PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel pindadest, kus varjatult kujul esinesid palmikud. 1920-ndad aastad Emil Artin 2 oma töödes topoloogiliste objektide formaalsel käsitlemisel võttis kasutusele mõiste braid (eesti keeles: 1. pats; punutud pael; ääris; 2. v. palmi(tse)ma). Vaugham Jones 3, käsitledes operaatoralgebraid, leidis esituse palmikrühmadele; pärast seda algas hoogne areng. 1.1. Artini palmikrühm Palmikrühma B n definitsioon. Olgu n positiivne täisarv. Siis defineerime B 1 = {1}, B 2 = σ 1 = C = Z ja B n = σ 1, σ 2,..., σ n 1 σ i σ j = σ j σ i, i j 2 ; 1 Adolf Hurwitz (1859 1919) juudi rahvusest saksa matemaatik; töötas alates 1892. a. Zürichis; oli Hilberti hea sõber. Tema tööde kohta öeldakse tema ametlikus eluloos: Hurwitz studied the genus of the Riemann surface and worked on how class number relations could be derived from modular equations. 2 Emil Artin (1898 1962) Austria päritoluga saksa matemaatik, tuntud oma töödega mittekommutatiivsete ringide alal; tema nime järgi on nimetatud parempoolsete ideaalide jaoks minimaalsuse tingimust rahuldavaid ringe Artini ringideks. 3 Vaughan Frederick Randal Jones (s. 31.12.1952) Uus-Meremaa matemaatik; tuntud oma töödega von Neumanni algebratest, sõlmeteooria ja konformse väljateooria alalt. On saanud 1990. a. Fieldsi preemia. Praegu on Jones Kalifornia Ülikooli professor ja samaaegselt Aucklandi Ülikooli erakorraline professor. 1

σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, 1 i n 2, kui n 3. Rühm B n on juhul n 3 mittekommutatiivne. Saab näidata, et ja kui n 3, 4, siis B n /B n = Z B n = B n kus B n on rühma B n kommutant. Seega pole rühm B n lahenduv, kui n 3, 4. Projektsioon sümmeetrilisele rühmale S n. Kuna s 1,..., s n 1 S n, s i = (i, i + 1) = ( ) 1... i i + 1... n, 1... i + 1 i... n S n = s 1,..., s n 1, ( ) 1... i i + 1 i + 2... n s i s i+1 s i = = s 1... i + 2 i + 1 i... n i+1 s i s i+1, siis leidub epimorfism Loomulik sisestus. π : B n S n, π(σ i ) = s i. Leiduvad loomulikud sisestused ι : B n B n+1 ja S n S n+1 : B n = σ 1, σ 2,..., σ n 1, B n+1 = σ 1, σ 2,..., σ n 1, σ n, ( ) ( ) 1... n 1... n n + 1 ι(σ i ) = σ i,. i 1... i n i 1... i n n + 1 Siis järgmine diagramm on kommutatiivne: π B n S n ι B n+1 π S n+1 ι 2

kus π on eelmis alajaotuses kirjeldatud epimorfism. Palmikrühm B 3. Juba palmikrühm B 3 pakub märkimisväärset huvi. B 3 = σ 1, σ 2 σ 1 σ 2 σ 1 = σ 2 σ 1 σ 2, x def = σ 1 σ 2 σ 1, y def = σ 1 σ 2, x = yσ 1, σ 1 = y 1 x, σ 2 = σ 1 1 y = x 1 y 2, σ 2 σ 1 σ 2 = x 1 y 2 y 1 xx 1 y 2 = x 1 y 3 = σ 1 σ 2 σ 1 = x, x 2 = y 3, B 3 = x, y x 2 = y 3 Erijuhul järeldub siit, et x 2 Z(B 3 ). Märkus: rühma B n tsenter leitakse hiljem. Leidub epimorfism B 3 SL(2, Z), kus σ 1 1 1 0 1, Selle epimorfismi tuumaks on σ 2 1 0 1 1. (σ 1 σ 2 σ 1 ) 4 = C. Rühm B 3 tekib sõlmeteoorias (knot theory, teori uzlov). Vaatleme kolmemõõtmelises keras S 3 = { (z 1 ; z 2 ) C 2 z 1 2 + z 2 2 = 1 } { (x 1 ; x 2 ; x 3 ) R 3 x 2 1+x 2 2+x 2 3 1 } alamhulka K = { (z 1 ; z 2 ) S 3 z 2 1 + z 3 2 = 0 } Seda hulka nimetatakse kolmikleheks (inglise keeles trefoil; täpne tõlge ristikhein; kolmikleht) ja see on kujutatud järgmisel joonisel 3

Saab näidata, et ruumi S 3 \ K fundamentaalrühm on isomorfne rühmaga B 3 : π 1 (S 3 \ K) = B 3 Samuti kehtib homöomorfism S 3 \ K SL(2, R)/SL(2, Z) 1.2. Palmikud ja palmikdiagrammid Geomeetriline palmik. string nöör, pael; nitka, verevka Topoloogiline intervall lõiguga I = [0; 1] homöomorfne hulk. Definitsioon 1 Geomeetriline palmik n stringist (n 1) on hulk b R 2 I n erinevast (disjoint, s.t paarikaupa ühisosata) topoloogilisest intervallist (neid nimetatakse stringideks), nii et: 1 0 projektsioon R 2 I I kujutab iga stringi homöomorfselt lõigule I; 2 0 b (R 2 {0}) = {(1; 0; 0), (2; 0; 0),..., (n; 0; 0)}, b (R 2 {1}) = {(1; 0; 1), (2; 0; 1),..., (n; 0; 1)}. Palmiku b iga string ühendab punkti (i; 0; 0) punktiga (s(i); 0; 0), kus i, s(i) {1, 2,..., n}. Nii tekib substitutsioon ( ) 1 2... n s =, s(1) s(2)... s(n) mida nimetataske palmikule b vastavaks substitutsiooniks. y t = 0 x t = 1 t 4

Ülal joonisel on kujutatud geomeetriline palmik nelja stringiga. Sellele palmikule vastav substitutsioon on ( ) 1 2 3 4. 1 3 2 4 Definitsioon 2 Kahte geomeetrilist palmikut b ja b nimetatakse isotoopseks, kui palmik b on pidevalt deformeeritav palmikuks b, s.t nii et: pidev F : b I R 2 I, 1) s I = kujutus F s : b R 2 I, F s (x) = F (x, s), x b, on sisestamine, mille korral F s (b) on geomeetriline palmik n stringiga; 2) F 0 = id b : b b, F 1 (b) = b. Iga F s kujutab palmiku b otspunktid iseendaks. Nii kujutust F, kui ka palmikute peret {F s (b)} s I nimetatakse palmiku b isotoopiaks palmikuks b = F 1 (b). Isotoopsuse seos on ekvivalentsiseos n stringiga geomeetriliste palmikute seas. Iga sellist ekvivalentsiklassi nimetatakse n stringiga palmikuks. Geomeetriliste palmikute korrutamine toimub järgmiselt: b 1, b 2 R 2 I geomeetrilised palmikud n stringiga; b 1 b 2 def = { (x; y; 2t) b 1 0 t 1 2 } { (x; y; 2t 1) b 2 1 2 t 1 }, b 1 b 2 R 2 I on samuti geomeetriline palmik n stringiga. Selline korrutamine säilitab isotoopsuse ja seega määrab korrutamise n stringiga palmikute hulgas. Saadud korrutamine on assotsiatiivne ja selle suhtes leidub ühik selleks on triviaalne palmik 1 n, mis on antud geomeetrilise palmikuga {1, 2,..., n} {0} I R 2 I. Hiljem veendutakse, et n stringiga palmikute hulk moodustab sellise korrutamise suhtes rühma, mis on kanooniliselt isomorfne palmikute rühmaga B n. Palmikdiagrammid. Geomeetrilisi palmikuid kujutatakse projektsioonidena hulgale R {0} I, näidates seejuures lõikepunktides, kumb string on niiöelda allpool ja kumb niiöelda ülevalpool. 5

Definitsioon 3 n keermega (strand) palmikdiagrammiks nimetatakse hulka D R I, mis on n topoloogilise lõigu neid nimetatakse keermeteks (strand) ühend, nii et: (i) projektsioon R I I kujutab iga keerme homöomorfselt lõigule I; (ii) hulga {1, 2,..., n} {0, 1} iga punkt on parajasti ühe keerme otspunkt; (iii) hulga R I iga punkt võib kuuluda ülimalt kahele keermele; kahe keerme igas lõikepunktis need keermed lõikuvad transversaalselt, s.t lõikepunkti ümbrus on homöomorfne hulgaga {(x; y) xy = 0}; lõikepunktis üks keere loetakse alumiseks (undergoing) ja teine ülemiseks (overgoing). Tingimuses (iii) mainitud kahe keerme ühist punkti nimetatakse topeltpunktiks või lõikepunktiks. Sellest tingimusest ja lõigu I kompaktsusest järeldub, et D lõikepunktide arv on lõplik. Nelja keermega palmikdiagrammi näide on esitatud järgmisel joonisel: t = 0 1 2 3 4 t = 1 1 2 3 4 Tavaliselt jäetakse ülemine ja alumine horisontaaljoon ja numbrid kirjutamata, s.t seesama diagramm kujutatakse järgmiselt: Kirjeldame vahekorda palmikute ja palmikdiagrammide vahel. Iga palmikdiagramm D esitab mingit palmikut, s.t geomeetriliste palmikute isotoopiaklassi: 6

D R I; samastades R I = R {0} I, võib lugeda, et D R 2 I; diagrammi D iga lõikepunkti ümbruses kasvatame veidi alumise keerme 2. koordinaati; see teisendab diagrammi D n stringiga geomeetriliseks palmikuks, mille isotoopia klass on palmik, mida esitab diagramm D; saadud palmikut tähistatakse β(d). Definitsioon 4 n keermega palmikdiagramme D ja D nimetatakse isotoopseteks, kui leidub pidev kujutus F : D I R I, nii et iga s I korral D s = F (D {s}) R I on n keermega palmikdiagramm ja D 0 = D, D 1 = D. On selge, et F kujutab iga s I korral diagrammi D lõikepunkti diagrammi D s lõikepunktiks ja ta säilitab keermete ülemiseks-alumiseks olemise. Ülal definitsioonis tekkivat diagrammide peret {D s } s I nimetatakse diagrammi D 0 = D isotoopiaks diagrammiks D 1 = D. Ilmselt sel korral β(d) = β(d ). Kahe palmikdiagrammi D 1 ja D 2 korrutis D 1 D 2 saadakse diagrammi D 1 asetamisel diagrammi D 2 kohale ja otspunktid ühendada (muidugi tuleb pärast venitada natukene kokku). Piltlikult:... D 1 D 2 = D 1...... D 2... Reidemeisteri nihked palmikdiagrammides. Järgmistel joonistel kujutatud palmikdiagrammide teisendusi Ω 2 ja Ω 3 ning nende pöördteisendusi (muuta joonistel nooled vastupidiseks) nimetatakse Reidemeisteri niheteks 4. Need nihked muudavad palmikdiagrammis kahe 4 Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893 1971) saksa matemaatik; doktorikraadi algebralisest arvuteooriast kaitses 1921. a. Hamburgi Ülikoolis Erich Hecke juhendamisel; 1923. aaastast oli dotsent Viini Ülikoolis, aastail 1925 1933 oli Königsbergi 7

keerme (teisendused Ω 2 ja Ω 2 1 ) või kolme keerme (teisendused Ω 3 ja Ω 3 1 ) asendit, ülejäänud osa diagrammist jääb muutmata. Kõik need teisendused säilitavad palmikdiagrammide isotoopsuse. Ω 2 Ω 2 Ω 3 Definitsioon 5 Palmikdiagramme D ja D nimetatakse R-ekvivalentseteks, kui D on teisendatav diagrammiks D lõpliku arvu isotoopiate ja Reidemeisteri nihete Ω ±1 2 ning Ω ±1 3 abil. Ilmselt D ja D on R-ekv. = β(d) = β(d ). Teoreem 1 D ja D on R-ekv. β(d) = β(d ) Teoreemi me siinkohal ei tõesta. Palmikrühm. Tähistagu B n kõigi n stringiga palmikute hulka ülal kirjeldatud korrutamisega. Ülikooli professor; vastuolude tõttu natsidega oli sunnitud loobuma professori ametist Königsbergis; edasist elulugu allikad ei kajasta. Tegeles kombinatoorse ja geomeetrilise rühmateooriaga, kombinatoorse topoloogiaga ja geomeetria alustega. 8

Lemma 1 β B n = β 1 B n σ + i Tõestus. Iga i = 1, 2,..., n 1 jaoks defineerime nn elementaarpalmikud ja σ i, mis on esitatud järgmistel joonistel antud diagrammidega: 1 i 1 i i + 1 i + 2 n σ + i :...... 1 i 1 i i + 1 i + 2 n σ i :...... σ + 1,..., σ + n 1, σ 1,..., σ n 1 tekitavad B n kui monoidi: valime β B n ; D R I diagramm, mis esitab palmikut β; D lõikepunktide ümbruses deformeerime teda nii, et tema lõikepunktide teised koordinaadid on erinevad; = 0 = t 0 < t 1 <... < t k = 1, nii et iga D (R [t j ; t j+1 ]) sisaldab täpselt palmiku ühe lõikepunkti (sisepunktina); see ühisosa on siis kas σ + i või σ i mingi i = 1, 2,..., n 1 korral; siis β = β(d) = σ ε 1 i 1... σ ε k i k ; ε j {+, }; i 1,..., i k {1, 2,..., n 1}. (1) Ilmselt σ + i σ i = σ i σ+ i = 1 (vt. teisendust Ω 2 ) iga i korral ja β 1 = σ ε k i k... σ ε 1 i 1 ( + =, = +). Lemma on tõestatud. Seega moodustab hulk B n rühma. 9

Lemma 2 Palmikud σ + 1,..., σ + n 1 B n rahuldavad palmikseoseid, s.t σ + i σ+ j = σ + j σ+ i, kui i, j = 1, 2,..., n 1, i j 2, σ + i σ+ i+1 σ+ i = σ + i+1 σ+ i σ+ i+1, i = 1, 2,..., n 1. Esimene võrdus lemmas on ilmne, teine võrdus tuleneb eelpool kirjeldatud teisendusest Ω 3. Teoreem 2 Kujutused on isomorfismid. ϕ ε : B n B n, ϕ ε (σ i ) = σ ε i, ε = ±, i = 1, 2,..., n 1, Tõestus. Vaatleme juhtu ε = +, kuna juht ε = on käsitletav analoogiliselt. eelnevate lemmade põjal on ϕ + homomorfism ja sürjektiivne. Injektiivsuse näitamiseks konstrueerime kujutuse ψ : B n B n, nii et ψ ϕ + = id. Nagu lemmas 1, esitame β B n diagrammiga D, mille lõikepunktid on erinevate teiste koordinaatidega. Siis saame avaldise (1) ning defineerime ψ(d) = (σ i1 ) ε 1... (σ ik ) ε k B n, (σ i ) + = σ i, (σ i ) = σ 1 i. Väidame, et ψ(d) sõltub ainult palmikust β, s.t ψ(d) ei muutu, kui diagrammiga teha isotoopiaid ja Reidemeisteri nihkeid. Diagrammi D isotoopiad, mille korral säilub lõikepunktide järjekord 2. koordinaadi suhtes, säilitavad avaldise (1) ja seega ka ψ(d). Kui aga isotoopia muudab lõikepunktide järjekorda, nagu on näidatud ülal joonisel, siis avaldises (1) vastab sellele termi σ ε i i σε j j asendamine termiga σ ε j j σε i i mingite i, j {1, 2,..., n 1}, i j 2, korral. Need kaks avaldist aga langevad σ j ja σ i kommuteeruvuse tõttu (sest i j 2) kokku. Reidemeisteri nihe Ω 2 (analoogiliselt Ω 1 2 ) lisab avaldises (1) termi σ + i σ i või σ i σ+ i, mis samuti säilitab ψ(d). Nihe 10

Ω 3 asendab termi σ + i σ+ i+1 σ+ i avaldises (1) termiga σ + i+1 σ+ i σ+ i+1 ja jälle säilitab ψ(d) palmikseoste tõttu oma kuju. Analoogiliselt käsitletakse nihet Ω 1 3. Seega ψ on defineeritud korrektselt. Konstruktsiooni kohaselt ψ ϕ + = id. Teoreem on tõestatud. Saadud isomorfismi tõttu samastame rühmad B n ja B n. Rühma B n elemente nimetame nüüdsest n stringiga palmikuteks, palmikut σ + i aga tähistame σ i. Seega σ i = (σ + i ) 1 = σ 1 i. Projektsioon π : B n S n on nüüd tõlgendatav geomeetriliselt nii: substitutsioon π(b) S n teisendab iga i {1, 2,..., n} arvuks j {1, 2,..., n} nii, et palmiku b string, mis algab punktist (i, 0, 0), lõpeb punktis (j, 0, 1). Märgime, et loomulik sisestus ι : B n B n+1 on injektiivne. See järeldub asjaolust, et kui b B n, siis ι(b) on palmik, mis tekib palmikule b ühe vertikaalse triibu lisamisel (see toiming säilitab isotoopsuse). Loetleme mõned ülesanded: 1) Näidata, et iga geomeetrilise palmiku b R 2 I jaoks leidub selline ring U R 2, et b U I. 2) Näidata, et palmikute iga isotoopia {b s } s I jaoks leidub selline ring U R 2, et b s U I iga s I korral. 3) Olgu U lahtine ring ruumis R 2 ja punktid (1, 0),..., (n, 0) sisalduvad ringis U. Tõestada, et n stringiga geomeetriline palmik b R 2 I on istoopne hulgas U I sisalduva geomeetrilise palmikuga. 4) Tõestada, et iga kaks geomeetrilist palmikut, mis sisalduvad hulgas U I (U lahtine ring ruumis R 2 ) ja on isotoopsed hulgas R 2 I, on isotoopsed ka hulgas U I. 5) Iga n stringiga geomeetrilise palmiku b R 2 I jaoks tähistagu b palmiku b kujutist, mille korral punkt (x, y, t) kujutub punktiks (x, y, 1 t). Näidata, et b on geomeetriline palmik. Näidata, et kui b esitab palmikut β, siis b esitab palmikut β 1. Näidata, et kui β on esitatud palmikdiagrammiga D, siis β 1 on esitatav diagrammiga, mis tekib diagrammi peegeldamisel ümber sirge R { 1}. 2 11

1.3. Puhtad palmikrühmad Puhtad palmikud. pure puhas; range Definitsioon 6 Loomuliku projektsiooni π : B n S n tuuma nimetatakse puhtaks palmikrühmaks ja seda tähistatakse P n : P = Ker(π : B n S n ). Rühma P n elemente nimetatakse n stringiga puhasteks palmikuteks. n stringiga geomeetriline palmik esitab puhast palmikut parajasti siis, kui stringi üks otspunkt on (i, 0, 0), siis stringi teine otspunkt on (i, 0, 1). Selliseid geomeetrilisi palmikuid nimetatakse samuti puhasteks. Järgnevas mängib olulist rolli järgmisel joonisel kujutatud puhas n-string A i, j, kus 1 i < j n. 1 i 1 i i + 1 j 1 j j + 1 n......... Kehtib A i, j = σ j 1 σ j 2... σ i+1 σ 2 σ 1 i+1... σ 1 j 2 σ 1 j 1 (vt järgmisel leheküljel esitatud joonist, mida muidugi tuleb deformeerida). Palmikud A i, j on omavahel kaassed rühmas B n. Selles saab veenduda jooniste abil, näidates, et α j, k A i, j α 1 j, k = A i, k, α i, k A i, j α 1 i, k = A j, k, kus α i, j = σ j 1 σ j 2... σ i. 12

i i + 1 j 2 j 1 j σ j 1 σ j 2. σ i+1 σ i σ i σ 1 i+1. σ 1 j 2 σ 1 j 1 Palmikud A i, j ei ole aga omavahel kaassed rühmas P n. Ka rühma P n saab vaadelda rühma P n+1 alamrühmana (tuleb igale palmikule lisada vaid üks vertikaalne string). Ilmselt P 1 = {1} ja P 2 on lõpmatu tsükliline rühm tekitajaga σ 2 1. Unustavad homomorfismid. Defineerime nn unustavad homomorfismid f n : P n P n 1 järgmiselt. Kui b on rühma P n elementi esitav geomeetriline palmik, siis jättes sellest palmikust ära punkte (n, 0, 0) ja (n, 0, 1) ühendava stringi, 13

saadakse palmik f n (b). Kui b ja b on isotoopsed, siis ka f n (b) ja f n (b ) on isotoopsed, s.t saame korrektselt defineeritud kujutuse f n : P n P n 1. Palmikute korrutamisreeglist järeldub, et f n on homomorfism. Kui ι : P n 1 P n on loomulik sisestus, siis f n ι = id Pn 1. Seega f n on sürjektiivne. Kui n 2, siis defineerime U n = Ker(f n : P n P n 1 ) Rühm P n avaldub poolotsekorrutisena kus Kui β P n, siis P n = U n P n 1 β = ι(β ) β n, (2) β P n 1, β n U n, β = f n (β), β n = ι(β ) 1 β. Avaldises (2) esinevad palmikud on kujutatud järgneval joonisel. Induktiivselt saadakse β = β 2 β 3... β n, (3) kus β j U j P j P n, j = 2, 3,..., n. Avaldist (3) nimetatakse palmiku β normaalkujuks (combed or normal form). β 1 n. f n β 1 n 1 ι ι (β ) 1 n 1 n ; β n 1 n. Ilmselt A i, n U n, i = 1, 2,..., n 1 (vt. palmiku A i, n definitsiooni). Teoreem 3 Iga n 2 korral on rühm U n vaba rühm tekitajatega {A i, n } i=1, 2,..., n 1. 14

Teoreemi tõestus esitatakse hiljem. Järeldus 1 Rühma P n jaoks leidub nn normaalne filtratsioon 1 = U n (0) U n (1)... U n (n 1) = P n, nii et U n (i) /U n (i 1) on iga i korral vaba rühm astmega n i. Siis Tõestus. Defineerime U (i) n U (0) n def = {1}; def = Ker(f n i+1... f n 1 f n : P n P n i ), i = 1, 2,..., n 1. U n (i) /U n (i 1) = Ker(fn i+1 : P n i+1 P n i ) = U n i+1. Järeldus 2 Rühm P n on väändeta. See tuleneb eelmisest järeldusest, sest vabad rühmad on väändeta. Järeldus 3 Rühm P n on tekitatud n(n 1)/2 elemendiga {A i, j } 1 i<j n. See järeldub valemist (3) ja eelmisest teoreemist. Määravad seosed rühma P n tekitajate A i, j jaoks on A 1 r, sa i, j A r, s = A i, j, kui s < i või i < r < s < j, A r, j A i, j A 1 r, j, kui s = i, A r, j A s, j A i, j A 1 s, j A 1 r, j, kui i = r < s < j, A r, j A s, j A 1 r, j A 1 s, j A i, ja s, j A r, j A 1 s, j A 1 r, j, kui r < i < s < j. (4) Seoste (4) kehtivuses saab veenduda, joonistades välja vastavad diagrammid. Saab näidata, et nendest seostest järelduvad kõik võimalikud seosed tekitajate vahel. Järeldus 4 P n /[P n, P n ] = Z n(n 1)/2. 15

Tõestus. Rühm P n /[P n, P n ] on tekitatav selle faktorrühma kõrvalklasside poolt, millede esindajateks on elemendid A i, j. Neid esindajaid on n(n 1)/2 tükki. Järelduse näitamiseks tuleb näidata, et elemendid A i, j on lineaarselt sõltumatud modulo [P n, P n ]. Selleks piisab näidata, et leidub homomorfism l i, j : P n Z, nii et l i, j (A i, j ) = 1, l i, j (A r, s ) = 0, (i, j) (r, s). Valime β P n ja esitame ta diagrammiga D. Orienteerime iga keerme ülalt (t = 0) alla (t = 1) ja tähistame l + i, j (D) i-nda ja j-nda keerme lõikumiste arv, kus i. keere ületab j. keerme ülevalt (over) vasakult paremale; l i, j (D) i-nda ja j-nda keerme lõikumiste arv, kus i. keere ületab j. keerme ülevalt paremalt vasakule; l i, j (β) = l + i, j (D) l i, j (D). Arv l i, j (β) on invariantne isotoopiate ja Reidemeisteri nihete suhtes ja seega on ta üheselt määratud palmikuga β. Saadud kujutus l i, j ongi vajalike omadustega. Definitsioon 7 Rühma G nimetatakse residuaalselt lõplikuks, kui iga a G, a 1, korral leidub lõplik rühm H ja homomorfism f : G H, nii et f(a) 1. Järeldus 5 Rühm B n ja tema kõik alamrühmad on residuaalselt lõplikud. Tõestus. On teada, et vabad rühmad ja kahe lõplikult tekitatud residuaalselt lõpliku rühma poolotsekorrutis on residuaalselt lõplikud. Siit järeldub eelmise teoreemi põhjal, et P n on residuaalselt lõplik. Iga residuaalselt lõpliku rühma P laiend lõpliku rühma abil on residuaalselt lõplik (järeldub asjaolust, et lõpliku arvu rühma P lõpliku indeksiga alamrühmade ühisosa on samuti lõpliku indeksiga). Kuna B n on rühma P n laiend rühma S n abil ja P n on residuaalselt lõplik, siis ka B n on residuaalselt lõplik. Definitsioon 8 Rühma nimetatakse Hopfi 5 rühmaks, kui selle rühma iga sürjektiivne endomorfism on ka injektiivne. 5 Heinz Hopf (1894 1971) sündis Wroclawis, mis tol perioodil kuulus Saksamaale; olles juut, pidi ta Hitleri võimule tulles lahkuma Saksamaalt; pärast mõningaid eksirännakuid töötas kuni elu lõpuni Šveitsis; andnud silmapaistva panuse algebralise topoloogia arengusse. 16

Järeldus 6 Rühm B n rühmad. ja iga tema lõplikult tekitatud alamrühm on Hopfi Järeldub allikast (teoreem 4.10): R. C. Lyndon, P. E. Shupp Combinatorial group theory. Springer Verlag, 1977. Järeldus 7 Iga i = 1, 2,..., n korral i-nda stringi ärajätmine ( unustamine ) määrab homomorfismi f i n : P n P n 1. Homomorfismi f i n tuum on vaba rühm astakuga n 1 ja vabade tekitajatega A 1, i,..., A i 1, i, A i, i+1,..., A i, n. Tõestus. Defineerime α i, n = σ n 1 σ n 2... σ i. Siis iga β P n korral palmikust α i, n βα 1 i, n stringi Seega n-nda stringi unustamine annab 1 n 1 f i n1 n 1 = f i n(β), s.t f i n(β) = f n (α i, n βα 1 i, n ), kus f n = f n n. Ker f i n = α 1 i, n (Ker f n)α i, n = α 1 i, n U nα i, n. Kuna hulga {A j, n } j=1, 2,..., n 1 transformeerimine palmikuga α 1 i, n teisendab selle hulga hulgaks {A 1, i,..., A i 1, i, A i, i+1,..., A i, n }, siis ongi saadud järelduse väide. Rühma B n tsenter. Rühma G tsenter Z(G) defineeritakse järgnevalt Z(G) = { g G gh = hg h G }. Teoreem 4 Kui n 3, siis Z(B n ) = Z(P n ) on lõpmatu tsükliline rühm, mille tekitajaks on θ n = 2 n, kus n = (σ 1 σ 2... σ n 1 )(σ 1 σ 2... σ n 2 )... (σ 1 σ 2 )σ 1 B n. 17

Järgmisel joonisel on kujutatud 5 = (σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 )(σ 1 σ 2 σ 3 )(σ 1 σ 2 )σ 1. 5 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 1 σ 2 σ 1 Teoreemi tõestus. Palmik n saadakse triviaalsest palmikust 1 n selle alumiste tippude asendi pööramisel nurga π võrra, palmik θ n = 2 n aga nurga 2π võrra. Siis θ n P n ja teda saab arvutada induktiivselt: θ n = ι(θ n 1 )γ, γ = γ n = A 1, n A 2, n... A n 1, n, kus ι : P n 1 P n on loomulik sisestus. Järgnevatel joonistel on kujutatud 18

siin mainitud palmikuid. θ 5 5 γ 5 A 1, 5 A 2, 5 A 3, 5 A 4, 5 5 γ 5 4 σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 1 4 19

4 4 θ 5 ι(θ 4 ) γ 5 Seega Jooniste abil on lihtne veenduda. et σ i n = n σ n i. (5) σ i θ n = σ i n n = n σ n i n = n n σ i = θσ i, s.t θ n Z(B n ). Näitame induktsiooniga n 2 järgi, et tsentri Z(P n ) iga element on elemendi θ n aste. Kui n = 2, siis P 2 on tekitatud elemendi A 1, 2 = θ 2 = σ 2 1 poolt ja väide kehtib. Olgu nüüd n 3 ja β Z(P n ). Siis valemi (2) põhjal β = ι(β ) β n, β = f n (β) P n 1, β n U n. Kuna γ = γ n kommuteerub iga elemendiga hulgast ι(p n 1 ) P n (vt järgnevat joonist), siis ta kommuteerub ka elemendiga ι(β ) ja β Z(P n ) tõttu ka elemendiga β n = ι(β ) 1 β. Seega rühm G = β n, γ U n on kommutatiivne. Et U n on vaba rühm, siis ka G on vaba rühm ja kommutatiivsuse tõttu lõpmatu lõpmatu tsükliline rühm. Vaatleme nüüd järelduse 4 tõestuses defineeritud homomorfismi l i, j : P n Z (1 i < j n). Ilmselt l i, j (γ) = 1. Seetõttu peab γ olema 20

rühma G tekitaja, G = γ ja β n = γ k mingi k Z korral. Kuna unustav homomorfism f n : P n P n 1 on epimorfism, siis β = f n (β) Z(P n 1 ). Induktsiooni eelduse kohaselt β = θn 1 m mingi m Z korral. Veendume, et k = m: 1 n 1 n 1 n 1 n ι (β ) γ n γ n ι (β ) Siis β = ι(θ m n 1)γ k, l i, n (β) = k; i = 1, 2,..., n 1, l i, n (β) ei sõltu indeksist i; β Z(P n) = σ n 1 βσ 1 n 1 Z(P n ) = = l i, n (σ n 1 βσ 1 n 1) ei sõltu indeksist i = 1, 2,..., n 1 = = l 1, n (σ n 1 βσ 1 n 1) = l 1, n (β) = m, l n 1, n (σ n 1 βσ 1 n 1) = l n 1, n (β) = k = m = k. γ ι(θ n 1 ) = ι(θ n 1 ) γ = β = ι(β )β n = ι(θ k n 1)γ k = (ι(θ n 1 )γ) k = θ k n. Kui n 3, siis Z(B n projekteerub rühma S n tsentrile ja seega Z(B n ) Z(P n ) θ n Z(B n ), Z(B n ) = θ n. Järelduse 2 põhjal on θ n lõpmatu tsükliline rühm. Järeldus 8 Kui m n, siis rühmad B m ja B n pole isomorfsed. 21

1.4. Konfiguratsiooniruumid Järjestatud punktide hulkade konfiguratsiooniruumid. Defineerime topoloogilise ruumi M jaoks hulga F n (M) = { (u 1, u 2,..., u n ) M n u i u j i j }, mida nimetatakse ruumi M punktide järjestatud n-korteežide konfiguratsiooniruumiks. Kui M on topoloogiline muutkond, siis F n (M) on topoloogiline muutkond mõõtmega n dim(m). Kui dim(m) 2 ja M on sidus, siis ka muutkond F n (M) on sidus. Muutkonna F n (M) fundamentaalrühma nimetatakse muutkonna M puhtaks palmikrühmaks n stringil. Veendume, et kui M = R 2, siis muutkonna M puhtaks palmikrühmaks n stringil on rühm P n, s.t P n = π 1 (F(R 2 ), q n ) (6) kus q n = ((1, 0), (2, 0),..., (n, 0)) F(R 2 ). y t = 0 i u i (t) t x t = 1 t Olgu b R 2 I puhas geomeetriline palmik. Paneme talle vastavusse tee α : I F(R 2 ) reegliga t (u 1 (t),..., u n (t)), kus palmiku b i.string lõikab tasandit R 2 I punktis (u i (t); t), i = 1, 2,..., n (vt joonist). Saadud tee algab ja lõpeb punktis q n, s.t ta on kinnine ehk sõlm. 22

Vastupidi, iga kinnine tee α = (α 1,..., α n ) : I F(R 2 ), mis algab ja lõpeb punktis q n, määrab puhta geomeetrilise palmiku b = n i=1 t I (α i (t), t). Tekib üksühene vastavus puhaste geomeetriliste palmikute ja punktis q n võetud ruumi F(R 2 ) sõlmede hulga vahel. Seejuures palmikute isotoopiale vastab sõlmede homotoopsus ja see vastavus säilitab ka korrutamise. Järelikult kehtib võrdus (6). 1.5. Vaba rühma palmikautomorfismid Tähistagu F n vaba rühma vabade tekitajatega x 1,..., x n. Rühma F n palmikautomorfismid. Definitsioon 9 Rühma F n automorfismi ϕ nimetatakse palmikautomorfismiks, kui (i) leidub µ S n, nii et ϕ(x k ) ja x µ(k) on kaassed iga k {1, 2,..., n} korral; (ii) ϕ(x 1 x 2... x n ) = x 1 x 2... x n. Rühma F n kõigi palmikautomorfismide hulka tähistatakse B n. Hulk B n moodustab rühma. Palmikautomorfismide näideteks on automorfismid σ i ja nende pöördautomorfismid (i = 1, 2,..., n 1): x k+1, kui k = i, σ i (x k ) = x 1 k x k 1x k, kui k = i + 1, x k, kui k i, i + 1, σ 1 i (x k ) = x k x k+1 x 1 k, kui k = i, x k 1, kui k = i + 1, x k, kui k i, i + 1. Teoreem 5 Kujutus σ i σ i, i = 1, 2,..., n 1, indutseerib isomorfismi rühmade B n ja B n vahel. 23

Elemendi β B n kujutist teoreemis näidatud isomorfismis tähistame β. See teoreem annab vastuse nn sõnaprobleemile rühmas B n. Meenutame, et sõnaprobleem tekitajatega ja määravate sesotega antud rühma jaoks on: kas leidub algoritm, mille abil saab otsustada, kas element, mis on esitatud tekitajate kaudu, võrdub ühikelemendiga või mitte. Teoreemi kohaselt element β B n võrdub ühikuga parajasti siis, kui β = id (see võrdus on aga kergesti tuvastatav). Teoreemi tõestamisel kasutatakse nn abeliseerimist: B n = Bn tegutseb rühmal F n, järelikult ka faktorrühmal F n /[F n, F n ] = F n /F n = Z n baasiga ẋ 1,..., ẋ n, ẋ i = x i F n; edasi tekib loomuliku projektsiooniga π : B n S n substitutsioon π(β) vektoritel ẋ 1,..., ẋ n (π( σ i ) on nende vektorite transpositsioon). Teoreemi 5 tõestus. Palmikseosed automorfismide σ 1,..., σ n 1 jaoks järelduvad lihtsalt, mistõttu kujutus σ i σ i määrab homomorfismi B n B n. Järgnevalt esitame selle homomorfismi teisiti, kasutades varem saadud fakte: ι : B n B n+1 loomulik sisestus; P n B n ; f n+1 : P n+1 P n unustav homomorfism; β B n, u U n+1 = Ker f n+1 ; ι(β) u ι(β) 1 U n+1 ; u ι(β) u ι(β) 1 määrab rühma U n+1 automorfismi; = tekib homomorfism ξ : B n Aut U n+1 (elemendile β vastab konjugeerimine elemendiga ι(β). Kuna U n+1 on vaba rühm n tekitajaga A 1, n+1,..., A n, n+1, siis samastame F n = U n+1 ja x k = A k, n+1, k = 1, 2,..., n. Sellise samastamise korral kehtib ξ(β) = β. Et selles veenduda, tuleb seda teha rühma B n tekitajate σ 1,..., σ n 1 jaoks, s.t tuleb veenduda võrduste A k+1, n+1, kui k = i, ι(β) A k, n+1 ι(β) 1 = A 1 k, n+1 A k 1, n+1a k, n+1, kui k = i + 1, A k, n+1, kui k i, i + 1 24

täidetuses. Nende võrduste õigsuses saab veenduda, kui joonestada välja viimases võrduses esinevad palmikdiagrammid. Näitame kujutuse ξ : B n B n, β β (7) injektiivsuse. Selleks valime β B n, nii et β = 1. Peame näitama, et siis β = 1. Kujutuse β abeliseerides saadakse rühma U n+1 /U n+1 ühikautomorfism, s.t β P n B n. Avaldame β kujul (3): β = β 2 β 3... β n, β j U j P j P n ; j = 2, 3,..., n. Oletame vastuväiteliselt, et β 1. Olgu i suurim indeks, nii et β 1. Siis β = β 2 β 3... β i, β(u) = ι(β) u ι(β) 1 = u, ι(β) u = u ι(β) u U n+1, A i, n+1 ι(β) = ι(β) A i, n+1. Kuna β 2, β 3,..., β i 1 kuuluvad vasakpoolse i 1 stringi sekka ja seega kommuteeruvad elemendiga A i, n+1, siis ka β i kommuteerub elemendiga A i, n+1. Teisalt β i U i P i P n+1 ja U i on vabade tekitajatega A 1, i,..., A i 1, i. Siit järeldub, et β i = 1. See on aga vastuolu. Järelikult β = 1 ja kujutus (7) on injektiivne. Näitame homomorfismi (7) sürjektiivsuse. Olgu ϕ rühma F n mittetriviaalne palmikautomorfism: ϕ(x k ) = A k x µ(k) A 1 k, kus A k on sõna tähestikus x ±1 1,..., x ±1 A k x µ(k) A 1 k Tingimuse (ii) kohaselt n. Elemendi A k saab valida nii, et ja x 1 r x r. on redutseeritud, s.t ta ei sisalda tegureid kujudel x r x 1 r A 1 x µ(1) A 1 1 A 2 x µ(2) A 1 2... A n x µ(n) A 1 n = x 1 x 2... x n. (8) Väidame, et leidub j {1, 2,..., n 1} ja sõna A tähestikus x ±1 1,..., x ±1 n (võimalik, et tühi sõna), mis rahuldab ühte kahest järgnevast tingimusest (a) A j = A j+1 x µ(j+1) A, (b) A j+1 = A j x 1 µ(j) A. Näitame, et (a) või (b) täidetuse korral sisaldub ϕ homomorfismi (7) kujutises ((a) või (b) täidetuse näitame hiljem). 25

Defineerime ϕ pikkuse kui sõnade A k x µ(k) A 1 k pikkuste (tähtede arv) summa üle k = 1, 2,..., n. Oletame, et kehtib (a). Siis ϕ σ j : F n F n jaoks kehtib: ϕ(x k ) = (ϕ σ j )(x k ), k j, j + 1, (ϕ σ j )(x j ) = ϕ(x j+1 ) = A j+1 x µ(j+1) A 1 j+1, (ϕ σ j )(x j+1 ) = ϕ(x 1 j+1 x jx j+1 ) = = A j+1 x 1 µ(j+1) A 1 j+1 A jx 1 µ(j) A 1 j A j+1 x µ(j+1) A 1 j+1 = =... = A j+1 x µ(j) A 1 A 1 j+1. Sõna A j+1 A on lühem kui sõna A j = A j+1 x µ(j+1) A. Seega ϕ σ j on lühema pikkusega kui ϕ. Analoogiliselt, kui kehtib (b), siis ϕ σ 1 j on lühema pikkusega kui ϕ. Seega saab elemendi ϕ korduvalt elementidega kujul σ j ja σ 1 j paremalt korrutades viia ühikuks, s.t ϕ avaldub korrutisena elementide σ j astmete korrutisena ehk homomorfism (7) on sürjektiivne. Jääb näidata (a) või (b). Sümbolit x µ(k), mis esineb avaldises A k x µ(k) A 1 k, nimetatakse spetsiaalseks. Iga sümbol x 1,..., x n esineb kui spetsiaalne sümbol avaldise (8) vasakul pool parajasti üks kord. Avaldise (8) vasakust poolest saadakse pärast kõikvõimalikke redutseerimisi kujul x r x 1 r = 1 ja x 1 r x r = 1 parem pool. Oletame, et nende redutseerimiste käigus spetsiaalne sümbol x µ(k) kaob pärast redutseerimist elemendiga x 1 µ(k). Siis x 1 µ(k) ei saa esineda sõnas A kx µ(k) A 1 k, mis eelduse kohaselt on redutseeritud. Kui x 1 µ(k) esineb avaldises A 1 k 1, siis A 1 k 1 = Bx 1 µ(k) A 1 k mingi B korral ja kehtib (a), kus j = k 1, A = B 1. Kui aga x 1 µ(k) esineb avaldises A k+1, saadakse juht (b), kus j = k. Oletame, et ükski spetsiaalne sümbol ei kao redutseerimiste käigus. Siis µ(k) = k ja A 1 k A k+1 = 1 ehk A k = A k+1 iga k korral, s.t ϕ = id. See on vastuolus ϕ valikuga. Järelikult vähemalt üks spetsiaalne sümbol kaob redutseerimiste käigus ja kehtib (a) või (b) mingi j korral. Teoreem on tõestatud. 26

1.6. Palmikud ja homöomorfismid Muutkonna omahomöomorfismide klassid. Olgu M orienteeritud topoloogiline muutkond 6 ja M 0 = M \ M tema sisemus. Valime lõpliku hulga Q M 0 (võib Q = ) ja moodustame paari (M, Q). Definitsioon 10 Homöomorfismi f : M M nimetatakse paari (M, Q) omahomöomorfismiks, kui: 1) f(x) = x iga x M korral, 2) f(q) = Q, 3) f säilitab orientatsiooni. Omahomöomorfism f indutseerib hulgal Q substitutsiooni. Omahomöomorfismide jaoks defineeritakse isotoopsuse seos: paari (M, Q) omahomöomorfisme f ja g nimetatakse isotoopseteks, kui leidub selle paari omahomöomorfismide pere {f t } t I, nii et leidub pidev kujutus M I M, (x, t) f t (x), nii et f = f 0 ja g = f 1. Isotoopsus on ekvivalentsiseos omahomöomorfismide hulgas ja isotoopsed omahomöomorfismid tekitavad ühe ja sama substitutsiooni hulgal Q. Tähistagu M(M, Q) paari (M, Q) kõigi omahomöomorfismide isotoopiaklasside hulka. See hulk moodustab rühma kujutuste korrutamise suhtes. Veel tähistame M(M) = M(M, ). Toogem näite saadud rühma kohta. Olgu muutkonnaks M ruumi R n kinnine ühikkera D keskpunktiga punktis 0. Elemendi z R n eukleidilist normi tähistame z. Olgu h ruumi D omahomöomorfism. Defineerime { z, kui t z 1, h t (z) = th(z/t), kui z < t. Saadud omahomöomorfismide pere realiseerib isotoopia h ja id vahel (h 0 = id, h 1 = h), s.t M(D) = {1}. Märgime, et kui h(0) = 0, siis h t (0) = 0 iga t I korral ja seega M(M, {0}) = {1}. 6 Muutkonna M kaarte (U, h) = (U; x 1,..., x n ) ja (U, h ) = (U ; x 1,..., x n ) nimetatakse positiivselt kooskõlastatuks, kui U U = või U U ja det h h > 0 hulgal U U. Atlast, mille kaardid on omavahel positiivselt kooskõlastatud, nimetatakse orienteeritud atlaseks ja vastavat muutkonda orienteeritud muutkonnaks. Siin on kasutatud M. M. Postnikovi tähistusi. 27

Poolkeerud. Olgu M orienteeritud pind ja Q M 0, Q lõplik. Vaatleme paari (M, Q) alamhulki α, mis on homöomorfsed lõiguga I = [0; 1] (seega kaar) ja võivad lõikuda hulgaga Q M vaid otspunktides. Veel eeldame, et vaadeldavad kaared on lihtsad, s.t neil pole omalõikumisi. Kaar α määrab homöomorfismi τ α : M M, mida nimetatakse poolkeeruks, järgmiselt: τ α seisneb kaare α ja selle lähema ümbruse pööramises ümber tema keskpunkti orientatsiooniga näidatud suunas nurga π võrra. α τ α Kirjeldame seda homöomorfismi täpsemalt. Olgu U kaare α väike ümbrus. Seda võib lugeda homöomorfseks ühikringiga komplekstasandil: U { z C z < 1 }. Kaart α aga vaatleme lõiguna α = [ 1/2; 1/2]. Siis homöomorfism τ α on defineeritud võrdusega z, kui z U, τ α (z) = z, kui z U, z 1/2, e 2πi z z, kui z U, 1/2 z < 1. Ülal joonisel on kujutatud kaarega risti oleva lõigu teisenemine homöomorfismiga τ α. Isotoopia täpsuseni τ α ei sõltu U valikust. Ilmselt τ α (α) = α, τ α (Q) = Q, τ α M(M, Q). Pööre orientatsiooni vastassuunas nurga π võrra annab τα 1. Orientatsiooni näitab ülal joonisel väike ring. 28

Loetleme poolkeerdude lihtsamaid omadusi: (i) Kui f : (M, Q) (M, Q ) on orientatsiooni säilitav homöomorfism ja α M(M, Q), siis f(α) M(M, Q ) ja τ f(α) = fτ α f 1. (ii) Kui α ja α on isotoopsed paaril (M, Q), siis τ α = τ α rühmas M(M, Q). (iii) Paari (M, Q) omahomöomorfism indutseerib muutkonna M omahomöomorfismi (nn unustamine). Tekib rühmade homomorfism M(M, Q) M, mille korral τ α 1. (iv) Kui α ja β on ühisosata kaared paaril (M, Q), siis τ α τ β = τ β τ α. (9) (v) Kui α ja β on kaared paaril (M, Q), milledel on ühine otspunkt ja muidu ühisosata, siis τ α τ β τ α = τ β τ α τ β M(M, Q). (10) Isomorfism B n = M(D, Qn ). Olgu Q n = {(1, 0), (2, 0),..., (n, 0)} R 2, n 1, ja D kinnine kera ruumis R 2, nii et Q n D (vt järgnevat joonist). Orienteerime D vastu kellaosuti suunda....... X 1 X i X n Moodustame kaared α i = [i, i + 1] {0} D. 29

Siis τ αi M(D, Q n ) ja τ α1,..., τ αn 1 rahuldavad seoste (9) ja (10) tõttu palmikseoseid. Seetõttu leidub rühmade homomorfism η : B n M(D, Q n ), η(σ i ) = τ αi, i = 1, 2,..., n 1. Defineerime rühmade homomorfismi ρ : M(D, Q n ) B n (vt rühma B n definitsiooni ülalt). Valime punkti d D (vt joonist). On ilmne, et fundamentaalrühm π 1 (D \ Q n, d) on vaba rühm F n tekitajatega x 1,..., x n, mille esindajateks on sõlmed X 1,..., X n. Paari (D, Q n ) iga omahomöomorfismi võib ahendada alamhulgale D \Q n ning see jätab elemendi d D paigale ja indutseerib rühma F n = π 1 (D \ Q n, d) automorfismi ρ(f). See automorfism sõltub ainult f isotoopiaklassist. Veendume, et ρ(f) on rühma F n palmikautomorfism. Sõlm X k on deformeeritav hulgas D \ Q n väikseks sõlmeks, mis kulgeb kellaosuti suunas ümber punkti (k, 0). Homöomorfism f kujutab saadud sõlme väikseks sõlmeks, mis kulgeb kellaosuti suunas ümber punkti (µ(k), 0) mingi µ(k) {1, 2,..., n} korral. Seda sõlme võib deformeerida sõlmeks X µ(k) hulgas D \ Q n, s.t. f(x k ) on deformeeritav sõlmeks X µ(k) (deformatsioonil baaspunkt f(d) = d võib nihkuda hulgas D \ Q n ). Siit järeldub, et sõlmede ρ(f)(x k ) ja x µ(k) homotoopiaklassid on kaassed rühmas π 1 (D \ Q n, d). Seega palmikautomorfismi definitsiooni tingimus (i) on täidetud. Selle definitsiooni tingimus (ii) tuleneb asjaolust, et x 1 x 2... x n on esitatav sõlmega D. Selle sõlme jätab f paigale ja tema homotoopiaklass on invariantne ρ(f) suhtes. Järelikult vastavus f ρ(f) määrab kujutuse ρ : M(D, Q n ) B n. Seejuures on ρ homomorfism, sest ρ(fg) = ρ(f g) = ρ(f) ρ(g) = ρ(f)ρ(g); f, g M(D, Q n ). Teoreem 6 Homomorfismid η ja ρ on iga n 1 korral isomorfismid ning järgmine diagramm on kommutatiivne: B n β β η M(D, Q n ) ρ Bn (11) kus β β on varem kirjeldatud isomorfism. 30

Diagrammi (11) kommutatiivsus tähendab, et β = ρ(η(β)) iga β B n korral. Selle näitamiseks piisab näidata antud võrdus ainult rühma B n tekitajate σ 1,..., σ n 1 jaoks. Peame näitama, et ρ(τ αi ) = σ i, i = 1, 2,..., n 1. Vahetult τ αi definitsioonist tulenevad võrdused ρ(τ αi )(x k ) = x k, k i, i+1, ja ρ(τ αi )(x i ) = x i+1. Võrdus ρ(τ αi )(x i+1 ) = x 1 i+1 x ix i+1 tuleneb võrdusest ρ(τ αi )(x 1... x n ) = x 1... x n. Seega ρ(τ αi ) = σ i. Teoreemi 6 tõestamiseks piisab veel näidata, et η on isomorfism. Seda tehakse alajaotuses 1.7. On selge, et poolkeerud τ αi : D D on difeomorfismid (R 2 standartne muutkonna struktuur indutseerib muutkonna struktuuri hulgal D). Difeomorfismide korrutised on difeomorfismid. Seega η sürjektiivsus tuleneb järgmisest väitest. Järeldus 9 Paari (D, Q n ) iga omahomöomorfism on isotoopne mingi difeomorfismiga samast omahomöomorfismide klassist. 1.7. Homöomorfismide rühmad Homöomorfismide rühmad. Olgu M sidus kompaktne orienteeritud topoloogiline muutkond ja Q selle muutkonna sisemuse M 0 = M \ M lõplik alamhulk. Tähistagu Top(M, Q) paari (M, Q) kõigi omahomöomorfismide rühma (homöomorfismid, mis säilitavad orientatsiooni, jätavad raja M iga punkti paigale ja kujutavad hulga Q iseendaks). Varustame hulga Top(M, Q) kompaktse-lahtise topoloogiaga. Anname selle topoloogia definitsiooni ja loetleme tema omadused. Olgu muutkonnas M antud kompaktne alamhulk K, lahtine alamhulk U ning defineerime N(K, U) = { f Top(M, Q) f(k) U }. Võttes selliste hulkade N(K, U) kõikvõimalikud lõplikud ühisosad ja nende ühisosade kõikvõimalikud ühendid, saadakse rühmal Top(M, Q) topoloogia, mille suhtes Top(M, Q) on topoloogiline rühm. Saadud topoloogiat nimetataksegi kompaktseks-lahtiseks topoloogiaks rühmal Top(M, Q). On teada, et kui X on topoloogiline ruum, siis kujutus f : X Top(M, Q) on pidev parajasti siis, kui kujutus X M M, (x, y) f(x)(y), 31

on pidev. Rakendades seda fakti juhule X = I, järeldub, et paari (M, Q) omahomöomorfismid on isotoopsed parajasti siis, kui nad on ühendatavad teega ruumis Top(M, Q), s.t nad kuuluvad ühte ja samasse ruumi Top(M, Q) sidususe komponenti. Seega M(M, Q) = π 0 (Top(M, Q)) (12) 32

Topoloogilise ruumiga seotud rühmad 1. Kompaktne-lahtine topoloogia Olgu X ja Y topoloogilised ruumid. Tähistame H(X, Y ) = {f : X Y f on pidev } Kui K on kompaktne hulk ruumis X ja U lahtine hulk ruumis Y, siis defineerime [K, U] = { f H(X, Y ) f(k) U }. Hulk H(X, Y ) muutub topoloogiliseks ruumiks, kui lahtisteks hulkadeks võtta hulkade [K, U] kõikvõimalikud lõplikud ühisosad ja saadud ühisosade kõikvõimalikud ühendid. Saadud topoloogiat nimetatakse kompaktsekslahtiseks topoloogiaks hulgal H(X, Y ). Näide 1. Tähistame järgnevas I = [0; 1]. Topoloogilist ruumi H(I, Y ) nimetatakse ruumi Y teede ruumiks, selle ruumi elementi aga teeks ruumis Y. Kui y 0 Y, siis teede ruumi H(I, Y ) alamruumi ΩY = { f H(I, Y ) f(0) = f(1) = y 0 } nimetatakse ruumi Y sõlmede ruumiks punktis y 0 ja iga selle ruumi elementi sõlmeks punktis y 0. 2. Homotoopia Olgu X ja Y topoloogilised ruumid. Definitsioon 11 Kujutusi f, g H(X, Y ) nimetatakse homotoopseteks ja tähistatakse f g, kui leidub pidev kujutus Φ : X I Y, nii et Φ(x, 0) = f(x), Φ(x, 1) = g(x) iga x X korral. Kujutust Φ nimetatakse kujutuste f ja g homotoopiaks. Samaväärne definitsioon: f g, kui leidub kujutuste pere ϕ t : X Y, t I, nii et: a) ϕ 0 = f, ϕ 1 = g, b) kujutus Φ : X I Y, Φ(x, t) = ϕ t (x), on pidev. Samaväärne definitsioon: f g, kui leidub tee ruumis H(X, Y ), mis ühendab punkte f ja g. 33

Saadud seos on ekvivalentsiseos hulgal H(X, Y ). Faktorhulka (faktorruumi) selle seose järgi tähistatakse π(x, Y ). Teisiti võib hulka π(x, Y ) vaadelda kui ruumi H(X, Y ) lineaarse sidususe (joonsidususe) komponente. Sageli tuleb vaadelda topoloogilist ruumi X, kus on fikseeritud üks punkt x 0 X. Siis öeldakse, et (X, x 0 ) on märgitud punktiga ruum. Kahe märgitud punktiga ruumi (X, x 0 ) ja (Y, y 0 ) korral vaadeldakse ruumi H(X, Y ) alamruumi H b (X, Y ) = { f H(X, Y ) f(x 0 ) = y 0 } (indeks b tuleneb sõnast base). Ka selles alamruumis saab defineerida homotoopia ja moodustada vastav faktorhulk π b (X, Y ) (defineerides vaadeldakse ainult neid kujutusi, mis teisendavad punkti x 0 punktiks y 0 ). 3. Loomulikud rühmastruktuurid hulgal π b (X, Y ) Olgu iga X korral ruumis π b (X, Y ) määratud rühma struktuur. Definitsioon 12 Öeldakse, et vaadeldav rühma struktuur hulkadel π b(x, Y ) on loomulik, kui iga pideva kujutuse ϕ : X 1 X 2 korral indutseeritud kujutus ϕ : π b (X 2, Y ) π b (X 1, Y ) on rühmade homomorfism: ϕ X 1 X 2 g g ϕ Y ϕ [g] = [g ϕ], [g] π b (X 2, Y ). Definitsioon 13 Topoloogilist ruumi Y nimetatakse H-ruumiks, kui temas on määratud korrutamine µ : Y Y Y ja pöördelemendi võtmine ν : Y Y, kusjuures on täidetud tingimused: 1 0 kujutused ja Y j 1 Y Y µ Y, j 1 (y) = (y, y 0 ), Y j 2 Y Y µ Y, j 2 (y) = (y 0, y), on homotoopsed samasuskujutusele e Y : Y Y ; 34

2 0 (homotoopiline assotsiatiivsus) kujutused ja on homotoopsed; 3 0 kujutused ja Y Y Y e Y µ Y Y µ Y Y Y Y µ e Y Y Y µ Y Y e Y ν Y Y µ Y Y ν e Y Y Y µ Y on homotoopsed kujutusega fikseeritud punkti. Duaalselt arendatakse sama teooriat järgmiselt. Olgu X ja Y topoloogilised ruumid vastavalt märgitud punktidega x 0 ja y 0. Võttes nende ruumide disjunktiivse ühendi ja samastades punktid x 0 ja y 0, saadakse ruumide X ja Y bukett X Y. Oletame, et iga ruumi X korral on hulgal π b (Y, X) määratud rühma struktuur. Definitsioon 14 Rühma struktuuri hulkadel π b (Y, X) nimetatakse loomulikuks, kui iga pideva kujutuse ϕ : X 1 X 2 korral indutseeritud kujutus on rühmade homomorfism: ϕ : π b (Y, X 1 ) π b (Y, X 2 ) g Y X 1 ϕ ϕ g X 2 ϕ [g] = [ϕ g], [g] π b (Y, X 1 ). Definitsioon 15 Topoloogilist ruumi Y nimetatakse H -ruumiks, kui temas on määratud kokorrutamine µ : Y Y Y ja pöördelemendi võtmine ν : Y Y, kusjuures on täidetud tingimused: 1 0 kujutused Y µ Y Y π 1 Y 35

ja Y µ Y Y π 2 Y on homotoopsed samasuskujutusele e Y : Y Y ; siin π 1 on samasuskujutus esimesel ruumi Y koopial ja teisel koopial on kujutus märgitud punkti ning kujutus π 2 toimib vastupidi; 2 0 (homotoopiline koassotsiatiivsus) kujutused ja on homotoopsed; 3 0 kujutus Y µ Y Y e Y µ Y Y Y Y µ Y Y µ e Y Y Y Y Y µ Y Y e Y ν Y on homotoopne kujutusega fikseeritud punkti. Näide 2. (H-ruumi näide.) Topoloogilise ruumi Z sõlmede ruum Y = ΩZ on H-ruum, kui kujutused µ : ΩZ ΩZ ΩZ ja ν : ΩZ ΩZ defineerida järgnevalt: { f(2t), kui 0 t 1/2, µ(f, g)(t) = g(2t 1), kui 1/2 t 1, ν(f)(t) = f(1 t). Näide 3. (H -ruumi näide.) Iga topoloogilise ruumi Z jaoks saab konstrueerida selle ruumi pealisehituse (nadstroika, suspension) ΣZ kui ruumi Z I faktorruumi ekvivalentsiseose järgi, mille ekvivalentsiklassideks on alamhulgad {(z, 0) z Z} ja {(z, 1) z Z} ning ülejäänud ekvivalentsiklassid on üheelemendilised (ehk teisiti: hulga {(z, 0) z Z} punktid kleebitakse kokku üheks punktiks nagu ka hulga {(z, 1) z Z} punktid). 36