TALLINNA PEDAKOOGIKAÜLIKOOL Matemaata-loodusteadusond Geofüüsa õppetool Jaa Lmbo OKEANOLOOGILISTE VÄLJADE REKONSTRUEERIMINE DISKREETSETE MÕÕTMISTE PÕHJAL KRIGING-ALGORITMI ABIL Baalaureusetöö Juhendaja: füüs.-mat. and., prof. J. Elen Autor:......... 00.a. Juhendaja:......... 00.a. Lugatud atsmsele...... 00.a. Õppetool juhataja prof. J. Elen... Tallnn 00
Ssuord Sssejuhatus. Teoreetlsed alused...4. Krgng...4. Optmaalnterpolatsoon...7.3 Krgngu ja optmaalnterpolatsoon evvalentsus....4 Varogramm ja orrelatsoonfuntsoon tüüplsed lähendused...3.5 Interpolatsoonvea hndamne...9.6 Andmete valteed ontroll...0. Hüdrograafas ja oeanoloogas esnevad tüüplsed andmed...3 3. Lhtsa pagutusega andmete põhjal reonstrueertud aartde sõltuvus algortm ja parameetrte valust Surfer 7.0 nätel...5 4. Varogramm modelleermne ja jaotuste reonstrueermne hüdrograaflste ja oeanolooglste andmeogude põhjal...30 5. Soovtused Surfer 7.0 raendamses tavaasutajale...37 Kouvõte...39 Resümee nglse eeles...40 Krjandus...4 Lsa Kasutatud andmete formaat...43 Lsa Lneaarse varogramm panemne ernevates vaadetes...43 Lsa 3 Gauss varogramm panemne ernevates vaadetes...44
Sssejuhatus Kaartde oostamne on nmonna gvana tegevus. Kaasaegne mõõtmstehna võmaldab loodusle suuruste ruumlse jaotuse mõõdstamsel saada mõõtmspuntdes andmed väga suure täpsusega. Samal ajal on mõõdetavad väljad sagel juhuslu seloomuga ja mõõtepuntde vahel e tarvtse välja muutused olla orrapärased. Seetõttu jääb loodusle väljade aartde oostamsel põhlses probleems saadud mõõtmsandmete õge nterpreteermne. Ruumlste andmete analüüss asutatase mtmed ernevad moodused. Kõge lhtsam on subjetvanalüüs, us andmed hnnatase vsuaalselt, parandused ja aardd tehase ästs. Teses meetods on objetvanalüüs, us andmed on algortmga orrastatavad ja analüüs tulemused on orratavad. Objetvanalüüs meetoded võb jaotada ahes (Cresse, 993). Estes, ajaloolselt ujunesd õgepealt välja mtmesugused algebralsed meetodd, mda aasajal nmetatase mttestohhastlstes meetodtes. Sn on eelduses, et õ andmed on täpsed ja mttejuhuslud. Mttestohhastlne nterpolatsoon e arvesta väljade statstls ruumls omadus. Teses, 40-50 aastat tagas haat pratas raendama stohhastlst nterpolatsoon, ms peab mnmseerma hnnangu ruutesmse vea. Eests asutatase ruumlste andmete stohhastlst nterpoleermst laaldaselt oeanoloogas (Toompuu and Wulff, 996). Seejuures on asutusel nn optmaalnterpolatsoon meetod, us nterpolatsoon ontrollvates parameetrtes on välja orrelatsoonfuntsoon nng müra-sgnaal suhe. Tene geostatstas, ert mäeasjanduses maalmas laalt levnud stohhastlse nterpoleermse meetod, Krgng, lähtub üll samadest eeldustest u optmaalnterpolatsoon nng on vmasega ssulselt evvalentne, ud tema ontrollparameetrd on ernevalt defneertud. Eests asutatase Krgngut vmasel ajal mtmesugustes raendustes üha rohem, una see algortm ssaldub laatarbe tarvaras, optmaalnterpolatsoon ohta aga laatarbe tarvara e ole. Antud töö eesmärgs on uurda Krgng-algortm raendus oeanoloogas nng teha selges asutatava algortm eelsed ja puudused võrreldes teste meetodtega. Töö onreetses ülesandes on saada aart, us on arvestatud andmete statstls omadus ja arvutada nterpoleertud väärtused arvutusvõrgul. Tööd motveers laatarbe programmpaettdes asutatavate nterpolatsoonmeetodte 3
reaalse raenduse võmalus. Meteoroloogas ja oeanoloogas üldlevnud optmaalnterpolatsoon meetod otsese raendamse puudumne laatarbe programmpaettdes tõ aasa Krgngu meetod asutamse. Käesolev töö on üles ehtatud ahes osas. Esmeses, teoreetlses osas on estatud stohhastlse nterpolatsoon meetod - Krgng ja optmaalnterpolatsoon - põhmõttelsed alused ja nädatud nende ssulne evvalentsus. Seejuures on Krgngu juures asutatavad matemaatlsed tähstused võmaluste pres ühtlustatud Eest Merensttuuds asutatavate optmaalnterpolatsoon tähstustega. Esmene osa on enamuses referatvne. Autor on sn sesesva tööna tesendanud enamasutatud varogramm lähendused orrelatsoonfuntsoondes ja a vastupd, ms peas atama ühe meetodga harjunud asutajad tesele meetodle ülemneul. Töö teses pooles raendatase Krgngu meetodt reaalsetes tngmustes. Andmetena asutatase Soome lahe suudme temperatuur mõõdstamsel saadud andmed. Temperatuur ruumlse jaotuse hndamses ja aartde joonstamses asutatase laatarbeprogramm Surfer 7.0. Võrdluses arvutat aart lsas Krgngu meetodle a teste paets olevate mttestohhastlste nterpolatsoonmeetodte abl. Krgng-algortm orral hnnat mõõtmsandmete põhjal varogramm mudelte parameetred ja uurt temperatuur jaotuse sõltuvust etteantud parameetrte valust. Loodetavalt on töö tulemustest asu hlsemas analooglste andmete ästlemses eerulsemates arvutusmudeltes. Autor avaldab tänu õgle, es old abs töö valmmsel, ert juhendaja Jür Elenle, samut Alesander Toompuule ja Evald Langebraunle. 4
. Teoreetlsed alused. Krgng Reaalses maalmas on peaaegu võmatu saada ammendavad andmed gas looduslu välja punts, ms huv paub ja seda just pratlstel põhjustel. Seetõttu tuleb aartde oostamsel asutada mõõtmsandmete nterpoleermst. Krgng on stohhastlse nterpolatsoon meetod, ms võmaldab ennustada mttemõõdetud puntdes välja tundmatud väärtus teadaolevatest andmetest, asutades mõõdetava välja statstls omadus. Meetod se on nme saanud Lõuna- Aafra mäensener D.G.Krge järg, es 950-tel aastatel arendas välja emprlsed meetodd tegelu maag ssalduse ohta ogutud nädstes (Cresse, 993). Samas tuleb manda, et Krge tööde matemaatlsed alused formuleert ss teste matemaatute poolt nng a Kolmogorov (94) ja Wener (949) tööd ssaldasd lneaarset optmaalset ennustamst, us märgt, et lähmale määratud puntle tuleb välja arvutustel anda rohem aalu (Cresse, 993). Krgngu meetod asutab ruumlse välja stohhastlste omaduste estamses varogramm ja mnmseerb ennustatavate väärtuste vead. Uurtava välja mõõtmstulemused r r o, ms võvad ssaldada a soovmatut müra (orduvad mõõtmsed e anna mõõtmsvgade ja välja väesemastaablste ebaühtluste tõttu sama tulemust), saame jagada ahes omponends o o ( r ) ( r ) ( r ), () us on otstava müravaba välja esmne, mttejuhusl jaotus nng o on mõõtmstulemuse õrvalealle esmsest, ms on põhmõttelselt juhuslu r x, y, z on mel juhuslu funtsoon seloomuga. Seejuures puntdes o o väärtuste mõõtmsega saadud andmed ( r ) ga 0 ja n jaos ( n on andmete oguhul). Tundmatu väärtus asuohas r, mda me ürtame hnnata on ( r ). 5
Teoreetlselt hndab tavalne Krgng tundmatut välja väärtust, asutades aalutud lneaarsed ombnatsoone olemasolevatest andmetest (Isaas and Srvastava, 989): n o w, n w, () us on müravaba välja hnnang punts, o on mõõdetud väärtused puntdes nng hnnangu jaos võrduma ühega. w tähstab aaluoeftsente, mlle summa peab nhutamata Pratas asutatase seda tüüp nterpolatsoonseosed () uurtava välja väärtuste määramses orrapärasel arvutusvõrgul panevates puntdes, asutades ruums ebaorrapäraselt panevates vaatluspuntdes tehtud mõõtmste tulemus (joons). Joons. Välja väärtused ühtlasel arvutusvõrgul (tähstatud rngdega) letase ruums ebaorrapäraselt panevatest andmetest (tähstatud olmnuradega). Punts, us mõõtms e ole tehtud, on hnnangu vga tegelu (seejuures tundmatu) ja hnnatud väärtuse vahe d (3) eh asutades avaldst () saame 6
n o w. (4) d Kaaluoeftsendd w on mel sen tundmatud. Toome ssse deaalse esmstamse (ruumlste väljade orral see mõste on üsna ompltseertud, Cresse, 993), mlle tähstame ülarpsuga, nng vaatleme hnnangu ruutesmst vga n o d w w w o o o j w j n n n j j. (5) Seejuures nn tavalse Krgngu orral eeldatase, et välja esmne jaotus on teada. Avaldse (5) paremas pooles tähstavad välja väärtuste ruutesmsed vahed ernevates puntdes välja statstlst araterstut varogramm o o r rj j, (6) mda mõnedes rjandusallates nmetatase a strutuurfuntsoons. Kaaluoeftsentde w ledmses mnmseerme ruutesmse vea, võttes tema avaldsest aaluoeftsentde järg tuletsed ja võrdsustame nullga. Selles, et oles tädetud nhutamata hnnangu tngmus n w, on avaldsele (5) vaja lsada Lagrange' ordajat m ssaldav lge. Mnmseertavas avaldses saame (5) ja (6) arvestades (Cresse, 993) n n n n M w wj r rj w r r m w j. (7) osatuletse ga Selles, et saada mnmaalset vea dspersoon võtame avaldsest (7) saame w suhtes: w suhtes nng a m suhtes ja võrdsustame tulem nullga. Nätes 7
M w n w r r r r m 0 j j j (8) eh n j w r r m r r j j (9) Kõ aalud w ja m saab leda lneaarsest võrrandsüsteemst n j w r r m r r j j õde -de jaos, n (0) n w Peale aaluloeftsentde w ledmst saameg avaldsest () hnnangulse väärtuse ohas r. Seega määrab Krgngu meetodl letavate nterpolatsoon aaluoeftsentde väärtused mõõtepuntde pagutus nng varogramm väärtused õg mõõtepuntde vahel, nng nterpoleertava punt ja ga mõõtepunt vahel. Märgme, et müravaba välja orral on r r orral j 0 0. Ku andmed ssaldavad müra, mlle dspersoon on, ss Nätena võs vaadelda ahte standartset semvarogramm (/ varogrammst) homogeensel ja sotroopsel juhul, u varogramm väärtus puntde ja j vahel sõltub anult puntde augusest r r rj :. lneaarne ( r) C S r () 0 us C 0 on müra seloomustav nn. nugget effect ja S on varogramm alle eh slope. Vmane on anult lneaarset varogramm seloomustav suurus (joons ).. esponentsaalne 8
3 r ( r) C0 C exp () a us a on varogramm pus eh range ja C C0 on varogramm läv suurte auguste orral eh sll. Nng r on mõlemal juhul hnnatava ja mõõdetud asuoha vahelne augus (joons 3). h Joons. Lneaarne semvarogramm Joons 3. Esponentsaalne semvarogramm h. Optmaalnterpolatsoon Meteoroloogas, us on tegemst ajas muutuvate juhusle väljadega, arendas L.S.Gandn omaaegses Nõuogude Ldus 60-tel aastatel Krgngust sõltumatult välja samadest eeldustest lähtuva nterpolatsoonmeetod. Kuvõrd meteoroloogas on lhtne teha ruumlste väljade ajalst esmstamst nng ruumls ebaühtlus uurtase orrelatsoonfuntsoonde audu, ss tema lähenemne juhuslu välja reonstrueermsel vs teste termnte asutusele võtmsen. Gandn nmetas oma lähenemst objetvses analüüss ja asutas Krgngu asemel termnoloogas optmaalnterpolatsoon mõstet (Tmštšeno et al., 988). Seda meetodt asutatase laaldaselt meteoroloogas ja oeanoloogas. Kahjus puuduvad optmaalnterpolatsoon termnoloogale tugnevad laatarbe programmpaetd. Et optmaalnterpolatsoon u juhuslu välja reonstrutsoon ästleda, tules vaadelda mõnngad tähstus ja lähte-eeldus. Algmaterjalna on suures osas asutatud A.Toompuu loengut optmaalanalüüsst (Toompuu, 000). Olgu juhuslu salaarse välja realsatsoon ( r ). Antud välja ansambl orral saab realsatsoon estada esmse ja flutuatsoon summana, ( r ) ( r ) ( r ), (3) 9
us esmstamne üle ansambl on tähstatud ülarpsuga. Kuna realsatsoon mõõdetud väärtus o ( r ) e lange tavalselt ou tegelu väärtusega ( r ), ss võtame arvesse juhuslu vga (müra) ( r ). o ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) (4) Oletame, et juhusl vga ( r ) on põhjustatud n mõõtmsest, looduslest mtteorreleertud protsessdest u a andmetöötluse ägus tenud vgadest (Toompuu, 000). Eeldame veel, et n tegel flutuatsoonväl u a müraväl on homogeense esväärtusega ( r ) 0, ( r ) 0, ja antud pronnas onstantsete dspersoondega ( r ), ( r ). Eeldame, et vead e orreleeru omavahel, ( r ) ( r ) 0, us r a r, ega a mtte tegelu väljaga, b a b ( r ) ( r ) 0. Tähstame mõõdetud flutuatsoon u tegelu flutuatsoon ja a b müra summa, o ( r ) ( r ) ( r ), ja eeldme, et essteerb tegelu flutuatsoonvälja ahepuntlne orrelatsoon (tegel orrelatsoon), ( ra ) ( rb ) C( ra, rb ). (5) Lähtudes asutatud mõstetest, tähstustest ja tehtud eeldustest saame tuletada avaldse mõõdetud flutuatsoonvälja orrelatsoonle (mõõdetud orrelatsoon), o o ( r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a rb ra r r b a rb C( ra, rb ) ( ra, rb ) ( ra, rb ),(6) r r us on müra-sgnaal suhe ja Kronecer sümbol ( ra, rb ), u a b. 0 ra rb 0
Eeldades, et tegel orrelatsoon C on oma argumentde pdev funtsoon, on mõõdetud orrelatsoonfuntsoonl vastavalt avaldsele (6) esmest järu atevus punts r a r. Joonsel (4) on toodud as ernevat b orrelatsoonfuntsoon, us snsega on toodud orrelatsoonfuntsoon e ssalda müra ja punasega toodud normeertud orrelatsoonfuntsoon ssaldab mtteorreleeruvat müra. Nullse ajanhe juures teeb teeb vmane hüppe müra/sgnaal suhte võrra., 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 3 4 5 6-0, Joons 4. Tegelu välja (snne) ja mõõdetud välja (punane) normeertud orrelatsoonfuntsoond. Edas võme mnna juhuslu välja reonstrueermse eh optmaalnterpolatsoon juurde. o o Olgu n vaatluste ( ) arv mõõdetud juhuslu välja realsatsoon r puntdes ohavetortega r,,,..., n. Hndame flutuatsoonvälja väärtust suvalses punts, ms on määratud ohavetorga r, mõõdetud välja flutuatsoonväärtuste lneaarse ombnatsoonna n w, (7) j j o j us oeftsendd w j määratase n estreemumtngmustest hnnangu vea dspersoonle:
( ) w j 0, j,,..., n. (8) Hnnangu vea ruut avaldub (7) arvestades ujul o o o o wj j wj w j wj j j j, j ( ) ( ). Vea dspersoon saamses raendame esmstamst o o o wj w j wj j, j ( ). (8a) Arvestame, et mõõdetud flutuatsoond oosnevad välja tegele flutuatsoonde ja müra summast wj w j j wj j j, j ( ) ( )( ) ( ) nng seda, et välja flutuatsoond ja müra omavahel e orreleeru wj w j wj w j wj j j, j, j ( ) ( ) ( ). Toome ssse tegelu välja orrelatsoonmaatrs C C( r, r ) ruumpuntde r ja r vahel nng ühmaatrs I j. Ss saame vea dspersoons wj w C j I j wjcj j, j ( ) ( ). Vea dspersoon mnmseermses võtame osatuletsed aaluoeftsentde järg
( ) w l w ( C I ) w ( C I ) C l l j jl jl l j nng võrdsustame need pärast avaldse lmete ümbergrupeermst nullga ( ) w l wj ( C jl I jl ) Cl 0 j ust saame lneaarse võrrandte süsteem j w C I C. j ( jl jl ) l 0 Seega, estreemumtngmused (8) on evvalentsed nest tuletatud n lneaarsest algebralsest võrrandst oosneva võrrandsüsteemga oeftsentde w j tarvs, n w M j j j C,,,..., n, (9) us M j ( C j I j ) ( ) on mõõdetud flutuatsoonvälja orrelatsoonoeftsentde maatrs välja õg vaatluspuntde vahel. Edas jäävad määrata süsteemst (9) oeftsendd w j nng asendada nad nterpolatsoonvalemsse (7). Lneaarset võrrandsüsteem saab efetvselt lahendada arvutprogrammde abl. Algebralselt saab võrrandsüsteem lahend rjutada välja pöördmaatrste audu (Toompuu, 000): C n n n wj M jm l M l j ; ; n n n wj M jm l C M l j ; n n wj I jl C M l j w ; n l C M l 3
n n n n n o o o wj j C M j j C M j j j j j Peale oeftsentde w j määramst võrrandsüsteemst (9) on mel võmal rääda lneaarsest hnnangust (7) u vähmruutude mõttes optmaalsest hnnangust, mlle saab rjutada vastavalt ujul, (0) n n o C M j j j us M on M pöördmaatrs. Antud optmaalanalanalüüs raendamsel onreetsetele andmetele tuleb õge pealt lahendada as ülesannet. Estes, tuleb määratleda juhusl väl, eh teste sõnadega, defneerda esmstamse operaator ja jagada sellele vastavalt vaatlusandmete hul (u väljavõte juhuslu välja realsatsoonst) esmse ja flutuatsoon alamhulades. Ku andmed on vähe, ss sagel eeldatase et esmne jaotus on onstantne nng tema väärtuses võetase mõõtmstulemuste artmeetlne esmne. Teses, tuleb leda hnnangud orrelatsoonfuntsoonle ja andmete müra-sgnaal suhtele..3 Krgngu ja optmaalnterpolatsoon evvalentsus Optmaalnterpolatsoon ja Krgngut võb pdada ssulselt evvalentsetes, una mõlemal juhul otstase välja hnnangut mõõdetud väärtuste lneaarombnatsoonna (), (7) ja aaluoeftsendd määratase hnnangu ruutesmse vea (5), (8a) mnmseermse tngmustest. Ernevused tulevad ssse ruutlmete tesendamsel, mlle tagajärjel teb ernev termnolooga väljade statstlste omaduste rjeldamsel. Ku optmaalanalüüs orral rjeldatase juhuslu välja strutuur orrelatsoonfuntsoonga, ss Krgngus asutatase nn. varogramm (strutuurfuntsoon) 4
a b a b a! " b a b r r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r, ms homogeense ja sotroopse välja orral omandab uju (Toompuu, 000) r Cr r! ", () us r ra rb (joons 5). Seejuures müra dspersoon annab nglse eeles nme nugget effect. ( ) o Joons 5. Ühe ja sama juhuslu välja varogramm ja orrelatsoonfuntsoon..4 Varogramm ja orrelatsoonfuntsoon tüüplsed lähendused. Oletame,et 0 0 r r ( r! " r ), () õde r, r # D jaos. Suurust utsutase varogramms (ja suurust utsutase semvarogramms). Esmaordselt võtts asutusele varogramm mõste 5
Matheron (96), ug on a varasemad ülestähendus teaduslus rjanduses. Yaglom (957) ja Gandn (963) asutasd varogramm asemel mõstet strutuurfuntsoon (Cresse, 993). Varogramm on mõõt, ms nätab u rest esmselt välja väärtused muutuvad. Üldne prntsp sesneb selles, et as vaatlust, ms asuvad üstesele ruumlselt lähemal, on sarnasemad, u need, ms asuvad tenetesest augemal. Sõltuvalt ästletavatest protsessdest võvad andmed omada soosngut teatud suunas s.t. suurused võvad muutuda ühes suunas remn u teses suunas. Vmases ästluses oles juhusl väl ansotroopne nng sel juhul varogramm on a suuna funtsoon. Varogramm on olmemõõtmelne funtsoon (suund$, vaheaugus r ) ja üs sõltuv muutuja (varogramm väärtus ( $, r) ) (Waldow, 998). Antud juhul asutame ahte standartset varogramm, mlles on lneaarne varogramm ja esponentsaalne varogramm (Chao-y Lang, 000). Lneaarne varogramm avaldub ujul: 0 u r 0 r, (3) C0 S r u r 0 us C on Nugget effect ja S on alle. 0 Esponentsaalne varogramm avaldub ujul: 0 u r 0 % r 3 r (4) % C0 C exp u r 0 a us C on Nugget effect, läv 0 C võrdub dspersoonga, müra ja a ogu välja dspersoonde suhe on ja on e-ordse ahanemse augus. 3 Korrelatsoonfuntsoon asutatase optmaalnterpolatsoon juures. Ajalste protsessde orral ta nätab, u tugevalt on ajahetel t realseeruvad protsess väärtused orreleeruvad mngl tesel ajahetel t realseeruvate väärtustega (Elen, 999). 6
& ' ( ) C( t, t) M!* t m( t) "!* t m( t) " M * ( t) * ( t) * ( t) * ( t), (5) us m( t) on oordnaadst sõltuv esväärtus, M ( ) on esmstamse operaator ja * t on juhslu protsess onreetne realsatsoon. Antud lähenduses on mel tegemst ruumlste väljade ja ruumlse orrelatsoonga. Kasutame standartset lanelst ja esponentsaalset orrelatsoonfuntsoon. Lanelne orrelatsoonfuntsoon avaldub järgmselt: r C( r) exp cos( br) R, r u r 0 % r exp cos( br) % R u r 0 % (6) us R on orrelatsoonmastaap ja sumbuval oosnusel annab b domneerva + lanepuse L, b. L Esponentsaalne orrelatsoonfuntsoon avaldub järgmsel ujul: r C( r) exp R, r u r 0 % r exp % R u r 0 % (7) Antud funtsoonde vastavused on arvutatud ja graafud joonstatud tabelarvutusprogrammga Excel. Arvutatud on standartsetele orrelatsoonfuntsoondele vastavad varogrammd ja vastupd. Kõgepealt vaatame mllsed varogrammd vastavad standartsetele orrelatsoonfuntsoondele. Kasutatud on valems (0) nädatud varogramm sõltuvust orrelatsoonfuntsoonst: r Cr r! ", (8) ms omandab uju 7
r r! ". (9) Korrelatsoonfuntsoonle vastava varogramm saamses asendame valemd (6) ja (7) valemsse (9). Saame lanelse orrelatsoonfuntsoon jaos vastavalt: r ( r), ( ) exp cos( br) R -, u r > 0 (30)! " ja esponentsaalse orrelatsoonfuntsoon jaos r ( r), ( ) exp R -, u r > 0 (3)! " Mõlemal juhul u r = 0 ss a ( r) =0. Kasutades valemed (30) ja (3) arvutat joonstel 6 ja 7 toodud graafud. Antud vastavuse ledmses on vaja orrelatsoonfuntsoonle ette anda müra ja ogu välja dspersoond, ms sad vastavalt valtud 0.3, nng orrelatsoon mastaap ja uju määravad parameetrd R ja b. Esponentsaalsele orrelatsoonfuntsoonle vastav varogramm on toodud joonsel 6 ja lanelsele orrelatsoonfuntsoonle vastav varogramm on toodud joonsel 7. 5 4,5 Korrelatsoon Varogramm 4 3,5 Korrelatsoon 3,5,5 Varogramm Nugget effect 0,5 0 0 3 4 5 6 7 8 Vahe augused Joons 6. Esponentsaalsele orrelatsoonfuntsoonle (snne) vastav varogramm (punane). 8
6 5 4 Korrelatsoon 3 Varogramm 0 0 3 4 5 6 7 8 - Vahe augused Joons 7. Lanelsele orrelatsoonfuntsoonle (snne) vastav varogramm (punane). Standartsetele varogrammdele vastavate orrelatsoonfuntsoonde ledmses asutame valemt (9), us optmaalnterpolatsoonst lähtuvalt on ette antud välja dspersoon ja müra dspersoon nng us müra ja ogu välja dspersoonde suhe on. Normeertud orrelatsoon avaldub ujul: r r (33) Nugget effect u müra dspersoon avaldub ujul. Lneaarse varogramm (3) puhul avaldub orrelatsoonfuntsoon vastavalt: u r 0 % S r r (34) % u r 0 % Lneaarset varogramm (ja orrelatsoon) saab asutada juhul, u mõõdstuse (ja aard) mõõtmed on märgatavalt väsemad u orrelatsoonmastaap. See tähendab, et tegel orrelatsoonfuntsoon on lähendatav orrelatsoon 9
lneaarse ahanemsega un augusen r max ms sõltub orrelatsoon ahanemse rusest. Varogramm alle (slope) nng masmaalne augus mõõdstusel andma max 0 peavad ogu r, us võb võtta 0. 0. Ette on antud olm parameetrt, ja alle S. Vmane määrab orrelatsoon ahanemse ruse. Lneaarse varogramm arvutus on toodud joonsel 8. vastavalt: Esponentsalse varogramm (4) puhul saame seost (33) asutades u r 0 % 3 r rexp (35) % a u r 0 % a Ette on vaja anda olm parameetrt, ja e-ordse ahanemseaugus 3 eh antud juhul ssulselt orrelatsoonraadus. Graafute joonstamsel asutat vaheaugus sammuga 0.0 ja ette ant vastavate väärtustega parameetrd: range ( a) 3, dspersoon ( ), müra dspersoon ( ) 0. ja Nugget effect ( C0) 0.. Esponentsaalse varogramm arvutus on toodud joonsel 9., Varogramm Korrelatsoon 0,8 orrelatsoon 0,6 0,4 varogramm 0, 0 0 0,5,5,5 3 3,5 Vahe augused Joons 8. Lneaarsele varogrammle (punane) vastav orrelatsoonfuntsoon (snne). 0
,4, 0,8 orrelatsoon 0,6 0,4 varogramm 0, 0 0 0,5,5,5 3 3,5-0, Vahe augused Joons 9. Esponentsaalsele varogrammle (punane) vastav orrelatsoonfuntsoon (snne)..5 Interpolatsoonvea hndamne Optmaalanalüüs olulse vahend, hnnangu (0) suhtelse vea dspersoon tuletamses lähtume dspersoonst ujul. wj wc j I j wjc j, j, j arvestades vastavalt (9)-le j w C I C j j j ja asendades C n j C wj M j,,,..., n, saame
wc wjc j. j Edas, arvestades saame w avaldst lmutatud ujul orrelatsoon pöördmaatrs audu, C jm j C C M j C j. j j Seega, suhtelse vea dspersoon n E C jm j C, (36), j sõltub vad mõõdstamsandmete müra-sgnaal suhtest ja flutuatsoonvälja orrelatsoonfuntsoonst, mtte aga flutuatsoonvälja mõõdetud väärtustest. Suhtelse vea dspersoon masmaalses võmalus väärtuses on. Tene lge avaldse (36) tesel poolel väljendab andmetega lsanduvat nformatsoon ja vähendab flutuatsoonvälja reonstrutsoon vga..6 Andmete valteed ontroll Andmete valteed ontollmses asutame meetodt, us eemaldame mõõdetud andmetest ndla punt ja proovme leda teoreetlselt selles punts oleva välja väärtuse. Leame optmaalse reonstrutsoonhnnangu flutuatsoonväljale punts r erjuhul, u selles punts mõõdetud andmeväärtus uulub analüüss asutatud andmete hula, s.o. &' #. Lähtume tuletatud hnnangust (0), us asendame tegelu orrelatsoonmaatrs C tema avaldsega mõõdetud maatrs audu, C M ( ) I. Saame,
n n n n o o C ( ) M j j M I M j j j! " j o n j ( ), M M j IM j -! j j " o o ( ), Ij j M j j-! j j " Lõpus saame leda n o o M j j. (37) j On näha, et optmaalne reonstrutsoon erneb samas punts mõõdetud o väärtusest, nende vahe standardhälve saame vastavalt ujul n o o o o ( ), M j -, j M l M j l j! -", j - l, j! " o ( ) M ( ) l M jl M l M!, "- l j (38) nng nmetatud vahe ja letud standardhälbe suhe avaldub ujul: o M j o j j. o ( ) ( M ),! -" n. (39) 3
Suhe. võb olla punts r o mõõdetud andmeväärtuste j valteed võ õgsuse mõõdus õg teste mõõdetud andmete ja juhuslu flutuatsoonvälja hnnatud statsta (müra-sgnaal suhe, orrelatsoon) suhtes. Konreetne. väärtus, mllest suuremate väärtuste orral võb lugeda väärades ja õrvaldada nad edassest analüüsst, sõltub ss lsanformatsoonst. jaotuse ohta. Ku aga taolne lsanformatsoon puudub ja andmehul on psavalt suur, ss a suhtelselt väese osa suurmate analüüs usaldusväärsust.. -väärtustega andmete väljajätmne analüüsst võb olulselt tõsta 4
. Hüdrograafas ja oeanoloogas sagedamn asutatavad andmed Hüdrograafas ja oeanoloogas esnevad andmed on tht erneva seloomuga olenevalt mtmetest asjaoludest. Snohal toon välja tüüplsemad ja thedamn optmaalanalüüss asutatavad andmed ernevate väljade reonstrueermses. Andmete jaotust tules vaadelda mtme tähtsa eelduse sesuohast. Teame, et reaalsed väljad vastavad harva dealseertud tngmustele, mda eeldame hlsemal andmetöötlusel. Tuleb arvestada reaalsete mõõtmste tulemustest saadud välja ansotroopsust ja mttehomogeensust (Emery and Thompson, 997). Hüdrograafas võb selgelt eraldada ahte suundumst väljade mõõtmsel. Prmaarne merepõhja sügavuste mõõtmne ja seundaarne merevee parameetrte mõõtmne. Merepõhja mõõdstamsel asutatase tht mtmerels ajaloode, us andmed atavad uurtavat pnda väga thedate andmepuntdena ja saame ühtlaselt mõõdetud välja, us pole vaja nterpoleerda välja väärtus puntdesse mda mel pole mõõdetud. Sellsel juhul on tähtsam andmete mõõtmstäpsus, algtngmustest tngtud parameetrte arvestamne ja hlsemas andmetöötluses asutatavad fltrd ja lsaparameetrte arvestamne (N. nugget effect). Merepõhja mõõdstamsel on väga tähts asjaolu a see, et mel on tegemst suhtelselt statsonaarse väljaga ja mõõdstamse perood võb, olenevalt uurtavast pronnast, olla üsna p. Testmood tuleb läheneda merevee parameetrte (temperatuur, soolsus jne.) mõõtmsele. Andmed saadase sellsel juhul peamselt ss p laeva sõdetud halsse ja on seetõttu väljal ebaühtlaselt jaotunud. Seega on mel andmed p laeva halsse thedalt, transetde vahele jääv ala on aga mõõtmste poolt atmata. Sellsel juhul tuleb mel arvestada ansotroopaga andmete jaotuses, sest hlsemas andmetöötluses puvad vastasel orral samaväärtusjooned oonduma mõõdetud puntde ümber. Kuna tegemst on mttestatsonaarsete väljade mõõdstamsega tuleb arvestada a loomulu moonutusega andmetes una mõõdstuse vältel võb väl se muutuda. Nätes võb sn tuua, et merevee ülah üldne soojenemne võ jahtumne ogu uurtavas pronnas tastab veetemperatuur horsontaalsete ebaühtluste, sealhulgas frontde määramst. 5
Olenevalt mõõdstamse mastaabst võvad andmed olla hajutatud võ mtte. Suuremate väljade analüüss on mel tht andmed, ms pronnt hajutatud võ ontsentreerunud (joons 0). Küsmus, as uurtav prond on psavalt andmetega aetud, sõltub teaduslust huvst antud objet vastu. Probleemde jaos, us pole vaja õrgevalteedlste thedalt mõõdetud andmete olemasolu, on sagel psavalt andmed. Samas aga puuduvad andmed spetsflste tööde tarvs (nätes sünoptlste eerste ja frontde hetelne jaotus), ms nõuavad õrglahutusega andmed ja täpsustavad lsatngmus (Emery and Thompson, 997). Joons 0. Globaalne temperatuur andmete jaotus 970 a. sügsel (Emery and Thompson, 997). Andmed on rohem p peams laevasõdu ted. 6
3. Lhtsa pagutusega andmete põhjal reonstrueertud aartde sõltuvus algortm ja parameetrte valust Surfer 7.0 nätel. Käesolevas töös asutatase väljade reonstueermsel arvutprogramm Surfer 7.0, ms võmaldab väljasd nterpoleerda asutades mtmed ernevad matemaatls meetoded. Olenevalt andmete hulgast, pagutusest, seloomust ja lõpptulemuse oodatavastest vajadusestest on tarvs asutada õged meetoded ja täpsustavad parameetred. Surfer 7.0 paub andmete töötlemses 9 ernevat meetodt, us on arvestatud ernevate meetodte eeldus, tugevad ülg ja puudus. Meetodd on põhmõttelselt jaotatud ahes grups. Estes on nn sluvad meetodd, ms arvutavad välja mõõdetud puntdes välja parandatud väärtuse ja seetõttu e pruug hlsema plaan väärtused attuda täpselt mõõdetud puntde väärtusega. Antud meetodtest oles sellsed: pöördauguste meetod (Inverse Dstance to a Power) u täpsustada slumsfator, Krgng u täpsustada nugget effect, polünomaalne regressoon (Polynomal Regresson), radaalsete baasfuntsoonde meetod (Radal Bass Functon) u täpsustada slumsfator ja modftseertud Shepard meetod (Modfed Shepard s Method) u täpsustada slumsfator. Teses on meetodd, us nterpoleertud ja mõõdetud puntde väärtus langeb ou eh mõõdetud puntdes on aaluoeftsent võrdne ühega. Sellsed meetodd oles: pöördauguste meetod u slumsfator pole täpsustatud (on null), Krgng u pole täpsustatud nugget effect, lähma naabr meetod (Nearest Neghbor), radaalsete baasfuntsoonde meetod u slumsfator pole täpsustatud, modftseertud Shepard meetod u slumsfator pole täpsustatud, loomulu naabr meetod (Natural Neghbor) ja lneaarse nterpolatsoonga trangulatsoon meetod (Trangulaton wth Lnear Interpolaton). Lühdalt võb välja tuua ga meetod lühese seloomustuse ja võmalused. / Pöördauguste meetod on re ud omab tendents Bull s eye temses ümber andmepuntde. Meetod e võmalda estrapoleerda. / Krgng on üs õge pandlemast meetodtest ja on soovtav asutada peaaegu õde andmeogumte orral. Krgng võmaldab lsas asutada varogramm, ms muudab meetod deaalselt täpses, eeldusel et varogramm 7
ja müra parameeter nugget effect on täpselt määratud. Krgng on paets anue nterpolatsoonmeetod, ms arvestab nterpoleertava välja statstls omadus. Puuduses võb pdada, et suurte andmeogude orral ulub arvutamses väga palju aega. / Vähma õveruse meetod (Mnmum Curvature) genereerb slutud pndasd, aga on tundl prondade suhtes, us andmed puuduvad ja võb tetada samaväärtusjoonte suur ebaorrapärasus andmete ebaühtlase pagutuse orral. / Loomulu naabr meetodt on soovtatav asutada andmete ebaühtlase jaotuse orral (andmed, us teatud pronnas on andmed thedalt ja mõnes ohas andmed puuduvad). Meetod e võmalda estrapoleerda. / Lähma naabr meetodt on asul asutada, u on olemas ühtlaselt jaotunud andmed ja on vaja täta üsud augud, us andmed puuduvad. Meetod e võmalda estrapoleerda. / Polünomaalne regressoon on asul meetod, u on tegemst suuremastaablste trenddega. Meetod on väga re seg suurte andmehulade orral, ud võrgustu arvutamsel pub väsema-mastaablne nfo ära aduma. / Radaalsete baasfuntsoonde meetod on üsna pandl ja genereerb välju üsna sarnaselt Krgngu meetodle. / Modftseertud Shepard meetod on üsna sarnane pöördauguste meetodle, ud e oma tendents tetada bull s eye effet. / Lneaarse nterpolatsoonga trangulatsoon meetod on re ja annab hea tulemuse u andmed on ühtlaselt jaotatud üle ogu pronna. Kaartde nterpoleermsel on andmetena asutatud Soome lahe suudme mõõdstamsel saadud temperatuur andmed, ms on frontaaltsoon ohta ja ssaldab seetõttu loomulu ansotroopat (joons ). Mõõdstamne tomus 993 a. juuls Eest-Soome ühsespedtsoonl ahetestümne päevase perood joosul uurmslaeva Aranda pardal. Uurngute eesmärgs ol saada nfot tuule mõjust soolsusfrontdele Soome lahe suudmes. Lsas soolsusele, merevee temperatuurle, merepõhja sügavusele mõõdet veel a tuule suuda ja tugevust (Pavelson et al.,996). 8
Joons. Mõõdstusprond Soome lahe suudmes (Pavelson et al., 996). Andmed on lhtsas ASCII formaads, ms võmaldavad andmete töötlust peaaegu ga lhtsama arvutprogrammga vt. lsa. Kou on asutada lgaudu nelsada mõõdetud punt. Andmed on suhtelselt lhtsa pagutusega ja võrdluses on asutatud Krgngut (joons ) nng lneaarse nterpolatsoonga trangulatsoon (joons 3) meetodt. Antud juhul on nterpoleertud ühtesd ja samu andmed lma programm poolt vams etteantud parameetred muutmata. Joonstel saadud tulemused võb saada andmete jaotust ja sügavamat tähendust teadmata. Joonsel võb selgest näha udas juhuslu meetod valmne antud andmete jaos toob aasa plaanl samaväärtusjoonte ebalooglse jaotuse. 9
59.75 59.7 59.65 59.6 59.55 8 7 6 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 59.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Joons. Temperatuur jaotus Soome lahe suudmes. Interpoleertud on Krgngu meetodl, vams etteantud parameetred e ole muudetud. 59.75 59.7 59.65 59.6 59.55 8 7 6 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 59.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Joons 3. Temperatuur jaotus Soome lahe suudmes. Kasutatud on lneaarse nterpolatsoonga trangulatsoon meetodt. Mõõdstuspuntd on joonstel tähstatud väeste mustade puntde näol. Häst on näha p merdaane sõdetud halsd. Joonstel on selgelt näha 30
mõõtepuntde ansotroopast põhjustud samajoonte oonduvus mõõdetud puntde läheduses. Parameetrte muutmsel on vaja häst tunda oma andmed selles, et va ssse vastavad nterpolatsoon ontrollparameetrte täpsustavad parandused. Nätes on antud andmete orral Krgng us mõstl rjeldada ansotroopat ja nugget effect (joons4). 59.75 59.7 59.65 59.6 59.55 8 7 6 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 59.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Joons 4. Temperatuur jaotus Soome lahe suudmes. Kasutatud Krgngu meetodt, täpsustatud on ansotroopa ja nugget effect. Teatud septtssmga tuleb suhtuda mõõtmsalast väljapoole jääva välja nterpreteermsse, una estrapoleermse orral muutub väl ühtlaselt ja e rjelda tegelu oluorda tõeselt. Ansotroopat rjeldatase telgede suhte (rato) ja nurga (angle) audu. Antud oluorras sa asutatud ansotroopa ellpst telgede suhtega ja nura suurusega 0. Ellps puhul e ole n olulne telgede pus vad hoops telgede omavahelne suhe. Suhet alla -e peetase erges ansotroopas ja suhet üle 4-ja juba tugevas ansotroopas. Nur nätab, ms suunas on andmed jaotunud. Lsas sa (joonsel 4) ette antud a nugget effect (0.), ms märgatavalt slub ontuure ja jätab plaanl välja mõõtmsvgadest tulenevad ebaorrapärasused. Antud andmete puhul polnud mõtet asutada otsmsellpst, mda tavalselt asutatase juhul u on tegemst rohete andmetega ja u puntd on teatud prondades tugevast 3
oondunud. Tavalselt valtase otsmsellps samasugune, u ansotroopat rjeldav ellps. 3
4. Varogramm modelleermne ja jaotuste reonstrueermne hüdrograaflste ja oeanolooglste andmeogumte põhjal. Et asutada õget varogramm mudelt on vaja teha mtmed õged otsused. Õged otsused saab teha juhul, u on teada asutada olevate andmete seloom ja protsess, mlle ägus andmed on saadud. Esmatähts on tunda andmed väga häst enne, u haatase varogramm modelleerma. Varogrammde modelleermsel on asutatud geostatstlst arvutprogramm Surfer 7.0, ms võmaldab oheselt varogramme asutada a andmete lõpptöötlusel. Joonste -4 arvutamsel e asutatud varogramm vad muudet lsaparameetred manuaalselt arvestades andmete seloomu ja mud omadus. Krgng u algortm arvestab aalude arvutamsel puntde panemst mõõdstamspronna sees, ms vähendab andmete oonduvust. Varogramm audu on algortm võmal ssestada järgms andmed seloomustavad parameetrd. / Pus saala eh (Length scale) arvestab aalude arvutamsel andmete üldst jaotust ogu mõõdstamse pronnas. Tasaste prondade puhul on mõstl arvestada lneaarse muutusega ahe punt vahel, ms on aga ebarealstl rest vareeruva pronna puhul. Pus saala antase varogramms vastavalt, as ulatuse võ alde näol. / Andmete orduvus eh (Data repeatablty). Kaalude arvutamsel arvestab algortm andmete usaldusväärsust. Ku andmed on täpsed ja orretsed ss nterpoleertud pnnad läbvad mõõdetud väärtus õet. Samas u andmed on ennatlud e pruug nterpoleetrtud väl mõõtmsandmed täpselt läbda, ert u on tegemst õrvut panevate andmete suure ernevusega. Andmete orduvust spetsftseertase varogramms nugget effect ga. / Ansotroopa eh andmete loomul suuna eelstus. Nätes olgu tegemst ranna-äärse pronna mõõdstamsega, ss ühesuguse sammu orral muutuvad andmed p randa tunduvalt vähem, u rst rannajoonega. Varogramms rjeldatase ansotroopat hulga ja nurgaga. Enne varogramm mudel valmst arvutatase mõõdetud andmete põhjal espermentaalne varogramm, mlle abl tuleb hljem õge varogramm mudel val teha. Espermentaalse varogramm mudel võmaldab andmed hnnata moel, ms mudu oles võmatu ja annab objetvse ülevaate varogamm saala ja ansotroopa 33
ohta (Isaas, Edward and Mohan Srvastava, 989). Surfer võmaldab espermentaalset varogramm vaadelda ernevatest asuohtadest nteratvselt, ms annab hea ülevaate varogramm ujust. Varogramm hndamses on ernevad võmalus. Surfer paub nelja ernevat moodust: varogramm, normalseertud varogramm, autoovaratsoon ja autoorellatsoon. Antud töös on asutatud varogramm. Üldujul avaldus varogramm järgmselt. Olgu mel vaatluspunt rjeldatud järgmselt oordnaatdega X, Y ) ja mõõdetud välja väärtusega Z. Vaatluspaar moodustab as sellst punt. Olgu mel N andmepaar, mda asutatase ühe espermentaalse varogramm punt väljaarvutamses. Paard pole juhuslud, vad esmess punts on vaatlus, mlle Y oordnaad väärtus on väsem. Esmest punt utsutase peas (edaspd tähstame ndesga p ) ja test punt sabas (edaspd tähstame s ). Olgu Zp -nda paar peavaatluste väärtus ja sabavaatluste väärtus. Vajalud summad üle õde N paarde oles: Zs -nda paar Zp Zp Zs Zs Zpp Zp (40) Zss Zs Zps Z p * Zs Kõg peaväärtuste esmne ja varatsoon oles: Zp KESKp N Zpp VARp ( KESKp) N (4) Sarnaselt saame a sabaväärtuste ohta: 34
Zs KESKs N Zss VARs ( KESKs) N (4) Saame defneerda as vaheväärtust, vahevaratsoon ja vaheovaratsoon: VaheVaratsoon VARp * VARs Zps VaheKovaratsoon ( KESKp * KESKs) N (43) Varogramm jaos saame vastavalt: ( Zpp Zps Zss) (44) N Normeertud varogramm jaos saame: ( Zpp Zps Zss) N VaheVaratsoon (45) Samut saame a autoovaratsoon ja autoorrelatsoon jaos: VaheVaratsoon-VaheKovaratsoon (46) -VaheKovaratsoon = (47) VaheVaratsoon Eesmärgs on saada optmaalne varogramm, ms lhtsustas hlsemat andmetöötluse äu, plaande joonstamst ja arvestas välja statstls omadus. Esalgne varogramm on lneaarne ja teda on võmal sluda, muutes võrreldavate paarde vaheaugust. Väsemate vaheaugustega saame sledama varogramm eeldades, et letavast puntst augemale jäävad andmeväärtused ernevad märgatavalt 35
nendest, ms jäävad arvutatava punt vahetusse lähedusse. Järse suuremad õrvalealded varogramms saab vähendada, u varogramm rjeldada rohema arvu puntdega. Espermentaalset varogramm on veel võmal tasandada spetsftseerdes varogramm nhelaust (Lag Wdth), ms on tegelult varogramm pus jagatud puntde arvuga. Nhelause suurendamsel teb arvutustel üleattumne, ms slub andmete jaotust ja on abs varogramm mudel valul (Pannater, 996). Varogramm valul tuleb lähtuda andmete seloomust ja espermentaalse varogramm ujust. Surfers on võmal valda mtme enamasutatava varogramm mudel vahel nagu sfäärlne, esponentsaalne, lneaarne, Gauss, lane, ruut ja logartmlne varogramm. Töötada on võmal anult varogramm XY-väljavõttel, ms on tegelult radaallõge ogu varogramm võrgust. Vmast on hea ette ujutada u lehtr ujulst pnda. Kahemõõtmelne mudel on vajal, una olmemõõtmelst pnda on tht rase mõsta. Slmas tules pdada, et espermentaalne varogamm on seotud ndla suunaga ja lõpptulemusena tules mtmed arvutatud lõgud mahutada olmemõõtmelsse mudelsse. Käsolevas töös on varogramm arvutamsel asutatud ahte ernevat varogramm mudelt - lneaarset ja Gauss mudelt. Lneaarne mudel on tegelult astmevarogramm erjuht, us astme väärtuses on üs ja ta avaldub ( r) C( r). h Gauss mudel avaldub aga ujul ( h) C e! ", us ( h) on semvarogramm, C on varogramm salaarne omponent ja h on anstrooplselt hnnatud suhtelne vaheaugus. Esalgse töö ägus arvutat lneaarne varogramm (joons 5) ja antud mudel abl joonstat välja temperatuur väl (joons 6). 45 40 35 30 Varogramm 5 0 5 0 5 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0.4 Vahe augus Joons 5. Antud andmete jaos letud sobvam lneaarne varogramm. 36
59.75 59.7 59.65 59.6 59.55 8 7 6 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 59.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Joons 6. Temperatuur jaotus Soome lahe suudmes. Krgngu meetod, us on asutatud sobtatud lneaarset varogramm. Lneaarse varogramm puhul asutatud parameetrd: nugget effect = 0, alle(slope)= 5 ansotroopa suhe = ja ansotroopa nur= 0 Lneaarse varogramm asutamsel on selgest näha, et varogramm mudel e ole andmete suhtes rahuldav. Varogramm mudels (joons 5) on näha andmete õrvalealle õge sobvamast lneaarsest mudelst. Sellest tulenevalt on a plaanl näha mtmed artfatd (üsud teravad unstlud ebaorrapärasused), ms teevad plaan vsuaalselt rasest nterpreteertavas. Seega võb järeldada, et antud andmete puhul pole lneaarse varogramm asutamne õge sobvam. Gauss mudel asutamst põhjendab hlsem andmete jaotuse võrdlus ernevate varogramm mudel ujudega. Varogramm modelleermsel saad hea vastavus andmete jaotuse ja varogramm vahel (joons 7). Selgelt on näha välja ühtlane jaotus, trendd ja mttetähtsate väeste ebaorrapärasuste tasandumne (joons 8). 37
45 40 35 30 Varogramm 5 0 5 0 5 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0.4 Vahe augus Joons 7. Antud andmete jaos letud sobvam Gauss varogramm. 59.75 59.7 59.65 59.6 59.55 8 7 6 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 59.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Joons 8. Temperatuur jaotus Soome lahe suudmes. Krgngu meetod, us on asutatud sobtatud Gauss varogramm. Gauss varogramm puhul asutatud parameetrd: nugget effect= 0, 38
varogramm saala (Scale)= 80 pus (Length)= 0,35 ansotroopa hul=, ja ansotroopa nur= 0 Järeldusena võb öelda, et plaande joonsamsel on tähts arvestada andmete statstls omadus. Vastavalt varogramm valule on võmal saada samadest andmetest suurest ernevad plaane. Varogramm modelleermsel on tähts varogramm vaadelda ernevate nurade alt ja veenduda, et varogramm vastas andmete jaotusele. N lneaarse u a Gauss varogramm pagutused ernevate nurade all on toodud üsasjalumalt lsades ja. Kou vaadeld varogramme -ne erneva nurga alt 5-raadse sammuga. Nätlumad varogrammd on toodud joonstel 5 ja 7. 39
5. Soovtused Surfer 7.0 raendamses tavaasutajale. Antud soovtused on mõeldud eelõge programm asutajale, ellele paub huv a teadmne, mda tegelult parameetrte täpsustamsega muudetase. Kuna tegemst võb olla mtmesuguste andmetega, tules õgepealt selges teha, ms laad andmetega on tegemst ja as andmed on täpsed nng ms tulemusten jõuda soovtase. Oluorras, us uurtav prond on andmetega ühtlaselt aetud ja soovtase saada teavet protsess trend ohta, pole mõtet modellerda varogramm. Võrreldes Krgnguga saab üldse pld remn, u asutada mõnda lhtsamat algortm. Ku on ss tegemst ebaühtlaselt jaotunud andmetega ja soovtase detalset nfot välja ohta, ss on sobv asutada Krgngu algortm oos varogramm määramsega. Krgngu ja varogramm asutamsel tules laht mõtestada põhparameetrd ja nende täpsustamsel tules jääda ratsonaalsuse presse. Nätes on teada, et thedama nterpoleermsvõrgu asutamne toob endaga aasa sledamad samaväärtusjooned, ud põhjustab väljas üsud teravad õrvalealded ja pendab märgatavalt arvutustes uluvat aega. Krgngut asutades tules selges teha, as soovtase võmalult täpselt üsutele mõõtmstulemustele vastavat aart võ üldsemat, mõõtmstes olevat müra sluvat ja vsuaalselt paremn nterpreteertavat aart. Ku soovtase esmest, e tohs asutada Krgngu algortm plo-meetodt, ms arvutab välja väärtuse võrgupunt ümber esmstatud plos, ja nugget effect, ms tegelult muudab mõõdetud väärtus n et võb tomuda nende teatud slumne. Sellsel juhul e pruug saadud välja aart olla hljem täpses vastavuses samas punts saadud mõõtmstulemusega. Soovtav on asutada a fltred, ms võmaldavad eemaldada lglähedaste puntde ernevad väärtused võ need esmstada. Varogramm modelleermsel tules jälgda, et naabrtevahelst august e võetas lga suurt, vastasel orral võetase arvutustes arvesse lga vähe punte nng e saada reaalset tulemust seg sobva varogramm orral. Veelord rõhutas, et espermentaalse varogramm mudelsse pagutamsel on tähts vaadata teda mtmest üljest, una ühest suunast vaadatuna võb varogramm mudelt rahuldada, tesest aga mtte. Ansotroopa rjeldamsel on väga tähts, et määratase täpsed ansotroopat rjeldava ellps parameetrd. Ansotroopa orral on olulne ellps telgede vahelne suhe, mtte aga pus. Täpselt tuleb määrata a ansotroopa 40
ellps suund, mudu võmendatase ansotroopat veelg ja tulemuses on täelult mõstetamatu aart. Üldne soovtus on programm poolt vams etteantud parameetred mtte muuta, u e teata mda see endaga aasa toob. 4
Kouvõte Krgng-algortm eelstena mttestohhastlste nterpolatsoonmeetodte ees võs välja tuua:. Punts, us mõõtmst pole teostatud, saadase arvutatava välja väärtus vähma ruutesmse veaga. See tähendab, et nterpoleertud ja eeldatava tegelu väärtuse vahe on mnmaalne, eeldusel et varogramm on õgest ette antud.. Võmalus arvutada nterpolatsoonvea teoreetlne ruumlne jaotus nng elmneerda aardlt pronnad, us nterpolatsoonvga läheb lga suures. 3. Võmalus asutada meetodt andmete valteed ontrolls. 4. Võmalus hnnata ga üsu mõõtepunt olulsust aaluoeftsentde abl. Meetod puudustes võs lugeda:. Meetod täpsus sõltub sellest, u täpselt õnnestub hnnata varogramm. Mõnngatel juhtudel on varogramm hndamne rasendatud. Meetod e vasta häst oluordadele, u uurtavas väljas esneb estremaalsed sündmus võ õrvalealded.. Meetod on arvutuslult mahuam u tesed sagedamn asutatavad meetodd. Krgng-algortm ja oeanoloogas levnud optmaalnterpolatsoon ontrollparameetrte seostamses analüüst varogramm ja orrelatsoonfuntsoon vahelst seost. Arvutat mllsed varogrammd vastavad standartsetele orrelatsoonfuntsoondele ja mllsed orrelatsoonfuntsoond vastavad standartsetele varogrammdele. Selgtat ernevate nterpolatsoonmeetodte asutamse võmalus Soome lahe suudmes mõõdetud temperatuurandmete põhjal asutades arvutprogramm Surfer 7.0. Krjeldat parameetrd, mda väljade reonstrueermsel täpsustada ja mda see endaga aasa toob. Krgng-algortms uurt ahte ernevat varogramm mudelt. Kumbag mudelt sobtat arvutatud varogramm väärtustega vaadelduna ahetestümnest ernevast postsoonst. Varogramm esalgne val lneaarse varogramm ujul osutus ebaõnnestunus. Võrdluses teste standartsete varogramm mudeltega valt Gauss varogramm, ms sobs a vaadatuna teste nurade alt. Krgng-algortm asutamne oeanolooglste andmete nterpoleermsel nätas, et õgete varogramm uju ja tema parameetrte valuga on võmal saada ebaühtlaselt jaotunud andmetest selge ja üheselt nterpreteertav lõpptulemus eh aart. Mttestohhastlste nterpolatsoonmeetodtega e tarvtse n selget aart saada. 4
Samut võvad teda probleemd, u Krgngu parameetrd anda ette suvalselt. Töös saadud ogemuste põhjal on välja toodud soovtused programmpaet Surfer 7.0 tavaasutajale. 43
Summary The am of the bachelor study "Reconstructon of oceanographc felds on the bass of dscrete measurements usng the Krgng algorthm" was to nvestgate the applcatons of the Krgng nterpolaton method based on oceanographc data. Data from actual seawater temperature measurements n the Gulf of Fnland were used. Study showed that by analyzng the data and usng correct parameters to descrbe the algorthm t s possble to get correct fnal results as maps. Computer program Surfer7.0 was used as analyzng tool for the study. Krgng algorthm can use dfferent varograms to descrbe the spatal statstcs of the data. Two dfferent varogram models were used to compare ther nfluence on the nterpolaton result. Estmatng lnear varogram led to outcome that concrete varogram could not ft the data. Good relatonshp between the data and Gaussan varogram was establshed. Study confrms that computatonal aspects of varogram model fttng can be successfully used for oceanographc data. 44
Kasutatud rjandus Noel. A. C. Cresse. Statstcs for Spartal Data, Revsed Edton. A Wley- Interscence Publcaton. New-Yor, 993, 900pp. A. Toompuu and F. Wulff. Spatal large-scale correlatons for optmal nterpolaton of temperature, salnty and nutrent concentratons n the Gulf of Fnland. Envronmetrcs, 995, 6,, 55-7. A. Toompuu. Loeng optmaalanalüüsst, I ja II. http://www.sea.ee/events/default.html, Tallnn, 000, pp Yor, 989, 56 pp. I. E. Tmštšeno. Sstemnõe metodõ v gdrofze oeana. Izdatelstvo Nauova duma. Kev, 988, 36 pp. H. V. Waldow. Enführung n de Geostatst. Cornell Unversty, http://www.geog.fu-berln/~jrywow/harald/geostatst/referat.html, 998, pp. Chao-y Lang. Krgng Interpolatson. Dept. Of Computer Scence, Cornell Isaas, Edward and Mohan Srvastava. An ntroducton to appled geostatstcs. New- Unversty,http://www.tc.cornell.edu/vzualzaton/contrb/cs490-94to95/clang/rgng.html, 000, 7 pp. J. Elen. Loeng geofüüsalsest andmetöötlusest. Tallnn, 000, 6 pp. Wllam J. Emery and Rchard E. Thompson. Data analyss methods n physcal oceanography. Elsever, 997, 634 pp. 45
Yvan Pannater. VaroWn-Software for Spartal Data Analyss n D. Sprngler- Verlag, New-Yor, 996, 9 pp. Juss Pavelson, Jaan Laanemets, Kasa Koonen and Sulev Nõmmann. Quaspermanent densty front at the entrance to the Gulf of Fnland: response to wnd forcng. Contnental Shelf Research, 996, Vol.7, No 3, pp. 53-65. The NCAR Advanced Study Program. Optmal Interpolaton. http://www.asp.ucar.edu/colloquum/99/notes/part/node.html, 99, 8 pp. Vdatud rjandus Wener, N. Extrapolaton, Interpolaton, and Smoothng of Statonary Tme Seres. MIT Press, Cambrdge, MA. 949. Kolmogorov, A. N. Interpolaton and Extrapolaton of Statonary random Sequences. Izvesta Aadem Nau SSSR, Sera Matematchesa, 94. 46
Lsa. Lsad Kasutatud andmed on ACSII formaads. 3.33 59.496 8.054 3.33 59.499 7.86 3.33 59.503 7.88 3.33 59.508 7.7 3.33 59.5 7.64 3.33 59.56 7.57 3.33 59.5 7.407 3.33 59.55 7.4 3.33 59.53 7.37 3.33 59.534 6.847 3.33 59.538 6.603 3.33 59.543 6.464 3.33 59.547 5.774 3.33 59.55 5.535 3.33 59.559 4.97 Esmeses veerus geograaflsed laused, teses veerus geograaflsed pused ja olmandas veerus mõõdetud temperatuurde väärtused. Lsa Lneaarse varogramm panemne ernevates vaadetes. 47
45 Drecton: -05.0 Tolerance: 45.0 45 Drecton: 50.0 Tolerance: 45.0 40 40 35 35 30 30 Varogramm 5 0 Varogramm 5 0 5 5 0 0 5 5 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0.4 Vahe augus 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0.4 Vahe augus Lsa 3 Gauss varogramm panemne ernevates vaadetes. 45 Drecton: -05.0 Tolerance: 45.0 45 Drecton: 50.0 Tolerance: 45.0 40 40 35 35 30 30 Varogramm 5 0 Varogramm 5 0 5 5 0 0 5 5 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0.4 Vahe augus 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0.4 Vahe augus 48