Lahendused. siia eespool saadud võrdused a = 4c ja b = 2c saame, et c = 3 (k 5c),

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Lahendused. siia eespool saadud võrdused a = 4c ja b = 2c saame, et c = 3 (k 5c),"

Väljavõte

1 Ø ÄÎÁ Ñ Ø Ñ Ø ÓÐ ÑÔ ¾ º ÑÖØ ¾¼¼ Ä ÔÔÚÓÓÖ º Ð Lahendused ½º Vastus: 45%. Lahendus 1. Olgu koerte koguarv k, haukuvate koerte arv a ja hammustavate koerte arv b ning olgu c nende koerte arv, kes nii hauguvad kui ka hammustavad. Siis vastavalt ülesande tingimustele a c = 3 (b c) ning c b = c a, ehk a c = b, kust a = b. Asendades selle esimesse võrdusse, c saame b c = 3b 3c, ehk b = c ning a = b = 4c. Ülesande viimasest tingimusest saame, et c = 3 5 (k (a+b c) ). Asendades siia eespool saadud võrdused a = 4c ja b = c saame, et c = 3 (k 5c), 5 kust c = 3 0 k ning a c = 3c = 9 k. Haukuvaid koeri, kes ei hammusta, 0 on niisiis = 45 protsenti kõigist Oskari ümbruskonna koertest. 0 Lahendus. Olgu hammustavate, aga mitte haukuvate koerte arv x, siis haukuvate, aga mitte hammustavate koerte arv on 3x. Tähistame haukuvate ja hammustavate koerte arvu tähega z, siis annab ülesande teine tingimus, et z 3x + z = z. Siit järeldub, et x+ z = 3x+ z, millest z = x. x + z Niisiis on haukuvate ja hammustavate koerte arv samuti x. Olgu nüüd koerte arv, kes ei hammusta ega haugu, y. Ülesande viimase tingimuse põhjal on hammustavate ja haukuvate koerte arv 0,6y, millest saame x = 0,6y ehk 3x = 1,8y. Koeri on kokku 1,8y + 0,6y + 0,6y + y = 4y, millest haukuvaid koeri, kes ei hammusta, on 1,8y 100% = 45%. 4y ¾º Lahendus 1. Paneme tähele, et ABF CLF ja ABE KCE sarnasusteguriga (joonis 1). Tõepoolest, BF A = LFC ja BE A = CEK (tippnurgad) ning ülesande tingimuste põhjal AF = CF, BE = CE, BF = LF ja AE = K E. Saadud sarnasustest järeldub, et LC ja CK on paralleelsed lõiguga AB ning LC = CK = AB. Seega asuvad punktid L, C ja K ühel sirgel, kusjuures LK = AB ja LK AB. Järelikult on nelinurk ABK L rööpkülik. 1

2 Lahendus. Vahetult ülesande tingimustest järelduvad järgmised sarnasused: ABC F EC sarnasusteguriga 3; AKC AEF sarnasusteguriga 3 ; BCL BEF sarnasusteguriga 3. 3 Siit järeldub, et 3 EF = AB, EF = KC ning 3 EF = CL, kusjuures lõik EF, aga siis ka lõigud KC ning CL on paralleelsed lõiguga AB. Kokkuvõttes asuvad punktid K, C ja L ühel sirgel, K L AB, kusjuures K L = KC + CK = 3 EF = AB. Järelikult on nelinurk ABK L rööpkülik. Lahendus 3. Olgu N sirgete BC ja AL lõikepunkt, M sirgete AC ja BK lõikepunkt. Kuna BF F L = AF =, on BL ja AC kolmnurga AB N mediaanideks ning LC on küljele AB vastav kesklõik: LC AB ning AB = LC. FC Sarnaselt on BC ja AK kolmnurga AB M mediaanideks ning C K küljele AB vasavaks kesklõiguks: CK AB ning AB = CK. Seega L, C ja K asuvad ühel sirgel, LK AB ning LK = AB. Järelikult on nelinurk ABK L rööpkülik. º Lahendus 1. a) Sobivad maagilised arvud on näiteks 1,, 13, 114, 1115, 11116, , , ja b) Paneme tähele, et mistahes naturaalarvust, mille numbrite korrutis on numbrite summast suurem, saame maagilise arvu, lisades sellele sobiva arvu numbreid 1. Tõepoolest, iga numbri 1 lisamine suurendab arvu numbrite summat 1 võrra, jättes numbrite korrutise muutmata. Nüüd piisab tähele panna, et mistahes naturaalarvu n korral arvu }{{... } numbrite korrutis n on kas võrdne numbrite summaga n (kui n = 1 või n = ) või n sellest suurem (kui n > ), st sobiva arvu numbrite 1 lisamisel saame sellest vähemalt n-kohalise maagilise arvu. L C K F E A B Joonis 1

3 Lahendus. b) Piisab näidata, et iga maagilise naturaalarvu m > 1 korral leidub sellest suurema kümnendkohtade arvuga maagiline naturaalarv m. Tõepoolest, lisame arvule m lõppu esmalt numbri (sellega suureneb numbrite summa võrra ja numbrite korrutis korda, st vähemalt võrra) ning seejärel sobiva arvu numbreid 1, nii et saame jällegi maagilise arvu. º Vastus: Jah, Jukul. Lahendus. Paneme tähele, et teisel mängijal ei ole võimalik alustaja nuppu laualt ära võtta. Selleks värvime mängulaua väljad kahe värviga nii, et tipuga üles väljad on üht ja tipuga alla väljad teist värvi. Siis mistahes kaks ühise küljega välja on eri värvi, st igal käigul liigutatakse nupp üht värvi väljalt teist värvi väljale, ning ka mängulaua ülemine ja alumine väli, kus nupud paiknevad mängu algul, on eri värvi. Seega alustaja käigu järel on nupud sama värvi väljadel, tema vastase käigu järel aga eri värvi väljadel ning sama kordub järgnevatel käikudel. Järelikult alustaja vastane ei saa ühelgi oma käigul alustaja nuppu lüüa. Niisiis piisab alustajal liikuda oma nupuga lühimat teed pidi mängulaua vastastippu, pööramata tähelepanu vastase käikudele. Kuna see lühim tee on mõlema mängija jaoks ühepikkune, siis jõuab alustaja oma nupuga sihile kindlasti enne kui tema vastane. º Vastus: (5, 1), (6, 8), (8, 6), (1, 5). Kui m = 1 või n = 1, siis ruudustiku kõik ruudud piirnevad äärega, seega nõutud tingimus ei kehti. Eeldame nüüd, et m, n. Ristküliku äärtega puutub kokku m + n 4 ruutu, ülejäänud ruutusid on aga (m )(n ) = mn m n + 4. Ülesande tingimuse põhjal m + n 4 = mn m n + 4, mis on samaväärne võrrandiga mn 4m 4n+8 = 0. Liites mõlemale poole 8 ja tegurdades vasaku poole, saame võrrandi (m 4)(n 4) = 8. Seega m 4 ja n 4 on arvu 8 tegurid (võib-olla ka negatiivsed). Kuna m, n, siis m 4 ja n 4. Kuid kui üks teguritest m 4 ja n 4 oleks või 1, peaks teine olema vastavalt 4 ja 8, mis pole võimalik. Seega on m 4 ja n 4 siiski mõlemad positiivsed. Tekivad järgmised võimalused. m 4 n 4 (m, n) 1 8 (5, 1) 4 (6, 8) 4 (8, 6) 8 1 (1, 5) 3

4 Ø ÄÎÁ Ñ Ø Ñ Ø ÓÐ ÑÔ ¾ º ÑÖØ ¾¼¼ Ä ÔÔÚÓÓÖ ½¼º Ð Lahendused ½º Märkame, et 180 x = x + y + z x = x x + y x + z x = 1+ y x + z x. (1) a) Ülesande tingimuste kohaselt y x ehk 1 x ja z on ratsionaalarvud. Seose y x (1) põhjal niisiis on 180 ratsionaalarvude summana ratsionaalarv. Järelikult x esitub kahe ratsionaalarvu suhtena ja on seega samuti x ratsionaalarv. Ratsionaalarvulistest suhetest x y ja z x järeldub nüüd, et ka y ja z on ratsionaalarvud. b) Olgu üldisust kitsendamata x y (seega ka y x ) ratsionaalarv ja y z, z x (seega ka z y, x 180 ) irratsionaalarvud. Seos (1) esitab arvu kahe ratsionaalarvu z x ja irratsionaalarvu summana. Järelikult 180 on irratsionaalarv, kust x on x samuti irratsionaalarv. Et x on ratsionaalarv, siis ka y on irratsionaalarv. y Oletame, et z on ratsionaalarv. Siis ka x + y on ratsionaalarv, sest x + y = 180 z. Aga nüüd x + y on ühelt poolt ratsionaalarvu ja irratsionaalarvu y suhtena irratsionaalarv, teisalt aga esitub summana x + 1, kus liidetavad y on ratsionaalarvud, mistõttu on hoopis ratsionaalarv. Vastuolu näitab, et z peab olema irratsionaalarv. ¾º Vastus: (1, 9, 10), (, 7, 11), (3, 5, 1), (4, 3, 13) ning (5, 1, 14). Kõigepealt hindame lähtevõrrandi vasakut poolt: 009 = 99x + 100y + 101z 101(x + y + z), 009 = 99x + 100y + 101z 99(x + y + z). Saadud võrratused annavad, et x + y + z

5 Kuna > 19 ja < 1 ning x + y + z on täisarv, siis x + y + z = Kirjutame lähtevõrrandi kujul 100(x + y + z)+ z x = 009, siis saame, et eeldusel x+y + z = 0 on lähtevõrrand samaväärne tingimusega z x = 9 ehk z = x + 9, st lähtevõrrand on samaväärne süsteemiga { x + y + z = 0, z = x + 9. Asetades saadud z avaldise võrdusse x+y+z = 0, saame x+y+x+9 = 0, millest x + y = 11 ehk y = 11 x. See tähendab, et lähtevõrrand on samaväärne süsteemiga { y = 11 x, z = x + 9. Kuna x ja y on positiivsed täisarvud, siis 0 < x 5. Vaatame läbi võimalikud variandid: kui x = 1, siis (x, y, z) = (1, 9, 10); kui x =, siis (x, y, z) = (, 7, 11); kui x = 3, siis (x, y, z) = (3, 5, 1); kui x = 4, siis (x, y, z) = (4, 3, 13); kui x = 5, siis (x, y, z) = (5, 1, 14). º Lahendus 1. Olgu tipust A küljele BC tõmmatud ristsirge x ning olgu E sirgete x ja BC lõikepunkt (joonis ). Lõikugu sirged x, y ja z punktis D. Eukleidese teoreemist AB = AD AE = AC, mistõttu AB = AC. Vastupidi, kui AB = AC, siis kolmnurk ABC on võrdhaarne tipunurgaga A. Kõrgus AE on tipunurga poolitaja, mistõttu lõigud AB ja AC asetsevad tema suhtes sümmeetriliselt. Järelikult ka punktides B ja C tõmmatud ristsirged y ja z asetsevad sirge x suhtes sümmeetriliselt. Seega nende lõikepunktid sirgega x langevad kokku. C z A x E D y B Joonis 5

6 Lahendus. Kehtigu eelmise lahenduse tähistused. Et AB ja BD ristuvad ja samuti AC ja CD, asuvad punktid A, B, C, D ühel ringjoonel, mille diameeter on AD. Lõik BC on selle ringjoone kõõl ja eelduse kohaselt ristub diameetriga AD ; seega lõikepunkt E poolitab lõigu BC. Järelikult AE on kolmnurgas ABC nii kõrgus kui mediaan, seega AB = AC. Vastupidi, kui AB = AC, siis ACB = ABC ja kolmnurgas ABC langevad tipust A tõmmatud kõrgus ja nurgapoolitaja kokku. Olgu sirgete y ja z lõikepunkt F. Kuna B AF = FCB = π ACB = π ABC = CBF = C AF, siis AF on samuti kolmnurga ABC nurgapoolitaja. Seega sirged AF ja x ühtivad, mis tähendab, et x, y ja z lõikuvad punktis F. º Vastus: Mari, kui n on paaritu, Jüri, kui n on paaris. Lahendus 1. Valigu kumbki mängija, kuni võimalik, alati ruute, mille väljalõikamisest ringühendus ei katke. Teistsugused strateegiad, mis tähendaksid vabatahtlikku kaotust, ilmselt paremad ei ole. Uurime seisu enne mängu viimast käiku, s.o võitja viimase käigu järel. Vaatleme plokke 1-st või enamast järjestikusest kadunud ruudust (õigupoolest nende asukohtadest enne väljalõikamist) samas servas. Ilmselt ei saa erinevate servade äärsed plokid ulatuda üksteisega kohakuti, muidu oleks ring katkenud. Kui ühes servas ulatub üks plokk üle terve silindri, siis teises servas on kõik ruudud alles. Sel juhul seni tehtud käikude arv on n. See tähendab, et võitja on alustaja paaritu n korral ja tema vastane paaris n korral. Eeldame nüüd, et ükski plokk ei ulatu üle terve silindri. Paneme tähele, et plokile järgneva ruuduga kohakuti teises servas asuv ruut on alles, muidu oleks ring sellest kohast katkenud. Seega naaberplokkide vahel on vähemalt üks terve tulp. Kui terveid tulpi naaberplokkide vahel oleks rohkem, saaks teha veel ühe käigu eemaldada ploki kõrvalt ruut nii, et see pikendaks plokki. Kui naaberplokid asuksid samas servas, saaks samuti teha veel ühe käigu eemaldada ruut nende vahelt. Järelikult naaberplokid on alati vastasservades, mistõttu on neid kokku paarisarv. Et nende vahel on alati üks terve tulp, on tervete tulpade arv seesama paarisarv. Eemaldatud ruutude arv on selle paarisarvu võrra n-st väiksem, st n-ga sama paarsusega. Seega siingi on viimati käinu alustaja paaritu n korral ja tema vastane paaris n korral. Lahendus. Vaatleme silindri sümmeetriatasandeid, mis läbivad silindri põhjade keskpunkte; neist saab valida sellise sümmeetriatasandi p, mis läbib silindri külgpinda vähemalt ühes kohas piki ruutude piire. 6

7 Kui n on paaris, siis silindri külgpinna kummastki ruudureast jääb kummalegi poole tasandit p täisarv ruute, st tasand p läbib silindri külgpinda kahel pool piki ruutude piire. Peegeldamine tasandi p suhtes jagab seega kõik ruudud paaridesse. Olgu Jüri strateegia lõigata iga Mari käigu järel välja Mari valitud ruuduga tasandi p suhtes sümmeetriline ruut. Kui siis enne mingit Mari käiku jagunevad kõik allesolevad ruudud sümmeetrilistesse paaridesse, siis Mari käigu järel on tema valitud ruudu paariline alles, mistõttu Jüri saab strateegiat jätkata. Et Mari ja Jüri käikude tulemusel eemaldatakse parajasti üks sümmeetriline paar, siis ka enne järgmist Mari käiku jagunevad kõik allesolevad ruudud sümmeetrilistesse paaridesse. Järelikult Jüri saab oma strateegiat kasutada mängu lõpuni. Veendume nüüd, et kui Mari mingi käik ringühendust ei katkesta, siis seda ei tee ka järgnev Jüri käik. Tõepoolest, kui Mari eemaldab ruudu, mis pole otse sümmeetriatasandi p kõrval, siis tema käigu järel on Jüri valitava ruudu ümbrus peegelpilt Mari valitud ruudu ümbrusest enne tema käiku, seega Jüri käigu mõju ei erine Mari omast. Kui aga Mari eemaldab ruudu tasandi p kõrvalt, siis sellega on Jüri valitava ruudu üks naaberruutudest äsja eemaldatud, muus osas on aga Jüri käigu ümbrus peegelpilt Mari valitud ruudu ümbrusest enne tema käiku. Seega kui ühendus katkeks, siis peaks see toimuma Mari ja Jüri eemaldatud ruutude vahelt; et aga need on eemaldatud samast reast ja teises reas on ruudud alles (muidu oleks Mari oma käiguga kaotanud), siis ühendus ei katke ka sealt. Järelikult ringühendus katkeb Jüri sellise strateegia korral just Mari käigu järel ehk Jüri strateegia viib võiduni. Kui n on paaritu, siis tasand p läbib silindri külgpinda ühel pool piki ruutude piire, teisel pool aga ruutude keskelt. Peegeldamine tasandi p suhtes jagab paaridesse kõik ruudud peale nende kahe, mida tasand p läbib; need on kumbki paaris iseendaga. Olgu Mari strateegia valida alguses üks neist kahest ruudust ja edasi valida Jüri viimativalitud ruuduga sümmeetriline ruut. Kui siis Jüri oma ühelgi käigul ei vali teist neist kahest ruudust, millel paariline puudub, siis analoogiliselt paaris n juhuga saab nüüd Mari oma strateegiat kasutada mängu lõpuni; kui aga Jüri valib mingil käigul paariliseta ruudu, siis ta katkestab ühenduse ja kaotab, nii et ka siis on Mari oma strateegiat lõpuni kasutanud. Analoogiliselt paaris n juhuga võidab mängu sümmeetrilisi ruute valiv mängija ehk Mari. º Vastus: 11. Kuna 009 = 7 41, kus 7 ja 41 on algarvud, siis on arvu kõik tegurid kujul 7 n 41 m, kus 0 n 0 ja 0 m 10. Et m võimalikke väärtusi on 11, siis ei saa Arno rohkem kui 11 arvu välja valida vastasel korral oleks kahel valitud teguril arvu 41 astendaja sama (Dirichlet printsiip) ning neist kahest tegurist see, milles 7 astendaja on kõrgem, jaguks teisega. 7

8 Teiselt poolt näitame, et 11 teguri seas, mis on kujul 7 0 m 41 m, kus m = 0, 1,..., 10, ükski ühegi teisega ei jagu. Oletame väitevastaselt, et leiduvad erinevad m 1 ja m nii, et arv 7 0 m1 41 m 1 jagub arvuga 7 0 m 41 m. Siis 0 m 1 0 m ja m 1 m. Nendest kahest võrratusest järeldub aga, et m 1 = m, vastuolu. 8

9 Ø ÄÎÁ Ñ Ø Ñ Ø ÓÐ ÑÔ ¾ º ÑÖØ ¾¼¼ Ä ÔÔÚÓÓÖ ½½º Ð Lahendused ½º Lahendus 1. Näitame kõigepealt, et arv n jagub 6-ga. Kuna n+ 1 on algarv, siis n+ 1 ei jagu -ga ega 3-ga. Seega n jagub -ga. Analoogiliselt ka n 1 ei jagu 3-ga; et aga kolmest järjestikusest täisarvust üks jagub 3-ga, siis n jagub 3-ga. Kuna ja 3 on ühistegurita, siis see annabki, et n jagub 6-ga. Sellest tulenevalt kuuluvad n jagajate hulka arvud 1,, 3, 6. Ülesande tingimuste põhjal n > 18 = 3 6. Juhul n = 5 6 = 30 on arvul n lisaks ülalloetletutele jagajad 5, 10, 15, 30, kokku 8 nagu tarvis. Juhud n = 4 6 = 4 ja n = 6 6 = 36 ei vasta ülesande tingimustele, sest 4+1 ja 36 1 jaguvad 5-ga. Kui n > 6 6, siis 6 < n 6, mistõttu arvu n jagajad n 1, n, n 3, n 6 on senileitutest suuremad ja seega kokku leidub vähemalt 8 jagajat. Lahendus. Lähtudes n jaguvusest 6-ga, võib lahenduse lõpule viia ka järgmisel viisil, kasutades tuntud valemit, mille kohaselt n jagajate arv võrdub algarvude astendajatest kanoonilises esituses 1 võrra suuremate arvude korrutisega. Ülal saime, et n algtegurite hulka kuuluvad vähemalt ja 3. Kui arvul n on veel mõni algtegur, siis on kanoonilises esituses vähemalt 3 algtegurit astendajaga vähemalt 1, mistõttu jagajate arv tuleb vähemalt (1+1) (1+1) (1+1) ehk 8. Oletame nüüd, et arvul n on vaid algtegurid ja 3. Arvud, kus üks neist esineb astmel ja teine astmel 1, on 1 ja 18, millest n ülesande tingimuste põhjal on suurem. Järelikult peab kas üks arvudest ja 3 olema astendajaga vähemalt 3 või mõlemad esinema astendajaga vähemalt. Esimesel juhul on jagajate arv vähemalt (1 + 1) (3 + 1) ehk 8, teisel juhul vähemalt (+1) (+1) ehk 9. ¾º Vastus: 1 k. Veendume kõigepealt, et kui arv k rahuldab tingimust 1 k, siis ülesandes toodud väide kehtib. Olgu 0 a, b 1, siis a a ja b b. Me saame, et 0 (a b) = a + b ab a + b kab a + b ab = 1 (1 a)(1 b) 1. Veendume nüüd, et kui k < 1 või k >, siis ülesandes toodud väide ei kehti. Valime a = b = 1, siis a + b kab = k, seega juhul k < 1 leiab aset võrratus a b kab = k > 1 ja juhul k > leiab aset võrratus a b kab = k < 0. 9

10 º Lahendus 1. Tõmbame ringjoone ω keskpunktiga A ja raadiusega AB ning pikendame lõiku AC üle punkti A kuni teistkordse lõikumiseni ringjoonega ω (joonis 3). Olgu AC ja ω lõikepunkt E. Piirde- ja kesknurga vahelisest seosest saame, et ACD = B AC = BEC ning ACB = D AC = DEC. Oleme saanud, et ACD = AEB ja ACB = DEC, mis tähendab, et nelinurga BC DE vastasküljed on paralleelsed ehk ta on rööpkülik. Olgu selle rööpküliku diagonaalide BD ja EC lõikepunkt F. Kuna rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist, on AF kolmnurga ABD mediaan. Tingimuse AB = AD tõttu on AF kolmnurgas ABD seega ka nurgapoolitaja. Nüüd B AC = D AC, mistõttu ka ACD = ACB. Oleme saanud, et kolmnurgas BCD on lõik CF samal ajal mediaan ja nurgapoolitaja, järelikult BC = DC. Lahendus. Olgu K ja L vastavalt nurga B AC poolitaja lõikepunkt küljega BC ja nurga D AC poolitaja lõikepunkt küljega DC. Et K AC = LC A, siis AK LC ; et L AC = KC A, siis AL KC. Seega AKCL on rööpkülik. Lõigud AC ja K L rööpküliku diagonaalidena poolitavad teineteist. Nurgapoolitaja omadusest BK KC = AB DL ja AC LC = AD. Et AB = AD, AC siis need suhted on võrdsed, st BK KC = DL. Seega kolmnurgad CBD ja LC C K L on sarnased ning K L BD. Kuna AC poolitab K L, siis sarnasuse tõttu ta poolitab ka BD. Edasi jätkame nagu lahenduses 1. Lahendus 3. Olgu U sirgete B A ja CD lõikepunkt ning V sirgete D A ja CB lõikepunkt. Kuna nurk B AC on kolmnurga ACU välisnurk, siis AUC = ACD. Analoogiliselt saame, et AV C = ACB. Seega kolmnurgad C AU ja C AV on võrdhaarsed, kusjuures AU = AC = AV. Nüüd on kolmnurgad AU D ja AV B võrdsed tunnuse KNK põhjal, niisiis on nurgad AV B ja AU D võrdsed. Lõpuks saame, et ka kolmnurgad ADC ja ABC on võrdsed tunnuse NKN põhjal, millest järeldubki tulemus DC = BC. D L E A C ω B K Joonis 3 10

11 º Vastus: n(n + 1). Lahendus 1. Tähistame n n ruudustiku i. reas j. veerus olevat ruutu (i, j ) ning sellel olevat arvu t i j. Tähistame D = t 11 + t t nn (diagonaalil asuvate arvude summa). Iga i, j = 1,,..., n korral kehtib võrdus t ii + t j j = t i j + t j i. Liites kokku kõik sellised võrdused, mis tekivad i ja j sõltumatust muutumisest üle arvude 1,,..., n (selliseid võrdusi saame n tükki), tekib vasakule n-kordne diagonaali arvude summa (kummagi liidetavana esineb diagonaali iga arv täpselt n võrduses, mis teeb kokku n korda seda liidetavat), paremale aga kahekordne kõigi arvude summa (kuna iga arvu t kl loetakse summasse nii (k, l) = (i, j ) kui ka (k, l) = (j, i ) juures). Kokkuvõttes nd = ( n ) = n (n + 1), millest D = n(n + 1). Lahendus. Kõigepealt kopeerime ruudustikust paremale täpselt samasuguse (samade arvudega) ruudustiku ning saame seega n n ristküliku. Ülesandes kirjeldatud omadus kehtib kogu laiendatud pinna jaoks, sest vahetades suvalise ristküliku nurgaruudud, mis jäävad uude pinnaossa, nende originaalruutude vastu, määravad nurgaruudud algsel pinnaosal samuti ristküliku. Tähistame laiendatud pinna i. reas j. veerus olevat ruutu (i, j ) ning veendume järgnevalt, et diagonaali ( (1, 1), (, ),..., (n, n) ) k -nihetel ( (1, 1+k), (, +k),..., (n, n + k) ) (kus k = 0, 1,..., n 1) olevate arvude summad on võrdsed. Olgu k selline täisarv, et 0 k < n 1. Näitame, et diagonaali k -nihkel ja (k +1)-nihkel olevate arvude summad on võrdsed. Asugu k -nihke ruutudel arvud a 1, a,..., a n ning (k+ 1)-nihke ruutudel arvud b 1, b,..., b n. Asugu ruutudel (1, 1+k), (, 1+k), (3, 1+k),..., (n, 1+k) arvud c 1, c, c 3,..., c n. Siis c 1 = a 1 ja c n = b n. Vastavalt ruudustikus kehtivale omadusele saame võrdused c 1 + a = b 1 + c, c + a 3 = b + c 3, c 3 + a 4 = b 3 + c 4, c n 1 + a n = b n 1 + c n, 11

12 mille liitmisel ja sarnaste liikmete koondamisel selgub, et a 1 + a +...+a n = b 1 + b +...+b n. On jäänud märgata, et diagonaali k -nihetel, kus k = 0, 1,..., n 1, on parajasti kõik esialgse n n ruudustiku arvud, mille summa on n = n (n + 1). Järelikult on diagonaali igal k -nihkel, seega ka 0-nihkel ehk diagonaalil endal olevate arvude summa 1 n n (n + 1) = n(n + 1). Lahendus 3. Olgu i -ndas reas ja j -ndas veerus asuvasse ruutu kirjutatud arv t i j. Vastavalt ülesande tingimustele kehtib siis iga i, j, k, l jaoks (1 i, j, k, l n) t i j + t kl = t il + t k j ehk t i j t k j = t il t kl. Teisisõnu, kui me võtame mingi ruudu i -ndas reas ning temaga samas veerus asuva ruudu k -ndas reas, siis nendes ruutudes asuvate arvude vahe ei sõltu sellest, millises veerus nad asuvad. Olgu b ik = t i j t k j ; eelmise lause kohaselt ei sõltu see avaldis suurusest j. Kui vahetame omavahel read ja veerud, siis võime arutada täpselt samamoodi: ülesande tingimustes antud võrdus t i j + t kl = t il + t k j on samaväärne võrdusega t i j t il = t k j t kl ehk suurus c j l = t i j t il ei sõltu suurusest i. Arve b ik ja c j l illustreerib joonis 4. j l i k vahe: bi k vahe: c j l Joonis 4 1

13 Olgu A = t 11, B i = b i1 ja C i = c i1. Suurused A, B i ja C i (1 i n) määravad ära kõigi ruutude väärtused: t i j = A+ B i +C j. Muuhulgas võime nende suuruste kaudu avaldada ruudustiku kõigi ruutude summa S : S = = n n n n t i j = (A+B i + C j ) = i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 ( ) ( ( ) n n n n n n A + B i )+ C j = i=1 i=1 j=1 n n = n A + n B i + n C i. i=1 i=1 j=1 Samuti võime avaldada ruudustiku peadiagonaalil olevate arvude summa d : n n n n d = t ii = (A + B i + C i ) = n A + B i + C i. i=1 i=1 Näeme, et d = S n n. Kuna S = º Vastus: a) ei; b) jah. i=1 i = n (n + 1) i=1 i=1, siis d = n(n + 1). a) Erinevad ratsionaalsed punktid A(x 1, y 1 ) ja B(x, y ) määravad sirge, mille võrrand on (x x 1 )(y y 1 ) = (y y 1 )(x x 1 ), millest ax + by + c = 0, kus a = y y 1, b = x 1 x ja c = y 1 (x x 1 ) x 1 (y y 1 ) on kõik ratsionaalarvud. ( ) Tõestame, et punkt (x, y) =, 3 ei rahulda võrdust ax + by + c = 0 ühegi ratsionaalarvukolmiku (a, b, c) korral. Tõepoolest, kui kehtiks a + b 3 + c = 0, siis saaksime, et a = b 3 c, millest a = 3b + bc 3 + c, seega oleks bc 3 = a 3b c ratsionaalarv. Järelikult b = 0 või c = 0. Kui b = 0, siis a = c on ratsionaalarv. Siit on ainus võimalus, et a = c = 0, misjuhul punktid A ja B langeksid kokku. Kui aga c = 0, siis a = b 3. Kui a = 0, siis ka b = 0 ja vastupidi; see aga tähendaks punktide A ja B kokkulangevust. Järelikult a, b 0 ning a b = 3 = 6 on ratsionaalarv. Kuna 6 on irratsionaalarv, oleme jõudnud vastuoluni. Niisiis punkt (x, y) ei asu ühegi ratsionaalsete punktide paari poolt määratud sirgel. 13

14 b) Olgu antud punkt (x, y). Vaatleme punkte A ( ) x + α 1, y + β 1 B ( ) x + α, y + β, kus ja (α 1, α ) = { (1, ), x I, (, ), x Q, ( β1, β ) = { (1, ), y I, (, ), y Q. Punktid A ja B on irratsionaalsed, kuna nende mõlemad koordinaadid on ratsionaal- ja irratsionaalarvu summad. Kerge on ka veenduda, et punkt (x, y) asub sirgel AB : x (x + α 1 ) (x + α ) (x + α 1 ) = α 1 = 1 = β 1 y ( ) y + β 1 = ( ) ( ). α α 1 β β 1 y + β y + β1 14

15 Ø ÄÎÁ Ñ Ø Ñ Ø ÓÐ ÑÔ ¾ º ÑÖØ ¾¼¼ Ä ÔÔÚÓÓÖ ½¾º Ð Lahendused ½º Vastus: väiksem. Lahendus 1. Oletame, et väikeste kerade koguruumala on vähemalt pool suure kera ruumalast. Olgu väikese kera raadius r ja suurel keral R. Kuna kerade ruumalad suhtuvad nagu raadiuste kuubid, siis 4 r 3 R 3 ehk r R. Võrratus r > R on ilmselt võimatu, sest siis peaks suure kera keskpunkt paiknema iga väikese kera sees. Kui aga r = R, siis peaksid mistahes kaks väikest kera puutuma teineteist suure kera keskpunktis (st väikeste kerade omavahelised puutepunktid peaksid kõik kokku langema), mis on samuti võimatu. Seega peab väikeste kerade koguruumala olema väiksem kui pool suure kera ruumalast. Lahendus. Näitame, et väikeste kerade koguruumala on väiksem kui pool suure kera ruumalast. Olgu väikese kera raadius 1, siis suure kera raadius on 1+a, kus a on servapikkusega korrapärase tetraeedri keskpunkti kaugus tetraeedri tippudest. Vaatleme kolmnurka mille tippudeks on vaadeldava korrapärase tetraeedri keskpunkt ja tema kaks tippu (st kahe väikese kera keskpunktid). Selle kolmnurga küljepikkused on, a ja a. Kolmnurga võrratuse põhjal saame, et a = a + a >, millest a > 1. Pool suure kera ruumalast on π (1 + a)3, aga nelja väikese kera koguruumala on π 1. Kuna a > 1, siis (1+a)3 > 8, seetõttu 4 3 π kordaja poole suure kera ruumala avaldises on suurem kui 4 π kordaja nelja väikse 3 kera ruumala avaldises. 6 Märkus. Lahenduses vaadeldud suuruse a täpne väärtus on. ¾º Lahendus 1. Tuues 3 n sulgude ette, saame 3 n + 3 n n = 3 n ( n). Saadud kaks tegurit on omavahel ühistegurita, sest 3 n saab algarvudest jaguda ainult 3-ga, kuid summas n jaguvad kõik liidetavad 3-ga peale ühe, mistõttu summa 3-ga ei jagu. Et korrutis on täisruut, on järelikult mõlemad tegurid täisruudud. 15

16 Tegurist 3 n saame nüüd, et n on paaris. Mis puutub tegurisse n, siis 3 1 (mod 8) näitab, et 3 i 1 (mod 8), kui i on paarisarv, ja 3 i 3 (mod 8), kui i on paaritu arv. Järelikult selle summa liidetavaid järjest liites on vahetulemused 1, 4, 5, 0, 1, 4, 5, 0,... (mod 8). Kuna n on paaris, siis liidetavate arv on paaritu, mistõttu arvesse tulevad ainult paarituarvulistel kohtadel paiknevad 1 ja 5. Kuid täisarvu ruut ei saa anda jääki 5 mooduli 8 järgi. Seega täisruut võib tulla ainult igal neljandal liitmisel, kus 3 astendaja jagub 4-ga. Lahendus. Tegurdades ja kasutades geomeetrilise jada summa valemit, saame 3 n + 3 n n = 3 n ( n) = 3 n 3n+1 1. Tegurid 3 n ja 3n+1 1 on ühistegurita: esimene neist jagub algarvudest vaid 3-ga, kuid teine tegur 3-ga ei jagu, sest murru lugeja 3-ga ei jagu. Analoogiliselt lahendusega 1 leiame nüüd, et n on paaris. Oletame väitevastaselt, et n ei jagu 4-ga. Kuna n on paarisarv, siis n (mod 4), mistõttu n (mod 4). Paneme tähele, et 3 4 = 81; et 16 80, siis (mod 16), kust 3 n (mod 16) ja 3 n (mod 16), kust omakorda 3n (mod 8). Kuid täisarvu ruut ei saa anda jääki 5 mooduli 8 järgi. Lahendus 3. Oletusest, et n (mod 4), võib vastuoluni jõuda ka mooduli 5 järgi arutledes. Et 5 80, siis (mod 5), kust 3 n (mod 5) ja 3 n (mod 5), kust omakorda 3n (mod 5). Kuid täisarvu ruut ei saa anda jääki 3 mooduli 5 järgi. Märkus. Näiteks juhul n = 0 on 3 n + 3 n n = juhul n = 4 saame 3 n + 3 n n = = 99. º Vastus: 1, 3. Lahendus 1. Paneme tähele, et x 3 + ax (a + 4) = (x ) (x + x + (a + 4) ). = 1 ja Järelikult arv on antud kuuppolünoomi nullkoht sõltumata a valikust. Et x mujal nulliks ei saa, peab kuuppolünoomi teine nullkoht olema ruutkolmliikme x + x + (a + 4) nullkoht. Vaatame kahte juhtu. Kui on ka ruutkolmliikme x +x+(a+4) nullkoht, siis + +(a+4) = 0, kust a = 1. Kuna x + x 8 (x ), erineb selle ruutkolmliikme teine nullkoht arvust. 16

17 Kui ei ole ruutkolmliikme x +x+(a+4) nullkoht, siis sel ruutkolmliikmel peab olema täpselt üks -st erinev nullkoht. Seega tema diskriminant on null ehk 4 4(a + 4) = 0, kust a = 3. Ainsaks nullkohaks saame 1, mis tõepoolest erineb -st. Järelikult ainsad võimalused on a = 1 ja a = 3. Lahendus. Kuna reaalsete kordajatega polünoomil ei saa olla üks nullkoht mittereaalne ja ülejäänud nullkohad reaalsed, siis peab antud kuuppolünoomil P(x) = x 3 + ax (a + 4) olema täpselt kaks erinevat reaalarvulist nullkohta, kusjuures üks neist on kahekordne nullkoht. Olgu see kahekordne nullkoht x 0, siis on x 0 ka polünoomi tuletise P (x) = 3x + a ühekordne nullkoht, st 3x 0 + a = 0 ja a 0. Siit a = 3x 0. Et P(x 0) = 0, siis saame tingimuse x ( 3x 0 ) x ( 3x 0 + 4) = 0 ehk millest tegurdades x x 0 8 = 0, (x 0 ) (x 0 + 1) = 0. Järelikult saab kõnealune kahekordne nullkoht olla kas x 0 = või x 0 = 1. Tingimuse 3x0 + a = 0 abil leiame nüüd ainsad võimalused a = 1 ja a = 3. Lahendus 3. Ülesande tingimuse kohaselt saab võrrandi vasaku poole kirjutada kujul (x x 0 ) (x x 1 ), kus x 0 ja x 1 on teatud erinevad reaalarvud. Polünoomi kahe kuju kordajate võrdlemisest x 3 + ax (a + 4) = (x x 0 ) (x x 1 ) = (x xx 0 + x 0 )(x x 1) = saame võrrandisüsteemi = x 3 (x 0 + x 1 )x + (x 0 x 1 + x 0 )x x 0 x 1 x 0 + x 1 = 0, x 0 x 1 + x 0 = a, x 0 x 1 = (a + 4). Kirjutades esimese võrrandi põhjal x 1 = x 0 ning asendades x 1 teise võrrandisse, saame seose 3x0 = a. Paigutades nüüd a avaldise kolmandasse võrrandisse, tekib x 0 suhtes kuupvõrrand x x 0 8 = 0. Lahenduse viime lõpule samal viisil nagu eelmises lahenduses. 17

18 º Lahendus 1. Olgu P rööpküliku ABCD diagonaalide AC ja BD lõikepunkt (joonis 5). Et rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist, siis võrdus BC C A BC = on samaväärne võrdusega CD BD CD = CP. Rakendades sii- PD nusteoreemi kolmnurgas BCD saame, et BC CD = sin BDC, ning siinus- sin CBD teoreemist kolmnurgas CPD saame, et CP PD = sin PDC sin PCD = sin BDC sin PCD. Seega BC = CP parajasti siis, kui sin CBD = sin PCD. Kolmnur- CD PD gast BCD näeme, et CBD+ PCD < 180, seega sin CBD = sin PCD on samaväärne sellega, et CBD = PCD. Et kolmnurkadel CPD ja BCD on ühine nurk PDC = BDC, siis on see omakorda samaväärne sellega, et CPD = BCD. Kokkuvõttes leidsime, et võrdus BC C A = CD BD CPD = BCD. Analoogiliselt saame näidata, et võrdus DC on samaväärne võrdusega = C A BD on CB samaväärne võrdusega C PB = BC D, st rööpküliku diagonaalide pikkuste suhe langeb kokku külgede pikkuste suhtega siis ja ainult siis, kui diagonaalide lõikumisel tekkivad nurgad on võrdsed rööpküliku sisenurkadega. Lahendus. Olgu P rööpküliku ABC D diagonaalide AC ja BD lõikepunkt, ning olgu selle rööpküliku diagonaalide lõikumisel tekkivad nurgad võrdsed rööpküliku sisenurkadega. Üldisust kitsendamata olgu C PD = BC D (kui CPB = BCD, siis vahetame tippude B ja D tähistused). Et kolmnurkades BCD ja CPD on BDC = CDP ning CPD = BCD, siis need kolmnurgad on sarnased, mistõttu BC = CP C A = (viimane CD PD BD võrdus kehtib seetõttu, et rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist), st rööpküliku ABC D diagonaalide pikkuste suhe on võrdne külgede pikkuste suhtega. Olgu nüüd rööpküliku ABC D diagonaalide pikkuste suhe võrdne külgede pikkuste suhtega. Üldisust kitsendamata olgu BC C A = (vastasel CD BD D C P A B Joonis 5 18

19 korral vahetame jällegi tippude B ja D tähistused), siis BC = CP CD PD. Et kolmnurkadel C PD ja BC D on ühine nurk tipu D juures, siis juhul, kui kolmnurgad BC D ja C PD ei ole sarnased, peab (et ei kehtiks sarnasuse tunnus KKN) sirgel CD leiduma selline punkt E, et CP = PE ja kolmnurgad BCD ja EPD on sarnased. Sel juhul asuvad punktid B, C, P ja E ühel ringjoonel, mis tähendab, et B asub kolmnurga C E P ümberringjoonel. Teisest küljest, kuna PE = PC ning punkt D asub sirgel CE, peab sirge DP ja kolmnurga CEP ümberringjoone teine lõikepunkt asuma P ja D vahel. Seega ei saa see lõikepunkt olla B, sest P on lõigu BD keskpunkt. Saadud vastuolu näitab, et kolmnurgad BC D ja C PD peavad olema sarnased ning CPD = BCD, st rööpküliku ABCD diagonaalide lõikumisel tekkivad nurgad on võrdsed selle rööpküliku sisenurkadega. Lahendus 3. Olgu P rööpküliku ABC D diagonaalide AC ja BD lõikepunkt ning olgu a = AB = C D, b = BC = AD ja d = BD, e = AC. Näitame, et a b = d e siis ja ainult siis, kui BCD = CPD (analoogiliselt saab näidata, et a b = e d siis ja ainult siis, kui BCD = CPB ). Rööpkülikus kehtib võrdus (a +b )=d +e, ehk a ( 1+ b ) a =d ( 1+ e ) d (selle võrduse kehtivus järeldub koosinusteoreemist kolmnurkades ABC ja BCD ). Seega on võrdus a b = d e siin samaväärne võrdusega a = d. Võrdused a b = d e ja a = d on aga omakorda samaväärsed võrdustega b = a e d = d, ehk sellega, et kolmnurk BCD küljepikkustega b, a a ja d ning kolmnurk CPD küljepikkustega e, d ja a on sarnased, ehk BCD = CPD. Märkus. Kerkib küsimus, kuidas konstrueerida selliseid rööpkülikuid, mille külgede suhe langeb kokku diagonaalide suhtega. Fikseerime rööpküliku ühe külje a ning selle lähisnurga α ning otsime rööpküliku teist külge b selliselt, et külgede suhe võrduks diagonaalide suhtega, st a b = d e. Rööpküliku võrdusest ja koosinusteoreemist saame tingimused a + b = a b e + e, e = a + b ab cos α. Nendest tingimustest saame ruutvõrrandi b + (a cos α) b a = 0, mille positiivne lahend on b = a 1+cos α a cos α. 19

20 º Vaatleme ruudustikku, kust on mõned ruudud ülesande tingimuste kohaselt välja lõigatud ning järelejäänud ruutudesse ülesandes kirjeldatud arvud kirjutatud. Veendume, et korraga täpselt kahe kõrvutise ruudu eemaldamine, kui selle tagajärjel on tulemuseks jälle ülesande tingimustele vastav seis ning arvud ruutudes on vastavalt muudetud, vähendab nii paaris- kui paaritute arvude kogust täpselt 1 võrra. Tõepoolest, kui eemaldame kaks samas reas asuvat ruutu, ei tohi nende ruutude kohal olla alles ühtki ruutu ja nende ruutude all peavad olema kõik ruudud alles. Selles reas, kust me kaks ruutu eemaldame, vähenevad ülejäänud ruutudesse kirjutatud arvud kahe võrra (st paarsus ei muutu). Eemaldatavate ruutude all peavad olema igas reas üks paaritu ja üks paarisarv, sest nende kohal on ühepalju ruute ja paremal olevate ruutude arv erineb ühe võrra. Pärast eemaldamist muutub paarisarv paarituks ja vastupidi, seega allesjäänud ruutudes paaritute arvude koguarv ja paarisarvude koguarv ei muutu. Eemaldatud ruutudes olid arvud 0 ja 1, mis on eri paarsusega, seega kokkuvõttes sai kumbagi sorti arve 1 võrra vähem. Analoogiliselt arutleme juhul, kui eemaldame kaks kõrvutist samas veerus asuvat ruutu. Pärast ruutude kahekaupa eemaldamist, kuni see enam pole võimalik, jõuame üheni järgmisest kahest seisust. Seis, kus pole ühtki ruutu; sellises seisus pole ühtki paaritut ega paarisarvu, seega paarisarve on vähemalt sama palju kui paarituid. Seis, kus on k rida (k 1), kusjuures kõige ülemises reas on 1 ruut, järgmises reas ruutu jne. kuni kõige alumises reas on k ruutu. Nüüd kõige ülemise rea ruutu on kirjutatud arv 0, järgmise rea ruutudesse ja 0, ülalt kolmanda rea ruutudesse 4, ja 0 jne. Niisiis taolise trepi kõikidesse ruutudesse on kirjutatud paarisarv, seega selles seisus on paarisarve vähemalt sama palju kui paarituid. Et ruutude kahekaupa eemaldamisel jäi paarisarve ja paarituid arve samavõrra vähemaks, pidi ka algseisus olema paarisarve vähemalt sama palju kui paarituid. 0

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning seda saab kombineerida teiste Carcassonne laiendustega.

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj

EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja 2017-2018 EDL Liiga tulemuste põhjal nelja liigasse. a. Premium Liiga (9 osalejat) b.

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.

Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja Sõlesepad tantsurühma meestega. Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc) 4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu Eesti koolioorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. Lahedused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu M tipust A lõigule KL tõmmatud ristlõigu aluspukt (vt.

Rohkem

Tuustep

Tuustep TUUSTEPP Eesti tants segarühmale Tantsu on loonud Roland Landing 2011. a. Pärnus, kirjeldanud Erika Põlendik. Rahvalik muusika, esitab Väikeste Lõõtspillide Ühing (CD Kui on kuraasi ). Tantsus on käed

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

2016 aasta märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme,

2016 aasta märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme, 2016 märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme, et märtsis laekus tulumaksu eelmise märtsist vähem ka 2009

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimise

Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimise Kasutusjuhend Dragon Winch vintsile DWM, DWH, DWT seeria Sisukord Üldised ohutusnõuded... 3 Vintsimise ohutusnõuded... 3 Kasulik teada... 4 Vintsimisel on hea teada... 5 Vintsi hooldus... 6 Garantii...

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

FIDE reitingumäärus 1. juuli 2014 Kuremaa, Marek Kolk

FIDE reitingumäärus 1. juuli 2014 Kuremaa, Marek Kolk FIDE reitingumäärus 1. juuli 2014 Kuremaa, 2014. Marek Kolk Artikkel 0. Sissejuhatus Artikkel 0.2 (uus) Millal läheb partii FIDE reitinguarvestusse? Reitinguarvestusse minev turniir tuleb ette registreerida

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta

Rohkem

Kom igang med Scratch

Kom igang med Scratch Alustame algusest Getting Started versioon 1.4 SCRATCH on uus programmeerimiskeel, mis lubab sul endal luua interaktiivseid annimatsioone, lugusid, mänge, muusikat, taieseid jm Scratch'i saab kasutada

Rohkem

Tartu Kutsehariduskeskus Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärg

Tartu Kutsehariduskeskus Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärg Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärgid jne. Suurte tähtede sisestamiseks hoia all Shift-klahvi. Kolmandate märkide

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers)

Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) aknasse ja looge kaks läbipaistvat kihti juurde. Pange

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc) ALGKLASSILAPSED 1 MINU NIMI ON MINA OLEN PRAEGU TÄNA ON 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED KIRJUTA VÕI JOONISTA SIIA KAKS KÄRNERI TÖÖRIISTA KIRJUTA SIIA SELLE TAIME 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST NIMI MIDA ISTUTASID MÕISTA,

Rohkem

Lõppvoor 2016

Lõppvoor 2016 Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Kiekim mees kirjeldus.docx

Kiekim mees kirjeldus.docx KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS GS1 Järgnevalt on kirjeldatud lühidalt mõningaid inimesi. Palun lugege iga kirjeldust ja märkige igale reale, kuivõrd Teie see inimene on. Väga Minu Mõnevõrra

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp: Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU

Rohkem

G aiasoft Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon ja hilisemad K

G aiasoft Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon ja hilisemad K Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon 6.3.1.51 ja hilisemad Kasutaja juhend 2016 Sisukord 1. Sissejuhatus...3 2. Liidese häälestus...3

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Microsoft Word - EHR.docx

Microsoft Word - EHR.docx earvekeskus E-ARVE TELLIMUSTE JUHEND 1 Sisukord E-arvete tellimused... 3 Klientide tellimused... 3 E-arve tellimuse lisamine... 3 E-arve tellimuse muutmine... 9 Minu tellimused... 10 Minu tellimuse sisestamine...

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc Tallinna Linnavalitsuse sõnumisaatja kasutusjuhend asutuse juhatajale Sisukord 1. Süsteemi sisenemine...2 2. Parooli lisamine ja vahetamine...2 3. Ametnike lisamine ametiasutuse juurde...2 4. Saatjanimede

Rohkem

Tõlkija poolne märkus: Ma leidsin 2 kohta, kus oli selle mustri parandusi üleval. Esimene neist ametlik VK koduleht. Sealt leitud täiendused ei ole õi

Tõlkija poolne märkus: Ma leidsin 2 kohta, kus oli selle mustri parandusi üleval. Esimene neist ametlik VK koduleht. Sealt leitud täiendused ei ole õi Tõlkija poolne märkus: Ma leidsin 2 kohta, kus oli selle mustri parandusi üleval. Esimene neist ametlik VK koduleht. Sealt leitud täiendused ei ole õiged, sellest juttu Ravelrys. Parandus soovitab sarnaselt

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirju

Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirju Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirjuta sõna vastandsõna ehk antonüüm, nii et sõna tüvi

Rohkem