Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee
Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk φ Nurkkiirus ω = dφ dt Nurkkiirendus Ԧε = dω dt ω φ Sagedus ja periood f = 1 τ Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 2
Jõumoment Üritame avada ust, lükates/tõmmates ust erinevatest kohtadest. Kui palju jõudu on meil vaja selleks? 0,7r Jõu õlg on jõu mõjumissihi kaugus pöörlemisteljest. (Ei ole jõu rakenduspunkti kaugus pöörlemisteljest.) Ԧr ԦF 2 Ԧr ԦF 2 1,5 ԦF Jõumoment on jõu õla ja jõu korrutis. M = Ԧr ԦF Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 3
Punktmassi inertsmoment Mööda ring käiva punktmassi massiga m nurkkiiruse muutmiseks on vaja tangentsiaalkiirendust. Selleks on vaja puutuja suunalist jõudukomponenti ԦF τ. Jõukomponendi ԦF τ jõumoment avaldub järgmiselt: Ԧε M = Ԧr ԦF τ ω Ԧa n ԦF kesktõmbe Ԧa τ M = Ԧr m Ԧa τ Ԧr Ԧv M = m Ԧr Ԧε Ԧr ( Ԧa τ = Ԧε Ԧr) M = m r 2 m Ԧε Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 4 ԦF τ
M = m r 2 Ԧε Punktmassi inertsmoment Suurust m r 2 = I nimetatakse punktmassi inertsmomendiks ja see on süsteemi inertsi iseloomustav suurus pöördliikumisel. (Massi analoog pöördliikumisel.) Pöördliikumise põhiseadus ehk Newtoni II seadus pöördliikumise jaoks on ω Ԧε Ԧa n ԦF kesktõmbe Ԧa τ M = I Ԧε. Ԧr m Ԧv ԦF τ Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 5
Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk φ Nurkkiirus ω = dφ dt Nurkkiirendus Ԧε = dω dt ω φ Mass m Jõud ԦF = m Ԧa Sagedus ja periood f = 1 τ Inertsmoment I Jõumoment M = I Ԧε Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 6
Ülesanne Kuidas leida reaalse keha inertsmomenti? Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 7
Keha inertsmoment Keha inertsmomendi leidmiseks tuleb kokku summeerida kõigi keha punktide inertsmomendid. I = r 2 dm, (integreeritakse üle kogu keha) kus r on punkti kaugus pöörlemisteljest ja dm on punkti mass. Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 8
Ülesanne Kas ühel kehal on üks inertsmomendi väärtus või mitu? Miks? Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 9
Rõnga inertsmoment Vaatame inertsmomenti sümmeetriatelje suhtes. Olgu rõnga raadius r ja mass m. Ühe väikese rõngatüki mass on dm. I rõngas = r 2 dm (intgreerida üle rõnga) I rõngas = r 2 dm I rõngas = r 2 m r Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 10 dm
Ketta inertsmoment Vaatame inertsmomenti sümmeetriatelje suhtes. Olgu ketta raadius R ja mass m. Jagame ketta rõngasteks. Ühe rõnga mass on dm, raadius r ja paksus dr. I ketas = di rõngas I ketas = r 2 dm (intgreerida üle ketta) dr dm r dm = ρ 2πr a dr, kus ρ on ketta tihedus ja a on ketta paksus joonisega risti olevas sihis. I ketas = 0 R r 2 ρ 2πr a dr R Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 11
Ketta inertsmoment I ketas = 0 R r 2 ρ 2πr a dr I ketas = ρ 2π a 0 R r 3 dr I ketas = ρ 2π a r4 ฬ 4 R 0 = r4 ρ π a ฬ 2 R 0 dm I ketas = ρ 2πR 2 a R2 2 0 I ketas = m R2 2 dr r Valemist on näha, et sama valem kehtib ka silindri korral, kuna silindri kõrgus taandus valemist välja. R Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 12
Steineri lause (paralleelsete telgede teoreem) I = I c + m a 2, kus I on keha inertsmoment etteantud telje suhtes, I c on keha inertsmoment telje suhtes, mis läbib masskeset ja on paralleelne etteantud teljega, m on keha mass, a on telgede vaheline kaugus. C a Pöörlemistelg Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 13
Iseseisev töö Iseseisvalt uuesti läbi vaadata loengus käsitletud teemad ja neist aru saada. Seejärel ära lahendada iseseisvaks lahendamiseks jäätud ülesanded. Õpik: D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti Füüsika Selts 2011 (Tallinn: Printon) 10.6-10.9, 11.4-11.6 Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 14
Iseseisev ülesanne 1 Rong sõidab käänakul, mille kõverusraadius on 400 m, kusjuures tangentsiaalkiirendus on 0,20 m/s 2. Leida rongi normaal ja kogukiirendus momendil, kui tema kiirus on 10 m/s. Vastus: 0,25 m/s 2, 0,32 m/s 2. Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 15
Iseseisev ülesanne 2 320 g raskune kera on riputatud 23 cm pikkuse niidi otsa ja saab vabalt kõikuda. Leida kera inertsmoment kinnituspunkti läbiva telje suhtes, kui niidi kaal on tühine võrreldes kera kaaluga ja kera läbimõõt on 43 mm. Vastus: 2,0 10-2 kg m 2. Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 16
Iseseisev ülesanne 3 Paigalseisva pöörlemisteljega ketta servale on rakendatud puutujasuunaline jõud 98 N. Ketta raadius on 0,50 m, mass 50 kg. Leida nurkkiirendus ja aeg, mille vältel ketta sagedus muutub 100 p/s. Vastus: 7,8 rad/s 2, 80 s. Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 17
Iseseisev ülesanne 4 2,4 kg raskuse ja 0,35 m pikkuse vankri liikuma panemiseks nii, et 5,0 sekundi pärast on vankri kiirus 1,0 m/s, on vaja mootoril rakendada vankri rattale jõumomenti 180 mn m. Leida takistava jõu suurus, kui ratta läbimõõt on 25 cm. Vastus: 0,96 N. Raavo Josepson Sissejuhatus mehhatroonikasse 18