6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks õhu temperatuur on,5, õpilase mass on 6 kg, pinge vooluvõrgus on 0 V, kaua hind 5.60 kr, vanaisa vanus 7 a. Selliseid suurusi, mida saa esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Leidu ka suurusi, mille iseloomustamiseks ei piisa ühest arvust. Näiteks, purjekaile on vähe kasu ainult tuule kiiruse teadasaamisest (näiteks 5 m/s), vaja on teada ka tuule sihti ja suunda. Näiteks kujul tuul puhu loode-kagu sihis, loodest kagusse.... Ilmastikukaardil kujutatakse neid andmeid nooltega: nool näita missuguses sihis ja suunas tuul puhu, noole pikkus näita tuule tugevust. Selline nool kujuta endast tuule tugevusvektorit. Füüsikas kujutatakse vektoritega paljusid suurusi (näiteks nihe, kiirus, kiirendus, jõud). Vaatleme näiteks kiirust. Lennaku mingi lennuk trassil Tallinn Helsingi. Kaardile või märkida lennutrassi. Lihtsuse mõttes loeme selle ligikaudu sirgeks. Noole suunaga märgime lennuki kursi (näit. Helsingist Tallinna poole). Noole pikkus näita aga seda, kui kiirelt lennuk liigu (näiteks 700 km/h). Trass määra sihi ja kurss määra suuna, milles liikumine toimu. Sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus. Siht näita, kuidas vektor asetse. Suund näita, kummale poole on vektor suunatud. Pikkus näita vektori arvväärtust. 6... VEKTORITE TÄHISTMISEST. VEKTORITE VÕRSUS Kui alguspunktiks on ja lõpp-punktiks, siis seda vektorit tähistatakse. r r r r Sageli tähistatakse vektoreid ka väiketähtedega, näiteks a, v, ja. Väikeste tähtede kasutamse korral märgitakse vektoreid ainult ühe tähega. Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed. Samasihilisuse jaoks kasutatakse matemaatikas ka teist sõna kollineaarsus. samasihilisus = kollineaarsus a c Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised. Näiteks, ülaltoodud joonisel on vektorid a r ja r samasuunalised, vektorid a r ja c r aga vastassuunalised. Neid tõsiasju märgitakse lühidalt nii: a r r ja a r c r. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. a c E Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks. k F EF u Lad. k. scalaris astmeline. Lad. k. vector vedav, kandev. = EF u u k
6... VEKTORITE LIIGITUS Kas vektor sõltu sellest, millises punktis on ta algus, s.t. kas vektor sõltu oma rakenduspunktist? Vaatame näiteks tuule kiirusvektorit. Kuna tuule kiirus on erinevates punktides erinev, siis ilmastikukaardile märgitavad vektorid on oma sihilt, suunalt ja pikkuselt erinevad. Tuule kiirus on lahutamatult seotud kohaga, mille jaoks tuule siht, suund ja kiirus antakse. Teise näitena vaatleme kummipaela otsas rippuvat koormust. Kas koormuse nihe sõltu sellest, kuhu me kinnitame koormuse? Ilmselt sõltu. Toodud kaks näidet ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirusvektor ja jäigale kehale rakendatud jõuvektor on liiseva vektori näiteks. Vektorit, mille rakenduspunkti või vaalt valida vektori mõjusirgel, nimetatakse liisevaks vektoriks. Vaatleme näiteks ühtlase laiuse ja sügavusega sirges kanalis voolava veega kaasaliikuvat parve. Märgime parvel mingid vaalt valitud punktid P ja Q. jamomendil t on need punktid kalda suhtes punktides P ja Q, ajamomendil t punktides P ja Q. Et vool on ühtlane ja sirgjooneline, siis või öelda, et PP QQ, P P Q Q, ja P P = Q Q. Seega P P = Q Q. Q P P Q t t Mõlemad näited kuuluvad selliste hulka, kus lisaks vektori sihile, suunale ja pikkusele on vaja teada ka rakenduspunkti. Vektorit, mille täielikuks määramiseks on vaja peale sihi, suuna ja pikkuse anda ka rakenduspunkt, nimetatakse seotud vektoriks. Kui mingi keha liigu mööda sirgjoont ühtlaselt, siis on ta kiirusvektor kogu aeg suuruselt, sihilt ja suunalt muutumatu. Siis on ükskõik, millise koha selle keha teel me valime kiirusvektori alguspunktiks. Kui me rakendame mingile jäigale kehale mingit kindlasuunalist jõudu (näiteks lükkame käsitsi sõiduautot), siis või selle jõu rakenduspunkti kanda edasi mööda jõu mõjusirget. Jõu mõju efekt sellest ei sõltu. (Näiteks autot või tagant lükkamise asemel ka järel vedada... ). Võime öelda, et sellise kulgeva liikumise korral on parve kahel vaalt valitud punktil (järelikult ka kõigil ülejäänud punktidel!) ühesugused nihkevektorid. Seega võime märkida nihkevektori lähtuvana selle parve suvalisest punktist. See kulgevalt (translatoorselt) liikuva parve punktide nihkevektor on üheks tüüpiliseks vaavektoriks. Vektorit, mille rakenduspunkti või ruumis vaalt valida, nimetatakse vaavektoriks. Füüsikas lähe vaja neid kõiki vektorite tüüpe, matemaatikas kasutatakse sagedamini vaavektoreid. Järgnevas looume konkreetsetest kaalutlustest, mis tõid meid vektori mõiste juurde, ja vaatleme vektorit tasandil kui geomeetrilist kujundit ja kui arvupaari (ruumivektor oleks arvukolmik).
6... VEKTORI KOORINI. VEKTORI PIKKUS Nihet ühikut paremale ja ühikut üles saa esitada vektoriga, nii nagu näha joonisel. Seda nihet saa esitada ka järjestatud arvupaariga (; ). Esimene arv näita nihet -telje suunas, teine -telje suunas. = (; ) Nihe koordinaattasandil punktist (; ) punkti (6; 8) on märgitav vektoriga = (; 5). Vektor (; ) tähendaks koordinaattasandil nihet kahe ühiku võrra paremale ja kolme ühiku võrra alla. Joonisel on tehtud see nihe punktidest O(0; 0), (; ), ( ; ) ja ( ; ). 0 0 (; ) (; ) Vektorit tasandil saa esitada arvupaari ail. Selles arvupaaris olevaid arve nimetatakse vektori koordinaatideks esimesel kohal on esimene koordinaat, teisel kohal teine koordinaat. Leiame üldise valemi vektori koordinaatide jaoks. Selleks võtame teljestikus kaks punkti ( ; ) ja ( ; ). Leiame vektori koordinaadid. Selleks, et saada vektori koordinaate, tule lõpp-punkti koordinaatidest lahutada alguspunkti vastavad koordinaadid. Kui ( ; ) ja ( ; ), siis = ( ; ). Olgu meil mingid kaks võrdset vektorit. On ilmne, et võrdsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, s.t. kui u r = (a; ) ja v r = (c; d), siis u r = v r (a = c = d). Joonisel on vektor (; ). Leiame selle vektori pikkuse. Selleks joonistame välja kolmnurga. Selle kolmnurga hüpotenuusi saame leida Pthagorase teoreemi ail: = + = + =. K 0 L Vektori pikkust tähistatakse, vektori tähis kirjutatakse püstkriipsude vahele. Et vektori pikkus ja sellele vektorile vastava lõigu pikkus on võrdsed (miks?), siis vahel märgitakse vektori pikkust ka lihtsalt nii:. Kui v r = (a; ), siis selle vektori pikkus v r = a + Vektori pikkus võrdu ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Vektorit, mille pikkus on üks, nimetatakse ühikvektoriks. 6..5. VEKTORITE LIITMINE Kui liidame kahte vektorit, siis tulemuseks saame kolmanda vektori. Vektoreid saa liita algeraliselt ja geomeetriliselt. Näidetes kasutame paralleelselt mõlemat viisi. Näide. Lennuk lendas punktist 00 km itta ja jõudis punkti. Sealt lendas lennuk veel 00 km itta ja jõudis punkti. lgeraline lahendus = (00; 0) = (00; 0) + = (00; 0) + (00; 0) = (600; 0) + =. on vektorite ja summavektor. Geomeetriline lahendus
Näide. Mees liikus punktist P 00 m lõunasse punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas ja jõudis punkti R. Näide. Keha liikus punktist vektori = (5; ) võrra ja seejärel vektori = (; ) võrra. JÄRELUSE PQ = (0; 00) QR = (0; 500) PQ + QR = (0; 00) + (0; 500) = (0; 00) PQ + QR = PR. PR on vektorite PQ ja QR summavektor. = (5; ) = (; ) + = (5; ) + (; ) = (6,7) + =. on vektorite ja summavektor. Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid. u r = (a; ) v r = (c; d) w r = u r + v r = (a + c; + d) Kolmnurgareegel QR R P Q PQ PR Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühti teise algusega. Summavektor ühenda esimese vektori algust teise lõpuga. Mitteparalleelseid vektoreid saa liita ka nn. rööpkülikureegli ail. Olgu meil kaks vektorit a r ja r, nii et a r r. Liidame need vektorid kolmnurgareegli järgi. Olgu vektor a =, =, siis a + = + =. Kui aga võtta =, a =, siis + a = + =. a a Mõlemal viisil liites saime ühesuguse tulemuse (see on ka loomulik ka vektorite summa ei sõltu liidetavate järjekorrast). Vaatame nüüd rööpkülikut. Selle rööpküliku üks diagonaal ongi otsitav vektor a r r +. Rööpkülikureegel: Paigutame liidetavad vektorid nii, et nende alguspunktid ühtivad. Ehitame rööpküliku, mille külgedeks on need vektorid. Summavektor lähtu liidetavate vektorite ühisest alguspunktist, paikne sellest punktist tõmmatud diagonaalil ja on pikkuselt võrdne selle diagonaaliga. Näide. Kui = (; ), = (; ) ja = ( ; ), siis leiame summavektori + +. lgeraline lahendus + + = (; ) + (; ) + ( ; ) = ( + ; + + ) = (; 8). Summavektor on = (; 8). E 8 6 8 6 0 6 8 F 6 8 G Geomeetriline lahendus Leiame kõigepealt vektorite ja summa kolmnurga reegli järgi, tulemusele liidame vektori sama reegli järgi. Mitme vektori liitmiseks kasutatakse hulknurgareeglit, mis on kolmnurgareegli üldistus. Hulknurgareegel: Selleks, et liita mitu vektorit, asetame nad nii, et esimese lõpp ühti teise algusega, teise lõpp kolmanda algusega jne. Summavektoriks on vektor, mis ühenda esimese vektori algust viimase lõpuga.
6..6. NULLVEKTOR. VSTNVEKTOR. VEKTORITE VHE Nullvektori ja antud vektori vastandvektori mõisteni jõudmiseks lahendame kaks lihtsat näiteülesannet. Näide. Olgu meil mingi vektor v = (a; ). Leida vektori z = (; ) koordinaadid, et kehtiks võrdus v + z = v. Liites need vektorid algeraliselt, saame (a + ; + ) = (a; ). Viimane võrdus kehti ainult juhul, kui = 0 ja = 0. Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks. Nullvektori pikkus on võrdne nulliga, tema alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Nullvektori siht ja suund ei ole määratud. Näide. Olgu meil vektor v = (a; ). Leida vektori z = (; ) koordinaadid, et kehtiks võrdus v + z = O r. 9 ( + ) = 9 + ( ) = naloogiliselt toimu vektori lahutamine ja nimelt: Vektori lahutamine tähenda selle vektori vastandvektori liitmist. Kui v = (a; ) ja u = (c, d), siis v u = v + ( u ) = (a; ) + ( c; d) = (a c; d). Vektorite v ja u vahe leidmiseks paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Seejärel või asendada vektori u ta vastandvektoriga u ja liita vektorid v ja u kolmnurga reegli järgi. Selleks, et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtu lahutatava vektori lõpp-punktist ja suundu vähendatava vektori lõpppunkti. Liites vektorid v ja z algeraliselt, saame võrduse (a + ; + ) = (0; 0). Seega a + = 0 ja + = 0 ehk = a ja =. Seega z = ( a; ). v v u 0 a = (; ) a = ( ; ) u Näide. Olgu a = (; ) ja = ( ; 5). Leiame a. lgeraline lahendus: a = (; ) ( ; 5) = (; ) + (; 5) = ( + ; + 5) Vektori v = (a; ) vastandvektoriks nimetatakse vektorit v = ( a; ). = (6; ) Geomeetriline lahendus: v + ( v ) = O. Kui kaks vektorit on teineteise vastandvektorid, siis on nad ühepikkused ja samasihilised, aga vastassuunalised. (Vt. joonist.) ) joonestame vektorid a = (; ) ja = ( ; 5); ) joonestame vektori = ( ; 5); Kui me õppisime tehteid reaalarvudega, siis saime teada, et arvu lahutamine tähendas selle arvu vastandarvu liitmist. Näit. 8 ( ) = 8 + ( + ) = ) konstrueerime vektori a = (6; ). u a a
6..7. VEKTORI KORRUTMINE RVUG Olgu kaks vektorit a = (; ) ja = (6; 8). Neil vektoritel on sama siht (nn. vektori tõusud = 8 6 ) ja sama suund, aga nende pikkused on erinevad, nimelt a a = 5 ja = 0. Kui me vektori a koordinaate korrutaksime kahega, saaksime vektori koordinaadid. Seda tõsiasja või märkida nii: = a. a = (; ) = (6; 8) t = ( 6; 9) s = (; ) Olgu meil kaks vektorit s = (; ) ja t = ( 6; 9). Need vektorid on samasihilised, nende suunad on aga vastupidised. Vektorite pikkused on s = ja t = = 6 + 8 = 7 = 9 =, seega korda erinevad. Kui me vektori s koordinaate korrutaksime ( )-ga, saaksime vektori t koordinaadid. Kui v = (a; ), siis k v = (ka; k). Vektori korrutamisel arvuga k saame vektori, mis on pikkuselt võrdne arvu k ja vektori v pikkuse korrutisega. Kui k > 0, siis vektor k v on samasuunaline vektoriga v ( k v v ). Kui k < 0, siis vektor k v on vastassuunaline vektoriga v ( k v v ). a,5 a a 0 a Joonisel on mõned vektorid, mis me saame, kui korrutame vektorit a mõnede arvudega. Korrutamisel arvuga saame tulemuseks esialgse vektori vastandvektori, arvuga null aga nullvektori. Seega ( ) a = a ja 0 a = O. Teame, et kahte samasihilist vektorit nimetatakse ka kollineaarseteks vektoriteks. Teiselt poolt, vektorite kollineaarsus defineeritakse vahel järgmiselt: Kaht vektorit u ja v, millede vahel kehti seos u = k v, kus k on konstant, nimetatakse kollineaarseteks. Saa näidata, et kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised. Olgu meil kaks kollineaarset vektorit. a = (a ; a ) ja = ( ; ). Seega leidu niisugune arv k, et kehti võrdus a = k r. Siis kehti võrdus: (a ; a ) = k( ; ). Millest saame: (a ; a ) = (k ; k ). Kui vektorid on võrdsed, siis on võrdsed ka nende vastavad koordinaadid. Seega a = k ja a = k. valdame mõlemast võrdusest k, saame k = a a = a. ja k = a. Seega kehti ka võrdus Kahe kollineaarse vektori a = (a ; a ) ja = ( ; ) vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. a a. Saa näidata ka vastupidist, s.t. et kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis need vektorid on kollineaarsed: a a = a. 6.5. LÕIGU KESKPUNKTI KOORINI Vaatleme lõiku, mille otspunktid on ( ; ) ja ( ; ). Selle lõigu keskpunkt olgu ( c ; c ). valdame lõigu keskpunkti koordinaadid otspunktide koordinaatide kaudu. Et on lõigu keskpunkt, siis =. Seega 0,5 a a,5 a a,5 a a
( c ; c ) = ( c; c). Et võrdsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, siis saame: c = c ja c = c. valdades nendest võrdustest c ja c, saame c = ja c =. (c; c) (; ) (; ) 0 Kui punktid ( ; ) ja ( ; ) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti ( c ; c ) koordinaadid on c = ja c = Seega või öelda, et lõigu keskpunkti koordinaadid on tema otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised. Näide. Leida lõigu KL keskpunkt M, kui K(; ) ja L( ; ). Keskpunkt on L M( + ( ) M ; + K ) = M( ; ) Q(0; ) P(a; ) M(0; N(a; 0) Näide. Näitame, et ristküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Iga ristküliku saa paigutada teljestikku nii, et üks tipp oleks koordinaadistiku alguspunktis ja küljed oleksid paralleelsed telgedega (vt. joonis). Olgu ristküliku küljed a ja. Tippude koordinaadid on siis M(0; 0), N(a; 0), P(a; ) ja Q(0; ). Lõigu MP keskpunkt on siis 0 + a 0 + ; a = ;. a + 0 0 + a Lõigu NQ keskpunkt on siis ; = ;. Et diagonaalidel on ühine keskpunkt, siis nad poolitavad teineteist. 6.6. Lõigu jaotamine antud suhtes On antud punktid ( ; ) ja ( ; ). Tule leida nende punktide vahelisel lõigul punkt, mis jaota lõigu suhtes m n = k. Olgu otsitavaks punktiks ( ; c c). Et see punkt jaota lõigu suhtes m n = k, siis pea kehtima võrdus: = m n ehk n = m ehk ( c ; c )n = ( c; c)m. Siit saame [( c )n; ( c )n] = [( c)m; ( c)m], (cn n; cn n) = (m cm; m cm). Kuna vektorid on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed, siis cn n = m cm ja cn n = m cm. valdades nendest võrdustest c ja c, saame m n m n c = ja c =. m n m n Seega on otsitavaks punktiks m n m n ;. m n m n Näide. Leia punkt, mis jaota punktide (; ) ja ( ; ) vahelise lõigu suhtes :. Kasutades leitud valemeid, saame ( ) + c = + = + ja c = + = 8. 8 Seega on otsitavaks punktiks ;. 0
6.7. Vektori projektsioonid koordinaattelgedel. Vektori komponendid Võtame tasandil vektori, mille alguspunkt on punktis (a ; a) ja lõpp-punkt on punktis ( ; ). Punktide ja projektsioonid -teljel on ja, projektsioonid - teljel on ja. Vektori projektsioonivektoriks -teljel on vektor ja vektori projektsioonivektoriks -teljel on vektor. Nende projektsioonivektorite koordinaadid on = ( a ; 0) ja = = (0; a ). Leiame vektorite ja summa. Geomeetriliselt liites või panna need vektorid lähtuma ühest punktist punktist, 0 Näide. Latern massiga 0 kg on kinnitatud kronsteini külge. Kronstein koosne risttoest ja kaldtoest. Leiame tugedes tekkivad elastsusjõud, kui risttoe ja kaldtoe vaheline nurk on 60. Lami raskusjõud F r on tasakaalustatud kahe elastsusjõuga F ja. F on elastsusjõud kokkusurutud kaldtoes ja F on elastsusjõud väljavenitatud F rõhttoes. F + F + Fr = O F + F = Fr. Seega F + F = Fr = mg = 98, N 98 N. summavektor on siis. lgeraliselt liites Kolmnurgast saame saaksime + = ( a ; a), mis on sellesama vektori koordinaadid. F r F = = N. sin 60 Kokkuvõtteks: oleme esitanud ühe tasandil vaalt valitud vektori kahe vektori ja F r summana. Need vektorid on vektori -telje F = = 56,5 N 57 N. tan 60 sihiline komponent ( ) ja -telje sihiline komponent ( ). F 0 F Vektori lahutamine erinevate sihtidega komponentideks leia sageli rakendamist. Näide. Paat on kinnitatud köie ail kaldasse löödud vaia külge. Paadile mõju jõevool jõuga F ja puhuv tuul jõuga F, kusjuures tuule suund on risti jõe voolu suunaga. Nurk paadi ja kalda vahel on 0. Paadile mõjuva resultantjõu määramiseks on paadi ja köie vahel dünamomeeter. ünamomeetri näit on 00 N. Leiame jõudude F ja F suurused. Kui paat seisa paigal, siis kõigi paadile mõjuvate jõudude summa on null. F F r 60 Näide. Uurime seda, kuidas on võimalik purjepaadiga liikuda vastu tuult. Olukorra analüüsimisel kasutame kaks korda jõu lahutamist komponentideks. Tuul puhugu suunas M jõu M mõjul. Paadi teljeks olgu, purje teljeks olgu SS. Jõuvektori M või lahutada kaheks komponendiks ja. Neist üks komponent ( ) olgu risti purje pinnaga SS, teine komponent ( ) olgu purje pinnaga paralleelne. Purjele mõju neist ainult jõud. Jõu rakendame punkti M, seal teki vektor M =. Vektori M lahutame kaheks komponendiks, neist üks (ME ) on risti paadi teljega, teine (MF ) on paralleelne paadi teljega. Komponentjõud ME paadi liikumist oluliselt ei mõjuta, kuna paadi piklik kuju ja vee takistus sega. Paati edasi viivaks jõuks jää jõud MF. F F r Jõude F ja F tasakaalusta köie elastsusjõud, mida mõõda dünamomeeter. F + F + Fel = O F + F = Fel Seega F + F = Fel = 00 N. Määrame nüüd jõudude F ja F suurused F = F + F cos 0 = 6, N 50 N. F = F + F sin 0 00 N. S M E S F