LEA LEPMANN TIIT LEPMANN KALLE VELSKER MATEMAATIKA 5. TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATE- MAATILISE STATISTIKA ELEMENTE 5.. KOMBINATOORIKA Põhikoolis oleme õppiud ja 0. klassis korraud, et südmuse A toimumise tõeäosuseks P(A) imetatakse selle südmuse jaoks soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu suhet, P ( A)= k. Näide. Lapsel o 5 paberilehte, millest igal o üks umbritest 0,,, 3, 4. Ta paeb eist juhuslikult võetud kolm kõrvuti. Kui suur o tõeäosus, et ii saadi kolmekohalie arv? Lahedamiseks tuleb esmalt leida kõigi võimaluste arv ja soodsate võimaluste arv m. Kuidas eid aga võimalikult lihtsalt leida, selgub, kui tutvuda mõigate mõistete ja lausetega matemaatika osast, mida imetatakse kombiatoorikaks. Üldiselt uurib kombiatoorika, kuidas atud elemetidest moodustada teatud tigimusi täitvaid hulki (imetatakse ka ühediteks) ja kuidas leida selliste hulkade (ühedite) võimalikku arvu. Järgevalt vaatlemegi mõigaid kombiatoorikasse kuuluvaid mõisteid ja lauseid. Kui lapsel o atud võimalus valida 3 erieva auto ja erieva uku seast üks mäguasi, siis pole kahtlust, et erievaid valikuvõimalusi o 3 + = 5. Kombiatoorikas sõastatakse vastav reegel. liitmislausea: kui migit objekti A o võimalik valida erieval viisil ja objekti B m erieval viisil ig valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erievate võimalike valikute arv o + m. Toodud äite korral o objektiks A auto, objektiks B ukk ig vastavate valikuvõimaluste arvud o = 3, m =. Teatud valikute arvu leidmiseks kasutatakse. korrutamislauset: Combiatio (lad. k.) koos esiemie, ühes esiemie; ühed. Üksikud kombiatoorika-alased teadmised pärievad juba atiikajast. Kombiatoorika esimesed mõisted ja valemid, mida kasutati tõeäosusteooria-alaste ülesaete lahedamiseks, loodi 7. sajadil pratsuse matemaatikute Blaise Pascal i ja Pierre Fermat i poolt. Kombiatoorika-alastest tulemustest tegi esimese kokkuvõtte saksa filosoof ja matemaatik Gottfried Wilhelm Leibiz 666. a. Temalt pärieb ka imetus kombiatoorika. 63
64 kui migit objekti A o võimalik valida erieval viisil ja objekti B m erieval viisil ig valida tuleb ii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erievate valikute arv o m. Kui laps võib võtta 3 erieva auto seast ühe ja erieva uku seast ühe, o erievaid valikuvõimalusi 3 = 6. Veedume selles üldjuhul. Objekti A iga valikuga kaaseb m võimalust objekti B valikuks. Et objekti A saab valida erieval viisil, siis o ii A kui ka B valikuvõimaluste koguarv o korda suurem kui ühe objekti korral A, seega m. Sõastatud lauseid o võimalik üldistada kolme ja eama objekti juhule, lugedes eelevalt äiteks kaks objekti juba valituks. Näite järg. Lahedame äites esitatud ülesade. Lahedus. Leiame kolmekohalise arvu tekkeks soodsate võimaluste arvu k. Kolmekohalise arvu esimese umbri valikuks o 4 võimalust, sest arv ei saa alata ulliga. Kui esimee umber o valitud, o teise umbri valikuks 4 võimalust. Kui kaks esimest umbrit o valitud, jääb kolmada umbri valikuks 3 võimalust. Et valik toimub põhimõttel ii esimee kui ka teie, kui ka kolmas umber, siis korrutamislause põhjal k = 4 4 3 = 48. Kõiki erievaid võimalusi viiest umbrist kolme kõrvuti asetamiseks o aga aaloogilise mõttekäigu põhjal = 5 4 3 = 60. Järelikult vastav tõeäosus p = k : = 48 : 60 = 0,8. Liitmis- ja korrutamislauset aitab eristada valikut iseloomustav väljed. Liitmislause korral o see kas A või B, korrutamislause korral ii A kui ka B. Näide. Leiame, mitu autot oleks saaud Eestis registreerida, kui umbrimärgis võiuks olla kas eli umbrit või eli suurtähte, kaasa arvatud võõrtähed, aga välja arvatud Õ, Ä, Ü, Š, Ž. Lahedus. Korrutamislause järgi oleks saaud umbritega eristada 0 0 0 0 = 0 4 autot. Aaloogiliselt aiult suurtähtedega 6 4 autot. Et kasutada võis kas aiult umbreid või aiult suurtähti, siis liitmislause põhjal o vastuseks 0 4 + 6 4 = 466 976. Näide 3. Lapse käes o eli kaarti tähtedega A, E, K, R. Leiame, mitmel viisil saab ta eid järjestada (mitu eljatähelist sõa saab ta eist moodustada) ja millised eed järjestused o. Lahedus. Esimest tähte saab ta valida 4 erieval viisil, teist kolmel, kolmadat kahel ja eljadat ühel viisil. Korrutamislause põhjal o erievate sõade arv 4 3 = 4. Need o: A E K R E A K R K A E R R A E K A E R K E A R K K A R E R A K E A K E R E K A R K E R A R E K A A K R E E K R A K E A R R E A K A R E K E R A K K R A E R K E A A R K E E R K A K R E A R K A E
Kombiatoorika seisukohalt oleme saaud teatud liiki hulgad (ühedid), mida imetatakse permutatsiooideks eljast elemedist. Üldiselt: permutatsiooideks erievast elemedist imetatakse ede elemetide kõikvõimalikke erievaid järjestusi. Permutatsiooide arv elemedist, mida tähistatakse sümboliga P, o korrutamislause põhjal ( ) ( ) 3. Et kõigi aturaalarvude korrutist arvust kui arvui imetatakse arvu faktoriaaliks ja tähistatakse sümboliga!, siis P = ( ) ( ) 3 =! Näiteks 4! = 4 3 = 4. Kui soovime, et valem P =! aaks ka permutatsiooide arvu ühest elemedist, mis o loomulikult, siis peame defieerima, et A! =. Nüüd P =! =. 730. Vaagal o 8 õua, 3 ploomi ja 6 piri. Mitmel erieval viisil o võimalik võtta puuvilju, kui võtta tuleb a) kas üks õu või üks ploom või üks pir, b) ii üks õu kui ka üks ploom, kui ka üks pir? 73. Mitu erievat kahetähelist sõa saaks moodustada eesti tähestiku (ilma võõrtähtedeta) tähtedest, kui korduvaid tähti sõas ei kasuta? Mitu kahetähelist sõa saaks moodustada siis, kui selles o üks täishäälik ja üks kaashäälik? 73. Mitmel erieval viisil saavad 5 iimest teatris kõrvuti istuda? 733. Mitu erievat kolmekäigulist lõuat o võimalik valida, kui meüüs o 6 suppi, 8 praadi ja 7 magustoitu? 734. Eestis tohib auto umbrimärgis olla kolm tähte, kaasa arvatud võõrtähed, kuid välja arvatud täpitähed ig j, ja seejärel kolm umbrit. Mitu autot saab sellise süsteemi korral registreerida? 735. Mitu ühekohalist, kolmekohalist, viiekohalist ja seitsmekohalist arvu, kus umbreid ei kordu, saab kokku moodustada umbritest 0,,, 3,4, 5, 6? 736. Moodustage kõik permutatsiooid tähtedest A, O, S. Mitmel eist o tähedus? 737. Mitmel erieval viisil saab läbi mägida ühe oktaavi oote? permutatsioo lad. k. permutatio vahetus, muudatus faktoriaal lad. k. factor tegija 65
738. Kirjutage välja kõik permutatsiooid elemetidest A, E, K, S. Mitmel eist o tähedus? 739. Mitmel erieval viisil saab teie klassi tütarlapsi/oormehi järjestada? 740. Arvutage ) 3! + 4!, ) 3! 4!, 3) 4! : 3!, 4) 4! 3!, 5) 5! 6, 6) 8! : 56, 7) 8!, 8)! 9! 6! 0!, 9) 6! 9!. 3! 5! 74. Kirjutage aturaalarvud,, 3, 4, 5 faktoriaalide abil kasutamata!. 74. Lihtsustage avaldis ) ( + ) ( )!, ) ( )! + ( )!,!! 3) +, 4) ( )! ( + ) ( + + )!. ( )!!( )!! ( )! B 743. Kui elemedi seas üks elemet kordub s korda ja teie elemet kordub t korda,! siis erievate permutatsiooide arv o. Põhjedage seda. s!! t 744. Mitu eljakohalist arvu saab moodustada umbritest,,, 3 (vt. ül. 743)? Kirjutage eed. 745. Kui migis sõas teha tähtede ümberpaigutusi ja tulemuseks o tähedusega sõa, öeldakse, et o saadud esialgse sõa aagramm. Näiteks sõa soe aagrammid o seo ja eos. Leidke: ) sõa sai aagrammid, ) oma eesime aagrammid. Mitu erievat permutatsiooi saate moodustada oma perekoaimest? 746. Lahedage võrrad P x = 56P x. 5.. VARIATSIOONID JA KOMBINATSIOONID 66 Variatsiooideks elemedist k-kaupa (k ) imetatakse - elemedilise hulga kõigi k-elemediliste osahulkade elemetide erievaid järjestusi. Näide. Hulgal {a, b, c, d, e} o kolmeelemedilisi osahulki 0. Need o: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}. Need osahulgad erievad üksteisest vaid elemetide poolest. Kui eist i g a s osahulgas teha kõikvõimalikud elemetide ümberpaigutused,
saamegi variatsiooid 5 elemedist 3-kaupa. Esimese osahulga elemetidest saame 6 variatsiooi abc, acb, bac, bca, cab, cba. Nii iga leitud küme osahulga korral. Kokku saame viiest atud elemedist (a, b, c, d, e) kolmekaupa variatsiooe 0 6 = 60. Sama tulemuse oleksime saaud ka teisiti arutledes: viiest elemedist esimese võtmise võimalusi o 5, teise võtmise võimalusi 4 ja kolmada võtmise võimalusi 3. Et võtta tuleb ii esimee kui ka teie kui ka kolmas elemet, siis kombiatoorika korrutamislause põhjal o kõigi kolmeelemediliste variatsiooide arv 5 4 3 = 60. Üldiselt tähistatakse elemedist k-kaupa moodustatud variatsiooide arvu sümboliga V k k või A. Korrutamislauset kasutades saame, et k V = ( ) ( )... [ ( k )] ehk V = ( ) ( )... ( k + ), k kus tegureid o k. Korrutades ja jagades võrduse paremat poolt teguriga ( k)! saame, et k! V = ( ) ( )... ( k + ) = ( k)!. 3 Näites oli = 5 ja k = 3 ig V 5 = 5 4 3= 60. Üheelemedilise hulga, äiteks hulga { } elemetidest saab moodustada üheelemedilisi variatsiooe vaid, mis o see elemet ise. Et sama tulemuse saaksime valemi k! V = ( k)! abil, peab = k = korral kehtima võrdus! = ehk =. ( )! 0! See o võimalik vaid siis, kui defieerida, et 0! =. Kombiatsiooideks elemedist k-kaupa (k ) imetatakse -elemedilise hulga k-elemedilisi osahulki. Kombiatsiooide arvu elemedist k-kaupa tähistatakse sümboliga sümboliga ( ), mida loetakse üle k. k k C või ka Näide. Kombiatsiooid hulga {a, b, c, d, e} elemetidest 3-kaupa kui 3-3 elemedilised osahulgad o esitatud äites. Neid o 0, st. C 5 = 0. Tehes 3-elemedilistes kombiatsiooides kõikvõimalikud elemetide ümberpaigutused, moodustame iga kombiatsiooi elemetidest permutatsiooid. Neid 67
saab igast vaadeldavast kombiatsiooist P 3 = 6. Toimides ii saame (agu äites 3 selgitasime) kõik variatsiooid 5 elemedist 3-kaupa. Viimaste arv o V 5 = 60. Seega V = C P. 3 3 5 5 3 Aaloogilise aruteluga võime veeduda, et üldjuhul o V = C P. k k k Siit C ehk k V = P k k C k! = k!( k)!. Näiteks 0 elemedist saab moodustada erievaid 6-elemedilisi kombiatsiooe 6 0! 0 9 8 7 6! C0 = = = 0. 6!4! 6! 4 3 Kaks k-elemedilist kombiatsiooi o erievad siis, kui eil o vähemalt üks eriev elemet; kaks k-elemedilist variatsiooi o aga erievad siis, kui eil o vähemalt üks eriev elemet või kui eil o samad elemedid, kuid erievas järjestuses. Kehtib seos C k = C. -k k k mille õigsus ilmeb kohe, kui kirjutada välja C ja C avaldised. 5 Näiteks C7 = C7 =. Variatsiooe, permutatsiooe ja kombiatsiooe imetatakse ühise imetusega ühediteks. k Kombiatsiooide arvu avaldis C esieb kahe arvu summa ruudu ja kuubi valemi üldistuses,. Newtoi bioomvalemis ( a+ b) = C a + C a b+ C a b +... + C ab + C b. 0 Selle valemi õigsust saab tõestada matemaatilise iduktsiooi meetodiga. k Suurusi C, kus k = 0,,,,, imetatakse bioomkordajateks. Teisiti: 0,,,..., C C C C, C o bioomkordajad. Kirjutades bioomkordajad välja erievate väärtuste,, 3, 4, korral ja paigutades eed tabelisse alljärgeval viisil, saame. 68
Pascali kolmurga: k k Et C = C, siis Pascali kolmurga iga rea algusest ja lõpust võrdsel kaugusel olevad kordajad o võrdsed (vt. ka arvudes esitatud Pascali kolmurka). Pascali kolmurk arvudes: Võttes Newtoi bioomvalemis a = b =, saame, et C + C + C +... + C =. 0 Siit järeldub: -elemedilise hulga kõigi osahulkade arv (kaasa arvatud tühihulk) o. Näide 3. Kirjutame välja bioomvalemi, kui ) = ja ) = 5: 0 ) ( a+ b) = Ca + Cab+ Cb = a + ab+ b, 5 0 5 4 3 3 3 4 4 5 5 ) ( a+ b) = C5a + C5a b+ C5a b + C5a b + C5ab + C5b = 5 4 3 3 4 5 = a + 5a b+ 0a b + 0a b + 5ab + b. Bioomkordajate summa o ) + + = ja ) + 5 + 0 + 0 + 5 + = 5. Avaldise (a b) esitamiseks summaa kirjutame vahe (a b) kujul [a + ( b)] ig rakedame siis Newtoi bioomvalemit. 69
Näide 4. Kirjutame välja (x x ) 4. Lahedus. Võtame bioomkordajad Pascali kolmurga eljadast reast. Saame: (x x ) 4 = [x + ( x )] 4 = = (x) 4 + 4(x) 3 ( x ) + 6(x) ( x ) + 4(x) ( x ) 3 + ( x ) 4 = = 6x 4 4 8 x 3 x + 6 4 x x 4 8 x x 6 + x 8 = = 6x 4 3x 5 + 4x 6 8x 7 + x 8. Vastus. (x x ) 4 = 6x 4 3x 5 + 4x 6 8x 7 + x 8. A 747. Arvutage ) V ), 9 748. Leidke avaldis 4 ) V + ), 3 V, 3) 3 4 30 ( V8 V7 ) V9 V, + 3) ( ) + :, 4) V V + V : V, 4) V 5 4 3 749. Mis o variatsiooid elemedist -kaupa? Palju eid o? 750. Lahedage võrrad V 3 x = 56x. 6 V. 6 3 5 V + + 4 :. 75. Mitu õppeaiet teil tuiplaais o? Mitmel erieval viisil saab edest aietest koostada ühe päeva tuiplaai, kui päevas o 6 erievat tudi? 75. Mitmel erieval viisil saavad 00 koosolekust osavõtjat valida eda hulgast koosoleku juhataja ja protokollija? Palju o võimalusi siis, kui ei ole olulie, kumb juhatab koosolekut, kumb protokollib? 753. Moodustage kõikvõimalikud kaheelemedilised kombiatsiooid tähtedest k, l, m,, p. Moodustage igast saadud kombiatsiooist kõik permutatsiooid. Kuidas imetatakse saadud ühedeid ja palju eid o? 754. Arvutage ) C ) 5 3 5 3 4 C : C, 3) V : C : P, 4) C C : V. 507, 509 8 8 755. Tõestage, et C + C = C m m m. + 7 5 3 5 5 5 756. Iga hulga üheks osahulgaks loetakse tühi hulk. Seda äitab ka arvutus o! C = =, mis aab -elemedilise hulga 0-elemediliste osahulkade arvu. 0!! Mitu osahulka o kokku 6-elemedilisel hulgal? Mitu eist o 5-elemedilised osahulgad? 757. Maleturiiril mägis iga osavõtja igaühega ülejääutest ühe partii. Üldse mägiti turiiril 45 partiid. Kui palju oli turiirist osavõtjaid? 70
758. Mitu erievat korrutist saab leida arvudest, 3, 5, 7? 759. Juha kavatses laupäeviti korraldada kokkusaamisi erieva seltskoaga oma 6 sõbra seast. Mitu ädalavahetust selleks kulus? 760. Mitu erievat sirget o määratud ) 8, ) 0, 3) puktiga, millest ükski kolm ei asu ühel sirgel? 76. Mitu erievat tasadit o määratud ) 4, ) 5, 3) puktiga, millest ükski eli ei asu ühel tasadil? 76. Tasapial o puktid A, B, C, D, millest ükski kolm ei ole ühel sirgel. Mitu erievat sirget o ede puktidega määratud? Tehke vastav joois ja kirjutage välja eed sirged. Mitu kolmurka o ede puktidega määratud? Kirjutage eed. 763. Ruut o jaotatud 8 väikeseks ruuduks. Mitmel erieval viisil saab eisse ruutudesse paigutada 5 täiesti ühesugust uppu (st. uppude järjestust ei arvestata)? Mitmel erieval viisil saab eisse ruutudesse paigutada 5 erivärvilist uppu? Märkus: vajadusel avaldage faktoriaalid ligikaudse valemi järgi! π e. 764. Mitmel erieval viisil saab teie klass matemaatikatuis istuda? 765. Mitmel erieval viisil saate te oma klassist moodustada võrkpalli segavõistkoa, kui sellesse peab kuuluma ) 4 poissi ja tüdrukut, ) vähemalt tüdrukut? 766. Uris o 8 siist ja 7 kollast kuulikest. Mitu võimalust (erievad kuulid loeme erievateks) o 6 kuuli korraga võtmiseks ii, et eist o siised ja 4 kollased. 767. Korvis o 8 piri, 6 õua ja 4 apelsii. Mitmel erieval viisil saab puuvilju võtta, kui võtta tuleb igast liigist mitte rohkem kui kolm? 768. Kirjutage välja bioomvalemid: ) (a + b) 6, ) (x + ) 4, 3) (c + 3) 5, 4) (a b) 5, 5) (3a a) 4. B 769. Milliste x ja y väärtuste korral kehtib võrdus V 770. Leidke y x 0 C 0. Mida see hulkade seisukohalt äitab? 5.3. JUHUSLIK SÜNDMUS = C? Tõeäosusteooria o matemaatika osa, mis uurib juhuslikke südmusi, püüdes ede toimumises leida seaduspärasusi. Üheks vahediks o seejuures südmuse tõeäosuse mõiste. Meeutame, mis o juhuslik südmus. Esimesed tõeäosuslikud ülesaded pärievad hasartmägudest ja kuuluvad 5. sajadisse. Tõeäosuse mõistei jõuti aga 7. sajadil pratsuse matemaatikute Blaise Pascal i ja Pierre Fermat i poolt. Nede koostöö algas 654. a., mil kirglik hasartmägija de Mere esitas Pascalile lahedamiseks hasartmägudega seotud ülesade. Esimee tõeäosusteooria-alae raamat ilmus 657. a., autoriks holladlae Christiaa Huyges. y x 7
7 Juhuslikuks südmuseks imetatakse südmust, mis atud tigimuste korral võib toimuda, kuid võib ka mitte toimuda. Järelikult o tõeäosusteoorias juhusliku südmuse jaoks vaid kaks võimalust: see kas toimub või ei toimu. Kolmadat võimalust ei ole (. välistatud kolmada seadus). Reaalsuses o vahel asi keerulisem. Kui äiteks hommikul o trepp vihmapiiskadest kirju, siis pole alati selge kas ikka toimus südmus sadas vihma või mitte. Juhuslikuks südmuseks o äiteks võitmie loteriil, 6 silma tulek tärigu viskamisel, laskevõistlusel märklaua tabamie kümesse. Südmusi tähistatakse lühema märkimise ja imetamise huvides suurtähtedega A, B, je. Või sümbolitega A, A, je. Üks ja sama juhuslik südmus A võib tavaliselt toimuda mitmel erieval viisil. Näiteks kahe tärigu (olgu eed must ja valge) korraga viskamisel võib 5 silma tulla (loeme selle südmuseks A) eljal erieval viisil. Need o + 4; + 3, 3 +, 4 +, kus esimee liidetav äitab tulemust mustal tärigul, teie aga valgel tärigul. Nimetatud üksikjuhud ehk südmuse A jaoks soodsad juhud o võrdvõimalikud, sest pole põhjust, et migi variat tuleks teistest sagedamii esile. Et võrdvõimalikest juhtudest + 4; + 3, 3 +, 4 + igat võib vaadelda omaette südmusea, siis imetatakse eid südmusi ka südmuse A jaoks soodsateks elemetaarsüdmuseks. Elemetaarsüdmusi tähistame edaspidi sümbolitega E, E, E 3, Südmuse A (5 silma tulek kahe tärigu korraga viskamisel) soodsad juhud kuuluvad südmuse A jaoks. kõigi võimaluste hulka. Viimaseid o 36, sest ii mustal kui ka valgel tärigul o erievaid silmade arve 6. Ka eed võimalused o võrdvõimalikud. Kokkuvõtvalt: kahe tärigu korraga viskamisel o kõiki elemetaarsüdmusi 36 ( +, +, + 3,, 6 + 6), millest soodsaid 5 silma tulekuks o 4. Öeldakse, et elemetaarsüdmuste hulk { E, E, E 3, E } o täielik ehk see moodustab elemetaarsüdmuste ruumi, kui igal katsel, äiteks tärigu viskamisel, migi eist elemetaarsüdmustest ikka esile tuleb, o lõplik arv, ükski kaks elemetaarsüdmust ei saa korraga (samal katsel) esile tulla ja muidugi o täidetud võrdvõimalikkuse õue. Elemetaarsüdmuste ruumi tähistatakse tavaliselt tähega U: U = { E, E, E 3, E }. Kui südmuse Ω jaoks o soodsad kõik elemetaarsüdmused hulgast U = { E, E, E 3, E }, imetatakse südmust Ω kidlaks südmuseks. Järelikult toimub kidel südmus atud tigimuste korral kidlasti. Näiteks o südmus U, mis seiseb kas,, 3, 4, 5 või 6 silma tulekus tärigu viskamisel, kidel südmus. Kui südmuse V jaoks puuduvad soodsad juhud, imetatakse südmust V võimatuks südmuseks. Tähedab, võimatu südmus ei toimu atud tigimuste korral kidlasti. Nii o äiteks võimatuks südmuseks see, et tärigu viskamisel tuleb 7 silma. Võimatut südmust tähistatakse tähega V või sümboliga.
Südmusi A ja B imetatakse võrdseteks ig kirjutatakse A = B, kui edel o samad soodsad juhud samast elemetaarsüdmuste ruumist { E, E, E 3, E } Kui äiteks A tähedab paarisarvu silmade tulekut ja B kahega jaguva silmade arvu tulekut tärigu viskamisel, siis A = B. Südmusi kujutatakse sageli geomeetriliselt. Kui iga elemetaarsüdmust E i, i =,, 3,,, tähistab pukt tasadil (joo. 5.), siis piirkod U, mis sisaldab kõiki elemetaarsüdmusi kujutavaid pukte, tähedab kidlat südmust U. Juhuslikku südmust A tähistab aga piirkod, mis sisaldab osa elemetaarsüdmusi. Võimatu südmuse V saame jooisele märkida piirkoaa, mis ei haara ühtegi elemetaarsüdmust tähistavat pukti. Joo.5. Joo.5. Juhuslik südmus A kas toimub või ei toimu. Mis toimub siis, kui südmus A ei toimu? Sellisel juhul ei toimu ükski südmuse A jaoks soodsatest juhtudest (elemetaarsüdmusi tähistavad puktid valges piirkoas jooisel 5.), toimub aga migi elemetaarsüdmus, mis ei ole soodus südmuse A jaoks (puktid värvilises piirkoas samal jooisel). See aga tähedab ühe teise südmuse toimumist, mille soodsaid juhte tähistavad värvilise piirkoa puktid. Seda südmust imetatakse südmuse A vastadsüdmuseks ja tähistatakse sümboliga A (joo. 5.). Lühemalt: südmuse A vastadsüdmuseks imetatakse südmust, mis toimub parajasti siis, kui südmus A ei toimu. Näide. Loeme tärigu viskamisel südmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Südmuse A vastadsüdmuseks A o kolmega mitte jaguva silmade arvu tulek, st.,, 4 või 5 silma tulek. Kidla südmuse vastadsüdmuseks loetakse võimatut südmust, st. U = V ja võimatu südmuse vastadsüdmuseks kidlat südmust, st. V = U. A 77. Visatakse metallraha. Mis o võimalikud tulemused? Kas eed moodustavad elemetaarsüdmuste ruumi? Nimetage südmuse vapp jaoks kõik võimalused ja soodsad võimalused? 77. Olgu südmuseks kaardi tõmbamie 5-kaardisest kaardipakist. Millised o üüd elemetaarsüdmused, mis moodustavad elemetaarsüdmuste ruumi? Mitu elemetaarsüdmust o? 73
773. Visatakse korraga kahte ühesugust müti. Millised o võimalikud tulemused, mis moodustavad elemetaarsüdmuste ruumi? 774. Uris o 0 üheraskust, samasuurt ja piasileduselt samasugust ummerdatud kuuli, mis jaguevad värvuse järgi järgmiselt: 5 siist, 3 puast, valget. Katse seiseb kuuli juhuslikus võtmises. Millised südmused moodustavad elemetaarsüdmuste ruumi? 775. Loeme südmuseks A kolmega jaguva silmade arvu tuleku tärigu viskamisel. Milliseid elemetaarsüdmusi see südmus sisaldab? 776. Lapsel o käes 3 kaarti tähtedega S, A, I. Laps laob eid juhuslikult üksteise kõrvale. Südmuseks o tähedusega sõa tekkimie. Nimetage kõik võimalikud elemetaarsüdmused ja edest soodsad juhud. 777. Südmus o puase kaardi tulek kaardi tõmbamisel kaardipakist. Mis o selle südmuse vastadsüdmus? 778. Südmus o musta kuiga tulek kaardi tõmbamisel kaardipakist. Mis o selle südmuse vastadsüdmus? 779. Millist südmust võiks tähedada sümbol A? 780. Põhjedage südmuste kõigi võimaluste ja soodsate võimaluste abil, et U = V ja V = U. 78. Olgu südmus A kiri-kiri või vapp-vapp tulek kahe müdi korraga viskamisel. Mis o südmus A? 78. Visatakse korraga kahte tärigut. Südmuseks o tärigutel tulud silmade summa. Mis o ühe silma tuleku kui südmuse A vastadsüdmus? 783. Mitu erievat südmust o võimalik defieerida elemetaarsüdmuste ruumi {E, E,, E } korral. Kui suur o see arv = 0 korral? Mitu erievat tärigu viskamisega seotud südmust saab defieerida? 5.4. SÜNDMUSE KLASSIKALINE TÕENÄOSUS Juhuslikku, kidlat ja võimatut südmust o võimalik järjestada ede toimumise sageduse järgi: võimatu südmus ei toimu kuagi, juhuslikud südmused toimuvad vahel, kidel südmus toimub aga alati. Samas o selge, et juhuslikest südmustest mõi toimub sagedamii kui mõi teie. Näiteks kahega jaguv silmade arv esieb tärigu visetel sagedamii kui viiega jaguv silmade arv, sest esimesel juhul o kõigi võimaluste seas soodsaid võimalusi kolm (, 4 või 6 silma), teisel juhul aga üks (5 silma). Üldiselt määratakse südmuse toimumise kidluse aset (sagedust) tõeäosusega. Mida suurem o südmuse toimumise tõeäosus, seda kidlam o, et südmus toimub. Meeutame, mis oli südmuse (klassikalie) tõeäosus: Sõa klassikalie viitab sellele, et see tõeäosuse arvutamise viis oli esimee, mis teaduses kasutusele võeti. O ka teisi võimalusi tõeäosuse arvutamiseks. 74
südmuse A tõeäosuseks P(A) imetatakse südmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu suhet k. Südmuse tõeäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A). Rõhutame: selle defiitsiooi korral eeldatakse kõigi elemetaarsüdmuste ) arvu () lõplikkust, ) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elemetaarsüdmus), 3) võrdvõimalikkust. Näide. Leiame ) paarisarvu silmade tuleku (südmus A) ja ) viiega jaguva silmade arvu tuleku (südmus B) tõeäosuse tärigu viskamisel. Lahedus. ) Kõiki võimalusi o 6, eist südmusele A soodsaid 3. Seega tõeäosus PA= ( ) = 0,5. ) Kõiki võimalusi o ikka 6, eist südmusele B sood- 3 6 said. Järelikult PB ( ) = 0,7. 6 Tõeäosuse defiitsiooist tuleevad tõeäosuse omadused:. Tõeäosus o arv, mis rahuldab võrratusi 0 P(A). k Et PA ( ) = ja 0 k, siis 0 k.. Kidla südmuse tõeäosus o, st. P(U) =. Et üüd o k =, siis PU ( ) = =. 3. Võimatu südmuse tõeäosus o 0, st. P(V) = 0. Et üüd o k = 0, siis 0 PV ( ) = = 0. 4. Südmuse A ja tema vastadsüdmuse A tõeäosuste summa o, st. P(A) + P( A ) =. k k Tõepoolest, kui PA ( ) =, siis PA ( ) = ja k k PA ( ) + PA ( ) = + =. 75
Näide. Eelmises äites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõeäosuse tärigu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek tärigu viskel o südmuse A vastadsüdmus A, siis selle tõeäosus PA ( ) = PA ( ) = 0,5= 0,5. Tõeäosuste arvutamisel tuleb sageli leida südmuse soodsate võimaluste arv ja kõikide võimaluste arv kombiatoorika valemeid või lauseid kasutades. Näide 3. Uris o 8 valget ja musta kuuli. Segame kuulid hoolega ig võtame juhuslikult 4 kuuli. Leiame tõeäosuse, et ede seas o vähemalt valget kuuli. 4 Lahedus. Kõiki võrdvõimalikke variate o = C 0 = 4845, sest uris olevast 0 kuulist elja kuuli võttes o tegemist kombiatsiooidega. Soodsad variadid o: valget ja musta; 3 valget ja must; 4 valget kuuli. Leides iga variadi võimaluste arvu kombiatoorika korrutamislausega, tuleb kogu soodsate võimaluste arv leida 3 4 590 liitmislausega: k = C8 C + C8 C + C8 = 590 ja tõeäosus p = 0,535. 4845 Et tõeäosus o üle poole, siis rohkem o oodata selle südmuse toimumist kui mittetoimumist. A 784. Visatakse tärigut. Kui suur o tõeäosus, et silmade arv o algarv? 785. Kaardipakist, milles o 5 kaarti, tõmmatakse üks kaart. Kui suur o tõeäosus, et see o ) ruutu, ) äss, 3) pilt, 4) kas poti pilt või äss? 786. Kui suur o tõeäosus, et teie klassist juhuslikult valitud õpilae o ) tütarlaps, ) Eve, 3) siiste silmadega 4) olete Teie? 787. Tõeäosus äitab, millise osa moodustavad südmuse A soodsad võimalused kõigist võimalustest. Seetõttu võib tõeäosust esitada ka protsetides. Sõastage protsetides esitatud tõeäosuse korral omadused. 4. 788. Visatakse ühte müti. Kui suur o tõeäosus, et tuleb kiri? 789. Visatakse korraga kahte müti. Kui suur o tõeäosus, et tuleb ) mõlemal vapp, ) ühel kiri, teisel vapp, 3) vähemalt ühel kiri? 790. Maja otsaseia ehitusplokkide ruudukujulised tahud o värvitud jooisel 5.3 äidatud viisil. Poiss viskab lumepalliga vastu maja otsaseia. Leidke tõeäosus värvitud pia tabamiseks eeldusel, et poiss tabab võrdse tõeäosusega igat ehitusplokki. 79. Uris o 8 valget, 7 puast ja 5 siist kuuli. Urist võetakse juhuslikult üks kuul. Kui suur o tõeäosus, et see o Joo.5.3 ) valge, ) puae, 3) siie. 76
79. Eelmises ülesades kirjeldatud urist võetakse korraga kolm kuuli. Kui suur o tõeäosus, et eed kuulid o ) valged, ) puased, 3) siised, 4) mustad, 5) samavärvilised, 6) kõik erievat värvi? 793. Visatakse tärigut. Leidke kõigi elemetaarsüdmuste tõeäosused. Esitage tulemused tabelia silmade arv tõeäosus. 794. Visatakse korraga valget ja musta tärigut. Kirjutage välja võrdvõimalikud tulemused kujul (a,b). Kui palju () o selles elemetaarsüdmuste ruumis südmusi? Koostage saadud tabeli põhjal uus tabel, kuhu o katud erievad silmade summad ja eile kui südmustele vastavad tõeäosused. Millise silmade summa tõeäosus o ) suurim, ) vähim? 795. Ühe kooli õpilastest 4% õpib saksa keelt. Kui suur o tõeäosus, et juhuslikult valitud selle kooli õpilae ) õpib saksa keelt, ) ei õpi saksa keelt? 796. Ühes klassis õpivad kõik õpilased vähemalt ühte võõrkeelt. Iglise keele õppijaid o klassis 86% ja saksa keele õppijaid 64% Kui suur o tõeäosus, et juhuslikult kohatud selle klassi õpilae õpib ) ii iglise kui ka saksa keelt, ) iglise keelt, kuid ei õpi saksa keelt? 797. Kui suur o ülesade 776 admetel tõeäosus, et kaarte ladudes saab laps ) sõa sai, ) tähedusega sõa? 798. Ema ostetud värvilistest herekommidest o alles 0. Neist 8 o valged ja roosad. Ats ja Jüri otsustasid võtta juhuslikult 4 kommi ja kui ede seas ei ole valgeid komme või o eid paarisarv, saab Jüri võetud eli kommi edale, kui aga paaritu arv, siis saab Ats eed eli kommi edale. Kui suur o tõeäosus, et eed eli kommi saab edale ) Jüri, ) Ats. Kumma suhtes o 0 kommi jaotamie ebaõiglae, kui ülejääud 6 kommi pidi jaotatama võrdselt? 799. Uris o 68 kuuli, millest valgeid o 8 ja musti 40. Võetakse juhuslikult 50 kuuli. Kui suur o tõeäosus, et 50 kuuli seas ei ole musti ja valgeid võrdselt? 800. Kuup, mille kõik tahud o värvitud, saeti tuhadeks väikeseks kuubikeseks ja eed segati hoolega. Leidke tõeäosus, et juhuslikult võetud kuubikesel o ) kolm tahku värvitud, ) aiult üks tahk värvitud. 80. Pimedal pööigul kuivab 6 halli ja 4 pruui ühesugust sokki. Mitu sokki tuleb vähemalt võtta, et ) eist saab vähemalt paari ühesuguseid sokke, ) ede seas oleks vähemalt üks paar halle sokke. Kui suur o tõeäosus, et kahe soki juhuslikul võtmisel saame ühesugused sokid? 80. Laual o sedelit, igal üks eesti tähestiku täht. Kui suur o tõeäosus, et kahe sedeli järjest võtmisel saadakse tähestiku järjestikused tähed? Mitu järjestikuste tähtedega sedelit peab laual olema, et järjestikuste tähtede saamise tõeäosus oleks ), ) vähemalt pool? Kui suur o järjestikuste tähtede saamise tõeäosus siis, kui laual o sedelid kõigi eesti tähestiku tähtedega? 77
B 803. Naturaalarvudest,, 3,, 00 võetakse juhuslikult kolm. Leidke tõeäosus, et eed arvud o järjestikused? Millie oleks tõeäosus, kui kolm arvu võetakse juhuslikult esimese aturaalarvu seast? Leidke tõeäosused siis, kui esimese aturaalarvu seast võetakse juhuslikult arvu, 4 arvu. Leidud vastustes seaduspärasused, kirjutage tõeäosuse arvutamise avaldis juhuks, kui esimese aturaalarvu seast tuleb võtta juhuslikult m aturaalarvu (m ). 5.5. SÜNDMUSTE KORRUTIS JA SUMMA Näide. Visatakse tärigut. Olgu südmus A paarisarvu silmade tulek ja südmus B vähemalt elja silma tulek. Südmuse A soodsad elemetaarsüdmused o, 4 või 6 silma, südmuse B korral aga 4, 5 või 6 silma. Kui tärigu viskamisel tuleb kas 4 või 6 silma o toimuud samaaegselt ii südmus A kui ka südmus B. Teiselt poolt võib aga südmuste (kas 4 või 6 silma) kaudu defieerida kolmada südmuse C. Tähedab, südmuste A ja B samaaege toimumie o jälle südmus. Kahe südmuse A ja B samaaegset toimumist võib vaadelda uue südmusea C, mida imetatakse südmuste A ja B korrutiseks (joo. 5.4) ig kirjutatakse A B = C või AB = C. Joo.5.4 Joo.5.5 Üldiselt: südmust, mis seiseb ii südmuse A kui ka südmuse B toimumises, imetatakse südmuste A ja B korrutiseks. Kui südmustel A ja B (joo. 5.5) pole ühiseid soodsaid elemetaarsüdmusi (äiteks südmus A paarisarvu silmade tulek, südmus B paaritu arvu silmade tulek tärigu viskamisel), siis ede südmuste korrutis o võimatu südmus (sest sellel südmusel puuduvad soodsad elemetaarsüdmused). Sümboleis: A B = V. 78
Näide. Kaardipakist, milles o 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu südmuseks A risti saamie ja südmuseks B pildi saamie. Leiame südmuste A ja B korrutise tõeäosuse. Et südmus AB tähedab ristimastist pildi saamist, siis soodsaid juhte o 3: ristisoldat, ristiemad ja ristikuigas. Otsitav tõeäosus PAB= ( ) 0,08. 3 36 Kahte südmust, mis ei saa sama katse tulemusea toimuda (st. ei saa esieda üheaegselt), imetatakse teieteist välistavateks. Näiteks tärigu viskel ei saa üheaegselt tulla paarisarv silmi (südmus A) ja paaritu arv silmi (südmus B). Näites ei ole südmused välistavad, ad o mittevälistavad. Südmus A ja selle vastadsüdmus A o alati teieteist välistavad, AA= V. Elemetaarsüdmuste ruumis {E, E,, E } o elemetaarsüdmused paarikaupa välistavad. Lühemalt kirjutades E i E j = V, kui i j. Kahe südmuse summa defieeritakse järgmiselt: südmust, mis seiseb kas südmuse A või südmuse B toimumises, imetatakse südmuste A ja B summaks. Südmuste A ja B summat tähistatakse A B või A + B. Südmuste summa toimumie seiseb kas südmuse A või südmuse B soodsate juhtude esiletulekus. Näide 3. Olgu südmus A ühe silma tulek ja südmus B kuue silma tulek tärigu viskamisel. Südmuseks A + B o siis kas või 6 silma tulek. Vastav tõeäosus PA ( + B) = :6=. 3 Näide 4. Vaatleme äites defieeritud südmusi A ja B. Südmuseks A + B o siis kas risti või pildi saamie. Kui tuleb ristiäss (ässa ei loeta pildiks) või äiteks ärtusoldat, o südmus A + B toimuud. See toimub aga ka siis, kui tuleb äiteks ristiemad, mis o üks soodsatest võimalustest korrutise AB toimumiseks (äide ). Teisiti: käesoleva äite korral toimub südmus A + B ka siis, kui toimub südmus AB. Alati, kui südmused pole teieteist välistavad (äide 4), tähedab südmus A + B kas aiult südmuse A või aiult südmuse B või ede mõlema (s.o. korrutise AB) toimumist (joo. 5.6). Välistavate südmuste korral (äide 3) tähedab südmus A + B kas aiult südmuse A või aiult südmuse B toimumist (joo. 5.7). Joo.5.6 Joo.5.7 79
Elemetaarsüdmuste ruum {E, E,, E } o paarikaupa välistavate südmuste hulk. Seejuures tuleb iga katse korral kidlasti esile migi elemetaarsüdmus sellest hulgast. E + E + + E = U. Ka südmuste A ja A korral o Joo.5.8 A + A = U, sest liidetavad südmused o välistavad ja üks eist iga katse korral kidlasti esile tuleb. Defieeritakse ka südmuste vahe: 80 südmuste A ja B vaheks A\B imetatakse südmust, mis seiseb südmuse A toimumises ja südmuse B mittetoimumises. Südmuse A \ B soodsateks elemetaarsüdmusteks o südmuse A soodsad elemetaarsüdmused, mis ei ole südmuse B soodsad elemetaarsüdmused (joo. 5.8). Näide 5. Defieerides südmused ii agu äites 3, A ristimastist kaart, B piltkaart, o südmuseks A \ B ristimastist mittepildi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. A 804. Visatakse tärigut. Südmused o seejuures defieeritud järgmiselt: A tuleb algarv silmi; B tuleb paarisarv silmi, K tuleb kordarv silmi, L tuleb kolmega jaguv silmade arv, P tuleb paaritu arv silmi. Mida tähedavad järgmised südmused? ) AB, ) AP, 3) K, 4) AK, 5) KP, 6) B + P, 7) B + L, 8) L, 9) K + B, 0) K + L, ) A \ P, ) A \ K, 3) B, 4) B \ K, 5) A \ B. 805. Südmus A o kuue silma tulek tärigu esimesel viskel, südmus B o kuue silma tulek tärigu eljadal viskel. Mis o südmus AB, A + B, A \ B? 806. Leidke järgmised südmused, kui A tähedab juhuslikku südmust: ) AU, ) AV, 3) A + U, 4) A + V. 807. Visatakse korraga kahte müti. Loeme südmuseks A kiri-kiri tuleku, südmuseks B vapp-vapi tuleku, südmuseks C erieva tulemuse mütidel ja südmuseks D sama tulemuse mütidel. Millised eist südmustest o välistavad, millised mittevälistavad? Millist tulemust tähedab südmus A + B, B + C, C + D, AD, CD?
808. Leidke ülesades 804 esievate südmuste tõeäosused. 809. Leidke ülesades 807 esievate südmuste tõeäosused. B 80. Põhjedage, et kehtivad järgmised seosed: ) AB = BA, ) (AB)C = A(BC), 3) A + B = B + A, 4) (A + B) + C = A + (B + C), 5) A(B + C) = AB + AC. 5.6. TÕENÄOSUSTE LIITMISE LAUSE Sei oskame tõeäosust P(A + B) arvutada siis, kui eelevalt oleme kidlaks teiud südmuse A + B kõigi võimaluste arvu ig soodsate võimaluste arvu. Näiteks ülesade 804 alajuhtudel 6), 7), 9), 0). Tuletame järgevalt valemi P (A+B) arvutamiseks. Olgu südmused A ja B defieeritud elemetaarsüdmuste ruumis {E, E,, E }. Neist elemetaarsüdmustest olgu soodsaid südmuse A jaoks k ja südmuse B jaoks m. Üldiselt o südmustel A ja B osa soodsaid võimalusi ühised. Olgu eid r. Seda situatsiooi (südmused A ja B o mittevälistavad) kujutatakse jooisel 5.9, kus puktid tähistavad elemetaarsüdmusi. Soodsaid võimalusi südmuse A + B jaoks o k + m r, sest k + m elemetaarsüdmuse seas o osa kahekordselt. Järelikult Joo.5.9 k + m r k m r PA ( + B) = = +. k Et P( A) =, m P ( B = ) ja r P ( AB = ), sest r elemetaarsüdmust o sellised, mille esiemisel toimub ii südmus A kui ka südmus B, siis P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB). Sõastatult: kahe südmuse summa tõeäosus võrdub ede südmuste tõeäosuste summaga, millest o lahutatud samade südmuste korrutise tõeäosus. 8
Näide. Kaardipakis o 5 kaarti. Võetakse juhuslikult üks kaart. Südmuseks A o ruutu tulek, südmuseks B pildi tulek. Leiame südmuse A + B tõeäosuse. Ilmselt o PA= ( ), PB ( ) =. Südmuseks AB o ruutumastist pildi 3 5 5 tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Selleks o soodsaid võimalusi 3 ig 3 3 3 PAB= ( ). Järelikult PA ( + B) = + = 0,43. 5 5 5 5 5 8 Välistavate südmuste summa tõeäosus võrdub liidetavate südmuste tõeäosuste summaga, st. P(A + B) = P(A) + P(B). Tõepoolest, kui AB =V, siis P(AB) = 0 ja tõeäosuste liitmise lause saabki kuju P(A + B) = P(A) + P(B). Näide. Uris o 6 valget, 4 musta ja 8 siist kuuli. Võetakse juhuslikult üks kuul. Leiame tõeäosuse, et see o must (südmus M) või siie (südmus S). Südmuse M + S jaoks o soodsaid võimalusi 4 + 8 =. Seega o PM ( + S) = =. Kasutades tõeäosuste liitmise lauset, saame samuti 8 3 4 8 PM ( + S) = PM ( ) + PS ( ) = + = =. 8 8 8 3 Välistavate südmuste korral saab tõeäosuste liitmise lause üldistada liidetavale, vaadeldes esmalt südmust (A + B) + C, siis südmust (A + B + C) + D je. Üldiselt P(A + B + + K) = P(A) + P(B) + + P(K). Elemetaarsüdmuste ruumi {E, E,, E } korral o E + E + + E = U. Rakedades tõeäosuste liitmise lauset saame, et A P(E ) + P(E ) + + P(E ) =. 8. Uris o 7 musta, 5 puast ja 3 valget kuuli. Võetakse korraga kolm kuuli. Loeme südmuseks A, et eed o mustad, südmuseks B, et eed o puased, südmuseks C, et eist o puast ja üks valge. Leidke imetatud südmuste tõeäosused. Arvutage ka tõeäosused südmustele ) A + B, ) A + C, 3) B + C. 8. Kaardipakist, milles o 5 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu südmus A musta kaardi tulek, B ässa tulek, C potimastist kaardi tulek, D emada tuleku, F piltkaardi tulek, G kuiga tulek. Arvutage ede südmuste tõeäosused. Sõastage järgmised südmused ja leidke ka ede tõeäosused. ) A + B, ) A + C, 3) A + F, 4) B + D, 5) C + G, 6) C + F, 7) F + G, 8) D + G.
5.7. SÕLTUVAD JA SÕLTUMATUD SÜNDMUSED Uris o valget ja 3 siist kuuli. Olgu südmus B valge kuuli tulek kuuli esimesel võttel ja südmuseks A valge kuuli tulek kuuli teisel võttel. Kui vahepeal paakse kuul uri tagasi, siis PB ( ) = = 0,8 ja PA= ( ) = 0,8. Südmuse A 5 5 tõeäosus ei sõltu seega sellest, kas südmus B eelevalt toimus või mitte. Selle kohta öeldakse, et südmus A o sõltumatu südmusest B. Üldiselt: südmusi A ja B imetatakse sõltumatuteks, kui eist ühe toimumie või mittetoimumie ei mõjuta teise südmuse toimumise tõeäosust. Vaatleme üüd katset, kus kõik toimub edisel viisil, kuid esimesea võetud kuuli ei pada uri tagasi. Kui esimesel katsel toimus südmus B, siis teise katse jaoks o uris valget kuuli ja kogu kuulide arv o 4. Seega o südmuse A toimumise tõeäosus. Kui esimesel katsel ei toimuud südmus B (toimus 4 südmus B ), siis südmuse A toimumise tõeäosus o. Tõeäosused o erievad. Neid tõeäosusi imetatakse vastavalt südmuse A tiglikuks tõeäosu- 4 seks tigimusel, et toimus (toimub) südmus B, sümbol P(A / B), ja südmuse A tiglikuks tõeäosuseks tigimusel, et ei toimuud (ei toimu) südmus B, sümbol P(A / B ): PAB= ( / ), PAB ( / ) =. 4 4 Et südmuse A tõeäosus sõltub sellest, kas südmus B toimus või ei, imetatakse südmust A sõltuvaks südmusest B. Üldiselt: südmusi A ja B imetatakse sõltuvateks, kui eist ühe toimumie või mittetoimumie mõjutab teise toimumise tõeäosust. Seejuures südmuse A toimumise tõeäosust, mis o arvutatud eeldusel, et südmus B toimus, imetatakse südmuse A tiglikuks tõeäosuseks südmuse B suhtes ja tähistatakse sümboliga P(A / B). Näide. Kaardipakis o 36 kaarti. Olgu südmus B puase kaardi tulek ja südmus A ärtu- või ruutuemada tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Tõeäosus PAB= ( / ) =, sest südmus A saab toimuda ede juhtude seast, kus südmus B o juba toimuud (või 8 9 toimub). 83
Tuletame tõeäosuste korrutamise lause. Olgu südmused A ja B sõltuvad. Leiame tõeäosuse P(A / B). Olgu südmuse B toimumiseks soodsaid võimalusi k ja südmuse A toimumiseks soodsaid võimalusi m, millest r võimalust (joo. 5.9) r o soodsad ka südmuse B toimumiseks (r k). Siis PAB ( / ) = ehk k r k r PAB ( / ) = :. Et P( AB) = ja k P ( B = ), siis P( AB) PAB ( / ) =. P( B) Viimasest võrdusest järeldub seos P(AB) = P(B) P(A / B), mis väljedab tõeäosuste korrutamise lauset sõltuvate südmuste korral. Näide. Artikli alguses oli äide, kus uris oli valget ja 3 siist kuuli ig südmus B oli valge kuuli tulek kuuli esimesel võttel ja südmus A oli valge kuuli tulek kuuli teisel võttel. Leiame valge kuuli tuleku tõeäosuse ii esimesel kui ka teisel võttel, kui esimesea võetud kuuli uri tagasi ei pada. PAB ( ) = PB ( ) PAB ( / ) = = 0,63. 5 4 35 Võrduse P(AB) = P(B) P(A / B) vasakul poolel võib A ja B vahetada, sest AB = BA. Seda võib sümmeetria kaalutlusel teha ka paremal pool. Seega: P(AB) = P(A) P(B / A). Vaatleme tõeäosuste korrutamise lauset sõltumatute südmuste A ja B korral. Olgu südmuse A jaoks soodsaid võimalusi k ja kõiki võimalusi, südmuse B jaoks aga soodsaid võimalusi m ja kõiki võimalusi. Et südmus AB tähedab ii südmuse A kui ka südmuse B toimumist, siis kombiatoorika korrutamislause põhjal o südmuse AB jaoks soodsaid võimalusi k m ig kõiki võimalusi. k m k m Nüüd P( AB) = = = P( A) P( B). Tähedab, sõltumatute südmuste korral o P(AB) = P(A) P(B). Näide 3. Visatakse kaks korda tärigut. Olgu südmus A kuue silma tulek esimesel viskel ja südmus B kuue silma tulek teisel viskel. Et südmused A ja B o sõltumatud, siis PAB ( ) = PA ( ) PB ( ) = = 0,08. 6 6 36 Näide 4. Müti visatakse järjest kaks korda. Leiame tõeäosuse, et vapp tuleb esile kas esimesel või teisel viskel. 84
Lahedus. Olgu südmuseks A vapi tulek esimesel viskel ja südmuseks B vapi tulek teisel viskel. Südmused o teieteist mittevälistavad. Seetõttu P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB). Et südmused A ja B o sõltumatud, siis P(AB) = P(A) P(B) = = ja 4 P(A + B) = + = 3. Sama tulemuse oleksime saaud ka kõigi võimaluste 4 4 ja eist soodsate võimaluste loetlemise teel: vapp-vapp, vapp-kiri, kiri-vapp, kirikiri; = 4, k = 3, p = 3 : 4 = 0,75. Näide 5. Laual o 6 alust kompvekkidega. Üks ettekadja o eist täitud 4 alust, paes igale 5 täidisega ja 5 täidiseta kompvekki, teie aga alust, paes igale 0 täidisega ja 0 täidiseta kompvekki. Leiame, kui suur o tõeäosus, et juhuslikult aluselt juhusliku kompveki võtmisel saame täidisega kompveki. Lahedus. Sellist ülesaet o otstarbekas lahedada mitte valmis valemite abil vaid arutelu teel, kasutades tõeäosuste liitmise ja korrutamise teoreeme. P (täidisega kompvek) = P (täidisega kompvek kas esimese või teise ettekadja poolt täidetud aluselt). Juba väljedist kas või selgub, et vastavad tõeäosused tuleb liita. Et tegemist o välistavate südmustega, siis P (täidisega kompvek) = P (täidisega kompvek esimese ettekadja poolt täidetud aluselt) + P (täidisega kompvek teise ettekadja poolt täidetud aluselt). Kua kummagi ettekadja poolt täidetud aluseid o laual mitu, siis sulgudes märgitud südmused tähedavad, et ee valitakse juhuslikult alus ja siis alles sellelt kompvek. Järelikult P (täidisega kompvek) = P (esimese ettekadja poolt täidetud alus ja sellelt täidisega kompvek) + P (teise ettekadja poolt täidetud alus ja sellelt täidisega kompvek). Kummagi liidetava korral o tegemist kahe südmuse korrutisega, kusjuures südmused (valitakse teatud alus ja sellelt täidisega kompvek) o sõltuvad. Seega tuleb üüd rakedada tõeäosuste korrutamise teoreemi sõltuvate südmuste korral: P (täidisega kompvek) = P (esimese ettekadja alus) P (sellelt täidisega kompvek) + + P (teise ettekadja alus) P (sellelt täidisega kompvek) = 4 5 + 0 = 4 0,44. 6 30 6 30 9 A 83. Korvis o lillad ja kollased ploomid. Võetakse juhuslikult üks ploom ig süüakse ära. Seejärel võetakse teie ploom. Südmus A o kollase ploomi tulek esimesel võttel ja südmus B kollase ploomi tulek teisel võttel. Kas südmused A ja B o sõltuvad või sõltumatud? 84. Südmus A o ühe silma tulek tärigu esimesel viskel, südmus B aga kuue silma tulek tärigu teisel viskel. Kas südmused A ja B o sõltuvad või sõltumatud? 85
85. Leidke ülesades 83 esitatud juhul tõeäosused P(A), P(B /A) ja P(B / A ), kui korvis o kollast ja lillat ploomi. 86. Leidke eelmise ülesade admetel südmuse A B tõeäosus. 87. Kaardipakist, milles o 36 kaarti, tõmmatakse juhuslikult üks kaart ja seejärel teie. Kui suur o tõeäosus, et esimee kaart o must pilt (südmus A) ja teie kaart o pilt (südmus B)? 88. Kaks laskurit, kellel märklaua tabamise tõeäosus o vastavalt 0,7 ja 0,8, lasevad samasse märklauda. Kui suur o tõeäosus, et ) ad mõlemad tabavad märki, ) vähemalt üks tabab märki? 89. Kui suur o tõeäosus, et abikaasadel o ühel ja samal päeval süipäev? 80. Kui suur o tõeäosus, et juhuslikult kirjutatud positiive murd, mille lugeja ja imetaja o kahekohalised arvud, taadub kuuega? 8. Kaardipakist, milles o 36 kaarti, tõmmatakse juhuslikult üks kaart. Kui suur o tõeäosus, et tuleb kas ristikaart (südmus A) või üks ässadest (südmus B)? 8. Sorteerija ees laual o juhuslikus järjekorras 0 karpi ööpe. Neist eljas karbis o igas 00 siist ja 300 rohelist ööpi ig kuues karbis 300 siist ja 00 rohelist ööpi. Sorteerija võtab juhuslikust karbist juhusliku ööbi. Kui suur o tõeäosus, et see o siie ööp? 83. Laual o juhuslikus järjekorras kolm uri, millest ühes o 4 valget ja 6 musta kuuli, teises 0 valget ja 8 musta kuuli ig kolmadas valget ja 0 musta kuuli. Võetakse juhuslikust urist juhuslikult kuul. Kui suur o tõeäosus, et see o valge? 84. Urist, kus o 0 valget ja 8 musta kuuli, võetakse juhuslikult kuul, vaadatakse selle värvus ja paakse uri tagasi. Pärast kuulide segamist korratakse katset. Kui suur o tõeäosus, et mõlemal katsel saadi must kuul? Lahedage see ülesae ka eeldusel, et esimest kuuli uri tagasi ei pada. 85. Samu tooteid valmistavad tehases eli masiat. Esimee masi valmistab vahetuses 80 toodet, kusjuures praagi tõeäosus o 0,05, teisel masial o eed äitajad 60 ja 0,0, kolmadal 60 ja 0,05 ig eljadal 90 ja 0,03. Leidke tõeäosus, et vahetuse toodagust juhuslikult valitud toode o praak. 5.8. GEOMEETRILINE TÕENÄOSUS Südmuse klassikalise tõeäosuse defieerimisel eeldasime, et kõigi võimaluste arv () o lõplik. Kuidas aga leida tõeäosust siis, kui kõiki võimalusi meid huvitava südmuse korral o lõpmatult palju? Tavaliselt o siis ka südmuse toimumiseks soodsaid võimalusi lõpmatult palju. 86
Näide. Külma vee toru o 00 m ulatuses maa sees. Torusse tekkis auk. Võimalus augu tekkimiseks o kogu toru ulatuses sama. Kui suur o tõeäosus, et auk o tekkiud maatee all (südmus A), mille laius o 5 m? Lahedus. Et toru pikkus o pidev suurus ja augu tekkimise võimalikke kohti (pukte torul) o lõpmatult palju (samuti o soodsaid pukte lõpmatult palju), siis klassikalist tõeäosuse defiitsiooi rakedada ei saa. Arutleme piltlikult, tugiedes ettekujutlusele lõplikest suurustest: tudub loomulik olevat, et toru pikkus o võrdelie puktide arvuga (lõpmatus!) torul. Kui ii, siis saame ebamäärase mõiste puktide arv asedada toru pikkusega ig otsitav tõeäosus peaks olema 5 : 00 = 0,075. Nii ta tegelikult ka o, sest geomeetrilie tõeäosus defieeritakse lõpliku lõigu L (lõigu all mõtleme ka selle pikkust) korral kui südmuse jaoks soodsa pikkuse l ja kogu pikkuse L jagatis. Üldiselt defieeritakse geomeetrilie tõeäosus järgmiselt: Kui migi geomeetrilise piirkoa D (lõik, tasadi või ruumi osa), mille mõõde (pikkus, pidala, ruumala) o S, tabamie o kidel, siis selle piirkoa osapiirkoa d, mille mõõde o s, tabamise tõeäosus o s S. Seejuures eeldatakse, et piirkoa D iga pukti tabamiseks o võrdsed võimalused. Näide. Kui suur o tõeäosus tabada jooisel kujutatud ruudukujulise märklaua värvitud osa? Lahedus. Olgu märklaua külg a. Siis värvimata kolmurkade kaatetid o 0,5a ig ede kolmurkade pidalade summa o 0,5a 0,5a a 4 =. Värvitud osa pidala o a 0,5a = 0,5a. Otsitav tõeäosus p = 0,5a : a = 0,5. Näide 3. Poiss viskab palli diameetriga 6 cm läbi ristkülikukujulise ava mõõtmetega 0 5 cm. Kui suur o tõeäosus, et pall läbib ava ö. puhtalt? Lahedus. Loeme palli puhtaks läbimiekuks avast veel seda, kui ta puudutab ava serva. Kui palli keskpukt (jooisel suurrigi keskpukt) o katkedliku jooega märgitud ristkülikus, mille mõõtmed o 0 6 = 4 cm ja 5 6 = 9 cm, siis pall läbib ava. 4 9 Seega p = = 0,4. 0 5 Joo.5.0 Joo.5. 87
Näide 4. Iga kahe lialiii bussi ajalie vahe o miutit. Buss, mis tuleb lõpp-peatusse, seisab seal 3 miutit ja sõidab siis liiile. Bussile mieja jõuab lõpp-peatusse juhuslikul ajal. Kui suur o tõeäosus, et ta jõuab lõpp-peatusse ajal, mil buss seal seisab? Lahedus. Aja puktide hulki 3 mi ja mi saab kujutada sirgel lõikudea, äiteks 3 cm ja cm. Tugiedes üüd geomeetrilise tõeäosuse defiitsiooile, saame, et p = 3 : (3 + ) = 0,. A 86. Jooisel 5. o kujutatud kolm märklauda, millest kaks esimest o ruudukujulised. Eeldame, et märklauda tulistatakse sihtimata. Kui suur o tõeäosus, et tabatakse märklaua värvitud osa? Joo.5. 87. Mõõtke sekudites lähima valgusfoori tsükli erievate osade pikkus (rohelise, kollase, puase ja kollase tule kestus) ig leidke, kui suur o tõeäosus, et juhuslikul ajamomedil foori juurde jõudes pääsete kohe edasi. 88. Laud o kaetud valge liaga, millesse o iga 8 cm järel kootud väga peeikesed rohelised paralleelid. Kui suur o tõeäosus, et visates lauale krooise metallraha, see ei lõiku jootega? Mitmel korral o keskmiselt loota, et raha ei lõika jooi, kui katseid teha 80? 89. Lahedage eelmie ülesae eeldusel, et laual o ruudulie lia ruudu küljega 8 cm. 830. Maja välisukses o ridamisi ruudukujulised akakesed külje pikkusega 8 cm. Puidust raamid akede vahel o cm laiad. Margus viskab ust ümmarguse kiviga, mille diameeter o 3 cm. Kui suur o akakese puruemise tõeäosus eeldusel, et kivi, mis läheb juba veidi vastu raami, ei purusta aket? B 83. Mihkel ja Mirjam otsustasid kohtuda ajavahemikus 0.00 kui.00 Tartu raekoja platsil purskkaevu juures. Tigimuseks oli, et see, kes kohale jõuab, ootab teist 0 miutit ja läheb siis ära. Leidke tõeäosus, et Mihkel ja Mirjam kohtusid. 88
5.9. STATISTILINE TÕENÄOSUS Südmuse klassikalise tõeäosuse defiitsioo eeldab südmuse kõigi võimaluste võrdvõimalikkust. Seda ei ole aga sageli võimalik kidlaks teha või siis kõik üksikjuhud ei olegi võrdvõimalikud. Olgu poeglapse süd südmus A. Kui eeldada, et südmuse A jaoks o kõiki võimalusi kaks süib kas poiss või süib tüdruk (tegelikult võivad südida ka kaksikud) pole selge, kas eed võimalused o võrdvõimalikud. Järelikult ei või poeglapse südimise tõeäosust arvutada klassikalise tõeäosuse defiitsiooi järgi. Kuidas aga sellisel juhul südmuse tõeäosust leida? Olgu vaatluse all südmus A, mis iga katse korral kas toimub või ei toimu. Eeldame, et katseid (ka vaatlus o katse) saab korrata kui tahes palju kordi järjest. Katse võimalikud erievad tulemused ei pea olema (aga võivad olla) seejuures võrdvõimalikud. Kui südmus A esies katse korral (ühe katseseeria korral) m korda, siis arvu m imetatakse südmuse A sageduseks (. absoluutseks sageduseks) ig suhet m südmuse A suhteliseks sageduseks (ka relatiivseks sageduseks). Suhtelist sagedust väljedatakse sageli protsetides. Südmuse A statistiliseks tõeäosuseks imetatakse südmuse A suhtelist sagedust m küllalt suure katsete arvu korral. Näide. Iglise matemaatik K. Pearso viskas müti 000 korda ja vapp esies 609 korda. Seejärel viskas ta müti veel 000 korda ig vapp esies üüd 5993 korda. Esimese katseseeria korral oli vapi esiemise suhtelie sagedus 0,506, teise seeria korral aga 0,4994. Neid arve võib defiitsiooi kohaselt võtta vapi esiemise statistiliseks tõeäosuseks, kuid K. Pearsoi poolt tehtud katseid võib vaadelda ka ühe katseseeriaa, kus = 4 000, ja vapi esiemise sagedus o 0. Nüüd o vapi tuleku (kui juhusliku südmuse) statistilie tõeäosus 0,5005. Näitest selgub, et südmuse statistilie tõeäosus o südmuse klassikalise tõeäosuse (müdi viskamisel o vapi tuleku tõeäosus 0,5) hiaguks. Võib teha ka oletuse, et mida suurem o katsete arv, seda vähem erieb südmuse suhtelie sagedus klassikalisest tõeäosusest ( 000 katse järel oli erievus 0,006, 4 000 katse järel 0,0005). Selgub, et viimae väide ii resoluutsea siiski ei kehti. Osutub, et pikkade katseseeriate puhul ei erie südmuse suhtelised sagedused klassikalisest tõeäosusest tõeäoliselt kuigi palju; teisiti öeldes: 89