1 Sissejuhatus. Definitsioon 1 (Norm). Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari

Väljavõte

1 1 Sissejuhatus Definitsioon 1 (Norm) Normis vetorruumis V nimetatase reeglit, mis igale vetorile u V seab vastavusse salaari u R, usjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 u V u 0; u = 0 u = Θ 2 u V, α R αu = α u 3 u, v V u + v u + v Reaalarvu x R orral sobib normis absoluutväärtus { x, x 0 x := x, x < 0 n-mõõtmelise ruumi R n vetori x = (x 1,, x n ) normi x 2 eh vetori piuse võime defineerida ujul x := x 2 = x x2 n Võttes n = 1 saame absoluutväärtuse esitada ujul x = x 2 = x 2 Definitsioon 2 (Kaugus) Kauguses ruumis V nimetatase reeglit, mis igale ahele selle ruumi elemendile u, v V seab vastavusse salaari d(u, v) R, usjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 u, v V d(u, v) = 0 v = u 2 u, v V d(u, v) = d(v, u) 3 u, v, w V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime ahe elemendi u, v V vahelise auguse defineerida ujul d(u, v) := v u Seega on ahe reaalarvu x 1, x 2 R vaheline augus leitav ujul d(x 1, x 2 ) = x 2 x 1 Ümbrused Definitsioon 3 Hula U ε (a) := {x V d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatase punti a V ε-ümbruses Reaalarvu a R orral saame U ε (a) = {x R a ε < x < a + ε} Definitsioon 4 Reaalarvu a vasapoolses ümbruses nimetatase suvalist poollõiu (a ε, a], us ε > 0 Arv x uulub arvu a vasapoolsesse ümbrusesse (a ε, a] parajasti siis, ui selle arvu augus arveljel on arvust a väisem ui ε, st x a < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a Definitsioon 5 Reaalarvu a parempoolses ümbruses nimetatase suvalist poollõiu [a, a + ε), us ε > 0 Arv x uulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) parajasti siis, ui selle arvu augus arveljel on arvust a väisem ui ε, st x a < ε, ja x ei asetse a-st vasaul, st x > a Definitsioon 6 Suuruse lõpmatus ümbruses nimetatase suvalist vahemiu (M, ), us M > 0 Tähistame U M ( ) Definitsioon 7 Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetatase suvalist vahemiu (, M), us M > 0 Tõestatud hulgad Definitsioon 8 Reaalarvudest oosnevat hula A nimetatase tõestatus, ui leidub selline positiivne arv K nii, et iga a A orral ehtib võrratus a < K Hul A on tõestatud, ui õi selle hulga elemendid uuluvad nulli ümbrusesse U K (0) mingi K > 0 orral Reaalarvude orral U K (0) = ( K, K) Definitsioon 9 Elementi b nimetatase funtsiooni f piirväärtuses puntis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x orral, mis täidab tingimust x U δ (a) ehtib f (x) U ε (b) f (x) = b, f (x) b 1

2 2 Jada piirväärtus Jada Definitsioon 10 (Jada) Jadas nimetatase funtsiooni, mille määramispiironnas on naturaalarvude hul N = {1, 2, 3, } Jada x väärtusi x(n) (n N) tähistame x n ja nimetame jada liimetes Jada x tähistame {x 1, x 2, } või {x n } või {x n } n=1 või {x n} n N Kui x n R (n N), st x : N R, siis nimetame jada x arvjadas Jada oonduvus ja piirväärtus Definitsioon 11 Ütleme, et jada {x n } n=1 oondub suuruses a (eh jada {x n} n=1 piirväärtus on a) ui iga 0 < ε R orral leidub N N nii et x n U ε (a) iga n > N orral Tähistame x n a või x n n a või n x n = a Näide 1 ({ n 1 } 1 n=1 ) Näitame, et n n = 0 Fiseerime ε Peame leidma sellise N N, et n 1 U ε(0) iga n > N orral Vastavalt ümbruse definitsioonile n 1 0 = n 1 < ε Saame n > 1 ε, seega n 1 U ε(0) iga n > N = 1 ε orral Lause 2 Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud Kui n x n = a ja n x n = b, siis a = b Tõestus Vae ε 1 2 d(b, a), seega U ε(a) ja U ε (b) ei lõiu Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud N 1, N 2 N, nii et n > N 1 n > N 2 x n U ε (a) x n U ε (b) Kui N = max{n 1, N 2 }, siis n > N n > N x n U ε (a) x n U ε (b) Saame vastuolu una vastavalt eeldusele U ε (a) U ε (b) = Tõestatus Definitsioon 12 Jada nimetatase {x n } nimetatase tõestatus, ui leidub selline arv M > 0, et iga n N orral x n U M (0), st n N(d(x n, 0) M) Definitsioon 13 Arvjada nimetatase {x n } nimetatase ülalt tõestatus, ui leidub arv M, et iga n N orral x n M Definitsioon 14 Arvjada nimetatase {x n } nimetatase alt tõestatus, ui leidub arv M, et iga n N orral x n M Lause 3 Konstantse jada piirväärtus on see onstant Lause 4 Iga oonduv jada on tõestatud Lause 5 Kui n x n = a ja n y n = a ning x n < z n < y n, siis n z n = a Tõestus Fiseerime ε Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud N 1, N 2 N, nii et n > N 1 n > N 2 x n U ε (a) a ε < x n < a + ε y n U ε (a) a ε < y n < a + ε Kui N = max{n 1, N 2 }, siis vastavalt eeldusele n > N orral a ε < x n < z n < y n < a + ε z n U ε (a), mis vastavalt piirväärtuse definitsioonile annab n z n = a 2

3 n n n = 1 Näitame, et n n = 1 Selles näitame, et ( n n 1) = 0, milles onstrueerime ülalt- ja althinnangud n n üldliimele λ n := n n 1 Tähistame a n := n n = 1 + λ n, siis Newtoni binoomvalemi põhjal n = (a n ) n = (1 + λ n ) n = ( ) n (λ n ) 2 1 n 2 = 2 n n! 2!(n 2)! (λ n) 2 = Kui n > 2, siis n 1 2 > n 4 ja n > n2 4 (λ n) 2 Järgnevalt avaldame üldliime Kuna 0 < λ n saame ülalt- ja althinnangud (λ n ) 2 < 4 n ( ) n λ n 1 n n(n 1) (λ n ) < (λ n ) 2 < 4 n 0 < λ n < 2 n Kuna n 2 = 0 ja 0 = 0, siis vastavalt eelmisele teoreemile a λ n = ( n n 1) = 0 n n n n Sellega oleme näidanud, et n n = 1 n Definitsioon 15 Kui iga M > 0 orral leidub N N, et iga n > N orral ehtib x n > M, siis öeldase, et arvjada {x n } n=1 piirväärtus on + ja tähistatase n x n = + Lause 6 Kui jadad {x n } ja {y n } oonduvad, st siis x n = a y n = b, n + n + cx n = c a, us c R n + (x n + y n ) = x n + y n = a + b, n + n + n + (x n y n ) = x n y n = a b, n + n + n + ( ) ( ) (x ny n ) = x n y n = ab, n + n + n + x n/y n = n + n + x n n + y n = a b, ui y n = 0 ja b = 0 Lause 7 Kui jada {x n } oondub arvus a, siis selle jada üldliige on esitatav ujul x n = y n + a, us y n 0 Lause 8 Iga ülalt tõestatud monotoonselt asvav jada oondub Definitsioon 16 Jada {x n } osajadas {y n } nimetatase jada, mis on saadud jadast {x n } lõpliu või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmise teel Teoreem 9 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast tõestatud jadast saab eraldada oonduva osajada Cauchy jadad eh fundamentaaljadad Definitsioon 17 Öeldase, et {x n } on Cauchy jada eh fundamentaaljada, ui iga ε > 0 orral leidub N N, et iga naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p orral ehtib võrratus x n+p x n < ε Lause 10 (Cauchy riteerium) Jada {x n } oondub parajasti siis, ui ta on Cauchy jada 3

4 Cauchy riteeriumi tõestus 1 Tõestame, et iga oonduv jada on Cauchy jada Eeldame, et n x n = a Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N N omadusega iga n > N orral Kui n > N, siis saame seega on {x n } Cauchy jada x n a < ε 2 x n+p x n = x n+p a + a x n x n+p a + x n a < ε 2 + ε 2 = ε 2 Näitame, et iga Cauchy jada on tõestatud Eeldame, et {x n } on Cauchy jada Definitsiooni ohaselt leidub selline N N, et x n+p x n < 1 õiide n > N orral Tähistame A := x N+1, siis x n A < 1 õiide n > N orral eh A 1 < x n < A + 1 (n > N) Võttes nüüd m := min{x 1,, x N, A 1} M := max{x 1,, x N, A + 1} Seega on jada {x n } tõestatud m < x n < M (n > N) 3 Näitame, et iga Cauchy jada oondub Olgu {x n } Cauchy jada Kuna iga Cauchy jada on tõestatud, siis Bolzano- Weierstrassi teoreemi ohaselt sisaldab {x n } mingi oonduva osajada {x n } Tähistame a := x n ja näitame, et x n = a Olgu ε > 0 ja olgu N selline indes, et Edasi, olgu K N valitud nii, et n > N ui > K ja x n+p x n < ε (n > N, p N) 2 x n a < ε 2 Seega saame õigi indesite n > N puhul x n a = x n x n + x n a x n x n + x n a < ε 2 + ε 2 = ε järeliult x n = a Kuhjumispuntid Definitsioon 18 Jada uhjumispuntis nimetatase arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liimeid Lause 11 Arv a on jada {x n } uhjumispunt parajasti siis, ui leidub selline osajada {x n }, mis oondub arvus a Lause 12 Jada {x n } oondub parajasti siis, ui ta on tõestatud ja tal on vaid üs uhjumispunt Arv e Lause 13 Leidub piirväärtus ( ) n n + n Lause tõestus oosneb ahest osast: {( 1 näitame, et jada ) n } on ülalt tõestatud; n {( 2 näitame, et jada ) n } on asvav n 4

5 3 Reaalmuutuja funtsiooni piirväärtus Reaalmuutuja funtsiooni piirväärtus Definitsioon 19 Arvu b nimetatase funtsiooni f piirväärtuses puntis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x orral, mis täidab tingimust 0 < x a < δ(ε) ehtib võrratus f (x) b < ε Näitame, et f (x) = b, x 0 x2 = 0 f (x) b Definitsioon 20 Suurust + nimetatase funtsiooni f piirväärtuses puntis a, ui iga M > 0 leidub δ(m) > 0, et iga x orral, mis täidab tingimust 0 < x a < δ(m) ehtib võrratus f (x) > M Näites x 0 1 x 2 = + Ühepoolsed piirväärtused Definitsioon 21 Arvu b nimetatase funtsiooni f vasapoolses piirväärtuses puntis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x (a δ(ε), a) orral ehtib võrratus f (x) b < ε f (x) = b, f (x) b Definitsioon 22 Arvu b nimetatase funtsiooni f parempoolses piirväärtuses puntis a, ui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x (a, a + δ(ε)) orral ehtib võrratus f (x) b < ε f (x) = b, + + f (x) b Lause 14 Funtsioonil f esisteerib piirväärtus puntis a parajasti siis ui iga jada {x n }, mis oondub puntis a (x n = a) orral jada { f (x n )} oondub arvus b Lause 15 Funtsioonil f esisteerib puntis a arvuga b võrduv piirväärtus parajasti siis ui Piirväärtuse omadusi f (x) = f (x) = b + Lause 16 Konstantse funtsiooni piirväärtuses on see onstant, st x X( f (x) = c) = f (x) = c Lause 17 Kui funtsioonil f (x) leidub piirväärtus puntis a, siis leidub punti a selline δ-ümbrus, et funtsioon f (x) on tõestatud hulgal (a δ, a + δ) \ {a} Lause 18 Kui f (x) b ja g(x) c ning leidub punti a selline δ-ümbrus, et f (x) g(x) iga 0 < x a < δ orral, siis ehtib võrratus b c Piirväärtuse omadusi (2) Lause 19 Kui funtsioonidel f (x) ja g(x) on puntis a sama piirväärtus b ning leidub punti a δ-ümbrus, et iga 0 < x a < δ orral ehtib võrratuste ahel f (x) h(x) g(x), siis funtsiooni h(x) piirväärtus puntis a on samuti b Näitame, et sin(x) = 1 x 0 x { 1, x = 0, sinc(x) := sin(πx) πx, x = 0 5

6 Piirväärtuse omadusi (2) Lause 20 Kui f (x) A, g(x) B ja c R, siis (c f (x)) = c f (x) = c A, ( f (x) + g(x)) = f (x) + ( ) ( f (x) g(x)) = f (x) f (x) B =0 = g(x) f (x) g(x) = A B g(x) = A + B, ( ) g(x) = A B Lause 21 ( ) x ( = e, ) x = e, x + x x x (1 + x 0 x)1/x = e Lõpmata väiesed ja lõpmata suured suurused Definitsioon 23 Funtsiooni α(x) nimetatase lõpmata väieses suuruses piirprotsessis x a, ui α(x) = 0 Definitsioon 24 Funtsiooni α(x) nimetatase lõpmata suures suuruses piirprotsessis x a, ui α(x) = 0 = α(x) = 1 = ja α(x) 1 α(x) = = α(x) = 0 Lause 22 Kahe samas piirprotsessis lõpmata väiese suuruse summa, vahe ja orrutis on samuti lõpmata väie suurus selles piirprotsessis Lõpmata väiese suuruse orrutis tõestatud suurusega on lõpmata väie suurus Lause 23 Kahe samas piirprotsessis lõpmata suure suuruse orrutis on samuti lõpmata suur suurus Definitsioon 25 Lõpmata väieseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x a nimetatase evivalentsetes selles piirprotsessis, ui α(x) β(x) = 1 Lause 24 Kui piirprotsessis x a α(x) α 1 (x) ja β(x) β 1 (x), siis α(x) β(x) = α 1 (x) β 1 (x) Definitsioon 26 Kui α(x) ja β(x) on lõpmata väiesed suurused piirprotsessis x a ja α(x)/β(x) = 0, siis öeldase, et α(x) on võrreldes suurusega β(x) õrgemat järu lõpmata väie suurus selles piirprotsessis Tähistatase α(x) = o(β(x)) Lause 25 Kui piirprotsessis x a α(x) β(x) Lause 26 Kui f (x) = b, siis leidub δ > 0, et α(x) β(x) = o(β(x)) f (x) = b + α(x) x (a δ, a + δ) \ {a}, us α(x) on piirprotsessis x a lõpmata väie suurus 6

7 4 Funtsiooni pidevus Funtsiooni pidevus Definitsioon 27 Funtsiooni f (x) nimetatase pidevas puntis a, ui on täidetud olm tingimust: f (a); f (x); f (x) = f (a) Tähistatase f (x) C(a) Definitsioon 28 Funtsiooni f (x), mis ei ole pidev puntis a, nimetatase atevas puntis a ja punti a nimetatase funtsiooni f (x) atevuspuntis Katevuspuntide liigid Definitsioon 29 Funtsiooni f (x) atevuspunti a nimetatase esimest liii atevuspuntis, ui puntis a esisteerivad funtsiooni f (x) lõpliud ühepoolsed piirväärtused Definitsioon 30 Funtsiooni f (x) atevuspunti a, mis ei ole esimest liii, nimetatase teist liii atevuspuntis Argumendi muut x = x a ja sellele vastav funtsiooni muut x y y = f (x) f (a) = f (a + x) f (a) Lause 27 Funtsioon f (x) on pidev puntis a parajasti siis, ui y = 0 eh x 0 xy 0 x 0 Lause 28 Funtsioon f (x) on pidev puntis a parajasti siis, ui punti a ümbruses f (x) on esitatav ujul Pidevate funtsioonide omadusi α(x) f (x) = f (a) + α(x) = f (a) + o(1), us = 0 α(x) = o(1) 1 Lause 29 Kui funtsioonid f (x) ja g(x) on pidevad puntis a ning b, c R, siis on puntis a pidevad a funtsioonid b f (x) + cg(x) ja f (x)g(x) ning täiendaval tingimusel g(a) = 0 a funtsioon f (x)/g(x) Lause 30 Kui funtsioon g(x) on pidev puntis a ja funtsioon f (x) on pidev puntis g(a), siis liitfuntsioon f (g(x)) on pidev puntis a Ühepoolne pidevus Definitsioon 31 Funtsiooni y = f (x) nimetatase pidevas paremalt puntis a, ui y = 0 x 0+ ja pidevas vasault puntis a, ui y = 0 x 0 Pidevus hulgal Definitsioon 32 Funtsiooni f (x) nimetatase pidevas hulgal X, ui ta on pidev hulga X igas puntis Tähistatase f (x) C(X) Definitsioon 33 Funtsiooni f (x) nimetatase pidevas lõigul [a, b] R, ui ta on pidev vahemiu (a, b) igas puntis, paremalt pidev lõigu otspuntis a ja vasault pidev lõigu otspuntis b Tähistatase f (x) C[a, b] Lause 31 Elementaarfuntsioon on pidev oma määramispiironna sisepuntides 7

8 5 Lõigul pidevate funtsioonide omadusi Lõigul pidevate funtsioonide omadusi Lause 32 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funtsiooni tõestatusest) Lõigul [a, b] pidev funtsioon f (x) on tõestatud sellel lõigul st selle funtsiooni väärtuste hul sellel lõigul Y = { f (x) x [a, b]} on tõestatud Tõestus Olgu f (x) C[a, b] Eeldame väitevastaselt, et funtsioon f (x) on tõestamata sellel lõigul, st suvalise n N orral leidub selline x n [a, b], et f (x n ) n Moodustame sel viisil jada {x n }, usjuures f (x n ) n Et x n [a, b], siis jada {x n } on tõestatud Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal võib tõestatud jadast {x n } eraldada oonduva osajada {x n } Seega, x n = c [a, b] Kasutades funtsiooni pidevust lõigul [a, b], leiame, et f (x n ) = + + f (c), usjuures suurus f (c) on lõpli Teisalt järeldub tingimusest f (x n ) n tingimus f (x n ) Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud väitevastasest eeldusest Seega on lõigul pidev funtsioon tõestatud sellel lõigul Definitsioon 34 Hulga = X R vähimat ülemist tõet nimetatase hulga X ülemises rajas ja tähistatase sup X Definitsioon 35 Hulga = X R suurimat alumist tõet nimetatase hulga X alumises rajas ja tähistatase inf X Näide: Vahemi X = (0, 1) Leiame inf X ja sup X inf X = 0 sup X = 1 Lause 33 (Pidevuse asioom) Igal ülalt tõestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja Definitsioon 36 Funtsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nimetatase funtsiooni estremaalsetes väärtustes sellel hulgal Lause 34 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funtsiooni estremaalsetest väärtustest) Lõigul pideval funtsioonil on olemas estremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a, b] leiduvad puntid α [a, b] ja β [a, b], nii et min f (x) = f (α), max x [a,b] f (x) = f (β) x [a,b] Tõestus Olgu f (x) C[a, b] Kuna pidev funtsioon on tõestatud, siis pidevuse asioomi põhjal leiduvad rajad inf f (x) = M x [a,b] sup f (x) = M x [a,b] Võime valida iga n N orral x n [a, b], nii et M n 1 f (x n) M Kuna x n [a, b], siis jada {x n } on tõestatud Tõestatud jadast saame eraldada puntis β oonduva osajada {x nj } Minnes võrratustes M n 1 j f (x nj ) M piirile, saame M = f (β) = sup f (x) Seega ülemine raja saavutatase Analoogilselt näitame, et saavutatase a x [a,b] alumine raja Lause 35 (Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) Lõigul pidev funtsioon omab iga väärtust, mis paineb estremaalsete väärtuste vahel Definitsioon 37 Funtsiooni f (x) nimetatase ühtlaselt pidevas hulgal X R, ui ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x 1, x 2 X x 1 x 2 < δ f (x 1 ) f (x 2 ) < ε Definitsioon 38 Funtsiooni f (x) nimetatase Lipschitzi mõttes pidevas funtsioonis hulgal X R, ui leidub selline arv C R, et iga a, b X orral f (a) f (b) C a b Joone asümptoodid Definitsioon 39 Kui joone y = f (x) punti P augenemisel lõpmatusse punti P augus mingist sirgest läheneb tõestamatult nullile, siis seda sirget nimetatase selle joone asümptoodis vertiaalasümptoodid x = a; aldasümptoodid y = x + b, us f (x) + : = x + x f (x) : = x x b = ( f (x) x), x + b = ( f (x) x) x 8

9 6 Funtsiooni tuletis 61 Reaalmuutuja funtsioon Funtsiooni tuletis Definitsioon 40 (Tuletis) Funtsiooni y = f (x) tuletises ohal x nimetatase funtsiooni y = f (x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, ui argumendi muut läheneb nullile f y (a) := x 0 x = f (x) f (a) x a Tähistatase f d f (a), dx (a), y (a) Definitsioon 41 (Diferentseeruvus) Kui funtsioon f omab puntis a lõpliu tuletist, siis öeldase et ta on selles puntis diferentseeruv Tähistame f C 1 (a) või f D(a) Tuletise arvutamist nimetatase diferentseerimises Vasa- ja parempoolsed tuletised Definitsioon 42 Funtsiooni y = f (x) vasapoolses tuletises ohal x nimetatase suurust f (x ) := x 0 y x Definitsioon 43 Funtsiooni y = f (x) parempoolses tuletises ohal x nimetatase suurust Diferentseeruvuse ja pidevuse seos f (x+) := x 0+ Lause 36 Funtsioon f (x) on diferentseeruv puntis a parajasti siis, ui punti a ümbruses f (x) on esitatav ujul y x f (x) = f (a) + f o(x a) (a)(x a) + o(x a), us = 0 x a Lause 37 Funtsiooni f (x) diferentseeruvusest puntis x järeldub selle funtsiooni pidevus puntis x, st f (x) D(x) f (x) C(x) Tõestus Pidevuse jaos puntis peab olema täidetud olm tingimust: 1 esisteerib f (a) Kui meil leidub f (a), siis vastavalt definitsioonile f f (x) f (a) (a) := x a See piirväärtus ei saa esisteerida ui ei esisteeri f (a) Seega esisterib f (a) 2 esisteerib f (x) Vastavalt eelnevale lausele on puntis a diferentseeruv funtsioon punti a ümbruses f (x) esitatav ujul f (x) = f (a) + f o(x a) (a)(x a) + o(x a), us = 0 x a Seega ( f (x) = f (a) + f (a)(x a) + o(x a) ) = f (a) ning esisteerib f (x) Veelgi enam: f (x) = f (a) 3 f (x) = f (a) vt eelnev punt Lause 38 Kui funtsioonid f (x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja c R on onstant, siis selles puntis on diferentseeruvad a funtsioonid c f (x), f (x) + g(x), f (x)g(x) ja täiendaval eeldusel g(x) = 0 a f (x)/g(x), usjuures (c f (x)) = c f (x), ( f (x) + g(x)) = f (x) + g (x), ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x), ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g(x) g 2 (x) 9

10 Liitfuntsiooni tuletis Lause 39 Kui funtsioonidel f (x) ja g(u) esisteerivad lõpliud tuletised vastavalt ohtadel x ja f (x), siis liitfuntsioonil g( f (x)) on lõpli tuletis ohal x, usjuures dg( f (x)) dx = dg( f (x)) d f (x) d f (x) dx = g ( f (x)) f (x) Tõestus Tähistame u = f (x) Siis y = g(u) Kui u 0, siis g pidevuse tõttu y = 0 ning seega u 0, siis d f (x) dx = 0 g diferentseeruvuse tõttu on dg( f (x)) d f (x) dg( f (x)) dx tõestatud Seega valem ehtib Muudel juhtudel = 0 Kuna y = dy dx = y x 0 x = y x 0 u u x = y x 0 u u x 0 x = [ ] diferentseeruvusest y = järeldub pidevus u 0 u u x 0 x = dy du du dx = g ( f (x)) f (x) Pöördfuntsiooni tuletis Lause 40 Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funtsioonil y = f (x) on ohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfuntsioonil x = f 1 (y) leidub tuletis ohal f (x), usjuures d f 1 (y) dy = 1 f (x) eh dx dy = 1 dy dx Parameetrilselt esitatud funtsiooni tuletis Lause 41 Kui funtsioon y = f (x) on esitatud parameetrilisel ujul { x = ϕ(t) y = ψ(t) (α t β), usjuures funtsioonid ϕ(t) ja ψ(t) on diferentseeruvad vahemius (α, β) ja ϕ(t) on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning ϕ(t) = 0 (t (α, β)), siis y = dy dx = us täpiga tähistatase tuletist parameetri järgi Ilmutamata funtsiooni tuletis dy dt dx dt = ỵ x = ψ(t) ϕ(t) (α < t < β), F(x, f (x)) = 0 d F(x, f (x)) = 0 dx Logaritmiline tuletis Lause 42 Kui f (x) D(X) ja f (x) > 0 (x X), siis f (x) = f (x) d (ln f (x)) dx (x X) 10

11 Kõrgemat järu tuletised Definitsioon 44 Kui funtsioonil f esisteerib tuletis puntis a, siis seda tuletist nimetatase funtsiooni f teist järu tuletises ohal a f (a) := [ f (a)] f x=a = (x) f (a) x a Definitsioon 45 Kui funtsioonil f (n 1) esisteerib tuletis puntis a, siis seda tuletist nimetatase funtsiooni f n-järu tuletises ohal a f (n) (a) := [ f (n 1) (a)] f x=a = (n 1) (x) f (n 1) (a) x a Lause 43 (Leibnizi valem) Funtsioonide orrutise f (x)g(x) n-järu tuletis puntis a avaldub valemiga us binoomordajad ( n ) C n := n!!(n )! [ f (x)g(x)] (n) x=a = n ( ) n f () (a)g (n ) (a) Tõestus Kasutame matemaatilse indutsiooni meetodit Näitame indutsioonibaasi, st leiame esimese tuletise ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = = ( ) 1 f (x)g(x) + 1 ( ) 1 f (x)g (x) = 0 1 ( ) 1 f () (x)g (1 ) (x), Tõepoolest, valem ehtib juhul n = 1 Tõestus Nüüd tuleb näidata indutsioonisamm: eeldame, et valem ehtib juhul n 1 ja näitame, et sel juhul ehtib ta a n orral Seega ehtib Saame ( [ f (x)g(x)] (n 1) x=a ) = n 1 [ f (x)g(x)] (n 1) x=a = n 1 ( n 1 ) f () (a)g (n 1 ) (a) ( ) n 1 ( f (+1) (a)g (n 1 ) (a) + f () (a)g (n ) (a)) = ( ) n 1 = f (+1) (a)g (n 1 ) (a) + Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindesi nihe) j := + 1 ( = j 1) Tõestus Saame n 1 [ f (x)g(x)] (n) ( x=a = [ f (x)g(x)] (n 1) ) x=a = n ( ) n 1 = f (j) (a)g (n j) (a) + j 1 j=1 ( ) n 1 = f (0) (a)g (n) (a) + 0 n 1 n 1 ( ) n 1 f () (a)g (n ) (a) = ) f (n) (a)g (0) (a)+ ( n 1 n 1 + n 1 =1 (( ) n ( ) n 1 f () (a)g (n ) (a) ( )) n 1 f () (a)g (n ) (a) 11

12 Tõestus Kuna ( ) n saame Tuletiste tabel ( ) n 1 = (n 1)! (n 1)! + ( 1)!(n )!!(n 1 )! = (n 1)! ( 1)!(n 1 )!(n ) + (n 1)! ( 1)!(n 1 )! [ f (x)g(x)] (n) x=a = f (0) (a)g (n) (a) + f (n) (a)g (0) (a) + = n ( ) n f () (a)g (n ) (a) = (n 1)!( + n ) ( 1)!(n 1 )!(n ) = n!!(n )! = n 1 =1 C = 0 (x a ) = ax a 1 (a R) (e x ) = e x (log a x) = x ln 1 a (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = 1 (cot x) = 1 (cos x) 2 (sin x) 2 (arcsin x) = 1 (arccos x) = 1 1 x 2 ( ) n f () (a)g (n ) (a) = 1 x 2 (arctan x) = 1 (arccot x) = 1 1+x 2 1+x 2 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tanh x) 1 = (coth x) = 1 (cosh x) 2 (arsinh x) = 1 (arcosh x) = 1 x 2 +1 (sinh x) 2 x 2 1 (artanh x) = 1 1 x 2 (arcoth x) = 1 1 x 2 ( ) n, Funtsiooni diferentsiaal Argumendi muut x ja sellele vastav funtsiooni y = f (x) muut ohal x y = f (x + x) f (x) Eeldusel, et f D(x), saame eh piisavalt väiese x orral ehtib f y (x) = x 0 x y x = f (x) + α( x), α( x) = 0 x 0 y = f (x) x + α( x) x, y = f (x) x +β( x), }{{} muudu peaosa β( x) = α( x) x β( x) = 0 x 0 x Definitsioon 46 Avaldist f (x) x nimetatase funtsiooni y = f (x) diferentsiaalis eh esimest järu diferentsiaalis ohal x ja tähistatase dy või d f, dy = d f = f (x) x Võttes y = x, saame dx - argumendi diferentsiaal dy = dx = x x = x dy = f (x)dx f (x) = dy dx 12

13 Diferentsiaali omadusi Lause 44 Funtsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga Nullist erineva tuletise orral on funtsiooni muut evivalentne funtsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x 0 Lause 45 d( f + g) = d f + dg; f (x) = dy dx d( f g) = d f g + f dg; ( ) f d = d f g f dg g g 2 Kõrgemat järu diferentsiaalid Definitsioon 47 Funtsiooni y = f (x) n-järu diferentsiaalis nimetatase diferentsiaali selle funtsiooni n 1-järu diferentsiaalist d n y = d(d n 1 y) Saab näidata, et d n y = f (n) (x)(dx) n 7 Funtsiooni asvamine ja ahanemine Funtsiooni asvamine ja ahanemine Definitsioon 48 Funtsiooni y = f (x) nimetatase rangelt asvavas puntis x, ui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x 1 (x δ, x) ja x 2 (x, x + δ) orral f (x 1 ) < f (x) < f (x 2 ) Lause 46 Kui funtsioon y = f (x) on rangelt asvav puntis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 < x < δ y x > 0 Definitsioon 49 Funtsiooni y = f (x) nimetatase rangelt ahanevas puntis x, ui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x 1 (x δ, x) ja x 2 (x, x + δ) orral f (x 1 ) > f (x) > f (x 2 ) Lause 47 Kui funtsioon y = f (x) on rangelt ahanev puntis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 < x < δ y x < 0 Lause 48 Kui f (a) = c > 0, siis funtsioon on rangelt asvav puntis a Kui f (a) = c < 0, siis funtsioon on rangelt ahanev puntis a Tõestus Kui funtsiooni y = f (x) tuletis f (x) on positiivne puntis a, st siis leidub selline δ > 0, et f (a) = x 0 y x > 0, 0 < x < δ y x > 0 Seega, ui a ( δ, 0) (0, δ), siis suurused x ja y on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt asvav puntis a 13

14 Loaalsed estreemumid Definitsioon 50 Öeldase, et funtsioonil f (x) on puntis x loaalne masimum, ui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < x < δ y 0 Definitsioon 51 Öeldase, et funtsioonil f (x) on puntis x loaalne miinimum, ui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < x < δ y 0 Kui definitsioonis y < 0 -range loaalne masimum Kui definitsioonis y > 0 -range loaalne miinimum Definitsioon 52 Öeldase, et funtsioonil f (x) on puntis x loaalne estreemum, ui funtsioonil f (x) on puntis x as loaalne miinimum või loaalne masimum Definitsioon 53 Öeldase, et funtsioonil f (x) on puntis x range loaalne estreemum, ui funtsioonil f (x) on puntis x as range loaalne miinimum või range loaalne masimum Lause 49 (Fermat teoreem) Kui funtsioonil f (x) on puntis x loaalne estreemum ja funtsioon f (x) on diferentseeruv puntis x, siis funtsiooni tuletis selles puntis on null, st f (x) = 0 8 Kesväärtusteoreemid Kesväärtusteoreemid Lause 50 (Rolle i teoreem) Kui funtsioon on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemius (a, b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemius (a, b) punt c, us f (c) = 0 Tõestus Kuna lõigul pidev funstsioon saavutab seal oma minimaalse ja masimaalse väärtuse, siis leidub funtsioonil f (x), mis ei ole onstantne funtsioon, vastavas vahemius vähemalt üs estreemumpunt c, us f (c) = 0 Konstantse funtsiooni orral f (x) = 0 iga x (a, b) Lause 51 (Lagrange i esväärtusteoreem) Kui funtsioon f on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemius (a, b), siis leidub punt c (a, b), et f (b) f (a) = f (c)(b a) Tõestus Kasutame Rolle i teoreemi Selles defineerime abifuntsiooni L(x) = f (b) f (a) (x a) + f (a) b a Funtsioon g = f L rahuldab Rolle i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punt c (a, b), us 0 = g (c) = f (c) L (c) = f (c) f (b) f (a) b a Lause 52 (Cauchy esväärtusteoreem) Kui funtsioonid f ja g on pidevad lõigul [a, b] ja diferentseeruvad vahemius (a, b), usjuures g (x) = 0, siis leidub vahemius (a, b) punt c, et f (b) f (a) g(b) g(a) = f (c) g (c) Tõestus Kasutame Lagrange i teoreemi Selles defineerime abifuntsiooni h(x) := ( f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a)) f (x) Lagrange i esväärtusteoreemi põhjal leidub punt c (a, b), us 0 = ( f (b) f (a))(g(b) g(a)) (g(b) g(a))( f (b) f (a)) = h(b) h(a) = = h (c)(b a) = [(g(b) g(a)) f (c) ( f (b) f (a))g (c)](b a) Lähtudes tõestuse äigus saadud avaldisest võime anda Cauchy esväärtusteoreemi ujul: Lause 53 (Cauchy esväärtusteoreemi alternatiivne sõnastus) Kui funtsioonid f ja g on pidevad lõigul [a, b] ja diferentseeruvad vahemius (a, b), siis leidub vahemius (a, b) punt c, et ( f (b) f (a))g (c) = (g(b) g(a)) f (c) 14

15 Võttes Cauchy esväärtusteoreemis g(x) = x, saame ( f (b) f (a))1 = (b a) f (c) eh Lagrange i esväärtusteoreemi Võttes Lagrange i esväärtus- teoreemis funtsiooni f, mis rahuldab tingimust f (a) = f (b), saame 0 = f (b) f (a) = f (c)(b a) f (c) = 0 eh Rolle i teoreemi Seetõttu asutatase Cauchy esväärtus- teoreemi ohta a nimetust üldistatud esväärtusteoreem Lause 54 Kui funtsioon f on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemius (a, b), siis see funtsioon on Lipschitzi mõttes pidev lõigul [a, b], st leidub L > 0 nii, et iga x 1 ja x 2 orral lõigust [a, b] ehtib f (x 1 ) f (x 2 ) L x 1 x 2 Tõestus Lagrange i esväärtusteoreemi põhjal leidub punt c (x 2, x 1 ), us Seega võime valida L = sup f (x) x (a,b) f (x 1 ) f (x 2 ) = f (c)(x 1 x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) = f (c) x 1 x 2 x 1 x 2 sup f (x) x (a,b) 81 L Hospitali reegel Lause 55 (L Hospitali reegel) Kui + f (x) = 0, g(x) = 0, + + f (x) g (x) ning siis esisteerib a usjuures δ 1 : x (a, a + δ 1 ] g(x) = 0, + + f (x) g(x), f (x) g(x) = + f (x) g (x), Analoogiline väide peab paia a vasapoolse piirväärtuse ja samuti (ahepoolse) piirväärtuse orral Tõestus Konstrueerime puntis a paremalt pidevad abifuntsioonid F(x) := { f (x) x > a 0 x = a G(x) := { g(x) x > a 0 x = a Lähtudes seostest + f (x) = 0, g(x) = 0, + + f (x) g (x) saame, et leiduvad 0 < δ 3 δ 2, nii et funtsioonid F ja G on pidevad lõigul [a, a + δ 2 ] ja diferentseeruvad vahemius (a, a + δ 3 ), usjuures F (x) = f (x) ja G (x) = g (x) ning G (x) = 0 ui x (a, a + δ 3 ) Vastavalt Cauchy esväärtusteoreemile leidub vahemius (a, a + δ) (δ = min{δ 1, δ 2, δ 3 }) punt c, et F(x) F(a) G(x) G(a) = F (c) G (c) 15

16 Tõestus Kuna vahemius (a, a + δ) F(x) = f (x), G(x) = g(x), F(a) = 0, G(a) = 0, saame f (x) g(x) = f (c) g (c) Vaadates piirprotsessi δ 0 vahemiu (a, a + δ) orral saame, una x (a, a + δ) ja c (a, a + δ), et x a+ ja c a+, seega f (x) + g(x) = f (c) c a+ g (c), mis on samaväärne võrdusega f (x) + g(x) = f (x) + g (x) 9 Taylori valem Taylori valem Me oleme tõestanud esitused pideva funtsiooni orral ja f (x) = f (a) + o(1) f (x) = f (a) + f (a)(x a) + o( x a ) diferentseeruva funtsiooni orral Kui funtsioon on diferentseeruv x [a, b), siis saame asutada Lagrange esväärtusteoree ja esimest võrdust täpsustada f (x) = f (a) + f (c)(x a) c (a, x) Seega teib idee õrgemat järu tuletiste asutamises Otsime polünoomi T 2 (x) (T 2 f )(x) := c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 mis rahuldab tingimusi (T 2 f )(a) = c 0 = f (a), (T 2 f ) (a) = c 1 = f (a) ja (T 2 f ) (a) = 2c 2 = f (a) Seega ja funtsiooni saame esitada ujul Kus R 2 f tähistab jääliiget Jääliige rahuldab tingimusi Kasutame Cauchy esväärtusteoreemi (c 1 (a, x)) Kasutame Cauchy esväärtusteoreemi (c 2 (a, c 1 )) Kasutame Cauchy esväärtusteoreemi (c (a, c 2 )) T 2 (x) (T 2 f )(x) := f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 f (x) = (T 2 f )(x) + (R 2 f )(x), (R 2 f )(a) = (R 2 f ) (a) = (R 2 f ) (a) = 0 ja (R 2 f ) (x) = f (x) (R 2 f )(x) (R 2 f )(a) (x a) 3 (a a) 3 = (R 2 f ) (c 1 ) 3(c 1 a) 2 (R 2 f ) (c 1 ) 3(c 1 a) 2 = (R 2 f ) (c 2 ) 3 2(c 2 a) (R 2 f ) (c 2 ) 3 2(c 2 a) = (R 2 f ) (c) 3 2 Seega eh (R 2 f )(x) (x a) 3 = (R 2 f ) (c) = f (c) (R 2 f )(x) = f (c) 3 2 (x a)3 = f (c) (x a) 3 3! 16

17 Taylori valem Seega oleme saanud teist järu Taylori valemi (c (a, x)) f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a) 2 + f (c) (x a) 3 3! Kui meil esisteerivad mingis puntis a õi tuletised uni järguni n, siis võis irja panna sarnase valemi st funtsiooni esituse polünoomina n f (x) = c (x a) + (R n f )(x) Tähistame (T n f )(x) := n c (x a) Leiame ordajad c lähtudes tingimustest (T n f ) () (a) = f () (a), = 0, 1,, n Kuna meil on tegemist n orda diferentseeruva funtsiooniga, siis f () (a) =!c eh c = 1! f () (a) Taylori valem Seega ui funtsioonil f esisteerivad mingis puntis a õi tuletised uni järguni n, siis oleme saanud n-järu Taylori valemi (c (a, x)) f (x) = n f () (a) (x a) + (R n f )(x)! Kui meil esisteerib a (n + 1)-järu tuletis f (n+1) (b), b [a, x], siis saame jäälimele nn Lagrange uju (R n f )(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1, c [a, x] Taylori valem Taylori valemi erijuhtu a = 0 nimetame Maclaurini valemis (c (0, x)) f (x) = n f () (0) x + (R n f )(x)! Kui meil esisteerib a (n + 1)-järu tuletis f (n+1) (b), b [0, x], siis saame Maclaurini valemi jäälime Lagrange ujul (R n f )(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! xn+1, c [0, x] 10 Loaalsete estreemumite piisavad tingimused Loaalsed estreemumid Definitsioon 54 Öeldase, et funtsioonil f (x) on puntis x loaalne masimum, ui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < x < δ y 0 Definitsioon 55 Öeldase, et funtsioonil f (x) on puntis x loaalne miinimum, ui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < x < δ y 0 Kui definitsioonis y < 0 -range loaalne masimum Kui definitsioonis y > 0 -range loaalne miinimum 17

18 Statsionaarsed ja riitilised puntid Elnevalt me näitasime, et ui f (a) esisteerib ja f (a) < 0, siis funtsioon f on puntis a rangelt ahanev ning ui f (a) > 0, siis funtsioon f on puntis rangelt asvav Seega loaalsed estreemumid saavad teida puntides, us f = 0 (Fermat teoreem) või f ei esisteeri Definitsioon 56 (statsionaarne punt) Punti a nimetatase diferentseeruva funtsiooni f (x) statsionaarses puntis, ui f (a) = 0 Definitsioon 57 (riitiline punt) Punti a nimetatase funtsiooni f (x) riitilises puntis, ui a on statsionaarne punt või puntis a ei ole sel funtsioonil tuletist Näide 56 (Näide) Nii funtsioonidel f 1 (x) = x 2 ui a f 2 (x) = x on loaalne miinimum puntis 0 f 1 (x) = (x2 ) = 2x, seega f 1 (0) = 0 ja on tegemist statsionaarse puntiga f 2 (x) = ( x ) = sgn x, seega f 2 (0) ei esisteeri una f 2 (0+) := x 0+ sgn x = 1 ja f 2 (0 ) := x 0 sgn x = 1 Funtsioonid g 1 (x) = x 3 ja g 2 (x) = x + 2x on asvavad iga x R orral Samal ajal g 1 (0) = 0 ja g 2 (0) ei esisteeri (g 2 (0+) = 3 ja g 2 (0 ) = 1) Loaalsete estreemumite piisavad tingimused Meie eesmärgis on tuletada piisavaid tingimusi loaalsete estreemumite olemasolus Selles asutame Lagrange esväärtusteoreemi ja Taylori valemit Lause 57 (Loaalsete estreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline δ > 0, nii et funtsioon f on pidev lõigul [a δ, a + δ] ja diferentseeruv vahemies (a δ, a) ja (a, a + δ), usjuures siis puntis a on sellel funtsioonil loaalne masimum Kui siis puntis a on sellel funtsioonil loaalne miinimum f (x) 0, x (a δ, a) f (x) 0, x (a, a + δ) f (x) 0, x (a δ, a) f (x) 0, x (a, a + δ) Tõestus Funtsioonil on puntis a loaalne masimum parajasti siis, ui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < x a < δ y 0 Lagrange esväärtusteoreemi põhjal x (a δ, a) leidub c (x, a) y = f (x) f (a) = f (c)(x a) una x a < 0, siis y 0 ui f (c) 0 iga c (a δ, a) Analoogiliselt x (a, a + δ) orral leidub c (a, x), nii et y = f (x) f (a) = f (c)(x a) una x a > 0, siis y 0 ui f (c) 0 iga c (a, a + δ) Seega on vajali funtsiooni pidevus puntis a, tuletise olemasolu puntis a ei ole vaja Analoogilselt saame tõestada loaalse miinimumi juhtumi Näide 10 Vaatame juhtu us funtsioon on atev meid huvitavas puntis f (x) = { e x 2, x = 0 0, x = Ilmselt a = 0 ümbruses y = f (x) f (a) = f (x) > 0, seega on tegemist loaalse miinimumiga Samal ajal f (x) = { 2x e x 2, x = 0, x = 0 18

19 ja f (x) > 0 ui x < 0 ning f (x) < 0 ui x > 0, mis eelneva teoreemi põhjal tähendas loaalset masimumi 10 Vaatame juhtu us f ateb puntis a f 2 (x) = x, f 2 (x) = sgn x = 1, x < 0 0, x = 0 1, x > 0 Eelneva teoreemi eeldused on täidetud Kuna f muudab märi on tegemist loaalse estreemumiga f 2 (x) = x + 2x, f 2 (x) = sgn x + 2 = 1, x < 0 2, x = 0 3, x > 0 Kuna f säilitab märi siis loaalne estreemum puudub Loaalsete estreemumite piisavad tingimused Tuletise märgi hindamine ei pruugi olla elementaarne ülesanne Kasutades Taylori valemit saame sõnastada järgneva teoreemi, us saame asutada onreetseid arve, mitte hinnanguid Lause 58 (Loaalsete estreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline δ > 0, nii et Kui funtsiooni f (x) orral f (a) = = f (n) (a) = 0 ja f (n+1) (a) = 0 ning f (n+1) (x) C(a), siis 1) juhul ui n on paaritu arv, on funtsioonil f (x) puntis a range loaalne estreemum, usjuures f (n+1) (a) < 0 orral on puntis a range loaalne masimum ja f (n+1) (a) > 0 orral range loaalne miinimum, 2) juhul ui n on paarisarv, ei ole funtsioonil f (x) puntis a loaalset estreemumit Tõestus Funtsioonil on puntis a loaalne masimum parajasti siis, ui leidub selline positiivne arv δ, et Paneme irja Taylori valemi y = f (x) f (a) = 0 < x a < δ y 0 n =1 f () (a) (x a) + (R n f )(x)! Kuna f (a) = = f (n) (a) = 0 ja meil esisteerib (n + 1)-järu tuletis siis x (a δ 1, a) (x (a, a + δ 1 )) orral leidub c (x, a) (c (a, x)) y = f (x) f (a) = (R n f )(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1 Tõestus Kui n on paaritu, siis (x a) n+1 on positiivne Kuna f (n+1) (a) = 0 ja f (n+1) on pidev puntis a, siis leidub U δ2 (a) us f (n+1) > 0 või f (n+1) < 0 Võttes δ = min{δ 1, δ 2 }, saame et 19

20 y < 0 ui f (n+1) (a) < 0 ja y > 0 ui f (n+1) (a) > 0 Kui n on paaris, siis jääliime mär vaheldub ja loaalset estreemumit ei ole Näide Vaatame juhtu us funtsioon ja esimene tuletis on pidevad, õrgemad tuletised atevad 10 (x + 1) 2, x < 1 f (x) = 0, 1 x 1 (x 1) 2, x > (x + 1), x < 1 f (x) = 0, 1 x 1 2(x 1), x > Kumerus Definitsioon 58 Öeldase, et funtsiooni f (x) graafi on umer puntis a (täpsemini puntis (a, f (a))), ui leidub punti a selline δ-ümbrus, et funtsiooni f (x) graafi on argumendi x väärtustel ümbrusest (a δ, a + δ) allpool (täpsemini, mitte ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud puntis (a, f (a)) funtsiooni graafiule Definitsioon 59 Öeldase, et funtsiooni f (x) graafi on umer hulgal X, ui selle funtsiooni graafi on umer hulga X igas puntis Nõgusus Definitsioon 60 Öeldase, et funtsiooni f (x) graafi on nõgus puntis a (täpsemini puntis (a, f (a))), ui leidub punti a selline δ-ümbrus, et funtsiooni f (x) graafi on argumendi x väärtustel ümbrusest (a δ, a + δ) ülalpool (täpsemini, mitte allpool) puutujat, mis on tõmmatud puntis (a, f (a)) funtsiooni graafiule Definitsioon 61 Öeldase, et funtsiooni f (x) graafi on nõgus hulgal X, ui selle funtsiooni graafi on nõgus hulga X igas puntis Käänupuntid Definitsioon 62 Öeldase, et punt a (täpsemini punt (a, f (a))) on funtsiooni f (x) graafiu äänupunt, ui leidub selline δ > 0, et funtsiooni f (x) graafi on umer hulgal (a δ, a) ja nõgus hulgal (a, a + δ) või nõgus hulgal (a δ, a) ja umer hulgal (a, a + δ) Lause 59 Kui f (x) on pidev puntis a, siis f (a) < 0 funtsiooni f (x) graafi on umer puntis a, f (a) > 0 funtsiooni f (x) graafi on nõgus puntis a Lause 60 Kui f (x) C[a, b] ja f (x) (x (a, b)), siis funtsiooni f (x) graafiu umerusest (nõgususest) vahemius (a, b) järeldub, et x (a, b) f (x) 0 ( f (x) 0) Lause 61 Kui f (a) = 0, f (a) = 0 ja f (x) on pidev puntis a, siis punt a on funtsiooni f (x) graafiu äänupunt Lause 62 Kui f (a) = f (a) = = f (m) (a) = 0 ja f (m+1) (a) = 0 ja f (m+1) (x) on pidev puntis a, siis 1) paarisarvulise m orral on funtsiooni f (x) graafiul puntis a äänupunt, 2) paarituarvulise m orral ei ole funtsiooni f (x) graafiul puntis a äänupunti 20