside hulgas (faktorhulgas) W n on kõrvalklasside korrutis antud reegliga (u + (x n 1)) (v + (x n 1)) = uv + (x n 1), u, v V n, siis tuleb nende kõrvalklasside esindajate u V n ja v V n korrutiseks u v hulgas V n lugeda korrutiskõrvalklassi uv + (x n 1) esindaja, st u v võrdub polünoomide u ja v korrutise uv jagamisel polünoomiga x n 1 tekkiva jäägiga ehk korrutada tuleb mooduli x n 1 järgi (nagu tavaliselt jäägiklassiringides). Edaspidi tähistame ka korrutist u v kujul uv. Erijuhul saame, et ringis V n kehtib Võrdusest (7.8) järeldub lihtne, kuid kasulik omadus: Tõepoolest, x n = 1. (7.8) v = (v 0, v 1,..., v n 1 ) V n = xv = x v = (v n 1, v 0,..., v n 2 ). (7.9) xv = x (v 0, v 1,..., v n 1 ) = x(v 0 + v 1 x + v 2 x v n 1 x n 1 ) = = v 0 x + v 1 x 2 + v 2 x v n 2 x n 1 + v n 1 = = v n 1 + v 0 x + v 1 x 2 + v 2 x v n 2 x n 1 = = (v n 1, v 0,..., v n 2 ). Teoreem 7.3 Olgu C V n lineaarne kood. Siis C on tsükliline parajasti siis, kui C on ringi V n ideaal. Tõestus. Olgu C V n lineaarne kood. Eeldame esmalt, et ta on tsükliline. Valime suvalise polünoomi f = m i=0 a ix i F q [x] ja koodsõna v C. Kuna C on tsükliline ja ühtlasi alamruum ruumis V n, siis omaduse (7.9) kohaselt xv C, x i v C, a i x i v C, fv = ( m a i x i )v = i=0 m a i x i v C, st C on alamring ja ka ideaal ringis V n. Eeldame nüüd, et C on ideaal ringis V n. Siis xv C iga v C korral ja omaduse (7.9) ning definitsiooni 7.9 põhjal on kood C tsükliline. Märgime, et kui C on ringi V n ideaal, siis ta on ka alamruum ruumis V n ja seega lineaarne kood. 14 i=0
15 Teoreem 7.4 Olgu C on ringi V n nullideaalist erinev ideaal. Siis leidub ainult üks normeeritud polünoom g V n nii, et C = (g) ja g (x n 1). Tõestus. Olgu C ringi V n nullideaalist erinev ideaal ja g madalaima astmega nullist erinev polünoom ideaalist C (g F q [x], deg g < n). Kuna C on ideaal, siis (g) C. Valime suvalise elemendi v C. Jagades polünoomi v jäägiga polünoomiga g, saadakse v = qg + r, kus r F q [x], deg r < deg g. Kuna C on ideaal, siis r = v qg C ja g valiku tõttu r = 0, st v = qg (g). Järelikult C (g), kust (g) C tõttu (g) = C. Jagame polünoome x n 1 ja g jäägiga ringis F q [x]: x n 1 = q 0 g + r 0, deg r 0 < deg g < n. Kui q 1 on kõrvalklassi q 0 + (x n 1) F q [x]/(x n 1) esindaja, siis ringis V n saame võrduse 0 = q 1 g + r 0 ehk r 0 = q 1 g (g) = C. Jälle polünoomi g valiku tõttu r 0 = 0, st x n 1 = q 0 g ja g (x n 1). Kui c F q, siis ilmselt (g) = (cg). Kui leidub veel teiene polünoom g 1 V n nii, et C = (g 1 ) ja g 1 (x n 1), siis g 1 g ja g g 1, mistõttu g 1 = cg mingi c F q korral. Siit järeldub, et normeeritud polünoomide seas leidub ainult üks polünoom g teoreemi sõnastuses näidatud omadustega. Definitsioon 7.10 Kui C on ringi V n ideaal ja g on teda tekitav normeeritud polünoom, siis polünoomi g nimetatakse vastava tsüklilise koodi C tekitajaks, koodi C elemente aga nimetatakse koodsõnadeks, koodpolünoomideks või koodvektoriteks. Kui g on tsüklilise koodi C tekitaja, siis kodeerimine on väga lihtne: sõna a 0 a 1... a k 1 kodeeritakse koodsõnaks (a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 ) g (korrutamine ringis V n ). Näide 7.19 Vaatleme polünoomi g = 1 + x 2 + x 3 + x 4 Z 2 [x] = F 2 [x]. Kuna x 7 1 = (1 + x 2 + x 3 ) g, siis saab vaadelda tsüklilist (7, 3)-koodi, mis tekitatakse polünoomi g poolt. Kodeeritavad sõnad on siin pikkusega 3 ja koodsõnad on pikkusega 7. Kodeeritavad sõnad on 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 ja nende esitused polünoomidena on 0, x 2, x, x + x 2, 1, 1 + x 2, 1 + x, 1 + x + x 2. Korrutades need polünoomid polünoomiga g, saadakse 0, x 2 + x 4 + x 5 + x 6, x + x 3 + x 4 + x 5, x + x 2 + x 3 + x 6, 1 + x 2 + x 3 + x 4, 1 + x 3 + x 5 + x 6, 1 + x + x 2 + x 5, 1 + x + x 4 + x 6. 15
16 Kirjutades saadud polünoomid ümber vektoritena, saadaksegi koodsõnade hulk ehk kood C = { , , , , , , , }. Selle koodi tekitavaks maatriksiks G on kodeeriva lineaarse kujutuse γ : Z 3 2 Z 7 2 maatriks loomulikel baasidel 1, x, x 2 ja 1, x, x 2,..., x 6, st maatriksi G veergudeks (ehk transponeeritud maatriksi G T ridadeks) on polünoomide 1, x, x 2 kodeerimisel (polünoomiga g korrutamisel) saadud polünoomide kordajad: G T = Leiame ka kontrollmaatriksi H. Maatriksi H reavektor h = (h 1,..., h 7 ) rahuldab lineaarset homogeenset võrrandisüsteemi G T h T = θ. Maatriksi H reavektoriteks võib seetõttu valida võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendite fundamentaalsüsteemi (st lahendite ruumi baasivektorid). Kuna maatriks G T sisaldab juba ühikmaatriksi veerge, siis saab kohe leida vaadeldava võrrandisüsteemi lahendid. Süsteemi esimesest, teisest ja kolmandast võrrandist avaldame h 1, h 2 ja h 7 : h 1 = h 3 + h 4 + h 5, h 2 = h 4 + h 5 + h 6, h 7 = h 3 + h 5 + h 6. Valides vabade tundmatute vektori h 3 h 4 h 5 h 6 väärtusteks 1000, 0100, 0010 ja 0001, saadakse süsteemi G T h T = θ lahendite fundamentaalsüsteemiks , , , Need vektorid ongi maatriksi H reavektoriteks: H =
17 7.6 Ülesandeid 7.1 Kas IBSN-kood on korrektne? Lisada IBSN-koodis lõpus puuduv number. Vastus: On korrektne; X. 7.2 Olgu antud binaarne (5,2)-kood γ : Z 2 2 Z 5 2 tekitava maatriksiga G = Leida vastav kontrollmaatriks H, kõik sündroomid ja kõrvalklasside juhtelemendid. Lahendus. Kuna Z 2 2 = {a 1, a 2, a 3, a 4 }, kus a 1 = 00, a 2 = 01, a 3 = 10, a 4 = 11, siis koodsõnade hulk on Et siis C = {Ga T 1, Ga T 2, Ga T 3, Ga T 4 } Ga T 1 = = ,......, Ga T 4 = = 1 1, C = {00000, 10010, 01111, 11101}. Faktorruumi Z 5 2/C mõõde on 3, st ta sisaldab 2 3 = 8 elementi. Leiame näite 7.16 eeskujul kõik kaheksa kõrvalklassi: K 1 = C = {00000, 10010, 01111, 11101}, K 2 = C = {00001, 10011, 01110, 11100}, K 3 = C = {00010, 10000, 01101, 11111}, K 4 = C = {00100, 10110, 01011, 11001}, K 5 = C = {01000, 11010, 00111, 10101}, K 6 = C = {10001, 00011, 11110, 01100}, K 7 = C = {11000, 01010, 10111, 00101}, K 8 = C = {10100, 00110, 11011, 01001}. Valime igast kõrvalklassist ühe minimaalse kaaluga elemendi, st juhtelemendi: ε 1 = 00000, ε 2 = 00001, ε 3 = 00010, ε 4 = 00100, 17
18 ε 5 = 01000, ε 6 = 00011, ε 7 = 11000, ε 8 = Maatriksi H reavektoriteks h tuleb võtta lineaarse homogeense võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendite ruumi baasivektorid. Selle süsteemi maatriks on G T = Seega vaadeldava süsteemi korral 12 h 1 = h 4, h 2 = h 3 + h 4 + h 5. Valides üksteise järel h 3 h 4 h 5 = 100, h 3 h 4 h 5 = 010 ja h 3 h 4 h 5 = 001, saadakse võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendite ruumi baasivektoriteks 01100, ja ning seega H = Juhtelementidele ε 1,..., ε 8 vastavad sündroomid tulevad S(ε 1 ) = Hε T 1 = 000, S(ε 2 ) = Hε T 2 = 001, S(ε 3 ) = Hε T 3 = 010, S(ε 4 ) = Hε T 4 = 100, S(ε 5 ) = Hε T 5 = 111, S(ε 6 ) = Hε T 6 = 011, S(ε 7 ) = Hε T 7 = 101, S(ε 8 ) = Hε T 8 = On antud binaarne kood C = γ(z k 2) Z 5 2 tekitava maatriksiga G = Leida: a) rank(g) = k, b) koodi minimaalne kaugus, c) maatriks H, d) kõik koodsõnad. Lahendus. Kuna maatriksi G kolmest esimesest reast moodustatud miinor on nullist erinev, siis k = rank(g) = 3. Koodsõnade hulga C = { Gu T u Z 3 2 } leidmiseks tuleb leida korrutised Gu T hulga Z 3 2 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} iga elemendi u jaoks. Siit saame koodsõnade hulgaks C = {00000, 10011, 00101, 10110, 01001, 11010, 01100, 11111}. Tähistades koodsõnade hulga C elemendid ülaltoodud järjekorras vastavalt numbritega 1, 2,..., 8, on elementide i ja j vaheline kaugus d(i, j) esitatud järgneva tabeli i-ndas reas ja j-ndas veerus: 12 Siin pole võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendamiseks Gaussi meetodit vaja rakendada, sest maatriksis G T juba esinevad ühikmaatriksi veerud. 18
19 Saadud tabelist on näha, et vaadeldava koodi minimaalne kaugus on 2. Maatriksi H reavektoriteks h tuleb võtta lineaarse homogeense võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendite ruumi baasivektorid. Selle süsteemi maatriks on G T = Seega vaadeldava süsteemi korral 13 h 1 = h 4 + h 5, h 2 = h 5, h 3 = h 5. Valides üksteise järel h 4 h 5 = 10 ja h 4 h 5 = 01, saadakse võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendite ruumi baasivektoriteks ja ning seega H = On antud binaarne Hammingi (7, 4)-kood C = {x Z 7 2 Hx T = θ }, kus H = Dekodeerida vastu võetud sõna y = Lahendus. Leiame sõna y sündroomi S(y) = 011. Saadud sündroom asub maatriksi H kuuendas veerus. Seega viga esineb vastu võetud sõna y kuuendas sümbolis. Järelikult tuleb sõna y dekodeerida sõnaks Lihtne on veenduda, et viimase sõna sündroom on Binaarne tsükliline (3, 1)-kood C tekitatakse polünoomiga g = 1+x+x 2. Leida koodsõnade hulk C, tekitav maatriks G ja kontrollmaatriks H. Vastus: C = { 000, 111 }, G T = , H = Siin pole võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendamiseks Gaussi meetodit vaja rakendada, sest maatriksis G T juba esinevad ühikmaatriksi veerud. 19
20 7.6 Vaatleme polünoomi g = 1+x poolt tekitatud tsüklilist (n, n 1)-koodi. Leida, milleks kodeeritakse lähtesõna a 0 a 1... a n 2. Lahendus. Lähtesõna a 0 a 1... a n 2 esitus polünoomina on a 0 +a 1 x...+a n 2 x n 2. See sõna kodeeritakse sõnaks (a 0 + a 1 x... + a n 2 x n 2 ) g = (a 0 + a 1 x... + a n 2 x n 2 ) (1 + x) = = a 0 + (a 0 + a 1 )x + (a 1 + a 2 )x (a n 3 + a n 2 x n 2 + a n 2 x n 1, st sõnaks a 0 (a 0 + a 1 )(a 1 + a 2 )... (a n 3 + a n 2 )a n Binaarne tsükliline (6, 2)-kood C tekitatakse polünoomiga g = 1 + x 2 + x 4. Leida koodsõnade hulk C, tekitav maatriks G ja kontrollmaatriks H. Lahendus. Kuna x 6 1 = (1+x) 2 g, siis saab vaadelda tsüklilist (6, 2)-koodi, mis tekitatakse polünoomi g poolt. Kodeeritavad sõnad on siin pikkusega 2 ja koodsõnad on pikkusega 6. Kodeeritavad sõnad on ja nende esitused polünoomidena on 00, 01, 10, 11 0, x, 1, 1 + x. Korrutades need polünoomid polünoomiga g, saadakse 0, x + x 3 + x 5, 1 + x 2 + x 4, 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5. Kirjutades saadud polünoomid ümber vektoritena, saadaksegi koodsõnade hulk ehk kood C = {000000, , , }. Selle koodi tekitavaks maatriksiks G on kodeeriva lineaarse kujutuse γ : Z 2 2 Z 6 2 maatriks loomulikel baasidel 1, x ja 1, x, x 2,..., x 5, st maatriksi G veergudeks (ehk transponeeritud maatriksi G T ridadeks) on polünoomide 1, x kodeerimisel (polünoomiga g korrutamisel) saadud polünoomide kordajad: G T = Leiame ka kontrollmaatriksi H. Maatriksi H reavektor h = (h 1,..., h 6 ) rahuldab lineaarset homogeenset võrrandisüsteemi G T h T = θ. Maatriksi H reavektoriteks võib valida võrrandisüsteemi G T h T = θ lahendite fundamentaalsüsteemi (st lahendite ruumi baasivektorid). Kuna maatriks G T sisaldab juba ühikmaatriksi veerge, siis saab kohe leida vaadeldava võrrandisüsteemi lahendid. Süsteemi esimesest ja teisest võrrandist avaldame h 1 ja h 2 : { h 1 = h 3 + h 5, h 2 = h 4 + h 6. 20
21 Valides vabade tundmatute vektori h 3 h 4 h 5 h 6 väärtusteks 1000, 0100, 0010 ja 0001, saadakse süsteemi G T h T = θ lahendite fundamentaalsüsteemiks , , , Need vektorid ongi maatriksi H reavektoriteks: H =
Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemMicrosoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx
IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
RohkemPALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo
PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
RohkemMicrosoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx
Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
RohkemKomisjoni delegeeritud määrus (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti ka
L 256/4 Euroopa Liidu Teataja 22.9.2012 MÄÄRUSED KOMISJONI DELEGEERITUD MÄÄRUS (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti kasutamiseks,
RohkemG aiasoft Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon ja hilisemad K
Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon 6.3.1.51 ja hilisemad Kasutaja juhend 2016 Sisukord 1. Sissejuhatus...3 2. Liidese häälestus...3
RohkemE-arvete juhend
E- arvete seadistamine ja saatmine Omniva kaudu Standard Books 7.2 põhjal Mai 2015 Sisukord Sissejuhatus... 3 Seadistamine... 3 Registreerimine... 4 E- arve konto... 5 Vastuvõtu eelistus... 5 Valik E-
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
RohkemTehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemloogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd
. Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
RohkemMining Meaningful Patterns
Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
RohkemDVD_8_Klasteranalüüs
Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte
RohkemVRG 2, VRG 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemOsakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.
Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu
Rohkem1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad
1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-
RohkemGRUPI-SMS Veebirakenduse kasutamise juhend Rakendus Elisa grupi-smsi rakendus Väljaandja Elisa Eesti AS Juhendi koostamise kuupäev Versioon
GRUPI-SMS Veebirakenduse kasutamise juhend Rakendus Elisa grupi-smsi rakendus Väljaandja Elisa Eesti AS Juhendi koostamise kuupäev 05.02.2018 Versiooni kuupäev 30.01.2018 1 SISUKORD 1. ÜLEVAADE... 3 1.1
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
RohkemVL1_praks2_2009s
Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemHWU_AccountingAdvanced_October2006_EST
10. Kulude periodiseerimine Simulatsioone (vt pt 5) kasutatakse ka juhul, kui soovitakse mõnd saadud ostuarvet pikemas perioodis kulusse kanda (nt rendiarve terve aasta kohta). Selleks tuleb koostada erinevad
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
RohkemMaksu- ja Tolliamet MAKSUKOHUSTUSLANE Vorm KMD INF Nimi Registri- või isikukood A-osa ANDMED VÄLJASTATUD ARVETE KOHTA. Esitatakse koos käibedeklaratsi
Vorm KMD INF A-osa ANDMED VÄLJASTATUD ARVETE KOHTA. Esitatakse koos käibedeklaratsiooniga maksustamisperioodile järgneva kuu 0. kuupäevaks Kinnitan, et deklareeritavad arved puuduvad Esitan arvete andmed
RohkemMicrosoft Word - RM_ _17lisa2.rtf
Maksu- ja Tolliamet Maksukohustuslane Vorm KMD INF Nimi Registri- või isikukood A-osa ANDMED VÄLJASTATUD ARVETE KOHTA Esitatakse koos käibedeklaratsiooniga maksustamisperioodile järgneva kuu 20. kuupäevaks
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
Rohkemloeng2
Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)
RohkemEuroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu
Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat
RohkemKASUTUSJUHEND
KASUTUSJUHEND Sissejuhatus Kui valvesüsteem on valvessepanekuks valmis ning puuduvad rikke- ning häireteated, kuvatakse sõrmistiku displeil kellaaeg, kuupäev ning tekst Enter Your Code sisestage kood Peale
RohkemVKE definitsioon
Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemMicrosoft Word - Praks1.doc
Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise
RohkemPythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo
Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemVRB 2, VRB 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 6) VR - tee ventiil, sise- ja väliskeere 3-tee ventiil, sise- ja väliskeere Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehaaniline snepperühendus täiturmootoriga
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemSaksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi
Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat
RohkemPÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019
PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...
Rohkemefo09v2pke.dvi
Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemM16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT
1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
RohkemMicrosoft Word - Vorm_TSD_Lisa_1_juhend_2015
TSD lisa 1 täitmise juhend Olulisemad muudatused deklareerimisel alates 01.01.2015 vorm TSD lisal 1. Alates 01.01.2015 muutus vorm TSD ja tema lisad. Deklaratsioonivorme muutmise peamine eesmärk oli tagada
RohkemMicrosoft Word - Iseseisev töö nr 1 õppeaines.doc
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Raadio- ja sidetehnika instituut Mikrolainetehnika õppetool Iseseisva töö nr 1 juhend õppeaines Sideseadmete mudeldamine Ionosfäärse sidekanali mudeldamine Tallinn 2006 1 Teoreetilised
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemLisa I_Müra modelleerimine
LISA I MÜRA MODELLEERIMINE Lähteandmed ja metoodika Lähteandmetena kasutatakse AS K-Projekt poolt koostatud võimalikke eskiislahendusi (trassivariandid A ja B) ning liiklusprognoosi aastaks 2025. Kuna
RohkemMajandus- ja kommunikatsiooniministri 10. aprill a määrus nr 26 Avaliku konkursi läbiviimise kord, nõuded ja tingimused sageduslubade andmiseks
Majandus- ja kommunikatsiooniministri 10. aprill 2013. a määrus nr 26 Avaliku konkursi läbiviimise kord, nõuded ja tingimused sageduslubade andmiseks maapealsetes süsteemides üldkasutatava elektroonilise
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemItella Estonia OÜ Uuendatud EXPRESS BUSINESS DAY BALTICS PAKKIDE JA ALUSTE TRANSPORT Express Business Day Baltics paki lubatud maksimaalsed
Itella Estonia OÜ Uuendatud 05.06.2019 EXPRESS BUSINESS DAY BALTICS PAKKIDE JA ALUSTE TRANSPORT Express Business Day Baltics paki lubatud maksimaalsed kaalud ja mõõdud Min. kaal 100 g Maks. kaal 35 kg
Rohkem(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)
TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg
Rohkem