½µ f i (x + v i t, t + t) = f i (x, t) + Q i (f)(x, t), 0 i 8,

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ÅºÅº ÌØ 1 ź ÓÙÞ º ÙÓ 1 3 Ò Èº ÄÐÐÑÒ 4 1 ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÈÖØÐ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÈÖ ËÙ ÍÒÚÖ ØÝ ÇÖ Ý ÖÒº ÍÒÚÖ Ø ÐÖÑÓÒØ ¾ ÁºÍºÌº Úº º ÖÒ ¼ ½¼ ÅÓÒØÐÙÓÒ Ü ÖÒº 3 ÓÒ ÖÚØÓÖ ÆØÓÒÐ ÖØ Ø ÅØÖ ÈÖ ÖÒº 4 ÔÔÐØÓÒ ËÒØÕÙ Ù ÐÙÐ ÁÒØÒ ÇÖ Ý ÖÒº ¼¾ ÔÖÐ ¾¼¼ ØÖØ ÁÒ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ Û ØÙÝ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ Ó ÑÓÒÓÑÒ ÓÒÐ ÓÙ Ø ÛÚ ¹ ØÛÒ ØÛÓ Ù Ñ ÛØ Ø Ð Ð ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñº Ì ØÛÓ Ñ Ú Ø Ñ ÝÖÓÝÒÑ ÕÙØÓÒ ÙØ ÖÒØ ÕÙÐÖÙÑ ØÖÙØÓÒ º Ï Ø Ö Ø ÛÖ Ø ÒÒØ ÛÚ ÒÓÖÑÐ ØÓ Ø ÒØÖº Ì ØÓÖØÐ ÑÓÐ ØÙÝ Ó Ø ÔÖÓÐÑ ÓÛ Ø ÔÖ Ò Ó ÖØ ÛÚ Ò ÃÒÙ Ò ÑÓ ÐÓÐÞ Ø Ø ÒØÖº Ì ÒÐÝ Ð ØÓ Ö ÙÐØ Ò ÓÓ ÖÑÒØ ÛØ ÒÙÑÖÐ ÑÙÐØÓÒ º ÃÝÛÓÖ ÄØØ ÓÐØÞÑÒÒ ÓÙ Ø ÔÖÓÔØÓÒ ÓÙ Ø ÖØÓÒº ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ÇÙÖ ÑÓØÚØÓÒ ØÓ ÑÓÒ ØÖØ ØØ ÖØÐ ÔÒÓÑÒ Ò ÓÙÖ Ø Ø ÒØÖ ØÛÒ ØÛÓ ÄØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ù ØØ Ö Ù ØÓ ÑÙÐØ ÑÓѹѺØØÑØºÙ¹Ô ÙºÖ ÓÙÞ ºÖ ÖÒÓ ºÙÓ ÑØºÙ¹Ô ÙºÖ ÐÐÐÑÒ ºÖ ÈÖÓÖ Ò ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÐÙ ÝÒÑ ÚÓÐÙÑ Ôº ¹ ¾¼¼º ½

¾ ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ Ø Ñ ÔÝ Ð Ù Ò Ø ÐÖ Ð ÐÑغ Ï Ö Ø ÖÝ ÖÐÐ Ø ÄØØ ÓÐØÞÑÒÒ ÕÙØÓÒ Ù Ò ÑÓÑÒØ ØÒ Û ØÙÝ ØÓÖØÐÐÝ Ò ÒØÖ ØÛÒ ØÛÓ É9 Ѻ Ï Ò ØÖ ÑÐ Ó ÛÚ Ø ÓÙ Ø Ø ÃÒÙ Ò Ò Ø ØÖÒ ÚÖ ÓÒ º ÓÖ ÒÓÖÑÐ ÒÒ ØÖÒ ÚÖ Ò ÐÓÒØÙÒÐ ÛÚ ÓÙÔÐ Ò Û ØÖÑÒ Ø ÔØÐ ÚÓÙÖ Ó Ø ÖÒØ ÛÚ Ò Ú ÒÖÐÞØÓÒ Ó Ö ÒÐ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÑÔÐ ½É ÑÓк ÁÒ ØÓÒ ÓÙÖ Û ÓÑÔÖ Ø ØÓÖØÐ Ö ÙÐØ ØÓ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÒ Ò ÒÐÝÞ Ø ÃÒÙ Ò ÑÓ ÒÖØ Ø Ø ÒØÖº ¾ É9 Ñ Ï ÒÐÝÞ Ø Ä ÑÓÐ ½ ¾ ½µ f i (x + v i t, t + t) = f i (x, t) + Q i (f)(x, t), 0 i 8, ÛÖ Q i (f)(x, t) = 8 j=0 S i,j(f j f eq j )(x, t) Ò S Ø ÑØÖÜ ÓÐÐ ÓÒ Ù Ò ÑÓÑÒØ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ ØÔº ÓÖ Ø ¾É ÑÓÐ Û ÓÒ Ö ÖÙÐÖ ÐØØ L ÔÖÑØÖÞ Ý Ô ØÔ x ÓÑÔÓ Ý Ø L 0 {x j ( xz) ( xz)} Ó ÒÓ ÓÖ ÚÖØ º Ï Ò t ÑÐÐ ØÑ ØÔ Ó Ø ÚÓÐÙØÓÒ Ó Ä Ò ÐØ Ø ÐÖØÝ λ x t º Ï ÓÓ x Ø ÚÐÓØ v i, i (0...8) Ù ØØ v i c i t = c iλ ÛÖ Ø ÑÐÝ Ó ÚØÓÖ c i Ò Ý (0, 0), i = 0, c i = (cos((i 1) π ), sin((i 1)π )), i = 1,..., 4, (cos((i 9) π 4 ), sin((i 9)π )), i = 5,..., 8. 4 Ï ÒÓØ ØØ Ø Ä Ñ ÚÒ Ý 1µ Ò ÛÖØØÒ ÓÐÐÓÛ ¾µ f i (x j, t + t) = f i (x j v i t, t), 0 i 8, ÛÖ Ø ÙÔÖ ÖÔØ ÒÓØ ÔÓ Ø¹ÓÐÐ ÓÒ ÕÙÒØØ º ÌÖÓÖ ÙÖÒ ØÑ ÒÖÑÒØ t ØÖ Ö ØÛÓ ÙÒÑÒØÐ ØÔ ÓÐÐ ÓÒ Ò ¹ ÚØÓÒº ÓÐÐÓÛÒ ³ÀÙÑÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ ØÔ Ò Ò Ø Ô Ó ÑÓ¹ ÑÒØ º Ï ÓÒ Ö Ø ÑÓÑÒØ ÓØÒ Ý ÓÖØÓÓÒÐÞØÓÒ ÖÓÑ Ø

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ÓÒ ÖÚ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ ρµ ÙÜ Ó ÐÒÖ ÑÓÑÒØÙÑ j x Ò j y µ Ò Ø ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ ÑÓÑÒØ ÒÖÝ eµ ÕÙÖ Ó ÒÖÝ ǫµ ÓÑÔÓÒÒØ Ó Ø ØÖ ØÒ ÓÖ p xx Ò p xy µ Ò ÙÜ Ó ÒØ ÒÖÝ q x Ò q y µº Ì ÓÚ ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ ÑÓÑÒØ ÖÐÜ ÓÐÐÓÛÒ m k = (1 s k )m k + s k m eq k, 3 k 8, ÛÖ s k t τ k Ø ÖÐÜØÓÒ ÖØÓ Ò τ k Ø ÖÐÜØÓÒ ØѺ Ì ÖÐÜØÓÒ ÖØ s k Ö ÒÓØ Ò ÖÐÝ ÒØÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ã ¾ º Ì ÚØÓÒ ØÔ Ö Ø ÑÓØÓÒ Ó ÔÖØÐ Û ÓÐÐ ÓÒ Ò ÒÓ x j v i t ÚÒ Ø ÚÐÓØÝ v j Ò Ó ØÓ Ø j th ÒÓÙÖÒ ÒÓ x j º ÁÒØÖ ØÛÒ ØÛÓ É9 Ñ Ï ÓÒ Ö ØÛÓ ÓÑÒ Ω 1 {(x, y); x < 0} Ω {(x, y); x > 0} Ò Ø ÒØÖ Σ {(x, y); x = 0}º Ï ÙÔÔÓ ØØ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ Ð Ð ÓÙ Ø ÔÖÓÐÑ Ò ÓÑÒ ρ + divj = 0, t j x µ t + ρ c s x ζ (divj) ν j x = 0, x j y t + ρ c s y ζ (divj) ν j y = 0, y ÛÖ c s Ø ÐÖØÝ Ó ÓÙÒ Ò ζ, ν Ø ÙÐ Ò Ö ÒÑØ Ú ¹ Ó Ø Ò Û ÒÐØ ÒÝ ÒÓÒÐÒÖ Ø º ÌÓ ÑÙÐØ Ø ÕÙØÓÒ ÛØ Ä Û Ú ØÓ Ü Ø ÕÙÐÖÙÑ ÑÓÑÒØ ÓÐÐÓÛ e eq = ρ ǫ eq = α ǫ ρ q x = j x q y = j y p eq xx = 0 p eq xy = 0 Ò s pxx = s pxy º ÀÒ Û Ú Ø ÓÙÒ ÐÖØÝ c s = λ Ø ÙÐ Ú Ó ØÝ 3 ζ = λ t 3 ( 1 s ǫ 1 ) Ò Ö Ú Ó ØÝ ν = λ t 3 ( 1 s pxx 1 ) º Ï ÖÑÖ Ö ØØ Ø ÓÒØ α ǫ Ó Ø ÑÓÑÒØ ǫ ÕÙÐÖÙÑ ÚÐÙ Ó ÒÓØ ÔÔÖ Ò Ø ÝÖÓÝÒÑ ÕÙØÓÒ º ÌØ ÛÝ Û ÐÐ ØÙÝ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ Ó Ò ÓÙ Ø ÛÚ ØÛÒ Ø ØÛÓ Ñ Ω 1 Ò Ω ÛØ ÖÒØ Ó¹ ÒØ α ǫ º ÁÒØÙØÚÐÝ ÒÓ ÝÖÓÝÒÑ ÖØ ÛÚ ÓÙÖ º ËÓ Û Ø

ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ ǫ eq = α ǫ ρ Ò Ω 1 Ò ǫ eq = α ǫ ρ Ò Ω º ÌÓ ØÙÝ ØÓÖØÐÐÝ Ø ÔÖÓÐÑ Û ÔÖÓÖÑ ÑÓÐ ÒÐÝ Ó Ø Ä Ñ ÓÖ Ò ÖÑÓÒ ÓÐÙØÓÒº º½ ÅÓÐ ØÙÝ ÌÓ ÑÔÐÝ Ø ÒÐÝ Û ÓÒ Ö Ø Ó ÒÓÖÑÐ ÒÒ ØÓ Ø ÒØÖ Σº Ì ÛÚ ÒÙÑÖ k (k x, 0) ØÖÓÖ ÔÖÐÐÐ ØÓ Ø x¹ü º ÄØ f(x, t) = e i(ωt k.x) φ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø Ä Ñº Ì ÕÙØÓÒ 1µ ØÒ ÓÑ Ò ÓÙÖÖ Ô µ f(x, t + t) = e iω t f(x, t) = A(I + M 1 CM)f(x, t), ÛÖ M Ø ÑÓÑÒØ ÑØÖÜ C Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÔÖØÓÖ Ò A Ø ÚØÓÒ ÓÔÖØÓÖ ÑØÖÜ ÖÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÒÐ ÑØÖÜ A = diag(1, p, 1, 1 p, 1, p, 1 p, 1 p, p), where p eik x. ÆÓØ ØØ p Ô ØÓÖ ØØ ÙÒÒÓÛÒ ÛÒ ÑÙÐØÒ Ò ÓÙ Ø ØÙØÓÒº Ì ÓÚ ÕÙØÓÒ ÒØ ÖÒ ÕÙØÓÒ Û ÒÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ø ØÑ t = n t µ φ(x = m x, t = n t) = K m z n φ 0, ÛÖ φ 0 Ø ÒØÐ Øغ ÕÙØÓÒ 4µ Ò ÛÖØØÒ µ z f(x, t) = G(p)f(x, t) ÛÖ z = e (iω t) Ò G(p) A(I + M 1 CM) Ø ÐÓÐ ÓÔÖØÓÖ Ó Ø Ä Ñº ÁÒ ÓÙÖ ÔÖÓÐÑ Ø ÖÕÙÒÝ ω ÑÔÓ Ó Û Ö p ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖ ÓÒ ÕÙØÓÒ µ det(g(p) zi) = 0,

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ Ì ÕÙØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒØÓÒ Ó Ö 3 Ò (p + 1 )º Ï ÒÓØ ØØ p Û Ù Ø ÑÓÑÒØ ÑØÖÜ M Ò Ý 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1, 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ØÒ Ø ÑØÖÜ M(G(p) zi) M 1 ÐÓ ÓÒÐ ÑØÖÜ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ D 1 (p) ¼ ¼ ¼ M(G(p) zi) M 1 = ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ D (p) ¼ ¼ ¼ ÀÒ Û Ú Ø ÔÖÓÔÖØÝ det(g(p) zi) = det( M(G(p) zi) M 1 ) = det(d 1 (p))det(d (p)), Ó ØÓ ÓÐÚ 7µ Û Ú ØÓ ÓÐÚ det(d 1 (p)) = 0 Ò det(d (p)) = 0 Û Ö ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒØÓÒ Ó Ö Ò 1 Ò (p + 1 p ) Ö ÔØÚÐݺ Ï Ò Ø Ü ÓÐÙØÓÒ p + Ò p p K,1 Ò p K, p t,1 Ò p t, Û Ö ÙÒØÓÒ Ó z Ó Ø ÖÒØ ÔÖÑØÖ Ó Ø ÕÙÐÖÙÑ Ò Ó Ø ÖÐÜØÓÒ ÖØ Ó Ø ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ ÑÓÑÒØ º Ï Ð Ó Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ ÝÑÔØÓØ

ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ ÜÔÒ ÓÒ Ò ω µ µ ½¼µ ½½µ ½¾µ ½ µ p + = 1 + i ω + O(ω ), c s p = 1 i ω + O(ω ), c s p K,1 = α 1 + β 1 ω + O(ω ), where α 1 < 1, p K, = α + β ω + O(ω ), where 1 < α < 0, p t,1 = 1 + (α t,1 + iβ t,1 ) ω + iγ t,1 ω + O(ω ω), p t, = 1 + (α t, + iβ t, ) ω + iγ t, ω + O(ω ω). ÓÒ ÖÒ Ø ω¹ôòò Ó Ø ÔÖÚÓÙ ÓÐÙØÓÒ Û ÖÑÖ ØØ p + Ò p Ö ÓØ ØÓ ÓÙ Ø ÛÚ Û ÔÖÓÖ ÛØ Ô ±c s p K,1 Ò p K, Ö ÓØ ØÓ ÃÒÙ Ò ÑÓ º Ì ØÛÓ ÓÐÙØÓÒ p t,1 Ò p t, Ö ÓØ ÛØ ØÖÒ ÚÖ Ö ÛÚ Ò ØÝ ÛÐÐ ÔÐÝ ÒÓ ÖÓÐ ÓÖ Ø ÔÖØÙÐÖ ØÙØÓÒ Ó ÒÒØ ÓÙ Ø ÛÚ ÒÓÖÑÐ ØÓ Ø ÓÙÒÖÝ ØØ Ö ÓÒ Ö ÐØÖº ÓÖ Ø Ó ÓÑÔÐØÒ Û ÒØ ØØ (α t,1 + iβ t,1 ) = 1 ν (1 + i) Ò (α t, + iβ t, ) = 1 ν (1 + i). Ì ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ö Ø ØÖÑ Ò Ø ÜÔÒ ÓÒ Ó Ø ÃÒÙ Ò Ô ØÓÖ p K,1 Ò p K, α 1 Ò α Ö ÓÑÔÐÜ ÙÒØÓÒ Ó ÖÐÜØÓÒ ÖØ s i Ò αº ÙØ Ò Ø ÔÖØÙÐÖ Ó ÕÙÐ ÖÐÜØÓÒ ÖØ º º s i = sµ Û Ú p K,1 = 1 s = (1 s) i(1 s)ω + O(ω ), z z p K, = 1 s = 1 1 s + i 1 1 s ω + O(ω ). ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ØÙÝ ÛÖ Ø ÛÚ ÚØÓÖ Ó Ø ÒÒØ ÛÚ k ÒÓÖÑÐ ØÓ Ø ÒØÖ Ó ØÖÒ ÚÖ ÛÚ Ó ÒÓØ ÓÒØÖÙØ Ò ØÙ ÛÐÐ ÒÓØ ÓÒ Ö ÒÝ ÑÓÖº ÆÓÛ Û Ò Ò Ø ÒÚØÓÖ φ p Ó Ø ÑØÖÜ G(p)º ÄØ φ + Ò φ Ø ÒÚØÓÖ ÓØ ØÓ p ± Ò φ K,1 Ò φ K, Ø ÒÚØÓÖ ÓØ ØÓ p K,1 Ò p K, º ÆÓØ ØØ ÓÖ ÒÖÐ

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ÖØÓÒ Ø ÑÔÐ ÔÖØÓÒ Ó ÐÓÒØÙÒÐ Ò ØÖÒ ÚÖ ÑÓ Ó ÒÓØ Ü Øº º¾ ÒÐÝ Ó Ø ÒØÖ ÔÖÓÐÑ Ì ÓÐÙØÓÒ f l ÓÖ Ø ÐØ Ò Ó Ø ÒØÖ Ò ÛÖØØÒ ÓÐÐÓÛ ½µ f l = z n p m + φ + + β 1 z n p m φ + η 1 z n p m K,1 φ K,1 + δ 1 z n p m K, φ K,, ÛØ ÒÒØ Ò ÖØ ÓÙ Ø ÛÚ º ÓÖ Ø ÖØ Ò Ó Ø ÒØÖ Û Ú ½µ f r = γ z n p m + φ + + η z n p m K,1 φ K,1 + δ z n p m K, φ K,. ÛØ ÓÒÐÝ ØÖÒ ÑØØ ÛÚ º Û ÓÙ ÓÒ Ò ÒØÖ ÐÓØ Ø x = 0 Û Ø η = 0 Ò δ 1 = 0 ØÓ ÔÖÚÒØ Ø Ü ØÒ Ó ÙÒÔÝ Ð ÖÓÛÒ ÃÒÙ Ò ÑÓ ÓÒ ØÖ Ó Ø ÓÙÒÖݺ Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÙÖ ÙÒÒÓÛÒ ÓÒØ β 1 γ Û ØÖÑÒ Ø ÓÒØ Ó ÖØÓÒ r = β 1 <φ,j x > <φ +,j x > Ò ØÖÒ Ñ ÓÒ t = γ < φ +,j x > <φ +,j x > º η 1 δ Û ØÖÑÒ Ø ÑÔÐØÙ Ó Ø ÃÒÙ Ò ÑÓ º Ì ÚÐÙ Ó Ø ÓÚ ÓÒØ ÛÐÐ ØÖÑÒ Ý ØÙÝÒ ÓÒ ØÔ Ó Ø Ä Ñ Ò Ø ÒÓ ÐÓ Ø ØÓ Ø ÒØÖ x l = x Ø ÒÓ ÓÒ Ø ÐØ Ò Ó Ø ÒØÖ Ò x r = x Ø ÒÓ ÓÒ Ø ÖØ Ò Ó Ø ÒØÖµº ËÓ Û ÛÖØ Ø ÚØÓÒ ÔÖØ Ó Ø Ä Ñ Û Ö Ý Ø ÕÙØÓÒ µ Ò Û Ù 14µ 15µ Ò zφ = A(I + M 1 CM)φ º º φ Ò ÒÚØÓÖµº Ì Ð ØÓ ÓÖ i = 3 Ò i = 6 Ò x l = x p+ φ + 3 + β 1 p φ 3 + η 1 pk,1 φ K,1 3 = ½µ = γ p+ φ+ 3 + δ pk, φk, 3,

ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ p+ φ + 6 + β 1 p φ 6 + η 1 pk,1 φ K,1 6 = ½µ = γ p+ φ+ 6 + δ pk, φk, 6. ÓÖ i = 1 Ò i = 5 Ò x r = x 1 φ + 1 + β 1 1 φ 1 + η 1 1 φ K,1 p+ p pk,1 ½µ = γ 1 p+ φ+ 1 + δ 1 pk, φk, 1, 1 = 1 φ + 5 + β 1 1 φ 5 + η 1 1 φ K,1 p+ p pk,1 ½µ = γ 1 p+ φ+ 5 + δ 1 pk, φk, 5. 5 = ËÓ Ø Ý ØÑ Ó ÕÙØÓÒ 16µ 17µ 18µ Ò 19µ ÔÖÓÚ Ø ÙÒÒÓÛÒ ÓÒØ β 1 γ η 1 Ò δ Û Ö ÙÒØÓÒ Ó Ø ÖÒØ ÒÚØÓÖ Ò Ô ØÓÖ pº Ì ÜÔÒ ÓÒ Ó β 1 γ η 1 Ò δ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ω ÒÒÓØ ÐÙÐØ ÒÐÝØÐÐÝ Ò Ø ÒÖÐ ÓÖ ÅÙÐØÔÐ ÊÐÜØÓÒ ÌÑ ÅÊ̵ ÜÔØ ÓÖ ÓÑ ÔÐ º º à ÓÖ ÓÖ 1É3µº ÆÚ¹ ÖØÐ Û Ò Ò Ø ÜÔÒ ÓÒ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ω ÓÖ Ü ÚÐÙ Ó Ø ÖÒØ ÔÖÑØÖ ÓÖ Ä Ñ º º ÖÐÜØÓÒ ÖØ ÕÙÐÖÙÑ ÑÓ¹ ÑÒØ º º º µ Ò Ý Ù Ò ÚÖÓÙ ÓÖÑÐ ÐÙÐØÓÒ ÓØÛÖº ÌÓ ÚÐØ ÓÙÖ ØÓÖØÐ ÐÙÐØÓÒ Û ÐÐ ÓÑÔÖ Ø ØÓ Ø ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÓØÒ Ý ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ ÙØÓÑغ º ÁÒØÖ Ó ØÛÓ 1É3 Ñ ÄØ ÑÙÑ Ω 1 = {x R, x < 0} Ò ÑÙÑ Ω = {x R, x > 0} ØÛÓ ÓÑÒ ÛØ ÓÙÒ ÚÐÓØÝ Ò Ú Ó ØÝ c 1 ν 1 Ò c ν Ö ÔØÚÐݺ ËÓ Û Ú Ò ÒÒØ ÛÚ f i ÛØ ÛÚ ÒÙÑÖ k + Ò ÑÙÑ Ω 1 ØÒ ØÖ ÖØ ÛÚ f r ÛØ ÛÚ ÒÙÑÖ k Ò ØÖÒ ÑØØ ÓÒ f t ÛØ ÛÚ ÒÙÑÖ k + Ò ÑÙÑ Ω º Ì ØÓÖØÐ ÖØÓÒ ÓÒØ

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ÚÒ Ý Ø Ö ÒÐ ÓÖÑÙÐ r th = J r k + + k +º ÏØ Ø ÐÔ Ó Ø ÝÖÓÝÒÑ ÑÓ Ó 1É3 Ò Ø ØÙÝ Ó Ø Ä ÐÓÖØÑ Ò Ø ØÛÓ ÒÓ Ø ÐØ Ò ÖØ Ó Ø ÒØÖ Û ÓÒÙØ Ò ÒÐÝ ÑÐÖ ØÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÚ ÓÖ É9 ÒØÖº Ï Ò Ø ÖØÓÒ ÓÒØ ¾¼µ r cal = p + p + 1 p + p +, J i = k + k + ÛÖ p + = e (ik+ x) Ò p + = e (i k + x) º ÁØ ÓÙÐ ÑÒØÓÒÒ ØØ Ò Ø 1É3 Ñ Ø ÔÖ ÓÒ ÕÙØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒØÓÒ Ó Ö 1 Ò (p+ 1 ) Ò ØÖ Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ ÑÓ Ó p ÛÚ ÖØÖ Ø ÓÙ Ø ÛÚ µº ÀÒ Û Ò ÐÙÐØ Ø ÓÒØ Ó ÖØÓÒ Ò ØÖÒ Ñ ÓÒº Á Û Ó Ò ÝÑÔØÓØ ÚÐÓÔÑÒØ Ó p + Ò p + Ò ω Û Ò ØØ r th = r cal + O(ω ) = c 1 c + i(ν 1c ν c 1) c 1 + c c 1 c (c 1 + c ) ω + O(ω ). ÌÓÖØÐ ÐÙÐØÓÒ Ú ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÁÒ Ø ØÓÒ Û ÓÑÔÖ Ø Ö ÙÐØ ÓØÒ Ý Ø ÑÓÐ ÒÐÝ ÑØÓ ÓÖ É9 Ñ Ö Ò ØÓÒ Ò Ø Ö ÙÐØ ÓØÒ Ý Ø ÒÙÑÖÐ Ø Ø Ó É9 Ä Ñº º½ ÆÙÑÖÐ Ø Ø Ï ÑÙÐØ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ Ó ÛÚ ØÛÒ ØÛÓ ÓÙ Ø ÓÑÒ Û Ö Ö Ý Ø Ñ ÑÖÓ ÓÔ ÔÖÓÐÑ 3µ Ò Ú ÖÒØ ÕÙ¹ ÐÖÙÑ ÑÓÑÒØ ØÖÙØÓÒ ÛØ Ø É9 Ä Ñº ËÓ ÐØ Ω = [0, l] [0, h] ÛÖ l = 4000 Ò h = 5 ÓÑÔÓ Ý Ω = [0, l ] [0, h] Ò Ω + = [ l, l] [0, h]º ÁÒ Ω Û Ø Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÒÙÖØÓÒ ÓÖ ÕÙÐÖÙÑ ÑÓÑÒØ e eq = ρ ǫ eq = α ǫ ρ q x = j x q y = j y p eq xx = 0 peq xy = 0º ÁÒ Ω + Û Ø Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÒÙÖØÓÒ ÓÖ ÕÙÐÖÙÑ ÑÓÑÒØ ẽ eq = ρ ǫ eq = α ǫ ρ q x = j x q y = j y p eq xx = 0 peq xy = 0º ÓÖ Ø ÚÖÓÙ ÖÐÜØÓÒ ÖØ s i Û Ö Ø Ø Ø Ñ ÚÐÙ Ò Ø ØÛÓ

½¼ ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ ÓÑÒ º º s e = s e s ǫ = s ǫ s qx = s qy = s qx = s qy Ò s pxx = s pxy = s pxx = s pxy µº ÀÖ Û Ø ÔÖÓ ÓÙÒÖÝ ÓÒØÓÒ ÓÖ Ø y ÖØÓÒ Ò ÑÔÐ ÓÙÒ Ò Ø ÓÙØÖ Ò x = lº ÁÒ Ø ÒÐØ Ø x = 0 Û ÑÔÓ Ò ÖÑÓÒ ÛÚ J x = sin(ω t) ÛÖ ω = π ÑÔÐÑÒØ Ý 100 ÓÙÒ¹ Ò ÔÔÐØÓÒ Ó J x ÛØ ÔÔÖÓÔÖØ ÛØ ØÓÖ ÓÖ Ø ÚÐÓØ ÒÓÑÒ Ò Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÑÒµº Ï Ø Ù Ø Ö Ø ÓÖ ÒØÐ ÓÒØÓÒ Ò Ø ØÓØÐ ÙÖØÓÒ T = n t Ó Ø ÑÙÐØÓÒ Ó Ò Ù ØØ ÛÚ Ú ÒÓØ Ö Ø ÓÙØÐØ º ½µº ÌÓ ØÖÑÒ Ø ÖØ ÛÚ Ò Ø ÃÒÙ Ò ÑÓ Û ÔÖÓÖÑ Ò¹ 1 acoustic wave 0.5 longitudinal impulsion 0-0.5-1 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 4000 mesh points ÙÖ ½ J x Ú N x ÛÚ ØÖÒ Ñ ÓÒ ØÛÒ Ω = {x i, i (0...000)} ÛÖ α ǫ = 1 Ò Ω + = {x i, i (000...4000)} ÛÖ α ǫ = 1 Ø ØÑ T = 6464º ÓØÖ ÑÙÐØÓÒ Ò Ø ÓÑÒ Ω R = [0, l] [0, h]º ÁÒ Ø ÓÑÒ Û Ø Ø Ñ ÓÒÙÖØÓÒ Ò Ø ÓÑÒ Ω ÛØ Ø Ñ ÓÙÒÖÝ ÓÒØÓÒ ÓÖ Ø ÒÐØ Ø x = 0º Ì ÑÙÐØÓÒ Ú Ù Ø ÖÖÒ ÓÐÙØÓÒº ÌÓ Ø ÖØ ÛÚ Ò Ø ÃÒÙ Ò ÑÓ Û ÖÛ Ø ÖÒ ØÛÒ Ø ÙÜ J x Ò Ω Ø Ø Ø µ Ò Ø ÙÜ J x Ò Ω R Ø ÖÖÒ µ ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑÖ Ó ØÑ ØÔ = 6464º ÁØ ÓÙÐ ÒÓØ Ö ØØ Û Ú ÑÐÐ ÖØ ÛÚ ØÛÒ ØÛÓ ÝÖÓÝÒÑÐÐÝ ÕÙÚÐÒØ Äº ËÓ Ò º ÓÖ x i (1,,....000)µ Û ÖØ ÝÖÓÝÒÑ

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ½½ ÛÚ Û Ò ÑÔÐØÙ Ó Ø ÓÖÖ 10 6 º Ï Ð Ó ÒÓØ ØØ Jx ref Jx test ÒÓØ ÒÙÐÐ ÓÖ x > 000º ÁÒ ØÖ ÑÐÐ Ò Ò Ø ÐÖØÝ Ó ÓÙÒ Ó ÓÖÖ ω Ù ØÓ Ø Ò Ó α ǫ º ÀÒ Û Ú ÐØ ÖÒ ØÛÒ Ø ÔØÐ ÔÖÓ Ó Jx ref Ò Jx test Û Ò Ò Ø x > 000 Ò º ¾º Ï Ú Ø Ñ ÑÒØÙ Ó ÖØ ÛÚ ØÛÒ ØÛÓ Ó¹ ÑÒ Û Ú ÓÙÒ ÐÖØÝ ÚÖØÓÒ c s (c s c s ) = 1.6.10 5 ÓÖ Ö Ú Ó ØÝ ÚÖØÓÒ ν (ν ν) = 1.75.10 4 º 1.5e-05 Hydro-wave reflected at the interface 1e-05 longitudinal impulsion 5e-06 0-5e-06-1e-05-1.5e-05 0 500 1000 1500 000 mesh points ÙÖ ¾ J x Ú N x ÖÒ ØÛÒ Ø Ø Ø Ò ÖÖÒ º ÌÓ Ø ÃÒÙ Ò ÑÓ Û ÓÙ ÓÒ Ø ÒØÖ Ø x = 000º Ì ÃÒÙ Ò ÑÓ Ö ÐÓÐÞ ÒÖ Ø ÒØÖ Ò Ý ÛØ Ó ÐÐØÓÒ ÓÖ Ù Ú Ô ØÔ x Ò Ò Ò º 3º ÇÚÓÙ ÐÝ Ø ÔÖÓÔ¹ ÖØÝ Ó ÃÒÙ Ò ÑÓ Ù ØÓ Ø Ö Ø ØÖÑ α 1 Ò α Ó Ø ÝÑÔØÓØ ÜÔÒ ÓÒ 10µ Ò 11µ Ó p K,1 Ò p K, º º¾ ÓÑÔÖ ÓÒ ØÛÒ ÒÙÑÖÐ Ò ØÓÖØÐ Ö ÙÐØ ÏØ Ø ØÓÖØÐ ÑØÓ ÒØÖÓÙ Ò ØÓÒ 1 Û Ú Ò ØÑØÓÒ Ó Ø ÖÒØ ÓÒØ Ó Ø ÖØ ØÖÒ ÑØØ Ò ÃÒÙ Ò ÑÓ º Ï ÓÑÔÖ Ø ÔÖØ ÚÐÙ ØÓ Ø Ö ÙÐØ ÓØÒ Ò Ø ÒÙÑÖÐ

½¾ ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ 1.5e-05 Knudsen wave at the interface 1e-05 longitudinal impulsion 5e-06 0-5e-06-1e-05-1.5e-05 1985 1990 1995 000 005 010 015 mesh points ÙÖ ØÐ Ó º ÓÛÒ ÃÒÙ Ò ÑÓ º Ø Ø º ÁÒ º 4 Û ÔÐÓØ Ø ÃÒÙ Ò ÑÔÐØÙ Ú Ø ÓÒØ α ǫ Ó ÑÓÑÒØ ÕÙÐÖÙÑ ǫ eq Ò Ø ÓÑÒ Ω + ÓÖ α ǫ = 1 º º ǫ eq = ρ Ò Ø ÓÑÒ Ω µº Ì ÙÖÚ ÓÛ ØØ Ø ØÓÖØÐ ÑØÓ Ð ØÓ ØÑØ Ø ÃÒÙ Ò ÑÔÐØÙº Ï Ò ÓÛÒ Ò º 4 ØØ Ø ÃÒÙ Ò ÑÔÐØÙ η ÐÒÖ ÙÒØÓÒ Ó α ǫ (α ǫ α ǫ )º ÓÖ Ø ÔÖØÙÐÖ Ó ÕÙÐ ÖÐÜØÓÒ ÖØ Ø ÑÓÐ ÒÐÝ Ó Ø ÕÙØÓÒ (7) Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÃÒÙ Ò ÑÔÐØÙ η 1 = 1 s(α ǫ α ǫ ) tω + O(ω ) Ò δ = 1 s(α ǫ α ǫ ) tω + O(ω ). Ï Ú Ð Ó ØÙ Ø ÔÒÒ Ó Ø Ö Ø ØÖÑ α 1 Ò α Ó Ø ÝÑÔØÓØ ÜÔÒ ÓÒ 10µ Ò 11µ Ó p K,1 Ò p K, Ò ÖÐÜØÓÒ ÖØ s ǫ º º 5 ÔÐÓØ α 1 α Ú s ǫ Ò Ø ÛÖ ǫ eq = ρ º º α ǫ = 1µ Ò Ω Ò ǫ eq = ρ º º α ǫ = 1µ Ò Ω + º Ì ÙÖÚ ÓÛ ØØ Ø ØÓÖØÐ ÑØÓ Ú ÓÓ ØÑØ Ó Ø ÓÒØ α 1 Ò α º

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ½ Amplitude of the Knudsen wave as function of the alpha parameter of LBE model 4e-05 theoretical eta experimental eta e-05 eta coefficient 0 -e-05-4e-05 0 0.5 1 1.5 alpha coefficient in the right domain ÙÖ ÃÒÙ Ò ÑÔÐØÙ η Ú α ǫ ÕÙÐÖÙÑ ÔÖÑØÖ ÓÖ Ä Ò Ω + ÐÙÐØ Ý ØÛÓ ÑØÓ º first terms of the asymptotic expansion of p_knudsen 0-0.5-1 -1.5 - -.5 Parameters of the phase vector of Knudsen waves as a function of a LBE parameter theoretical alpha_1 experimental alpha_1 theoretical alpha_ experimental alpha_ -3 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 s_epsilon parameter ÙÖ α 1, α Ú Ø ÖÐÜØÓÒ ÖØ s ǫ ÓÖ ǫ eq = ρ Ò Ω Ò ǫ eq = 1 ρ Ò Ω + ÐÙÐØ Ý ØÛÓ ÑØÓ º

½ ź ÌØ Åº ÓÙÞ º ÙÓ Ò Èº ÄÐÐÑÒ ÓÒÐÙ ÓÒ ÁÒ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ Û Ú ÒÐÝÞ Ø Ø Ó ÓÙÒÖÝ ØÛÒ ØÛÓ ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ ÑÓÐ ØØ Ö ÝÖÓÝÒÑÐÐÝ ÕÙÚÐÒØ Ò Ú ¹ ÖÒØ ÕÙÐÖÙÑ ØÖÙØÓÒº Ï ÓÛ ØØ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ Ó Ò ÓÙ Ø ÛÚ ØÛÒ Ø ØÛÓ Ñ ÒÖØ ÒÙÑÖÐ ÝÖÓÝÒÑ ÖØ ÛÚ Ò ÃÒÙ Ò ÑÓ º Ï Ú Ù ØÓÖØÐ ÑØÓ Ó ÒÐÝ Û ÓÒ ÒÒ ÔØÐ ÑÓ Ó Ø ÓÐØÞÑÒÒ Ñ Ò ØÐ ØÙÝ Ó Ø ÝÒѹ Ð ÕÙØÓÒ Ø ÐÓÐ ÐÚÐ Ø ÔÓÒØ ÐÓ ØÓ Ø ÒØÖº ÀÒ Û Ø ÓÒÒØÓÒ ÓÖÑÙк ÁÒ Ø ÑÔÐ Ó Ø 1É3 ÑÓÐ Û Ò Ø ÒÖ¹ ÐÞØÓÒ Ó Ø Ð Ð Ö ÒÐ ÓÖÑÙÐ ÛÖ Û ÖÔÐ Ø ÛÚ ÒÙÑÖ k Ý Ô ØÓÖ p = e ik x º ÓÖ É9 ÑÓÐ Û Ú ØÖØ ÓÒÐÝ Ò¹ ÒØ ÛÚ ÒÓÖÑÐ ØÓ Ø ÒØÖ ØØ Ó Ò ÔÖÐÐÐ ØÓ ÓÒ Ó Ø ÑÖÓ ÓÔ ÚÐÓØ Ó Ø ÑÓÐ Ò Û Ú ØÖÑÒ Ø ÑÔÐØÙ Ó ÖÒØ ÛÚ ÒÖØ Ø Ø ÒØÖº Ì ÜØÒ ÓÒ ÓÖ ÒÝ ÒÒ ÒÐ ÑÓÖ ÙÐØ Ù ØÓ Ø Ø ØØ Ø ÑÔÐ ÔÖØÓÒ Ó ÐÓÒØÙ¹ ÒÐ Ò ØÖÒ ÚÖ ÑÓ Ó ÒÓØ Ü Ø ÒÝ ÑÓÖº Ì Ö ÙÐØ ÓÛ ØØ ÖØ ÑÙÐØÓÒ Ó ÓÙ Ø ÔÒÓÑÒ ºº ÔÖÓÔ¹ ØÓÒ Ò ÒÓÑÓÒÓÙ Ñ ÓÒ Ò ÛÚ ÐÓÐÞØÓÒ ØÙ µ ÛØ Ä ØÝÔ ØÒÕÙ Ò ÖÓÙ ÐÝ Ø Ý ÔÖ Ø ÔÒÓÑÒº ÌÝ Ð Ó ÓÛ ØØ ÛÓÖ Ñ Ø ØÖÒ ÖÒ ØÓ Ä ØÒÕÙ ØØ Ö ÒØ Ò ÓÒØÒÙÓÙ ÑØÓ ÖÕÙÖ ØÐ ÒÓÛÐ Ó Ø ÚÓÙÖ Ó Ä ÑÓÐ º ÊÖÒ ½ ¾ ÒÞ Êº Ë٠˺ Ò ÎÖ ÓРź Ì ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ ÕÙØÓÒ ØÓÖÝ Ò ÔÔÐØÓÒ º ÈÝ º ÊÔº ÚÓк ¾¾¾ Ôº ½½ ½¾µº ÉÒ ºÀº ³ÀÙÑÖ º Ò ÄÐÐÑÒ Èº ÄØØ Ã ÑÓÐ ÓÖ ÆÚÖ¹ËØÓ ÕÙØÓÒ ÙÖÓÔÝ º ÄØغ ÚÓк ½ Ôº ½¾µº ÙÓ º ÕÙÚÐÒØ ÔÖØÐ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ Ó ÐØØ ÓÐØÞ¹ ÑÒÒ Ñ ÓÑÔÙØÖ Ò ÅØÑØ ÛØ ÔÔÐØÓÒ ØÓ ÔÔÖ ¾¼¼µº

ÇÒ ÒÙÑÖÐ ÖØ ÛÚ Ò ÐØØ ÓÐØÞÑÒÒ Ñ ½ ³ÀÙÑÖ º Ò ÊÖ ÝÒÑ ÌÓÖÝ Ò ËÑÙÐØÓÒ ÈÖÓº ØÖÓÒÙغ ÎÓк ½ Ø Ý ËÞÐ ºº Ò ÏÚÖ ºÈº Á Ï ÒØÓÒ º ½¾µº ÌØ ÅºÅº ÁÒØØÓÒ ÑÓÐ Ø ÔÖÑØÖ ÔÓÙÖ Ð Ñع Ó ÓÐØÞÑÒÒ ÙÖ Ö Ù Ì ÍÒÚÖ Ø ÈÖ ¹ËÙ ÇÖ Ý ÖÒ ¾¼¼º ÓÖÒÙÖØ Êº ³ÀÙÑÖ º Ò ÄÚÖÑÓÖ º ÃÒÙ Ò ÐÝÖ Ø¹ ÓÖÝ ÓÖ ÐØØ ÈÝ ÚÓк Ôº ¾½¾ ½½µº