7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus oleva aine tiheduse muutumises (vaikne eeldus ruumielemendis puuduvad allika- ja neelukohad). mass conservation massi püsivus, massi jäävus the equation of continuity pidevuse võrrand Fikseerime ruumielemendi punktis, y, z, ruumielemendi küljed on vastavalt, y, z (joon. 7.1). Ruumielemendi ruumala: V = y z. (7.1.1) Läbi ruumielemendi liigub vedelik või gaas kiirusega U r (u, v, w), selline kirjaviis tähendab, et kiirused piki koordinaattelgesid on vastavalt u, v, w. risttahuka parempoolse z otsa pindala y z y u() u( + ) + Joon. 7.1. Ruumis fikseeritud elementaarne risttahukas, millest vedelik või gaas läbi voolab. Vaatame voolamist -telje sihis. Ruumilelementi piki -telge (st vasakult, kohal ) siseneva vedeliku või gaasi kiirus on u(), tihedus ρ(), vasaku tahu pindala y z. Aja t jooksul siseneb ruumielementi piki -telge mass: ρ() u() y z t, (7.1.2) käsitluse lihtsustamiseks oletame, et tegemist on ühikulise ajavahemikuga, t = 1. eega ajaühikus risttahukasse vasakult piki -telge sisenev mass: ρ() u() y z. (7.1.3) Ajaühikus voolab ruumilemendist piki -telge välja (kohalt +, läbi risttahuka parema külje pindalaga y z): ρ( + ) u( + ) y z. (7.1.4) Tihedus ja kiirus omavad kohal + teistsuguseid väärtusi, 63
tihedus: ρ( + ) = ρ() +, u kiirus: u( + ) = u() +, seega piki -telge väljavoolav mass: ρ( + ) u( + ) y z = [ρ() + = [ρ() u() + u() + ρ() u + = [ρ() u() + u u() + ρ() isse- ja väljavoolava massi vahe (erinevus, bilanss): ρ() u() y z [ρ() u() + [ u() + ρ() = [ korrutise tuletis, u() + ρ() ( ρu) u ] [u() + ] y z = u() + ρ() u ] y z = u ] y z = V ( ρu) eega massi bilanss piki -telge: ( ρv) analoogselt, bilanss piki y-telge: y V, V, u ] y z = 0 (2. järku väike suurus) ] y z. (7.1.5) ( ρu) u ] y z = V. ( ρ w) analoogselt, bilanss piki z-telge: V. z Kogu bilanss, kõigi kolme telje sihis, on summa üksikute telgede bilanssidest: ( ρu) ( ρv) ( ρ w) [ + + ] V = [ div ( ρ U r ) ] V. (7.1.6) y z div ( ρ U r ) 64
Mitte kogu ruumielementi sisenenud mass ei pea sealt välja voolama, ruumielemendis võib toimuda massi tihenemine või massi hõrenemine. Tihenemise või hõrenemise kaudu toimuv massi muutus on väljendatav tiheduse muutuse kaudu vaadeldava aja t jooksul. Ruumilemendi mass alghetkel t: ruumilemendi mass hetkel t + t: ρ(t) V, ρ(t + t) V, ruumielemendi massi muutus (palju jäi ruumielementi massi): ρ(t + t) V ρ(t) V = [ρ(t + t) ρ(t)] V = t Eespool lugesime käsitluse lihtsustamiseks ajavahemiku ühikuliseks ( t = 1), seega ajaühikus massi muutus tiheduse muutuse kaudu: V. (7.1.7) aadud tulemus peab võrduma massi sisse- ja väljavoolu bilansiga (7.1.6), seega [ div ( ρ U r ) ] V = div ( ρ U r ) = ρ, V ρ r + div ( ρ U ) = 0. (7.1.8) Tulemust nimetatakse pidevuse võrrandiks (equation of continuity, continuity equation, mass conservation law). uurust ρu r võib tõlgendada kui massivoo tihedust. Teisendame pidevuse võrrandit, divergents skaalari ja vektori korrutisest r r r div ( ρ U ) = U ρ + ρdivu, (7.1.9) r r div ( ρ U ) = u + v + w + ρ divu, (7.1.10) d dy dz paigutame tulemuse pidevuse võrrandisse (7.1.8): r + u + v + w + ρ div U = 0, (7.1.11) d dy dz dρ 65
võrrandi esimesest neljast liikmest moodustus tiheduse ρ täistuletis, pidevuse võrrandi uus kuju: dρ r + ρ div U = 0. (7.1.12) Vedelike voolamisel eeldatakse sageli, et vesi on kokkusurumatu, muutumatu tihedusega dρ ρ = const, seega = 0, millest omakorda järeldub, et kokkusurumatu vedelik on nn divergentsivaba div U r = 0. (7.1.13) Pidevuse võrrandit tuletades ei arvestandu me aine ülekannet molekulide difusiooni tõttu. Ühekomponendilise (lisandivaba) isotermilise keskkonna korral oli selline eeldus õigustatud. 7.2. Lisandid voolavas keskkonnas amasugused arutlused nagu voolava vedeliku või gaasi tiheduse jaoks kehtivad ka voolavas keskkonnas oleva täiendava substantsi lisandite jaoks. Lisanditeks on merevees soolad ja mitmesugune hõljum, õhus veeaur, aerosooliosakesed või mingi eriline gaas (freoonid, CO 2 jne). Eeldame, et lisandid liiguvad põhikomponendiga üldises voolus kaasa. Lähtume pidevuse võrrandist kujul (7.1.8): ρ r + div ( ρ U ) = 0. (7.1.8) Kui vaadelda tiheduse ρ asemel lisandi, näiteks vees oleva soola tihedust, siis soolsuse mõistet kasutades (soolade suhteline mass merevee massiühiku kohta), avaldub soolade tihedus soolsuse ja üliheduse ρ korrutisena: soolade tihedus = ρ. Valemis (7.1.8) olev massi voog ρu r asendub lisandite vooga Φ r. Vastavalt pidevuse võrrand lisanditele ( ρ) + divφ r = 0. (7.2.1) Millega võrdub lisandite voog Φ r? Analoogia põhjal massi vooga ρu r tahaks kirjutada: Φ r = ρ U r, (7.2.2) st, et lisandite voog oleks põhjustatud konvektsioonist ehk korrapärasest ülekandest keskkonna liikumise (voolamise) kiirusega. Konvektsiooni kõrval tuleb lisandite liikumises aga arvestada veel üht protsessi, mida lisandivaba või ühtlselt jaotunud lisandite korral võis jätta 66
tähele panemata. Jutt on lisandite ülekandest molekulide soojusliikumise ehk difusiooni kaudu suurema kontsentratsiooniga aladelt väiksema kontsentratsiooni suunas. Isotermilises lisandivabas keskkonnas toimub difusioon igas suunas võrdselt. 7.2.1. Ficki valem Kvantitatiivselt kirjeldab difusiooni Fick i valem (seadus), mis kehtib nii gaasides kui vedelikes, erinevus on vaid konstantides (kontsentratsioonide suurustes, difusiooni kiirustes jne). Muutugu lisandi kontsentratsioon horisontaalsihis, piki -telge. Kujutleme kontuuri pindalaga, läbi mille gaas difundeerub kontsentratsiooni c võrdsustamiseks ruumis (joon. 7.2). Olgu teada (lisandi) kontsentratsioonid c( 1 ) ja c( 2 ) vastavalt punktides 1 ja 2 ning punktidevaheline kaugus l. Piki -telge difundeerunud gaasi mass m on võrdeline ajaga t, pindalaga ja kontsentratsiooni muutusega pikkusühiku kohta. c( 1 ) c( 2 ) l Joon. 7.2. Ficki seadus võimaldab arvutada läbi kontuuri aja t jooksul difundeerunud lisandiaine massi, kui on teada lisandi kontsentratsioonid c( 1 ) ja c( 2 ). Vastava valemi esitas esimesena saksa füsioloog A. Fick: kus c( ) c( ) m = D 2 1 t, (7.2.3) l D difusioonitegur, sõltub difundeeruvast ainest, temperatuurist, tihedusest. Milleks miinusmärk? est aine difundeerub kontsentratsiooni c kasvule vastupidises suunas. Piki telge difundeerunud mass saadakse alati vastasmärgilisena kontsentratsiooni kasvamise suuna suhtes. Toodud mittediferentsiaalsel kujul kasutatakse Ficki seadust läbi membraanide toimuva difusiooni kirjeldamiseks. Valemi füüsikalise esituse korral väljendatakse kontsetratsiooni muutumine diferentsiaalide jagatisena ehk kontsentratsiooni ruumilise tuletisena (gradiendina) lähestikku asuvate punktide vahel m dc = D t. (7.2.4) d Läbi ühikulise pinna ajaühikus difundeerunud aine mass ehk massivoo tihedus j : 67
j m dc = = D, (7.2.5) t d Ficki seaduse range eksperimentaalse kontrolli teostas N.A. Umov, kes näitas, et seadus on täpne ainult siis, kui keskkond on täiesti isotermiline ja kontsentratsioonid väikesed. Adolf Fick (1829 1901) saksa füsioloog, difusiooni ja vereringe uurija. Tuntud peamiselt difundeeruva aine massi arvutamise valemi (esma)esitajana. Esitas ka meetodi südametöö minutimahu arvutamiseks organismi hapnikutarviduse ja arteriaalse ning venoosse vere hapnikusisalduse erinevuse järgi. N.A. Umov (18 ) vene füüsik, hakkas esimena kasutama energiavoo tiheduse vektorit (elektro-magnetlainete korral Pointing-Umovi vektor). 7.2.2. Difusioonitegur Gaaside ja vedelike difusioonitegurit saab siduda mitmete aine olekuparameetritega. Mainime mõned võimalused. J. Mawell (1831 1879, šoti päritolu inglise füüsik) tõestas, et ideaalse gaasi eelduse korral saab difusioonitegurit määrata teoreetiliselt 1 D = v 3 λ, (7.2.6) kus: v molekulide keskmine kiirus gaas (ca 500 m/s), λ molekulide vaba tee keskmine pikkus. Analoogne difusioniteguri valem kehtib ka vedelikele, kuid molekulide keskmine kiirus on vedelikes ca 20 korda ja vaba tee keskmine pikkus ca 1000 korda väiksemad. A. Einstein (1879 1955) sidus ideaalse gaasi difusiooniteguri molekulide liikuvuse ja temperatuuriga: kus D = (mob) m RT, (7.2.7) (mob) m molekulide (üldisemalt osakeste) liikuvus. Difundeeruva osakese (molekuli, aatomi, iooni, elektroni liikuvuse all mõeldakse võrdetegurit osakese kiiruse ja osakesele mõjuva jõu f vahel olukorras, kus osakesele mõjuvad veel teised jõud, mis aga liikumist takistavad (näiteks põrked teiste osakeste poolt), difundeeruva osakese keskmine kiirus (Remizov 1999, lk 236): v = (mob) m f. 7.3. Lisandite pidevuse võrrand Pöördume tagasi pidevuse võrrandi juurde olukorras, kus vedelikus või gaasis on lisandid. Lisandite voog Φ r avaldub difusiooni arvestades valemi (7.2.2) asemel järgmiselt: Φ r = ρ U ζ ( ρ ) = ρ U ρζ, (7.3.1) 68
kus ζ lisandite molekulaarse difusiooni koefitsient, märk " ", sest lisandid liiguvad kontsentratsiooni kasvule vastupidises suunas. Märgime, et veel üldisemal käsitlusel tuleb arvestada ka lisandite allikaid ja neelukohti. Näiteks jää moodustumisel, samuti vee aurustumisel eralduvad ja lisanduvad vette soolad, veepiiskade aurustumisel lisandub õhku veeauru. Allikate olemasolul võrrandi (7.2.1) parem pool 0, vaid = I (allikate summaarne intensiivsus ehk eralduv lisandimass aja- ja ruumiühiku kohta). eega võrrandi (7.2.1) asemel peaksime allikate olemasolul kirjutama ( ρ) r + divφ = I. (7.3.2) Edaspidi piirdume lihtsama käsitlusega ja loeme allikate ja neelukohtade intensiivsuse nulliks. Paigutame soolade voo avaldise (7.3.1) lisandite pidevuse võrrandisse (7.2.1): ( ρ) + div ( ρu ) div( ρζ ) = 0. (7.3.3 aadud võrrandi esimese liikme teisendame korrutise tuletisena: ( ρ) = ρ + = 0, teine liige on divergents skalaari ja massivoo vektori ( ρ U ) korrutisest mis avaldub järgmise eeskirja järgi: r r div ( a B) = a div B + B a, kolmanda liikme võrrandis (7.3.3) viime paremale poole: ρ + + div( ρ U ) + ρu = div ( ρζ ) 14 44 2444 3 + div( ρu ) t 14 44 2444 3 0 + U = div ( ρ ζ ) (7.3.4) ρ. (7.3.5) Vasema poole suluavaldiseks on soolsuse täistuletis: 3 + U = + i = 1 u i i = d. 69
Lisandite difusiooni võrrand soolsuse täistuletise kaudu: ehk ρ d = div ( ρ ζ ) d 1 = div ( ρ ζ ) (7.3.6) ρ Näeme, et liikuvas osakeses lisandite kontsentratsioon muutub ainult lisandimolekulide difusiooni tõttu. Difusiooni puudumisel, st kui lugeda molekulaarse difusiooni koefitsient ζ nulliks, saame valemi (7.3.6) asemel ds = 0, (7.3.7) mis tähendab, et difusiooni puudumisel liikuva osakese soolsus ei muutu. eega võib võrrandit (7.3.7) nimetada lisandite säilumise ehk konserveerumise võrrandiks. Teisiti öeldes, piisavalt väike keskkonnaosake liigub ühest piirkonnast teise, tema lisandite kontsentratsion (lisandite suhteline hulk) aga on difusiooni puudumise tõttu konstantne. elle arutelu puhul on vaikivalt eeldatud, et aineosake on nii väike, et ta ei lagune liikumisel. eetõttu jääb liikumisel samaks ka osakese mass ning igasuguse difusiooni (ka puhta õhu või vee korral) puudumisel ei vahetu ka aineosakest moodustavad molekulid. Küll aga võib selline osake ainekihtide libisemise tõttu deformeeruda. Molekulide kauguse vähenemise tõttu võib osake muuta ruumala. Laminaarsel voolamisel (vedeliku- või gaasikihid ei segune) järeldub lisandite difusiooni puudumisest, et ka paljudest osakestest koosnevate kogumite soolsus liikumisel ei muutu ja lisandite molekulid ei pääse välja etteantud mõttelisest ruumalast. Joon. 7.3. Difusiooni ja turbulentsi puudumisel keskkonnaosakeses lisandite kontsentratsioon ei muutu. Turbulentsel voolamisel seevastu soodustavad keerised ja joad lisandite kontsentratsiooni ühtlustumist kogu basseinis. Turbulents otsekui võimendab difusiooni. 70