. Peaükk. Sissejuhaus füüsikalisse mõlemisse.. Füüsika aine See, millega füüsikud egelevad hilja õhul. Range definisiooni on raske anda. Võib küll üles lugeda, millise küsimusega füüsika egeleb ja millisega mie (a la mis on õnn?). Me ei ea looduses paljusid asju. Me näieks ei ea kas ja kuidas universum ekkis ja kas a kunagi ka osa saab ja kui saab, siis kuidas saab. Ja kui ekkis siis miks a ekkis. Nende küsimusega egeleb füüsika haru nimega kosmoloogia. Me ei ea ka miks ja kuidas äpsel ekkis elu. Mõned eadlased räägivad elu kosmilis päriolus, mõned aga, e elu on unikaalne ainul maaga seoud nähus. Nende küsimusega egeleb füüsikaga lähedal seoud kosmosebioloogia. Me ei ea isegi seda, kas meile seda kõike vaja eada on. Kas meie elu muuub selles paremaks, e me rohkem eame või mie? Kas ürginimene, kes ei lugenud ajalehe ja ei vaadanud eleviisori ning seeõu kahlemaa oli vähem informeeriud selles, mis oimus kaugemal ruumis ja ajas, kui oli vaheul ema meelega unneaav, oli vähem õnnelik kui änane keskkoolilõpeaja? Ei ea. Tavalisel me neid küsimusi endale ei esia. Me lihsal oleme sellised uudishimulikud olevused, kes ei lepi sellega mida me äna eame ja püüdleme kogu aeg uue poole. Küllap on ka see üks looduse seadusi, mille olemus me veel häsi ei mõisa. Ja kuigi üks füüsika olulisemaid ülesandeid on ümbriseva maailma üldisaud unneamine, kindlaks egemine, millise seaduse järgi a oimib, need viimased küsimused kohe kindlasi ei kuulu füüsika valda, vähemasi minu eada mie. Niisiis, füüsika nagu igasuguse eadusharu olulisemaid ülesandeid on ümbriseva maailma üldisaud unneamine, kindlaks egemine, millise seaduse järgi a oimib. Milleks meile need üldisused ja seadused? Aga sellepäras, e vasasel korral me ei suudaks igapäevases infoulvas enam milleski aru saada. Meie aju oleks igasuguses fakides küllasunud nagu Guinessi rekordie raama, kuid me ei suudaks neid fake omavahel seosada, ega nendes vajalikke järeldusi eha. Ei näeks puude aga mesa. Näieks juba Galilei kasees ja Newoni üldisuses miu sajandi agasi me eame, e kõik kehad Maa raskusväljas maapinna lähedal liiguvad kiirendusega g. Kui me seda ei eaks, siis iga uue aine puhul, mida keemikud süneesivad peaksime Galileo kaseid kordama... Teaduslik meeod: Vaalus ja kase (eksperimen), analüüs ja hüpoees, mudel ja eooria ning ennusus ja konroll eaduses Kuidas neid seadusi ja üldisusi siis kindlaks ehakse? Selleks on ajapikku välja kujunenud eaud süseem, mis sai alguse Ticho Brahes, Joann Kepleris, Galileo Galileis ja Isaac Newonis (kõik änapäeva mõises (asro)füüsikud) ja mida nimeaakse eaduslikuks meeodiks. Süseemi elemenideks on Vaalus ja kase (eksperimen), analüüs ja hüpoees, mudel ja eooria ning ennusus ja konroll. Vaalus ja kase (eksperimen). Me saame oma eadmised looduses vaaluse ja kasee (eksperimenide) ulemusena. Vaalused, näieks asronoomilised, ilmavaalus või ökoloogilised, on looduses iseeneses oimuvae prosesside passiivne regisreerimine, jälgimine. Eksperimen on akiivne vahelesegamine looduslikesse prosessidesse, ahlikul muues nende oimumise ingimusi. Eksperimen ja vaalus annab meile eadmise, mis
oimub eaud objekidega anud ingimuses. Näieks saame eada, e eaud äh kiirgab mingi inensiivsusega ja mingi spekraaljaousega valgus, või e bakerirakk kasvab mingi kiirusega. Need on fakid, mis iseloomusavad seda ja ainul seda konkreese siuasiooni milles kase või vaalus ehi. Kui aga on arvis eada, millal see äh (näi. meie Päike) plahvaab supernoovana või kui kiiresi bakerid poolduvad, siis nendes kasees vasus ei saa. Kuigi bakerie paljunemise koha saaks ju eha ka vasava kase, siis Päikese plahvause puhul oleks seda hilja vaadelda. Kui me oleme õepooles mõisnud ähe evolusiooni ja raku elusükli, siis peaksime olema võimelised eoreeilisel ee ennusama nii pooldumis kui plahvaus. Ennusada saab eooria baasil, eksrapoleerides seda kas ainul loogilise mudeli või siis ka maemaailise mudeli abil. Teooria ongi egelikul loodusliku prosessi peegeldus, loodusliku prosessi mudel meie mõlemises. Teooria on unneuse, mõismise äiuslikem eapp. Vaalus ja kase annavad eadmise, mudel ja eooria annavad mõismise. Vaaluse- ja kaseulemuse võrreldavuse huvide uleb kokku leppida mõõmisühikues. Mõõmine on egelikul ühikuga võrdlemine. Vanasi olid lokaalsed ühikud, kuid eadmise levides oli arvis ühlusada. Analüüs ja hüpoees. Kuidas aga ekib eooria meie käsuuses olevae kaseja vaalusulemuse kaudu? Vaalused ja eksperimendid esiavad ulemusena eaud fake, mis on õesed nendes olukordades, milles need kased ehi. Peaks egema lõpmau palju kaseid, e saada vasused kõigi võimalike olukordade koha, ja ikka jääks veel lõpmau palju olukordi, mille koha kase ehud ei ole. Näieks küsimusele kui kaugele jõuab anud kiirusega liikuv auo vasaes uleks niisuguse empiirilise (kaselise) lähenemise korral mõõa auo asukoh igal ajahekel, ses ilma adekvaase eooriaa/mudelia ei või ju kuidagi eada, kus a saab asuma järgmise sekundi, kümnendiku, sajandiku jne päras. Kui meil on aga eooria, e auo liigub ühlasel ja sirgjoonelisel kiirusega 5 km/h, siis saame ee ennusada, kus a saab asuma näieks.6 sekundi päras. Kuidas ekkis aga ühlase ja sirgjoonelise liikumise eoreeiline eekujuus, kas selleks ehi lõpmau palju mõõmisi iga ajaheke jaoks? Ei, oli vaja mõõa keha asukoh ja aeg ainul kolmes punkis ja avasada seaduspärasus, e võrdsee eepikkuse läbimiseks kulus võrdne aeg. Ühlase sirgjoonelise liikumise üldis seaduspärasus aga mõõmisulemused meile ee ei üle, see uleb endal avasada ulemusi analüüsides, hüpoeese püsiades ning neid uues kasees konrollides. Kase ja eksimuse meeod aiab erad sõkaldes eraldada. Mudeli ja eooria jaoks on seega vajalik andmee loogiline analüüs ja süsemaiseerimine. Näieks võiks olla Mendelejevi keemilise elemenide abel või Linne liikide süsemaiseerimine. Selles mões on ka Guinessi rekordie raamaus eaduse elemene: fakid on eluvaldkondade järgi juba süsemaiseeriud. Teooria on niisugune loogiline (või maemaailine) nähuse mudel/üldisus, mis on kooskõlas kõigi olemasolevae kaseulemusega. Tuleb rõhuada eksperimenaalse ja eoreeilise eadusliku unneuse dialekika: ühel pool baseerub eooria eksperimenide ulemusel, eisel pool ei ole olemas reegli ega seaduspära, mille järgi eksperimenide ulemuse põhjal luua eooria. Teooria võib luua ka siis, kui on olemas kas või üksainus kase, aga avalisel ei ole see eooria siis võimeline rahuldama eise kase ulemus (ei lange sellega kokku). Teooria, mis rahuldab paljude eksperimenide ulemusi, iseeneses ei ulene aga nendes eksperimenides, vaid on omaee sõlumau loogiline mudel, mis sünnib mõeöö ulemusena. Tavalisel arvaakse, e eadlasel on mingi eriline inuisioon, mis aiab neil leida õige eooria. Näieks, kuidas küll Mendelejev aipas, e elemendid grupeeruvad perioodilisel kaheksa kaupa? Darwin nägi ainul liikide lõpuu mimekesisus, kuid kuidas a seleas seda loodusliku valiku ulemusena? Tegelikul ei ole olemas mingi
erilis inuisiooni, vaid visa pingeline mõeöö. Muidugi, nii nagu malemängugi puhul head mängijad ei vaagi kaugelki kõiki võimalikke käike vaid valivad kiiresi kõige perspekiivikamad, sellega kompuuermaleajas erinedes, niisamui head eadlased ei vaagi kaugelki mie kõiki võimalikke eooria variane vaid valivad kiiresi perspekiivikamad. Selles ehk väljendubki inuisioon, mis egelikul on kogemus ja laiad eadmised. Konroll ja ennusus. Mida rohkem on eksperimene, mida anud eooria rahuldab, seda õenäosem on, e a rahuldab ka uusi, veel egemaa eksperimene, seega, - on võimeline ulemusi õigesi ee ennusama. Tuleb läbi mõelda ja loogilisel käiviada palju erinevaid mudeleid, milles suurem osa ei rahulda mõnda eksperimeni ja uleb seega kõrvale heia, kuni leiakse üks või isegi miu mudeli, mis rahuldavad kõiki eadaolevaid eksperimene. Näide graviasiooniseaduse seleamise koha hüpoeeilise nähamaue osakese rõhuga (Feynman, 8), mis on väär, ses osakesed akisaksid ka aevakeha liikumis orbiidil, mida pole äheldaud. Teooriae esimine ei lõpe kunagi. Kui leidub kasvõi üks õsikindel fak, mis ei ole eooriaga kooskõlas on eooria audis. Muide, mõne eooria loomise puhul on juhunud, e üks või paar eksperimeni kangekaelsel ei sobi sellesse, sel ajal kui ülejäänud kõik sobivad. Siis võib õsa ka küsimuse nende eksperimenide korreksuse koha. Sii uleneb veel üks dialekiline seos eksperimendi ja eooria vahel: kase konrollib küll eooria, kuid hea eooria võib konrollida ka eksperimendi korreksus. Näide Uraani liikumise iseärasuse seleamises Nepuni mõjuga, mille ulemusel viimane ka avasai (Feynman, ). Kõrgee energiae füüsika eksperimen järgib põhilisel eooria juhnööre. Väga üldised seaduspärasused, mis on kaua aega vasu pidanud kõikidele esidele on õseud seaduse ausse: energia jäävuse seadus j. jäävusseadused, Newoni seadused jne. Teooriae rakenduspiirid. Reeglina on eooria kasee/vaaluse üldisus. Igasugune üldisus aga ka paraamaul lihsusab. Seepäras õuseub anud kaselise maerjali baasil ehud eooriae rakenduspiiride küsimus. Näide: Ühlane sirgjooneline liikumine. Kolm venda käekellaga ja Uskumau Toomas sopperiga. Mõõmise äpsuse olulisus. Suur osa füüsika progressis on seoud mõõmise äpsuse suurendamisega. Tähede kauguse mõõmine mikroskoobiga (Shwarz, 9). Kvanmehaanika näias, e mõõmisäpsusel on piirid. Teadmise ja arusaamise kihiline srukuur. Kaine mõisus ja eaduslik eadmine. Einsein: Kaine mõisus on need eelarvamused, mis kujunevad välja enne 8. eluaasa. (i) Newoni graviasiooniseadus. Kuni. saj. alguseni kõikidele konrollidele vasu pidanud, kuid mikromaailmas äiesi kõlbmau. (ii) Kiiruse liimine +=6 km/s, aga km/s+ km/s= km/s.
vi Relaivislik kiiruse liimise valem + c=c. v + v v = vv + c, kus muuhulgas järgneb, e (iii) Elekronide difraksioon: +=-8. Elekron on osake. Iga mõõmine annab äiesi konkreese asukoha. Aga leiuõenäosus laineab. See on klassikalise füüsika paradigma muuus. Heisenbergi relasioon. Igale küsimusele ei saa äpse ja korduva vasus nagu klassikalises füüsikas. (iv) Gödeli ebaäielikkuse eoreem (9) maemaaika/eooria ebaäielikkuse koha. Misahes formaalses süseemis jääb alai probleeme, mida ei saa süseemi aksioomide põhjal ei õesada ega ümber lükaa. Gödeli eoreem, Heisenbergi määramause prinsiip ja egelik võimaus jälgida isegi deerminisliku süseemi arengu, kui a muuub kaooiliseks, moodusavad eaduslike eadmise põhipiirangue kogumi. See programm Füüsika on suur ja lai hõlmaes nii mikro- kui makrokosmose. Meie käsuuses olev aeg lubab käsileda ainul murdosa kogu füüsikas. Põhilisel me konsenreerume sellele, mida võiks nimeada aine ehiuseks. Pole ähis kas see aine on orgaanilis või anorgaanilis päriolu. Ikka a koosneb aaomies ja/või molekulides, mis eaud viisil inerakeerudes 4
moodusavad silmaga nähava ja käega kasuava avaaine. Käsileme nende ainee omadusi erinevaes agregaaolekues: gaasilises, vedelas ja ahkes. Ainel nagu eadmiselgi on kihiline srukuur. Molekulid koosnevad aaomies ja need omakorda elekronides ja uumades. Tuumad koosnevad nukleonides (elekrilisel neuraalsed neuronid ja posiiivsel laeud prooonid) ja need omakorda murdarvulise elekrilaenguga kvarkides. Kvargid eksiseerivad vaid nukleonide sees, mie vabal. Seega on kehiv väide, e väikseim vabal esinev elekrilaeng on elekroni laeng. Kvargid (mida on kokku 6) ja elekronid kuuluvad nn. alusosakese (fundamanal paricles) hulka (neid on kokku, koos müüoni, auoni ja neuriinoga). Alusosakesed eadaoleval sisesrukuuri ei oma. Edasi uvume jõududega, mis mõjuvad kehade vahel, hoiavad neid koos ja mõjusavad nende liikumisoleku. Füüsikas erisaakse nelja fundamenaalse vasasikmõju: ugev, elekromagneiline, nõrk ja graviasiooniline (ugevuse järjekorras, mis hõlmab rohkem kui 4 suurusjärku). Nendes vasasikmõjudes käsileme selles kursuses vaid eis ja neljanda, mis mõlemad on kaugmõjud erineval ülejäänues, mis haaravad vaid aaomiuumi. Joonis.. Kehasid ümbrisevad väljad, elekriväli ja graviasiooniväli, mida võib kujuada jõujoonena. Jõuväljad põhjusavad muuusi kehade liikumises, n. vasasikus õmme. Kuidas kaasaegne füüsika seleab kehadevahelis vasasikmõju? Kõigepeal uleb endale selgel aru anda, e kehad ei eksiseeri ühjuses. Neid ümbrisevad alai väljad. Keha unneme ära selles, e al on olemas mass, mis samaaegsel väljendub nii liikumise inersis kui ka keha ümbrisevas graviasiooniväljas. Kehal võib olla ka elekrilaeng, mis ekiab eda ümbriseva elekrivälja. Igasugus välja iseloomusab välja energia, äpsemini poensiaal, mis üldjuhul ruumis muuub. Vasasikmõju ekib, kui eine keha saub anud keha ümbrisevasse välja. Näieks Kuu Maa 5
graviasioonivälja või elekron proooni elekrivälja. Mõju on seda suurem, ehk kehale avalduv jõud on seda ugevam, mida kiiremini muuub välja energia anud ruumipunkis. Jõu mõjub suunas, mis viib energia vähenemisele. Näieks kivi kukub Maa poole (üleval alla) sellepäras, e ema poensiaalne energia väheneb selles suunas. Seega, kehade vasasikmõju avaldub jõuväljana ruumis, millel on nii suurus kui suund (egemis on vekorväljaga). Kehad mõjuavad ükseis vaid kaugel, jõuväljade kaudu. Graviasiooniline kaugmõju on silmaga nähav universumi ehiuses, elekromagneiline kaugmõju aga domineerib aaomie ja molekulide vahel, ka siis kui kehad silmnähaval kokku puuuvad. Kehade kokkupuude selle sõna oseses ähenduses looduses ei oimu. Maksimaalses läheduses aaomie välised elekronkihid sauvad lähesikku ja negaiivsed laengud õukuvad ükseise jõuväljas, akisades kehade edasis lähenemis. Joonis.. Kehade maksimaalsel lähenemisel kokkupuude ei oimu, vaid pinnakihi aaomid õukuvad nende elekronkaee elekriväljade vasasmõju õu Veel üks oluline aspek. Kehad mie ainul ekiavad välju, vaid ka ekivad väljades. Üheks näieks on nn. suur pauk 4-5 miljardi aasa agasi. Väli ja aine on maeeria eksiseerimise kaks võrdväärse vormi. Välja kvanidel näieks fooonil on samui mass, mida kirjeldab ema energia. Kaugee ähede valgus kaldub Päikeses möödudes Päikese poole nagu komeeki. Selles väljendub massi ja energia ekvivalensus, mida esmakordsel näias Einsein. Eelöeldu on kvanväljaeooria aine, mida me selles kursuses küll ei käsile, kuid seda on hea eada. Tasuks võib-olla samui eada, e kui elekromagneilise välja kvandid ehk fooonid vahendavad elekromagneilis vasasikmõju, siis ugeva mõju vahendavad glüoonid, ja nõrka vasasikmõju nn. vahebosonid. Sama väljaeoreeilise idealoogia kohasel peaks graviasioonilis vasasikmõju vahendama gravionid, kuid neid pole veel kaselisel avasaud. Kogu looduse srukuur alaes aaomies ja lõpeades universumiga, kaasa arvaud eluslooduse srukuur, saab palju mõiseavamaks kui unneme füüsikaseadusi, mis määravad liikuvae kehade käiumise ükseise jõuväljades. Suhelisel väike arv põhilisi füüsikaseadusi määrab elekronide paiguuse aaomis, aaomie paiguuse molekulis, molekulide paiguuse kehas. Selge, e srukuuri keerukamaks muuudes, elemenaarkehade arvu suurenedes, nende vasasikus mõju analüüsida ei ole lihne. Füüsika on võimeline äpsel kirjeldama ainul suhelisel lihsaid srukuure. Keerukamael juhudel uleb rakendada loogilise eksrapolasiooni meeodi, püüdes ee kujuada kuidas lihsaid srukuure valisevad seadused kombineeruvad keerukamaes srukuurides. See ongi mõlemine, mida ooan eil, kui e asue rakendama käesolevas kursuses omandau oma erialal. Füüsika mõismiseks ei ohi mie valemeid ega konspekilehedel asesevaid lauseid endale vaimusilma ee manada, vaid uleb kujuleda prosesse, kehasid ja nende liikumisi. Ei ole suur häda, kui e aaomi või molekuli kujulee eissugusena kui a egelikul on, suurem on häda kui e eda üldse ee ei kujua. Tõesi, suure hulga aaomie-molekulide liikumise eekujuamine võib olla raske, aga veel raskem oleks nende maemaailine kirjeldamine. Näieks kvanmehaanilisel on äpsel lahenduv vaid kahe keha vasasikmõju probleem. Kolme või rohkema keha puhul uleb juba 6
kasuada mimesuguseid lähendusvõeid, milles maemaaika ja loogiline eekujuus põimuvad. Niisiis, asjade mõismiseks uleb jus neidsamu asju modelleerida, ee kujuada, mie aga meelde uleada valemeid või lauseid, mis nende koha käivad. Selles väljendubki erinevus mõisee ean ja mõisan vahel. Teaakse fake. Tüüpiline näide on siin mälumängurie kiired vasused Kuldvillaku urniiril. Mnemourniiril aga anakse aega ja ilus on peal kuulaa, kuidas loogilise aruelu, mõlemise eel jõuakse õige vasuseni ka siis, kui seda mie ükski osavõja alguses ei ea. Vasus, mida ei eaa, mõeldakse välja. Õige vasuse, õige käiumise väljamõlemine igal elujuhumil ongi asjade mõismine. Füüsikas on heaks mõismise konrolliks ülesannee lahendamine. Ilma ülesandeid lahendamaa ei ole e seda füüsikakursus kindlasi mie mõisnud. Miks bioloogiline füüsika? Käesoleva kursuse üks kaugemaleulauvaid eesmärke on mõisa, missugused molekulides ja rakkudes oimuvad liikumised on aluseks eluprosessidele. Rakkudes on suurusjärk või rohkem molekuli. Suur molekulide arv põhjusab uusi nähusi, mis üksikue molekulide asemel ei esine. Seepäras enne kui jõuame bioenergeeikani, peame uvuma lihsae kehade, sh. aaomie ja molekulide füüsikalise omadusega ja õppima kirjeldama nende liikumis... Osad kokku Üriame lõpuks näieks analüüsida ühe lihsa kase. Ma usun, e ka kõige lihsama bioloogilis prosessi on selles kases uhandeid kordi keerulisem analüüsida. See kase aiab mõisa, mis suunas oimuvad loomulikud/iseeneslikud/sponaansed muuused keerulises süseemides, näieks keemilised reaksioonid..4. Kirjandus hp://planphys.u.ee/kursused/fyysika.hml H. Käämbre. Füüsika XII klassile: Aaom, molekul, krisall. Koolibri 998 A. I. Kiaigorodski. Sissejuhaus füüsikasse. Nauka 97. (vene k.) J. Orear. Fundamenal physics. John Wiley 967 (Tõlge vene k.: Mir 969) P.R. Bergehon. The physical basis of biochemisry: The foundaions of molecular biophysics. Springer 998 7
M. Mansfield & C. O Sullivan. Undersanding physics. John Wiley & Sons 998 I. Asimov. Life and energy. Avon Books 96 J. A. Campbell. Why do chemical reacions occur? Englewood Cliffs, NY 965 (õlge vene k., 967) P. W. Akins. The Second Law. Scienific American Books 984 (Tõlge vene k. 987) J. Lõhmus, R. Veskimäe. Universumi mikromaailm, Tallinn. M. Volkenshein. Teaduse riseedel. Nauka 97 (Tõlge eesi k.: Valgus 975) P. Bak. How Naure Works. Springer 996 R.P. Feynman e al. The Faynman lecures in Physics, v.-9. Addison-Wesley 96 (Tõlge vene k.: Mir 976) Physics Today Feb. 994 (Special Issue: Physics and biology) J.S. Richardson e al. Looking a proeins: represenaion, folding, packing, and design. Biophysical Journal 6 (99) 86-9 (koos demonsrasioonikeaga) Scienific American March 99 (Self-organized criicaliy) Scienific American Oc. 985 (Special Issue: Molecules of life) Teadus ja Tänapäev (Koosaja J. Kivi), Eesi Raama, 979 R.E. Blankenship. Molecular mechanisms of phoosynhesis. Blackwell Science R.K. Clayon. Phoosynhesis. Physical Mechanisms and Chemical paerns. Cambridge Universiy Press 98 (Tõlge vene k., 984)D. Eisenberg & D. Crohers. Physical Chemisry wih Applicaions o he Life Sciences. Benjamin/Cummings 979 H.J. Jensen. Self-Organized Criicaliy. Cambridge Universiy Press, 998 A. B. Rubin. Biofizika. Võshaja Shkola T.-, 987 Tinoco & Sauer. Physical Chemisry: Principles and Applicaions in Biological Sciences. Prenice-Hall 985M.V. Volkenshein. Biofizika. Nauka 98Canor &Schimmel. Biophysical Chemisry. Freeman Publicaion 98I.D. Campbell & R.A. Dwek. Biological Specroscopy. Benjamin/Cummings 987 A. S. Davõdov. Biologija i Kvanovaja Mehanika. Haykovo Dumka 979H. Haken. Synergeics. Springer 978 (Tõlge vene k. 98) Nossal & Lecar Molecular and Cell Biophysics. Addison-Wesley 99 8
. Peaükk. Sissejuhaus maemaailisse mõlemisse.. Maemaailine ja loogiline eooria Teooria on maailmapil ehk maailma mudel, mis käiviub meie mõlemises. Mõlemise ugev külg on suhelisel keerukae süseemide kiire kvaliaiivne analüüs. Kuid mõõmise ulemuseks on arvulised väärused ja hinnaa uleb seega kvaniaiivseid suurusi ja nende suheid. Tuleame meelde, e mõõmine on mingi sandardiga/ühikuga võrdlemine. Siin jääb mõlemine üsna varsi jänni ja kusub appi maemaaika. Maemaailised valemid ei ole midagi muud kui lühidal kirjapandud reeglid numbrilise suurusega opereerimiseks, seega on maemaaika abivahend mudeli (eooria) kvaniaiivseks analüüsiks. Maemaaika kasuamise eelis seisneb selles, e ühe ja sellesama valemiga võib kirjeldada väga erinevaid nähusi, mis on oma käiumisel sarnased, kuigi sisul äiesi erinevad. Seega on vajalike maemaailise valemie arv unduval väiksem kui analüüsiavae nähuse või prosesside arv. Teades nähuse või prosessi funksionaalse sõluvus võime siis puhal maemaailise analüüsi abil ee ennusada prosessi kulgu ilma sellele prosessi konkreeseele iseärasusele ähelepanu pööramaa. Aga see on jus see, mida me ühel heal eoorial ooame: võimalus ee ennusada süseemi käiumis ingimuses mida pole veel kaselisel konrolliud või mida mingiel põhjusel polegi võimalik konrollida. Viimasel juhul peab eooria muidugi väga usaldusväärne olema. Järgnevas vaalemegi peamisi maemaailise avaldise üüpe, mis kursuses käsileavae füüsikalise nähuse ja prosesside analüüsil ee võivad ulla... Funksioonid.5.5.5.5 y= +.5 y =.5 4 5 Joonis.. Lineaarfunksioon ja proporsionaalne sõluvus. Lineaarfunksiooni iseloomusavad kaks parameeri: õus/langus (mis on konsan) ja lõikepunk eljega a. Funksioon on maemaailine seos mime suuruse vahel, mille järgi saab arvuada undmau suuruse (nimeaakse ka funksiooniks, y) vääruse kui argumenide i väärused on eada: y = f(,... n ), kus f ähisab mingi maemaailis arvuusreegli (eheid ja nende kombinasioone). Lihsaim on ühe muuuja funksioon y = f( ). Andmee esiamise võimalusi: abel, graafik (ülevaalik), valem (sobiv maemaailiseks manipulasioonideks) Asmefunksioon: n on asmenäiaja) n y = a+ b (kus -asme funksioon on konsan ses suvaline arv asmel =. Levinuim asmefunksioon on lineaarne (sirge) ehk esimese asme 9
sõluvus: y = a+ b, kus a on mingi algseis milles prosess algab ja b ähisab funksiooni õusu ehk y kasvu suhelis kiirus võrreldes kasvuga: y y a = = b= cons Lineaarfunksiooni erijuh on proporsionaalne sõluvus, kus a = ja mõlemad, nii kui y alusavad muuumis nullis. Lineaarse/proporsionaalse sõluvuse näieks olgu sellised oma füüsikalisel sisul erinevad nähused/prosessid nagu läbikäidud ee sõluvus ajas vooluugevuse sõluvus pinges I U R π r s = s + v, = (Ohmi seadus, kas unnee ära?), ringjoone pikkuse sõluvus raadiuses: L=, veevoolu kiiruse sõluvus rõhkude vahes, difusioonivoo kiiruse sõluvus konsenrasioonide vahes jne. 4 8 6 4 y =.5 4 5 Joonis. Ruuparabool lähub nullis horisonaalsel (nullõusuga) ja jäkab lineaarsel kiireneva õusuga. 7 6 5 4 4 5 Joonis.. Kuup-parabool lähub nullis horisonaalsel ja jäkab kiireneval suureneva algõusuga (ruusõluvuses). Teise asme funksioon on ruusõluvus, mis võib sisaldada osana ka lineaarsõluvus, kuid lihsuse mões jäame selle praegu välja: y = b Näieks pindala sõluvus lineaarmõõdus. Pange ähele, e kõik pindala valemid sisaldavad argumendi (lineaarmõõdu) ruuu. Ruudu pindala s = a kus a on ruudu külje pikkus. Ringi pindala s = πr kus r on raadius. Kera pindala s = 4πr. Ruusõluvus on ka ühlasel kiireneva liikumise korral läbiud eepikkuse sõluvus ajas: a s = (a on siin kiirendus ja liikumis alusai paigalseisus). Ruusõluvus eemaldub nullis horisonaalsel (väärusel = on õus ) ja jäkab lineaarsel kiireneva õusuga y b =. Kolmanda asme funksiooni ehk kuupsõluvuse y = b näieks oleks ruumala sõluvus lineaarmõõdus. Kuubi ruumala V = a y = ; kera ruumala b kui funksiooni puuuja õusu anud argumendi väärusel. V 4 = π. Tõus kasvab argumendi kasvades proporsionaalsel argumendi ruuduga. Funksiooni õusu y r arvuaakse
Kuivõrd funksiooni õus sõlub argumendi vääruses, siis uleb õusu arvuada võimalikul väikese argumendi muuuse korral, piiril lõpmaa väikese muuuse korral: y dy lim d dy = y = = ' = y '( ) d d n y '( ) = a = na d n uleis. Tuleise leidmise proseduuri s.. funksiooni jagamis sirglõikudeks ja vasavae õusude leidmis nimeaakse funksiooni diferenseerimiseks. Iga sile s.. ilma murdekohadea funksioon on lühikeseks puuujasuunaliseks sirglõikudeks jagaav ja seega diferenseeriav. Mida rohkem on lõike, seda äpsemini on funksioon lähendaud. Kui eame funksiooni uleis, siis eame ka kui kiiresi funksiooni anud argumendi väärusel muuub. Funksiooni juurdekasv argumendi muuumisel d võrra avaldub kui dy nimeaakse funksiooni diferensiaaliks. Esimes järku asmefunksiooni õus on cons (ei muuu -ga), seega võime kirjuada, mis kehib iga y ja korral. y = y' = cons Asmefunksiooni diferenseerimise reegel Mime muuuja funksiooni korral nimeaakse funksiooni kiireima kasvamise suunda ja kiirus anud punkis iseloomusava vekori gradiendiks. Pöördvõrdeline sõluvus. Ka pöördvõrdeline sõluvus on asmefunksioon, kus asmenäiaja on -: a y = = a. U Näieks vooluugevuse sõluvus juhme akisuses I R s = v Ze mm E = k. Analoogiline on graviasioonienergia sõluvus kauguses E = k. e g r r sõluvus kiiruses =, liikumiseks kuluaud aja, elekroni poensiaalse energia sõluvus kauguses uumas Esimese asme pöördvõrdelis sõluvus nimeaakse ka hüperboolseks sõluvuseks. Sellele sõluvusele on iseloomulik, e ema õus on lõpmau suur väikesel argumenide väärusel ja läheneb asümpooilisel ( r ) -le suurel argumendi väärusel. Sellise keerulisel ja järsul muuuva funksiooni päras räägiaksegi näieks kosmoselendude puhul, e eaud lennu eapil (eaud kaugusel) saus kosmoselaev ühe või eise aevakeha mõjuvälja. Tegelikul ulaub graviasiooni mõju lõpmausse, kuid suurel kaugusel on välja muuumise kiirus väike. See ähendab jõud, mis laevale selle aevakeha pool avaldaakse on veel väike. Teaud lähenemiskaugusel hakkab poensiaalne energia kiiresi muuuma. Laevale mõjuv jõud nagu me eelmises loengus rääkisime on aga jus välja muuumise kiirusega proporsionaalne ja see jõud võib nüüd laeva liikumis ugeval mõjuada.
Bioloogias on ähsaim alguses (kui on väike) kiiresi ja hiljem järjes aeglasemal õusev kombineeriud hüperboolne sõluvus, mille abil kirjeldaakse näi. ensümaailise reaksioonide kiirus sõluval subsraadi konsenrasioonis v = a / ( b + ). See eemaldub nullis õusuga a/b, saavuab poole maksimaalvääruses siis kui = b ja küllasub kõrgusel a siis kui (läheneb lõpmausele). Pöördvõrdelise ruusõluvuse näieks on funksioon y a =. Sellis sõluvus omab näieks punkikujulise laengu või massi elekri- või graviasioonivälja ugevuse (jõu) sõluvus kauguses masside või laengue keskpunkides. Pöördvõrdelise sõluvuse ja pöördvõrdelise ruusõluvuse õusud on vaid ühes kohas (argumendi väärusel ) võrdsed. Väiksemael argumendi väärusel muuub pöördvõrdeline ruusõluvus kiiremini kui pöördvõrdeline sõluvus. Suuremael argumendi väärusel muuub see vahekord vasupidiseks. Väga ähis funksioon on eksponensiaalne sõluvus. Posiiivne eksponen y = y e a (e =.78 ) kirjeldab näi. bakerikoloonia kasvu ajas (alguses, aga hiljem see küllasub sarnasel ensümaailise reaksiooni kiiruse valemiga), kapiali suurenemis firmas (ka see võib küllasuda). Negaiivne eksponen y = y e a kirjeldab näi. radioakiivsel lagunevae uumade arvu, valguskvanide arvu vähenemis neelava keskkonda läbides, kondensaaori laeng ühjenemis läbi akisi, edukae üliõpilase arvu kahanemis õpiaja jooksul. 6 4 8 6 4.8.6.4. 4 5 4 5 Joonis.4. Posiiivse asendajaga eksponenfunksioon (A) algab väarusel y = ja kasvab kiireneval. Negaiivse asendajaga eksponen (B) lähub algvääruses ja langeb algõusuga, mis sihib eksponendiegurile (τ = selles näies) Eksponenesiaalsõluvuses a nimeaakse kiiruskonsandiks. Kui see on esiaud /τ pöördväärusena y = ye siis τ nimeaakse eksponendi eguriks (näi. radioakiivse lagunemise või kondensaaori ühjenemise puhul ajaegur). Mõnikord kasuaakse eksponenfunksiooni alusena e asemel ka. Eksponensiaalfunksiooni defineeriakse kui lõpmau jada e = + + +...!! Sii siis ka arvu e numbriline väärus: e = + + +... =.78...!! Eksponenfunksiooni uleis on võrdeline iseendaga dy d ± a = ± ay e =± ay. See ähendab, e mida suuremaks funksioon kasvab, seda kiiremini muuub ema väärus (seda suurem on ema juurdekasv). Mida rohkem on sul kapiali, seda suurem on su kasum. Ja vasupidi,
mida väiksemaks muuub funksiooni väärus, seda aeglasemal a kahaneb. Argumendi väärusel on nii kasvav kui ka kahanev eksponenfunksioon võrdsed, ses e =. Argumendi negaiivsel lõpmaul väärusel on kasvava eksponendi õus. Sul peab algkapiali olema, e eevõe mõisliku ajaga kasumi ooma panna. Kahaneval eksponendil on aga algne vääruse kahanemine kiire. Päris nullini ei kahane eksponen aga kunagi, see võaks lihsal lõpmaa kaua aega. Eksponenfunksiooni kõige iseloomulikumaks jooneks on, e nii kasvu kui ka kahanemise suheline kiirus ei muuu olles võrdne y ( ± ) y ( ) ± a = = Vaaame kahaneva eksponensiaalse prosessi, mida kirjeldab ajaegur τ : A= A e τ. Aja τ möödudes on prosessi kirjeldav ampliuud vähenenud e - =.68 korda ehk ~7% peale esialgses vääruses A. Kahe ajaeguri möödudes e - =.5 ehk.5% peale ja kolme ajaeguri möödudes e - =.5 ehk 5% peale. Näeme, e eksponensiaalsee prosesside prakilise lõppemiseni kulub vähemal τ kuni 5τ. Eksponendi pöördfunksioon on logarim. Funksiooni y f( ) = f ( y) y = e ln y = funksioon. Näieks kui, siis e e ± τ = pöördfunksioon on. Loomulik logarim arvus y on arv, millega uleb asendada e, e saada y: Kümnendlogarim arvus y on arv, millega uleb asendada, e saada y: Kui y = siis y = ja ln y =. lg y. lg ln y = ln =.. Asendades -i saame, e Kuidas näeb välja logarimfunksiooni graafik? Nii ln kui ka lg =, ses iga arv (sh. e ja ) asmel =. Ühes suuremae arvude logarimid on posiiivsed, ühes väiksemae arvude logarimid on negaiivsed. ln =... Diferensiaalvõrrandid Diferensiaalvõrrandid on maemaailised seosed mie suuruse enese vahel (nagu funksioonid), vaid suuruse muuuse vahel. Näieks võiks olla ühlasel liikumisel läbiud eepikkus. Liikumisel kiirusega v on igas lõpmau lühikeses ajavahemikus d läbiud eepikkus ds = vd. See valem kirjeldabki lihsaima ehk esimes järku diferensiaalvõrrandi. Diferensiaalvõrrandi järgu määrab osiava funksiooni uleise kõrgeim järk selles võrrandis. Konsanse kiiruse korral võime v inegraali ee uua: ds = v d ehk s = v + s, kus s ähisab liikumise alguspunki. See on näide esimes järku diferensiaalvõrrandi inegreerimises, mis annab lahendina osiava argumendi, s.o. aja, funksiooni (s). Tuleame meelde, e ds = vd = s'( ) d Seega on inegreerimine uleise kaudu funksiooni osimine. Osiakse sellis funksiooni, mille uleis oleks võrdne inegraalialuse avaldisega.
Vaaame veelkord eelpool juba nähud joonis esimese asme funksioonides ja kujuame ee, e horisonaalelg on aja-elg ja verikaalelg on kauguse-elg. Tuleise e. liikumise kiiruse vääruseks on siis.5 m/s, mida ähisab horisonaalne jäme joon..5.5.5.5 y= +.5 y =.5 4 5 s = vd = s'( ) d s = s'( ) d (i) Inegraal ähisab geomeerilisel inegraalialuse funksiooni pindala. (ii) Võrrandi ds = vd rahuldab iga sirge, mille õus on.5 m/s. Seega jääb ülaloodud inegraali äpne väärus kindlaks egemaa. Prakilises ülesannees määraakse inegreerimiskonsan mingis lisaeabes, nn. alg- või ääreingimuses. Näieks ülaoodud näies nõuame, e ajahekel = oleks funksiooni väärus s =. Inegreerimiskonsan s siis näiab, e liikumis alusai kohal ja s on siis lõpp-punki egelik asukoh ning see jälgib ülemise funksiooni graafiku. Veidi keerukam on juh kui inegreeriav suurus, anud juhul kiirus v, ei ole konsanne, vaid muuub koos ajaga, näieks kui on egemis ühlasel kiireneva liikumisega, siis a, kus a on kiirendus (algkiiruse loeme -ks). Sel juhul ds = ad = a d ja v = inegreerides saame allpool. s = a + s. Asmefunksioonide inegreerimise reeglies räägime Väga ihi on egu järgmise esimes järku diferensiaalvõrrandiga, mis põhineb eadmisel, e suuruse A muuumise kiirus (n. ajas, või ka ruumis, eepikkuse läbimisel) on võrdeline suuruse A enesega. Ülapool nägime, e see on omane eksponefunksiooni uleisele (seega osiav funksioon on eksponenfunksioon). Nii on see näi. vedeliku väljavoolamisel reservuaaris, elekrimahuvuse ühjenemisel, radioakiivse aine lagunemisel, valguskvanide liikumisel läbi neelava aine, igal juhul kui võime kirjuada ` da d = ka ; (.) Proporsionaalsusegur k ehk kiiruskonsan on siin konsan Võrrandi inegreerimiseks rakendame muuujae eraldamise reegli, viies A ühele poole ja eisele poole võrdusmärki ning inegreerides da A = kd (.) da A = kd. (.) Tulemuseks saame ln A= k + ln A ehk ln A A = k, (.4) 4
milles A= A e k (.5) Nagu panie ähele, inegreerimiskonsan kirjuai seekord logarimi kujul, lna, e muuuse alguspunk viia sisse suhena, mie vahena lõpp-punki suhes. Viimase valemi võib kirjuada ka kujul A= A e τ. (.6) kus τ =/k on nn. eksponendi egur (anud juhul ajaegur). Nagu eelpool juba märgiud, aja τ möödudes saavuab eksponensiaalsel kahanev prosess vääruse, mis moodusab ~7% esialgses vääruses (e - =.68). Kahe ajaeguri möödudes on suhe e - =.5 ja kolme möödudes e - =.5. Aja asemel võib esineda ka eepikkus, näieks kui valguskvandid läbivad neelava aine või juhuslikul aseaud neelavaid objeke (aimkae lehesik). Siis konsan k näiab valguse (või aine läbiva radioakiivse kiirguse) nõrgenemis eepikkuse ühiku koha. Kui diferensiaalvõrrand näiab, e suurus mie ei kahane, vaid kasvab iseendaga võrdelisel (valemi. parem pool on posiiivne), saame samasuguse eksponensiaalse lahendi, aga posiiivse asendajaga. Posiiivse eksponendiga kirjeldub näieks populasiooni (bakerie koloonia) kasv, aime kasv, majanduse (kapiali) kasv ec. algfaasis, siis kui süseemi iga elemen suureneb (paljuneb) veel ilma eise pool mõjuamaa. Prosess küllasub, kui koloonia muuub nii ihedaks, e naaber-rakud peavad oidu (valguse, jne.) peale konkureerima. Kui esimes järku diferensiaalvõrrand sidus omavahel argumendi ja funksiooni muuumise (sisaldades esimes järku uleisi), siis eis järku diferensiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funksiooni muuumise muuumised (eis järku uleisi). f f f ' '' = f( ) df = d d df d f = ( ) = d d d Teis järku diferensiaalvõrrandi laial kasuaavaks näieks on võnkumise võrrand, mis põhineb eadmisel, e vedru (või pendli) agasiõmbav jõud on võrdeline hälbega A asakaaluasendis. Kuna jõud põhjusab kiiruse muuumise ehk kiirenduse, siis väidab see võrrand, e võnkuva massi kiiruse muuumise kiirus (kiirendus) on võrdeline hälbega asakaaluseisus ja on suunaud asakaaluasendi poole (viimasele viiab miinusmärk elassuskoefisiendi k ees): da F = m = ka (.7) d Saab näidaa, e selle võrrandi lahendiks on perioodilisel võnkuv siinusfunksioon, mille võnkeperiood T avaldub järgmisel: k m 4π T 4π m k = ehk T = = π (.8) m k 5
Pendli puhul k/m=g/l ja mass aandub valemis välja T = π. Selleks, e määraa, missuguses siinusfunksiooni punkis asub võnkuv keha eaud ajahekel, on lisaks võrrandi lahendiks olevale siinusfunksioonile arvis eada veel juba kahe algingimus: algkoordinaai, milles liikumine algab ja liikumise algsuunda, kas asakaalupunki poole või selles eemale. l g.. Asmefunksioonide inegreerimise reeglid Inegraali on lihne leida kui inegreeriav on asmefunksioon: n n d = n + +, (.9) näieks kui v=a, siis a ad =. (.) Veel näieid: d= ; d = ; d = (.; ; ) Aga peame meeles e erandiks on inegraal, mis annaks ulemuseks null-asme d = ln. (.4) Eksponenfunksiooni inegraal avaldub samui väga lihsal e a a a e d= (.5).4. Määramaud ja määraud inegraalid Kui diferensiaalvõrrand on kirjuaud üldisel kujul, siis ema lahendina ei osia mie arvu (mingi funksiooni väärus), vaid funksiooni ennas maemaailisel kujul. Diferensiaalvõrrandi inegreerimise ulemusena leiaksegi niisugune funksioon, nn. määramau inegraal, näi eelmise lõigu reeglie järgi. Kui aheakse aga leida selle funksiooni mingeid arv-väärusi, siis peab eadma inegreerimiskonsani (algväärus, kus prosess lähus) ja kui kaua või kui kaugele see oimus. Nende nn. ääreingimuse arvesamine oimub määraud inegraali arvuamise eel. Näieks kui keha alusab liikumis nullkiiruses ja liigub ühlasel kiireneval kiirendusega a m s -, siis aja möödudes ema kiirus on v() =a (ähisus v() ähendab, e suurus v on aja funksioon). Selleks, e leida aga, kui kaugele keha jõudis sellesama aja jooksul, ei saa lihsal lõppkiirus ajaga korruada, vaid uleb arvesada, e igal ajahekel oli keha kiirus erinev. Võib eeldada, e iga väga lühikese ajavahemiku d jooksul läbiud eepikkus d = v() d. Keha asukoha muuuse leidmiseks pika ajavahemiku - jooksul uleb kasuada määraud inegraali: 6
= v( ) d ehk anud juhul = ad (.6) Seda arvuaakse nii, e leiakse määramau inegraali väärus ülemisel rajal ja lahuaakse selles määramau inegraali väärus alumisel rajal : Kui = siis a a a( ) = ad = = (.7) a = iga aja jaoks, ses =. Kursuse jooksul kasuame inegreerimis lisaks ebaühlase kiirusega liikumisel läbiava eepikkuse arvuamisele veel näieks aaomiuuma ümbriseva elekrivälja poensiaalse energia arvuamiseks ja gaasi paisumisel ehava öö arvuamiseks. Funksiooni miinimum ja maksimum. E leida funksiooni eksreemum (kas miinimum või maksimum) uleb leida need kohad funksioonil, kus funksiooni muuumise kiirus ehk uleis on. E leida kas eksreemum vasab funksiooni maksimumväärusele või miinimumile, uleb arvuada funksiooni eine uleis. Kui eine uleis on >, on egemis miinimumiga ja vasupidi. Tee joonis. Vekorid ja skalaarid. Skalaarid on suurused, mida iseloomusab eaud arvväärus (ja ühik). Skalaarid liiuvad algebralisel. Vekorid on suurused, mida iseloomusab ruumis sih, suund ja pikkus. Vekorid liiuvad geomeerilisel. Tee joonis rohkem kui kahe vekoriga. Füüsikas iseloomusab vekori veel ka ühik. Vekorid on kiirus, kiirendus, jõud, impulss, impulssmomen, jõumomen. Kuid energia nagu ka mass või emperauur on skalaarid (on äielikul määraud vasava arvväärusega ning kasuaud ühikuga). Vekor on suunaga lõik (nool) ruumis Vekorid on võrdsed, kui neil on sama sih, suund (+ või miinus anud sihis) ja pikkus Vekori koordinaadid on ema lõpp- ja algpunkide vahed Suvaline vekor on avaldaav koordinaaelgede suunalise ühikvekorie kui baasi kaudu. Tasapinnal asuva vekori jaoks on vaja kahe baasvekori, ruumis asuva jaoks kolme (, y, z). Erisaaakse vekorie skalaar- ja vekorkorruis. a b = abcosα Esimese ulemuseks on skalaar väärusega skalaarkorruis = Teisel vekor, mis on esimese kahega risuvas asapinnas. Selle vekori pikkus on a b = absinα. Risiolevae vekorie. Samasuunalise vekorie vekorkorruis=. 7