Univerzitet u Beogradu Maxinski fakultet. Matlab i Simulink. u automatskom upravǉaǌu. Radixa Ж. Jovanovi. Beograd, 2016.

Univerzitet u Beogradu Maxinski fakultet Matlab i Simulink u automatskom upravǉaǌu Radixa Ж. Jovanovi Beograd, 2016.

Dr Radixa Ж. Jovanovi, dipl. inж. max., docent Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet Matlab i Simulink u automatskom upravǉaǌu I izdaǌe Recenzenti: Prof. dr Zoran Ribar, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet Prof. dr Zoran Buqevac, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet Izdavaq: Maxinski fakultet Univerziteta u Beogradu ul. Kraǉice Marije 16, 11120, Beograd 35 tel. (011) 3302-384 faks (011) 3370-364 Za izdavaqa: Prof. dr Radivoje Mitrovi, dekan Glavni i odgovorni urednik: Prof. dr Milan Leqi Odobreno za xtampu odlukom dekana Maxinskog fakulteta u Beogradu br. 3/16 od 12.04.2016. godine Dizajn korica: Mina Mihailovi Tiraж: 300 primeraka Xtampa: PLANETA PRINT ISBN 978-86-7083-896-3 Sva prava zadrжavaju izdavaq i autor. Zabraǌeno prextampavaǌe i umnoжavaǌe.

Sadrжaj I UVOD U MATLAB 1 1 Uvod u Matlab................................... 3 1.1 Radno okruжeǌe Matlaba 3 1.1.1 Komandni prozor..................................... 4 1.1.2 Prozor s prethodnim naredbama........................ 5 1.1.3 Radni prostor Matlaba............................... 5 1.1.4 Prozor radnog direktorijuma.......................... 5 1.1.5 Korisne naredbe za rad u komandnom prozoru............. 5 1.1.6 Editor m-datoteka................................... 6 2 Promenǉive i tipovi podataka................. 7 2.1 Promenǉive 7 2.1.1 Operator dodele..................................... 7 2.1.2 Izrazi i operatori................................. 10 2.1.3 Podrazumevane promenǉive i rezervisane reqi........... 10 2.2 Numeriqki tipovi podataka 11 2.2.1 Celobrojni tipovi.................................. 11 2.2.2 Brojevi u pokretnom zarezu........................... 12 2.2.3 Kompleksni brojevi................................. 13 2.3 Logiqki tip podataka 13 2.4 Znakovni tip podatka 14

ii 3 Nizovi i operacije nad nizovima.............. 15 3.1 Vrste nizova 15 3.2 Matrice i vektori 16 3.2.1 Pojam i vrste matrica............................... 16 3.2.2 Kreiraǌe vektora................................... 17 3.2.3 Kreiraǌe matrica.................................. 19 3.2.4 Specijalne matrice................................. 20 3.2.5 Transponovana matrica.............................. 22 3.2.6 Inverzna matrica................................... 23 3.2.7 Determinanta...................................... 23 3.2.8 Operacije nad matricama............................ 24 3.2.9 Matriqno mnoжeǌe.................................. 25 3.2.10 Stepenovaǌe matrica................................ 27 3.2.11 Pristup elementima vektora i matrica................. 28 3.2.12 Elementne operacije nad vektorima i matricama......... 30 3.2.13 Funkcije za analizu nizova........................... 33 3.2.14 Funkcija meshgrid()................................ 34 3.2.15 Vektori i matrice kao argumenti funkcija.............. 35 3.2.16 Promena tipa matrice............................... 36 3.3 Nizovi karaktera 39 3.3.1 Spajaǌe stringova.................................. 42 3.3.2 Kreiraǌe i podexavaǌe stringova..................... 43 3.3.3 Komparacija stringova.............................. 44 3.3.4 Konverzija između stringova i drugih tipova podataka.... 45 3.4 Nizovi elija 45 4 Programiraǌe u Matlabu...................... 49 4.1 Algoritmi 49 4.2 Matlab skript 50 4.2.1 Dokumentovaǌe..................................... 51 4.3 Ulaz i izlaz 52 4.3.1 Ulazne funkcije.................................... 53 4.3.2 Izlazne funkcije................................... 54 4.3.3 Funkcija disp()..................................... 55 4.3.4 Funkcija fprintf()................................... 55 4.4 Skript sa ulazom i izlazom 58 4.4.1 Snimaǌe podataka u datoteku......................... 59 4.4.2 Dodavaǌe podataka u datoteku........................ 59 4.4.3 Uqitavaǌe podataka iz datoteke....................... 60

iii 4.5 Funkcije 60 4.5.1 Kreiraǌe funkcijske datoteke........................ 61 4.5.2 Radni prostor funkcije.............................. 64 4.5.3 Lokalne promenǉive................................ 64 4.5.4 Globalne promenǉive................................ 65 4.5.5 Perzistentne promenǉive............................ 66 4.5.6 Podfunkcije....................................... 67 4.5.7 Ugneжdene funkcije................................. 68 4.5.8 Anonimne funkcije.................................. 70 4.5.9 Primena pokazivaqa funkcija......................... 72 4.5.10 Funkcije sa funkcijama kao argumentima................ 72 5 Simboliqka matematika........................ 73 5.1 Simboliqke promenǉive i izrazi 73 5.1.1 Rad sa simboliqkim izrazima......................... 74 5.1.2 Prikazivaǌe izraza................................. 76 5.1.3 Rexavaǌe algebarskih jednaqina...................... 76 5.1.4 Simboliqka matematiqka analiza...................... 78 5.2 Rexavaǌe diferencijalnih jednaqina 79 5.2.1 Rexavaǌe skalarne diferencijalne jednaqine............ 80 5.2.2 Rexavaǌe sistema diferencijalnih jednaqina........... 81 5.2.3 Definisaǌe poqetnih i graniqnih uslova............... 81 5.2.4 Rexavaǌe nelinearnih diferencijalnih jednaqina........ 82 6 Operatori i kontrola toka programa.......... 85 6.1 Relacioni operatori 85 6.2 Logiqki operatori 87 6.3 Uslovno granaǌe 89 6.3.1 If uslov........................................... 89 6.3.2 Switch struktura................................... 91 6.4 Petǉe 92 6.4.1 For petǉa......................................... 93 6.4.2 Vixestruke petǉe................................... 95 6.4.3 Kombinacija vixestrukih for petǉi i if naredbi......... 96 6.4.4 Petǉa while....................................... 97 6.4.5 While petǉa sa ulaznom funkcijom..................... 98 6.4.6 Brojaq u while petǉi................................ 99 6.4.7 Provera grexke sa ulaznom funkcijom u while petǉi...... 99 6.4.8 Naredbe break i continue............................ 100 6.4.9 Izbegavaǌe petǉi, vektorizacija i prealokacija......... 101

iv 7 2-D grafika.................................... 105 7.1 Funkcija plot() 105 7.1.1 Grafik eksperimentalnih podataka.................... 105 7.1.2 Grafik funkcije.................................... 106 7.1.3 Argumenti funkcije plot()............................ 106 7.1.4 Crtaǌe vixe grafika................................ 107 7.1.5 Vixe grafika u jednom grafiqkom prozoru.............. 107 7.2 Formatiraǌe grafika 109 7.2.1 Naslov, natpisi, mreжa.............................. 109 7.2.2 Linije, boje, markeri................................ 109 7.2.3 Podgrafici........................................ 111 7.2.4 Grafici sa logaritamskom podelom osa................. 111 7.2.5 Pristup parametrima grafika........................ 114 II NUMERIQKE METODE U MATLABU 115 8 Sistemi linearnih jednaqina................. 117 8.1 Osnovni pojmovi i broj rexeǌa 117 8.2 Rexavaǌe sistema linearnih jednaqina 119 8.2.1 Sistem jednaqina sa m = n........................... 120 8.2.2 Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m > n............. 121 8.2.3 Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m < n............. 122 8.3 Sopstvena vrednost i sopstveni vektor matrice 123 8.3.1 Sopstvene vrednosti i sopstvene matrice u Matlabu...... 125 9 Aproksimacija i interpolacija............... 129 9.1 Opxti problem aproksimacije 129 9.2 Interpolacija 130 9.3 Interpolacija polinomima 131 9.4 Interpolacija polinomima po delovima 132 9.4.1 Linearni splajn.................................... 132 9.4.2 Kubni splajn....................................... 133 9.4.3 Funkcije za interpolaciju u Matlabu.................. 134 9.5 Metoda najmaǌih kvadrata 136 9.5.1 Linearni model najmaǌih kvadrata.................... 137 9.5.2 Metoda najmaǌih kvadrata u Matlabu.................. 137

v 10 Nelinearne algebarske jednaqine............. 139 10.1 Nelinearna jednaqina jedne promenǉive 139 10.1.1 Rexavaǌe nelinearnih jednaqina u Matlabu............. 140 10.1.2 Funkcija fzero() i jednaqina sa vixe korenova........... 142 10.1.3 Taqke prekida i funkcija fzero()...................... 143 10.1.4 Nule polinoma i funkcija roots()..................... 144 10.2 Optimizacija funkcije jedne promenǉive 145 11 Numeriqko diferenciraǌe i integraǉeǌe... 147 11.1 Numeriqko diferenciraǌe 147 11.1.1 Aproksimacija prvog izvoda.......................... 148 11.1.2 Aproksimacija drugog izvoda......................... 150 11.1.3 Matlab funkcije za numeriqko diferenciraǌe........... 150 11.2 Numeriqko integraǉeǌe 153 11.2.1 Trapezno pravilo................................... 154 11.2.2 Matlab funkcija trapz()............................. 155 11.2.3 Simpsonova metoda.................................. 156 11.2.4 Matlab funkcije quad() i integral()................... 157 12 Numeriqko rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jednaqina...................................... 159 12.1 Pojam diferencijalne jednaqine 159 12.2 Koxijev problem 160 12.3 Jednokoraqne metode 161 12.3.1 Ojlerova metoda.................................... 162 12.3.2 Poboǉxaǌe Ojlerove metode.......................... 163 12.3.3 Metode Runge Kuta.................................. 165 12.3.4 Lokalna grexka numeriqke metode..................... 167 12.3.5 Globalna grexka i stabilnost numeriqke metode......... 168 12.4 Vixekoraqne metode 168 12.4.1 Adams-Baxfortova metoda........................... 168 12.4.2 Adams-Moltonova metoda............................. 169 12.5 Adaptivne metode 170 12.6 Metode u Matlabu za numeriqko rexavaǌe 171 12.7 Funkcija ode..() u Matlabu 172

vi III UVOD U SIMULINK 179 13 Uvod u Simulink.............................. 181 13.1 Kako radi Simulink 182 13.2 Poqetak rada u Simulinku 183 13.2.1 Pokretaǌe Simulinka............................... 183 13.2.2 Kreiraǌe novog modela.............................. 183 13.2.3 Otvaraǌe postoje eg modela.......................... 183 13.3 Osnovni elementi Simulink modela 183 13.3.1 Blokovi........................................... 184 13.3.2 Linije............................................ 184 13.3.3 Kreiraǌe modela sistema............................ 184 13.3.4 Unoxeǌe blokova u model............................ 185 13.3.5 Modifikovaǌe blokova.............................. 185 13.3.6 Povezivaǌe blokova................................. 186 13.3.7 Pokretaǌe simulacije i parametri simulacije.......... 186 14 Osnovni blokovi............................... 187 14.1 Bibilioteka ulaza 187 14.1.1 Constant blok...................................... 187 14.1.2 Signal Generator blok............................... 187 14.1.3 Pulse Generator blok................................ 188 14.1.4 Step blok.......................................... 188 14.1.5 Ramp blok........................................ 189 14.1.6 Sine wave blok..................................... 189 14.1.7 Clock blok......................................... 190 14.1.8 Ground blok....................................... 190 14.2 Biblioteka izlaza 191 14.2.1 Display blok....................................... 191 14.2.2 Scope blok........................................ 191 14.2.3 Terminator blok.................................... 192 14.2.4 Stop simulation blok................................ 192 14.2.5 To Workspace blok................................. 192 14.2.6 To File blok....................................... 193 14.3 Biblioteka signala 193 14.3.1 Bus Creator i Bus Selector blok...................... 193 14.3.2 Mux i Demux blokovi.............................. 194 14.3.3 Switch blok........................................ 194 14.3.4 Prikaz signala u modelu............................. 195 14.3.5 Gain blok......................................... 195

vii 14.4 Matematiqka biblioteka 195 14.4.1 Sum, Add i Subtract blokovi......................... 195 14.4.2 Math Function blok................................. 196 14.4.3 Trigonometric Function blok......................... 197 14.5 Biblioteka blokova kontinualnih sistema 197 14.5.1 Integrator blok..................................... 197 14.6 Biblioteka blokova sa nelinearnostima 198 14.6.1 Saturation blok.................................... 198 14.6.2 Dead Zone blok.................................... 199 15 Simulacija dinamiqkih sistema.............. 201 15.1 Simulacija sistema prvog reda 201 15.1.1 Kreiraǌe Simulink modela sistema................... 201 15.1.2 Simulacija sistema za odskoqnu promenu ulaza.......... 202 15.1.3 Simulacija sistema za promenu ulaza u obliku pulsa....................................... 203 15.1.4 Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza........... 204 15.1.5 Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza sa zasi eǌem 205 15.2 Simulacija sistema drugog reda 207 15.2.1 Kreiraǌe Simulink modela.......................... 207 15.3 Simulacija iz komandnog prozora 209 15.4 Podsistemi 211 15.5 Algebarske petǉe 213 15.6 Numeriqki postupci u Simulinku 217 IV MATEMATIQKI MODELI DINAMIQKIH SISTEMA 219 16 Matematiqko modelovaǌe dinamiqkih sistema 221 16.1 Matematiqko modelovaǌe sistema 221 16.1.1 Primeri matematiqkog modelovaǌa sistema............. 222 16.2 Matematiqki modeli UI sistema 231 16.3 Matematiqki modeli USI sistema 231 16.4 Linearni stacionarni dinamiqki sistemi 232 16.4.1 Linearni stacionarni dinamiqki UI sistemi........... 232 16.4.2 Linearni stacionarni dinamiqki USI sistemi.......... 233 16.4.3 Izbor veliqina staǌa............................... 233 16.5 Matematiqki modeli po odstupaǌima 237

viii V LINEARNI SISTEMI 239 17 Laplasova transformacija.................... 241 17.1 Definicija Laplasove transformacije 241 17.2 Inverzna Laplasova transformacija 241 17.3 Osobine Laplasove transformacije 242 17.4 Laplasova transformacija u Matlabu 242 17.5 Hevisajdov razvoj 243 17.5.1 Funkcije sa jednostrukim polovima.................... 244 17.5.2 Funkcije sa vixestrukim polovima.................... 245 17.6 Hevisajdov razvoj u Matlabu 245 18 Predstavǉaǌe linearnih sistema u Matlabu. 249 18.1 Prenosna funkcija i prenosna matrica 249 18.1.1 TF oblik prenosne funkcije.......................... 250 18.1.2 Zero-Pole-Gain oblik prenosne funkcije.................. 251 18.1.3 TF i ZPK oblici prenosnih matrica................... 252 18.1.4 Prenosna funkcija u Simulinku....................... 256 18.2 Model sistema u prostoru staǌa 257 18.2.1 Model sistema u prostoru staǌa u Simulinku........... 258 18.3 Pretvaraǌa između razliqitih modela 258 18.3.1 Pretvaraǌe u TF model.............................. 258 18.3.2 Pretvaraǌe u ZPK model............................. 262 18.3.3 Realizacija u prostoru staǌa......................... 263 18.3.4 Dobijaǌe SS i TF modela iz Simulink modela........... 264 18.3.5 Dobijaǌe parametara iz LTI objekata................... 266 18.4 Blok dijagrami 267 18.4.1 Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne sprege.......... 268 18.4.2 Sloжene sprege..................................... 270 19 Analiza linearnih sistema................... 279 19.1 Tipiqne promene ulaznih veliqina 279 19.1.1 Znaqaj i vrste tipiqnih promena ulaznih veliqina....... 279 19.1.2 Odskoqna funkcija.................................. 280 19.1.3 Jediniqna impulsna funkcija......................... 281 19.1.4 Nagibna funkcija................................... 283 19.1.5 Eksponencijalna funkcija............................ 283 19.1.6 Sinusna funkcija................................... 284

ix 19.2 Određivaǌe odziva UI sistema 284 19.2.1 Određivaǌe odziva sistema primenom Laplasove transformacije........................... 284 19.2.2 Određivaǌe odziva primenom simboliqkog paketa........ 288 19.3 Određivaǌe odziva i kretaǌa USI sistema 289 19.3.1 Kretaǌe i odziv u slobodnom radnom reжimu............ 290 19.3.2 Kretaǌe i odziv u prinudnom radnom reжimu............ 290 19.3.3 Primena Laplasove transformacije u određivaǌu kretaǌa i odziva USI sistema................................ 291 19.3.4 Određivaǌe kretaǌa i odziva USI sistema u Matlabu... 292 19.4 Numeriqka analiza linearnih sistema 294 19.4.1 Jediniqni odskoqni odziv............................ 294 19.4.2 Impulsni odziv.................................... 299 19.4.3 Određivaǌe odziva sistema na proizvoǉan ulaz.......... 300 19.4.4 Odziv na poqetne uslove............................. 303 19.5 Pokazateǉi prelazne funkcije 308 19.5.1 Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije u Matlabu......................................... 310

PREDGOVOR Kǌiga Matlab i Simulink u automatskom upravǉaǌu je koncipirana tako da obuhvata oblasti predviđene nastavnim planom i programom predmeta Programiraǌe u automatskom upravǉaǌu, koji se sluxa na Osnovnim akademskim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Međutim, uzimaju i u obzir aktuelnost i znaqaj upoznavaǌa sa nekim od softverskih alata za razliqite vrste inжeǌerskih proraquna i analiza (a Matlab je jedan od najzastupǉenijih, gotovo nezaobilazan), kǌiga je napisana tako da mogu da je koriste i studenti sa drugih fakulteta u qijim nastavnim planovima i programima je zastupǉeǌa ova problematika. U tom smislu, programski jezik Matlab (u daǉem tekstu Matlab) i ǌegov paket Simulink (u daǉem tekstu Simulink) predstavǉeni su u prva tri dela kǌige. Qetvrti i peti deo kǌige se odnose na primenu Matlaba i Simulinka u oblasti sistema automatskog upravǉaǌa, i dobrim delom predstavǉaju podrxku nastavi iz predmeta Osnove automatskog upravǉaǌa koji je obavezan predmet na osnovnim akademskim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Konaqno, kǌiga moжe da posluжi kao osnova za budu e napredno korix eǌe Matlaba i Simulinka. Kompozicija kǌige je organizovana u pet delova. Osnova programiraǌa u Matlabu je izloжena u prvom delu. Prvo poglavǉe donosi uvod o Matlabu kao mo nom programskom jeziku, opis ǌegovog razvojnog okruжeǌa i osnovnih operacija. Promenǉive i osnovni tipovi podataka tema su drugog poglavǉa. U tre em poglavǉu uvodi se koncept niza, koji predstavǉa fundamentalni element u Matlabu, i detaǉno se obrađuju numeriqki nizovi (vektori i matrice), znakovni nizovi i nizovi elija, kao i osnovne operacije nad ǌima. Prvi deo se nastavǉa qetvrtim poglavǉem koje se bavi pisaǌem programa u Matlabu, poqev od jednostavnih skriptova i logiqkih instrukcija do razliqitih tipova funkcija i funkcijskih datoteka. U petom poglavǉu se razmatraju simboliqki paket Matlaba i metode za simboliqko rexavaǌe algebarskih i diferencijalnih jednaqina. Xesto poglavǉe je posve eno relacionim i logiqkim operatorima i kontroli toka programa. Paжǌa je u sedmom poglavǉu posve ena i delu

xii grafiqkih mogu nosti Matlaba a koje se odnose na dvodimenzionalnu grafiku. U drugom delu kǌige se izlaжu osnovne numeriqke metode koje su sadrжane i implementirane u ugrađenim funkcijama Matlaba. Sistemi linearnih jednaqina i problemi sopstvenih vrednosti matrica su tema osmog poglavǉa. Deveto poglavǉe je posve eno problemu aproksimacije funkcije jedne promenǉive, pri qemu znaqajno mesto zauzima i interpolacija algebarskim polinomima i splajnovima, kao i metoda najmaǌih kvadrata kao jedna od metoda za aproksimaciju funkcija. U desetom poglavǉu se ilustruju metode za rexavaǌe nelinearnih algebarskih jednaqina. Sadrжaj jedanestog poglavǉa qine osnove metoda numeriqkog diferenciraǌa i integraǉeǌa, pri qemu je posebna paжǌa posve ena metodama na kojima se zasnivaju ugrađene funkcije Matlaba za numeriqko diferenciraǌe i integraǉeǌe. U dvanaestom poglavǉu se razmatraju metode za rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jednaqina i ǌihova implementacija u Matlabu. Tre i deo kǌige se odnosi na Simulink, gde se u trinaestom i qetrnaestom poglavǉu izlaжu osnovni elementi Simulink modela i osnovni blokovi iz biblioteke blokova. Petnaesto poglavǉe je posve eno primeni Simulinka u simulaciji dinamiqkih sistema, linearnih i nelinearnih. Qetvrti deo kǌige kroz xesnaesto poglavǉe donosi osnovne pojmove iz modelovaǌa dinamiqkih sistema, sa posebnim osvrtom na osobine i oblike modela linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema. Primena Laplasove transformacije u određivaǌu odziva linearnih stacionarnih sistema tretira se u petom delu kǌige, u sedamnaestom poglavǉu. Osamnaesto poglavǉe se detaǉno bavi predstavǉaǌem linearnih sistema u Matlabu i ǌihovim razliqitim modelima. Analiza linearnih sistema, analitiqka i numeriqka, teme su devetnaestog poglavǉa. Izloжeni materijal je ilustrovan brojnim primerima. Tamo gde je neophodno, dati su i rezultati izvrxavaǌa određenih naredbi, skriptova, a određeni broj primera, posebno u petom delu, urađen je i analitiqkim putem. Recenzentima na korisnim sugestijama, kao i svima onima koji su na neki naqin pomogli u toku pisaǌa ove kǌige, autor se najtoplije zahvaǉuje. Beograd, mart 2016. godine Radixa. Ж. Jovanovi

POGLAVǈE 2 Promenǉive i tipovi podataka 2.1 Promenǉive Koncept promenǉivih, qije se vrednosti meǌaju u toku izvrxavaǌa programa, predstavǉa sastavni deo svih programskih jezika. Pojam promenǉive u Matlabu (i u programskom jeziku uopxte) oznaqava apstraktan pojam memorijske elije raqunara ili skupa memorijskih elija. Drugim reqima, promenǉive predstavǉaju u neku ruku imena (simboliqka) memorijskih lokacija, i svakako je programerima lakxe i prirodnije da rade sa takvim, simboliqkim imenima, nego sa ǌihovim apsolutnim adresama. Definisaǌe promenǉive se u Matlabu vrxi naredbom dodele. 2.1.1 Operator dodele U Matlabu se znak = naziva operatorom dodele. On ovde ima drugaqije znaqeǌe od znaka jednakosti poznatog iz matematike. Kada se otkuca na primer x = 5, to govori Matlabu da dodeli vrednost 5 promenǉivoj x. Prema tome, ovaj operator dodeǉuje vrednost promenǉivoj: ImeP romenljive = numeriqka vrednost ili izraz Prethodna upotreba se ne razlikuje od one poznate iz matematike. Međutim, u Matlabu je mogu e imati i ovakav oblik: x = x + 2. Ova naredba govori Matlabu da doda broj 2 trenutnoj vrednosti promenǉive x i zameǌuje trenutnu vrednost od x sa tom novom vrednox u. Ukoliko originalno x ima vrednost 5, ǌegova nova vrednost e biti 7. Ova primena operatora = je razliqita od ǌegove primene u matematici. Na primer, u matematici jednaqina x = x + 2 nema smisla, jer ona implicira da je 0 = 2. Na levoj strani operatora dodele moжe biti jedna i samo jedna promenǉiva. Stoga se u Matlabu ne moжe koristiti, na primer, ovako nexto: 6 = x, jer bi to znaqilo da numeriqkoj vrednosti treba da se dodeli sadrжaj

8 Promenǉive i tipovi podataka neke memorijske lokacije. Naredna posledica ovog ograniqeǌa je da se u Matlabu ne mogu pisati izrazi kao: >> x + 6 = 10 Odgovaraju a jednaqina x + 6 = 10 je prihvatǉiva u algebri i ona ima rexeǌe x = 4, ali Matlab ne moжe da rexi ovaku jednaqinu bez dodatnih naredbi (ove naredbe su dostupne u Simboliqkom paketu, i bi e reqi o tome u petom poglavǉu. Jox jedno ograniqeǌe je da desna strana operatora dodele mora imati vrednost koja se moжe izraqunati. Na primer, ako promenǉivoj y nije dodeǉena vrednost, slede i izraz e generisati grexku u Matlabu: >> x = 5 + y Levo od operatora dodele moжe biti ime samo jedne promenǉive. Desno moжe biti broj ili izraz koji sadrжi brojeve i/ili promenǉive kojima su prethodno dodeǉene numeriqke vrednosti. Kada se pritisne taster Enter, numeriqka vrednost sa desne strane dodeǉuje se promenǉivoj, a Matlab u slede a dva reda prikazuje promenǉivu i ǌoj dodeǉenu vrednost. Nove promenǉive se mogu definisati korix eǌem prethodno definisanih promenǉivih. Ako se na kraj reda naredbe dodele upixe operator ; (taqka sa zapetom) i pritisne Enter, Matlab ne e prikazati promenǉivu i ǌoj dodeǉenu vrednost, ali e joj vrednost ipak dodeliti i snimiti je u memoriju. Kada se otkuca ime postoje e promenǉive i pritisne Enter, u slede a dva reda prikaza e se ime i vrednost te promenǉive. U isti red moжe se upisati nekoliko naredbi dodele. Razdvajaju se zapetama (posle zapete moжe se otkucati vixe razmaka). Kada se pritisne Enter, vrednosti se dodeǉuju sleva udesno, a promenǉive i ǌima dodeǉene vrednosti prikazuju se u slede im redovima. Ukoliko se umesto zapete otkuca taqka sa zapetom, vrednost promenǉive ne e biti prikazana. Uopxteno, moжe se re i da promenǉivu karakterixe niz atributa (slika 2.1) i o svakom od ǌih e se ukratko nexto re i, a tokom daǉeg izlagaǌa mnogi od ovih atributa e biti detaǉnije objaxǌeni. promenªiva ime adresa tip vrednost vidªivost traja e Slika 2.1: Atributi promenǉive Imena promenǉivih Ime promenǉive je niz znakova upotrebǉen kao ǌen identifikator u programu. Xtavixe, imena se u programu ne upotrebǉavaju samo za promenǉive nego i za neke druge elemente (entitete) u programu (funkcije, formalne parametre). Imena promenǉivih, maksimalne duжine do 63 znaka,

60 Programiraǌe u Matlabu Ovo rezultuje da datoteka,,testdat.dat sada sadrжi slede e podatke: 0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975 0.2785 0.9649 0.9572 0.5469 0.1576 0.4854 0.9575 0.9706 0.8003 4.4.3 Uqitavaǌe podataka iz datoteke Uqitavaǌe podataka iz datoteke se postiжe korix eǌem naredbe load. Kada se datoteka jednom kreira (kao u prethodno navedenom sluqaju), ǌen sadrжaj se moжe uqitati u neku matriqnu promenǉivu. Ukoliko je to datoteka sa numeriqkim podacima, funkcija load() e uqitati podatke iz datoteke,,imedatoteke.ext (na primer, ekstenzija moжe biti.dat) i kreirati matricu sa istim imenom kao xto je ime datoteke. Na primer, ako se iskoristi datoteka ranije kreirana,,,testdat.dat, slede im naredbama e se uqitati podaci iz ǌe, i smestiti rezultat u matriqnu promenǉivu koja se naziva testdat: >> clear >> load testdat.dat >> who Your variables are: testdat >> testdat testdat = 0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975 0.2785 0.9649 0.9572 0.5469 0.1576 0.4854 0.9575 0.9706 0.8003 Funkcija load() radi jedino ako postoji isti broj vrednosti u svakoj liniji tako da podaci mogu biti smexteni u matricu, i naredba save jedino upisuje podatke iz matrice u datoteku. Ukoliko to nije sluqaj, moraju se koristiti ulazno/izlazne naredbe niжeg nivoa, koje nisu predmet ovih izlagaǌa. 4.5 Funkcije Matlab poseduje bogatu biblioteku ugrađenih funkcija, i one se mogu koristiti u matematiqkim izrazima jednostavno kucaǌem ǌihovih imena i vrednosti ǌihovih argumenata, kao xto su primeri sin(x), sqrt(x), itd. Najqex e u raqunarskim programima postoji potreba da se izraqunavaju vrednosti funkcija koje nisu unapred definisane u Matlabu. Kada je izraz funkcije jednostavan, i ako je potrebno izraqunati je samo jednom, ta funkcija moжe biti deo programa. Međutim, ukoliko je neku funkciju potrebno izraqunavati mnogo puta, i pri tome i sa razliqitim vrednosti-

4.5 Funkcije 61 ma ǌenih argumenata, uobiqajeno je da se kreira tzv. korisniqki definisana funkcija. Jednom kada se kreira i saquva, ona se kasnije moжe koristiti na isti naqin kao i ugrađene funkcije Matlaba. Dakle, korisniqki definisana funkcija predstavǉa program koji kreira korisnik, snima ga kao funkcijsku datoteku koja se potom koristi kao xto se koriste i ugrađene funkcije. Funkcija moжe da predstavǉa jedan matematiqki izraz, ili da sadrжi niz komplikovanih izraqunavaǌa i izraza. U mnogim sluqajevima to je u stvari jedan potprogram unutar programa. Glavna karakteristika funkcijske datoteke je da ona ima ulaz i izlaz. To znaqi da se izraqunavaǌa u funkcijskoj datoteci vrxe koriste i ulazne podatke, i rezultat izraqunavaǌa se prenosi izvan funkcije pomo u ǌenog izlaza. Ulaz i izlaz mogu biti jedna ili vixe promenǉivih, i svaka od ǌih moжe biti skalar, vektor, ili niz bilo koje veliqine. 4.5.1 Kreiraǌe funkcijske datoteke Funkcijske datoteke se kreiraju i edituju kao i skript datoteke u prozoru Editora, koji se otvara iz komadnog prozora. Izborom opcije New, potom Function, pojavǉuje se prostor datoteke. Editor sadrжi nekoliko podrazumevanih linija koje predstavǉaju strukturu funkcijske datoteke. Prva linija predstavǉa definicionu liniju funkcije, iza koje se nalaze komentari koji opisuju funkciju. Nakon toga slede izraqunavaǌa, i posledǌa linija je end naredba, koja nije obavezna. Definiciona linija funkcije Prva izvrxna linija u funkcijskoj datoteci mora da bude definiciona linija funkcije. U suprotnom, datoteka se tretira kao skript. Definiciona linija funkcije: ˆ definixe datoteku kao funkcijsku datoteku, ˆ definixe ime funkcije, ˆ definixe broj i redosled ulaznih i izlaznih argumenata. Opxti oblik definicione linije funkcije je: function [izlazni argument] = ime f unkcije (ulazni argumenti) Req function otkucana malim slovima mora biti prva req u definicionoj liniji funkcije. Ime funkcije sledi nakon operatora dodele, znaka =. Pravila za ime funkcije su identiqna pravilima koja vaжe za izbor imena promenǉivih. Dobra praksa je izbegavaǌe imena ve postoje ih, ugrađenih funkcija, kao i imena promenǉivih definisanih od strane korisnika, ili podrazumevanih u Matlabu.

62 Programiraǌe u Matlabu Ulazni i izlazni argumenti funkcije Ulazni i izlazni argumenti se koriste za prenos podataka u funkciju i iz funkcije, sledstveno. Obiqno, funkcija ima najmaǌe jedan ulazni argument, mada je mogu e definisati i funkciju koja nema ulazne argumente. Ukoliko ih ima vixe, ulazni argumenti su razdvojeni zapetom. Programski kôd koji izvrxava izraqunavaǌa u funkciji se pixe uz korix eǌe upravo tih ulaznih argumenata, uz pretpostavku da su im dodeǉene numeriqke vrednosti. To znaqi da se matematiqki izrazi u funkcijama moraju pisati u skladu sa dimenzijama ulaznih argumenata, koji mogu biti skalari, vektori ili matrice. Trenutne vrednosti argumenata se dodeǉuju prilikom poziva funkcije. Funkcija moжe imati jedan ili vixe izlaznih argumenata, ili nijedan. U sluqaju jednog izlaznog argumenta on se moжe koristiti bez zagrade. Da bi se funkcija mogla koristiti, u telu funkcije mora postojati naredba koja dodeǉuje vrednosti izlaznim promenǉivim, tj. izlaznim argumentima. Ako funkcija nema izlazni argument, operator dodele u definicionoj liniji moжe se izostaviti. Na primer, funkcija bez izlaznog argumenta moжe biti neka funkcija koja crta dijagrame, xtampa ili upisuje podatke u datoteku itd. Uobiqajeno je da se svi ulazi u funkcijsku datoteku, kao i izlazi iz ǌe, prenose preko ulaznih i izlaznih argumenata. Pored toga, međutim, sve ulazno-izlazne karakteristike skript datoteke se mogu koristiti i u funkcijskoj datoteci. To znaqi da e se svaka promenǉiva kojoj je dodeǉena vrednost u telu funkcije prikazati na ekranu komandnog prozora ukoliko se na kraju naredbe dodele ne nalazi znak ;. Takođe, funkcija input() se moжe koristi za interaktivni unos podataka, a funkcije disp(), fprintf() i plot() se mogu koristiti za prikaz informacija na ekranu, snimaǌe u datoteku ili crtaǌe dijagrama, bax kao i u skript datotekama. Na primer, neka je potrebno da se napixe funkcija koja raquna obim i povrxinu kruga za zadati polupreqnik. To se moжe uraditi na slede i naqin: function [Obim, Povrsina] = krug_op(radijus) % Funkcija vraca obim i povrshinu kruga. % Ulazni argument: radijus (skalar) % Izlazni argumenti: Obim i Povrsina (skalari) Obim = 2*radijus*pi; Povrsina = radijus^2*pi; end Dakle, funkcija ima jedan ulazni i dva izlazna parametra, i svi oni predstavǉaju skalare. Primer poziva funkcije bi bio: >> [O,P] = krug_op(3) O = 18.8496 P = 28.2743

4.5 Funkcije 63 Vaжno je voditi raquna o tome da se funkcija pozove sa odgovaraju im brojem argumenata, i da su oni odgovaraju eg tipa. Na primer, poziv >> [O,P] = krug_op Error using krug_op (line 6) Not enough input arguments. rezultuje grexkom, zbog izostavǉaǌa argumenta. Sa druge strane, ukoliko se funkcija pozove na slede i naqin: >> krug_op(3) ans = 18.8496 oqito je da je informacija o drugom izlaznom argumentu izgubǉena. U pozivu funkcije ne postoji promenǉiva u koju bi se rezultat smestio i saquvao. Prethodni primer se moжe modifikovati tako da funkcija raquna obim i povrxinu za niz ulaznih vrednosti, tj. za vektor ulaznih podataka, tako xto se u izrazu za izraqunavaǌe povrxine upotrebi elementni operator mnoжeǌa. function [Obim, Povrsina] = krug_opv(radijus) % Funkcija vraca obim i povrshinu kruga. % Ulazni argument: radijus (vektor) % Izlazni argumenti: Obim i Povrsina (vektori) Obim = 2*radijus*pi; Povrsina = radijus.^2*pi; end Izvrxavaǌem naredbi: >> x = 1:5; >> [O,P] = krug_opv(x) O = 6.2832 12.5664 18.8496 25.1327 31.4159 P = 3.1416 12.5664 28.2743 50.2655 78.5398 rezultat izraqunavaǌa funkcije su dva vektora, istih dimenzija kao i ulazni vektor. Zapaжaǌe 4.1. Kada se poziva neka funkcija, vaжno je znati kakav oblik ǌenog izlaza se oqekuje, tj. da li je u pitaǌu skalar, vektor ili matrica; naravno, vaжno je znati i broj izlaznih veliqina. H1 linija i komentari H1 linija i tekst pomo i su linije komentara (linije koje poqiǌu sa znakom procenta), a koje slede nakon definicione linije funkcije. H1 linija je prva linija komentara i obiqno sadrжi ime i kratak opis funkcije. Kada korisnik u komandnom prozoru otkuca naredbu lookfor neka rech, Matlab traжi req neka rech u H1 linijama svih funkcija, i ako je nađe,

64 Programiraǌe u Matlabu prikazuje H1 liniju u kojoj je req nađena. Linije teksta pomo i su linije komentara koje slede nakon H1 linije. Ove linije sadrжe objaxǌeǌe funkcije i bilo kakve instrukcije koje se odnose na ulazne i izlazne argumente funkcije. Linije komentara koje se nalaze između definicione linije funkcije i prve linije koja ne predstavǉa komentar se prikazuju kada korisnik otkuca u komandnom prozoru help ImeFunkcije. Ovo vaжi i za ugrađene i za korisniqki definisane funkcije. Funkcijska datoteka moжe da sadrжi dodatne linije komentara u telu funkcije, koje se takođe ignorixu pri pozivu naredbe help. 4.5.2 Radni prostor funkcije U prethodnom izlagaǌu pomenuta je ideja radnog prostora u kome se quvaju promenǉive kreirane u komandnom prostoru i skriptovima. Funkcije takođe imaju svoj memorijski (radni) prostor. Radni prostor funkcije je prostor u memoriji raqunara koji se rezervixe za promenǉive koje se kreiraju unutar te funkcije. Ovaj radni prostor nije deo radnog prostora komandnog prozora. To znaqi da nekoj promenǉivoj u funkciji moжe biti dodeǉeno ime, a da pri tome postoji promenǉiva sa istim imenom izvan posmatrane funkcije. Radni prostor funkcije se otvara svaki put kada se funkcija koristi. Zaxto postoje posebni radni prostori za svaku funkciju, a ne jedan, zajedniqki? Iako moжda deluje nelogiqno, postojaǌe posebnog radnog prostora je svrsishodno za velike projekte, koji se sastoje od velikog broja funkcija. Na primer, ako je jedan programer odgovoran za pisaǌe funkcije fun_1, a drugi za pisaǌe funkcije fun_2, nijedan od ǌih ne mora da zna niti da vodi raquna o imenima promenǉivih koje koristi. Namera i jeste da oni rade nezavisno i da ne utiqu jedan na drugog. Prema tome, posebni radni prostori xtite funkciju od spoǉaxǌeg uticaja. Iz spoǉaxǌosti radnog prostora neke funkcije uticaj na ono xto se u ǌoj dexava jedino imaju ulazni argumenti funkcije. I obratno, radni prostor funkcije utiqe na spoǉaxǌost svojim izlaznim argumentima, kada se funkcija izvrxi. 4.5.3 Lokalne promenǉive Podruqje vaжnosti neke promenǉive je radni prostor u kome ona postoji. Sve promenǉive u funkcijskoj datoteci (ulazni i izlazni argumenti i bilo koje promenǉive kojima se dodeǉuju vrednosti u funkcijskoj datoteci) su lokalne promenǉive. To znaqi da su ove promenǉive definisane i prepoznaju se jedino unutar funkcije. Lokalne promenǉive postoje samo dok se funkcija izvrxava: kada se funkcija zavrxi, one prestaju da postoje. Na primer, u slede oj funkciji koja izraqunava sumu elemenata vektora, postoji lokalna promenǉiva k. % suma_vect.m function suma = suma_vect(vektor) % suma_vect vraca sumu elemenata datog vektora % Format: suma_vect(vektor)

POGLAVǈE 5 Simboliqka matematika Simboliqka matematika podrazumeva bavǉeǌe matematikom nad simbolima, a ne nad brojevima, kao na primer, a + a = 2a. Simboliqke matematiqke funkcije deo su Matlabovog Simboliqkog paketa, koji koristi poseban i nov proizvod MuPAD. Pre ǌegove pojave i ǌegovog razvijaǌa Matlab je kroz stotine razvijenih funkcija koristio Maple za podrxku simboliqkim izraqunavaǌima. Danas, funkcionalnost MuPAD jezika, zajedno sa ukǉuqenim bibliotekama je znaqajno ispred prvobitnog simboliqkog matematiqkog paketa. Imena i funkcionalnost mnogih funkcija dostupnih u ovom paketu su identiqni funkcijama koje postoje u Matlabu, ali je razlika upravo u tome xto funkcije u simboliqkom paketu rade sa simboliqkim objektima, za razliku od onih u Matlabu, koje rade sa numeriqkim vrednostima. Osnovni element za simboliqke operacije je simboliqki objekt. Simboliqki objekti se sastoje od promenǉivih i brojeva koji kada se koriste u matematiqkim izrazima govore Matlabu da izvrxi operacije simboliqki. Ukoliko je potrebno simboliqki izrazi se mogu koristiti i u numeriqkim operacijama. 5.1 Simboliqke promenǉive i izrazi Simboliqki objekt moжe biti promenǉiva (bez prethodno dodeǉene numeriqke vrednosti), broj, ili izraz sastavǉen od numeriqkih promenǉivih i brojeva. Za kreiraǌe simboliqkog objekta koristi se funkcija sym() i/ili naredba syms. Ako je ulazni argument funkcije sym() string, rezultat je simboliqki broj ili promenǉiva. Za sluqaj da je ulazni argument numeriqki skalar ili matrica, rezultat je simboliqka prezentacija datih numeriqkih vrednosti. Na primer, naredba x=sym( x ) kreira simboliqku promenǉivu pod imenom x i smexta rezultat u x. Naredba y=sym( 1/7 ) ili y=sym(1/7) kreira jedan simboliqki broj, qime se izbegava aproksi-

78 Simboliqka matematika >> [X Y Z] = solve(4*x-2*y+z==7,'x+y+5*z==10','-2*x+3*y-z==2') X = 124/41 Y = 121/41 Z = 33/41 5.1.4 Simboliqka matematiqka analiza Diferenciraǌe Funkcija diff() se koristi za simboliqko određivaǌe izvoda funkcija. Iako ova funkcija ima isto ime kao funkcija koja se koristi za numeriqko izraqunavaǌe konaqnih razlika, Matlab prepoznaje koju funkciju e koristiti u konkretnom sluqaju. Osnovna sintaksa funkcije je diff(f ), pri qemu se vra a izvod izraza funkcije F u odnosu na podrazumevanu nezavisnu promenǉivu. >> syms x f >> f = x^3 + 2*x^2-4*x +3 ; >> diff(f) % ili direktno diff(x^3+2*x^2-4*x+3) ans = 3*x^2 + 4*x - 4 Ukoliko funkcija zavisi od vixe promenǉivih, onda funkcija raquna parcijalni izvod reda n po izabranoj promenǉivoj var, i tada je sintaksa poziva oblika diff(f,var,n). >> syms a x, f = sin(a*x^2); >> dfdx = diff(f) dfdx = 2*a*x*cos(a*x^2) >> dfda = diff(f,a) dfda = x^2*cos(a*x^2) >> d2fdx2 = diff(f,2) d2fdx2 = 2*a*cos(a*x^2) - 4*a^2*x^2*sin(a*x^2) Integraǉeǌe Funkcija int() se pozivom oblika int(expr,var) koristi za određivaǌe neodređenog integrala simboliqkog izraza expr u odnosu na simboliqku promenǉivu var. Funkcija pokuxava da nađe simboliqki izraz I tako da je diff(i,var)=expr. Parametar var je opcioni, i ako se ne navede, funkcija vra a integral izraza expr u odnosu na podrazumevanu nezavisnu promenǉivu. Ukoliko integral ne postoji u zatvorenom obliku, ili Mat-

5.2 Rexavaǌe diferencijalnih jednaqina 79 lab ne moжe da ga izraquna iako on postoji, tada se naredba vra a neizvrxena (dakle, onako kako je uneta). Na primer, neodređeni integral funkcije f(x) = 3x 2 1 moжe se na i na slede i naqin: >> syms x >> int(3*x^2-1) ans = x^3 - x Sa druge strane, određeni integral ove funkcije u granicama x = 2 do x = 4 moжe se dobiti sa: >> int(3*x^2-1,2,4) ans = 54 Graniqne vrednosti Graniqne vrednosti funkcije mogu se na i funkcijom limit(), qija je opxta sintaksa limit(expr,x,a), i kojom se raquna graniqna vrednosti izraza expr kada promenǉiva x teжi promenǉivoj a, tj. lim expr. Parametar x se moжe izostaviti, i onda se koristi podrazumevana promenǉiva. x a Na primer, graniqne vrednosti: lim x 2 x 2 x 2 4 = 1 4, lim cos(x + h) cos(x) = sin(x) h 0 h se dobijaju na slede i naqin: >> syms h x >> limit((x-2)/(x^2-4),2) ans = 1/4 >> limit((cos(x+h)-cos(x))/h,h,0) ans = -sin(x) Ukoliko se parametar a izostavi, graniqna vrednost se određuje kada promenǉiva teжi nuli. 5.2 Rexavaǌe diferencijalnih jednaqina Funkcija dsolve() se koristi za rexavaǌe obiqnih diferencijalnih jednaqina. Razliqiti oblici poziva funkcije određeni su dimenzionalnox- u problema koji se rexava, tj. u zavisnosti da li je u pitaǌu skalarna diferencijalna jednaqina ili sistem jednaqina, kao i postojaǌem ili nepostojaǌem poqetnih i graniqnih uslova. Funkcija dsolve() podrazumeva da je unapred definisana nezavisna promenǉiva t a ne x, kao kod drugih simboliqkih funkcija.

5.2 Rexavaǌe diferencijalnih jednaqina 81 5.2.2 Rexavaǌe sistema diferencijalnih jednaqina Sistem diferencijalnih jednaqina moжe se rexiti funkcijom dsolve(), a odgovaraju a sintaksa je: dsolve( eqn1, eqn2,...) Funkcija vra a simboliqko rexeǌe sistema jednaqina definisanih simboliqkim izrazima eqn1, eqn2, itd. Na primer, sistem jednaqina: ẋ 1 = 3x 1 + 4x 2, ẋ 2 = 4x 1 + 3x 2 ima rexeǌe x 1 = C 2 e 3t cos 4t + C 1 e 3t sin 4t, x 2 = C 1 e 3t cos 4t C 2 e 3t sin 4t: >> [x1,x2] = dsolve('dx1 = 3*x1 + 4*x2','Dx2 = -4*x1 + 3*x2') x1 = C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t) x2 = C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t) 5.2.3 Definisaǌe poqetnih i graniqnih uslova Poqetni i graniqni uslovi jednaqine se mogu uzeti u obzir pozivom funkcije na slede i naqin: dsolve(eqn,cond1,cond2,...) Ovako pozvana, funkcija vra a simboliqko rexeǌe diferencijalne jednaqine definisane simboliqkim izrazom eqn, a koje zadovoǉava uslove definisane u izrazima cond1, cond2 itd. Ukoliko je zavisna promenǉiva na primer x, tada se uslovi definixu na slede i naqin: x(a) = b, Dx(a) = c, D2x(a) = d i sliqno. Ovi uslovi odgovaraju vrednostima x(a), ẋ(a), ẍ(a), itd. Ukoliko je broj uslova maǌi od reda jednaqine, rexeǌe e sadrжati i proizvoǉne konstante C 1, C 2 itd. Na primer, problem ẋ = sin(at), x(0) = b ima rexeǌe x = 1 a 1 cos at + b, koje se moжe odrediti na slede i naqin: a >> dsolve('dx = sin(a*t)','x(0) = b') ans = b - cos(a*t)/a + 1/a Dakle, u jednaqini i poqetni uslovi mogu biti simboliqke promenǉive. Osim poqetnih uslova, kao u prethodnom primeru, mogu biti definisani i graniqni uslovi, tj. vrednosti zavisnih promenǉivih u bilo kom vremenskom trenutku t. Na primer, ẍ + 4x = 0, x(0) = 1, ẋ(π) = 1.

POGLAVǈE 6 Operatori i kontrola toka programa Programi razmatrani u prethodnim poglavǉima bili su strukturno jednostavni, jer su se naredbe izvrxavale jedna za drugom, onako kako su pisane, bez ikakvog granaǌa i ponavǉaǌa. Međutim, ve ina programerskih problema nije tako jednostavna. Qiǌenica je u stvari, da velika mo programskih jezika dolazi iz ǌihove mogu nosti da daju instrukcije raqunaru da izvrxi isti zadatak vixe puta, sa ponavǉaǌem, ili da izvrxi razliqite zadatke ako se određeni parametri meǌaju ili su zadovoǉeni određeni uslovi. U vixim programskim jezicima ovo se postiжe uz pomo naredbi za kontrolu toka programa. Naredbe za kontrolu toka programa se mogu podeliti u dve osnovne grupe: naredbe za uslovno granaǌe, i naredbe petǉi. Uslovno granaǌe predstavǉa mogu nost odluke da li se određeni kôd izvrxava ili ne, a u zavisnosti od vrednosti nekog izraza. Petǉe, ili drugim reqima iteracije, predstavǉaju sposobnost da se izvrxi skup istih operacija vixe puta, dok se specijalni zahtev ne zadovoǉi. U naredbama odluqivaǌa, granaǌa, i uopxte u kontroli toka programa, jednu od vaжnih uloga igraju logiqki i relacioni operatori, i o ǌima e takođe biti reqi u daǉem tekstu. 6.1 Relacioni operatori Relacioni operatori (ili operatori poređeǌa) su operatori odnosa između dveju promenǉivih ili izraza, a kao rezultat daju logiqki tip podatka. Oni dozvoǉavaju bilo koju varijantu operanada, xto znaqi da se mogu primeǌivati između skalara, vektora i matrica, ali i između skalara i matrice (vektora). Takođe, relacioni operatori se mogu primeǌivati i na kompleksne brojeve, i u tom sluqaju se upoređuju samo ǌihovi realni delovi. Dakle, rezultat poređeǌa skalara primenom relacionih operatora je ili 0 (ako poređeǌe nije taqno) ili 1 (ako je poređeǌe taqno), i rezultat

6.3 Uslovno granaǌe 89 poruka o grexkama kod izraza kod kojih bi se u nekim okolnostima to moglo pojaviti (na primer, deǉeǌe nulom). Logiqki operatori se mogu koristiti sa svim numeriqkim tipovima podataka, uzimaju i u obzir da se sve numeriqke vrednosti razliqite od nule tretiraju kao logiqka vrednost true, a vrednost nula se tretira kao logiqka vrednost false. 6.3 Uslovno granaǌe Uslovno granaǌe je najosnovniji element za kontrolu toka u bilo kom programskom jeziku. On omogu ava programu da donosi odluke i d odluquje da li e se izvrxiti ili ne e niz naredbi, a na osnovu vrednosti nekog izraza. Kako se vrednost ovog izraza moжe razlikovati sa razliqitim izvrxavaǌima programa, pomenuta karakteristika omogu ava da program reaguje dinamiqki na razliqite podatke. U Matlabu se uslovno izvrxavaǌe programa postiжe kǉuqnim reqima if, else i elseif. 6.3.1 If uslov Oblik jedne if naredbe je veoma jednostavan. Nakon kǉuqne reqi if sledi jedan logiqki izraz, koji se drugaqije i naziva uslov if iskaza. Ukoliko uslov ima vrednost true (1), izvrxava se niz naredbi koje slede iza iskaza if, sve do iskaza end (grupa naredbi iz sintakse). U suprotnom, ako je logiqka vrednost izraza uslov false, program preskaqe grupu naredbi između if i end, i izvrxavaǌe programa se nastavǉa prvom naredbom iza kǉuqne reqi end. if uslov grupa naredbi end Izraz uslov nakon kǉuqne reqi if moжe biti sloжen izraz koji se sastoji od relacionih i/ili logiqkih operatora. Xto se tiqe dimenzija, moжe biti skalar, vektor ili matrica. Struktura if-else omogu ava izvrxavaǌe jedne od dve mogu e grupe naredbi, a u zavisnosti od istinitosne vrednosti uslova if iskaza i ǌen opxti oblik je (slika 6.1): if uslov grupa naredbi 1 else grupa naredbi 2 end Ako izraz uslov nakon kǉuqne reqi if ima vrednost true, izvrxava se niz naredbi oznaqen sa grupa naredbi 1, koji se nalazi između kǉuqnih reqi if i else, a zatim se preskaqu ostale naredbe do iskaza end. Ukoliko je vrednost izraza uslov false, program preskaqe naredbe do iskaza else, a zatim izvrxava niz naredbi oznaqen sa grupa naredbi 2 između else i end.

6.4 Petǉe 93 definixe kada petǉa poqiǌe. Nasuprot tome, kod while petǉe broj prolaza nije poznat unapred i proces ponavǉaǌa petǉe se nastavǉa sve dok se specificirani uslov ne zadovoǉi. Obe vrste petǉe mogu se prekinuti u bilo kom trenutku naredbom break. 6.4.1 For petǉa For petǉa izvrxava naredbu ili niz naredbi unapred određeni broj puta. Struktura for petǉe je jednostavna i ǌen opxti oblik je: for indeks petlje = vrednosti grupa naredbi end Prva linija identifikuje petǉu i definixe promenǉivu indeks petlje, koja se naziva promenǉiva petǉe ili indeks petǉe, a predstavǉa broj qija se vrednost meǌa tokom prolaska kroz petǉu. Izraz vrednosti, koji moжe biti vektor ili matrica, predstavǉa skup vrednosti koje promenǉiva indeks petlje uzima dok se petǉa izvrxava. Suxtinski, broj elemenata u vektoru vrednosti (ili broj kolona, ukoliko je u pitaǌu matrica) određuje broj prolazaka kroz petǉu. Naredba ili grupa naredbi koja sledi, oznaqena sa grupa naredbi, naziva se telo petǉe, i ono se izvrxava pri svakom prolazu. Kǉuqna req end identifikuje kraj for petǉe. Petǉa se izvrxava jedanput za svaku vrednost promenǉive indeks petlje. U primeru: for k = [1 3 7 2] x = k^2; fprintf(' %d', x) end fprintf('\n') promenǉiva k predstavǉa indeks petǉe, a vektor [ 1 3 7 2 ] predstavǉa skup vrednosti. Tokom prvog prolaza kroz petǉu promenǉiva k ima vrednost 1, xto je prva vrednost iz vektora vrednosti. U telu petǉe se raquna kvadrat promenǉive k i dodeǉuje promenǉivoj x, a potom se vrednost promenǉive x xtampa na ekranu. Tokom slede eg prolaza vrednost k se meǌa na vrednost 3, xto je druga vrednost u vektoru vrednosti, i izvrxava se ponovo telo petǉe. Pri svakom prolasku kroz petǉu vrednost promenǉive k se meǌa i dodeǉuju joj se slede a vrednost iz promenǉive vrednosti. Izvrxavaǌem skripta dobija se: 1 9 49 4 U prethodnom primeru indeks petǉe je uzimao vrednosti iz vektora, između qijih elemenata ne postoji nikakva uoqǉiva zavisnost. Međutim, najqex e je primena for petǉe u slede em obliku (slika 6.3): for k = m:s:n grupa naredbi end Dakle, vektor vrednosti ovde predstavǉa vektor sa osobinom da je razlika između dva susedna elementa konstantna i jednaka s. Izraz m:s:n dodeǉuje

94 Operatori i kontrola toka programa indeksu petǉe k poqetnu vrednost m koja se tokom svakog prolaza pove ava za s, pa se veliqina s naziva korak petǉe. Petǉa se zavrxava kada vrednost indeksa k dostigne vrednost n. U tom sluqaju, program se ne vra a vixe na naredbu for, ve nastavǉa sa izvrxavaǌem prve slede e naredbe iza kǉuqne reqi end. Na primer, ako je k = 1 : 3 : 10, bi e 4 prolaza kroz petǉu, a vrednosti indeksa k u prolazima kroz petǉu su 1, 4, 7 i 10, sledstveno. Korak petǉe k moжe biti i negativan. Tako, na primer, k = 20 : 5 : 10 rezultuje sa 3 prolaza u kojima je k = 20, 15, 10. Ukoliko nije zadat korak petǉe, podrazumeva se da je on jednak 1. Ako je for (ulaz) k = m m = n, petǉa e se izvrxiti samo jednom. U sluqaju da je m > n i s > 0, ili pak k > n m < n i s < 0, petǉa se ne e izvrxiti k = k + s nijednom. Specijalno, ako su vrednosti false true k, s i n takve da k ne moжe biti jednako n, ukoliko je korak s pozitivan, posledǌi grupa naredbi prolaz e se izvrxiti kada k ima najve u vrednost koja je maǌa od n. Na primer, k = 1 : 2 : 6 daje 3 prolaza u kojima je k = 1, 3, 5. Ako s ima negativnu vrednost, end (izlaz) posledǌi prolaz e se izvrxiti kada k Slika 6.3: Dijagram toka for petǉe ima najmaǌu vrednost koja je ve a od n. I treba napomenuti svakoj naredbi for u programu mora biti dodeǉena odgovaraju a kǉuqna req end. Kada se petǉa zavrxi, indeks petǉe ima posledǌu dodeǉenu mu vrednost. Matrica kao indeks petǉe Indeks petǉe moжe biti i matrica, za razliku od prethodnih primera gde je to bio vektor. Na primer, neka je data matrica A tipa m n. Naredbe for k = A grupa naredbi end dodeǉuje indeksu k vektor A(:, i), gde i predstavǉa teku i broj iteracije petǉe, odnosno prolaza petǉe. U prvom prolazu, k je jednako A(:, 1), u drugom k = A(:, 2), u i-tom k = A(:, i) i sve do k = A(:, n). Dakle, broj prolaza je jednak broju kolona matrice A, a u svakom prolazu indeks k predstavǉa odgovaraju u kolonu matrice A. Jedan takav primer je: >> A = [1 2 3; 4 5 6] A = 1 2 3 4 5 6 >> for k = A, y = 2*k, end y = 2 8

POGLAVǈE 9 Aproksimacija i interpolacija 9.1 Opxti problem aproksimacije Neka je funkcija f : X R, X R funkcija realne promenǉive. Problem aproksimacije funkcije f( ) svodi se na određivaǌe neke druge funkcije ϕ(x) = ϕ(x; a 0, a 1,..., a m ) koja zavisi od m + 1 parametara a 0, a 1,..., a m, tako da vaжi ϕ(x) f(x). Funkcija ϕ( ) se naziva aproksimaciona funkcija. U praksi se problem aproksimacije moжe javiti iz dva razloga. Prvi je xto analitiqki oblik funkcije f( ), iako je poznat, moжe biti veoma komplikovan, pa je izraqunavaǌe ǌenih vrednosti sloжeno. Sa druge strane, analitiqki oblik funkcije nije poznat, ve su poznate samo vrednosti funkcije na nekom skupu taqaka. To je qest sluqaj u mnogim nauqnim i inжeǌerskim primenama, kada se podaci prikupǉaju u eksperimentima pri raznim mereǌima razliqitih fiziqkih veliqina, na primer kod eksperimentalnih određivaǌa statiqkih karakteristika, kao xto je sluqaj kod krive sila-izduжeǌe u postupku određivaǌa krutosti opruge, i sliqno. Jedan od osnovnih problema aproksimacije je kako odrediti, odnosno izabrati funkciju aproksimacije. U principu, sve aproksimacione funkcije se mogu podeliti na linearne i nelinearne. Opxti oblik linearne aproksimacione funkcije je ϕ(x) = a 0 ϕ 0 (x) + a 1 ϕ 1 (x) +... + a m ϕ m (x), (9.1) pri qemu sistem funkcija ϕ k ( ) zadovoǉava određene osobine. Ovde se pojam linearne funkcije odnosi na linearnost po parametrima a i, i = 0, 1,..., m, a dobra strana ovog oblika aproksimacije je xto se određivaǌe parametara svodi na sisteme linearnih jednaqina.