Univerzitet u Beogradu Maxinski fakultet. Matlab i Simulink. u automatskom upravljanju. Radixa Ж. Jovanovi. Beograd, 2016.

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Univerzitet u Beogradu Maxinski fakultet. Matlab i Simulink. u automatskom upravljanju. Radixa Ж. Jovanovi. Beograd, 2016."

Väljavõte

1

2 Univerzitet u Beogradu Maxinski fakultet Matlab i Simulink u automatskom upravljanju Radixa Ж. Jovanovi Beograd, 2016.

3 Dr Radixa Ж. Jovanovi, dipl. inж. max., docent Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet Matlab i Simulink u automatskom upravljanju I izdanje Recenzenti: Prof. dr Zoran Ribar, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet Prof. dr Zoran Buqevac, Univerzitet u Beogradu, Maxinski fakultet Izdavaq: Maxinski fakultet Univerziteta u Beogradu ul. Kraljice Marije 16, 11120, Beograd 35 tel. (011) faks (011) Za izdavaqa: Prof. dr Radivoje Mitrovi, dekan Glavni i odgovorni urednik: Prof. dr Milan Leqi Odobreno za xtampu odlukom dekana Maxinskog fakulteta u Beogradu br. 3/16 od godine Dizajn korica: Mina Mihailovi Tiraж: 300 primeraka Xtampa: PLANETA PRINT ISBN Sva prava zadrжavaju izdavaq i autor. Zabranjeno prextampavanje i umnoжavanje.

4 Sadrжaj I UVOD U MATLAB 1 1 Uvod u Matlab Radno okruжenje Matlaba Komandni prozor Prozor s prethodnim naredbama Radni prostor Matlaba Prozor radnog direktorijuma Korisne naredbe za rad u komandnom prozoru Editor m-datoteka Promenljive i tipovi podataka Promenljive Operator dodele Izrazi i operatori Podrazumevane promenljive i rezervisane reqi Numeriqki tipovi podataka Celobrojni tipovi Brojevi u pokretnom zarezu Kompleksni brojevi Logiqki tip podataka Znakovni tip podatka 14

5 ii 3 Nizovi i operacije nad nizovima Vrste nizova Matrice i vektori Pojam i vrste matrica Kreiranje vektora Kreiranje matrica Specijalne matrice Transponovana matrica Inverzna matrica Determinanta Operacije nad matricama Matriqno mnoжenje Stepenovanje matrica Pristup elementima vektora i matrica Elementne operacije nad vektorima i matricama Funkcije za analizu nizova Funkcija meshgrid() Vektori i matrice kao argumenti funkcija Promena tipa matrice Nizovi karaktera Spajanje stringova Kreiranje i podexavanje stringova Komparacija stringova Konverzija između stringova i drugih tipova podataka Nizovi elija 45 4 Programiranje u Matlabu Algoritmi Matlab skript Dokumentovanje Ulaz i izlaz Ulazne funkcije Izlazne funkcije Funkcija disp() Funkcija fprintf() Skript sa ulazom i izlazom Snimanje podataka u datoteku Dodavanje podataka u datoteku Uqitavanje podataka iz datoteke

6 iii 4.5 Funkcije Kreiranje funkcijske datoteke Radni prostor funkcije Lokalne promenljive Globalne promenljive Perzistentne promenljive Podfunkcije Ugneжdene funkcije Anonimne funkcije Primena pokazivaqa funkcija Funkcije sa funkcijama kao argumentima Simboliqka matematika Simboliqke promenljive i izrazi Rad sa simboliqkim izrazima Prikazivanje izraza Rexavanje algebarskih jednaqina Simboliqka matematiqka analiza Rexavanje diferencijalnih jednaqina Rexavanje skalarne diferencijalne jednaqine Rexavanje sistema diferencijalnih jednaqina Definisanje poqetnih i graniqnih uslova Rexavanje nelinearnih diferencijalnih jednaqina Operatori i kontrola toka programa Relacioni operatori Logiqki operatori Uslovno grananje If uslov Switch struktura Petlje For petlja Vixestruke petlje Kombinacija vixestrukih for petlji i if naredbi Petlja while While petlja sa ulaznom funkcijom Brojaq u while petlji Provera grexke sa ulaznom funkcijom u while petlji Naredbe break i continue Izbegavanje petlji, vektorizacija i prealokacija

7 iv 7 2-D grafika Funkcija plot() Grafik eksperimentalnih podataka Grafik funkcije Argumenti funkcije plot() Crtanje vixe grafika Vixe grafika u jednom grafiqkom prozoru Formatiranje grafika Naslov, natpisi, mreжa Linije, boje, markeri Podgrafici Grafici sa logaritamskom podelom osa Pristup parametrima grafika II NUMERIQKE METODE U MATLABU Sistemi linearnih jednaqina Osnovni pojmovi i broj rexenja Rexavanje sistema linearnih jednaqina Sistem jednaqina sa m = n Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m > n Sistemi linearnih jednaqina: sluqaj m < n Sopstvena vrednost i sopstveni vektor matrice Sopstvene vrednosti i sopstvene matrice u Matlabu Aproksimacija i interpolacija Opxti problem aproksimacije Interpolacija Interpolacija polinomima Interpolacija polinomima po delovima Linearni splajn Kubni splajn Funkcije za interpolaciju u Matlabu Metoda najmanjih kvadrata Linearni model najmanjih kvadrata Metoda najmanjih kvadrata u Matlabu

8 v 10 Nelinearne algebarske jednaqine Nelinearna jednaqina jedne promenljive Rexavanje nelinearnih jednaqina u Matlabu Funkcija fzero() i jednaqina sa vixe korenova Taqke prekida i funkcija fzero() Nule polinoma i funkcija roots() Optimizacija funkcije jedne promenljive Numeriqko diferenciranje i integraljenje Numeriqko diferenciranje Aproksimacija prvog izvoda Aproksimacija drugog izvoda Matlab funkcije za numeriqko diferenciranje Numeriqko integraljenje Trapezno pravilo Matlab funkcija trapz() Simpsonova metoda Matlab funkcije quad() i integral() Numeriqko rexavanje obiqnih diferencijalnih jednaqina Pojam diferencijalne jednaqine Koxijev problem Jednokoraqne metode Ojlerova metoda Poboljxanje Ojlerove metode Metode Runge Kuta Lokalna grexka numeriqke metode Globalna grexka i stabilnost numeriqke metode Vixekoraqne metode Adams-Baxfortova metoda Adams-Moltonova metoda Adaptivne metode Metode u Matlabu za numeriqko rexavanje Funkcija ode..() u Matlabu 172

9 vi III UVOD U SIMULINK Uvod u Simulink Kako radi Simulink Poqetak rada u Simulinku Pokretanje Simulinka Kreiranje novog modela Otvaranje postoje eg modela Osnovni elementi Simulink modela Blokovi Linije Kreiranje modela sistema Unoxenje blokova u model Modifikovanje blokova Povezivanje blokova Pokretanje simulacije i parametri simulacije Osnovni blokovi Bibilioteka ulaza Constant blok Signal Generator blok Pulse Generator blok Step blok Ramp blok Sine wave blok Clock blok Ground blok Biblioteka izlaza Display blok Scope blok Terminator blok Stop simulation blok To Workspace blok To File blok Biblioteka signala Bus Creator i Bus Selector blok Mux i Demux blokovi Switch blok Prikaz signala u modelu Gain blok

10 vii 14.4 Matematiqka biblioteka Sum, Add i Subtract blokovi Math Function blok Trigonometric Function blok Biblioteka blokova kontinualnih sistema Integrator blok Biblioteka blokova sa nelinearnostima Saturation blok Dead Zone blok Simulacija dinamiqkih sistema Simulacija sistema prvog reda Kreiranje Simulink modela sistema Simulacija sistema za odskoqnu promenu ulaza Simulacija sistema za promenu ulaza u obliku pulsa Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza Simulacija sistema za nagibnu promenu ulaza sa zasi enjem Simulacija sistema drugog reda Kreiranje Simulink modela Simulacija iz komandnog prozora Podsistemi Algebarske petlje Numeriqki postupci u Simulinku 217 IV MATEMATIQKI MODELI DINAMIQKIH SISTEMA Matematiqko modelovanje dinamiqkih sistema Matematiqko modelovanje sistema Primeri matematiqkog modelovanja sistema Matematiqki modeli UI sistema Matematiqki modeli USI sistema Linearni stacionarni dinamiqki sistemi Linearni stacionarni dinamiqki UI sistemi Linearni stacionarni dinamiqki USI sistemi Izbor veliqina stanja Matematiqki modeli po odstupanjima 237

11 viii V LINEARNI SISTEMI Laplasova transformacija Definicija Laplasove transformacije Inverzna Laplasova transformacija Osobine Laplasove transformacije Laplasova transformacija u Matlabu Hevisajdov razvoj Funkcije sa jednostrukim polovima Funkcije sa vixestrukim polovima Hevisajdov razvoj u Matlabu Predstavljanje linearnih sistema u Matlabu Prenosna funkcija i prenosna matrica TF oblik prenosne funkcije Zero-Pole-Gain oblik prenosne funkcije TF i ZPK oblici prenosnih matrica Prenosna funkcija u Simulinku Model sistema u prostoru stanja Model sistema u prostoru stanja u Simulinku Pretvaranja između razliqitih modela Pretvaranje u TF model Pretvaranje u ZPK model Realizacija u prostoru stanja Dobijanje SS i TF modela iz Simulink modela Dobijanje parametara iz LTI objekata Blok dijagrami Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne sprege Sloжene sprege Analiza linearnih sistema Tipiqne promene ulaznih veliqina Znaqaj i vrste tipiqnih promena ulaznih veliqina Odskoqna funkcija Jediniqna impulsna funkcija Nagibna funkcija Eksponencijalna funkcija Sinusna funkcija

12 ix 19.2 Određivanje odziva UI sistema Određivanje odziva sistema primenom Laplasove transformacije Određivanje odziva primenom simboliqkog paketa Određivanje odziva i kretanja USI sistema Kretanje i odziv u slobodnom radnom reжimu Kretanje i odziv u prinudnom radnom reжimu Primena Laplasove transformacije u određivanju kretanja i odziva USI sistema Određivanje kretanja i odziva USI sistema u Matlabu Numeriqka analiza linearnih sistema Jediniqni odskoqni odziv Impulsni odziv Određivanje odziva sistema na proizvoljan ulaz Odziv na poqetne uslove Pokazatelji prelazne funkcije Pokazatelji kvaliteta prelazne funkcije u Matlabu

13 x

14 PREDGOVOR Knjiga Matlab i Simulink u automatskom upravljanju je koncipirana tako da obuhvata oblasti predviđene nastavnim planom i programom predmeta Programiranje u automatskom upravljanju, koji se sluxa na Osnovnim akademskim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Međutim, uzimaju i u obzir aktuelnost i znaqaj upoznavanja sa nekim od softverskih alata za razliqite vrste inжenjerskih proraquna i analiza (a Matlab je jedan od najzastupljenijih, gotovo nezaobilazan), knjiga je napisana tako da mogu da je koriste i studenti sa drugih fakulteta u qijim nastavnim planovima i programima je zastupljenja ova problematika. U tom smislu, programski jezik Matlab (u daljem tekstu Matlab) i njegov paket Simulink (u daljem tekstu Simulink) predstavljeni su u prva tri dela knjige. Qetvrti i peti deo knjige se odnose na primenu Matlaba i Simulinka u oblasti sistema automatskog upravljanja, i dobrim delom predstavljaju podrxku nastavi iz predmeta Osnove automatskog upravljanja koji je obavezan predmet na osnovnim akademskim studijama na Maxinskom fakultetu u Beogradu. Konaqno, knjiga moжe da posluжi kao osnova za budu e napredno korix enje Matlaba i Simulinka. Kompozicija knjige je organizovana u pet delova. Osnova programiranja u Matlabu je izloжena u prvom delu. Prvo poglavlje donosi uvod o Matlabu kao mo nom programskom jeziku, opis njegovog razvojnog okruжenja i osnovnih operacija. Promenljive i osnovni tipovi podataka tema su drugog poglavlja. U tre em poglavlju uvodi se koncept niza, koji predstavlja fundamentalni element u Matlabu, i detaljno se obrađuju numeriqki nizovi (vektori i matrice), znakovni nizovi i nizovi elija, kao i osnovne operacije nad njima. Prvi deo se nastavlja qetvrtim poglavljem koje se bavi pisanjem programa u Matlabu, poqev od jednostavnih skriptova i logiqkih instrukcija do razliqitih tipova funkcija i funkcijskih datoteka. U petom poglavlju se razmatraju simboliqki paket Matlaba i metode za simboliqko rexavanje algebarskih i diferencijalnih jednaqina. Xesto poglavlje je posve eno relacionim i logiqkim operatorima i kontroli toka programa. Paжnja je u sedmom poglavlju posve ena i delu

15 xii grafiqkih mogu nosti Matlaba a koje se odnose na dvodimenzionalnu grafiku. U drugom delu knjige se izlaжu osnovne numeriqke metode koje su sadrжane i implementirane u ugrađenim funkcijama Matlaba. Sistemi linearnih jednaqina i problemi sopstvenih vrednosti matrica su tema osmog poglavlja. Deveto poglavlje je posve eno problemu aproksimacije funkcije jedne promenljive, pri qemu znaqajno mesto zauzima i interpolacija algebarskim polinomima i splajnovima, kao i metoda najmanjih kvadrata kao jedna od metoda za aproksimaciju funkcija. U desetom poglavlju se ilustruju metode za rexavanje nelinearnih algebarskih jednaqina. Sadrжaj jedanestog poglavlja qine osnove metoda numeriqkog diferenciranja i integraljenja, pri qemu je posebna paжnja posve ena metodama na kojima se zasnivaju ugrađene funkcije Matlaba za numeriqko diferenciranje i integraljenje. U dvanaestom poglavlju se razmatraju metode za rexavanje obiqnih diferencijalnih jednaqina i njihova implementacija u Matlabu. Tre i deo knjige se odnosi na Simulink, gde se u trinaestom i qetrnaestom poglavlju izlaжu osnovni elementi Simulink modela i osnovni blokovi iz biblioteke blokova. Petnaesto poglavlje je posve eno primeni Simulinka u simulaciji dinamiqkih sistema, linearnih i nelinearnih. Qetvrti deo knjige kroz xesnaesto poglavlje donosi osnovne pojmove iz modelovanja dinamiqkih sistema, sa posebnim osvrtom na osobine i oblike modela linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema. Primena Laplasove transformacije u određivanju odziva linearnih stacionarnih sistema tretira se u petom delu knjige, u sedamnaestom poglavlju. Osamnaesto poglavlje se detaljno bavi predstavljanjem linearnih sistema u Matlabu i njihovim razliqitim modelima. Analiza linearnih sistema, analitiqka i numeriqka, teme su devetnaestog poglavlja. Izloжeni materijal je ilustrovan brojnim primerima. Tamo gde je neophodno, dati su i rezultati izvrxavanja određenih naredbi, skriptova, a određeni broj primera, posebno u petom delu, urađen je i analitiqkim putem. Recenzentima na korisnim sugestijama, kao i svima onima koji su na neki naqin pomogli u toku pisanja ove knjige, autor se najtoplije zahvaljuje. Beograd, mart godine Radixa. Ж. Jovanovi

16 POGLAVLjE 2 Promenljive i tipovi podataka 2.1 Promenljive Koncept promenljivih, qije se vrednosti menjaju u toku izvrxavanja programa, predstavlja sastavni deo svih programskih jezika. Pojam promenljive u Matlabu (i u programskom jeziku uopxte) oznaqava apstraktan pojam memorijske elije raqunara ili skupa memorijskih elija. Drugim reqima, promenljive predstavljaju u neku ruku imena (simboliqka) memorijskih lokacija, i svakako je programerima lakxe i prirodnije da rade sa takvim, simboliqkim imenima, nego sa njihovim apsolutnim adresama. Definisanje promenljive se u Matlabu vrxi naredbom dodele Operator dodele U Matlabu se znak = naziva operatorom dodele. On ovde ima drugaqije znaqenje od znaka jednakosti poznatog iz matematike. Kada se otkuca na primer x = 5, to govori Matlabu da dodeli vrednost 5 promenljivoj x. Prema tome, ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj: ImeP romenljive = numeriqka vrednost ili izraz Prethodna upotreba se ne razlikuje od one poznate iz matematike. Međutim, u Matlabu je mogu e imati i ovakav oblik: x = x + 2. Ova naredba govori Matlabu da doda broj 2 trenutnoj vrednosti promenljive x i zamenjuje trenutnu vrednost od x sa tom novom vrednox u. Ukoliko originalno x ima vrednost 5, njegova nova vrednost e biti 7. Ova primena operatora = je razliqita od njegove primene u matematici. Na primer, u matematici jednaqina x = x + 2 nema smisla, jer ona implicira da je 0 = 2. Na levoj strani operatora dodele moжe biti jedna i samo jedna promenljiva. Stoga se u Matlabu ne moжe koristiti, na primer, ovako nexto: 6 = x, jer bi to znaqilo da numeriqkoj vrednosti treba da se dodeli sadrжaj

17 8 Promenljive i tipovi podataka neke memorijske lokacije. Naredna posledica ovog ograniqenja je da se u Matlabu ne mogu pisati izrazi kao: >> x + 6 = 10 Odgovaraju a jednaqina x + 6 = 10 je prihvatljiva u algebri i ona ima rexenje x = 4, ali Matlab ne moжe da rexi ovaku jednaqinu bez dodatnih naredbi (ove naredbe su dostupne u Simboliqkom paketu, i bi e reqi o tome u petom poglavlju. Jox jedno ograniqenje je da desna strana operatora dodele mora imati vrednost koja se moжe izraqunati. Na primer, ako promenljivoj y nije dodeljena vrednost, slede i izraz e generisati grexku u Matlabu: >> x = 5 + y Levo od operatora dodele moжe biti ime samo jedne promenljive. Desno moжe biti broj ili izraz koji sadrжi brojeve i/ili promenljive kojima su prethodno dodeljene numeriqke vrednosti. Kada se pritisne taster Enter, numeriqka vrednost sa desne strane dodeljuje se promenljivoj, a Matlab u slede a dva reda prikazuje promenljivu i njoj dodeljenu vrednost. Nove promenljive se mogu definisati korix enjem prethodno definisanih promenljivih. Ako se na kraj reda naredbe dodele upixe operator ; (taqka sa zapetom) i pritisne Enter, Matlab ne e prikazati promenljivu i njoj dodeljenu vrednost, ali e joj vrednost ipak dodeliti i snimiti je u memoriju. Kada se otkuca ime postoje e promenljive i pritisne Enter, u slede a dva reda prikaza e se ime i vrednost te promenljive. U isti red moжe se upisati nekoliko naredbi dodele. Razdvajaju se zapetama (posle zapete moжe se otkucati vixe razmaka). Kada se pritisne Enter, vrednosti se dodeljuju sleva udesno, a promenljive i njima dodeljene vrednosti prikazuju se u slede im redovima. Ukoliko se umesto zapete otkuca taqka sa zapetom, vrednost promenljive ne e biti prikazana. Uopxteno, moжe se re i da promenljivu karakterixe niz atributa (slika 2.1) i o svakom od njih e se ukratko nexto re i, a tokom daljeg izlaganja mnogi od ovih atributa e biti detaljnije objaxnjeni. promenªiva ime adresa tip vrednost vidªivost traja e Slika 2.1: Atributi promenljive Imena promenljivih Ime promenljive je niz znakova upotrebljen kao njen identifikator u programu. Xtavixe, imena se u programu ne upotrebljavaju samo za promenljive nego i za neke druge elemente (entitete) u programu (funkcije, formalne parametre). Imena promenljivih, maksimalne duжine do 63 znaka,

18 60 Programiranje u Matlabu Ovo rezultuje da datoteka,,testdat.dat sada sadrжi slede e podatke: Uqitavanje podataka iz datoteke Uqitavanje podataka iz datoteke se postiжe korix enjem naredbe load. Kada se datoteka jednom kreira (kao u prethodno navedenom sluqaju), njen sadrжaj se moжe uqitati u neku matriqnu promenljivu. Ukoliko je to datoteka sa numeriqkim podacima, funkcija load() e uqitati podatke iz datoteke,,imedatoteke.ext (na primer, ekstenzija moжe biti.dat) i kreirati matricu sa istim imenom kao xto je ime datoteke. Na primer, ako se iskoristi datoteka ranije kreirana,,,testdat.dat, slede im naredbama e se uqitati podaci iz nje, i smestiti rezultat u matriqnu promenljivu koja se naziva testdat: >> clear >> load testdat.dat >> who Your variables are: testdat >> testdat testdat = Funkcija load() radi jedino ako postoji isti broj vrednosti u svakoj liniji tako da podaci mogu biti smexteni u matricu, i naredba save jedino upisuje podatke iz matrice u datoteku. Ukoliko to nije sluqaj, moraju se koristiti ulazno/izlazne naredbe niжeg nivoa, koje nisu predmet ovih izlaganja. 4.5 Funkcije Matlab poseduje bogatu biblioteku ugrađenih funkcija, i one se mogu koristiti u matematiqkim izrazima jednostavno kucanjem njihovih imena i vrednosti njihovih argumenata, kao xto su primeri sin(x), sqrt(x), itd. Najqex e u raqunarskim programima postoji potreba da se izraqunavaju vrednosti funkcija koje nisu unapred definisane u Matlabu. Kada je izraz funkcije jednostavan, i ako je potrebno izraqunati je samo jednom, ta funkcija moжe biti deo programa. Međutim, ukoliko je neku funkciju potrebno izraqunavati mnogo puta, i pri tome i sa razliqitim vrednosti-

19 4.5 Funkcije 61 ma njenih argumenata, uobiqajeno je da se kreira tzv. korisniqki definisana funkcija. Jednom kada se kreira i saquva, ona se kasnije moжe koristiti na isti naqin kao i ugrađene funkcije Matlaba. Dakle, korisniqki definisana funkcija predstavlja program koji kreira korisnik, snima ga kao funkcijsku datoteku koja se potom koristi kao xto se koriste i ugrađene funkcije. Funkcija moжe da predstavlja jedan matematiqki izraz, ili da sadrжi niz komplikovanih izraqunavanja i izraza. U mnogim sluqajevima to je u stvari jedan potprogram unutar programa. Glavna karakteristika funkcijske datoteke je da ona ima ulaz i izlaz. To znaqi da se izraqunavanja u funkcijskoj datoteci vrxe koriste i ulazne podatke, i rezultat izraqunavanja se prenosi izvan funkcije pomo u njenog izlaza. Ulaz i izlaz mogu biti jedna ili vixe promenljivih, i svaka od njih moжe biti skalar, vektor, ili niz bilo koje veliqine Kreiranje funkcijske datoteke Funkcijske datoteke se kreiraju i edituju kao i skript datoteke u prozoru Editora, koji se otvara iz komadnog prozora. Izborom opcije New, potom Function, pojavljuje se prostor datoteke. Editor sadrжi nekoliko podrazumevanih linija koje predstavljaju strukturu funkcijske datoteke. Prva linija predstavlja definicionu liniju funkcije, iza koje se nalaze komentari koji opisuju funkciju. Nakon toga slede izraqunavanja, i poslednja linija je end naredba, koja nije obavezna. Definiciona linija funkcije Prva izvrxna linija u funkcijskoj datoteci mora da bude definiciona linija funkcije. U suprotnom, datoteka se tretira kao skript. Definiciona linija funkcije: ˆ definixe datoteku kao funkcijsku datoteku, ˆ definixe ime funkcije, ˆ definixe broj i redosled ulaznih i izlaznih argumenata. Opxti oblik definicione linije funkcije je: function [izlazni argument] = ime f unkcije (ulazni argumenti) Req function otkucana malim slovima mora biti prva req u definicionoj liniji funkcije. Ime funkcije sledi nakon operatora dodele, znaka =. Pravila za ime funkcije su identiqna pravilima koja vaжe za izbor imena promenljivih. Dobra praksa je izbegavanje imena ve postoje ih, ugrađenih funkcija, kao i imena promenljivih definisanih od strane korisnika, ili podrazumevanih u Matlabu.

20 62 Programiranje u Matlabu Ulazni i izlazni argumenti funkcije Ulazni i izlazni argumenti se koriste za prenos podataka u funkciju i iz funkcije, sledstveno. Obiqno, funkcija ima najmanje jedan ulazni argument, mada je mogu e definisati i funkciju koja nema ulazne argumente. Ukoliko ih ima vixe, ulazni argumenti su razdvojeni zapetom. Programski kôd koji izvrxava izraqunavanja u funkciji se pixe uz korix enje upravo tih ulaznih argumenata, uz pretpostavku da su im dodeljene numeriqke vrednosti. To znaqi da se matematiqki izrazi u funkcijama moraju pisati u skladu sa dimenzijama ulaznih argumenata, koji mogu biti skalari, vektori ili matrice. Trenutne vrednosti argumenata se dodeljuju prilikom poziva funkcije. Funkcija moжe imati jedan ili vixe izlaznih argumenata, ili nijedan. U sluqaju jednog izlaznog argumenta on se moжe koristiti bez zagrade. Da bi se funkcija mogla koristiti, u telu funkcije mora postojati naredba koja dodeljuje vrednosti izlaznim promenljivim, tj. izlaznim argumentima. Ako funkcija nema izlazni argument, operator dodele u definicionoj liniji moжe se izostaviti. Na primer, funkcija bez izlaznog argumenta moжe biti neka funkcija koja crta dijagrame, xtampa ili upisuje podatke u datoteku itd. Uobiqajeno je da se svi ulazi u funkcijsku datoteku, kao i izlazi iz nje, prenose preko ulaznih i izlaznih argumenata. Pored toga, međutim, sve ulazno-izlazne karakteristike skript datoteke se mogu koristiti i u funkcijskoj datoteci. To znaqi da e se svaka promenljiva kojoj je dodeljena vrednost u telu funkcije prikazati na ekranu komandnog prozora ukoliko se na kraju naredbe dodele ne nalazi znak ;. Takođe, funkcija input() se moжe koristi za interaktivni unos podataka, a funkcije disp(), fprintf() i plot() se mogu koristiti za prikaz informacija na ekranu, snimanje u datoteku ili crtanje dijagrama, bax kao i u skript datotekama. Na primer, neka je potrebno da se napixe funkcija koja raquna obim i povrxinu kruga za zadati polupreqnik. To se moжe uraditi na slede i naqin: function [Obim, Povrsina] = krug_op(radijus) % Funkcija vraca obim i povrshinu kruga. % Ulazni argument: radijus (skalar) % Izlazni argumenti: Obim i Povrsina (skalari) Obim = 2*radijus*pi; Povrsina = radijus^2*pi; end Dakle, funkcija ima jedan ulazni i dva izlazna parametra, i svi oni predstavljaju skalare. Primer poziva funkcije bi bio: >> [O,P] = krug_op(3) O = P =

21 4.5 Funkcije 63 Vaжno je voditi raquna o tome da se funkcija pozove sa odgovaraju im brojem argumenata, i da su oni odgovaraju eg tipa. Na primer, poziv >> [O,P] = krug_op Error using krug_op (line 6) Not enough input arguments. rezultuje grexkom, zbog izostavljanja argumenta. Sa druge strane, ukoliko se funkcija pozove na slede i naqin: >> krug_op(3) ans = oqito je da je informacija o drugom izlaznom argumentu izgubljena. U pozivu funkcije ne postoji promenljiva u koju bi se rezultat smestio i saquvao. Prethodni primer se moжe modifikovati tako da funkcija raquna obim i povrxinu za niz ulaznih vrednosti, tj. za vektor ulaznih podataka, tako xto se u izrazu za izraqunavanje povrxine upotrebi elementni operator mnoжenja. function [Obim, Povrsina] = krug_opv(radijus) % Funkcija vraca obim i povrshinu kruga. % Ulazni argument: radijus (vektor) % Izlazni argumenti: Obim i Povrsina (vektori) Obim = 2*radijus*pi; Povrsina = radijus.^2*pi; end Izvrxavanjem naredbi: >> x = 1:5; >> [O,P] = krug_opv(x) O = P = rezultat izraqunavanja funkcije su dva vektora, istih dimenzija kao i ulazni vektor. Zapaжanje 4.1. Kada se poziva neka funkcija, vaжno je znati kakav oblik njenog izlaza se oqekuje, tj. da li je u pitanju skalar, vektor ili matrica; naravno, vaжno je znati i broj izlaznih veliqina. H1 linija i komentari H1 linija i tekst pomo i su linije komentara (linije koje poqinju sa znakom procenta), a koje slede nakon definicione linije funkcije. H1 linija je prva linija komentara i obiqno sadrжi ime i kratak opis funkcije. Kada korisnik u komandnom prozoru otkuca naredbu lookfor neka rech, Matlab traжi req neka rech u H1 linijama svih funkcija, i ako je nađe,

22 64 Programiranje u Matlabu prikazuje H1 liniju u kojoj je req nađena. Linije teksta pomo i su linije komentara koje slede nakon H1 linije. Ove linije sadrжe objaxnjenje funkcije i bilo kakve instrukcije koje se odnose na ulazne i izlazne argumente funkcije. Linije komentara koje se nalaze između definicione linije funkcije i prve linije koja ne predstavlja komentar se prikazuju kada korisnik otkuca u komandnom prozoru help ImeFunkcije. Ovo vaжi i za ugrađene i za korisniqki definisane funkcije. Funkcijska datoteka moжe da sadrжi dodatne linije komentara u telu funkcije, koje se takođe ignorixu pri pozivu naredbe help Radni prostor funkcije U prethodnom izlaganju pomenuta je ideja radnog prostora u kome se quvaju promenljive kreirane u komandnom prostoru i skriptovima. Funkcije takođe imaju svoj memorijski (radni) prostor. Radni prostor funkcije je prostor u memoriji raqunara koji se rezervixe za promenljive koje se kreiraju unutar te funkcije. Ovaj radni prostor nije deo radnog prostora komandnog prozora. To znaqi da nekoj promenljivoj u funkciji moжe biti dodeljeno ime, a da pri tome postoji promenljiva sa istim imenom izvan posmatrane funkcije. Radni prostor funkcije se otvara svaki put kada se funkcija koristi. Zaxto postoje posebni radni prostori za svaku funkciju, a ne jedan, zajedniqki? Iako moжda deluje nelogiqno, postojanje posebnog radnog prostora je svrsishodno za velike projekte, koji se sastoje od velikog broja funkcija. Na primer, ako je jedan programer odgovoran za pisanje funkcije fun_1, a drugi za pisanje funkcije fun_2, nijedan od njih ne mora da zna niti da vodi raquna o imenima promenljivih koje koristi. Namera i jeste da oni rade nezavisno i da ne utiqu jedan na drugog. Prema tome, posebni radni prostori xtite funkciju od spoljaxnjeg uticaja. Iz spoljaxnjosti radnog prostora neke funkcije uticaj na ono xto se u njoj dexava jedino imaju ulazni argumenti funkcije. I obratno, radni prostor funkcije utiqe na spoljaxnjost svojim izlaznim argumentima, kada se funkcija izvrxi Lokalne promenljive Podruqje vaжnosti neke promenljive je radni prostor u kome ona postoji. Sve promenljive u funkcijskoj datoteci (ulazni i izlazni argumenti i bilo koje promenljive kojima se dodeljuju vrednosti u funkcijskoj datoteci) su lokalne promenljive. To znaqi da su ove promenljive definisane i prepoznaju se jedino unutar funkcije. Lokalne promenljive postoje samo dok se funkcija izvrxava: kada se funkcija zavrxi, one prestaju da postoje. Na primer, u slede oj funkciji koja izraqunava sumu elemenata vektora, postoji lokalna promenljiva k. % suma_vect.m function suma = suma_vect(vektor) % suma_vect vraca sumu elemenata datog vektora % Format: suma_vect(vektor)

23 POGLAVLjE 5 Simboliqka matematika Simboliqka matematika podrazumeva bavljenje matematikom nad simbolima, a ne nad brojevima, kao na primer, a + a = 2a. Simboliqke matematiqke funkcije deo su Matlabovog Simboliqkog paketa, koji koristi poseban i nov proizvod MuPAD. Pre njegove pojave i njegovog razvijanja Matlab je kroz stotine razvijenih funkcija koristio Maple za podrxku simboliqkim izraqunavanjima. Danas, funkcionalnost MuPAD jezika, zajedno sa ukljuqenim bibliotekama je znaqajno ispred prvobitnog simboliqkog matematiqkog paketa. Imena i funkcionalnost mnogih funkcija dostupnih u ovom paketu su identiqni funkcijama koje postoje u Matlabu, ali je razlika upravo u tome xto funkcije u simboliqkom paketu rade sa simboliqkim objektima, za razliku od onih u Matlabu, koje rade sa numeriqkim vrednostima. Osnovni element za simboliqke operacije je simboliqki objekt. Simboliqki objekti se sastoje od promenljivih i brojeva koji kada se koriste u matematiqkim izrazima govore Matlabu da izvrxi operacije simboliqki. Ukoliko je potrebno simboliqki izrazi se mogu koristiti i u numeriqkim operacijama. 5.1 Simboliqke promenljive i izrazi Simboliqki objekt moжe biti promenljiva (bez prethodno dodeljene numeriqke vrednosti), broj, ili izraz sastavljen od numeriqkih promenljivih i brojeva. Za kreiranje simboliqkog objekta koristi se funkcija sym() i/ili naredba syms. Ako je ulazni argument funkcije sym() string, rezultat je simboliqki broj ili promenljiva. Za sluqaj da je ulazni argument numeriqki skalar ili matrica, rezultat je simboliqka prezentacija datih numeriqkih vrednosti. Na primer, naredba x=sym( x ) kreira simboliqku promenljivu pod imenom x i smexta rezultat u x. Naredba y=sym( 1/7 ) ili y=sym(1/7) kreira jedan simboliqki broj, qime se izbegava aproksi-

24 78 Simboliqka matematika >> [X Y Z] = solve(4*x-2*y+z==7,'x+y+5*z==10','-2*x+3*y-z==2') X = 124/41 Y = 121/41 Z = 33/ Simboliqka matematiqka analiza Diferenciranje Funkcija diff() se koristi za simboliqko određivanje izvoda funkcija. Iako ova funkcija ima isto ime kao funkcija koja se koristi za numeriqko izraqunavanje konaqnih razlika, Matlab prepoznaje koju funkciju e koristiti u konkretnom sluqaju. Osnovna sintaksa funkcije je diff(f ), pri qemu se vra a izvod izraza funkcije F u odnosu na podrazumevanu nezavisnu promenljivu. >> syms x f >> f = x^3 + 2*x^2-4*x +3 ; >> diff(f) % ili direktno diff(x^3+2*x^2-4*x+3) ans = 3*x^2 + 4*x - 4 Ukoliko funkcija zavisi od vixe promenljivih, onda funkcija raquna parcijalni izvod reda n po izabranoj promenljivoj var, i tada je sintaksa poziva oblika diff(f,var,n). >> syms a x, f = sin(a*x^2); >> dfdx = diff(f) dfdx = 2*a*x*cos(a*x^2) >> dfda = diff(f,a) dfda = x^2*cos(a*x^2) >> d2fdx2 = diff(f,2) d2fdx2 = 2*a*cos(a*x^2) - 4*a^2*x^2*sin(a*x^2) Integraljenje Funkcija int() se pozivom oblika int(expr,var) koristi za određivanje neodređenog integrala simboliqkog izraza expr u odnosu na simboliqku promenljivu var. Funkcija pokuxava da nađe simboliqki izraz I tako da je diff(i,var)=expr. Parametar var je opcioni, i ako se ne navede, funkcija vra a integral izraza expr u odnosu na podrazumevanu nezavisnu promenljivu. Ukoliko integral ne postoji u zatvorenom obliku, ili Mat-

25 5.2 Rexavanje diferencijalnih jednaqina 79 lab ne moжe da ga izraquna iako on postoji, tada se naredba vra a neizvrxena (dakle, onako kako je uneta). Na primer, neodređeni integral funkcije f(x) = 3x 2 1 moжe se na i na slede i naqin: >> syms x >> int(3*x^2-1) ans = x^3 - x Sa druge strane, određeni integral ove funkcije u granicama x = 2 do x = 4 moжe se dobiti sa: >> int(3*x^2-1,2,4) ans = 54 Graniqne vrednosti Graniqne vrednosti funkcije mogu se na i funkcijom limit(), qija je opxta sintaksa limit(expr,x,a), i kojom se raquna graniqna vrednosti izraza expr kada promenljiva x teжi promenljivoj a, tj. lim expr. Parametar x se moжe izostaviti, i onda se koristi podrazumevana promenljiva. x a Na primer, graniqne vrednosti: lim x 2 x 2 x 2 4 = 1 4, lim cos(x + h) cos(x) = sin(x) h 0 h se dobijaju na slede i naqin: >> syms h x >> limit((x-2)/(x^2-4),2) ans = 1/4 >> limit((cos(x+h)-cos(x))/h,h,0) ans = -sin(x) Ukoliko se parametar a izostavi, graniqna vrednost se određuje kada promenljiva teжi nuli. 5.2 Rexavanje diferencijalnih jednaqina Funkcija dsolve() se koristi za rexavanje obiqnih diferencijalnih jednaqina. Razliqiti oblici poziva funkcije određeni su dimenzionalnox- u problema koji se rexava, tj. u zavisnosti da li je u pitanju skalarna diferencijalna jednaqina ili sistem jednaqina, kao i postojanjem ili nepostojanjem poqetnih i graniqnih uslova. Funkcija dsolve() podrazumeva da je unapred definisana nezavisna promenljiva t a ne x, kao kod drugih simboliqkih funkcija.

26 5.2 Rexavanje diferencijalnih jednaqina Rexavanje sistema diferencijalnih jednaqina Sistem diferencijalnih jednaqina moжe se rexiti funkcijom dsolve(), a odgovaraju a sintaksa je: dsolve( eqn1, eqn2,...) Funkcija vra a simboliqko rexenje sistema jednaqina definisanih simboliqkim izrazima eqn1, eqn2, itd. Na primer, sistem jednaqina: ẋ 1 = 3x 1 + 4x 2, ẋ 2 = 4x 1 + 3x 2 ima rexenje x 1 = C 2 e 3t cos 4t + C 1 e 3t sin 4t, x 2 = C 1 e 3t cos 4t C 2 e 3t sin 4t: >> [x1,x2] = dsolve('dx1 = 3*x1 + 4*x2','Dx2 = -4*x1 + 3*x2') x1 = C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t) x2 = C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t) Definisanje poqetnih i graniqnih uslova Poqetni i graniqni uslovi jednaqine se mogu uzeti u obzir pozivom funkcije na slede i naqin: dsolve(eqn,cond1,cond2,...) Ovako pozvana, funkcija vra a simboliqko rexenje diferencijalne jednaqine definisane simboliqkim izrazom eqn, a koje zadovoljava uslove definisane u izrazima cond1, cond2 itd. Ukoliko je zavisna promenljiva na primer x, tada se uslovi definixu na slede i naqin: x(a) = b, Dx(a) = c, D2x(a) = d i sliqno. Ovi uslovi odgovaraju vrednostima x(a), ẋ(a), ẍ(a), itd. Ukoliko je broj uslova manji od reda jednaqine, rexenje e sadrжati i proizvoljne konstante C 1, C 2 itd. Na primer, problem ẋ = sin(at), x(0) = b ima rexenje x = 1 a 1 cos at + b, koje se moжe odrediti na slede i naqin: a >> dsolve('dx = sin(a*t)','x(0) = b') ans = b - cos(a*t)/a + 1/a Dakle, u jednaqini i poqetni uslovi mogu biti simboliqke promenljive. Osim poqetnih uslova, kao u prethodnom primeru, mogu biti definisani i graniqni uslovi, tj. vrednosti zavisnih promenljivih u bilo kom vremenskom trenutku t. Na primer, ẍ + 4x = 0, x(0) = 1, ẋ(π) = 1.

27 POGLAVLjE 6 Operatori i kontrola toka programa Programi razmatrani u prethodnim poglavljima bili su strukturno jednostavni, jer su se naredbe izvrxavale jedna za drugom, onako kako su pisane, bez ikakvog grananja i ponavljanja. Međutim, ve ina programerskih problema nije tako jednostavna. Qinjenica je u stvari, da velika mo programskih jezika dolazi iz njihove mogu nosti da daju instrukcije raqunaru da izvrxi isti zadatak vixe puta, sa ponavljanjem, ili da izvrxi razliqite zadatke ako se određeni parametri menjaju ili su zadovoljeni određeni uslovi. U vixim programskim jezicima ovo se postiжe uz pomo naredbi za kontrolu toka programa. Naredbe za kontrolu toka programa se mogu podeliti u dve osnovne grupe: naredbe za uslovno grananje, i naredbe petlji. Uslovno grananje predstavlja mogu nost odluke da li se određeni kôd izvrxava ili ne, a u zavisnosti od vrednosti nekog izraza. Petlje, ili drugim reqima iteracije, predstavljaju sposobnost da se izvrxi skup istih operacija vixe puta, dok se specijalni zahtev ne zadovolji. U naredbama odluqivanja, grananja, i uopxte u kontroli toka programa, jednu od vaжnih uloga igraju logiqki i relacioni operatori, i o njima e takođe biti reqi u daljem tekstu. 6.1 Relacioni operatori Relacioni operatori (ili operatori poređenja) su operatori odnosa između dveju promenljivih ili izraza, a kao rezultat daju logiqki tip podatka. Oni dozvoljavaju bilo koju varijantu operanada, xto znaqi da se mogu primenjivati između skalara, vektora i matrica, ali i između skalara i matrice (vektora). Takođe, relacioni operatori se mogu primenjivati i na kompleksne brojeve, i u tom sluqaju se upoređuju samo njihovi realni delovi. Dakle, rezultat poređenja skalara primenom relacionih operatora je ili 0 (ako poređenje nije taqno) ili 1 (ako je poređenje taqno), i rezultat

28 6.3 Uslovno grananje 89 poruka o grexkama kod izraza kod kojih bi se u nekim okolnostima to moglo pojaviti (na primer, deljenje nulom). Logiqki operatori se mogu koristiti sa svim numeriqkim tipovima podataka, uzimaju i u obzir da se sve numeriqke vrednosti razliqite od nule tretiraju kao logiqka vrednost true, a vrednost nula se tretira kao logiqka vrednost false. 6.3 Uslovno grananje Uslovno grananje je najosnovniji element za kontrolu toka u bilo kom programskom jeziku. On omogu ava programu da donosi odluke i d odluquje da li e se izvrxiti ili ne e niz naredbi, a na osnovu vrednosti nekog izraza. Kako se vrednost ovog izraza moжe razlikovati sa razliqitim izvrxavanjima programa, pomenuta karakteristika omogu ava da program reaguje dinamiqki na razliqite podatke. U Matlabu se uslovno izvrxavanje programa postiжe kljuqnim reqima if, else i elseif If uslov Oblik jedne if naredbe je veoma jednostavan. Nakon kljuqne reqi if sledi jedan logiqki izraz, koji se drugaqije i naziva uslov if iskaza. Ukoliko uslov ima vrednost true (1), izvrxava se niz naredbi koje slede iza iskaza if, sve do iskaza end (grupa naredbi iz sintakse). U suprotnom, ako je logiqka vrednost izraza uslov false, program preskaqe grupu naredbi između if i end, i izvrxavanje programa se nastavlja prvom naredbom iza kljuqne reqi end. if uslov grupa naredbi end Izraz uslov nakon kljuqne reqi if moжe biti sloжen izraz koji se sastoji od relacionih i/ili logiqkih operatora. Xto se tiqe dimenzija, moжe biti skalar, vektor ili matrica. Struktura if-else omogu ava izvrxavanje jedne od dve mogu e grupe naredbi, a u zavisnosti od istinitosne vrednosti uslova if iskaza i njen opxti oblik je (slika 6.1): if uslov grupa naredbi 1 else grupa naredbi 2 end Ako izraz uslov nakon kljuqne reqi if ima vrednost true, izvrxava se niz naredbi oznaqen sa grupa naredbi 1, koji se nalazi između kljuqnih reqi if i else, a zatim se preskaqu ostale naredbe do iskaza end. Ukoliko je vrednost izraza uslov false, program preskaqe naredbe do iskaza else, a zatim izvrxava niz naredbi oznaqen sa grupa naredbi 2 između else i end.

29 6.4 Petlje 93 definixe kada petlja poqinje. Nasuprot tome, kod while petlje broj prolaza nije poznat unapred i proces ponavljanja petlje se nastavlja sve dok se specificirani uslov ne zadovolji. Obe vrste petlje mogu se prekinuti u bilo kom trenutku naredbom break For petlja For petlja izvrxava naredbu ili niz naredbi unapred određeni broj puta. Struktura for petlje je jednostavna i njen opxti oblik je: for indeks petlje = vrednosti grupa naredbi end Prva linija identifikuje petlju i definixe promenljivu indeks petlje, koja se naziva promenljiva petlje ili indeks petlje, a predstavlja broj qija se vrednost menja tokom prolaska kroz petlju. Izraz vrednosti, koji moжe biti vektor ili matrica, predstavlja skup vrednosti koje promenljiva indeks petlje uzima dok se petlja izvrxava. Suxtinski, broj elemenata u vektoru vrednosti (ili broj kolona, ukoliko je u pitanju matrica) određuje broj prolazaka kroz petlju. Naredba ili grupa naredbi koja sledi, oznaqena sa grupa naredbi, naziva se telo petlje, i ono se izvrxava pri svakom prolazu. Kljuqna req end identifikuje kraj for petlje. Petlja se izvrxava jedanput za svaku vrednost promenljive indeks petlje. U primeru: for k = [ ] x = k^2; fprintf(' %d', x) end fprintf('\n') promenljiva k predstavlja indeks petlje, a vektor [ ] predstavlja skup vrednosti. Tokom prvog prolaza kroz petlju promenljiva k ima vrednost 1, xto je prva vrednost iz vektora vrednosti. U telu petlje se raquna kvadrat promenljive k i dodeljuje promenljivoj x, a potom se vrednost promenljive x xtampa na ekranu. Tokom slede eg prolaza vrednost k se menja na vrednost 3, xto je druga vrednost u vektoru vrednosti, i izvrxava se ponovo telo petlje. Pri svakom prolasku kroz petlju vrednost promenljive k se menja i dodeljuju joj se slede a vrednost iz promenljive vrednosti. Izvrxavanjem skripta dobija se: U prethodnom primeru indeks petlje je uzimao vrednosti iz vektora, između qijih elemenata ne postoji nikakva uoqljiva zavisnost. Međutim, najqex e je primena for petlje u slede em obliku (slika 6.3): for k = m:s:n grupa naredbi end Dakle, vektor vrednosti ovde predstavlja vektor sa osobinom da je razlika između dva susedna elementa konstantna i jednaka s. Izraz m:s:n dodeljuje

30 94 Operatori i kontrola toka programa indeksu petlje k poqetnu vrednost m koja se tokom svakog prolaza pove ava za s, pa se veliqina s naziva korak petlje. Petlja se zavrxava kada vrednost indeksa k dostigne vrednost n. U tom sluqaju, program se ne vra a vixe na naredbu for, ve nastavlja sa izvrxavanjem prve slede e naredbe iza kljuqne reqi end. Na primer, ako je k = 1 : 3 : 10, bi e 4 prolaza kroz petlju, a vrednosti indeksa k u prolazima kroz petlju su 1, 4, 7 i 10, sledstveno. Korak petlje k moжe biti i negativan. Tako, na primer, k = 20 : 5 : 10 rezultuje sa 3 prolaza u kojima je k = 20, 15, 10. Ukoliko nije zadat korak petlje, podrazumeva se da je on jednak 1. Ako je for (ulaz) k = m m = n, petlja e se izvrxiti samo jednom. U sluqaju da je m > n i s > 0, ili pak k > n m < n i s < 0, petlja se ne e izvrxiti k = k + s nijednom. Specijalno, ako su vrednosti false true k, s i n takve da k ne moжe biti jednako n, ukoliko je korak s pozitivan, poslednji grupa naredbi prolaz e se izvrxiti kada k ima najve u vrednost koja je manja od n. Na primer, k = 1 : 2 : 6 daje 3 prolaza u kojima je k = 1, 3, 5. Ako s ima negativnu vrednost, end (izlaz) poslednji prolaz e se izvrxiti kada k Slika 6.3: Dijagram toka for petlje ima najmanju vrednost koja je ve a od n. I treba napomenuti svakoj naredbi for u programu mora biti dodeljena odgovaraju a kljuqna req end. Kada se petlja zavrxi, indeks petlje ima poslednju dodeljenu mu vrednost. Matrica kao indeks petlje Indeks petlje moжe biti i matrica, za razliku od prethodnih primera gde je to bio vektor. Na primer, neka je data matrica A tipa m n. Naredbe for k = A grupa naredbi end dodeljuje indeksu k vektor A(:, i), gde i predstavlja teku i broj iteracije petlje, odnosno prolaza petlje. U prvom prolazu, k je jednako A(:, 1), u drugom k = A(:, 2), u i-tom k = A(:, i) i sve do k = A(:, n). Dakle, broj prolaza je jednak broju kolona matrice A, a u svakom prolazu indeks k predstavlja odgovaraju u kolonu matrice A. Jedan takav primer je: >> A = [1 2 3; 4 5 6] A = >> for k = A, y = 2*k, end y = 2 8

31 POGLAVLjE 9 Aproksimacija i interpolacija 9.1 Opxti problem aproksimacije Neka je funkcija f : X R, X R funkcija realne promenljive. Problem aproksimacije funkcije f( ) svodi se na određivanje neke druge funkcije ϕ(x) = ϕ(x; a 0, a 1,..., a m ) koja zavisi od m + 1 parametara a 0, a 1,..., a m, tako da vaжi ϕ(x) f(x). Funkcija ϕ( ) se naziva aproksimaciona funkcija. U praksi se problem aproksimacije moжe javiti iz dva razloga. Prvi je xto analitiqki oblik funkcije f( ), iako je poznat, moжe biti veoma komplikovan, pa je izraqunavanje njenih vrednosti sloжeno. Sa druge strane, analitiqki oblik funkcije nije poznat, ve su poznate samo vrednosti funkcije na nekom skupu taqaka. To je qest sluqaj u mnogim nauqnim i inжenjerskim primenama, kada se podaci prikupljaju u eksperimentima pri raznim merenjima razliqitih fiziqkih veliqina, na primer kod eksperimentalnih određivanja statiqkih karakteristika, kao xto je sluqaj kod krive sila-izduжenje u postupku određivanja krutosti opruge, i sliqno. Jedan od osnovnih problema aproksimacije je kako odrediti, odnosno izabrati funkciju aproksimacije. U principu, sve aproksimacione funkcije se mogu podeliti na linearne i nelinearne. Opxti oblik linearne aproksimacione funkcije je ϕ(x) = a 0 ϕ 0 (x) + a 1 ϕ 1 (x) a m ϕ m (x), (9.1) pri qemu sistem funkcija ϕ k ( ) zadovoljava određene osobine. Ovde se pojam linearne funkcije odnosi na linearnost po parametrima a i, i = 0, 1,..., m, a dobra strana ovog oblika aproksimacije je xto se određivanje parametara svodi na sisteme linearnih jednaqina.

my_lauluema

my_lauluema Lauluema Lehiste toomisel A. Annisti tekst rahvaluule õhjal Ester Mägi (1983) Soran Alt q = 144 Oh se da ke na ke va de ta, ae ga i lust üü ri kes ta! üü ri kes ta! 3 Ju ba on leh tis lei na kas ke, hal

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Kõrvalefektid ja Haskell Kõik senised programmid on olnud ilma kõrvalefektideta; so. puhtalt funktsionaalsed. Programmi täitmise ainsaks efektiks on tema väartus. Osade ülesannete jaoks on kõrvalefektid

Rohkem

PHP

PHP PHP Autorid: Aleksandr Vaskin Aleksandr Bogdanov Keelest Skriptikeel skript teeb oma tööd pärast seda, kui toimus mingi sündmus* Orienteeritud programmeerija eesmärkide saavutamiseks (mugavus on tähtsam

Rohkem

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU

ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU ACU000003 ACU000005 ACU000006 ACU000012 ACU000014 ACU000016 ACU000017 ACU000019 ACU000020 ACU000024 ACU000025 ACU000026 ACU000028 ACU000029 ACU000035 ACU000037 ACU000038 ACU000040 ACU000041 ACU000043 ACU000046

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

untitled

untitled Riistvara kirjelduskeel VHDL L4, L5. Riistvara kirjelduskeel VHDL L6. Mäluga süsteemid VHDL-s L7. VHDL ja süntees 1 Atribuudid Atribuut on väärtus, funktsioon, tüüp, vahemik, signaal või konstant, mida

Rohkem

untitled

untitled TÄNA LEHES Kih nu tu letorn saab ka su tus loa Viiu li fes ti va li raa mes toi mub gur mee nä dal Va na Rand ma ajal oli nii! Mee leo lu kas reis folk loo rifes ti va li le Kree kas se Eve lin Il ves

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1

KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1 KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1 KUULA JA KORDA Inglise keel 1 Koostanud Kaidi Peets Teksti lugenud Sheila Süda (eesti keel) Michael Haagensen (inglise keel) Kujundanud Kertu Peet OÜ Adelante Koolitus, 2018

Rohkem

Pealkiri

Pealkiri Andmebaasid II praktikum Andmebaaside administreerimine Andmete sisestamine KESKKOND, KASUTAJAD, ÕIGUSED Mõisted Tabelid, vaated, trigerid, jpm on objektid Objektid on grupeeritud skeemi Skeemid moodustavad

Rohkem

(loeng3-ohtlikud_koodiloigud)

(loeng3-ohtlikud_koodiloigud) #include int main (void) uint8_t arr[] = 0x11, 0x22 uint16_t *ptr; ptr = (uint16_t*)&arr[0]; printf ("arr: 0x%02x, 0x%02x\n", arr[0], arr[1]); printf ("ptr: 0x%04x\n", *ptr); /* vigane pointeri

Rohkem

loeng2

loeng2 Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)

Rohkem

MTAT Operatsioonisüsteemid - Turvalisus

MTAT Operatsioonisüsteemid - Turvalisus Regulaaravaldised ja skriptimine Windows ja UNIX operatsioonisüstemides WINDOWS 1. slaid Windows käsurida Käsureaks nimetan programme: cmd.exe powershell.exe command.com (tänapäevastes OS ei kasutata)

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS detsember 2017 nr. 11 (199) Tai vi Ve sik, abi val la va nem Mi da põ ne vat tõi lõp pev Kih nu kul tuu ri ka lend ri kohta ar mas tan öel da, et see on kir ju na gu Kih

Rohkem

Microsoft Word - Referaat.docx

Microsoft Word - Referaat.docx Tartu Ülikool Andmeturve Referaat teemal: CVE-2016-1499 Koostaja: Sander Sats Kursus: Informaatika Tartu 2016 Sissejuhatus Käesolev referaat on kirjutatud seoses Tartu Ülikooli kursuse MTAT.03.134 Andmeturve

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS märts 2011 nr. 3 (125) TÄNA LEHES Kihnlased, tulge üldkogule Saare preemia sai Reene Leas Pillilaagris alustati lõõtsaõppega Kihnu on taas meretagune maa Muuseumis koolitati

Rohkem

Komisjoni teatis dumpinguvastaste tollimaksude tagasimaksmise kohta

Komisjoni teatis dumpinguvastaste tollimaksude tagasimaksmise kohta 29.5.2014 ET Euroopa Liidu Teataja C 164/9 V (Teated) ÜHISE KAUBANDUSPOLIITIKA RAKENDAMISEGA SEOTUD MENETLUSED EUROOPA KOMISJON Komisjoni teatis dumpinguvastaste tollimaksude tagasimaksmise kohta (2014/C

Rohkem

Miksikese_e_tanukiri_2017_sugissprint_klassid_2

Miksikese_e_tanukiri_2017_sugissprint_klassid_2 Narva Soldino Gümnaasiumi 2.c klassi võistkond osales edukalt Miksikese online võistluses Осенний Спринт 2017 ja saavutas 2. klasside arvestuses I. koha Miksikese õppekeskkond tänab 2.c klassi õpetajat!

Rohkem

Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta

Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS oktoober 2011 nr. 9 (131) TÄNA LEHES Pil di võist lu se Kih nu aas ta rin pa re mi kust sai sü dam lik ka len der Val la va nem sel gi tab pi ka le ve ni nud tee dee hi tu

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS juuni 2015 nr. 6 (170) Õpe ta ja Er le Oad ja tä na vu sed lõ pe ta ja jad Lo vii sa Laa rents, Me ri lin Saa re, Kel li Mä tas, Car men Laos, Ar let Tam mik, San der Saa

Rohkem

MTAT Operatsioonisüsteemid - Turvalisus

MTAT Operatsioonisüsteemid - Turvalisus Regulaaravaldised ja skriptimine Windows ja UNIX operatsioonisüstemides WINDOWS 1. slaid Windows käsurida Käsureaks nimetan programme: cmd.exe powershell.exe command.com Nendesse saab kirjutada käske,

Rohkem

ISS0010_5osa_2018

ISS0010_5osa_2018 Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!

Rohkem

Print\A4\RaceLandscape.pmt

Print\A4\RaceLandscape.pmt Heat laps. start..8 : Race ( ) started at :: Start BMW M E Samsonas Motorsport :. 8.98..8. Ligur Racing :.9.9.9 8... Opel Ascona Vändra TSK :9.8.8 :.8 8..8 9.9 :.9..8.9 8.99 8.9 BMW 8IS :.9..99.. :8.8

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

AWK Aho Weinberger Kernighan struktuurse teksti töötlemise keel rikkalikult tekstitöötlusvahendeid omal alal suhteliselt lihtne ja kiiresti realiseeri

AWK Aho Weinberger Kernighan struktuurse teksti töötlemise keel rikkalikult tekstitöötlusvahendeid omal alal suhteliselt lihtne ja kiiresti realiseeri AWK Aho Weinberger Kernighan struktuurse teksti töötlemise keel rikkalikult tekstitöötlusvahendeid omal alal suhteliselt lihtne ja kiiresti realiseeritav AWK kasutusalad raportite genereerimine ühest formaadist

Rohkem

Print\A4\LMergeQualify.PMT

Print\A4\LMergeQualify.PMT Sorted on Best Lap time WD NOORED - AJAD PEALE KOLMANDAT VOORU 0 Joonas PALMISTO Tom ADAMSON Andri KUTSAR Romet REISIN Karl-Kenneth NEUHAUS Marten PÕDER Sten IVANOV Oliver KURG Henri KUTSAR R. Best Tm

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS mai 2019 nr. 5 (215) TÄNA LEHES Meenesaak oli muljetavaldav Eakate kodu eskiisprojekt sai kaante vahele Kihnu Keretäüs kostitab külalisi Tuuleroos näitas head taset Silvia

Rohkem

(Tõrked ja töökindlus \(2\))

(Tõrked ja töökindlus \(2\)) Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu

Rohkem

1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine

1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine http://kodu.ut.ee/~kiho/ads/praktikum/ 4. PSK Paisksalvestus. Loendamine Mõisteid Paisktabel (Hashtable, HashMap) Paisktabeli kasutamine loendamisülesannetes Paiskfunktsioon, kollisoonid (põrked) Praktikumitööd

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

untitled

untitled NR 3 2019 (305) Nr 3/4 (116) 2019 Ajakiri Meremees on Eesti Mereakadeemia, merendusettevõtete ja -organisatsioonide toel ilmuv ajakiri. Sisukord Meremees on Eesti merendusajakiri, mida antakse välja 1989.

Rohkem

untitled

untitled Nr. 3 (176) / märts 2011 Palju õnne, lauluvõistlus! 18. märt sil toimus Tõs ta maa rah va ma jas to re juu be li hõn guli ne 15. val la noor te so listi de kon kurss Muu si ka meid kõi ki seob... Laul

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS detsember 2012 nr. 10 (143) TÄNA LEHES Lõp pev aas ta val la ma ja poolt vaa da tes Kih nu uus pe rearst Kat rin Sih ver teeks mee lel di väi ke lae va - kap te ni pa be

Rohkem

SK-3MD

SK-3MD SK-MD KENWOOD CORPORATION COMPACT DIGITAL AUDIO TEXT B60-57-0 0 MA (J) FE 00 JA 57/0-/JA** Page.07.00, :6 amadobe PageMaker 6.5J/PPC JA JA 6 5 5 6 8 55 56 58 60 6 6 66 67 68 69 69 7 7 76 0 5 8 0 7 8 5

Rohkem

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu

Rohkem

D1003_EXTERIOR_DOOR_UK_SE_NO_DK_FI_EE_LV_LT_RU_02_WEB

D1003_EXTERIOR_DOOR_UK_SE_NO_DK_FI_EE_LV_LT_RU_02_WEB UK SE NO DK FI EE LV LT RU EXTERIOR DOORS INSTALLATION INSTRUCTION MONTERINGSANVISNING YTTERDÖRRAR MONTERINGSANVISNING YTTERDØRER MONTAGEVEJLEDNING YDERDØRE ULKO-OVEN ASENNUSOHJE VÄLISUSTE PAIGALDUSJUHEND

Rohkem

untitled

untitled detsember 2018 / nr. 11 (210) 2 Kih nu pi dut ses ma ja PUAEK KÕR GÕ, VAL GÕ NA GU JUÕES, NÄÜ TÄB KÄ DE, KUS OND KUÕES. LAE VAD, ET KÕIK JÕ VAKS RAN DA PAE LU NÄIN, KÕIK TULN TAL KAN DA! Män ni El me Vee

Rohkem

PowerPointi esitlus

PowerPointi esitlus Regulaaravaldised ja skriptimine Windows ja UNIX operatsioonisüsteemides WINDOWS 1. slaid Windows käsurida Käsureaks nimetan programme: cmd.exe powershell.exe Nendesse saab kirjutada käske, millega näiteks

Rohkem

Outlookist dokumendi registreerimine Plugina seadistamine Dokumendi registreerimine Outlookist Vastusdokumendi registreerimine Outlookist Outlooki plu

Outlookist dokumendi registreerimine Plugina seadistamine Dokumendi registreerimine Outlookist Vastusdokumendi registreerimine Outlookist Outlooki plu Outlookist dokumendi registreerimine Plugina seadistamine Dokumendi registreerimine Outlookist Vastusdokumendi registreerimine Outlookist Outlooki plugina ikoon on kadunud Outlooki kasutajad saavad dokumente

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS aprill 2015 nr. 4 (168) TÄNA LEHES Arstid ootavad kihnlasi vastuvõtule Raske teekond karikani Sadamasse viiv tee saab korda Kellele kuulub kalapüügiõigus? Mihklikuuks korstnad

Rohkem

X Window System tuntud kui: X11 X X-Windows akendussüsteem/akendesüsteem rastergraafikat toetavatele ekraanidele UNIX-maailmas väga levinud mitmesugus

X Window System tuntud kui: X11 X X-Windows akendussüsteem/akendesüsteem rastergraafikat toetavatele ekraanidele UNIX-maailmas väga levinud mitmesugus X Window System tuntud kui: X11 X X-Windows akendussüsteem/akendesüsteem rastergraafikat toetavatele ekraanidele UNIX-maailmas väga levinud mitmesugused realisatsioonid ka Windowsile erinevad realisatsioonid

Rohkem

Targocid Art 30 - CHMP Opinion

Targocid Art 30 - CHMP Opinion I lisa Ravimi te, ravimvormide, tugevuste, manustamisviiside, taotlejate, müügiloa hoidjate loetelu liikmesriikides 1 Belgia Belgia Bulgaaria Tšehhi GmbH, Targocid 100 mg Leonard-Bernstein-Straße Trockenstechampullen

Rohkem

Microsoft Word - polkaudio 2010 hinnakiri

Microsoft Word - polkaudio 2010 hinnakiri polkaudio 2010 hinnakiri HINNAKIRI 2010 Kirjeldus Viimistlus Hinna Hind EEK Hind ühik 20%km 20%km naturaalne LSi SEEERIA spoon LSi 15 Põrandakõlar või kirss tk. 11344 725 LSi 9 Riiulikõlar või kirss paar

Rohkem

E-õppe tehnoloogiad kõrgkoolis E-learning Technologies in Higher Education MTAT

E-õppe tehnoloogiad kõrgkoolis E-learning Technologies in Higher Education MTAT Interaktiivsusest e-õppes Anne Villems Seneca (4.-56.a. m.a.j.) Mitte sellepärast me ei söanda uusi asju katsetada, et asjad on keerulised, vaid kuna me ei söanda neid katsetada, on nad keerulised. It

Rohkem

Microsoft PowerPoint - K ja Kr L 16a.pptx

Microsoft PowerPoint - K ja Kr L 16a.pptx 6. Krüpteerimisealgoritmid ja meetodid. Sümmeetriline rüptisüsteem. Avaliu võtmega rüpteerimine 3. Digitaalne alliri (asümmeetrilise rüpteerimise alusel, lisas asutatase veel paisefuntsiooni adresseerimises)

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

untitled

untitled Nr. 2 (175) / veebruar 2011 Tõstamaa valla 2011. aasta vapimärgi kavalerid Eili Oks tub li ja töö kas va nae ma, kes on suu re pa nu se and nud seits me oo tama tult va ne mad kao ta nud lap se lap se

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp: Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete

Rohkem

Kokku Nimi jrk Võistkond Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkt

Kokku Nimi jrk Võistkond Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kokku Nimi jrk Võistkond Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK Punkte AVK 1 Ägedad 13 186.6 7 172.60 188.93

Rohkem

Põhiekraani mõistmine Põhiekraanil kuvatakse sonari andmed, mida on tõlgendanud Deeperi rakenduses. Ekraani ülaosa vastab teie Deeperi lähimale osale.

Põhiekraani mõistmine Põhiekraanil kuvatakse sonari andmed, mida on tõlgendanud Deeperi rakenduses. Ekraani ülaosa vastab teie Deeperi lähimale osale. Põhiekraani mõistmine Põhiekraanil kuvatakse sonari andmed, mida on tõlgendanud Deeperi rakenduses. Ekraani ülaosa vastab teie Deeperi lähimale osale. Ekraani allosas on vee sügavus ja põhi. Sonari andmete

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Esitluspäev Eesti Taimekasvatuse Instituudis 10. juuli 2018 Talirukki sordi ja aretiste tavaviljeluse võrdluskatse 2018 (10 katsevarianti) Asukoht: Võ

Esitluspäev Eesti Taimekasvatuse Instituudis 10. juuli 2018 Talirukki sordi ja aretiste tavaviljeluse võrdluskatse 2018 (10 katsevarianti) Asukoht: Võ Esitluspäev Eesti Taimekasvatuse Instituudis 10. juuli 2018 Talirukki sordi ja aretiste tavaviljeluse võrdluskatse 2018 (10 katsevarianti) Asukoht: Võduvere (fotol nr 1) Põllumassiivi nr: 63951595991 1.

Rohkem

Asendab akusid: Sobib mudelitele: COMPAQ COMPAQ COMPAQ Presario A Presario C700EM HSTNN-DB42 Presario C700ET Presa

Asendab akusid: Sobib mudelitele: COMPAQ COMPAQ COMPAQ Presario A Presario C700EM HSTNN-DB42 Presario C700ET Presa Asendab akusid: Sobib mudelitele: COMPAQ COMPAQ 436281-241 COMPAQ Presario A900 452057-001 Presario C700EM HSTNN-DB42 Presario C700ET 436281-141 Presario C700LA 441243-141 Presario C700 Series 441462-251

Rohkem

Manual PC 9 D,GB,F

Manual PC 9 D,GB,F 289105/2 SIGMA PULSOMEETER PC 9 PULS COMPUTER TOPLINE G E R M A N Y WWW.SIGMASPORT.COM WWW.SIGMASPORT.COM PC 9 SIGMA EUROPA: SIGMA Elektro GmbH Dr.- Julius-Leber-Straße 15 D-67433 Neustadt a.d.w. Tel.

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS veebruar 2019 nr. 2 (212) Kih nu tä nab ja tun nus tab VAL LA AU KO DA NIK - Maa ja Va di Aus tu sa val du se na Kih nu val la le osuta tud väl ja paist va te tee ne te eest

Rohkem

untitled

untitled TÄNA LEHES Pat riarh üt les kõi gi le kihn las te le ter vi tus toos ti Koo li juht rää gib uue koo liaas ta oo tus test Pil liõ pe on pai su nud pä ri muskoo liks Suiaeg sai lä bi Ter vi se - kes ku ses

Rohkem

Sissejuhatus Informaatikasse Margus Niitsoo

Sissejuhatus Informaatikasse Margus Niitsoo Sissejuhatus Informaatikasse Margus Niitsoo Saagem tuttavaks Minu nimi on Margus Niitsoo Informaatika doktorant Teoreetiline krüptograafia 23 Vallaline Hobid: Basskitarr, Taiji, Psühholoogia Saagem tuttavaks

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Tartu_seminar_2008_1 [Read-Only]

Microsoft PowerPoint - Tartu_seminar_2008_1 [Read-Only] Fundamentaalne analüüs Sten Pisang Tartu 2008 Täna tuleb juttu Fundamentaalse analüüsi olemusest Erinevatest meetoditest Näidetest 2 www.lhv.ee Mis on fundamentaalne analüüs? Fundamentaalseks analüüsiks

Rohkem

Conseil UE Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 30. november 2016 (OR. en) 14723/16 PROTOKOLLI KAVAND 1 Teema: LIMITE PUBLIC PV/CONS 61 EDUC 391 JEUN 103 CU

Conseil UE Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 30. november 2016 (OR. en) 14723/16 PROTOKOLLI KAVAND 1 Teema: LIMITE PUBLIC PV/CONS 61 EDUC 391 JEUN 103 CU Conseil UE Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 30. november 2016 (OR. en) 14723/16 PROTOKOLLI KAVAND 1 Teema: LIMITE PUBLIC PV/CONS 61 EDUC 391 JEUN 103 CULT 115 AUDIO 129 SPORT 84 Euroopa Liidu Nõukogu 3502.

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 20. juuli 2015 (OR. en) 10173/15 ADD 1 PV/CONS 36 ECOFIN 531 PROTOKOLLI KAVAND Teema: Euroopa Liidu Nõukogu istun

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 20. juuli 2015 (OR. en) 10173/15 ADD 1 PV/CONS 36 ECOFIN 531 PROTOKOLLI KAVAND Teema: Euroopa Liidu Nõukogu istun Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 20. juuli 2015 (OR. en) 10173/15 ADD 1 PV/CONS 36 ECOFIN 531 PROTOKOLLI KAVAND Teema: Euroopa Liidu Nõukogu 3399. istung (MAJANDUS- JA RAHANDUSKÜSIMUSED) 19. juunil 2015

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS september 2015 nr. 8 (172) Oh kooliaeg, oh kooliaeg... Kihnu Kooli 1. klassis alustab tänavu kuus koolilast: Rasmus Reier, Mattias Laos, Marten Vesik, Mia Vesik, Anna- Liidia

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Slide 1

Slide 1 TÖÖTUBA: ÕPIRÄNDE TUNNISTUSE TÄITMINE Margit Paakspuu 5163 Töötoa ülesehitus 1. Kellele ja milleks me õpirände tunnistusi väljastame? 2. Õpirände tunnistuse väljastamise protseduur 3. Õpirände tunnistuse

Rohkem

Pealkiri

Pealkiri Graafilised mudelid ja nende koostamise vahendid MS Visio MYSQL Workbench (DB Designer) ER/Studio Data Architect Sybase PowerDesigner GRAAFILINE MODELLEERIMINE Mudel ja modelleerimine 3 11/3/2015 Matemaatiline

Rohkem

untitled

untitled 20 aastat Tõstamaa valda ERI Nr. 5 (187) / juuni 2012 Armastatud koduvallale mõeldes juu nil 2012 möö dub 20 aas tat Tõs ta maa 17. val la oma va lit sus liku staa tu se taas kehtes ta mi sest. Aja loos

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

D1003_EXTERIOR_DOOR_UK_SE_NO_DK_FI_EE_LV_LT_RU_02_NEUTRAL_WEB

D1003_EXTERIOR_DOOR_UK_SE_NO_DK_FI_EE_LV_LT_RU_02_NEUTRAL_WEB UK SE NO DK FI EE LV LT RU EXTERIOR DOORS INSTALLATION INSTRUCTION MONTERINGSANVISNING YTTERDÖRRAR MONTERINGSANVISNING YTTERDØRER MONTAGEVEJLEDNING YDERDØRE ULKO-OVEN ASENNUSOHJE VÄLISUSTE PAIGALDUSJUHEND

Rohkem

Statistiline andmetöötlus 1997

Statistiline andmetöötlus 1997 STAT97FK STATISTILINE ANDMETÖÖTLUS MÕÕTMISTULEMUSTE TÖÖTLEMINE LOENGUD 997 TEHNILISED MÄRKUSED: Tekst peab olema hõlpsalt.5 või 2 korda vähendatav. Selleks reeglid:. Reavahe defineeritud ainult kui multiple.

Rohkem

untitled

untitled VÄLJAANDJA KIHNU VALLAVALITSUS aprill 2019 nr. 4 (214) Käib töö ja naer koos! Met sa maa pä ri mus talus pee ti ap ril li viima sel nä da la va hetu sel ku du mis fes ti va li, kus paar küm mend kä si

Rohkem

AJAKAVA Reede, 6. märts :00 Üleriigilise vokaalansamblite konkursi avamine 13:30 Lõunasöök 14:30 I kontsert IV V kl 1 Erahuvialakool Meero Muus

AJAKAVA Reede, 6. märts :00 Üleriigilise vokaalansamblite konkursi avamine 13:30 Lõunasöök 14:30 I kontsert IV V kl 1 Erahuvialakool Meero Muus AJAKAVA Reede, 6. märts 2015 13:00 Üleriigilise vokaalansamblite konkursi avamine 13:30 Lõunasöök 14:30 I kontsert IV V kl 1 Erahuvialakool Meero Muusik NELJAD-VIIED juhendaja Anu Lõhmus 2 Kuressaare Gümnaasiumi

Rohkem