Eesti koolinoorte LIV täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA KOOLIVOOR Tallinnas, 8. jaanuaril a. XI klass

Väljavõte

1 Eesti koolinoorte LIV täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA KOOLIVOOR Tallinnas, 8. jaanuaril a. XI klass Laendamiseks on aega 4 tundi. Iga ülesande õige ja ammendavalt põjendatud laendus annab 7 punkti. Taskuarvutit kasutada ei lubata. 1. Isa ja kaks poega läevad 33 km kaugusele külla vanaemale. Isal on motoroller, mille kiirus on 25 ning lubatud üe kaasreisijaga 20. Mõle- km km km mad pojad kõnnivad kiirusega 5. Näita, et kõik kolm võivad üeaegselt kolme tunniga jõuda vanaema juurde. 2. Kolmnurga ABC külgede AB, BC ja AC võrrandid on vastavalt x 21y 22 0, 5x 12y 7 0 ja 4x 33y Leia selle kolmnurga raskuskeskme kaugus koordinaatide alguspunktist. 3. Laenda võrrand nõutav Võrrandi kontroll pole x 50 x Ringjoone keskpunkt asub täisnurkse kolmnurga ABC üpotenuusil AB. Ringjoon läbib punkti A ning puutub kaatetit BC punktis M. Tõesta, et lõik AM on nurga BAC poolitaja. 5. Kadi ja Liis mängivad mänguribal N 1 järgmist mängu. Alguses on kõik ruudud värvimata. Mängija värvib käigul olles ära kas üe ruudu või kaks kõrvuti asetsevat ruutu. Mängu võidab mängija, kelle käigu järel saab kogu riba värvituks. Mängu alustab Kadi. Kumb tüdrukutest võidab parima mängustrateegia korral, kui N on a) 2007; b) 2008? 1

2 LAHENDUSED 1. Tõestus: Sõitku isa esimese pojaga x kilomeetrit. Selleks kulub vastavalt tekstile 20 x tundi ning vaemaa teise pojaga on selleks etkeks Nüüd sõidab isa järele teisele pojale ning kotub 3 x temaga x : 30 (tunni) pärast Isa ja poja kiiruste summa on 30 x x (km). 4 x x 3 Kotumiseni isaga läbis teine poeg 5 x (km) ning lõpuni jäi x tal veel 33 km. 8 Et kõik kolm jõuavad korraga vanaema juurde juul, kui isa sõidutab poegi võrdse vaemaa, siis 3x x 33, millest x 24 km. 8 Vanaema juurde jõudmiseks kulub kokku aega x 33 x (tundi) Kontroll. x 33 x 24 9 Esimesel pojal kulub aega 3 (tundi) Teisel pojal ja isal kulub aega 3x 33 x x (tundi) M. o. t. t. km. Isa ja poja kiiruste vae on km 15. 2

3 2. Kolmnurga tippude koordinaadid saame vastavate võrrandite süsteemide laenditena. 1) x 21y 22 0 A 1;1 5x 12y 7 0 2) 4x 33y x 12y 7 0 B 13;6 3) 4x 33y C 20;2 x 21y 22 0 Külje BC keskpunkti K leian lõigu otspunktide abil: K ;, millest K 3 ; Niisiis on sirglõik AK üks kolmnurga ABC mediaanidest. Et raskuskese M jaotab lõigu AK sutes 2:1 (2 üikut tipu A poole), siis vastavalt kaalutud keskmisele: M ; M 2;3 3 3 B C 4x 33y K x 21y 22 0 M A O 5x 12y Punkti M kaugus koordinaatide alguspunktist on OM Kolmnurga raskuskeskme kaugus koordinaatide alguspunktist on 13. 3

4 x 50 x 49 Täistame a ja b. Sellise juul saab võrrand kuju 1 1 a b. a b Teisendame võrrandit järgmiselt: 1 1 a b ab a b 2 2 a b ab a b aba b a b 0 a bab 1 0 Saame kaks varianti. 1) a b 0, millest x 49 50x x x 4901 :99 2) ab 1 0, millest x x 49 x x 2 99x 0 xx 99 0 x 2 0, x 3 99 Võrrandi laendid on 50 x 1 49, x 2 0 ja x

5 4. Tõestus: Teeme joonise. Olgu O ringjoone keskpunkt. Tõmbame sirglõigu OM. Kuna OA ja OM on ringjoone raadiused, siis OA OM ning M kolmnurk AOM on võrdaarne. Niisiis OMA OAM. (*) Et puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega, siis on A O B lõigud OM ja BC omavael risti. Ülesande teksti koaselt on samuti risti lõigud AC ja BC. Siit saame, et lõigud OM ja AC on paralleelsed: OM AC. Kae paralleelse sirge lõikamisel kolmandaga tekib paar võrdseid põiknurki, seega OMA CAM. (**) Arvestades seoseid (*) ja (**) saame, et OAM CAM. Seega on lõik AM nurga BAC poolitaja. M. o. t. t. C 5

6 5. Mõlemal juul võidab Kadi. Kui N 2007, siis esimese käiguga värvib ta ära üe keskmise ruudu, kui N 2008 aga kaks keskmist ruutu. Mõlemal juul jääb värvimata kaks ruutu. Edasi kasutab Kadi sümmeetrilist strateegiat: kui Liis värvib ära mõned ruudud ües ristkülikus, siis Kadi värvib samadel kotadel asuvad ruudud teises ristkülikus. On selge, et nii tegutsedes on Kadil alati võimalus käik tea. Liisil aga saavad käigud millalgi otsa ja Kadi võidab. 6

7 HINDAMINE 1. Täelepanek, et isa peab teise poja vedamiseks tagasi sõitma Täelepanek, et poegi on vaja vedada võrdne aeg (teepikkus) 2p Võrrandi moodustamine 2p Võrrandi laendamine Kontroll ja järeldus Märkus. Kui õpilane esitab õige algoritmi selleks, kuidas 3 tunniga vanaema juurde jõuda ning kontrollib seda, anda. 2. Kolmnurga tippude leidmine võrrandisüsteemide abil 3p Raskuskeskme leidmine 3p Kaugus koordinaatide alguspunktist 3. Muutuja vaetus Võrrandini a b 0 jõudmine Võrrandini ab 1 0 jõudmine Võrrandi a b 0 laendamine 2p Võrrandi ab 1 0 laendamine 2p Märkus 1. Kui õpilane laendab võrrandit muutuja vaetuseta, siis õige kuupvõrrandini jõudmise eest anda 4p ning selle laendamise eest 3p. Märkus 2. Kui õpilane on ära toonud õiged vastused ning tetud on nende laendite sobivuse kontroll, anda iga õige vastuse eest. Ainult õigete vastuste eest ilma kontrollita punkte mitte anda. 4. Korrektne abistav joonis Raadiuse OM tõmbamine Täelepanek, et raadius on risti kaatetiga Võrdaarse kolmnurga AOM märkamine Sirglõikude OM ja AC paralleelsuse märkamine Põiknurkade märkamine Tõestuse lõpuleviimine 5. Sümmeetrilise strateegia idee ja kirjeldus 3p a) osa õige avakäik a) osa laenduse lõpuleviimine b) osa õige avakäik b) osa laenduse lõpuleviimine Märkus. Ainult täieliku õige vastuse eest (võidab mõlemal korral Kadi) ilma selgituseta anda. Ainult üe osa õige vastuse eest anda 0p. 7