KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga f() leitav.. Funktsiooni muutumispiirkonna (Y) moodustab funktsiooni väärtuste ( f() ) hulk.. Argumendi väärtuseid, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks ja tähistatakse tavaliselt X = {;...; n}. Funktsiooni y = f() nullkohtade leidmiseks tuleb lahendada võrrand f() =.. Argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed (negatiivsed) nimetatakse vastavalt funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (negatiivsuspiirkonnaks) ning tähistatakse X + (X - ). Funktsiooni y = f() positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb lahendada võrratus f() > ning negatiivsuspiirkonna leidmiseks lahendada võrratus f() <. a; b kasvavaks, kui > f( )>f( ) ja 5. Funktsiooni y = f() nimetatakse vahemikus vastavat vahemikku tähistatakse X ning kahanevaks, kui > f()<f() ja tähistatakse sümboliga X. 6. Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima ( vähima) väärtuse, nimetatakse funktsiooni ekstreemumkohtadeks ( maksimum- ja miinimumkohad) ja tähistatakse X e. 7. y = f() on paarisfunktsioon, kui f(-) = f(). Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline y -telje suhtes. y = f() on paaritu funktsioon, kui f(-) = - f(). Paaritu funktsiooni graafik on alati sümmeetriline sirge y = suhtes 8. Funktsioon y = f() on perioodiline funktsioon, kui F( + T ) = f(), kus T on funktsiooni periood ) Võrdeline seos (lineaarfunktsioon, kus vabaliige puudub) avaldub valemina y = a, kus võrdetegur a. Võrdelise seose omadus: üks positiivne suurus sõltub teisest võrdeliselt, kui ühe suuruse kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus kasvab(kahaneb ) sama arv korda. Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti. Kui võrdetegur a, siis graafik läbib koordinaattasandi I ja III veerandit, kui a <, siis paikneb graafik II ja IV veerandis. Näide. y = -, a = - < 9 8 7 6 5 y =, a = > -6-5 - - - - - 5 6 - - - -5-6 -7-8 -9 -
a ) Pöördvõrdeline seos y, kus a R ja a. Pöördvõrdelise seose omadus: üks positiivne suurus sõltub teisest pöördvõrdeliselt, kui ühe suuruse kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus kahaneb (kasvab) sama arv korda. Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikuks on hüperbool, mille harud asuvad I ja III veerandis, kui a > ning II ja IV veerandis, kui a <. Näide. 5 y, a =5 > y, a = - < 5 5 5-6 -5 - - - --5 5 6 - -5 - -5 - y 8 5 9 6-6 -5 - - - -- 5 6-6 -9 - -5-8 y X R \{} Y R \{} X X ; X X X X X e ; X R \{} Y R \{} X X ; X ; X X X X e ) Lineaarfunktsioon avaldub kujul y = a + b, kus a ja b on mistahes arvud ja a. Kui vabaliige b = siis saame võrdelise seose y = a. Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge. Vabaliige b on sirge algordinaat, st. sirge lõikab y-telge punktis (; b). Lineaarliikme kordaja a on sirge tõus. Kui a >, siis on tegemist tõusva sirgega ja kui a <, siis langeva sirgega. Näide. 6 Funktsioon y,5 y-telg y,5 5 X R Y R -telg -5 - - - - - 5 - - - -5-6 y X X ; X ; X R X X e
) Ruutfunktsioon avaldub kujul y = a + b + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja a. Ruutfunktsiooni y = a + b + c graafikuks on parabool. Kui a >, siis parabooli harud avanevad üles, kui a <, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi a + b + c = lahendid) ja haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena valemist b h a ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni avaldisse ac b ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y ). Parabooli haripunkt on ka tema a ekstreemumpunktiks. Parabool läbib y-telge punktis ( ; c). Näide.Skitseerige ruutfunktsiooni y = - 5 + 6 graafik ning uurige funktsiooni. Graafik avaneb ülespoole, kuna ruutliikme kordaja on positiivne. Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad, st. ruutvõrrandi - 5 + 6 = lahendid. Viete i teorremi põhjal saame = ja =. Graafiku haripunkti leiame nullkohtade aritmeetilise keskmisena: h, 5 ja y,5 h 5,5 6, 5 ehk H(,5; -,5). 9 8 7 6 5 - - 5 Parabool läbib y-telge punktis ( ; 6). Joonestamiseks leiame veel lisapunkte. Näiteks = ( = ). X R Y,5; X {; } X, X ; ;,5 ;,5,5 X ; X P,5; (haripunkt on antud juhul ka miinimumpunktiks) min y = - 5 + 6 või
n 5) Astmefunktsioon avaldub kujul y, n Z, n Näide. n a) y, n N 5 y-telg 5 5 5 5 5 y X R Y ; X {} X ; X X ; X ; P ; min -telg - -,6 -, -,8 -, - -,6 -,,,6,,8,,6 n b) y, n N y-telg y= - -,7 -, -, -,8 -,5 -, -,9 -,6 -,,,6,9,,5,8,,,7 -telg - - X R Y R X {} X ; X ; X R X Ekstreemumpunktid puuduvad -
n c) y, n N 8 6 y X R \ {} Y ; X X ; X X ; X ; Ekstreemumpunktid puuduvad - - (n) d) y, n N 5 y-telg 5 75 5 5 - -,6 -, -,8 -, - -,6 -,,,6,,8,,6-5 -telg -5 y X R \ {} Y R \ {} X X ; X ; X X X Ekstreemumpunktid puuduvad -75 - -5-5 5
6) Juurfunktsioonid Näide. a) y,,5,5,5,5,5-8 8 X ; Y ; X {} X ; ; X X X; X Ekstreemumpuntid puuduvad b) y,5,5 - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -, -, -, -,,,,,,5,6,7,8,9 -,5 - -,5 X R Y R X {} X ; ; X ; X R ; X Ekstreemumpunktid puuduvad 6
7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = a, kus a > ja a. 8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = loga, kus a > ja a, >. Näide. a) a > Funktsioon y = a,5,5,5,5 - -,5,5,5,5 b) < a < -,5 y - - - - - - - Funktsioonid y = a ja y = loga on teineteise pöördfunktsioonid. Kui y y y y log log X R Y ; f ( ) a, siis f ( ) loga ja kui f ( ) loga, siis f ( ) a Funktsiooni y = f() pöördfunktsiooni leidmiseks vahetame ja y, st = g(y). Saadud tulemusest avaldame y i. Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on antud funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni määramispiirkond. Funktsioonide y = f() ja = g(y) graafikud on sümmeetrilised funktsiooni y = graafiku suhtes. X X R ; X X R ; X Ekstreemumpunktid puuduvad. Funktsioon y = loga. X ; Y R X {} ; X ; X ; X X ; X Ekstreemumpunktid puuduvad. Funktsioon y = a X R Y ; X X R ; X X ; X R Ekstreemumpunktid puuduvad. Funktsioon y = loga. X ; Y R X {} ; X ; X ; X ; X X Ekstreemumpunktid puuduvad. 7
Funktsiooni tuletis ja selle rakendused. ) Olulisemate tuletiste tabel c = (a ) = a ln a (e ) = e = (ln ) = (loga ) = ln a (sin ) = cos (cos ) = -sin ( n ) = n n (tan ) = cos (cot ) = sin Liitfunktsiooni tuletis F () = f g () g (), kui F = f(u) ja u = g() Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis a) (u + v) = u + v b) (u - v) = u - v c) (cu) = cu d) (u v) = u v + v u u u v v u e) v v ) Puutuja võrrand y yo = f (o) ( o), kus puutuja tõus k = f () ja puutepunkt on P(; y). ) Normaali võrrand y yo = - ( o), kus puutuja normaali tõus on ja f ( ) f ( ) normaal läbib punkti P(; y). normaal y puutuja y=f() y P α 8
) Diferentseeruva funktsiooni uurimine ) määramispiirkond ( X ) ) muutumispiirkond (Y) f ( ) ) nullkohad ) positiivsuspiirkond f ( ) 5) negatiivsuspiirkond f ( ) 6) kasvamisvahenikud f ( ) 7) kahanemisvahemikud f ( ) 8) funktsiooni ekstreemumumid f ( ma ) a) maksimumkoht ehk f ma < ma ma > ma f () + - b) miinimumkoht f ( f min min ) ehk c) funktsiooni maksimum y f ma ma d) funktsiooni miinimum y f min min < ma ma > ma f () - + 9) funktsiooni perioodilisus f ( T) f ( ), kus T on funktsiooni periood ) paarisfunktsioon ( f f ) või paaritufunktsioon ( f f ) 5) Ekstreemumülesanneteks nimetatakse ülesandeid, mis taanduvad mingi suuruse suurima või vähima väärtuse leidmisele. Tuletame meelde, et funktsiooni suurimat (vähimat) väärtust leidsime funktsiooni tuletise abil. Pea meeles! Leides funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust lõigul tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. NÄITEÜLESANDED ) Jaota arv 8 kaheks arvuks nii, et nende korrutis oleks suurim. Lahendus. f ( ) 8 8 Tähistame arvu 8 osad ja 8. Nende arvude korrutis on Leiame saadud funktsiooni tuletise f ( ) 8 Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame võrrandi 8 = =. Kontrollime, kas on tegemist maksimumiga. Selleks võib kasutada abijoonist või leiame teise tuletise f ( ) (8 ). Seega on arvu 8 osad ja 8 =. Vastus. Arv 8 tuleks jagada võrdseteks osadeks: ja, siis on nende korrutis suurim.. 9
) Jaota arv kaheks arvuks nii, et nende ruutude summa oleks vähim. Lahendus. Tähistame arvu osad ja. Nende ruutude summa on f ( ) 9 6 6 9. Leiame saadud funktsiooni tuletise f ( ) 6. Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame võrrandi - 6= 5 Kontrollime, kas on tegemist miinimumiga. Selleks leiame teise tuletise f ( ) ( 6). Seega tuleks arv jagada võrdseteks osadeks 5 ja 5. Vastus. Arv tuleb jaotada osadeks 5 ja 5, siis on nende ruutude summa vähim. ) Riigieksam 999 (5p.) Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata taraga maksimaalse pindalaga ristkülikukujuline maatükk. Leia maatüki mõõtmed, kui tara pikkus peab olema m. Lahendus. Olgu maatüki kaks külge (m) ja kolmas külg (m) ( nagu joonisel tähistatud). Leiame maatüki pindala S( ) Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise S ( ) y =- ja lahendame võrrandi 5. Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise S ( ) ( ). Leiame nüüd maatüki pikema külje y = 5 = (m). Vastus. Maatüki mõõtmed on 5 m ja m. ) Riigieksam ( p.) On antud funktsioonid f() = -² + b (b > ) ja g() = 8 a)joonestage -teljega ja joonega y = f() piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne kolmnurk, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet -teljel ja selle vastastipp joonel y = f(). Leidke selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala. b)leidke funktsiooni g() nullkohad. c)määrake arv b nii, et funktsiooni f() nullkohad ühtiksid g() nullkohtadega. Arvutage saadud b väärtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala. Lahendus. b a) Funktsiooni f() = -² + b nullkohad on = ja = b ning haripunkti abtsiss = b ja ordinaat y = - b b. Skitseerime graafiku ja kolmnurga.
- - - - - - -5 y b b A( ; b b) y f () Avaldame kolmnurga pindala. Tähistame -teljel asuva kaadeti -ga ning siis on teine kaatet -² + b, kuna punkt A asub paraboolil. ( b) b S( ). Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise b S ( ),5 b ja lahendame võrrandi,5 b,5 b ei sobi,5 b b Kontrollime, kas b annab maksimaalse pindala. Leiame teise tuletise b S ( ) b S b b b, st. on maksimumkoht, kuna b >. Leiame teise kaateti b b b. 9 9 Pindala b b b S 9 7 (üh²) b Vastus: Selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala on üh². 7 b) Leiame funktsiooni g ( ) 8 nullkohad. 8 7 8 Teeme muutuja vahetuse a = a 7 8 a a 8a 7 a Viete i teoreemi põhjal saame lahenditeks
a 7 7 a Vastus. Funktsiooni g() nullkohad on ja. c) Funktsioonide nullkohad nullkohad nullkohad f() b g() Järelikult b = ja pindala S b üh² 7 7 5) Leia järgmiste funktsioonide määramispiirkonnad. a) y b) y c) y d) y ln Lahendus. a) Funktsiooni y väärtuse leidmisel peab olema võimalik Leidajagatis. See on võimalik, kui -, kõik ülejäänud reaalarvud kuuluvad määramispiirkonda. ; ; ehk X = R\ {} Vastus: X = b) Funktsiooni y = määramispiirkonna moodustavad argumendi väärtused, mille korral:. Leiame nullkohad: Kanname nullkohad arvteljele. Vastus. X ;... - c) Funktsiooni y = määramispiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse:
Nullkohad : - =, =,5; + =, = -. Kanname nullkohad arvteljele. Vastus. X ;,5 ; d) Funktsiooni ln -,5 y määramispiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse, sest logaritmitav peab olema positiivne. Leiame avaldise nullkohad ja kanname need arvteljele. Vastus ; ; X. - 6) On antud funktsioon y = -9. a) Leidke f(-), f(-), f(a), f( + a) f(a). b) Näidake, et f() = -9 on paaritu funktsioon. c) Leidke funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. Lahendus a) Leiame f (-) = (-) -9(-) = -6 + 6 = -8. () f(-) = -8 = 8. () f(a) = a -9a. () f( +a) - f(a) = ( +a) -9( +a) (a³ - 9a) = = ³ + ²a + a² + a³ - 9-9a- a³ +9a = ³ + ²a + a² - 9 9a = = ³ + a² + (a² - ) 9a b) f(- ) = (- ) - 9(- ) = - + 9 = - ( -9) = - f (), st on paaritu funktsioon. c) Funktsiooni f() = -9 nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi -9 = Tegurdame võrrandi vasaku poole (² - 9) =, =, 9 9, =, = -.
Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f() = 9 >. Kasutame eelmises punktis leitud nullkohti, millised kanname arvteljele. f()> f()> f()< - f()< Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on ; ;. Negatiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f() = - 9 <. Vastuse loeme samalt jooniselt. Funktsiooni ; ; negatiivsuspiirkond on 7) Riigieksam (5p). Joonisel on funktsiooni y = -² - + graafik. a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = + graafik b) Määrake täiendatud joonise põhjal () kummagi funktsiooni nullkohad; () piirkond, milles ruutfunktsioon kasvab () ruutfunktsiooni suurim väärtus () piirkond, kus mõlemad funktsioonid on positiivsed Lahendus. 7 6 5 y = + Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks määrame kaks punkti -,5 y Või kasutane tõusu (a = ) ja algordinaati (b =). - - - - - - - - y = -² - + -5 Leiame vastused: Funktsiooni y = -² - + nullkohad on {-; } ning funktsiooni y = + nullkoht {-,5}. Ruutfunktsioon kasvab vahemikus ; ning tema suurim väärtus on yma =. Mõlemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas,5;. 8) Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide f() = ja g() = -6 graafikud ning leidke piirkond, kus samaaegselt f() > ja g() <. Lahendus. Absoluutväärtuse definitsioonist saame
y f ( ), kui, kui Joonestame sirged kahe punkti abil. Kui f() = - ja, siis Kui f() = - + ja <, siis y f () - Kui g() = 6, siis graafikuks vajalikud punktid saame y g() -6 Joonestame antud funktsioonide graafikud. 5 g () = - 6 f () = - - - - - 5 - - - -5-6 Vastus. Jooniselt leiame, et samaaegselt on f() > ja g() <, kui <. 9) Leida joone y = + puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on. Tee joonis. Lahendus. Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid. Teame, et = y = ³ + =. Saime puutepunktiks P(; ). Järgmisena leiame puutujasirge tõusu k. Kuna k f ( ), siis leiame esmalt tuletise y f ( ) ja k f (). Koostame puutuja võrrandi y ( ) y. Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud. 5
9 8 7 6 5 y = ³ + y = - - - - - - - - - -5-6 -7-8 -9 - ) Millises punktis on paraboolil y = + -teljega paralleelne puutuja? Lahendus. Selleks, et puutuja oleks paralleelene - teljega peab tema tõus olema o, st. k =. Kuna k = y = +, siis saame võrrandi + = = -. Leiame nüüd puutepunkti ordinaadi y = (-)² + (-) = -. Saime puutepunktiks P(-; -). Vastus. Paraboolil y = + on -teljega paralleelne puutuja punktis P(-; -). ) Riigieksam 997 (p.) Leidke funktsiooni y = - a) maksimum- ja miinimumkohad; b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Lahendus. Leiame funktsiooni tuletise f () = y = - 6. Leiame tuletise nullkohad - 6 = 6 ( ) = 6 = = = =,5 Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse - 6 >. Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse - 6 <. Märgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone. f () f ()> f ()> f ()<,5 Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud X ; ja X,5; ning X ;,5. 6
Jooniselt näeme, et kohal = läheb kasvamine üle kahanemiseks, seega on tegemist maksimumkohaga ning kohal =,5 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega, seega on tegemist miinimumkohaga. Vastus. Funktsiooni y = - ekstreemumkohad on ma= ja min=,5. Kasvamis- ja kahanemisvahemikud on vastavalt X ; ja X,5; ning X ;,5. ) Riigieksam (5p.) On antud funktsioon f() = ln ln5. a) Leidke funktsiooni () määramispiirkond () graafiku ja - telje lõikepunkt () miinimumpunkti abtsiss. b) Koostage joone y = f() puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab - telge. Lahendus. Kuna logaritmitav peab olema positiivne, siis saame määramispiirkonnaks X ;. Leiame graafiku ja - telje lõikepunkti, st. punkti, kus y =. Saame võrrandi ln ln5 = ( ln ln5) = = on võõrlahend, kuna ei kuulu määramispiirkonda ja teisest tegurist saame ln = ln5 = 5. Graafiku ja - telje lõikepunktiks on P(5; ). Leiame miinimumpunkti abtsissi. Selleks leiame funktsiooni tuletise f () = (ln ln5) = ln ln 5 Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame võrrandi ln ln 5 5 ln + - ln5 = ln + lne - ln5 = ln = ln5 - lne. e Kontrollime, kas tegemist on miinimumkohaga. Selleks leiame teise tuletise. 5 e f () = f. e 5 5 Saime miinimumpunkti abtsissiks. e Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja tõusu. k = f () = (ln ln5) = ln ln 5 Kuna joon lõikab - telge punktis P(5; ), siis k = f (5) = ln5 ln5. Koostame puutuja võrrandi y ( 5) y 5. Vastus. Määramispiirkonnaks on X ;. Graafiku ja - telje lõikepunktiks on P(5; ). 5 Miinimumpunkti abtsissiks on. Joone puutuja võrrandi on y 5. e ) Riigieksam (5p). Antud on funktsioon y ln. e a) Leidke funktsiooni määramispiirkond b) Lihtsustage funktsiooni avaldist, kasutades logaritmi omadusi c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid. 7
Lahendus. a) Funktsiooni määramispiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse. e Kuna e >, siis saame võrratuse lahendiks > X ;. b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust loga c b = log ab - logac, b >, c > ning teades, et ln e = ln ln ln e ln ln e ln. e c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse y = f () >. Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse y = f () <. Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest f () = y =. Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone võrratuste lahendamiseks. = Lahendame murru lugejas oleva võrrandi ² + = D = + 8 = 9,5 on võõrlahend, kuna ei kuulu määramispiirkonda f ()>,5 f ()< f () Arvestades, et funktsiooni määramispiirkond X ; kahanemisvahemikeks vastavalt ;,5 ning X,5 ; X., siis saame kasvamis ja d) Kuna kohal =,5 läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks, siis on see maksimumkohaks ning,5 y f (,5) ln,5 ln,5,5,75 ln,.,5 e Funktsiooni maksimumpunkt on Pma(,5; -ln-,75). ) Riigieksam (5p.) Antud on funktsioon y = ³ -. a) Leidke funktsiooni tuletis. b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja tõus miinimumpunktis. e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis 8
Lahendus. Leiame tuletise y. Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada võrratused y ja y. Võrratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad. ja. Märgime punktid -teljele ja skitseerime tuletisjoone. Jooniselt näeme, et funktsiooni kasvamisvahemikud on ja ; X ; X. Funktsioon on kahanev vahemikus ;. Kohal on funktsiooni maksimum, kuna kasvamine asendub kahanemisega ja kohal minimum, kuna kahanemine läheb üle kasvamiseks. Leiame nüüd funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. Kui ma yma 5 P ma ;5 Kui min ymin 5 P min ; 5 Leiame funktsiooni graafiku puutuja tõusu punktis P min ; 5. Puutuja tõus on k y f ja y k f. Seega k =, st. puutuja on paralleelne - teljega ja puutujavõrrandiks on y = 5. Joonestame nüüd funktsiooni y = ³ - graafiku.leiame nullkohad võrrandist ³ - =,5 f ()> - f ()< f ()> f () 9
6 5 - - - - - - - -5-6 y = ³ - y = 5 Vastus. Funktsiooni tuletiseks on y. Funktsiooni kasvamisvahemikud on ; ;. Maksimum- ja ; ja ning funktsioon on kahanev vahemikus miinimumpunkti koordinaadid on tõus miinimumpunktis on. P ma ;5 ning P min ; 5. Funktsiooni graafiku puutuja ÜLESANDED ) Leidke funktsioonide määramispiirkonnad. a) y 5 b) y = 6 c) y d) y ( )( ) e) f) 6 y log f ( ) log( 9 5) 6 V: ; 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;6 ; ; 7; \ 8;8.
) Sirge y 9on paralleelne funktsiooni y 7 puutujaga. Leia puutepunkti koordinaadid. V: (-,5;-,5). ) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul 6;6. Millises punktis on lõigul ; on funktsioonil vähim väärtus? ) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul ;8 Leia punktide hulk, kus graafiku puutuja on paralleelne sirgega y =?. 5) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul ;. Leia funktsiooni ekstreemumkohad lõigul ;5 ja määra nende liik. 6) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik lõigul ;. Leia funktsiooni kahanemisvahemikud antud lõigul. 7) Joonisel on funktsiooni y = f() graafik ja tema puutuja kohal. Leia funktsiooni tuletise väärtus antud kohal. a) b)
8) Riigieksam 997( p.) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f() ja funktsiooni y = e graafikud. Leidke () ruutfunktsiooni y = f() valem () punkti A koordinaadid () ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkt () y = e väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f() absoluutväärtuselt vähimale nullkohale. (5) ühised positiivsuspiirkonnad. V: y = -² + 6 5; A(;); X={; 5}; X ;5 H(;); e; 9) Riigieksam 997. Leia funktsiooni y = + a) määramispiirkond b) ma ja min punktid c) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. V: R X ; ; ; X X {}; Emin(;6), Ema(;-); ; 9) Riigieksam 997.Leia funktsiooni y = - a) ma ja min kohad, b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. V: ma= ; min=,5; X ;, X,5; ; X ;,5. {}. ) Riigieksam 997 Leia funktsiooni y = kasvamis ja kahanemisvahemikud, maksimum ja miinimumkohad. V: X ;, X ;, X ;, ma, min ) Riigieksam 998. On antud funktsioon f() = - ln + a) leia f e b) antud funktsiooni kasvamispiirkond c) antud funktsiooni ekstreemumid d) lahenda võrrand f() = g(), kus g() = + ln V: e + ; X ;; ymin= ; ; e e ) Riigieksam 998. On antud funktsioon f() = sin - cos a) lihtsusta f() f(-) b) lahenda võrrand f() = c) leia f() > lõigus ; d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus ; ja arvuta funktsiooni väärtus sellel kohal. 7 V: cos; n n Z ; ; ; E min ;.
) Millise muutuja väärtuse korral saavutab f() = 8 9 997 oma suurima väärtuse lõigul ;? Leida need funktsiooni väärtused. V: f()=. ) Olgu ja vastavalt funktsiooni f() = - 6a + 9a + 997 min ja ma kohad. Milliste parameetri a väärtuste korral kehtib võrdus = +? V: ja. 9 5) Leia funktsiooni f() = p - 9 + q ekstreemumpunktid, kui f(-) = 8 ja f() = -. V: Emin(,5; -,75). 6) Leia funktsiooni f() = + -( + ) minimaalne ja maksimaalne väärtus lõigus ; V: yma= 8; ma= -, ymin= -, min= -. 7) Riigieksam 999.On antud funktsioon y = - 5 + -. a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. b) Leia selle funktsiooni suurim väärtus lõigul ;5.. V: X ;, X ; ; X ;, y =. 8) Riigieksam 999.Antud on funktsioonid f() = e ja g() =. a) Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud. b) Leia. millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed?. milliste argumendi väärtuste korral on funktsiooni f() väärtused väiksemad g() väärtustest?. funktsiooni f() väärtus, kui = ln cos 6. V: (ln; ); < ln;. 9) Riigieksam 999.Antud on funktsioonid f() = ln ja g() = -. a) Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud. b) Leia. millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed?. milliste argumendi väärtuste korral on funktsiooni f() väärtused suuremad g() väärtustest? sin. funktsiooni f() väärtus, kui = e. V: (e - ; -); > e - ;. ) Leia funktsiooni f() = log / ( - 7 + ) määramispiirkond, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. Arvuta f() - f(7). Lahenda võrrand 9 +f() ( ) + 8 f - =. X ; 5; ; X ;,5,5,5,5; ; V: X,5,5; 5;,5,5 ;-; ja 6. sin cos ) Leia vahemikus ; nurgad, mille korral funktsiooni y= tuletis on -. sin V: 5º, 5º. ) Riigieksam. On antud funktsioon f() = ln ln5. a) Leia funktsiooni. määramispiirkond. graafiku ja - telje lõikepunkt. miinimumpunkti abstsiss.
b) Koosta joone y = f() puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab - telge. 5 V: X ; ; P(5;); min ; y 5. e ) Riigieksam. Joonisel on funktsiooni y = -² - + graafik. a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = + graafik b) Määra täiendatud joonise põhjal. kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond, milles ruutfunktsioon kasvab. ruutfunktsiooni suurim väärtus. piirkond, kus mõlemad funktsioonid on positiivsed. V:,5;, ; X ; ; y ;,5;. ma ) Riigieksam. Antud on funktsioon y ln. e a) Leia funktsiooni määramispiirkond b) Lihtsusta funktsiooni avaldist, kasutades logaritmi omadusi c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid. V: X ; ;ln ;,5;, X ;,5 ; Pma ; ln. 5) Riigieksam. Antud on funktsioon y =. a) Leia funktsiooni tuletis. b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõus punktis, mille abtsiss on. e) Skitseeri funktsiooni graafik. Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis, mille abstsiss on. V: y = 6, X, X ;, X ;, P (;), P (,, k=9. ; ma min ) 6) Riigieksam. Vaatleme funktsiooni f() = sin lõigul ;. a) Lahenda võrrand f() =. b) Moodusta avaldis f( - ) + f( + ) ja lihtsusta seda. c) joonesta ühes ja samas teljestikus funktsiooni y = f() graafik ja sirge y = -. d) Leia väärtused, mille korral funktsiooni y = f() graafik astseb sirgest y = - allpool. 5 V: ;, -, 7 ;. 6 6 6 6 7). Riigieksam (5p.)Antud on funktsioon y a) Leidke funktsiooni nullkohad. b) Leidke funktsiooni tuletis. c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. e) Joonestage funktsiooni y graafik. f) Kirjutage välja antud funktsiooni positiivsuspiirkond. X o ; ; ; y ; X ;, X ;, X ;; V: P ( ;), P (; ); X ; ; ma min. 8) Riigieksam (p.)on antud funktsioonid f ( ) b(b > ) ja g ( ) 8 9.
. Joonestage -teljega ja joonega y = f() piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne kolmnurk, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet -teljel ja selle vastastipp joonel y = f().. Leidke selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala.. Leidke funktsiooni g() nullkohad.. Määrake arv b nii, et funktsiooni f() nullkohad ühtiksid g() nullkohtadega. 5. Arvutage saadud b väärtusel punktis ) leitud kolmnurga pindala. V: b S ;, ; ; b üh. 7 9) Riigieksam (5p.)On antud funktsioon y a) Leidke funktsiooni tuletis. b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. d) Joonestage funktsiooni y graafik. e) Koostage võrrand joone y puutujale punktis (; 6). V: y 6 6; X ;, X ;, X ;; Pma (;), Pmin (;); y 8. ) Riigieksam (p.)antud on funktsioonid f () = ln ja g() = ln. a) Lahendage võrrand f () = g(9). b) Leidke puutuja võrrand joonele y = f () punktis, mille -koordinaat on e, ja joonele y = g() punktis, mille -koordinaat on e. c) Tõestage, et leitud puutujad on teineteisega risti. d) Joonestage kolmnurk, mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y =. Arvutage selle kolmnurga pikima külje pikkus ja pindala. V: e e ; y, y e ; külje pikkus ; S e e e e,895 üh ) Riigieksam 5(p.) Antud on funktsioonid y ja y a) Arvutage funktsiooni y nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti koordinaadid. b) Joonestage funktsioonide y ja y graafikud samas teljestikus. c) Kirjutage välja vahemik, kus funktsioonid y ja y kasvavad 6 6 üheaegselt. V: X o ;; ; P ma ;, min ; ; ;. 9 P 9 ) Riigieksam 5(5p.) Antud on funktsioon f ( ) ln. a) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist. b) Koostage funktsiooni y = f () graafiku puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on. c) Määrake ruutfunktsiooni g( ) a c avaldises kordajate a ja c väärtused tingimusel, et alajaotuses b) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g() graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on. d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f () ja y = g() graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. X ; y ln ; y ; a,5, c,5.. 5
) Riigieksam 6(p.) Antud on funktsioonid y ja g() = +. a) Leidke funktsiooni y = f () nullkohad ning maksimum ja miinimum. b) Skitseerige ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f () ja y = g() graafikud lõigul [ ; ]. c) Kirjutage joonise põhjal välja antud funktsioonide ühine kahanemisvahemik. V: X o ;;, yma, ymin ; X ;. ) Riigieksam 6(5p.) On antud funktsioonid y = f () ja y = g(), kus f () = ln() ja g() = ln. a) Arvutage antud funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid. b) Avaldage f () summana. c) Koostage võrrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lõikepunktis. d) Joonestage ühes ja samas teljestikus mõlema funktsiooni graafikud ning punktis ) leitud puutujad. V: L ;ln ; f ( ) ln ln ; y ln, y ln e. e 5) Riigieksam 7(p.) Antud on funktsioon y 5 7. a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. ;. b) Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul V: X ;, ;, ; ; 7. X X y 6) Riigieksam 7(5p.) On antud joon y ln a) Leidke sellel joonel punkt P(; y), mille koordinaatide summa on vähim. b) Leidke arv a, mille korral sirge y = a - on antud joone puutujaks. c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid. V: P ; ; ln. a e e 7) Riigieksam 7(p.) Kuupfunktsiooni y a b c kohta on teada, et tema graafiku puutujate seas on ainult üks selline puutuja, mille tõus on, ja selle puutepunkti abstsiss on. Veel on teada, et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal =-. Määrake kordajad a, b ja c. V: a, b, c. 8) Riigieksam 8(p.) On antud funktsioon y a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond. b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt. c) Skitseerige funktsiooni graafik lõigul [ ; ]. V: X o ;,5, X ; ;,5 ; Pma ;, Pmin ;. 6 9) Riigieksam 8(p.) Antud on funktsioon f ( ) 8ln a. a) Leidke funktsiooni määramispiirkond. b) Koostage antud funktsiooni y = f () graafikule puutuja võrrand punktis, kus see lõikub joonega y a 6
c) Milliste a väärtuste korral on funktsioon f ( ) 8ln a kogu oma määramispiirkonnas positiivne? V: X ; ; y 6 7 a; a > 8ln. ) Riigieksam 9(p.) On antud funktsioon f ( ) a) nullkohad; b) negatiivsuspiirkond; c) tuletis; d) maksimumpunkti koordinaadid. V: ;,5; ; X ;,5; ; f ( ) 6 8; P ( ;9 ). X o ma. Leidke selle funktsiooni ) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f ( ) 7. a) Näidake, et f ( ) f (). b) Leidke funktsiooni f () tuletis. c) Leidke funktsiooni f () kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid. d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f () graafik lõigul [ ; ]. V: f ( ) > f ( ) 7; f ( ) 6; X ; ; Pmin (; 7), Pma (; ). ) Riigieksam (p.). On antud funktsioon f () = a + bln + c, kus a, b ja c on reaalarvud. Leidke kordajate a, b ja c väärtused nii, et funktsiooni f () graafik läbib punkti P(; ) ning graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = + a. Kontrollige saadud tulemusi.. Leidke funktsiooni g() = + 6ln suurim ja vähim väärtus lõigul [; e]. V: a, b 6, c ; yma ln, ymin e. ) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f() = + 5 ) Arvuta funktsiooni f() ekstreemumpunktide koordinaadid ja määra nende liik. ) Leia funktsiooni f() kasvamisvahemikud. ) Joonesta funktsiooni graafik lõigul [ -; ]. V: A min ( ; 5), Bmin (; 5), Cma (; ); X ;, X ;. ) Riigieksam (p.) log ja g() =a ln b, kus a R; b R ja On antud funktsioonid f() = h() = log..arvuta a) f ;. Lahenda võrrand f() = h().. Kas leidub parameetri p (p R ) väärtus nii, et võrrandil f() = f(p) on ainult üks lahend? Põhjenda vastust.. Määra a ja b väärtused nii, et funktsiooni g() graafik läbib punkti A(; e) ning selle puutuja kohal = on risti sirgega y = -( + ). Koosta puutuja võrrand. V: ; ; leidub, p,5; a, b e; y ln e. 9 5) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f () = 9. a) Leia funktsiooni f() nullkohad. b) Kas funktsioonf() on paaris- või paaritu funktsioon? Põhjenda. c) Leia funktsiooni f() maksimumpunkti koordinaadid. d) Leia funktsiooni f() graafiku puutuja tõus kohal o=. V: ;; ; paarisfunktsioon ; Pma (;); k 5. X o 7
6) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f () =. a) Leia funktsiooni f() pöördfunktsioon. b) Joonesta ühes koordinaatteljestikus funktsiooni f() ja tema pöördfunktsiooni graafikud. f c) Näita, et,5 5. f ( ),5 d) Lahenda võrrand 8 f,5. V: y log ;. 7) Riigieksam (p.) On antud funktsioon f ( ). Leia selle funktsiooni a) positiivsuspiirkond; b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja määra nende liik; c) kahanemisvahemik. V: X 6; ; ; Pmin (;), Pma ; ; X ; 8) Riigieksam (p.) 9 X ;, X ; ; Pmin ; ; y ; P (;), P ; 8 8 9) Riigieksam (p.) V: V: X ;,5, X ;,5 ; P ma,5;,5 ; y 8
5) Riigieksam 5(5p.) Joonisel on funktsiooni f ( ) cos graafik lõigul ;. a) Leidke antud lõigul funktsiooni f() negatiivsuspiirkond ja graafiku miinimumpunkti koordinaadid. b) Kas punkt A ; asub funktsiooni f() graafikul? Põhjendage oma vastust. V: X ; ; Pmin ; ; ei asu. 5) Riigieksam 5(p.) a) Arvutage funktsiooni f () = ² nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerige funktsiooni graafik. b) On antud funktsioon g () =,5²,5 ³. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kasvamisvahemik. V: X ;, H(; ); min, ma ; X ; 5) Riigieksam 5(p.) On antud funktsioon f ( ).. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kahanemisvahemikud.. Punkt A, mille abtsiss on =, asub funktsiooni f () graafikul. Läbi punkti A on tõmmatud funktsiooni f () graafikule puutuja, mis lõikab funktsiooni f () graafikut punktis B. Koostage selle puutuja võrrand ja arvutage punkti B koordinaadid. V:, ; X ;, X ; ; y,5,5, B( ;7) min ma 5) Riigieksam 6(p.) On antud funktsioon f ( ).. Leidke funktsiooni f () kasvamisvahemik.. Leidke funktsiooni f () graafiku miinimumpunkti koordinaadid.. Koostage funktsiooni f () graafikule kohal o = joonestatud puutuja võrrand. V: X ; ; Emin (;); y 9. 5) Riigieksam 7K (p.) On antud funktsioon f () =.. Arvutage funktsiooni f () kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning miinimumpunkti koordinaadid.. Leidke funktsiooni f () graafikule kohal = tõmmatud puutuja tõus. V: X ;, X ; ; X ; ; Pmin (; ); k 9 55) Riigieksam 7L (p.) On antud funktsioon f () = ( ).. Arvutage lim f ( ).. Leidke funktsiooni f () kasvamisvahemik.. Koostage funktsiooni f () graafikule tõmmatud puutujate võrrandid, kui mõlema puutuja tõus on 9. V: ; X ; ; y 9 5; y 9 7 9
56) Riigieksam 8L (p.). Leidke funktsiooni f ( ) ( ) miinimumpunkti koordinaadid.. Leidke funktsiooni g ( ) tuletis ja lahendage võrratus g( ). 8 V: Pmin ; ; ; ; 7 57) Riigieksam 8K (p.) On antud funktsioon f ( ),5 6.. Leidke funktsiooni kahanemisvahemik ja maksimumpunkti koordinaadid.. Koostage funktsiooni f() graafikule kohal = tõmmatud puutuja võrrand. P ( ;,5); X ; ; y 6,5 V: ma