1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil etteantud programmi abil. Välja graafilise kujutamise võimalustega tutvumine Mathcad'i keskkonnas. 2. Töövahendid Vann veega, elektroodide komplekt, potentsiomeeter, ostsilloskoopiline nullindikaator, paberi alus, pantograaf sondi ja pliiatsiga, juhtmed. 3. Teoreetiline sissejuhatus Elektrostaatilise välja jaotuse leidmine on hädavajalik väga paljude seadmete - televiisori kineskoopide, raadiolampide, elektronmikroskoopide, elementaarosakeste kiirendite ja paljude muude projekteerimisel. Elektrostaatilise välja tugevuse või potentsiaali jaotuse leidmine keerulise kujuga elektroodide korral on keeruline matemaatiline ülesanne. Sageli osutub täpsete analüütiliste lahendite leidmine võimatuks. Selleks puhuks on välja töötatud mitmesugused numbrilised meetodid, mis kaasaegsete arvutite kasutamisel annavad mõistliku ajakulu juures praktilisteks rakendusteks piisavavalt täpseid lahendeid. Enne arvutiteajastut oli aga sageli otstarbekam määrata elektrostaatilise välja potentsiaali jaotus eksperimentaalselt. Üheks eksperimentaalseks meetodiks oli elektrolüüdivanni meetod, millega käesolevas töös lähemalt tutvumegi. Numbriliste meetodite tutvustamine ei mahu käesoleva töö raamesse. Seetõttu piirdume välja iseloomustavate suuruste leidmisega etteantud programmi abil Mathcad'i keskkonnas ja võrdleme saadud tulemusi eksperimentaalselt leitutega kvalitatiivselt. 3.1. Elektrolüüdivann Elektrostaatilist välja vaakumis või dielektrikus saab modelleerida elektrolüüdivannis. Näitame, et elektriväli elektrolüüti asetatud metallelektroodide vahel on sarnane elektrostaatilise väljaga vaakumis või dielektrikus samade või nendega geomeetriliselt sarnaste elektroodide vahel. Elektrolüüt sisaldab igas elementaarruumalas, mis on küllalt suur võrreldes iooni ruumalaga, võrdse arvu erimärgilisi ioone. Järelikult on ta tervikuna neutraalne, laengutihedus on kõikjal null ja vabade laengute mõju arvestada ei tule. Kui elektrolüüti paigutatud kahe metallelektroodi vahel tekitada vool, siis tekib potentsiaali langus nii elektroodides kui ka elektrolüüdis. Kui elektrolüüdi juhtivus on palju väiksem metallelektroodi juhtivusest, siis potentsiaali langus elektroodide ulatuses on kaduvväike ja elektroodi pind on ekvipotentsiaalpind. Elektroodi pinna potentsiaal on ühesugune kõikides punktides seda paremini, mida väiksem on elektrolüüdi juhtivus. Juhtivus ei tohi olla aga ka liiga väike (destilleeritud vesi), sest siis sarnaneb elektrolüüt dielektrikuga ning sellesse viidud mõõtesond muudab oluliselt esialgset elektrivälja. Elektroodide pingestamisel tekkib elektriväli. Välja mõjul hakkavad ioonid liikuma väljatugevuse vektori sihis. Mittehomogeenses elektriväljas muutub väljatugevuse siht ruumis pidevalt ja laengukandja trajektoor kõverdub. Inertsi tõttu eemaldub ioon väljatugevuse joonest, millel ta algul asus. Elektrolüüdis põrkub ta aga kohe teiste osakestega ja kaotab omandatud kiiruse, jõudmata oluliselt jõujoonest eemalduda. Uuesti kiirust kogudes liigub ioon jälle väljatugevuse vektori, s.o. jõujoone puutuja sihis. Seega, elektrolüüdis liigub ioon praktiliselt piki väljatugevuse joont. Mööda pindu, mis on risti osakeste trajektooridega, laengud ei liigu. Järelikult, piki neid pindu puudub potentsiaalide vahe ja väljatugevuse komponent piki neid pindu on null. Need on ekvipotentsiaalpinnad. Et laengukandjate trajektoorid ühtivad väljatugevuse joontega, siis
ekvipotentsiaalpinnad elektrolüüdis ja vaakuumis ühtivad. Seega on elektriväli küllalt väikese juhtivusega elektrolüüdis sarnane väljaga vaakuumis või dielektrikus - metallelektroodide pinnad on ekvipotentsiaalpindadeks, väljatugevuse ja potentsiaali jaotus elektrolüüdis ühtib väljatugevuse ja potentsiaali jaotusega vaakuumis või dielektrikus. 3.2. Matemaatiline põhjendus Matemaatiline põhjendus elektrostaatiliste väljade sarnasusele elektrolüüdis ja vaakuumis on järgmine. Ohmi seadus pidevate keskkondade jaoks on j = σ E (1) kus j on voolu tihedus, σ - keskkonna erijuhtivus ja E elektrivälja tugevus. Kui laengutihedus vaadeldavas ruumis on kõikjal null, siis elektrostaatilise välja potentsiaal ϕ vaakumis ja dielektrikutes rahuldab Laplace i võrrandit: 2 2 2 ϕ ϕ ϕ + + = 0 (2) 2 2 2 x y z Et elektrolüüdis keskmine laengutihedus on null ega muutu aja jooksul, siis laengu voog elektrolüüdis läbi kinnise pinna on null: div j = 0. Et j = σ E kus E = grad ϕ, siis ka 2 2 2 ϕ ϕ ϕ elektrolüüdis div grad ϕ = + + = 0, s.t. väli elektrolüüdis rahuldab samuti Laplace i 2 2 2 x y z võrrandit ja seega potentsiaali jaotus elektrolüüdis sarnaneb potentsiaali jaotusega vaakumis ja dielektrikutes. 3.3. Katse põhimõtteline skeem Potentsiaali jaotust elektrolüüdivannis määratakse joonisel 1 näidatud skeemi järgi. Elektroodid a Elektrolüüdivann a B c G A r1 R D r2 C E Joonis 1. ja c ning potentsiomeeter (pingejagaja) on paralleelselt ühendatud pingeallikaga E.
Mingis punktis B asetatakse elektrolüüti peenike metallvarras - sond, mis on ühendatud potentsiomeetri R liugkontaktiga D mõõteriista (galvanomeetri, nullindikaatori vms.) kaudu. Mõõteriist näitab voolu juhtmes BD. Nihutades sondi või potentsiomeetri liugkontakti, võib saavutada voolu puudumise punktide B ja D vahel, mis tähendab seda, et punktide B ja D potentsiaalid on võrdsed. Loeme punkti C potentsiaali nulliks. Punktide A ja C potentsiaalide vahe U AC, mis on võrdne elektroodide potentsiaalide vahega, on tuntud suurus. Kui on teada potentsiomeetri osade AD ja DC takistused r1 ja r2, siis võib kergesti leida punktide D ja B potentsiaalid U DC ja U BC punkti C suhtes. Kui galvanomeeter voolu ei näita, siis on potentsiaalid U DC ja U BC võrdsed ja vastavalt U DC r1 Ohmi seadusele =, millest U r1 + r2 AC r2 U BC = U DC = U AC. (3) r1 + r2 Valemi (3) abil võib määrata elektrolüüdivanni mistahes punkti potentsiaali. 3.4. Ekvipotentsiaalpindade leidmine Elektrostaatilise välja potentsiaali jaotust on võimalik esitada ekvipotentsiaalpindade abil. Need on pinnad, mille kõikide punktide potentsiaal on ühesugune. Erinevate pindade potentsiaalid on muidugi erinevad. Meie kahemõõtmelisel juhul saame pindade asemel jooned (kõverad), mis on ekvipotentsiaalpindade lõiked vanni tasandis. Edaspidi nimetame neid kõveraid siiski ekvipotentsiaalpindadeks. Mingi ekvipotentsiaalpinna leidmiseks elektrolüüdivannis tuleb potentsiomeetri liugkontakt hoida mingis ühes asendis ja sondi vannis liigutades leida rida punkte kust voolu sondi ahelasse ei lähe (galvanomeeter näitab nulli). Nii leitud punktid moodustavad ekvipotentsiaalpinna. Selle pinna potentsiaal on määratud liugkontakti asendi ja potentsiaali U AC väärtusega. On kerge näha, et joonisel 1 näidatud skeem on sisuliselt Wheatstone i silla skeem. Kui elektroodide potentsiaalide vahe U AC mingi väärtuse korral vool galvanomeetrit ei läbi (sild on tasakaalus), siis sondi ja liugkontakti muutumatu asendi korral ei ole voolu juhtmes BD ka elektroodide mistahes teistsuguse potentsiaalide vahe korral. Järelikult ekvipotentsiaalpinna, mis vastab potentsiomeetri liugkontakti teatud asendile, kuju ja asukoht ei sõltu elektroodide potentsiaalide vahest. (Selle pinna potentsiaal loomulikult sõltub elektroodide potentsiaalide vahest.) Selletõttu võib ekvipotentsiaalpinda iseloomustada mitte tema potentsiaaliga, vaid potentsiomeetri liugkontakti asendiga, mille juures pind on määratud. Potentsiomeetri liugkontakti asend määratakse suhtega r 2 : ( r1 + r2), mis on arvuliselt võrdne antud ekvipotentsiaalpinna potentsiaaliga, kui elektroodide potentsiaalide vahe on 1 V. Andes ette suhte r 2 : ( r1 + r2) väärtused, võib leida vastavad ekvipotentsiaalpinnad, pööramata tähelepanu elektroodide potentsiaalide vahe suurusele. Potentsiaali suurust, mis on nendel ekvipotentsiaalpindadel teatud elektroodidevahelise potentsiaalide vahe korral, saab arvutada valemi (3) abil. 3.5. Vanni seinte mõju Vanni seinad on valmistatud isolaatorist. Laengud isolaatorisse ei tungi ja seinte lähedal liiguvad paralleelselt seina pinnaga. Vastavalt Ohmi seadusele diferentsiaalkujul on väljatugevuse jooned isolaatori pinna lähedal samuti suunatud paralleelselt pinnaga. Järelikult peavad ekvipotentsiaalpinnad olema risti isolaatori pinnaga. Seinte lähedal on välja pilt erinev sellest pildist, mille saaksime samade elektroodidega lõpmata suures ruumis. Seinte moonutav mõju väljale elektroodidevahelises ruumis väheneb tunduvalt, kui vanni mõõtmed on küllalt suured,
võrreldes elektroodide mõõtmetega. Seinte moonutav mõju väheneb ka siis, kui teha need metallist ja anda neile potentsiaal, mis peaks olema reaalses väljas seinte asukohas. 3.6. Elektroodide polarisatsioon. Alalisvoolu asendamine vahelduvvooluga. Nagu teada, toimub alalisvoolu läbimisel elektrolüüdist anoodil ja katoodil mitmesuguste ainete eraldumine (elektrolüüs). Isegi siis, kui elektroodid on valmistatud samast ainest, osutuvad nad teatud aja möödudes erinevateks. Kahe erineva juhi asetamisel elektrolüüti moodustub galvaanielement: nende juhtide vahel tekib potentsiaalide vahe, mis on tingitud erinevatest potentsiaalihüpetest elektroodide pinnal. Potentsiaalihüpete muutumist elektroodide pinnal, mis tekib elektroodidele erinevate ainete eraldumise tulemusena, nimetatakse elektroodide polarisatsiooniks. Elektroodide polarisatsiooni tulemusena võib potentsiaali jaotumise pilt elektrolüüdivannis katse jooksul tunduvalt muutuda. Seejuures võivad elektroodidele vahetult eralduda või sekundaarsete keemiliste reaktsioonide tulemusena tekkida niisugused ained, mis võrreldes elektrolüüdiga omavad väikest elektrijuhtivust. See toob kaasa elektroodide pindade ekvipotentsiaalsuse kadumise. Elektroodide ekvipotentsiaalsus oli aga peamiseks tingimuseks, mis lubas asendada elektrostaatilist välja vaakumis väljaga elektrolüüdis. Selleks et kõrvaldada polarisatsiooni kahjulik mõju, kasutatakse alalisvoolu asemel vahelduvvoolu. Sel juhul voolu läbimisel poolperioodi jooksul ühes suunas ei jõua polarisatsioon saavutada märkimisväärset suurust. Järgmise poolperioodi jooksul osad vahetuvad, eraldunud ained lähevad elektrolüüti tagasi. Alajaotuses 3.4. näidati, et tasakaalustatud silla korral puudub vool sondi ahelas ükskõik millise elektroodide potentsiaalide vahe juures. Seega puudub vool sondi ahelas tasakaalustatud silla korral ka siis kui elektroodidele on rakendatud muutuv potentsiaalide vahe. Vahelduvvoolu kasutamine ei too järelikult mingeid muudatusi vanni punktide potentsiaalide leidmise meetodisse, välja arvatud see, et galvanomeeter tuleb asendada riistaga, mis registreerib vahelduvvoolu olemasolu. 4. Katseseade 4.1. Seadme skeem Seadme skeem on näidatud joonisel 2. Potentsiomeetrina (pingejagajana) kasutatakse 11- positsioonilise ümberlülijaga takistussalve. Salve äärmised kontaktid ühendatakse kondensaatorite ja pinget alandava trafo kaudu vahelduvvoolu allikaga (võrk 220 V). Kondensaatorid on vajalikud vanni läbiva voolu tugevuse piiramiseks. Salve äärmised kontaktid on ühendatud ka klemmidega E1 ja E2, mis paiknevad katseseadme esipaneelil ja mille külge ühendatakse elektroodid. Takistussalve iga sektsiooni takistus on 100 oomi. Pingejagaja võimaldab leida 9 ekvipotentsiaalpinna asukoha (peale elektroodide endi kahe ekvipotentsiaalpinna). Naaberpindade potentsiaalide erinevus teineteisest on 1/10 elektroodide potentsiaalide vahest. Vahelduvvoolu olemasolu registreeriva riistana kasutatakse ostsillograafilist nullindikaatorit. Indikaatori ja sondi skeemi lülitamiseks on katseseadme esipaneelil klemmid X ja Y ning S. Ekvipotentsiaalpindade kujutised kantakse paberile pantograafi abil.
~220 V Y Ostsilloskoop iline nullindikaator E1 S E2 X B H Elektrolüüdivann Joonis 2.
4.2. Pantograaf Pantograaf on jooniste, kaartide jne. Teatud mastaabis vähendamiseks või suurendamiseks kasutatav vahend, mis võimaldab sarnasust säilitades kanda tasapinnal asuvate punktide asukohad paberile. Ta koosneb neljast omavahel šarniiridega ühendatud õlast, mis moodustavad parallelogrammi (vaata joonist 3). Parallelogrammi võib pöörata horisontaaltasapinnas koos tema külgedevaheliste nurkade samaaegse muutmisega punkti G (pooluse) ümber, mis asub ühel tema küljel või selle pikendusel. Kui mingi punkt B, mis asub parallelogrammi ühel küljel (või selle pikendusel) joonistab kõvera, siis punktid F ja H, mis asuvad punkte B ja G ühendava sirge lõikepunktides teiste külgedega (või nende pikendustega), joonistavad sarnased kõverad. Seejuures jäävad nad kogu aeg punkte B ja G läbivale sirgele. (Kõverate sarnasuse tõestamiseks lähtume kolmnurkade BeF, FaG ja GbH sarnasusest pantograafi mistahes liikumise korral ja suhte Be:aG ning Be:bG konstantsusest.) Punktide F ja H poolt joonistatavate kõverate mastaabid võrreldes punkti B poolt moodustatud kõveraga määratakse suhtega ag:(be+ag). Katseseadmel asuval pantograafil on parallelogrammi küljed võrdsed, ta on ühtlasi romb, poolus G asub tipus a ja Be=bH. Neil tingimustel joonistavad punktid B ja H ühesuguste mõõtmetega kõverad. Punkti B on d B e F a G b H Joonis 3. kinnitatud sond, punkti H - pliiats. 5. Töö käik 1. Elektroodid paigutatakse elektrolüüdivanni vastavalt juhendaja näpunäidetele. Kuna töös kasutatakse vahelduvpinget, siis on ükskõik, millise pingejagaja klemmi E1 või E2 külge ühendada elektroodid. Juhi ekraneeriva mõju uurimisel suurt silindrit klemmidega ei ühendata. Selleks, et mõõtmiste jooksul elektroodid paigalt ei nihkuks, on vanni põhja kinnitatud toed. 2. Sondi, pliiatsi ja laua paigutamine. Sobiva juhtivusega elektrolüüdiks on kraanivesi. Vett valame vanni nii palju, et elektroodide servad ulatuksid üle vee ca 0.5 cm. Sondi kinnitame selliselt, et tema ots ulatuks vette 0.5-1 cm võrra. Pliiatsi grafiit peab asetsema 1-3 mm võrra kõrgemal lauast. Laud paberiga on vaja asetada nii, et sondi paigutamisel vanni keskele asuks pliiats paberi keskel, ning et pliiatsi liikumisel piki laua servi liiguks sond piki vanni seinu. 3. Elektroodide asukohtade märkimine. Enne elektroodide pingestamist kanname paberile elektroodide asukohad. Seda on parem teha enne juhtmete ühendamist elektroodidega. Selleks puudutame sondiga elektroodi mingis punktis ja vajutades kergelt pliiatsile, märgime punkti paberile. Seejärel nihutame sondi piki elektroodi pinda 1.5-2 cm võrra ning märgime järgmised
punktid niikaua, kuni oleme sondiga käinud ümber elektroodi ning tema kontuurid paberile kandnud. 4. Vooluringi koostamine. Elektrilised ühendused teeme vastavalt joonisele 2. Vanni elektroodide ja sondi juurest tulevad juhtmed ühendame katseseadme esipaneeli klemmidega E1, E2 ja S. Paneelil asuvad kontaktid X ja Y ühendame spetsiaalsete kaablitega ostsilloskoopilise nullindikaatori X ja Y sisenditega. Olles eelnevalt tutvunud ostsilloskoopilise nullindikaatori kasutamisjuhendiga, seame ta töökorda. 5. Ekvipotentsiaalpindade määramine. Asetades potentsiomeetri lüliti nullasendisse, nihutame sondi elektroodi juurde, mis on ühendatud pingejagajaga nullkontakti poolsest küljest. Lülitame skeemi võrku. Puudutades sondiga elektroodi, kontrollime nullindikaatori abil, et elektroodi pinna mistahes punkt omab sama potentsiaali, mis pingejagaja nullkontaktki. Asetame ümberlüliti esimesse asendisse. Nihutades sondi risti elektroodi pinnaga, leiame sellise koha, mille juures indikaatori ekraanile joonistub horisontaalne sirge. Esimesel ekvipotentsiaalpinnal asuva punkti märgime paberile. Selle ekvipotentsiaalpinne teiste punktide asukohta on kerge leida, arvestades seda, et ekvipotentsiaalpind peab juhi läheduses olema juhi pinnaga peaaegu paralleelne.. Nihutades sondi iga kord 2-3 cm (suurema kõverusega elektroodide korral tuleb sondi nihutada väiksemate sammude kaupa) ja saavutanud sirge joone ostsilloskoobi ekraanil, märgime paberile ekvipotentsiaalpinna punktid, kuni sond on liikunud ümber elektroodi või jõudnud vanni seinteni. Selliselt leitud ekvipotentsiaalpinna punktid ühendame sujuva joonega. Asetades ümberlüliti järgnevalt teise, kolmandasse jne. asendisse, määrame selliselt 9 ekvipotentsiaalpinda. Lülitame skeemi võrgust välja. Pärast elektroodide paigutamist mingi teise variandi järgi kordame katset. Ühe praktikumi jooksul tuleb määrata elektrivälja pilt 3-4 elektroodide paigutuse variandi jaoks. Saadud jooniste töötlemisel tuleb vastavalt juhendaja korraldusele kanda neile väljatugevuse jooned ja määrata elektrivälja tugevus reas piirkondades elektroodide vahel. Märkusi. Sondi tuleb punktist punkti nihutada ettevaatlikult, jälgides, et kokkupuutel elektroodide või vanni seinaga ta ei painduks. Tuleb jälgida, et ühendusjuhtmed ei takistaks sondi liikumist. Kui on vaja määrata punktide asukoht kinnise elektroodi sees, tuleb sondi kinnituskruvi lahti keerata, sond üles tõsta, viia t üle elektroodi ning uuesti kinnitada selliselt, et ta ots oleks elektrolüüdis. Võrku lülitatud skeemi korral on keelatud asetada käsi vette või puudutada elektroode ja sondi. 6. Lisaülesandeid 1. Tuletada Ohmi seadus vektorkujul 2. Põhjendada, miks tekib ostsilloskoopilise nullindikaatori ekraanil ellips. 3. Tuletada valem elektrolüüdiga täidetud silinderkondensaatori elektroodide vahelise takistuse jaoks. Võrrelda seda silinderkondensaatori mahtuvuse valemiga. 4. Tuletada empiiriliselt (katsest leitud välja pildi järgi) valem väljatugevuse E jaoks silinderkondensaatoris - E ja r vaheline sõltuvus, kus r on kaugus teljest. Selleks arvutatakse väljatugevused mitmesugustel kaugustel teljest, joonestatakse graafik E=E(r), valitakse graafiku üldkuju järgi sobiv funktsioon ja määratakse kordajad. 5. Ülesannete kogust lahendada ülesanded 1.19, 1.31, 1.37, 1.47, 1.61, 1.66, 1.105, 1.112, 1.115, 1.169, 1.200, 1.203, 1.206.
6. Avage Mathcad i fail ja katsetage seal pakutavat. Kirjandus Saveljev, I. Füüsika üldkursus. 2. Elekter. Tln. 1978, -d 1-34.