Marek Kolk, Tartu Ülikool MathCa (lühem versioo) Viimati muuetu :.. Operaatori Aritmeetilise operaatori Nee leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja erali kommeteerimist. Tehete järjekorraks o asteamie, korrutamie-jagamie, liitmie-lahutmie. Erievalt teistest programmiest o Mathcais võimalik tehete järjekora ka visuaalselt kombieeria. Kui tekib kahtlus, siis o alati mõistlik kasutaa sulge. + 6 Operaatorei võib sisestaa klaviatuurilt või siis valies paletilt soovitu operaatori. Kui libistaa hiirega üle paletiosae, siis ilmub hiirekursori juure märge kiirklahvie kohta. Näiteks avalise / jaoks võib esiteks kirjutaa, siis kalkriips / ja lõpuks. Kui sageli võib kasulikum olla kirjutaa esiteks operaator, meie juhul jagamistehe /, mille järel Mathca kuvab ise automaatselt musta kastikese lugeja ja imetaja jaoks. Näie. Asteamisel tuleb olla väga tähelepaelik. : ( ). +.866i ( ) ( ). +.866i Olgu -. Paeme astmes / kirja erieval moel. Juurimistehe o matemaatikas efieeritu ii, et vastuses eelistatakse reaalarve. Sii saame õige vastuse. Asteamistehe arvuga / aab aga teise tulemuse. Sama tulemuse saime astmega /. Ruutu võtmie muuab avalise positiivseks ja seejärel asteamie eam probleeme ei valmista. Kui migil avalisel o mitu erievat väärtust (äiteks kompleksarvuega seotu avalistes), siis Mathca valib sellise, kus urk reaalteljega o miimaale. Sellepärast - asteamise korral saaaksegi komplekarv, sest - urk reaalteljega o 8 kraai, mis o suurem kui arvul. +.866i. Kompleksarvu korral tuleb imagiaarosa jaoks kirjutaa "i". Ekraaile kuvatakse "i". Kui kirjutate aiult "i", siis loetakse sea tavalise muutujaa (tihti o meil ieksi sellise tähisega). Olgu toou mõe sageasema valemi: z : i Kompleksarvu kaaskompleks: kirjuta muutuja ja jutumärgi. z + i
Kopleksarvu mooul (orm) z zz, kirjuta ja z. Kompleksarvu argumet: arg( z) φ. z.7 zz.7 argz. z a + bi rcos ( ( φ) + isi ( φ) ) re φi z e arg( z) i i Loogilise operaatori Loogilise operaatori aava tõese vastuse korral väljuiks ühe ja väära vastuse korral aava väljuiks ulli. Seega ogi eil tulemuse väljastamisel aiult kaks võimalikku väärtust. O võre.. Võrluse. Kompleksarvue korral ei saa kasutaa võrlustehtei, kua eil puuub kompleksarvue jaoks täheus. < > i > i + Sõee võrluse jaoks kasutatakse ASCII kooitabelit. "Hobue" < "Elevat" "Vaalaskala" "Elevat" Ei ole võre Eitus (NOT) ( ) Ja (AND) Või (OR) Välistav või (XOR) o tõee, kui aiult üks liikmetest o tõee. Vektor- ja maatriksoperaatori Eespool vaaatu aritmeetilisi operaatorei saab kasutaa ka vektorite ja maatriksite jaoks. Operaatori, mis töötava aiult vektoritega, o mõelu kasutamiseks aiult veeruvektoritega (reavektorite korral tuleks ee traspoeeria). Lisaks o olemas veel järgmise operaatori: Defieerime maatriksi, A o ristkülikmaatriks, B o ruutmaatriks ja C o veeruvektor. A : B : C : 6
. Maatriksi liige, ieksi (algava ullist). A A,,. Pöörmaatriks (saab kasutaa vai regulaarsete ruutmaatriksite korral). A B... Determiat (o olemas vai ruutmaatriksite jaoks). Märgime, et o siiski eriev aritmeetiliste operaatorite juures asuvast absoluutväärtuse märgist (viimae aab vektori korral selle pikkuse).. Vektoriseerimie. Kui maatriksavalisele paa peale vektorimärk, siis rakeatakse soovitu tehet erali kõikiele maatriksi liikmetele. A B C C A 9 ( C + ) 6 6. Maatriksi veergue eralamie. Riae eralamiseks võib kasutaa traspoeerimist. A ( A T ) T ( ) 6. Traspoeerimie (riae ja veergue vahetamie). 7. Vahemikmuutuja. Näiteks kuvame maatriksi A esimese rea. Selleks efieerime j.. ja kasutame ieksis rea jaoks väärtust ja veeru jaoks ieksmuutujat j. A T C T ( ) 6 j :.. A, j 8. Maatriksite korrutamie (ot prouct). Omavahel saab korrutaa maatriksei, kus esimese maatriksi veergue arv võrub teise maatriksi riae arvuga ehk Mat(,m) Mat(m,k) Mat(,k). Vektorite korral o tulemuseks skalaarkorrutis. AA T CC A T C 77 9 Ruutmaatriksei saab astmesse võtta tavalise astmemärgi abil. B 7 BB B 8 8 7 8 8 9. Vektorkorrutis. Vektori peava olema atu ruumis ehk siis kolmeelemeilise. Tulemuseks o vektor. 8. Summa vektori liikmetest. Töötab aiult vektorite jaoks. Maatriksite jaoks tuleb kasutaa veergue eralajat koos iekseeritu summa märgiga. C A j j. Maatriksite liitmie. Liita ja lahutaa saab omavahel sama järku maatriksei. Kui liita või lahutaa reaalarv, siis liietakse (lahutatakse) see erali kõikiest elemetiest. A + A 6 A 8
. Skalaariga korrutamie ja jagamie. Mäletavasti maatriksit skalaariga korrutaes, korrutatakse erali kõiki maatriksi liikmei sama arvuga. B B... Vastamaatriks. Piisab, kui korrutaa maatriksit miius ühega või kirjutaa ette miius märk. A 6 Tuletis- ja itegraaloperaatori Käesolevas peatükis tutvume lähemalt matemaatilise aalüüsi paletiga Calculus. Teistest rohkem tähelepau pöörame itegreerimisel ette tulevatele probleemiele. Tuletise si + cos + Tuletis aalüütiliselt. Argumeil ei tohi olla arvulist väärtust, vastasel korral me aalüütilist kuju ei äe. z : z siz + z Võrusmärgi kasutamisel leitakse tuletis puktis, atu juhul tuletis puktis z. Muutujal z peab eelevalt olema väärtus. z siz + z Sümbolarvutuse vahe väljastab arvulise väärtuse, kua muutujal z o väärtus olemas. Soovitu tulemuse saamiseks võime teha äiteks ii (kasutame käsku "eplicit" ja kasutame ooloperaatorit kaks kora): z siz + z eplicit z siz + z cosz + z f : si + Üks leviu võte tuletise lihtsamaks arvutamiseks o efieeria tuletisfuktsioo. Siijuures o kasulik lisaa ka sümbolarvutuse oolekee tuletis : (viimase puuumisel tekib probleem vektorist f cos + argumei jaoks). tuletis 7.6 tuletis( zz) coszz + zz tuletis..8 6.
Kõrgemat järku tuletise si + si 6 Kõrgemat järku tuletise korral piisab tuletise järk kirjutaa aiult kas lugejasse või imetajasse, Mathca lisab ise automaatselt järgu tühjale väljale. 677 Aalüütilie vahe leiab tõrgeteta ka kõrgemai tuletisi, kusjuures allpool olevat järgu probleemi ei ole. Kui tahame leia kõrgemat järku tuletist migis puktis, siis umbrilie vahe lubab kasutaa järku vahemikus,,..., ja mitte rohkem. Sel juhul o üheks võimaluseks kirjutaa tuletisoperaatorei mitu tükki järjest. z : z z z z 6.67 6 Kuigi tuleb ütela, et liiga kõrget järku tuletiste korral o sellie meeto väga kohmakas ja ka väga aeglase arvutusprotsessiga ig pealegi veel ebatäpe (seega, ei ole soovitav kasutaa, Mathcai mauaal ütleb, et iga järk kaotab vastuses täpsuses umbes ühe komakoha). Summa, korrutise i : i 98 i 99 j j Tavaliste summae ieksi ei ole mõjutatu sellest, kas ee o efieeritu mujal töölehel või mitte. Summaes ja korrutistes kasutatakse ieksei lokaalsete muutujatea. i ii :,... ii 7. ( ii ) ii ii Vahemikmuutujaga summa ja korrutise puhul o siiski vajalik ee efieeria vastav vahemikmuutuja. i i ( i + ) + Lihtsamal juhul suuab Mathca ka aalüütiliselt leia osasumma avalise.
i i + i 6 i 7 Piirväärtuse lim si Piirväärtuste korral tuleb kasutaa sümbolarvutust, s.t. võrusmärgi asemel tuleb kasutaa oolekest. lim + Parempoole piirväärtus. lim lim uefie Vasakpoole piirväärtus. Nagu äha, erieva avalise / jaoks parem- ja vasakpoolse piirväärtuse. Seega ei tohiks puktis mõlemapoolset piirväärtust eksisteeria. Kotrollime: Mathca aab õige vastuse. Üljuhul o Mathca piirväärtuste leimisel üsa tubli. Itegraali Määramata itegraali korral saab tulemuse leimiseks kasutaa aiult ooloperaatorit. Määratu itegraali korral peava raja olema reaalse, itegra ise võib olla komplekse. Näie (vt []). Juure märgi alt välja toomie, absoluutväärtuse, sigum. sig sig + C + C Matemaatilise aalüüsi kursusest tutu omause : []. Märgime, et vai ehk sig()*. Ka teistes matemaatikaprogrammies võite äha sarast tulemust, kus vastusse jäetakse suurus sisse ig ruutjuurt ei taaata ära. Seasi ogi õige, programm teab sel juhul easpii arvestaa muutuja märki. Mathca leiab sii ka õige vastuse. Allikas [] teatab sii mõigai probleeme Mathcai vaemate versiooiega. 6
Märgime, et kui me ei arvestaks muutuja märki, siis saaksime vale vastuse. Avalis o samavääre avalisega. Näie, (vt. [7]). Aritmeetiliste operaatorite juures vaatasime probleemset juurimise ja asteamise juhtu. Aaloogilise äite sobiva ka itegreerimise illustreerimiseks. Peab ise olema tähelepaeliku ja ei tohi alati kõike uskua, mis ekraailt vastu vaatab..7 Nii umbrilie itegreerimie kui sümbolarvutuse vahe aava korrektse vastuse. Samas o kummalie, et määramata itegraali ei suueta leia..7 +.6i 8 + i 8 Kirjutame juurimise astmea / ja tulemuseks saame kompleksarvu. Sellise kummalise vastuse aava ii umbrilie arvutamise kui ka sümbolarvutuse vahe. Määramata itegraal äeb välja sellie ja me juba varem ägime, et asteamie sõltus astme kirja paeku viisist (siit ka all oleva komplekse lahei).. +.i + i Vaatame aaloogilist itegraali, astmega /. Paeme selle all pool erievalt kirja. Määramata itegraal, paeme tähele et juuravalist o seekor suuetu leia. 7
.. Kirjutaes astme / teisiti, saame õige vastuse. Kokkuvõtteks Tuletise leimisel tasub meeles piaa, et umbrilie algoritm (eriti kõrget järku tuletiste korral) võib olla üsagi ebatäpe. Sii tasuks eelistaa sümbolarvutuse vaheei (tõsi, massiliste arvutuste korral osutuva ee palju aeglasemateks kui umbrilise vahei). Itegreerimisel peab meeles piama, et arvuti kasutamisel eksisteerib väga palju ootamatui olukori, mil programm ei saa ilma juheamiseta hakkama. Sellistel juhtuel tuleks tulemust kotrollia ii aalüütilise kui umbrilise arvutuse vaheiga ja mis kõige tähtsam: aalüüsia atu olukora ise (kasvõi siis paberi ja pliiatsiga). Väga tuliku kirjapili suhtes o astmei ja juuri sisalava fuktsiooi ig loomulikult õuava erilist hoolt katkeva fuktsiooi ja päratu itegraali. Itegreerimisel peab veel meeles piama, et arvutuse võiva olla väga palju aega ja arvutiressurssi õuva. Seega tuleb leia kompromiss arvutustäpsuse ja aja faktori vahel. Sea eam o ajamahukas korsete itegraalie arvutamie. Kasutatu kirjaus [] H. Beker, A. Ru. Practical use of Mathca : solvig mathematical problems with a computer algebra system. Spriger, 999. [] P. Bogacki, G. Melrose, P. R. Wohl. Laboratory Maual for Calculus. Computer Activities with Mathca a Maple V, 99. http://www.math.ou.eu/~bogacki/labma/ [] L. Looe, V. Soomer. Matemaatilise aalüüsi algkursus. Tartu Ülikooli Kirjastus 9. [] D. May. Case Stuy: Aaptive Itegratio. Aache Uiversity (RWTH). http://www.rz.rwth-aache.e/global/show_ocumet.asp?iaaaaaaaaaabszwk [] K. Orav-Puura. Numbrilisest itegreerimisest paketis Mathca 8 Professioal. Tartu Ülikool, bakalaureusetöö, Tartu. [6] "Mathca. User's Guie." USA, 999. [7] De Tig Wu. "CAS a Teachig of Calculus". ICME- Copehage, July. 8