9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i tunnus................................. 25 9.3 Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus.................... 27 9.4 D Alembert i tunnus.............................. 29 9.5 Cauchy tunnus................................. 220 Eksamiteemad. Leibniz i tunnus vahelduvate märkidega rea kohta. 2. Omadus, et vahelduvate märkidega harmooniline rida koondub. 3. Absoluutselt koonduva ja tingimisi koonduva rea mõisted. 4. D Alembert i tunnus. 5. Cauchy tunnus. 23
9. Vahelduvate märkidega read 9. Vahelduvate märkidega read Olgu antud arvjada (u n ), kus u n > 0, n = 0,, 2,.... Definitsioon 9. Rida ( ) n u n = u 0 u + u 2 u 3 + + ( ) n u n +... (9.) nimetatakse vahelduvate märkidega reaks. The divergent series are the invention of the devil, and it is a shame to base on them any demonstration whatsoever. By using them, one may draw any conclusion he pleases and that is why these series have produced so many fallacies and so many paradoxes. (Neils Henrik Abel, norra matemaatik, 802-829) Näide 9. Vahelduvate märkide harmooniline rida on kujul ( ) k k = 2 + 3 4 +.... Näiteks võib tuua veel järgmise rea: ( ) k = + +.... 2k + 3 5 7 Näide 9.2 Kõige lihtsama rakendusena võiks tuua π arvutamise, näiteks Gregory-Leibniz i reaga: π 4 = ( ) k 2k + = 3 + 5 7 + 9 +..., Allikas: [3] kuid kahjuks näeb see küll ilus välja, aga on väga ebaefektiivne. Kui liita rea esimesed pool miljonit liiget, siis võib sellega saavutada ainult viis π õiget komakohta. Seda on ilmselgelt väga vähe. Oluliselt kiiremini koondub Nilakantha (india 5. sajandi matemaatik, Kelallur Nilakantha Somayaji) rida: 4 (π 3) = ( ) k+ 2k (2k + ) (2k + 2) = 2 3 4 4 5 6 +.... k= Analoogiliselt on välja töötatud teisigi ridu, sealhulgas efektiivsemaid, kui siintoodud. Vahelduvate märkidega ridu võib eelkõige kohata näiteks võnkumistega seotud protsessides. Siinjuures, mõeldes näiteks Taylor i valemist tuletatavale siinuse astmereale: sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! +..., kus saame arvrea, fikseerides argumendi x. 24
9. Leibniz i tunnus 9.2 Leibniz i tunnus Lause 9. Leibniz i tunnus ([3, 5]). Kui n = 0,, 2, 3,... jaoks on täidetud tingimused. u n > 0; 2. u n u n+ (üldliikmete jada on monotoonselt kahanev); 3. lim u n = 0, siis vahelduvate märkidega rida ( ) n+ u n = u 0 u + u 2 u 3 + + ( ) n u n +... (9.2) koondub. Tõestus. Vaatleme esiteks paarituarvulisi osasummasid: S = u 0 u 0, S 3 = u 0 u + u 2 u 3 = S + (u 2 u 3 ) S, S 5 = u 0 u + u 2 u 3 + u 4 u 5 = S 3 + (u 4 u 5 ) S 3,.... Sedasi jätkates saame S 2n+ = S 2n + (u 2n u 2n+ ) S 2n 0, n = 0,, 2,.... Paarituarvuliste osasummade jada on positiivne ja monotoonselt kasvav. Teisalt, S 2n+ = u 0 u + u 2 u 3 + u 4 u 2n + u 2n u 2n+ = u 0 (u u 2 ) (u 3 u 4 ) (u 2n u 2n ) u 2n+ u 0. Viimane ütleb meile kokkuvõtteks seda, et osasummade jada S, S 3, S 5,... on positiivne monotoonselt kasvav ja ülalt tõkestatud (suurusega u 0 ) jada. Kõrval oleva teoreemi põhjal leidub lõplik piirväärtus lim S 2n+ = S. Paarisarvuliste osasummade korral arvestame, et Teoreem. Monotoonne jada on koonduv parajasti siis, kui ta on tõkestatud (vt. [5]). millest piirväärtus tuleb S 2n = S 2n+ ( u 2n+ ) = S 2n+ + u 2n+, lim S 2n = lim (S 2n+ + u 2n+ ) = lim S 2n+ + lim u 2n+ = S + 0 = S. Koonduva jada iga osajada koondub samaks elemendiks, mis jadagi (vt. [5]) ja seega koondub terve osasummade jada S 0, S, S 2,... arvuks S, mis tähendabki, et rida ( ) n+ u n koondub. 25
9. Leibniz i tunnus Näide 9.3 Vahelduvate märkidega harmooniline rida ( ) k k + = 2 + 3 4 +... koondub Leibniz i tunnuse põhjal. Tõepoolest, ja u n = n + > n + 2 = u n+, n = 0,, 2,... lim u n = lim n + = 0. On tõestatud, et vahelduvate märkidega harmooniline rida koondub arvuks ln(2) 0.6935. Näide 9.4 Vahelduvate märkidega rea 3 2 2 + 3 4 4 + 3 6 6 +... kohta Leibniz i tunnus ei tööta. On selge, et lim u n = 0, aga rea üldliige u n ei ole monotoonselt kahanev. Nimelt, 2 < 3 4, 4 < 3 6,.... Võib analüüsida, et rida hajub, kuna S 2n = n k=, n =, 2, 3,..., k ja viimane jada S 2, S 4, S 6,... hajub (kui harmoonilise rea osasummade jada) ja järelikult hajub ka esialgne rida. Märkus 9. Leibniz i tunnuse tõestusest koorub välja järgmine omadus. Kirjutame n R n := S S n = ( ) k u k ( ) k u k = ( ) k u k. k=n+ (9.3) Vahelduvate märkidega koonduva rea puhul kehtib jääkliikme hinnang R n = S S n < u n+. (9.4) Seega, kui lähendame S S n, siis absoluutne viga R n on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. Allikas: [3] 26
9. Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus Näide 9.5 Vaatleme vahelduvate märkidega harmoonilist rida S = ( ) k+ k = 2 + 3 4 +.... k= Viimane märkus lubab meil ligikaudu leida, kui suur peab olema n, et kehtiks näiteks S S n < 0.00. Selleks kirjutame S S n < u n+ < 0.00, Allikas: Internet millest saame tingimuse u n+ = n + < 0.00 ehk 000 < N + ja N > 999. Laias laastus tuleb võtta 000 liiget, et osasumma S 000 ei erineks õigest vastusest S rohkem kui ±0.00. Näide 9.6 Leida ligikaudu rea S = ( ) k u k = ( ) k k k = 2 2 3 3 + 4 4 +... k=2 k=2 summa. Leibniz i tunnuse põhjal see rida koondub. Märkuses toodud omaduse järgi võime leida 0 esimese liikme summa S 0 saada hinnangu S S 0 < u = 2 2 0.2..54 ja Seega asub rea summa S lõigus [.5 0.2,.5 + 0.2] = [.03,.27]. Parema hinnangu saamiseks tuleks kasutada suuremat n väärtust. 9.3 Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus Vaatleme kahte rida (±) n = ± ± 2 ± 3 ± 4 ±... n= ja n= (±) n 2 = ± ± 4 ± 9 ± 6 ±.... Siinjuures oleme märgi kirjutanud kujul ± mõeldes seda, et märk võib olla, kas pluss või siis miinus ja seda iga liikme juures eraldi (sõltumata teistest liikmetest). Kui esimeses reas oleksid kõik märgid plussid, saaksime hajuva harmoonilise rea. Kui esimeses reas oleksid kõik märgid miinused, siis saaksime samuti hajuva harmoonilise rea. Kui märgid iga liikme juures vahelduksid, siis saaksime koonduva vahelduvate märkidega harmoonilise rea. 27
9. Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus Analoogiliselt teise reaga. Kui kõik märgid oleksid plussid või miinused, siis saaksime koonduva üldistatud harmoonilise rea astmega α = 2 >. Kui märgid oleksid vahelduvad, siis saaksime ikkagi koonduva rea (Leibniz i tunnuse põhjal). Kui me esitame küsimuse Millal toodud rida koondub?, siis esimesel juhul sõltub vastus märkide paiknemisest (tingimisi koonduvad read) ja teisel juhul saaksime koonduva rea sõltumata märkide paiknemisest (absoluutselt koonduvad read). Definitsioon 9.2 Rida u n nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida u n koondub. n= n= Näide 9.7 Rida ( ) n 2 n = 2 + 4 8 +... koondub absoluutselt, kuna u n = 2 n = + 2 + 4 + 8 +... on geomeetriline rida kordajaga q = 2 ja viimane koondub. Märkus 9.2 Rea absoluutsest koonduvusest järeldub selle rea koonduvus, vastupidi mitte. Definitsioon 9.3 Rida, mis koondub, kuid ei koondu absoluutselt, nimetatakse tingimisi koonduvaks. Näide 9.8 Rida ( ) n n + = 2 + 3 4 +... koondub tingimisi (koondub Leibniz i tunnuse põhjal), samas rida hajub (harmooniline rida). u n = n + = + 2 + 3 +... 28
9. D Alembert i tunnus Märkus 9.3 Absoluutselt koonduva rea puhul ei ole summeerimisjärjekord oluline. Küll aga on kummaline, et tingimisi koonduva rea korral on see oluline. Vaatleme näiteks tingimisi koonduvat vahelduvate märkidega harmoonilist rida ( ) n+ n = 2 + 3 4 +.... n= Kui me vahetame summeerimise järjekorda, valides eraldi paaritud ja paarisliikmed, siis saame 2 + ( 3 + + 3 + ) ( 5 +... 2 + 4 + ) 6 +.... Tegelikult on võimalik järjekorda muuta ka nii, et summaks on mistahes valitud reaalarv (vt. [3]). 9.4 D Alembert i tunnus Lause 9.2 D Alembert i tunnus ([5]). Kui eksisteerib piirväärtus lim u n+ u n = D, (9.5) Jean-Baptiste le Rond d Alembert (77-783) oli prantsuses matemaatik, füüsik, filosoof ja muusikateoreetik. siis rida n= u n. koondub absoluutselt, kui D < ; 2. hajub, kui D >. 3. Kui D =, siis jääb küsimus lahtiseks. Näide 9.9 Uurime rea koonduvust. Leiame D = lim u n+ u n = lim n= n! ( 3) n (n + )! 3 n+ 3n n! = lim n + = >, 3 seega vaadeldav rida hajub d Alembert i tunnuse põhjal. Näide 9.0 Uurime rea koonduvust. Leiame D = lim u n+ u n = lim n= n 2 n 5 n (n + ) 2 n+ 5 n 5 n+ n 2 n = lim 2 (n + ) = 2 5 n 5 <, seega vaadeldav rida koondub absoluutselt d Alembert i tunnuse põhjal. Allikas: Internet Vanemas eas kirjutas ta matemaatikast ja loodusteadusest Denis Diderot kuulsale entsüklopeediale, mis püüdis koondada inimkonna kõiki selleks ajaks kogunenud teadmisi. Nooremana tuletas ta esimesena välja pillikeele võnkumist kirjeldava lainevõrrandi. D Alembert püüdis välja töötada ka piirväärtuse mõistet, kuid selles ta nii edukas ei olnud. Tema sõnastus piirväärtuse kohta oli midagi sellist: Öeldakse, et üks suurus on teise suuruse piirväärtuseks, kui teine nest võib läheneda esimesele enam, kui mis tahes muu suurus ega ületa seda suurust, millele ta läheneb; nii et suuruse ja tema piirväärtuse erinevus on lõpuks märkamatu. ([2]). 29
9. Cauchy tunnus Näide 9. Uurime rea n= ( π ) 4 n sin 7 n koonduvust. Arvestame, et protsessis n kehtib sin(/n) /n. Leiame D = lim u n+ u n = lim 4 n+ sin ( π 7 n+ ) 4 n sin ( π 7 n ) = lim 4 π 7 n+ π 7 n = 4 7 <, seega vaadeldav rida koondub absoluutselt d Alembert i tunnuse põhjal. 9.5 Cauchy tunnus Allikas: Internet Lause 9.3 Cauchy tunnus ([5]). Kui eksisteerib piirväärtus siis rida n= u n. koondub absoluutselt, kui C < ; 2. hajub, kui C >. 3. Kui C =, siis jääb küsimus lahtiseks. n lim un = C, (9.6) Näide 9.2 Uurime rea ( ) n n + 4 n= koonduvust. Leiame n lim un = lim n n + 4 =. Seega Cauchy tunnus ei tööta. Rida ei koondu absoluutselt, kuna u n = n + 4 n= n= on harmooniline rida, mis hajub. Esialgne rida on vahelduvate märkidega rida ja kehtivad tingimused lim u n = lim n + 4 = 0, u n = n + 4 > n + 5 = u n+, n =, 2, 3,.... Seega Leibniz i tunnuse põhjal koondub meie esialgne rida tingimisi. 220
9. Viited Näide 9.3 Uurime rea ( n + ( ) n 2n + 5 koonduvust. Leiame n= ) n n n + lim un = lim 2n + 5 = lim + n 2 + 5 n = 2 <. Allikas: Internet Seega vaadeldav rida koondub absoluutselt Cauchy tunnuse põhjal. Märkus 9.4 Võtame kõik vaadeldavad koondumistunnused kokku:. Kui lim u n 0, siis rida hajub sõltumata rea liikmete märkidest. 2. Võrdluslause kehtib ainult positiivse rea kohta. 3. Integraalne tunnus kehtib ainult positiivse rea kohta. 4. Leibniz i tunnus kehtib ainult vahelduvate märkidega rea kohta. 5. D Alembert i tunnus kehtib sõltumata rea liikmete märkidest. 6. Cauchy tunnus kehtib sõltumata rea liikmete märkidest. Viited [] M. M. Dougherty, J. Gieringer. First Year Calculus For Students of Mathematics and Related Disciplines (veebikonspekt). [2] R. Flood, R. Wilson. Kuulsad matemaatikud. Valgus, 204. [3] D. Hoffman. Contemporary Calculus (veebikonspekt). Bellevue College. [4] J. Knisley, K. Shirley. Calculus: A Modern Approach (veebikonspekt). 2002. [5] L. Loone, V. Soomer. Matemaatilise analüüsi algkursus. Tartu Ülikooli Kirjastus 2009. [6] N. Piskunov. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. 2. köide. Tallinn Valgus, 983. [7] G. B. Thomas, M. D. Weir, J. Hass. Thomas Calculus th. Pearson, 2005. 22