1 Diferentsiaalarvutus. 2 Sissejuhatus

Väljavõte

1 1 Diferetsiaalarvutus 2 Sissejuhatus Defiitsioo 1 (Norm) Normis vetorruumis V imetatase reeglit, mis igale vetorile u V seab vastavusse salaari u R, usjuures o täidetud järgmised tigimused: 1 u V u 0; u 0 u Θ 2 u V, α R αu α u 3 u, v V u + v u + v Reaalarvu x R orral sobib ormis absoluutväärtus { x, x 0 x : x, x < 0 -mõõtmelise ruumi R vetori x (x 1,, x ) ormi x 2 eh vetori piuse võime defieerida ujul x : x 2 x x2 Võttes 1 saame absoluutväärtuse esitada ujul x x 2 x 2 Defiitsioo 2 (Kaugus) Kauguses ruumis V imetatase reeglit, mis igale ahele selle ruumi elemedile u, v V seab vastavusse salaari d(u, v) R, usjuures o täidetud järgmised tigimused: 1 u, v V d(u, v) 0 v u 2 u, v V d(u, v) d(v, u) 3 u, v, w V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) Kui meil o ruumis V defieeritud orm, siis võime ahe elemedi u, v V vahelise auguse defieerida ujul d(u, v) : v u Seega o ahe reaalarvu x 1, x 2 R vahelie augus leitav ujul d(x 1, x 2 ) x 2 x 1 Ümbrused Defiitsioo 3 Hula U ε (a) : {x V d(a, x) < ε, ε > 0} imetatase puti a V ε-ümbruses Reaalarvu a R orral saame U ε (a) {x R a ε < x < a + ε} Defiitsioo 4 Reaalarvu a vasapoolses ümbruses imetatase suvalist poollõiu (a ε, a], us ε > 0 Arv x uulub arvu a vasapoolsesse ümbrusesse (a ε, a] parajasti siis, ui selle arvu augus arveljel o arvust a väisem ui ε, st x a < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a Defiitsioo 5 Reaalarvu a parempoolses ümbruses imetatase suvalist poollõiu [a, a + ε), us ε > 0 Arv x uulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) parajasti siis, ui selle arvu augus arveljel o arvust a väisem ui ε, st x a < ε, ja x ei asetse a-st vasaul, st x > a Defiitsioo 6 Suuruse lõpmatus ümbruses imetatase suvalist vahemiu (M, ), us M > 0 Tähistame U M ( ) Defiitsioo 7 Suuruse miius lõpmatus ümbruses imetatase suvalist vahemiu (, M), us M > 0 Tõestatud hulgad Defiitsioo 8 Hula A imetatase tõestatus, ui leidub sellie positiive arv K ii, et iga a A orral ehtib võrratus d(a, 0) < K Hul A o tõestatud, ui õi selle hulga elemedid uuluvad ulli ümbrusesse U K (0) migi K > 0 orral Reaalarvude orral U K (0) ( K, K) Defiitsioo 9 Elemeti b imetatase futsiooi f piirväärtuses putis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x orral, mis täidab tigimust x U δ (a) ehtib f (x) U ε (b) f (x) b, f (x) b 1

2 3 Jada piirväärtus Jada Defiitsioo 10 (Jada) Jadas imetatase futsiooi, mille määramispiiroas o aturaalarvude hul N {1, 2, 3, } Jada x väärtusi x() ( N) tähistame x ja imetame jada liimetes Jada x tähistame {x 1, x 2, } või {x } või {x } 1 või {x } N Kui x R ( N), st x : N R, siis imetame jada x arvjadas Jada ooduvus ja piirväärtus Defiitsioo 11 Ütleme, et jada {x } 1 oodub suuruses a (eh jada {x } 1 piirväärtus o a) ui iga 0 < ε R orral leidub N N ii et x U ε (a) iga > N orral Tähistame x a või x a või x a Näide 1 ({ 1 } 1 1 ) Näitame, et 0 Fiseerime ε Peame leidma sellise N N, et 1 U ε(0) iga > N orral Vastavalt ümbruse defiitsiooile < ε Saame > 1 ε, seega 1 U ε(0) iga > N 1 ε orral Lause 1 Kooduva jada piirväärtus o üheselt määratud Kui x a ja x b, siis a b Tõestus Vae ε 1 2 d(b, a), seega U ε(a) ja U ε (b) ei lõiu Vastavalt piirväärtuse defiitsiooile leiduvad arvud N 1, N 2 N, ii et > N 1 > N 2 x U ε (a) x U ε (b) Kui N max{n 1, N 2 }, siis > N > N x U ε (a) x U ε (b) Saame vastuolu ua vastavalt eeldusele U ε (a) U ε (b) Tõestatus Defiitsioo 12 Jada imetatase {x } imetatase tõestatus, ui leidub sellie arv M > 0, et iga N orral x U M (0), st N(d(x, 0) M) Defiitsioo 13 Arvjada imetatase {x } imetatase ülalt tõestatus, ui leidub arv M, et iga N orral x M Defiitsioo 14 Arvjada imetatase {x } imetatase alt tõestatus, ui leidub arv M, et iga N orral x M Lause 2 Kostatse jada piirväärtus o see ostat Lause 3 Iga ooduv jada o tõestatud Lause 4 Kui x a ja y a ig x < z < y, siis z a Tõestus Fiseerime ε Vastavalt piirväärtuse defiitsiooile leiduvad arvud N 1, N 2 N, ii et > N 1 > N 2 x U ε (a) a ε < x < a + ε y U ε (a) a ε < y < a + ε Kui N max{n 1, N 2 }, siis vastavalt eeldusele > N orral a ε < x < z < y < a + ε z U ε (a), mis vastavalt piirväärtuse defiitsiooile aab z a 2

3 1 Näitame, et 1 Selles äitame, et ( 1) 0, milles ostrueerime ülalt- ja althiagud üldliimele λ : 1 Tähistame a : 1 + λ, siis Newtoi bioomvalemi põhjal (a ) (1 + λ ) ( ) (λ ) ! 2!( 2)! (λ ) 2 Kui > 2, siis 1 2 > 4 ja > 2 4 (λ ) 2 Järgevalt avaldame üldliime Kua 0 < λ saame ülalt- ja althiagud (λ ) 2 < 4 ( ) λ 1 ( 1) (λ ) < (λ ) 2 < 4 0 < λ < 2 Kua 2 0 ja 0 0, siis vastavalt eelmisele teoreemile a λ ( 1) 0 Sellega oleme äidaud, et 1 Defiitsioo 15 Kui iga M > 0 orral leidub N N, et iga > N orral ehtib x > M, siis öeldase, et arvjada {x } 1 piirväärtus o + ja tähistatase x + Lause 5 Kui jadad {x } ja {y } ooduvad, st siis x a y b, + + cx c a, us c R + (x + y ) x + y a + b, (x y ) x y a b, ( ) ( ) (x y ) x y ab, x /y + + x + y a b, ui y 0 ja b 0 Lause 6 Kui jada {x } oodub arvus a, siis selle jada üldliige o esitatav ujul x y + a, us y 0 Lause 7 Iga ülalt tõestatud mootooselt asvav jada oodub Defiitsioo 16 Jada {x } osajadas {y } imetatase jada, mis o saadud jadast {x } lõpliu või lõpmatu hulga jada elemetide väljajätmise teel Teoreem 1 (Bolzao-Weierstrassi teoreem) Igast tõestatud jadast saab eraldada ooduva osajada Cauchy jadad eh fudametaaljadad Defiitsioo 17 Öeldase, et {x } o Cauchy jada eh fudametaaljada, ui iga ε > 0 orral leidub N N, et iga aturaalarvu > N ja aturaalarvu p orral ehtib võrratus d(x +p, x ) < ε 3

4 Lause 8 Kooduv jada o Cauchy jada Tõestus Eeldame, et x a Olgu ε > 0 suvalie, siis leidub N N omadusega iga > N orral Kui > N, siis saame seega o {x } Cauchy jada d(x, a) < ε 2 d(x +p, x ) d(x +p, a) + d(a, x ) < ε 2 + ε 2 ε Lause 9 (Cauchy riteerium) Arvjada {x } oodub parajasti siis, ui ta o Cauchy jada Tõestus Kua iga ooduv jada o Cauchy jada, siis peame äitama, et arvjada orral o iga Cauchy jada ooduv Esmalt äitame tõestatuse Eeldame, et {x } o Cauchy jada Defiitsiooi ohaselt leidub sellie N N, et x +p x < 1 õiide > N orral Tähistame A : x N+1, siis x A < 1 õiide > N orral eh A 1 < x < A + 1 ( > N) Võttes üüd m : mi{x 1,, x N, A 1} M : max{x 1,, x N, A + 1} m < x < M ( > N) Seega o jada {x } tõestatud Olgu {x } Cauchy jada Kua iga Cauchy jada o tõestatud, siis Bolzao- Weierstrassi teoreemi ohaselt sisaldab {x } migi ooduva osajada {x } Tähistame a : x ja äitame, et x a Olgu ε > 0 ja olgu N sellie ides, et x +p x < ε ( > N, p N) 2 Edasi, olgu K N valitud ii, et > N ui > K ja x a < ε 2 Seega saame õigi idesite > N puhul x a x x + x a x x + x a < ε 2 + ε 2 ε järeliult x a Kuhjumisputid Defiitsioo 18 Jada uhjumisputis imetatase arvu, mille igas ümbruses o lõpmata palju vaadeldava jada liimeid Lause 10 Arv a o jada {x } uhjumisput parajasti siis, ui leidub sellie osajada {x }, mis oodub arvus a Lause 11 Jada {x } oodub parajasti siis, ui ta o tõestatud ja tal o vaid üs uhjumisput 31 Arv e Lause 12 Leidub piirväärtus ( ) + Lause tõestus ooseb ahest osast: {( 1 äitame, et jada ) } o ülalt tõestatud; {( 2 äitame, et jada ) } o asvav 4

5 4 Reaalmuutuja futsiooi piirväärtus 41 Reaalmuutuja futsiooi piirväärtus Defiitsioo 19 Arvu b imetatase futsiooi f piirväärtuses putis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x orral, mis täidab tigimust 0 < x a < δ(ε) ehtib võrratus f (x) b < ε Näitame, et f (x) b, x 0 x2 0 f (x) b Defiitsioo 20 Suurust + imetatase futsiooi f piirväärtuses putis a, ui iga M > 0 leidub δ(m) > 0, et iga x orral, mis täidab tigimust 0 < x a < δ(m) ehtib võrratus f (x) > M Näites x 0 1 x Ühepoolsed piirväärtused Defiitsioo 21 Arvu b imetatase futsiooi f vasapoolses piirväärtuses putis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x (a δ(ε), a) orral ehtib võrratus f (x) b < ε f (x) b, f (x) b Defiitsioo 22 Arvu b imetatase futsiooi f parempoolses piirväärtuses putis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x (a, a + δ(ε)) orral ehtib võrratus f (x) b < ε f (x) b, + + f (x) b Lause 13 Futsiooil f esisteerib piirväärtus putis a parajasti siis ui iga jada {x }, mis oodub putis a (x a) orral jada { f (x )} oodub arvus b Lause 14 Futsiooil f esisteerib putis a arvuga b võrduv piirväärtus parajasti siis ui 43 Piirväärtuse omadusi f (x) f (x) b + Lause 15 Kostatse futsiooi piirväärtuses o see ostat, st x X( f (x) c) f (x) c Lause 16 Kui futsiooil f (x) leidub piirväärtus putis a, siis leidub puti a sellie δ-ümbrus, et futsioo f (x) o tõestatud hulgal (a δ, a + δ) \ {a} Lause 17 Kui f (x) b ja g(x) c ig leidub puti a sellie δ-ümbrus, et f (x) g(x) iga 0 < x a < δ orral, siis ehtib võrratus b c Lause 18 Kui futsiooidel f (x) ja g(x) o putis a sama piirväärtus b ig leidub puti a δ-ümbrus, et iga 0 < x a < δ orral ehtib võrratuste ahel f (x) h(x) g(x), siis futsiooi h(x) piirväärtus putis a o samuti b Näitame, et si(x) 1 x 0 x { 1, x 0, sic(x) : si(πx) πx, x 0 5

6 Lause 19 Kui f (x) A, g(x) B ja c R, siis (c f (x)) c f (x) c A, ( f (x) + g(x)) f (x) + ( ) ( f (x) g(x)) f (x) f (x) B 0 g(x) f (x) g(x) A B g(x) A + B, ( ) g(x) A B Lause 20 ( ) x ( e, ) x e, x + x x x (1 + x 0 x)1/x e 44 Lõpmata väiesed ja lõpmata suured suurused Defiitsioo 23 Futsiooi α(x) imetatase lõpmata väieses suuruses piirprotsessis x a, ui α(x) 0 Defiitsioo 24 Futsiooi α(x) imetatase lõpmata suures suuruses piirprotsessis x a, ui α(x) 0 α(x) 1 ja α(x) 1 α(x) α(x) 0 Lause 21 Kahe samas piirprotsessis lõpmata väiese suuruse summa, vahe ja orrutis o samuti lõpmata väie suurus selles piirprotsessis Lõpmata väiese suuruse orrutis tõestatud suurusega o lõpmata väie suurus Lause 22 Kahe samas piirprotsessis lõpmata suure suuruse orrutis o samuti lõpmata suur suurus Defiitsioo 25 Lõpmata väieseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x a imetatase evivaletsetes selles piirprotsessis, ui α(x) β(x) 1 Lause 23 Kui piirprotsessis x a α(x) α 1 (x) ja β(x) β 1 (x), siis α(x) β(x) α 1 (x) β 1 (x) Defiitsioo 26 Kui α(x) ja β(x) o lõpmata väiesed suurused piirprotsessis x a ja α(x)/β(x) 0, siis öeldase, et α(x) o võrreldes suurusega β(x) õrgemat järu lõpmata väie suurus selles piirprotsessis Tähistatase α(x) o(β(x)) Lause 24 Kui piirprotsessis x a α(x) β(x) Lause 25 Kui f (x) b, siis leidub δ > 0, et α(x) β(x) o(β(x)) f (x) b + α(x) x (a δ, a + δ) \ {a}, us α(x) o piirprotsessis x a lõpmata väie suurus 6

7 5 Futsiooi pidevus 51 Futsiooi pidevus Defiitsioo 27 Futsiooi f (x) imetatase pidevas putis a, ui o täidetud olm tigimust: f (a); f (x); f (x) f (a) Tähistatase f (x) C(a) Defiitsioo 28 Futsiooi f (x), mis ei ole pidev putis a, imetatase atevas putis a ja puti a imetatase futsiooi f (x) atevusputis 52 Katevusputide liigid Defiitsioo 29 Futsiooi f (x) atevusputi a imetatase esimest liii atevusputis, ui putis a esisteerivad futsiooi f (x) lõpliud ühepoolsed piirväärtused Defiitsioo 30 Futsiooi f (x) atevusputi a, mis ei ole esimest liii, imetatase teist liii atevusputis Argumedi muut x x a ja sellele vastav futsiooi muut x y y f (x) f (a) f (a + x) f (a) Lause 26 Futsioo f (x) o pidev putis a parajasti siis, ui y 0 eh x 0 xy 0 x 0 Lause 27 Futsioo f (x) o pidev putis a parajasti siis, ui puti a ümbruses f (x) o esitatav ujul α(x) f (x) f (a) + α(x) f (a) + o(1), us 0 α(x) o(1) 1 53 Pidevate futsiooide omadusi Lause 28 Kui futsiooid f (x) ja g(x) o pidevad putis a ig b, c R, siis o putis a pidevad a futsiooid b f (x) + cg(x) ja f (x)g(x) ig täiedaval tigimusel g(a) 0 a futsioo f (x)/g(x) Lause 29 Kui futsioo g(x) o pidev putis a ja futsioo f (x) o pidev putis g(a), siis liitfutsioo f (g(x)) o pidev putis a 54 Ühepoole pidevus Defiitsioo 31 Futsiooi y f (x) imetatase pidevas paremalt putis a, ui y 0 x 0+ ja pidevas vasault putis a, ui y 0 x 0 55 Pidevus hulgal Defiitsioo 32 Futsiooi f (x) imetatase pidevas hulgal X, ui ta o pidev hulga X igas putis Tähistatase f (x) C(X) Defiitsioo 33 Futsiooi f (x) imetatase pidevas lõigul [a, b] R, ui ta o pidev vahemiu (a, b) igas putis, paremalt pidev lõigu otsputis a ja vasault pidev lõigu otsputis b Tähistatase f (x) C[a, b] Lause 30 Elemetaarfutsioo o pidev oma määramispiiroa siseputides 7

8 6 Lõigul pidevate futsiooide omadusi 61 Lõigul pidevate futsiooide omadusi Lause 31 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva futsiooi tõestatusest) Lõigul [a, b] pidev futsioo f (x) o tõestatud sellel lõigul st selle futsiooi väärtuste hul sellel lõigul Y { f (x) x [a, b]} o tõestatud Tõestus Olgu f (x) C[a, b] Eeldame väitevastaselt, et futsioo f (x) o tõestamata sellel lõigul, st suvalise N orral leidub sellie x [a, b], et f (x ) Moodustame sel viisil jada {x }, usjuures f (x ) Et x [a, b], siis jada {x } o tõestatud Bolzao-Weierstrassi teoreemi põhjal võib tõestatud jadast {x } eraldada ooduva osajada {x } Seega, x c [a, b] Kasutades futsiooi pidevust lõigul [a, b], leiame, et f (x ) + + f (c), usjuures suurus f (c) o lõpli Teisalt järeldub tigimusest f (x ) tigimus f (x ) Oleme saaud vastuolu, mis oli tigitud väitevastasest eeldusest Seega o lõigul pidev futsioo tõestatud sellel lõigul Defiitsioo 34 Hulga X R vähimat ülemist tõet imetatase hulga X ülemises rajas ja tähistatase sup X Defiitsioo 35 Hulga X R suurimat alumist tõet imetatase hulga X alumises rajas ja tähistatase if X Näide: Vahemi X (0, 1) Leiame if X ja sup X if X 0 sup X 1 Lause 32 (Pidevuse asioom) Igal ülalt tõestatud reaalarvude hulgal o olemas ülemie raja ja igal alt tõestatud reaalarvude hulgal o olemas alumie raja Defiitsioo 36 Futsiooi suurimat ja vähimat väärtust hulgal imetatase futsiooi estremaalsetes väärtustes sellel hulgal Lause 33 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva futsiooi estremaalsetest väärtustest) Lõigul pideval futsiooil o olemas estremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a, b] leiduvad putid α [a, b] ja β [a, b], ii et mi f (x) f (α), max x [a,b] f (x) f (β) x [a,b] Tõestus Olgu f (x) C[a, b] Kua pidev futsioo o tõestatud, siis pidevuse asioomi põhjal leiduvad rajad if f (x) M x [a,b] sup f (x) M x [a,b] Võime valida iga N orral x [a, b], ii et M 1 f (x ) M Kua x [a, b], siis jada {x } o tõestatud Tõestatud jadast saame eraldada putis β ooduva osajada {x j } Mies võrratustes M 1 j f (x j ) M piirile, saame M f (β) sup f (x) Seega ülemie raja saavutatase Aaloogilselt äitame, et saavutatase a x [a,b] alumie raja Lause 34 (Bolzao-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) Lõigul pidev futsioo omab iga väärtust, mis paieb estremaalsete väärtuste vahel Defiitsioo 37 Futsiooi f (x) imetatase ühtlaselt pidevas hulgal X R, ui ε > 0 δ δ(ε) > 0 : x 1, x 2 X x 1 x 2 < δ f (x 1 ) f (x 2 ) < ε Defiitsioo 38 Futsiooi f (x) imetatase Lipschitzi mõttes pidevas futsioois hulgal X R, ui leidub sellie arv C R, et iga a, b X orral f (a) f (b) C a b 62 Jooe asümptoodid Defiitsioo 39 Kui jooe y f (x) puti P augeemisel lõpmatusse puti P augus migist sirgest läheeb tõestamatult ullile, siis seda sirget imetatase selle jooe asümptoodis vertiaalasümptoodid x a; aldasümptoodid y x + b, us f (x) + : x + x f (x) : x x b ( f (x) x), x + b ( f (x) x) x 8

9 7 Futsiooi tuletis 71 Reaalmuutuja futsioo Futsiooi tuletis Defiitsioo 40 (Tuletis) Futsiooi y f (x) tuletises ohal x imetatase futsiooi y f (x) muudu y ja argumedi muudu x suhte piirväärtust, ui argumedi muut läheeb ullile f y (a) : x 0 x f (x) f (a) x a Tähistatase f d f (a), dx (a), y (a) Defiitsioo 41 (Diferetseeruvus) Kui futsioo f omab putis a lõpliu tuletist, siis öeldase et ta o selles putis diferetseeruv Tähistame f C 1 (a) või f D(a) Tuletise arvutamist imetatase diferetseerimises Vasa- ja parempoolsed tuletised Defiitsioo 42 Futsiooi y f (x) vasapoolses tuletises ohal x imetatase suurust f (x ) : x 0 y x Defiitsioo 43 Futsiooi y f (x) parempoolses tuletises ohal x imetatase suurust Diferetseeruvuse ja pidevuse seos f (x+) : x 0+ Lause 35 Futsioo f (x) o diferetseeruv putis a parajasti siis, ui puti a ümbruses f (x) o esitatav ujul y x f (x) f (a) + f o(x a) (a)(x a) + o(x a), us 0 x a Lause 36 Futsiooi f (x) diferetseeruvusest putis x järeldub selle futsiooi pidevus putis x, st f (x) D(x) f (x) C(x) Tõestus Pidevuse jaos putis peab olema täidetud olm tigimust: 1 esisteerib f (a) Kui meil leidub f (a), siis vastavalt defiitsiooile f f (x) f (a) (a) : x a See piirväärtus ei saa esisteerida ui ei esisteeri f (a) Seega esisterib f (a) 2 esisteerib f (x) Vastavalt eelevale lausele o putis a diferetseeruv futsioo puti a ümbruses f (x) esitatav ujul f (x) f (a) + f o(x a) (a)(x a) + o(x a), us 0 x a Seega ( f (x) f (a) + f (a)(x a) + o(x a) ) f (a) ig esisteerib f (x) Veelgi eam: f (x) f (a) 3 f (x) f (a) vt eelev put Lause 37 Kui futsiooid f (x) ja g(x) o diferetseeruvad putis x ja c R o ostat, siis selles putis o diferetseeruvad a futsiooid c f (x), f (x) + g(x), f (x)g(x) ja täiedaval eeldusel g(x) 0 a f (x)/g(x), usjuures (c f (x)) c f (x), ( f (x) + g(x)) f (x) + g (x), ( f (x)g(x)) f (x)g(x) + f (x)g (x), ( ) f (x) f (x)g(x) f (x)g (x) g(x) g 2 (x) 9

10 Liitfutsiooi tuletis Lause 38 Kui futsiooidel f (x) ja g(u) esisteerivad lõpliud tuletised vastavalt ohtadel x ja f (x), siis liitfutsiooil g( f (x)) o lõpli tuletis ohal x, usjuures dg( f (x)) dx dg( f (x)) d f (x) d f (x) dx g ( f (x)) f (x) Tõestus Tähistame u f (x) Siis y g(u) Kui u 0, siis g pidevuse tõttu y 0 ig seega u 0, siis d f (x) dx 0 g diferetseeruvuse tõttu o dg( f (x)) d f (x) dg( f (x)) dx tõestatud Seega valem ehtib Muudel juhtudel 0 Kua y dy dx y x 0 x y x 0 u u x y x 0 u u x 0 x [ ] diferetseeruvusest y järeldub pidevus u 0 u u x 0 x dy du du dx g ( f (x)) f (x) Pöördfutsiooi tuletis Lause 39 Kui lõigul [a, b] pideval ja ragelt mootoosel futsiooil y f (x) o ohal x ullist eriev tuletis, siis pöördfutsiooil x f 1 (y) leidub tuletis ohal f (x), usjuures d f 1 (y) dy 1 f (x) eh dx dy 1 dy dx Parameetrilselt esitatud futsiooi tuletis Lause 40 Kui futsioo y f (x) o esitatud parameetrilisel ujul { x ϕ(t) y ψ(t) (α t β), usjuures futsiooid ϕ(t) ja ψ(t) o diferetseeruvad vahemius (α, β) ja ϕ(t) o lõigul [α, β] ragelt mootooe ig ϕ(t) 0 (t (α, β)), siis y dy dx us täpiga tähistatase tuletist parameetri järgi Ilmutamata futsiooi tuletis dy dt dx dt ỵ x ψ(t) ϕ(t) (α < t < β), F(x, f (x)) 0 d F(x, f (x)) 0 dx Logaritmilie tuletis Lause 41 Kui f (x) D(X) ja f (x) > 0 (x X), siis f (x) f (x) d (l f (x)) dx (x X) 10

11 Kõrgemat järu tuletised Defiitsioo 44 Kui futsiooil f esisteerib tuletis putis a, siis seda tuletist imetatase futsiooi f teist järu tuletises ohal a f (a) : [ f (a)] f xa (x) f (a) x a Defiitsioo 45 Kui futsiooil f ( 1) esisteerib tuletis putis a, siis seda tuletist imetatase futsiooi f -järu tuletises ohal a f () (a) : [ f ( 1) (a)] f xa ( 1) (x) f ( 1) (a) x a Lause 42 (Leibizi valem) Futsiooide orrutise f (x)g(x) -järu tuletis putis a avaldub valemiga ( ) [ f (x)g(x)] () xa f () (a)g ( ) (a) us bioomordajad ( ) C :!!( )! 0 Tõestus Kasutame matemaatilse idutsiooi meetodit Näitame idutsiooibaasi, st leiame esimese tuletise ( ) ( ) ( ) ( f (x)g(x)) f (x)g(x) + f (x)g 1 (x) f 1 (x)g(x) + f (x)g 1 (x) f () (x)g (1 ) (x), 1 0 Tõepoolest, valem ehtib juhul 1 Tõestus Nüüd tuleb äidata idutsiooisamm: eeldame, et valem ehtib juhul 1 ja äitame, et sel juhul ehtib ta a orral Seega ehtib Saame ( [ f (x)g(x)] ( 1) xa ) 1 0 [ f (x)g(x)] ( 1) xa 1 0 ( 1 ) f () (a)g ( 1 ) (a) ( ) 1 ( f (+1) (a)g ( 1 ) (a) + f () (a)g ( ) (a)) ( ) 1 f (+1) (a)g ( 1 ) (a) + Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisidesi ihe) j : + 1 ( j 1) Saame [ f (x)g(x)] () ( xa [ f (x)g(x)] ( 1) ) xa Kua ( ) ( ) saame j1 1 0 ( ) 1 f (j) (a)g ( j) (a) + j 1 ( ) 1 f (0) (a)g () (a) ( ) 1 f () (a)g ( ) (a) ) f () (a)g (0) (a)+ ( (( ) ( 1)! ( 1)! + ( 1)!( )!!( 1 )! ( 1)! ( 1)!( 1 )!( ) + ( 1)! ( 1)!( 1 )! [ f (x)g(x)] () xa f (0) (a)g () (a) + f () (a)g (0) (a) + 0 ( ) f () (a)g ( ) (a) 11 ( ) 1 f () (a)g ( ) (a) ( )) 1 f () (a)g ( ) (a) ( 1)!( + ) ( 1)!( 1 )!( )!!( )! 1 1 ( ) f () (a)g ( ) (a) ( ),

12 72 Tuletiste tabel C 0 (x a ) ax a 1 (a R) (e x ) e x (log a x) x l 1 a (si x) cos x (cos x) si x (ta x) 1 (cot x) 1 (cos x) 2 (si x) 2 (arcsi x) 1 (arccos x) 1 1 x 2 1 x 2 (arcta x) 1 (arccot x) 1 1+x 2 1+x 2 (sih x) cosh x (cosh x) sih x (tah x) 1 (coth x) 1 (cosh x) 2 (arsih x) 1 (arcosh x) 1 x 2 +1 (sih x) 2 x 2 1 (artah x) 1 1 x 2 (arcoth x) 1 1 x 2 73 Futsiooi diferetsiaal Argumedi muut x ja sellele vastav futsiooi y f (x) muut ohal x y f (x + x) f (x) Eeldusel, et f D(x), saame eh piisavalt väiese x orral ehtib f y (x) x 0 x y x f (x) + α( x), α( x) 0 x 0 y f (x) x + α( x) x, y f (x) x +β( x), }{{} muudu peaosa β( x) α( x) x β( x) 0 x 0 x Defiitsioo 46 Avaldist f (x) x imetatase futsiooi y f (x) diferetsiaalis eh esimest järu diferetsiaalis ohal x ja tähistatase dy või d f, dy d f f (x) x Võttes y x, saame dx - argumedi diferetsiaal dy dx x x x dy f (x)dx f (x) dy dx 74 Diferetsiaali omadusi Lause 43 Futsiooi diferetsiaal o võrdelie argumedi muuduga Nullist erieva tuletise orral o futsiooi muut evivalete futsiooi diferetsiaaliga piirprotsessi x 0 Lause 44 d( f + g) d f + dg; f (x) dy dx d( f g) d f g + f dg; ( ) f d d f g f dg g g 2 12

13 75 Kõrgemat järu diferetsiaalid Defiitsioo 47 Futsiooi y f (x) -järu diferetsiaalis imetatase diferetsiaali selle futsiooi 1-järu diferetsiaalist d y d(d 1 y) Saab äidata, et d y f () (x)(dx) 8 Futsiooi asvamie ja ahaemie 81 Futsiooi asvamie ja ahaemie Defiitsioo 48 Futsiooi y f (x) imetatase ragelt asvavas putis x, ui leidub sellie positiive arv δ, et suvaliste x 1 (x δ, x) ja x 2 (x, x + δ) orral f (x 1 ) < f (x) < f (x 2 ) Lause 45 Kui futsioo y f (x) o ragelt asvav putis x, siis leidub sellie δ > 0, et 0 < x < δ y x > 0 Defiitsioo 49 Futsiooi y f (x) imetatase ragelt ahaevas putis x, ui leidub sellie positiive arv δ, et suvaliste x 1 (x δ, x) ja x 2 (x, x + δ) orral f (x 1 ) > f (x) > f (x 2 ) Lause 46 Kui futsioo y f (x) o ragelt ahaev putis x, siis leidub sellie δ > 0, et 0 < x < δ y x < 0 Lause 47 Kui f (a) c > 0, siis futsioo o ragelt asvav putis a Kui f (a) c < 0, siis futsioo o ragelt ahaev putis a Tõestus Kui futsiooi y f (x) tuletis f (x) o positiive putis a, st siis leidub sellie δ > 0, et f (a) x 0 y x > 0, 0 < x < δ y x > 0 Seega, ui a ( δ, 0) (0, δ), siis suurused x ja y o samamärgilised, st y f (x) o ragelt asvav putis a 82 Loaalsed estreemumid Defiitsioo 50 Öeldase, et futsiooil f (x) o putis x loaale masimum, ui leidub sellie positiive arv δ, et 0 < x < δ y 0 Defiitsioo 51 Öeldase, et futsiooil f (x) o putis x loaale miiimum, ui leidub sellie positiive arv δ, et 0 < x < δ y 0 Kui defiitsioois y < 0 -rage loaale masimum Kui defiitsioois y > 0 -rage loaale miiimum Defiitsioo 52 Öeldase, et futsiooil f (x) o putis x loaale estreemum, ui futsiooil f (x) o putis x as loaale miiimum või loaale masimum Defiitsioo 53 Öeldase, et futsiooil f (x) o putis x rage loaale estreemum, ui futsiooil f (x) o putis x as rage loaale miiimum või rage loaale masimum Lause 48 (Fermat teoreem) Kui futsiooil f (x) o putis x loaale estreemum ja futsioo f (x) o diferetseeruv putis x, siis futsiooi tuletis selles putis o ull, st f (x) 0 13

14 9 Kesväärtusteoreemid 91 Kesväärtusteoreemid Lause 49 (Rolle i teoreem) Kui futsioo o pidev lõigul [a, b] ja diferetseeruv vahemius (a, b) ig f (a) f (b), siis leidub vahemius (a, b) put c, us f (c) 0 Tõestus Kua lõigul pidev fustsioo saavutab seal oma miimaalse ja masimaalse väärtuse, siis leidub futsiooil f (x), mis ei ole ostate futsioo, vastavas vahemius vähemalt üs estreemumput c, us f (c) 0 Kostatse futsiooi orral f (x) 0 iga x (a, b) Lause 50 (Lagrage i esväärtusteoreem) Kui futsioo f o pidev lõigul [a, b] ja diferetseeruv vahemius (a, b), siis leidub put c (a, b), et f (b) f (a) f (c)(b a) Tõestus Kasutame Rolle i teoreemi Selles defieerime abifutsiooi L(x) f (b) f (a) (x a) + f (a) b a Futsioo g f L rahuldab Rolle i teoreemi eeldusi, seega leidub sellie put c (a, b), us 0 g (c) f (c) L (c) f (c) f (b) f (a) b a Lause 51 (Cauchy esväärtusteoreem) Kui futsiooid f ja g o pidevad lõigul [a, b] ja diferetseeruvad vahemius (a, b), usjuures g (x) 0, siis leidub vahemius (a, b) put c, et f (b) f (a) g(b) g(a) f (c) g (c) Tõestus Kasutame Lagrage i teoreemi Selles defieerime abifutsiooi h(x) : ( f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a)) f (x) Lagrage i esväärtusteoreemi põhjal leidub put c (a, b), us 0 ( f (b) f (a))(g(b) g(a)) (g(b) g(a))( f (b) f (a)) h(b) h(a) h (c)(b a) [(g(b) g(a)) f (c) ( f (b) f (a))g (c)](b a) Lähtudes tõestuse äigus saadud avaldisest võime ada Cauchy esväärtusteoreemi ujul: Lause 52 (Cauchy esväärtusteoreemi alteratiive sõastus) Kui futsiooid f ja g o pidevad lõigul [a, b] ja diferetseeruvad vahemius (a, b), siis leidub vahemius (a, b) put c, et Võttes Cauchy esväärtusteoreemis g(x) x, saame ( f (b) f (a))g (c) (g(b) g(a)) f (c) ( f (b) f (a))1 (b a) f (c) eh Lagrage i esväärtusteoreemi Võttes Lagrage i esväärtus- teoreemis futsiooi f, mis rahuldab tigimust f (a) f (b), saame 0 f (b) f (a) f (c)(b a) f (c) 0 eh Rolle i teoreemi Seetõttu asutatase Cauchy esväärtus- teoreemi ohta a imetust üldistatud esväärtusteoreem Lause 53 Kui futsioo f o pidev lõigul [a, b] ja diferetseeruv vahemius (a, b), siis see futsioo o Lipschitzi mõttes pidev lõigul [a, b], st leidub L > 0 ii, et iga x 1 ja x 2 orral lõigust [a, b] ehtib f (x 1 ) f (x 2 ) L x 1 x 2 Tõestus Lagrage i esväärtusteoreemi põhjal leidub put c (x 2, x 1 ), us Seega võime valida L sup f (x) x (a,b) f (x 1 ) f (x 2 ) f (c)(x 1 x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (c) x 1 x 2 x 1 x 2 sup f (x) x (a,b) 14

15 92 L Hospitali reegel Lause 54 (L Hospitali reegel) Kui + f (x) 0, g(x) 0, + + f (x) g (x) ig siis esisteerib a usjuures δ 1 : x (a, a + δ 1 ] g(x) 0, + + f (x) g(x), f (x) g(x) + f (x) g (x), Aaloogilie väide peab paia a vasapoolse piirväärtuse ja samuti (ahepoolse) piirväärtuse orral Tõestus Kostrueerime putis a paremalt pidevad abifutsiooid F(x) : { f (x) x > a 0 x a G(x) : { g(x) x > a 0 x a Lähtudes seostest + f (x) 0, g(x) 0, + + f (x) g (x) saame, et leiduvad 0 < δ 3 δ 2, ii et futsiooid F ja G o pidevad lõigul [a, a + δ 2 ] ja diferetseeruvad vahemius (a, a + δ 3 ), usjuures F (x) f (x) ja G (x) g (x) ig G (x) 0 ui x (a, a + δ 3 ) Vastavalt Cauchy esväärtusteoreemile leidub vahemius (a, a + δ) (δ mi{δ 1, δ 2, δ 3 }) put c, et F(x) F(a) G(x) G(a) F (c) G (c) Tõestus Kua vahemius (a, a + δ) F(x) f (x), G(x) g(x), F(a) 0, G(a) 0, saame f (x) g(x) f (c) g (c) Vaadates piirprotsessi δ 0 vahemiu (a, a + δ) orral saame, ua x (a, a + δ) ja c (a, a + δ), et x a+ ja c a+, seega f (x) + g(x) f (c) c a+ g (c), mis o samavääre võrdusega f (x) + g(x) f (x) + g (x) 93 Mitme muutuja futsioo Aritmeetilise putiruumi R elememedid o putid P(x 1,, x ) R Aritmeetilses putiruumis o defieeritud ahe puti P ja Q vahelie augus (meetria) d(p, Q) : (y 1 x 1 ) (y 1 x 1 ) 2 Aritmeetilse vetorruumi R elemedid o vetorid x (x 1,, x ) Aritmeetilises vetorruumis o defieeritud ahe vetori x ja y R salaarorrutis x, y : x 1 y x y ; vetori x R orm x 2 : x, x ; ahe vetori x ja y R vahelie augus d(x, y) : y x 2 (y 1 x 1 ) (y 1 x 1 ) 2 15

16 -muutuja futsioo Defiitsioo 54 Kui hulga Ω R igale putile P(x 1,, x ) o vastavusse seatud muutuja u R idel väärtus, siis öeldase, et hulgal Ω o defieeritud -muutuja (salaarväärtusega) futsioo Seda fati tähistatase u f (x 1,, x ) või lühidalt u f (P) Et järjed (x 1,, x ) määrab ära vetori x (x 1,, x ), siis o mõigatel juhtudel otstarbeas õelda vetorargumedi x salaarväärtusega futsiooist u f (x) R R f : X Y x y f (x) Defiitsioo 55 Hula {(x 1,, x, u) ((x 1,, x ) Ω) u f (x 1,, x )} R +1 imetatase futsiooi graafius 94 Futsiooi piirväärtus ja pidevus Futsiooi piirväärtus Defiitsioo 56 Hula U ε (P) {Q R d(p, Q) < ε} imetatase puti P R ε-ümbruses Defiitsioo 57 Arvu c imetatase futsiooi u f (x 1,, x ) piirväärtuses putis A(a 1,, a ), ui iga ε > 0 orral leidub sellie δ > 0, et iga P U δ (A), us P A, orral f (P) c < ε ( f (P) U ε (c)) Kasutatase tähistust f (P) c P A Defiitsioo 58 Ütleme, et jada {P } 1 oodub suuruses a (eh jada {P } 1 piirväärtus o a) ui iga 0 < ε R orral leidub N N ii et P U ε (a) iga > N orral Lause 55 Arv c o futsiooi u f (x 1,, x ) piirväärtus putis A(a 1,, a ), parajasti siis ui iga putide jada {P } 1 orral, mis oodub putis A vastav futsiooi väärtuste jada { f (P )} 1 oodub suuruses c Järeldus 1 Piirväärtus P A f (P) esisteerib parajasti siis, ui f (P) c sõltumata puti P putile A läheemise viisist Näide Veedume, et (x,y) (1,2) x2 + 3y 7 Selles irjutame (x 2 + 3y) 7 (x 2 1) + 3(y 2) (x 1)(x + 1) + 3(y 2) x 1 x y 2 Olgu ε > 0 ig õuame, et otsitav δ > 0 oles väisem ui 1 Kui ehtib tigimus x 1 d ( (x, y), (1, 2) ) < δ < 1, siis x + 1 < 3 Samuti ehtib võrratus y 2 < 1 ig me saame, et (x 2 + 3y) 7 < 6d ( (x, y), (1, 2) ) 16

17 Võtame δ < mi{1, ε/6}, siis tigimusest d ( (x, y), (1, 2) ) < δ järeldub (x 2 + 3y) 7 < ε Seega (x,y) (1,2) x2 + 3y 7 Defiitsioo 59 Piirväärtust x 1 a 1 imetatase orduvas piirväärtuses f (x 1,, x ) x 2 a 2 x a x 1 a 1 ( ( )) f (x 1,, x ) x 2 a 2 x a Lause 56 Olgu futsioo f (x, y) määratud hulgal X Y R 2 Kui esisteerib piirväärtus f (x, y) c (x,y) (a,b) ja iga y Y orral leidub piirväärtus siis esisteerib a orduv piirväärtus ja φ(y) : f (x, y), f (x, y) φ(y) y b y b f (x, y) f (x, y) c y b (x,y) (a,b) Pidevus Defiitsioo 60 Futsiooi u f (x 1,, x ) imetatase pidevas putis A(a 1,, a ), ui st o täidetud olm tigimust: 1 f (A); 2 P A f (P); 3 P A f (P) f (A) f (P) f (A), P A Defiitsioo 61 Futsiooi u f (x 1,, x ) imetatase pidevas piiroas Ω 0 Ω R, ui see futsioo o pidev piiroa Ω 0 igas putis Lause 57 (Bolzao-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) Olgu futsioo määratud ja pidev migis sidusas piiroas Ω 0 Ω R Kui futsiooi väärtused putides P, Q Ω 0 o vastavalt a f (P) ja b f (Q), siis see futsioo omadab selles piiroas õi väärtused u [a, b] Tõestus Vaatame migit joot Γ, mis ühedab pute P ja Q ig mille õi putid uuluvad piiroda Ω 0 (leidub sidusa piiroa Ω 0 orral) Parametriseerime jooe, esitades x i x i (t) (i 1,, ) Jooel Γ saame -muutuja futsiooi asemel ühe muutuja t futsiooi f (x 1 (t),, x (t)), mille orral vastav lause o tõestatud 95 Futsiooi osatuletised Futsiooi osatuletised Vaatame futsiooi u f (x 1,, x ) putis P(x 1,, x ) Aame argumedile x j (j 1,, ) muudu x i Tähistame muutu xj u : f (x 1,, x j 1, x j + x j, x j+1,, x ) f (x 1,, x j 1, x j, x j+1,, x ) xj u Defiitsioo 62 Kui esisteerib piirväärtus xj 0 x, siis seda piirväärtust imetatase futsiooi u j f (x 1,, x ) osatuletises putis P(x 1,, x ) muutuja x j (j 1,, ) järgi ja tähistatase f xj (P) f (x 1,, x ) x j xj u : x j 0 x j Järeldus 2 Osatuletise võtmisel mitme muutuja futsiooist f muutuja x j järgi võetase selle muutuja järgi tavalie tuletis, usjuures selle futsiooi teisi muutujaid äsitletase ui ostate 17

18 Järeldus 3 Kui tegemist o ahe muutuja futsiooiga z f (x, y), siis f x (x, y) z : x x 0 f y (x, y) z : y y 0 Leiame ahe muutuja futsiooi tuletised f x ja f y f (x + x, y) f (x, y), x f (x, y + y) f (x, y) y Järeldus 4 Kui hulgal Ω määratud futsiooil u f (P) esisteerib osatuletis u xi osatuletis u xi ujutab edast hulgal Ω 0 määratud futsiooi hulga Ω 0 Ω igas putis, siis see Seega -muutuja futsiooi osatuletised o -muutuja futsiooid millest võime võtta osatuletisi muutuja x ( 1,, ) järgi: ( ) f xj x (P) 2 f (P) : f (P) x j x x x j Saadud tulemust imetame teist järu osatuletises Nii saame defieerida a õrgemat järu osatuletised Lause 58 (Segaosatuletiste võrdsus) Kui futsiooi f (x, y) segaosatuletised f xy ja f yx o pidevad futsiooid migis putis P(x, y), siis f xy (x, y) f yx (x, y) Tõestus ω : f (x + x, y + y) f (x, y + y) f (x + x, y) + f (x, y) ϕ(x, y) : f (x, y + y) f (x, y) ψ(x, y) : f (x + x, y) f (x, y) Kasutame Lagrage esväärtusteoreemi θ 1, θ 2 [0, 1] Sii asutame uuesti esväärtusteoreemi Saame Vaatame piirväärtust ω ϕ(x + x, y) ϕ(x, y) ϕ(x + θ 1 x, y) x x ω ψ(x, y + y) ψ(x, y) ψ(x, y + θ 2 y) y y ϕ(x + θ 1 x, y) x f x (x + θ 1 x, y + y) f x (x + θ 1 x, y) f xy (x + θ 1 x, y + θ 3 y) y ψ(x, y + θ 2 y) y f y (x + x, y + θ 2 y) f y (x, y + θ 2 y) f yx (x + θ 4 x, y + θ 2 y) x f xy (x + θ 1 x, y + θ 3 y) x y f yx (x + θ 4 x, y + θ 2 y) x y f xy (x + θ 1 x, y + θ 3 y) f yx (x + θ 4 x, y + θ 2 y) f xy(x + θ 1 x, y + θ 3 y) f yx(x + θ 4 x, y + θ 2 y) ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0) 18

19 96 Futsiooi täisdiferetsiaalid ja ede raedused Diferetseeruvus Defiitsioo 63 Futsiooi z f (x, y) imetatase diferetseeruvas ohal (x, y), ui argumedi muudule ( x, y) vastav futsiooi muut z f (x + x, y + y) f (x, y) o esitatav ujul z f x (x, y) x + f y (x, y) y + γ us γ o õrgemat järu lõpmata väie suurus võrreldes vetori ( x, y) piusega ( x, y) 2 piirprotsessis ( x, y) (0, 0) Lause 59 Kui futsioo z f (x, y) o diferetseeruv ohal (x, y), siis futsioo f o pidev sellel ohal Lause 60 Futsioo z f (x, y) o diferetseeruv ohal (x, y) siis, ui futsiooil z f (x, y) o pidevad osatuletised f x ja f y ohal (x, y) Lause 61 Kui futsiooi f (x, y) osatuletised f x (x, y) ja f y (x, y) o diferetseeruvad ohal (x, y), siis f xy f yx ohal (x, y) Täisdiferetsiaal Defiitsioo 64 Suurust d f : f x (x, y)dx + f y (x, y)dy, us dx : x ja dy : y, imetatase futsiooi f (x, y) täisdiferetsiaalis Defiitsioo 65 Suurust d 2 f : d(d f ) imetatase futsiooi f teist järu täisdiferetsiaalis Defiitsioo 66 Futsiooi f r-järu täisdiferetsiaalis imetatase täisdiferetsiaali futsiooi (r 1)-järu täisdiferetsiaalist ja tähistatase d r f : d(d r 1 f ) Tähistusi β(x) o(α(x)) (x a) β(x) α(x) 0 β(x) β(x) α(x) (x a) α(x) 1 β(x) O(α(x)) M > 0 β(x) M α(x) β(x) α(x) m, M > 0 m α(x) β(x) M α(x) Ühe muutuja futsioo Pidevus ohal x X R f (x + x) f (x) + o (( x) 0) Diferetseeruvus ohal x esisteerib f (x) f (x + x) f (x) + f (x) x + o( x) Lagrage esväärtusteoreem: Kui f pidev [x, x + x] ja diferetseeruv (x, x + x), siis leidub θ (0, 1), ii et Mitme muutuja futsioo f (x + x) f (x) + f (x + θ x) x Pidevus ohal x (x 1, x 2,, x ) Ω R f (x + x) f (x) + o (( x 2 ) 0) Diferetseeruvus ohal x esisteerivad f xj (x) Esisteerivad pidevad f xj (x) diferetseeruvus ohal x f (x + x) f (x) + j1 f xj (x) x j + o( x 2 ) Lagrage esväärtusteoreem: Kui f diferetseeruv x ümbruses U δ (x) ja x + x U δ (x), siis leidub θ (0, 1), ii et f (x + x) f (x) + j1 f xj (x + θ x) x j 19

20 97 Liitfutsiooi osatuletised Liitfutsiooi osatuletised Lause 62 Kui futsiooid x i x i (t) (i 1,, ) o diferetseeruvad putis t ja futsioo u f (x) o diferetseeruv putis P(x 1 (t),, x (t)), siis liitfutsiooi f (x 1 (t),, x (t)) f (x(t)) u(t) tuletis putis t avaldub ujul du(t) dt i1 f xi (x(t)) dx i(t) dt Tõestus Me peame leidma tuletise du(t) dt u(t + t) u(t) t 0 t Kua vastavalt eeldusele u f (x) o diferetseeruv putis P(x 1 (t),, x (t)), siis saame esituse u(t + t) u(t) + i1 f xi (x(t))(x i (t + t) x i (t)) + o( x 2 ) Kua vastavalt eeldusele o futsiooid x i x i (t) (i 1,, ) diferetseeruvad putis t, siis Ilmselt o( x 2 ) o( t) Tõepoolest, x i (t + t) x i (t) + x i (t) t + o( t) o( x 2 ) o( x 2 ) x 2 t 0 t t 0 x 2 t Kua x i o diferetseeruvad, siis tuletised x i o tõestatud ja x 2 ( ) xi (t) 2 t 0 t t 0 t i1 Kua f o diferetseeruv, siis osatuletised f xi o tõestatud Seega i1 ( x i (t) ) 2 du(t) dt i1 f x i (x(t))(x i (t) t + o( t)) + o( x 2) t 0 t f xi (x(t))x i (t) + o( t) o( x f xi (x(t)) + 2 ) i1 i1 t 0 t t 0 t f xi (x(t))x i (t) i1 Lause 63 Kui futsiooid x x(u, v) ja y y(u, v) o diferetseeruvad putis P(u, v) ig futsioo z z(x, y) o diferetseeruv putis (x(p), y(p)), siis liitfutsiooi z z(x(p), y(p)) z(u, v) osatuletised avalduvad ujul Ilmutamata futsiooi osatuletised z u z x x u + z y y u, z v z x x v + z y y v Defiitsioo 67 Kui futsioo u f (x 1,, x ) o atud võrradiga F(x 1,, x, u) 0, us F o migi + 1-muutuja futsioo, siis öeldase et futsioo f o atud ilmutamata ujul Vaatame ühe muutuja futsiooi y f (x) Lause 64 Kui futsioo y f (x) o atud ilmutamata ujul võrradiga F(x, y) 0 ja P(x, y) o selle võrradiga esitatud jooe put ig F o diferetseeruv putis P ja selles putis F y (P) 0, siis f (P) dy dx F x(p) F y (P) 20

21 Lause 65 Olgu futsioo z f (x, y) atud ilmutamata ujul võrradiga F(x, y, z) 0 Olgu P(x, y, z) selle võrradiga esitatud pia put Kui futsioo F o diferetseeruv putis P ja selles putis F z (P) 0, siis f x (x, y) z x F x(p) F z (P) f y (x, y) z y F y(p) F z (P) Lühidalt tähistame z x F x F z z y F y F z Üldjuhul ui futsioo u f (x 1,, x ) o atud ilmutamata ujul võrradiga F(x 1,, x, u) 0, saame (F u (x 1,, x, u) 0) f xj (x 1,, x ) u F x j (x 1,, x, u) (j 1,, ) x j F u (x 1,, x, u) Suuatuletis Leiame futsiooi f (x) tuletise putis a vetori s suuas Vetori s suualie ühivetor o ujul : s s 2 (cos α 1,, cos α ), us α o urgad vastavate oordiaattelgedega Et asutada eelevat tulemust, defieerime ühe s muutuja futsiooi ujul u(t) : f (x(t)), us x (t) : a + t a s + t cos α ja x (t) : s cos α 2 s Seega 2 suuatuletis o esitatav ujul d f (a) ds t 0 ( s f a + t s 2 t f x (a) s s 1 2 ) f (a) du dt (0) f x (a) cos α 1 Gradiet Defiitsioo 68 Futsiooi u f (x 1,, x ) gradiedis putis P(x 1,, x ) imetatse selle futsiooi osatuletistest oosevat vetorit ( ) f f f (grad f )(P) (P), (P),, (P) x 1 x 2 x Defiitsioo 69 Hamiltoi operaatoris eh ablaoperaatoris imetatse operaatorit ( ) :,,, x 1 x 2 x Seega grad f f Suuatuletis Kasutades gradieti saame suuatuletise esitada salaarorrutisea d f ds (a) 1 f x (a) s s 2 f (a), Ilmselt o suuatuletis d f ds (a) masimaale ui vetor s o gradiedi suualie Siis saame, arvestades et s 2 : s, s s s 2 d f d f (a) f (a) 2 Seega äitab gradiedi suud futsiooi iireima asvu suuda ja gradedi pius äitab asvu suuda 21