KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
|
|
- Kristiina Lääne
- 2 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks 4 Vektorit võib tähistada ka väiketähega, näiteks a 5 Paralleelseid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks a 6 Samasihilised vektorid on kas samasuunalised ( a b ) või vastassuunalised ( a b ) 7 Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on a) kollineaarsed b) samasuunalised c) võrdse pikkusega ) Vektori, mille alguspunkt on (x;y;z) ja lõpp-punkt (x;y;z), koordinaadid leitakse valemiga x x ; y y z z ning pikkus ; x x y y z z (so ka kahe punkti vaheline kaugus d) ) Punkti koordinaadid ruumis z (ehk aplikaattelg) z (x; y; z) y y (ehk ordinaattelg) x ) Vektorite a x ; y ; ) ja b x ; y ; ) liitmine või lahutamine ( z a b x x ; y y ; z ) ( z x (ehk abstsisstelg) ( z 4) Vektori korrutamine arvuga k a k x ; k y ; k ), kus k 0 ( z
2 Kui k > 0, siis Kui k < 0, siis k a on vektoriga a samasuunaline; k a on vektoriga a vastassuunaline 5) Kaks vektorit a ( x; y; z ) ja b ( x; y; z ) on kollineaarsed x y z a b x y z Näide Kontrollime, kas vektorid 6;, 8 Leiame vastavate koordinaatide suhted tulemuseks a ja b 4; ; on kollineaarsed 4 Kõik need suhted annavad 6 8 ja kuna suhted on võrdsed, siis on tegemist kollineaarsete vektoritega 6) Kahe vektori a x ; y ; ) ja b x ; y ; ) skalaarkorrutis a b a b cos, kus ( z ( z on nurk nende vektorite vahel või koordinaatides a b x x y y z z Nurk vektorite vahel cos a b a b Kahe vektori ristseisu tunnus a b a b x x y y z z 0 b on risti Leiame skalaarkorrutise (-) + + (-8) (-0,5) = 0, st vektorid on teineteisega risti 7) Vektorite liitmiseks geomeetriliselt kasutatakse a) kolmnurga reeglit; Näide Kontrollime, kas vektorid a ;, 8 ja ;; 0,5 a b a b b) või rööpküliku reeglit a a b b 8) Vektorite lahutamine geomeetriliselt a a b Näide Leiame jooniselt OC O O C O C CO O D O b C
3 JOONE VÕRRNDID SIRGE VÕRRNDEID TSNDIL y Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x- telje positiivse suuna ja sirge vahel Sirge tõusuks nimetatakse tõusunurga y y tangensit k tan x x a) Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y y kx x Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti (-;) ja tõus k = -5 Saame võrrandi y 5( x ) b) Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge algordinaat b = ja tõus k = 4 Saame võrrandi y 4x x x y y c) Kahe punktiga määratud sirge võrrand x x y y Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkte (-;) ja (-4;-) x y x y Saame võrrandi 4 x y d) Sirge võrrand telglõikudes a b Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge lõikab x-telge punktis (-4;0) ja y-telge punktis x y (0;) Saame võrrandi 4 e) x-teljega paralleelse sirge võrrand y a Näide Kirjutame x-teljega paralleelse sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti K(;-) Saame võrrandi y f) y-teljega paralleelse sirge võrrand x b Näide Kirjutame y-teljega paralleelse sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti R(-;) Saame võrrandi x g) Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand x x y y s x s y Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui sirge läbib punkti (-5;4) ja sirge sihivektor on s = (;-) Saame võrrandi x 5 y 4 h) Sirge üldvõrrand x y C 0 Näide Kirjutame sirge võrrandi, kui kordajad on = -4, =, C = - Saame võrrandi 4x y 0 (Ruumis saame analoogilised võrrandid lisades kolmanda koordinaadi z Näiteks saame üldvõrrandi x y Cz D 0 y y α (x;y) x (x;y) x x
4 Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem x y C 0 x y C 0 Saadud lahend ( x, y) on kahe sirge lõikepunktiks Sirgete vastastikused asendid tasandil: a) Sirged on paralleelsed, kui ; C C b) Sirged ühtivad, kui ; C C c) Sirged lõikuvad, kui Sirged on risti, kui nende tõusude korrutis k k Tõusude abil saame leida ka nurga sirgete vahel tan k k k k, kus on teravnurk antud sirgete vahel RINGJOONE VÕRRND avaldub kujul x a y b r, kus ringjoone keskpunkt on O(a; b) ja raadius r Kui ringjoone keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, siis saame võrrandi kujul x y r PROOLI VÕRRND leiad materjalid ruutfunktsiooni graafiku teema alt NÄITEÜLESNDED ) Leia vektori koordinaadid, kui tema otspunktid on (-;) ja (-5;) Leidke selle vektori pikkus Lahendus Kasutame valemeid x x ; y y z z x x y y z z ; ning Saame 5 ; 4;0 ja ( üh) ) valda rööpküliku CD diagonaalide a C ja b D kaudu vektorid, C, CD ja D Lahendus O C a O D b O O a b a b D O C 4
5 O D b, OC C a, C O OC b a a b CD b a D C a b Vastus Saime tulemuseks a b, C a b, CD b a, D a b ) Põhjenda, kas nelinurk K(-,), (;4), R(6;) ja U(-;-4) on trapets Lahendus Nelinurk on trapets, kui tal on üks paar paralleelseid vastaskülgi Kontrollime, kas KU R Kollineaarsuse tingimusest peavad vektorite koordinaadid olema võrdelised 5 KU ; 5 ja R 5; Kuna, siis vektorid kollineaarsed ei ole Kontrollime 5 4 nüüd kas K RU? K 4; ja RU 7, 6ning 7 6 Vastus Kuna nelinurgal puuduvad paralleelsed vastasküljed, siis nelinurk trapets ei ole 4) Tõesta, et vektor n = (;) on risti sirgega x + y = 4 Lahendus nname sirge võrrandile punkti ja sihivektoriga esitatud kuju x x y y, s x s y kus sx ja sy on sirge sihivektori koordinaadid ning x ja x sirgel vabalt võetud punkti koordinaadid Teisendame sirge x + y = 4 võrrandit y x valdame y = -x + 4 : Seega sirge sihivektor on s ; Kontrollime vektorite ristseisu Selleks leiame vektorite n ja s skalaarkorrutise ns ; ; 0 Kuna skalaarkorrutis on null, siis vektor n on risti ka antud sirgega x +y = 4 Vastus Vektor n risti sirgega x +y = 4 5) Lõik otspunktidega (;4) ja (-4;6) on ringjoone diameetriks Leia a) ringjoone võrrand; b) sellele ringjoonele punktis joonestatud puutuja võrrand Lahendus Ringjoone võrrand avaldub valemiga x a y b r Ringjoone keskpunktiks on lõigu keskpunkt Lõigu keskpunkti koordinaatideks on otspunktide aritmeetilised keskmised rvutame ringjoone keskpunkti koordinaadid 5
6 4 4 6 K ; K(-;5) Ringi raadiuseks võtame näiteks lõigu K Leiame punktide (; 4) ja K(-;5) vahelise kauguse K kasutades valemit d x x y y z z Saame raadiuseks r = K = ( üh) Ringjoone võrrand avaldub seega x y 5 0 Koostame nüüd raadiuse võrrandi kasutades kahe punkti vahelise sirge võrrandit x x y y x x y y Raadiuse otspunktid on (;4) ja K(-;5), koostame raadiuseks oleva sirge võrrandi x y 5 - x - = y 5 y = - x + 4 : y = x 4 Puutuja ja raadius on puutepunktis risti, st vastavate sirgete tõusude korrutis k Kuna vaadeldava sirge tõus on k k Leiame nüüd puutuja võrrandi kasutades tõusu ja punktiga määratud sirge võrrandit y y kx x Saame y 7 ( x ) y x 9 7 y x Vastus ) Ringjoone võrrand on x y ) Puutuja võrrand on y = x 5 0 k 6) Leida sirgete vastastikune asend Lõikumise korral leia lõikepunkt a) x y = 0 ja x + y 4 = 0 Lahendus Kontrollime sirgete paralleelsust Selleks leiame kordajate suhted Seega sirged ei ole paralleelsed ning järelikult nad lõikuvad Leiame lõikepunkti koordinaadid Selleks lahendame võrrandisüsteemi x y x y 4 Kasutame lahendamiseks näiteks asendusvõtet Teisest võrrandist x 4 y sendades esimesesse võrrandisse saame 4 y y 8 4y y 5y 5 y Leiame muutuja x 4 Lõikepunktiks on ; Kontrollige saadud lahendit iseseisvalt Vastus ntud sirged lõikuvad ja sirgete lõikepunkt on ; b) x - y + 4 = 0 ja x - 6y + 5 = 0 Lahendus Kontrollime sirgete paralleelsust Selleks leiame kordajate suhted 4 Seega antud sirged on paralleelsed 6 5 Vastus Sirged on paralleelsed 6
7 7) Leia nurk sirgete y = x + ja y = x 7 vahel k k Lahendus Leiame nurga valemist tan k k Esimese sirge tõus k ja teise sirge tõus k Leiame tan Vastus Nurk sirgete vahel on 8 8 8) Riigieksam 00(5p) Tasandil on antud 4 sirget Esimene neist on antud võrrandiga y = x - 6 Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(; 6) Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q( 9; ) Neljas on paralleelne x-teljega ja läbib punkti R(-; 6) Kolmas sirge lõikab kahte esimest sirget punktis ja teist punktis Neljas sirge lõikab kahte esimest sirget punktis D ja teist punktis C Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid Leidke nelinurga CD tippude koordinaadid rvutage nelinurga CD külgede täpsed pikkused ja pindala Lahendus a) Leiame teise sirge võrrandi Kuna sirged on paralleelsed, siis nende tõusud on võrdsed (k= k = ) ja koostame punkti ning tõusuga sirge võrrandi y 6 ( x ) y x 4 b) Kolmas sirge on eelmistega risti, st sirgete tõusude korrutis on k k k Seega kolmanda sirge tõus on 0,5 Koostame võrrandi y 0,5( x 9) y 0,5x,5 c) Neljas sirge on x-teljega paralleelne ja läbib punkti R(-; 6), st võrrand avaldub kujul y = a Saame võrrandiks y 6 y x 4 y x C d) Leiame nelinurga CD tippude koordinaadid Lahendame võrrandisüsteemid ) y x 6 y x 4 Sellel võrrandisüsteemil lahendid puuduvad (sirged on paralleelsed) D y y 6 y 0,5x,5 7
8 C CD y x 6 ) y 0,5x,5 x 6 0,5x,5 x y 4 (; 4) y 0,5x,5 ) y x 4 0,5x,5 x 4 x y ( ; ) y x 6 4) y 6 x 6 6 x 6 D(6;6) y 6 5) y x 4 6 x 4 x C(;6) e) rvutame nelinurga CD külgede täpsed pikkused ja pindala ( üh) ( üh) ( üh) ( üh) D f) Nelinurk CD on täisnurkne trapets ja selle pindala avaldub a b S h 5 4, ( üh ) Vastus: Trapetsi CD külgede pikkused on 5 üh, 4 5 üh, 5 üh ja 5 5 üh ning pindala 45 üh 9) Riigieksam00(5p) Nelinurga KLMN tipud on K(;;7), L(;;7), M(9;;) ja N(4;0;4) ) Veenduge, et see nelinurk on trapets Teha kindlaks, millised lõigud on selle trapetsi alusteks ) Selgitage, kas trapets on võrdhaarne ) Leidke trapetsi kesklõigu otspunktid 4) Leidke trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus Lahendus valdame nelinurga KLMN külgede vektorid 5; ;, KN ; ; LK ( ; ;0), LM (6; ; 6), MN 6 6 Vektorid MN ja LK on kollineaarsed, kuna L M K K 8 N
9 Vektor MN ei ole kollineaarnevektoriga LK, 5 kuna 0 Seega nelinurk KLMN on trapets, mille alusteks on LM ja KN Haarad on KL ja NM rvutame haarade pikkused valemiga x y z a a a a, kus a a ; a ; a ) ( x y z Saame KL = ( üh), MN = ( üh) Seega KL MN ja trapets ei ole võrdhaarne Trapetsi kesklõiguks on haarade keskpunkte ühendav lõik Seega kesklõigu otspunktid on ; ; (;;7) ja ; ; (6,5;0,5;,5 ) rvutame haarade LK ja MN pikenduste vahelise nurga koosinuse Nurk vektorite LK ja LK vahel on sama, mis trapetsi haarade pikenduste vahel (kuna tegemist on kaasnurkadega paralleelsete sirgete LK ja MN korral) Seega saame LK MN 5; ;, LK (-;-;0) LK LK cos, LK LK 5; ; ; ;0 0 6 cos Vastus Trapetsi alused on LK ja KN, trapets ei ole võrdhaarne Kesklõigu otspunktite koordinaadid on (;;7) ja ( 6,5; 0,5;,5) Trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus on 70 cos 5 0) Riigieksam 00 (0p) Kolmnurga tipud on (0;), (4;4) ja C(4;-) ) Joonestage antud kolmnurk koordinaattasandile ja arvutage selle pindala ) Koostage sirge võrrand ) Kui suur on tõus sirgel, millel paikneb tipust C joonestatud kolmnurga kõrgus? Lahendus 5 4 y D E C x -4-5 Võtame kolmnurga aluseks C = 5 üh ja kõrguseks E = 4 üh 9
10 Kolmnurga pindala arvutame valemiga ah 5 4 S 0 ( üh ) Koostame sirge võrrandi ntud on punktid (0;) ja (4;4) Koostame sirge võrrandi kahe punkti abil x x y y x0 y 4 x y 4 x x y y ; 4 valdame y ja saame sirge võrrandiks y 0,5x Kuna kolmnurga alus ja kõrgus on risti, siis CD k k 0,5 k k Vastus Kolmnurga pindala on 0 pindalaühikut ja võrrand on y = 0,5x + Sirge tõus, millel paikneb tipust C joonestatud kõrgus on - ) Parabool y ax bx c läbib punkte (-;0), (6;0) ja (0;-) Leia parabooli võrrand ja haripunkti koordinaadid Lahendus Kuna antud punktid on graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, siis teame, et parabool lõikab y-telge punktis (0;-) ja seega on ruutfunktsiooni vabaliige c = - Lõikepunktid x- teljega (-;0) ja (6;0) annavad funktsiooni nullkohad x ja x 6 Parabooli võrrandit võime otsida ka kujul y a( x x )( x x ) kus x ja x on ruutfunktsiooni nullkohad sendame nullkohad parabooli võrrandisse punktis(0;-) a 0 0 6, millest leiame a -a = - ja a = Seega parabooli võrrand on x x 6 y ehk y = x - 4x - b Haripunkti abstsissi leiame kas valemi järgi x h või nullkohtade aritmeetilise a 6 keskmisena xh ja ordinaadi saame, kui asetame abstsissi väärtuse parabooli võrrandisse yh = = -6 Haripunkt on H(;-6) Vastus Parabooli võrrand on y = x - 4x - ja haripunkt on H(; -6) ) Kolmnurga tipud on (-;;-), (-;-;-) ja C(-5;5;-) Leia tipu juures olev sisenurk ja küljega C paralleelse kesklõigu pikkus Lahendus Leiame nurga skalaarkorutise abil kasutades valemit Leiame tipust vektorid ( ; ; ) ( ;,) ja C 5 ;5 ; ;4;0 Leiame nende vektorite pikkused üh ja C ( üh) cos a b a b Leiame vektorite skalaarkorrutise C ja tipu juures 5 oleva sisenurga cos arccos 09 8 Kolmnurga kesklõik võrdub 5 poolega temaga paralleelsest küljest, seega kesklõik on 0,5C,5 ( üh) 0
11 Vastus Tipu juures olev sisenurk on 09 8 ja küljega C paralleelne kesklõik on pikkusega,5 ühikut ) Rööpküliku CD kolm tippu on (-4;;), (-;-;) ja C(-;;-) Leia neljas tipp ja nurk pikema diagonaali ning lühema külje vahel Lahendus Leiame rööpküliku neljanda tippu D(x;y;z) D(x;y;z) C(-;,-) D x 4; y ; z Kuna D C, siis saame x 4 x y y D( ;; ) z z Leiame külgede ja C pikkused (; ; ) 4 4 ( üh) (-4;,) (-;-;) C (;; ) C ( üh) Leiame diagonaalide pikkused D ( ;4; ) D 6 4 ( üh) C ;0; 4 C ( üh) Seega C on pikem diagonaal ja on lühem külg Leiame nende vahele jääva nurga valemist cos C C Vastus Tipu D koordinaadid on D(-; ; -) ja = 48º ) Riigieksam 997(0p) ntud on tasandi neli punkti (-6;-), (-4;-4), C(-;-6) ja D(-;-) Tõestage, et nelinurk CD on romb ja arvutage selle pindala Lahendus Nelinurk on romb, kui tema diagonaalid on risti ja küljed on võrdsed D Kontrollime vektorite ristseisu sklalaarkorrutise abil 5 ( 5) 0, st diagonaalid on teineteisega risti Teiseks leiame külgede pikkused Leiame rombi diagonaalideks olevad vektorid C 5; 5 ja ;
12 C CD üh üh üh üh D Leiame nüüd rombi pindala diagonaalide kaudu C D S Vastus Nelinurk on romb pindalaga 5 üh² 00 5 üh 5) Riigieksam 000 (0p) Täisnurkse kolmnurga kaks tippu on punktides (;-;) ja (-4;-4;) Täisnurga tipp C asetseb y- teljel Leida punkti C koordinaadid Lahendus Kuna tipp C asub y- teljel, siis saame tema koordinaadid tähistada C 0; y;0 Leiame selle tipu koordinaadid kasutades Pythagorase teoreemi Vastavalt ülesande tekstile on kaatetiteks küljed C ja C ning hüpotenuusiks Seega C C Leiame C C C C 5, ; ; y ; 4; y 4; 6 9 ( üh) y y 4y 6 ( üh) y 4 y 8y ( üh) sendame saadud tulemused Pythagorase teoreemi 9 y 4y 6 y 8y y y 0 0 : y 6y 5 0 Lahendades ruutvõrrandi Viete i teoreemi abil saame lahenditeks y = -5 ja y = - Oleme saanud kaks võimalikku tipu C asukohta (0;-5;0) või (0;-;0) Vastus Täisnurga tipp asub punktis C (0;-5;0) või C (0;-;0) HRJUTUSÜLESNDED ) Koosta võrrand sirgele, mis läbib punkti (8;0) ja on paralleelne sirgega y = -x Millises punktis läbib see sirget y = 0? V: y = -x + 8, (8;0) ) On antud punkt (;-) ja sirge a: 4x-7y + = 0 Koosta võrrand sirgetele b ja c, mis läbivad punkti, kusjuures sirge b on paralleelne ja sirge c risti sirgega a Tee joonis V: 4x 7y 5 = 0 ja 7x + 4y 0 = 0 ) Riigieksam 998 Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = - x ja sirgega y = 0 Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk Leia kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus V: 0,5 üh
13 4) Riigieksam 998 Paja telglõige on piiratud joontega y=x ja y= Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk Leia paja kaugus koonuse tipust V: 0,5 üh 5) Riigieksam 999 ntud on sirged x+7y-6=0 ja 5x-5y+=0 a) Leia nende sirgete lõikepunkt b) Leia nende sirgete vahelise nürinurga poolitaja võrrand V: ; ja y = -x +, ) Joone y = -x - x + 8 graafiku teises veerandis asuval osal on antud punktid (x;y) abstsissiga x = - ja (x;y) ordinaadiga y = 5Leia a) punktide ja koordinaadid b) vektorite O ja O skalaarkorrutis; c) vektorite O ja O vahelise nurga suurus täpsusega V: (-;9), (-;5); 48; 4º7 7) Riigieksam 000 Täisnurkse kolmnurga kaks tippu on punktides (;-;) ja (-4;-4;) Täisnurga tipp C asetseb y- teljel Leia punkti C koordinaadid V: (0;-5;0) või (0;-;0) 8) Riigieksam 00 (5 p) Tasandil on antud 4 sirget Esimene neist on antud võrrandiga y = 0,5x + Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(; ) Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q( ; ) Neljas on paralleelne y-teljega ja läbib punkti R(6; ) Kolmas sirge lõikab esimest sirget punktis ja teist punktis Neljas sirge lõikab esimest sirget punktis D ja teist punktis C a) Tehke joonis ja koostage antud sirgete võrrandid b) Leidke nelinurga CD tippude koordinaadid c) rvutage nelinurga CD külgede täpsed pikkused, pindala V: y 0,5x ; y x 7; x 6; ( 4;), ( ; ), C(6;), D(6;6); 5 ü,4 5 ü,5 5 ü,5 ü; S 45ü 0) Riigieksam 004 (5 p) ntud on sirged y = x, y = 4x ja y = x + 6 a) rvutage nende sirgete lõikepunktide koordinaadid b) Joonestage antud sirged ühes ja samas teljestikus c) Leidke antud sirgete lõikepunkte läbiva parabooli y = ax + bx + c võrrand d) rvutage eelmises punktis saadud parabooli haripunkti koordinaadid V: (0;0), (;), C( ;8), y x x, H(; ) ) Riigieksam 005 (5 p) Kolmnurk C on määratud tipuga (;) ja vektoritega = (;) ning C =( 5;0) a) rvutage tippude ja C koordinaadid ning joonestage kolmnurk C b) rvutage külje C pikkus c) Koostage punkte ja C läbiva sirge võrrand ning leidke selle sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaadid d) Koostage kolmnurga C ümberringjoone võrrand (4;4), C( ;4), ü, y x,(;0); x,5 y,5 6, V: 5
14 ) Riigieksam 006 (5 p) Võrdhaarse kolmnurga haarad asetsevad sirgetel x + y = 0 ja x + y = 0 luse keskpunkt on K( 0,6; 5,4) Tehke joonis ja leidke a) kolmnurga haarade lõikepunkti koordinaadid; b) võrrand sirgele, millel asetseb kolmnurga alus; c) kolmnurga kõrguse täpne pikkus V: L(,4;,4), y x 6; ü ) Riigieksam 007 (5 p) Võrdhaarse trapetsi CD alused on paralleelsed y-teljega ja x- telg on trapetsi sümmeetriateljeks ntud on tipp (,5; -5,5) ning vektor D (,;,4) Tehke joonis ja leidke ) trapetsi pindala; ) trapetsi alusnurk; ) selle sirge võrrand sirgele, millel paikneb haar D; 4) haarade pikenduste lõikepunkt 4 V: 5 7,5ü; arctan 5 8 ;x 4y 6,5 0: L8 ; 0 6 4) Riigieksam 008 (0 p) Punktist ( ; ) on joonestatud vektor = (6; ) Läbi punkti D( ; 5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega Punktide,, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu juures Tehke joonis Kirjutage sirgete DC ja C võrrandid rvutage punkti C koordinaadid 4 rvutage trapetsi kõrgus V: y x 4; y x 6; C(6; ); h 0 ü 5) Riigieksam 009 (5 p) Ristküliku CD üheks tipuks on punkt (4; ), tipp asub x- teljel ja küljega paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0 a) rvutage ristküliku CD tippude, C ja D koordinaadid ning joonestage ristkülik CDkoordinaattasandile b) Koostage sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal C c) rvutage ristküliku CD ümbermõõdu täpne väärtus d) Koostage ristküliku CD ümberringjoone võrrand V: (;0), C( ;4), D(0;7); x 7y 5 0;4 ü, x 0,5 y,5, 5 6) Riigieksam 00 (5 p) Funktsiooni f ( x) x 4x graafik lõikab y-telge punktis ja x-telge punktides D ( x ;0) ning C ( x ;0), kus x x Sirge s läbib punkte ja D ning sirge t läbib punkte ja C Sirge u on paralleelne sirgega y x Sirged s ja u lõikuvad punktis ning sirged t ja u lõikuvad punktis C a) Koosta sirgete s, t, ja u võrrandid ning arvuta punkti koordinaadid; b) Joonista funktsiooni f (x) graafik ja sirged s, t ja u; c) Näita, et C on täisnurkne ja arvuta C 5 V: y x, y x, y x ; (,5;,5);arcsin
15 7) Riigieksam 0 (5 p) Joonte f(x) = x 5 ja g(x) = x + lõikepunkt on rombi CD tipp Diagonaali vektor on C 4; 4 Tipp asub y-teljel a) rvuta rombi tippude koordinaadid ja koosta sirge võrrand, millel asub diagonaal D b) rvuta rombi pindala c) Joonesta funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud ja romb CD V: ( ;), (0; ), C(; ), D(;);8 üh s 8) Riigieksam 0 (5 p) Sirge s on määratud punktiga (0;0) ja sihivektoriga ; Sirge t läbib punkti (4;) ja on risti sirgega s a) Koosta sirgete s ja t võrrandid b) Märgi koordinaatteljestikku punktid ja ning joonesta sirged s ja t c) Sirgel s asub punkt C nii, et kolmnurga C pindala on 5 Leia arvutamise teel punkti C koordinaadid, kui punkt C asub koordinaatteljestiku IV veerandis d) Koosta ringjoone, mille diameeter on, võrrand V: s : y x; t : y 0,5x; C(; 6);( x ) ( y ) 5 9) Riigieksam 0 (5 p) Sirge t läbib punkti (;-7) ja on paralleelne sirgega s: x-y =6 Sirge u läbib punkti, on paralleelne x-teljega ja lõikub sirgega s punktis D Sirge f läbib punkti K(7;-7), on risti sirgega s ning lõikub sirgetega t ja s vastavalt punktides ja C a) Leidke sirgete t, u ja f võrrandid b) Märkige koordinaatteljestikku kõik ülesande tekstis nimetatud punktid ja sirged c) rvutage tekkinud nelinurga CD tippude C ja D koordinaadid d) Leidke ringjoone võrrand, mille keskpunkt asub lõigu CD keskpunktis ja millele sirge t on puutujaks V: y 0,5x 8; y 7; y x 7; D( 8; 7), C(4; ); x y 4 0 0) Riigieksam 04 (5 p) Ruumis on antud vektorid a = ( ; 5; 4) ja b = (; 5; ) rvutage vektori c a b koordinaadid ning nurk vektorite a ja b vahel V:54 8' ) Riigieksam 05 (5 p) Joonestage koordinaatteljestikku sirged y x ja x = 6 Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega rvutage viirutatud kujundi pindala V: ü ) Riigieksam 04 (0p) V: (;0), (0;4), C(0;4); y x 4; y 4; x 5 y 4 5 5
16 ) Riigieksam 05 (0p) V:5 '; y x 4x 9 4) Riigieksam 05 (0p) V: x y 0; C 0 ü; y x 8 5) Riigieksam 05 (0p) V: y x ; y x 5 6) Riigieksam 06 (0p) Võrdhaarse kolmnurga C üks tipp on punktis (4; ), teine tipp C asub sirgel y = 7 ja kolmnurga aluse määrab vektor (4;8) rvutage punkti koordinaadid Koostage sirge võrrand Ringjoone diameeter on kolmnurga C alus Koostage selle ringjoone võrrand 4 rvutage punkti C koordinaadid V: (8;5), y=x-, (x-6) +(y-) =0, C(-6;7) 7) Riigieksam 07K (0p) Sirge s, mille võrrand on y = x 4, lõikab x-telge punktis Sirge t on paralleelne sirgega s ja läbib koordinaatide alguspunkti O(0; 0) Leidke punkti koordinaadid ja koostage sirge t võrrand Märkige koordinaatteljestikku punktid ja O ning joonestage sirged s ja t Rööpküliku OC kõik tipud asetsevad sirgetel s ja t ning C (;6 ) rvutage rööpküliku tippude ja C koordinaadid ning joonestage rööpkülik OC koordinaatteljestikku 4 rvutage rööpküliku OC pindala V: ( ;0); t y x; (5;6), C(;6); S ü 8) Riigieksam 07L (0p) Rombi CD diagonaal C asub sirgel y=x-6 Rombi tipp asub y-teljel ja (7;4) Koostage sirge võrrand, millel asub rombi teine diagonaal D 60 rvutage rombi CD kõrgus ja pindala V: D y 0,5x,5; h ; S 60ü 65 6
17 9) Riigieksam 08L (0p) Kera diameetri otspunktid on (-; ;4) ja (;-4; 0) rvuta kera keskpunkti O koordinaadid ja kera ruumala Punkt C(4,;-) asub kera pinnal rvuta nurk C V:,5π(ü ); 90º 0) Riigieksam 08L (0p) Punktid (-5;-4) ja (;) on täisnurkse kolmnurga C hüpotenuusi tipud Kaatet C asub sirgel y = x+6 Koosta sirge C võrrand ja arvuta punkti C koordinaadid Joonesta kolmnurk C koordinaatteljestikku x-telg jaotab kolmnurga C kaheks osaks Leia x-teljest allapoole jääva osa pindala V:y=-0,5x+,5; C(-;4); S 6 ü ) Riigieksam 08K (0p) On antud punkt (5;) ning vektorid ( ;4) ja C (4;) Märgi koordinaatteljestikku punkt, joonesta vektorid ja C ning leia punktide ja C koordinaadid rvuta lõigu C pikkus Koosta sirge C võrrand 4 Joonesta koordinaatteljestikku sirge, mis läbib punkti ja on paralleelne x-teljega ning lõikab sirget C punktis L rvuta punkti L koordinaadid V: (;5), C(;0); C 9 ü ; y,5x,5; L(, 4;) ) Riigieksam 09L (0p) Punktid (;0) ja (7;4) on rööpküliku CD tipud ja selle rööpküliku diagonaali C kirjeldab vektor C =(;8) rvutage rööpküliku tippude C ja D koordinaadid ning tehke joonis Rööpkülikust CD lõigatakse välja võimalikult suur ring rvutage selle ringi täpne raadius V: C(5;8), D(;4); 4,5 ü ) Riigieksam 09K (0p) On antud punktid ( ;), (;) ja C(0; ) Leidke vektori C pikkus Nelinurk CD on rööpkülik rvutage punkti D koordinaadid ja joonestage rööpkülik CD koordinaatteljestikku rvutage rööpküliku CD pindala V: 5 ü; D(-4;-); ü 4) Riigieksam 00L (0p) Täisnurkse kolmnurga tipp C(5; 4) asub ringjoonel, mille keskpunkt on (; ) Selle kolmnurga ühe teravnurga tipp asub ringjoone keskpunktis ja teise teravnurga tipp asub x-teljel rvutage punkti koordinaadid ja joonestage kolmnurk C Viirutage antud ringjoonega piiratud ringi ja kolmnurga C ühisosa ning arvutage selle 5 ühisosa täpne pindala V: (8;0); 8 ü 5) Riigieksam 00K (0p) Trapetsi CD lühema haara CD otspunktid on ja Haara keskpunkt on punkt ja haaral asub vektor rvutage punktide ja koordinaadid Joonestage koordinaattasandile trapets CD ja näidake arvutuste abil, et see trapets on täisnurkne rvutage trapetsi CD pindala V: (;-), (-;); 80 ü 7
XV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemMicrosoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx
Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemVariant A
PARABOOL. PARABOOLI KANOONILINE VÕRRAND Kuids leid joone võrrndit, kui on ted, et selle joone ig punkti kugused sirgest = j punktist F(0; ) on võrdsed? Tähistme joonel olev vlt vlitud punkti P(; ). Selle
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
RohkemAINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi
AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine
RohkemKontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa
Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
RohkemMatemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase
Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete
Rohkemefo03v2kkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemPythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo
Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
RohkemMicrosoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc
Mudeliklassi F3A Eesti meistrivõistluste reeglistik (2010) Reeglid põhinevad Rahvusvahelise Lennuspordi Föderatsiooni (FAI) määrustel, kuid on mugandatud arvestades kohalike võistlejate lennuvahendeid
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
RohkemStatistiline andmetöötlus
Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
RohkemMicrosoft Word - 1-1_toojuhend.doc
1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil
RohkemEELNÕU
Keskkonnaministri 4. jaanuari 2007. a määruse nr 2 Vääriselupaiga klassifikaator, valiku juhend, vääriselupaiga kaitseks lepingu sõlmimine ja vääriselupaiga kasutusõiguse arvutamise täpsustatud alused
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemMicrosoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc
7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus
RohkemKiekim mees kirjeldus.docx
KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemloogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd
. Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed
RohkemNR-2.CDR
2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor
RohkemSorb_LC_Est.smu
Meetod baseerub Põhjamaade Toiduanalüüsi Komitee (Nordic Committee of Food Analyses) standardil nr. 124(87) KASUTUSALA: Bensoehappe ja sorbiinhappe määramine, mis on lisatud toiduainetele konservandina.
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
RohkemTALLINNA LINNAMÄE VENE LÜTSEUMI VASTUVÕTU KORD 1.ÜLDSATTED 1.1. Tallinna Linnamäe Vene Lütseumi (edaspidi Lütseum) vastuvõtu tingimused ja kord kehtes
TALLINNA LINNAMÄE VENE LÜTSEUMI VASTUVÕTU KORD 1.ÜLDSATTED 1.1. Tallinna Linnamäe Vene Lütseumi (edaspidi Lütseum) vastuvõtu tingimused ja kord kehtestatakse lähtudes Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse 22,
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemTants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.
Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud
Rohkemefo09v2pke.dvi
Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat
Rohkem(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)
4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemУ : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986
У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU
Rohkem2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b)
2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. 10. klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) oogivees on kloriidioonide kontsentratsioon 75 mg/dm
RohkemEesti kõrgusmudel
Meie: 04.06.2002 nr 4-3/3740 Küsimustik Eesti maapinna kõrgusmudeli spetsifikatsioonide selgitamiseks Eestis on juba aastaid tõstatatud küsimus täpse maapinna kõrgusmudeli (edaspidi mudel) koostamisest
RohkemPAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei
PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
Rohkem29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda:
9 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 1. Kasuta ainult korraldajate antud sulepead.. Kasuta
RohkemPIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As
PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
Rohkem(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc)
ALGKLASSILAPSED 1 MINU NIMI ON MINA OLEN PRAEGU TÄNA ON 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED KIRJUTA VÕI JOONISTA SIIA KAKS KÄRNERI TÖÖRIISTA KIRJUTA SIIA SELLE TAIME 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST NIMI MIDA ISTUTASID MÕISTA,
RohkemHeading 1
Pärnu Sütevaka Humanitaargümnaasium Optimaalse tee leidmine kahe punkti vahel etteantud kolmemõõtmelisel maastikul Lõputöö / aastatöö Prima /Secunda aste Dan Bogdanov / Martin Kapp Juhendaja: Ahto Truu
RohkemDVD_8_Klasteranalüüs
Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
RohkemAINEPROGRAMM Õppeaasta: 2015/16 Semester: I õpp Aine kood: RKE111 (MI, AT, ET, TI, RA, LI erialadele) Aine nimetus: KUJUTAV GEOMEETRIA Õppejõud P. Sok
AINEPROGRAMM Õppeaasta: 2015/16 Semester: I õpp Aine kood: RKE111 (MI, AT, ET, TI, RA, LI erialadele) Aine nimetus: KUJUTAV GEOMEETRIA Õppejõud P. Sokolov lektor V. Lillemets lektor O. Ovtšarenko lektor
RohkemTehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.
RohkemMicrosoft Word - VG loodus
Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke
RohkemKeemia koolieksami näidistöö
PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:
RohkemRemote Desktop Redirected Printer Doc
VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
Rohkem10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (
Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (punktide kogusumma jagatud sooritajate koguarvuga); Mediaan - statistiline keskmine, mis jaotab
RohkemTuustep
TUUSTEPP Eesti tants segarühmale Tantsu on loonud Roland Landing 2011. a. Pärnus, kirjeldanud Erika Põlendik. Rahvalik muusika, esitab Väikeste Lõõtspillide Ühing (CD Kui on kuraasi ). Tantsus on käed
RohkemDUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei
DUŠINURK MILDA PAIGALDUSJUHEND 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage
RohkemLõppvoor 2016
Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............
RohkemKasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimise
Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimisel on hea teada... 5 Vintsi hooldus... 6 Garantii...
Rohkem01_loomade tundmaõppimine
Tunnikava vorm Õppeaine ja -valdkond: Mina ja keskkond Klass, vanuse- või haridusaste: alusharidus Tunni kestvus: 30+15minutit Tunni teema (sh alateemad): Loomade tundmaõppimine, maal elavad loomad Tase:
Rohkem