Suhe ja võrre. Võrdeline ja pöördvõrdeline jaotamine. Protsentarvutus

Peatükk 4 Suhe ja võrre. Võreline ja pöörvõreline jaotamine. Protsentarvutus 4.1 Suhe ja võrre...................................... 4 4.2 Võreline ja pöörvõreline jaotamine...................... 5 4. Protsentarvutus.................................... 7 4.4 Enesekontrollitest................................... 9 4.5 Ülesane........................................ 41 Kontrolltöö teema selles peatükis 1. Suhe ja võrre 2. Võreline jaotamine. Pöörvõreline jaotamine 4. Protsentülesane

PEATÜKK 4. SUHE JA VÕRRE. VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE JAOTAMINE. PROTSENTARVUTUS 4.1 Suhe ja võrre Suhte ja võre mõiste juhatava mei sisse teel protsentarvutuse juure. Definitsioon 4.1 Arvue a ja 0 suhteks nimetatakse nene arvue jagatist a : ehk a. Arvu a ja on suhte liikme. Suhe a : lua meil arve a ja omavahel võrrela. Kui a : > 1 siis näita vastav suhe mitu kora on arv a suurem arvust. Kui a : < 1 näita suhe kui suure osa moousta arv a arvust. Kui a : = 1 on arvu a ja omavahel võrse. Definitsioon 4.2 Võreks nimetatakse võrust a : = c : ehk a = c. Arve a c nimetatakse võre liikmeteks arve c võre siseliikmeteks ning arve a võre välisliikmeteks. Võrel on ria omausi millest olulisim on võre põhiomaus. Võre põhiomaus: võrus a = c ( 0 0) kehti parajasti siis kui a = c. Kui võres on selle kolm liiget teaa neljas aga tunmatu siis just võre põhiomaust kasutaes saame tunmatu liikme hõlpsasti leia. Kasutame sea võtet protsentülesannete lahenamise juures. Teisi võre omausi: 1. Igas võres a : = c : või vahetaa 1) siseliikme: a : c = : ; 2) välisliikme: : = c : a ; ) nii sise- kui välisliikme: : c = : a ; 4) sise- ja välisliikme omavahel: : a = : c. 2. Võrest a = c järeluva järgmise võre: a + = c + a a a + a = c c = c + c a a + a = c + c. = c. Võrretest a 1 1 = a 2 2 =... = a n n järeluva võre a 1 + a 2 +... + a n 1 + 2 +... + n = a 1 1 = a 2 2 =... = a n n ja m 1 a 1 + m 2 a 2 +... + m n a n m 1 1 + m 2 2 +... + m n n = a 1 1 = a 2 2 =... = a n n kus arvu m 1 m 2... m n ei ole korraga nulli. 4

4.4. Võreline ja pöörvõreline jaotamine 4.2 Võreline ja pöörvõreline jaotamine Kui on antu suhte a 1 : a 2 a 2 : a... a n 1 : a n võime selle kirjutaa lühemalt a 1 : a 2 : a :... : a n 1 : a n. Võreline jaotamine tähena teatu suuruse jaotamist osaeks mis on võrelise etteantu arvuega. Võrelist jaotamist teostame järgmise eeskirja alusel. Suuruse A jaotamisel võreliselt antu arvuega a 1 a 2... a n liiame nee arvu mille tulemusena saame osae ülarvu a = a 1 +a 2 +...+a n. Seejärel jagame suuruse A osae ülarvuga a mille tulemusena saame ühele osale vastava suuruse q = A a. Nüü korrutame selle jagatise q iga antu arvuga a 1 a 2... a n mispeale saamegi igale arvule vastava osa antu suurusest A. Näie 4.1 Jaotame arvu 299 osaeks mis suhtuksi nagu 1 : 2 : 4 : 5 : 11. Selleks leiame kõigepealt osae koguarvu: 1 + 2 + 4 + 5 + 11 = 2. Ühele osale vastava arvu saame kui jagame arvu 299 osae koguarvuga 2: 299 2 = 1. Igale antu arvule vastava osa suuruse avaluva: 1 1 = 1 2 1 = 26 4 1 = 52 5 1 = 65 11 1 = 14. Kontrollia saame üksikute osae suuruse kokku liites: 1 + 26 + 52 + 65 + 14 = 299. Näie 4.2 Neli arvu suhtuva nagu 7 7 15 : 4 9 : 2 1 : 7. Leiame nee arvu 6 kui kahe esimese arvu summa on 9 võrra suurem kahe viimase arvu summast. Paneme tähele et arvu mis suhtuva nagu 1 : 2 suhtuva samal ajal 1 ka nagu 2 : 4 või : 2. Sea analoogiat ära kasutaes teisename suhte 7 7 15 : 4 9 : 2 1 : 7 selliseks et kõik liikme oleksi easiste arvutuste lihtsustamiseks täisarvu. Selleks teisename kõik 6 arvu esialgu harilikeks murueks ja seejärel ühenimelisteks murueks: 112 15 : 49 10 : 21 10 : 7 6 5

PEATÜKK 4. SUHE JA VÕRRE. VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE JAOTAMINE. PROTSENTARVUTUS 112 2 15 2 : 49 10 : 21 10 : 7 5 6 5 224 0 : 147 0 : 6 0 : 5 0 224 : 147 : 6 : 5. Nüü tähistame otsitava arvu 224 147 6 5 ja vastavalt ülesane tekstile koostame võrrani 224 + 147 = 6 + 5 + 9 millest 27 = 9 Võrranite lahenamisest on täpsemalt juttu järgmises peatükis. ja = 1 7. Otsitava arvu on seega 224 1 1 1 = 2 147 = 21 6 7 7 7 = 9 5 1 7 = 5. Võrelist jaotamist saa aga teostaa võre omausi ära kasutaes. Vaatame järgnevalt selle illustreerimiseks ühte näiet. Näie 4. Klaasi valmistamiseks kasutatakse liiva NaSO 4 ja talki vahekorras 1 : 2 : 4. Leiame kui palju on vaja võtta iga koostisainet 100 kg klaasi valmistamiseks mõelu segu jaoks. Tähistame seekor materjalie hulga vastavalt tähteega ja z. Nüü märgime et ja vastavalt võre omausele nr : 1 = 2 = z 4 1 = 2 = z 4 = + + z 1 + 2 + 4 = 100 7 ning siit omakora saame avalaa: = 1 100 7 = 14 2 7 (kg) = 2 100 7 = 28 4 7 (kg) z = 4 100 7 = 57 1 7 (kg). Pöörvõreline jaotamine tähena teatu suuruse jaotamist osaeks mis on pöörvõrelise etteantu arvuega. Seega pöörvõrelise jaotamise korral leiame esialgu kõigi antu arvue pöörarvu ning easi tegutseme vastavalt võrelise jaotamise eeskirjale. 6

4.4. Protsentarvutus 4. Protsentarvutus Protseni mõiste ja protsentarvutuse oskuse vajaus kerkiva üles paljue nii matemaatikas kui eluliselt ettetulevate ülesannete puhul. Definitsioon 4. Ühte sajanikku osa tervikust nimetatakse protseniks. Protseni tähis on %. Protsentarvutuse juures kerki üles kolm põhiülesannet mia järgnevalt vaatleme. Neis ülesaneis on osalisteks kolm suurust. Nee on tervik (tähistame selle siin tähega A) osa tervikust (tähistusega a) ja osamäär ehk osa suurus väljenatuna protsenties (tähistusega m). Osamäära m leimine terviku A ja osa a järgi. Teisisõnu on siin tegemist kahe arvu suhte väljenamisega protsenties. Selleks leiame arvue a ja A suhte ning korrutame tulemuse 100 protseniga. Näie 4.4 Leiame mitu protsenti on 9 arvust 75. Esiteks leiame arvue 9 ja 75 suhte ning korrutame tulemuse seejärel 100 protseniga: 9 100 % = 52 %. 75 Osa a leimine osamäära m ja terviku A järgi. Selleks jagame terviku 100-ga saaes ühele protsenile vastava osa suuruse mille korrutame osamääraga m ehk saame m protsenile vastava osa suuruse. Näie 4.5 Leiame 2 % arvust 542. Esiteks korrutame osamäära suuruse terviku suurusega ning jagame tulemuse seejärel 100-ga: 2 542 100 = 167 68. Terviku A leimine osamäära m ja osa a järgi. Selleks jagame osa a protseniga m mille tulemusena saame ühele protsenile vastava osa suuruse ning seejärel terviku saamiseks korrutame tulemuse 100-ga. Näie 4.6 Leiame terviku kui % tervikust on 6. Jagame osa suuruse 6 osamääraga ning korrutame tulemuse 100-ga: 6 100 = 200. 7

PEATÜKK 4. SUHE JA VÕRRE. VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE JAOTAMINE. PROTSENTARVUTUS Tihti lahenatakse aga protsentülesannet võre ail. Võre mooustamiseks kasutame suurust A ehk tervikut suurust a ehk osa tervikust osamäära suurust m ning arvu 100 selliselt: a A = m 100. Et esitatu võrest ühte suurust avalaa peava ülejäänu kaks olema teaa. Näie 4.7 Leiame 72 % arvust ( 49 5 24 46 7 ) 2 1 20 + 0 6. 0 2 Arvutame esialgu antu avalise väärtuse: ( 49 5 24 46 7 ) 2 1 20 + 0 6 ( = 2 10 0 2 120 7 + ) 5 = 2617 5 72. Nüü mooustame võre a 2617 72 ja avalame siit puuuva suuruse: a = 2617 72 72 100 = 72 100 = 26 17. 8

4.4. Enesekontrollitest 4.4 Enesekontrollitest 1. Arvue a ja 0 suhteks nimetatakse nene arvue a) summat; ) vahet; c) korrutist; ) jagatist. 2. Võre a) välisliikmete korrutis võru asoluutväärtusega siseliikmete vahest; ) siseliikmete summa võru asoluutväärtusega välisliikmete vahest; c) välisliikmete summa võru siseliikmete summaga; ) välisliikmete korrutis võru siseliikmete korrutisega.. Võrest a = c järelu võrre a) a = c ; ) a ± c) a ± ) a ± = c ± ; = c ± ; c = c ±. 4. Jaotaes arvu 28 võreliselt arvuega 9 ja 5 saaakse arvu a) 1 9 ja 5 5 ; ) 28 9 ja 528 5 ; c) 18 ja 10; ) 14 ja 5. 5. Jaotaes arvu 21 pöörvõreliselt arvuega 1 2 ja 0 2 saaakse arvu a) 6 ja 15; ) 6 2 ja 15 5 ; c) 12 ja 9; ) 10 5 ja 10 5. 9

PEATÜKK 4. SUHE JA VÕRRE. VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE JAOTAMINE. PROTSENTARVUTUS 6. % arvust on a) 100 ; ) 100 ; c) 100 ; ) 100. 7. Kui % arvust X on siis arv X on a) 100 %; ) 100 %; c) 100 %; ) 100 %. 8. Arv moousta arvust a) 100 ; ) 100 ; c) 100 ; ) 100. 9. Vähenaes arvu 20 20 % võrra jää alles a) 15; ) 18; c) 4; ) 16. 10. Arv millest 4 % on 5 on a) 20; ) 80; c) 125; ) 200. Vastuse: 1.; 2.;.; 4.c; 5.a; 6.; 7.c; 8.a; 9.; 10.c. 40

4.5. Ülesane 4.5 Ülesane Ülesanne 4.1. Jaotaa arv 78 144 liietavateks võreliselt arvuega 1 12 1 4 2 ja 1. Ülesanne 4.2. Jaotaa arv 2400 liietavateks a c ja nii et a : = 1 2 : 1 : c = 0 1 ja c : = 0 4 : 0 5. Ülesanne 4.. Portselani koostisse kuuluva valge savi liiv ja kips vahekorras 25 : 2 : 1. Kui palju tule võtta iga nimetatu ainet 1 4 kg portselanisegu valmistamiseks? Ülesanne 4.4. Kolm arvu on pöörvõrelise arvuega 1 2 ja. Leia nee arvu kui esimene neist on 5 5 võrra suurem kolmanast. Ülesanne 4.5. Kui suure on täisnurkse kolmnurga teravnurga kui kolmnurga hüpotenuusile tõmmatu meiaan jaota täisnurga suhtes 1 : 2? Ülesanne 4.6. Leia arv millest 11 % on ( 85 7 0 8 5 ) : 2 2 18. 0 04 Ülesanne 4.7. Mitu protsenti moousta arv 21 arvust 0 0016 4 + 0 04 1 2 0 216 2 9. Ülesanne 4.8. Leia 0 % arvust ( ) 0 012 0 04104 + 4560 42 1 5 5 4. Ülesanne 4.9. Palk tõusis 20% võrra aga hinna 50% võrra. Mitme protseni võrra pea vähenama tarimist et kulutuse ei suureneks? Ülesanne 4.10. Töötaja palka tõsteti kahel korral ühe ja sama protseni võrra. Selle tulemusena tõusis töötaja palk 1200 eurolt 12 euroni. Milline oli palgatõus mõlemal korral? Ülesanne 4.11. Esimene arv on teisest 25% võrra suurem. Mitme protseni võrra on teine arv esimesest väiksem? Ülesanne 4.12. Mitme protseni võrra muutu ristküliku pinala kui ta pikkust suurenaa ja laiust vähenaa 20% võrra? Ülesanne 4.1. Kui palju on vaja võtta 5%-lise niklisisalusega ja kui palju 40%-lise niklisisalusega terast et saaa 14 tonni 0%-lise niklisisalisega terast? Vastuse: 4.1. 256 9768 26048 9072. 4.2. 144 96 960 1200. 4.. 1 25 0 1 0 05. 4.4. 8 4 4 2 2 8. 4.5. 0 60. 4.6. 166 2. 4.7. 20 %. 4.8. 0 98. 4.9. 20 %. 4.10. 5 %. 4.11. 20 %. 4.12. 4 %. 4.1. 4 10. 41